K.REDJDAL

TRANSFORMATION DE LAPLACE

La transformée de Laplace a une grande utilité dans l’analyse des systèmes

dynamiques linéaires. La plus intéressante des propriétés de la transformation de

Laplace est que l’intégration et la dérivation deviennent des divisions et des

multiplications.

La transformée de Laplace permet par exemple de ramener La résolution des

équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution

d’équations affines.

Cette transformation est très utilisée pour résoudre des équations et les systèmes

différentiels et particulièrement en électricité, électronique, théorie de la chaleur,

théorie du signal ….

1- Définitions et exemples

Soit f une fonction de la variable réelle t définie sur l’intervalle [ 0 ; +[ (

f(t)=0 pour t<0) ; à valeurs réelles ou complexes, continue par morceaux. On

pose :

(1)

Cette fonction F se nomme transformée de Laplace de la fonction f. On la note

aussi Lp[f]. On suppose qu’il existe un nombre et un nombre M , tels que t

0 , | f(t) | et

M , pour assurer la convergence de cette intégrale (1) . Sous

cette hypothèse F(p) est alors définie sur [ ; +[.

La fonction f est appelée fonction originale et la fonction F est dite image de f.

Exemple 1: Transformation d'une constante réelle K

Exemple 2: Transformation de la fonction linéaire f(t)=t ( fonction rampe)

(intégration par parties)

dttfepF pt )()(0

K.REDJDAL

Exemple 3: Transformation de la fonction parabole f(t)=t2

Exemple 4: Transformation de la fonction parabole f(t)=eat ( a réel)

Exemple 5: Transformation des fonctions trigonométrique f(t)=cos(bt) et

f(t)= sin(bt) ( b réel)

On utilisera les formules d'Euler pour déterminer les transformations des

fonctions trigonométriques.

K.REDJDAL

2- Propriétés de la transformation de Laplace

2-1- Linéarité

Soient f et g deux fonctions de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0.

et particulièrement la transformée de Laplace d'une fonction nulle est nulle.

Cette propriété découle de la linéarité des intégrales.

2-2- Dérivation

Soient f une fonction de la variable t telle que f(t) =0 pout t <0.

La démonstration de cette relation se fat par intégration par parties.

En considérant que on déduit que :

Par récurrence , on obtient :

où est la dérivée nième de la fonction f(t).

2-3- Intégration

Soit f une fonction de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0 .

Illustration : Soit

K.REDJDAL

2-4- Fonction périodique

Soit f une fonction de la variable t ( t >0) définie sur [0 ; T] périodique et de

période T.

Exemple 6 : signal rampe

Soit f la fonction définie par

périodique de période 1.

La transformation de Laplace de cette fonction périodique s'écrit :

Comme

( intégration par parties)

K.REDJDAL

2-5- Théorème du retard

Soit f la fonction définie par

La transformation de Laplace de f s'écrit :

Le coefficient

2-6- Théorème de l'amortissement

Soit f la fonction de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0. On peur vérifier

par simple utilisation de la définition que :

Exemple 7 :

2-7- Théorème de changement d'échelle temporelle

Soit f la fonction de la variable t telle que f(t)=0 pour t <0. On peur vérifier

que :

Exemple 8 :

2-8- Théorème de convolution

On appelle convolution de deux fonctions f et g définies telles que

f(t)=g(t)=0 pour t <0, la fonction h notée h=f*g définie par :

Ce produit de convolution est commutatif et associatif.

K.REDJDAL

On démontre alors que :

Exemple 9 :

Considérons les deux fonctions f et g suivantes:

Sachant que

La convolution des fonctions f(x)=cosx et g(x) =sinx est la fonction

Ainsi la transformée de Laplace de la fonction

est égale au

produit des transformations des fonctions cosinus et sinus soit :

On en déduit que :

Exemple 10 :

On peut aussi utiliser la convolution pour trouver la fonction originale dont la

transformée de Laplace est donnée.

Soit h la fonction dont la transformée de Laplace s'écrit :

K.REDJDAL

Cette transformé peut s'écrire comme le produit de deux transformées de

Laplace :

qui est la transformée de f(t)= t et

qui est la

transformée de g(t) = sint.

La fonction h(t) peut alors être considérée comme la convolution de f etg :

Remarque :

On peut évidemment retrouver ce résultat par une procédure de décomposition ,

en écrivant :

et on reconnaît alors la transformée de la

fonction

On utilise notamment le produit de convolution dans les systèmes d'entrée-sortie

avec une fonction de transfert h(t) assurée par l'opérateur

Le signal de sortie n'est autre que la convolution du signal d'entrée et de la

fonction transfert par l'opérateur :

On peut alors déterminer le signal de sortie à partir de la relation :

et de la transformation inverse ( voir tableau

ci-dessous)

Exemple 11

On considère le système du premier ordre suivant :

K.REDJDAL

où le signal d'entrée est l'échelon unitaire soit :

de

transformée E(p). La fonction de transfert h(t) est donnée par sa

transformation de Laplace

.

L'expression du signal de sortie s(t) est alors caractérisé par la convolution e*h

dont la transformée de Laplace est :

; qui se

décompose sous la forme :

En utilisant les transformées inverses , le signal s(t) s'écrit:

2-9- Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale

Soit f une fonction définie par f(t) pour t 0 et f(t)=0 pour t <0.

On démontre que :

Théorème de la valeur initiale

Théorème de la valeur finale

K.REDJDAL

2-10- Dérivée de la transformation de Laplace

Soit f une fonction définie par f(t) pour t 0 et f(t)=0 pour t <0.

On démontre que :

Ainsi

3- Tableaux des principales transformations

Fonctions f (t) ( t>0) Transformation F(p) Domaine

K.REDJDAL

Où

4- Applications à la résolution d'équations différentielles

Exemple 12: Résoudre l'équation suivante en utilisant la transformée de

Laplace

On a :

K.REDJDAL

L'équation différentielle s'écrit alors avec la transformation de Laplace

En utilisant le tableau des transformées de Laplace, on déduit :

Exemple 13: Résoudre l'équation différentielle du 3ème ordre suivante

soit

K.REDJDAL

Exemple 14: Résoudre le système différentiel linéaire suivant où x , y et z

sont des fonctions de la variable réelle t.

En utilisant la transformée de Laplace, on transforme ce système

différentiel en un système linéaires classiques à 3 inconnues

La transformée de Laplace appliquée au système s'écrit :

soit

En posant le système

s'écrit :

soit sous la forme générale :

La résolution de ce système donne :

K.REDJDAL

En en utilisant le tableau des transformations de Laplace, on retrouves

les fonctions originales solutions su système:

Exemple 15: Résoudre le système différentiel linéaire suivant

K.REDJDAL

En posant on obtient le système

suivant :

En additionnant membre à membre , on trouve Y=-Z

En replaçant alors Z par -Y dans la première , on trouve:

soit : et

K.REDJDAL

EXERCICES SUR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE

Exercice 1: Donner les fonctions originales dont les transformées de Laplace

sont :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exercice 2: Résoudre les équations différentielles en utilisant la transformée

de Laplace

Exercice 3: Résoudre les systèmes différentiels suivants

Exercice 4: On considère l'onde carrée périodique de période T représentée

ci dessous :

K.REDJDAL

Quelle est la transformée de Laplace de cette onde.

Exercice 5: On considère la fonction

Tracer le graphe de f et déterminer la transformée de Laplace de f .

Exercice 6: On considère la fonction causale défi nie sur R par :

a) Représenter graphiquement e(t)

b) Calculer la transformée de Laplace E(p) de e(t)

c) L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie s reliée à

la tension d'entrée par la formule 4 s'(t) + s(t) = e(t) avec s(0)=0

Montrer que la transformée de Laplace de s(t) est :

d) Déterminer les fonctions originales ayant pour transformée :

En déduire que :

K.REDJDAL

TRANSFORMATION DE LAPLACE : REPONSES

Exercice 1: Donner les fonctions originales dont les transformées de Laplace

sont :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exercice 2: Résoudre les équations différentielles en utilisant la transformée

de Laplace

Réponse :

Réponse :

Exercice 3: Système différentiel linéaire

Réponse :

K.REDJDAL

Exercice 4: On considère l'onde carrée périodique de période T représentée

ci dessous :

La transformée de Laplace de cette onde est :

Réponse :

Exercice 5: On considère la fonction

Tracer le graphe de f et déterminer la transformée de Laplace de f .

Réponse :

Exercice 6: On considère la fonction causale défi nie sur R par :

a) Représenter graphiquement e(t)

Intervalles 0 1 2

u(t) 1 1 1

u(t-2) 0 0 1

e(t) 4 4 0

4

K.REDJDAL

b) Calculer la transformée de Laplace E(p) de e(t)

c) L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie s reliée à

la tension d'entrée par la formule 4 s'(t) + s(t) = e(t) avec s(0)=0

d) Déterminer les fonctions originales ayant pour transformée :

Les fonctions originales des transformées de Laplace ci dessus sont

respectivement : u(t) ; u(t-2) ;

u(t) ;

Comme

K.REDJDAL

C'est à dire