la polarizacion del vac o en electrodinamica cu antica

Master Universitario en Fısica y Matematicas

Trabajo de Fin de Master

La polarizacion del vacıo enelectrodinamica cuantica

bidimensional

Facultad de Ciencias

Curso 2019/2020

Autora: Esperanza Maya Barbecho

Tutora: Marina de la Torre Mayado

Resumen

La Electrodinamica Cuantica describe las interacciones del campo electromagnetico con

los electrones y positrones en un marco regido por las leyes de la Relatividad Especial

y la Mecanica Cuantica. Durante los anos ochenta del siglo XX aparecieron interesantes

investigaciones en Electrodinamica Cuantica en un espacio-tiempo de (2+1) dimensio-

nes, por un lado por razones puramente teoricas y por otro lado para intentar explicar

importantes experimentos realizados en el marco de la Fısica de la Materia Condensada

como son: el Efecto Hall Cuantico [1], [2], la superconductividad de alta temperatura [3],

etc. En ambos casos, se trata de fenomenos cuanticos de muchos cuerpos que incluyen

interacciones de fermiones cargados con el campo electromagnetico, y que se producen

esencialmente en dos dimensiones espaciales.

El objetivo general de este Trabajo de Fin de Master es, conocida la Electrodinamica

Cuantica en el espacio-tiempo (3+1)-dimensional, estudiar el caso en (2+1) dimensiones

y analizar las diferencias y similitudes que hay entre ambas teorıas.

Se planteara ası, en el caso de dos dimensiones espaciales, el estudio de procesos de

scattering al orden mas bajo en teorıa de perturbaciones, tales como el scattering Møller

y el scattering Compton. A continuacion, se abordara el estudio de las correcciones ra-

diativas a un lazo, donde aparecen divergencias ultravioletas e infrarrojas. El objetivo

particular del trabajo sera el estudio del proceso de polarizacion del vacıo y el analisis

de su importancia en el caso bidimensional, ya que de la regularizacion a un lazo apare-

ce la anomalıa en este tipo de teorıas de campos que esta relacionada con el termino de

Chern-Simons. Finalmente, se analizara la conexion entre este proceso en Electrodinamica

Cuantica Bidimensional y la conductividad Hall del Efecto Hall Cuantico.

PALABRAS CLAVE: Electrodinamica cuantica bidimensional, densidad Lagrangiana

de Chern-Simons, Scattering Møller, Scattering Compton, Polarizacion del vacıo, Regula-

rizacion de Pauli-Villars, Renormalizacion, formula de Kubo, Efecto Hall Cuantico, factor

de llenado.

1

Abstract

Quantum Electrodynamics describes the interactions of the electromagnetic field with

electrons and positrons in a framework governed by the laws of Special Relativity and

Quantum Mechanics. During the eighties of the 20th century, interesting investigations

appeared in Quantum Electrodynamics in space-time of (2+1) dimensions, on the one

hand for purely theoretical reasons and on the other hand to try to explain important

experiments carried out within the framework of Physics of Condensed Matter such as

the Quantum Hall Effect [1], [2], the high-temperature superconductivity [3], etc. In both

cases, these many-body quantum phenomena include the interaction between charged

fermions and the electromagnetic field and they take place essentially in two spatial di-

mensions.

Starting from (3+1)-dimensional quantum electrodynamics, the general objective of this

Master’s Thesis is to study the (2+1) dimensional case and to analyze the differences and

similarities between both theories.

Thus, in the two-dimensional case, the study of scattering processes will be considered at

the lowest order in perturbation theory. In particular we will study the Møller scattering

and Compton scattering. Secondly, one loop radiative corrections will be addressed, where

ultraviolet and infrared divergences appear. A specific objective of this work is the study of

the vacuum polarization process and the analysis of its importance in the two-dimensional

case. The characteristic anomaly of this type of field theories, which is related to the

Chern-Simons term, we be calculated with one-loop regularization techniques. Finally,

the connection between this process in (2+1)-dimensional quantum electrodynamics and

the Hall conductivity in the quantum Hall effect will be analyzed.

KEYWORDS:Two-dimensional Quantum Electrodynamics, Chern-Simons Lagrangian

density, Møller Scattering, Compton Scattering, Vacuum Polarization, Pauli-Villars Re-

gularization, Renormalization, Kubo formula, Quantum Hall Effect, filling factor.

2

Indice general

1. Introduccion 5

2. Electrodinamica cuantica en el plano 8

2.1. Densidad Lagrangiana de QED en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Densidad Lagrangiana de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Unidades y dimensiones en electrodinamica cuantica bidimensional . . . . . 13

2.3. Teorıa de perturbaciones y elemento de matriz en (2+1) dimensiones . . . 15

2.4. Reglas de Feynman en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Algunos procesos de scattering al orden mas bajo 19

3.1. Longitud eficaz diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Suma en el espın y las polarizaciones en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . 21

3.3. Scattering Møller en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. Scattering Compton en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Correcciones radiativas a un lazo. Polarizacion del vacıo 34

4.1. Divergencias y renormalizacion. Grado superficial de divergencia . . . . . . 34

4.2. Correciones radiativas a un loop en QED2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3. Polarizacion del vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.1. Regularizacion de Pauli-Villars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.2. Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4. Formula de Kubo y conductividad Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1. El efecto Hall cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.2. Formula de Kubo relativista y polarizacion del vacıo. . . . . . . . . 50

4.4.3. El factor de llenado: efecto Hall cuantico para ν =1

2. . . . . . . . . 54

5. Conclusiones 58

Bibliografıa 60

A. Notacion relativista en (2+1) dimensiones 64

3

INDICE GENERAL

B. Matrices gamma en QED2+1 66

C. El campo de Dirac en (2+1) dimensiones 69

D. El campo electromagnetico en (2+1) dimensiones 74

4

Capıtulo 1

Introduccion

La equivalencia entre la energıa y la masa que implica la relatividad especial da lugar a

que no sea posible formular una teorıa cuantica relativista completamente coherente para

un conjunto con un numero definido de partıculas. Esta equivalencia permite por ejemplo,

para un proceso determinado, que una partıcula suficientemente energetica pueda perder

parte de su energıa y esta se materialice en nuevas partıculas. Este es el caso por ejemplo

de la emision beta, donde un neutron se transforma en un proton emitiendose un electron

y un antineutrino, o la desexcitacion espontanea de un atomo a su estado fundamental,

emitiendo un foton.

La mecanica cuantica ordinaria no incluye la posibilidad de creacion y aniquilacion de

partıculas, lo que implica, que junto con la cuantizacion de la radiacion electromagnetica

introducida por Einstein, sea necesario elaborar una nueva teorıa capaz de englobar todos

estos resultados.

En este contexto, surgen en 1927, a raız del artıculo de Dirac [4], los fundamentos de una

teorıa cuantica de campos. Esta proporciona una explicacion a los fenomenos en los que

se absorben o emiten fotones, entre otros exitos de la teorıa.

Para dar explicacion a gran parte de los procesos que se observan en la Naturaleza es

necesario ademas tener en cuenta la interaccion entre campos. Si la interaccion que se

considera es suficientemente debil, es posible utilizar la teorıa de perturbaciones, este el

caso de la interaccion electromagnetica y debil. Los calculos por metodos perturbativos

suelen realizarse ademas empleando una herramienta muy eficaz en este ambito, estos son

los diagramas de Feynman, [5], [6].

Sin embargo, al ir a ordenes mas altos en teorıa de perturbaciones surge una dificultad

anadida, que es la aparicion de divergencias. Para evitar estos problemas se introducen

en teorıa cuantica de campos la regularizacion y la renormalizacion.

5

CAPITULO 1. INTRODUCCION

El caso mas estandar estudiado en electrodinamica cuantica, que denotamos QED (Quan-

tum Electrodynamics) por sus siglas en ingles, es aquel en el que se consideran (3+1)

dimensiones espacio-temporales y que escribimos como QED3+1. Sin embargo, la electro-

dinamica cuantica puede generalizarse a otras dimensiones a partir del mismo fundamento

teorico. En este contexto se desarrolla en este trabajo la electrodinamica cuantica en el

plano, QED2+1, [7], [8].

La descripcion de la electrodinamica bidimensional resulta imprescindible para el estudio

de determinados procesos en el plano o en materiales que puedan considerarse bidimen-

sionales.

Cabe destacar de esta forma la conexion entre la electrodinamica cuantica bidimensional

y la conductividad Hall del efecto Hall cuantico.

El efecto Hall surge tras el estudio del comportamiento de una corriente en una lamina

de material conductor sometida a un campo magnetico perpendicular al plano en el que

se situa [9]. En 1980, K. von Klitzing, G. Dorda y M. Pepper descubrieron el efecto Hall

cuantico entero [1], que se identifica como una manifestacion macroscopica de un fenomeno

puramente cuantico. Este descubrimiento fue reconocido anos mas tarde con la concesion

del Premio Nobel de Fısica a Klaus von Klitzing. La descripcion del efecto Hall Cuantico en

terminos de una teorıa cuantica de campos es adecuada, y ası, la electrodinamica cuantica

en (2+1)-dimensiones proporciona un marco natural para este proposito. Recientemente

tambien se ha utilizado QED(2+1) en la descripcion del efecto Hall cuantico no convencional

en el grafeno. [10].

En el desarrollo de este trabajo se sigue el siguiente esquema:

En primer lugar en el capıtulo 2 se describe la electrodinamica cuantica en el plano, expo-

niendo ası la densidad Lagrangiana en QED2+1, las unidades y dimensiones adecuadas. Se

plantea la teorıa de perturbaciones y el elemento de matriz. Estos resultados se comparan

con los que conocemos para el caso de tres dimensiones espaciales. Del mismo modo se

detallan las reglas de Feynman para la electrodinamica cuantica en (2+1)-dimensiones.

Este capıtulo se ve complementado con los apendices donde se expone la notacion relati-

vista utilizada y la cuantizacion de los campos libres, que es necesaria para el desarrollo

del trabajo y ademas difiere del caso habitual con tres dimensiones espaciales.

En el capıtulo 3 se plantea el estudio de dos procesos de scattering al orden mas bajo. Los

procesos considerados son el scattering Møller y el scattering Compton, para los cuales

obtendremos su longitud eficaz que analizaremos y compararemos con la seccion eficaz,

habitual para (3+1)-dimensiones.

En el capıtulo 4 se aborda el estudio de las correcciones radiativas a un lazo, con especial

interes en la polarizacion del vacıo. Se plantea la regularizacion de Pauli-Villars del tensor

6

CAPITULO 1. INTRODUCCION

de polarizacion para controlar las divergencias ultravioletas. Finalmente, se estudia la

conexion entre el tensor de polarizacion y la conductividad Hall.

Ademas se incluyen los Apendices A, B, C y D, en los cuales respectivamente se in-

troduce la notacion relativista empleada, las matrices gamma y los campos de Dirac y

electromagnetico en electrodinamica cuantica en (2+1)-dimensiones.

Por ultimo, se incluye la bibliografıa empleada en el desarrollo de este trabajo de fin de

Master.

7

Capıtulo 2

Electrodinamica cuantica en el

plano

La descripcion de las interacciones a nivel cuantico entre las partıculas cargadas y el

campo electromagnetico se realiza mediante la electrodinamica cuantica. En este capıtulo

se realiza una descripcion de la densidad Lagrangiana que se emplea en esta teorıa, ası

como de la accion en (2+1)-dimensiones. Se analizan ademas las unidades y dimensiones

en electrodinamica cuantica bidimensional en comparacion al caso de (3+1) dimensiones

y se introduce la teorıa de perturbaciones. Por ultimo, una vez expuesto el elemento de

matriz de la transicion de un estado inicial al estado final, se introducen las reglas de

Feynman para la electrodinamica cuantica en (2+1) dimensiones [8], [11].

2.1. Densidad Lagrangiana de QED en (2+1) dimen-

siones

La densidad Lagrangiana para la electrodinamica cuantica bidimensional esta formada, al

igual que en el caso tridimensional, por tres terminos: materia, campo electromagnetico

e interacciones. Es interesante ademas escribir la densidad Lagrangiana como:

L = L0 + LI , (2.1)

donde L0 se corresponde con los terminos de la densidad Lagrangiana asociados a los

campos libres y LI a los de interaccion.

La densidad Lagrangiana libre se describe de la siguiente forma:

8

CAPITULO 2. ELECTRODINAMICA CUANTICA EN EL PLANO

L0 = N

[cψ(x) (i~γµ∂µ −mc)ψ(x)− 1

4Fµν(x)F µν(x)− ξ

2(∂νA

ν)2

](2.2)

En la expresion que hemos dado es interesante diferenciar varios terminos. El primero de

ellos se corresponde a la densidad Lagrangiana del campo libre de Dirac,

L0D = cψ(x) (i~γµ∂µ −mc)ψ(x) (2.3)

Donde ψ(x) y ψ(x) = ψ†(x)γ0 son los campos de Dirac que describen partıculas de espın

semientero1

2, m es la masa en reposo de la partıcula y ~ y c son respectivamente la

constante de Planck y la velocidad de la luz en el vacıo.

La expresion de la densidad Lagrangiana correspondiente al termino de Dirac en (2+1)

dimensiones es funcionalmente identico al caso en (3+1) dimensiones. Una descripcion

mas detallada del campo de Dirac en (2+1) dimensiones se proporciona en el apendice

C.

Ademas se identifica la densidad Lagrangiana de Maxwell,

L0M = −1


2(∂νA

ν)2 , (2.4)

en la cual Fµν es el tensor antisimetrico asociado al campo electromagnetico, que se define

como:

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (2.5)

siendo Aµ(x) µ = 0, 1, 2 el potencial vector electromagnetico.

Ademas, − ξ2

(∂νAν)2 es el termino de acoplamiento gauge, siendo ξ el parametro de aco-

plamiento gauge. En el apendice D puede encontrarse una descripcion detallada del campo

electromagnetico libre en (2+1) dimensiones.

Por ultimo, la densidad Lagrangiana de interaccion LI es:

LI = N[eψ(x)γµAµ(x)ψ(x)

]≡ N

[−1

cjµ(x)Aµ(x)

]. (2.6)

Donde se toma la carga del electron como q = −e < 0, este termino representa el acopla-

miento del campo magnetico, Aµ(x), con la densidad de corriente conservada asociada al

campo de Dirac jµ(x) = −ecψ(x)γµψ(x).

9


Tanto en el termino libre como en el termino de interaccion se ha tomado el producto

normal, escrito como N [ ]. Este producto indica que los operadores de creacion deben

escribirse a la izquierda de los de destruccion, lo cual da lugar a que todos los valores

esperados de los observables en el vacıo sean nulos.

Teniendo en cuenta la densidad Lagrangiana total, dada por la ecuacion (2.1), es posible

obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange para los campos en interaccion,

∂νFνµ + ξ∂µ (∂νA

ν) =1

cjµ (2.7)

(i~γµ∂µ +

e

cγµAµ −mc

)ψ = 0, (2.8)

donde (2.7) son las ecuaciones de Maxwell en presencia de fuentes externas y (2.8) es la

ecuacion de Dirac acoplada al potencial vector Aµ(x), que son invariantes gauge, como se

puede comprobar.

La accion integral para la electrodinamica cuantica en (2+1) dimensiones espacio-temporales

puede escribirse entonces como:

S =

∫d3xN

[cψ(x)

((i~γµ∂µ +

e

cAµ(x)

)−mc

)ψ(x)− 1


2(∂νA

ν)2

]

2.1.1. Densidad Lagrangiana de Chern-Simons

La fısica en dos dimensiones espaciales presenta muchas sorpresas interesantes. Esto es

debido a que el comportamiento de electrones y fotones (o de forma mas general fermiones

y campos gauge) difiere del comportamiento estandar al que estamos acostumbrados en

la electrodinamica clasica y cuantica. En particular, existe un nuevo tipo de teorıa gauge,

completamente diferente de la teorıa de Maxwell, en (2+1)-dimensiones que se conoce

como teorıa de Chern-Simons. La teorıa de Chern-Simons es muy interesante tanto por

su novedad teorica como por su aplicacion practica para ciertos fenomenos de materia

condensada bidimensional, como el efecto Hall cuantico fraccionario.

Es conocido que en electrodinamica cuantica en (3+1)-dimensiones, el espın cumple las

reglas de conmutacion del algebra de Lie SU(2), segun las cuales,

[Si, Sj] = iεijkSk i, j, k = 1, 2, 3. (2.9)

De esta forma, como resultado de cuantizar el momento angular en el espacio tridimen-

10


sional, se obtienen dos tipos de partıculas. El primero de ellos satisface la estadıstica

de Fermi-Dirac, tienen espın semientero y se denominan fermiones, el segundo por el

contrario satisface la estadıstica de Bose-Einstein, tienen espın entero y se denominan

bosones.

Sin embargo, en (2+1)-dimensiones el espın satisface un algebra conmutativa, debido a

que solo es posible encontrar un generador en el plano, el cual claramente conmuta consigo

mismo.

La definicion de estadıstica cuantica en (3+1)-dimensiones se asigna a la fase que sur-

ge cuando en sistemas de muchas partıculas, dos de ellas son transportadas de forma

adiabatica a las coordenadas de la otra [12]. Este sin embargo, no es el caso de la elec-

trodinamica cuantica en (2+1)-dimensiones, en la que aparecen partıculas que pueden

generar cualquier fase al ser intercambiadas. Estas partıculas son conocidas como aniones

y violan paridad e inversion temporal [13], [14].

La descripcion de estas partıculas resulta de gran importancia puesto que en el plano

al acoplar electrones y fotones aparecen terminos de masa para los electrones que vio-

lan paridad e inversion temporal. Como consecuencia es necesario modificar la densidad

Lagrangiana introduciendo un termino que se denomina de Chern-Simons [15],

LCS =θ

4εµνλA

µF νλ (2.10)

Donde θ es una constante con unidades de masa. Este resultado da lugar a que cuando se

considera el Lagrangiano L = LM +LCS los fotones tienen asociada una masa θ. Ademas

la accion que resulta de considerar la densidad Lagrangiana de Chern-Simons es:

SCS =

∫d3xLCS, (2.11)

La densidad Lagrangiana de Chern-Simons a primera vista no parece invariante gauge

al incluir directamente el campo gauge Aµ en lugar del tensor electromagnetico Fµν , sin

embargo, se puede comprobar que la accion de Chern-Simons, y por tanto, las ecuaciones

de Euler-Lagrange asociadas si son invariantes gauge.

El Lagrangiano de Chern-Simons (2.10) es de primer orden en las derivadas espacio-

temporales. Esto hace que la estructura canonica de esta teorıa sea significativamente

diferente del de la teorıa de Maxwell estandar. Por ultimo, es muy interesante estudiar

el comportamiento de esta densidad Lagrangiana de Chern-Simons y del Lagrangiano de

Dirac para fermiones con masa en (2+1) bajo transformaciones discretas de simetrıa en

el plano: Paridad, Inversion Temporal y Conjugacion de Carga.

11


Comenzamos estudiando la simetrıa de paridad, que en (3+1)-dimensiones consiste en in-

vertir las componentes espaciales del cuadrivector xµ. Sin embargo, en (2+1)-dimensiones

el significado de invertir las componentes espaciales del trivector xµ es distinto, dado que

se corresponderıa con una rotacion de angulo π en el plano. Por tanto, la trasformacion

de paridad en (2+1)-dimensiones consiste en invertir un unico eje espacial. En definitiva,

bajo una transformacion de paridad,

(t, x, y) −→ (t,−x, y), (2.12)

se tiene que:

ψψP → −ψψ, (2.13)

Ya que el campo de Dirac se transforma de la siguiente manera:

ψ(t, x, y) = ηPγ1ψ(t,−x, y), (2.14)

donde ηP es una fase constante tal que |ηP | = 1.

De forma que ni la densidad Lagrangiana de Dirac ni la de Chern-Simons permanecen in-

variantes, teniendo en cuenta que el campo gauge bajo paridad se transforma como:

(A0, A1, A2) −→ (A0,−A1, A2). (2.15)

La conjugacion de carga y la inversion temporal mantienen la estructura del espacio

tridimensional. En (2+1)-dimensiones se puede comprobar que la conjugacion de carga

da lugar a:

ψC = ηCγ2ψT , (2.16)

tal que |ηC | = 1 y T indica la transpuesta.

El resultado es que tanto la densidad Lagrangiana de Dirac como la de Chern-Simons

permanecen invariantes bajo conjugacion de carga.

Por ultimo, bajo una inversion temporal, T , se verifica,

(t, x, y) −→ (−t, x, y), (2.17)

12


que conduce a:

ψψT → −ψψ. (2.18)

Ya que ψ(t, x, y) = ηTγ1ψ(−t, x, y) donde ηT es una fase constante, y el campo gauge se

transforma bajo inversion temporal, (A0, A1, A2) −→ (A0,−A1,−A2).

El resultado es que ninguna de las densidades Lagrangianas es invariante bajo inversion

temporal.

Sin embargo, ambas densidades Lagrangianas son invariantes bajo la transformacion con-

junta PT y por tanto bajo CPT .

Es interesante observar que tanto la densidad Lagrangiana para fermiones con masa no

nula como la densidad Lagrangiana de Chern-Simons tienen las mismas propiedades de

transformacion bajo las simetrıas discretas de P , C y T , como veremos este resultado sera

relevante cuando estudiemos las correcciones radiativas para QED en (2+1)-dimensiones.

[11].

2.2. Unidades y dimensiones en electrodinamica cuanti-

ca bidimensional

En este trabajo se ha usado el Sistema Internacional para el desarrollo de los apartados

anteriores. Sin embargo, el uso de unidades naturales da lugar a calculos y expresiones

mas sencillas, lo cual supone una gran ventaja.

Es interesante recordar que en el Sistema Internacional las cantidades se expresan en

funcion de dimensiones fundamentales, que son masa (M), longitud, (L), y tiempo, (T).

Esto es diferente en el caso de tomar unidades naturales, en las cuales las dimensiones

fundamentales son masa, (M), accion (A) y velocidad, (V). Ademas se escoge ~ como

unidad de accion y c como la unidad de velocidad. Esto permite transformar expresiones

del Sistema Internacional al sistema de unidades naturales u. n. imponiendo ~ = c = 1,

ademas en el sistema u.n se pueden expresar todas las dimensiones en funcion de la masa,

puesto que L = T = M−1.

A continuacion, se analizan las dimensiones de los campos libres ademas de las cantidades

que aparecen en la accion S en la electrodinamica cuantica en (d+ 1) dimensiones.

En general, la accion integral se escribe como:

S =

∫dd+1L, (2.19)

13


donde en la expresion anterior L es la densidad Lagrangiana empleada en las ecuaciones

(2.1), (2.2) y (2.6). Las dimensiones de los campos se obtienen a partir del termino cinetico,

quedando de esta forma fijadas las dimensiones de las constantes de acoplamiento. Los

resultados que se obtienen pueden resumirse en la siguiente tabla,

Cantidad S. I. u.n.

Accion S ML2T−1 1

Densidad Lagrangiana L ML2−dT−2 Md+1

Campo Electromagnetico Aµ(x) M12 L2− d

2 T−1 Md−12

Campos de Dirac ψ(x) y ψ(x) L−d2 M

d2

Carga electrica e M12 L

d2 T−1 M

3−d2

Masa del electron m M M

(2.20)

Una vez realizado el analisis anterior, es interesante estudiar como afecta el uso de unidades

naturales a la constante de estructura fina en electrodinamica cuantica bidimensional.

Para ello comenzamos recordando que en el caso tridimensional, es decir, en el que d = 3,

la carga del electron al cuadrado tiene dimensiones [e2] = ML3T−2 = [~c], dado que la

fuerza de Coulomb es proporcional ae2

r2. La constante de estructura fina en dicho caso es

en el sistema S. I.

α =e2

4π~c, (2.21)

que en unidades naturales queda reducida a:

α =e2

4π, (2.22)

A partir de estos resultados es interesante observar que la constante de estructura fina en

el caso tridimensional se trata de una constante sin dimensiones, dado que e2 es adimen-

sional, lo que implica que es un buen parametro para el tratamiento de la electrodinamica

cuantica en teorıa de perturbaciones.

El analisis realizado para la constante de estructura fina en el espacio tridimensional, puede

llevarse a cabo en un espacio de dos dimensiones, sin embargo, los resultados obtenidos

son diferentes.

El motivo principal de las diferencias nombradas es que en el plano, es decir, para d = 2

la carga electrica no es adimensional, puesto que [e2] = ML2T−2 en el S. I. y [e2] = M en

u. n., ya que la fuerza de Coulomb en el plano es proporcional ae2

r.

Para definir la constante de estructura fina en (2+1) dimensiones se tiene en cuenta que

14


en el plano, el producto de e2 por la longitud Compton es adimensional en unidades

naturales, es decir,

[e2 ~mc

]= ML3T−2 en S. I., y

[e2 1

m

]= 1 en unidades naturales, ası

es adecuado escribir:

α =e2

4πmc2, (2.23)

en S. I. mientras que en unidades naturales:

α =e2

4πm, (2.24)

Por tanto, la constante de estructura fina en electrodinamica cuantica bidimensional es

inversamente proporcional a la masa m.

Se realiza a continuacion una comparacion con distintos sistemas de unidades empleados

en electromagnetismo, con el objetivo de aclarar el resultado obtenido. En las expresiones

anteriores se ha tomado el sistema racionalizado de Lorentz-Heaviside, caracterizado por

los factores 4π que en lugar de aparecer en las ecuaciones de Maxwell aparecen en las

ecuaciones de la fuerza, ademas la constante dielectrica del vacıo se toma igual a uno.

En las unidades racionalizadas del S. I. la constante de estructura fina queda definida

como,

α =e2

4πε0~c(d = 3) o α =

e2

4πa0mc2(d = 2) (2.25)

Donde se define a0 = ε0~mc

, es decir, la permitividad del vacıo por la longitud Compton,

que es la longitud fundamental del sistema. En dicho caso,

α =e2

4πε0~c≡ e2

4πa0mc2≈ 1

137,04, (2.26)

como vemos las cargas racionalizadase2

ε0ye2

a0

tienen diferentes dimensiones.

2.3. Teorıa de perturbaciones y elemento de matriz

en (2+1) dimensiones

Si se considera el hamiltoniano del sistema de estudio, H, se puede estudiar por separado

el hamiltoniano libre, que se escribe como H0 y el hamiltoniano de interaccion, HI .

Si se consideran los resultados anteriores, en los que se ha obtenido que la constante

15


de acoplamiento α es suficientemente pequena α ≈ 1

137,04, es adecuado considerar un

tratamiento perturbativo del hamiltoniano de interaccion.

En la imagen de interaccion, la expansion de la matriz S es:

S =∞∑n=0

(−i)n

n!

∫· · ·∫d3x1d

3x2 · · · d3xnT HI (x1)HI (x2) · · ·HI (xn) . (2.27)

Donde T indica que se ha tomado el producto ordenado temporalmente y HI es la

densidad hamiltoniana de interaccion, cuya expresion es,

HI(x) = −LI(x) = −eN[ψ(x)γµAµ(x)ψ(x)

], (2.28)

proporcionando ası la informacion necesaria para construir el vertice basico de la teorıa.

Para la transicion del estado inicial, |i〉, al estado final, |f〉, |i〉 → |f〉, el elemento de

matriz S viene dado por:

〈f |S|i〉 = δfi +

[(2π)3δ(3) (Pf − Pi)

∏ext.

( m

AE

)1/2∏ext.

(1

2Aω

)1/2]M (2.29)

Donde los trimomentos totales de los estados inicial y final se escriben como Pi y Pf , A

representa el area de un cuadrado que es grande pero finita, A = L2, E y ω son las energıas

que corresponden a cada uno de los fermiones y fotones externos respectivamente, y Mes la denominada amplitud de Feynman tal que:

M =∞∑n=1

M(n), (2.30)

donde la contribucion al n-esimo orden en teorıa de perturbaciones, para cada diagrama

topologicamente diferente se obtiene a partir de las reglas de Feynman [16].

2.4. Reglas de Feynman en (2+1) dimensiones

En el electrodinamica cuantica en (2+1) dimensiones las reglas de Feymann son las si-

guientes [17], [16],

1. Se asigna a cada vertice un factor ieγµ.

2. A cada lınea interna del foton de tri-momento k y masa nula, k2 = 0, se asigna el

16


propagador del foton ,

iD′′′F (k) = i

[−gµν

k2 + iε+ξ − 1

ξ

kµkν

(k2 + iε)2

], (2.31)

3. A cada lınea fermionica interna de tri-momento p se le asigna el propagador del

fermion:

iSF (p) = i1

γµpµ −m+ iε(2.32)

4. Por cada lınea externa de:

Electron inicial: us(~p)

Electron final: us(~p)

Positron inicial: vs(~p)

Positron final: vs(~p)

Foton inicial y final: εαr (~k), respectivamente:

Los electrones y positrones, iniciales y finales, tienen asociado un espinor de dos

componentes, sin embargo, en el caso bidimensional no hay libertad de espın, lo que

implica tanto r como s toman el valor 1 siempre.

5. Las matrices gamma asociadas a los vertices y las funciones SF , que provienen de

las lıneas internas asociadas a la propagacion de fermiones, son matrices 2× 2.

6. Por cada loop de fermiones se asigna un (-1) y se toma la traza.

17


7. Para cada trimomento q no definido mediante la conservacion de energıa-momento

aparece un factor:

1

(2π)3

∫d3q (2.33)

8. Se anade un factor δp = ±1 segun sea par o impar respectivamente el numero de

intercambios fermionicos para tomar orden normal.

18

Capıtulo 3

Algunos procesos de scattering al

orden mas bajo

En el capıtulo anterior se han obtenido las reglas de Feynman para calcular el elemen-

to de matriz Sfi en cualquier proceso de colision en electrodinamica cuantica. En este

capıtulo, a partir de dichos resultados, se calcula la longitud eficaz diferencial para el caso

bidimensional y se aplica a los casos particulares del scattering Møller y del scattering

Compton. Los resultados se compararan con los obtenidos para los mismos procesos en

(3+1)-dimensiones.

3.1. Longitud eficaz diferencial

Comenzamos considerando un proceso de scattering en el cual dos partıculas iniciales, que

pueden ser fotones o leptones, con trimomento pi = (Ei, ~pi) para i = 1, 2 colisionan y dan

lugar a N partıculas finales con momentos p′f = (E ′f , ~p′f ) para f = 1, ..., N . Suponemos

ademas que las partıculas iniciales y finales estan en estados de polarizacion definida. De

esta forma es posible escribir la ecuacion (2.29) como:

Sfi =δfi + (2π)3δ(3)(∑

p′f −∑

pi

)∏i

(1

2AEi

)1/2

×∏f

(1

2AE ′f

)1/2∏l

(2ml)1/2M.

(3.1)

DondeM es la amplitud de Feymann para el proceso y el ındice l indica todos los leptones

externos.

En el caso de estudiar el caso de T y A finitos, el resultado (3.1) permanece igual reem-

19

CAPITULO 3. ALGUNOS PROCESOS DE SCATTERING AL ORDEN MAS BAJO

plazando

(2π)3δ(3)(∑

p′f −∑

pi

)= δTA

(∑p′f −

∑pi

). (3.2)

Para obtener la longitud eficaz, es util considerar T y A finitos, de manera que la proba-

bilidad de transicion por unidad de tiempo,

w =|Sfi|2

T, (3.3)

involucra un factor

[δTA

(∑p′f −

∑pi

)]2

= TA(2π)3δ(3)(∑

p′f −∑

pi

). (3.4)

De esta forma se escribe la ecuacion (3.3) como:

w = A(2π)3δ(3)(∑

p′f −∑

pi

)(∏i

1

2AEi

)(∏f

1

2AE ′f

)(∏l

(2ml)

)|M|2. (3.5)

Este resultado proporciona la probabilidad de transicion a un determinado estado final.

Para generalizar el resultado a un grupo de estados finales cuyos momentos se encuentren

en el intervalo (~p′f , ~p′f + d~p′f ) con f = 1, . . . , N, es necesario multiplicar w por el numero

de estos estados, es decir,

∏f

Ad2~p′f(2π)2

. (3.6)

La longitud eficaz diferencial se define como la probabilidad de transicion del estado inicial

al final por unidad de tiempo, por unidad de flujo incidente y por centro de scattering

para los estados finales en el intervalo (~p′f , ~p′f + d~p′f ). En el caso que se estudia el flujo

incidente es vrel/A, siendo vrel la velocidad relativa de las partıculas que colisionan. Por

tanto, la longitud eficaz diferencial puede expresarse como:

dλ = wA

vrel

∏f

Ad2~p′f(2π)2

= (2π)3δ(3)(∑

p′f −∑

pi

) 1

4E1E2vrel

(∏l

(2ml)

)(∏f

d2~p′f(2π)22E ′f

)|M|2,

(3.7)

20


donde se ha considerado ademas el lımite temporal tendiendo a infinito, T → ∞, y un

area infinita, A→∞.

La velocidad relativa vrel viene dada por vrel =

∣∣∣∣ ~p1

E1

− ~p2

E2

∣∣∣∣, que es interesante particulari-

zar para el sistema centro de masas (CoM) y para el sistema laboratorio (Lab), ası:

vrel =|~p1|E1

+|~p2|E2

= |~p1|E1 + E2

E1E2

, (3.8)

en el sistema centro de masas, en el cual se tiene que ~p1 = −~p2. Ademas,

vrel =|~p1|E1

, (3.9)

en el sistema laboratorio, en el cual se considera que la partıcula objetivo, en este caso la

partıcula 2, se encuentra en reposo, ~p2 = 0.

Se considera el caso mas habitual en electrodinamica cuantica, en el que se tienen dos

partıculas en el estado inicial y tambien dos partıculas en el estado final, de tal forma que

integrando la ecuacion (3.7) en ~p2 y |~p1|, se obtiene para la longitud eficaz diferencial la

expresion:

(dλ

dθ′1

)=

1

32πE1E2E ′1E′2vrel

|~p′1|(∂(E′1+E′2)∂|~p′1|

)∏l

(2ml) |M|2 (3.10)

Luego es posible obtener facilmente la expresion anterior para el sistema centro de ma-

sas:

(dλ

dθ′1

)CoM

=1

32π (E1 + E2)2

1

|~p1|∏l

(2ml) |M|2 (3.11)

3.2. Suma en el espın y las polarizaciones en (2+1)

dimensiones

En electrodinamica cuantica en (3+1) dimensiones, para obtener la correspondiente sec-

cion eficaz no polarizada, es necesario promediar |M|2 sobre todos los estados de polariza-

cion o de espın, segun se consideren fermiones o fotones, iniciales y sumar este sobre todos

los estados de polarizacion o de espın finales. Por el contrario, en electrodinamica cuantica

en (2+1) dimensiones no hay grados de libertad de espın para el fermion y unicamente

hay una polarizacion transversal para el foton. En consecuencia, la longitud eficaz esta

21


siempre polarizada y no es necesario promediar y sumar sobre los estados de polarizacion

como en (3+1)-dimensiones. Sin embargo, el modulo al cuadrado de la amplitud de Feyn-

man |M|2 se puede expresar en funcion de las trazas de las matrices gamma y se puede

simplificar utilizando la invariancia gauge del campo electromagnetico.

En particular, en los siguientes apartados se tratan los procesos de scattering Møller y

scattering Compton, se considera en primer lugar una amplitud de Feyman de la for-

ma:

M = u (~p′) Γu(~p), (3.12)

ademas, se define Γ como:

Γ ≡ γ0Γ†γ0, (3.13)

donde el operador Γ es una matriz 2× 2 formada por matrices γ.

Por tanto, es posible escribir |M|2 como:

|M |2 = uα(~p)Γαβuβ(~p)uσ(~p)Γσρuρ(~p). (3.14)

Si se introduce a continuacion el proyector de energıa positiva,

Λ+αβ(~p) =

(/p+m

2m

)αβ

= uα(~p)uβ(~p), (3.15)

es adecuado escribir:

|M|2 = Λ+ρα(~p′)ΓαβΛ+

βσ(~p)Γσρ = Tr

[γµp′µ +m

2mΓγνpν +m

2mΓ

](3.16)

En el caso de considerar amplitudes de Feynman con espinores de antipartıcula, el proceso

es analogo empleando proyectores de energıa negativa.

Λ−αβ(~p) = −(/p−m

2m

)αβ

= −vα(~p)vβ(~p), (3.17)

Por otra parte, para cualquier proceso que involucre fotones externos, la amplitud de

Feynman, M, es:

22


M = εαr1

(~k1

)εβr2

(~k2

). . .Mαβ...

(~k1, ~k2, . . .

), (3.18)

con un vector de polarizacion ε(~k) para cada foton externo y el tensor de amplitud

Mαβ(~k1, ~k2 . . .) independiente de dichos estados de polarizacion.

La invarianza de (3.18) bajo transformaciones gauge implica que debe verificarse,

kα1Mαβ...

(~k1, ~k2, . . .

)= kβ2Mαβ...

(~k1, ~k2, . . .

)= · · · = 0. (3.19)

La expresion anterior resulta de utilidad en el siguiente caso, en el cual se considera un

proceso con un unico foton externo, ası:

M = εα1 (~k)Mα(~k), (3.20)

junto a la ecuacion (3.19), que en esta ocasion queda reducida a

kαMa(~k) = 0. (3.21)

Considerando ademas la relacion:

εα1 (~k)εβ1 (~k) = −gαβ − 1

(kn)2

[kαkβ − (kn)

(kαnβ + kβnα

)], (3.22)

se obtiene

|M|2 = εα1 (~k)Mα(~k)εβ1 (~k)M∗β(~k) = −Mα(~k)M∗

α(~k). (3.23)

3.3. Scattering Møller en (2+1) dimensiones

En el scattering Møller se tienen dos electrones en el estado inicial y dos en el estado final,

que puede representarse mediante la transicion:

|i〉 = c† (~p2) c† (~p1) |0〉 −→ |f〉 = c† (~p′2) c† (~p′1) |0〉, (3.24)

donde el elemento de matriz al orden mas bajo en teorıa de perturbaciones es:

23


Figura 3.1: Contribuciones de Ma y Mb al scattering Møller [16].

〈f |S(2)(e−e− −→ e−e−) |i〉 =

=

[(2π)3δ(3) (p′1 + p′2 − p1 − p2)

∏ext

(m

AE~p

)1/2]

(Ma +Mb)(3.25)

En la expresion anterior A corresponde al area finita considerada para normalizar las

soluciones de partıcula libre de la ecuacion de Dirac en el plano. Ademas, Ma y Mb son

las amplitudes de Feynman para los dos diagramas topologicamente diferentes, como se

representa en la figura 3.1.

Las amplitudes de Feynman en el caso estudiado son:

Ma = −e2u(~p′1)γαu(~p1)iDFαβ(k = p2 − p′2)u(~p′2)γβu(~p2)

Mb = e2u(~p′2)γαu(~p1)iDFαβ(k = p2 − p′1)u(~p′1)γβu(~p2).(3.26)

Ambas amplitudes difieren en un signo al igual que en (3+1) dimensiones dado que se

trata del intercambio de partıculas fermionicas de espın1

2. En las expresiones anteriores

ademas p1 y p2 son los trimomentos de los electrones iniciales, p′1 y p′2 los de los electrones

finales y DFαβ(k) es el propagador del foton en el gauge de Feymann, que se escribe en

cada caso como:

24


DFαβ(k = p2 − p′2) =−gαβ

(p2 − p′2)2

DFαβ(k = p2 − p′1) =−gαβ

(p2 − p′1)2.

(3.27)

Recordemos que la longitud eficaz diferencial en el sistema centro de masas es segun la

ecuacion (3.11):

(dλ

dθ1

)CoM

=1

32π(E1 + E2)2· 1

|~p1|∏l

(2ml)|M|2, (3.28)

donde |M|2 puede calcularse ahora como:

|M|2 = Xaa +Xbb +Xab +Xba =

=MaM∗a +MbM∗

b +MaM∗b +MbM∗

a.(3.29)

Cada uno de estos terminos puede obtenerse como:

Xaa =e4

(2m)4(p2 − p′2)4Tr[(/p′2

+m)γβ(/p1+m)γα

]Tr[(/p′1

+m)γβ(/p2+m)γα

]Xab =

−e4

(2m)4(p2 − p′2)2(p2 − p′1)Tr[(/p′1

+m)γβ(/p1+m)γα(/p

′2

+m)γβ(/p1+m)γα

],

(3.30)

mientras que Xbb y Xba pueden obtenerse a partir de Xaa y Xab respectivamente intercam-

biando p′1 ←→ p′2. Es importante senalar que el uso de las identidades de contraccion de

las matrices de gamma, las cuales se exponen en el Apendice B, simplifica notablemente

el calculo de las trazas, de esta forma se obtienen:

Xaa =e4

16m4(p2 − p′2)4[2(p1p2)(p′1p

′2)− (p1p

′1)(p2p

′2) + 2(p1p

′2)(p2p

′1)+

+ 2m2((p2p′1) + (p1p

′2)− 3(p′1p

′2)− 3(p1p2))−m2((p1p

′2) + (p2p

′2)) + 3m4],

(3.31)

Xab =−e4

16m4(p2 − p′2)2(p2 − p′1)2[−10(p1p2)(p′1p

′2) + 2(p1p

′1)(p2p

′2) + 2(p2p

′1)(p1p

′2)

+ 2m2((p1p′1) + (p2p

′1) + (p1p

′2) + (p2p

′2) + 5(p′1p

′2) + 5(p1p2))− 6m4−

− 6im(εµσνp′1µp1νp′2σ + εµτνp′1µp1νp2τ + εµτσp′1µp

′2σp2τ + εντσp1νp

′2σp2τ )].

(3.32)

25


Figura 3.2: Cinematica del proceso 2e− −→ 2e− en el sistema centro de masas [16].

Un resultado interesante que difiere de lo obtenido en (3+1) dimensiones es que aparecen

terminos proporcionales al tensor totalmente antisimetrico como consecuencia de que

la traza de un numero impar de matrices gamma en (2+1) dimensiones es distinta de

cero.

Ademas, recordando que Xab = X∗ba, es interesante escribir,

Xab +Xba =−e4

16m4(p2 − p′2)2(p2 − p′1)2[−20(p1p2)(p′1p

′2) + 4(p1p

′1)(p2p

′2) + 4(p2p

′1)(p1p

′2)

+ 4m2((p1p′1) + (p2p

′1) + (p1p

′2) + (p2p

′2) + 5(p′1p

′2) + 5(p1p2))− 12m4].

(3.33)

Si nos situamos en el sistema centro de masas, tal como se representa en la figura 3.2, los

factores cinematicos son:

p1p′1 = p2p

′2 = E2 − p2 cos θ

p1p′2 = p2p

′1 = E2 + p2 cos θ

p1p2p′1p′2 = E2 + p2,

(3.34)

donde p = |~p| = |~p′|, ~p · ~p′ = p2 cos θ y E2 = p2 + m2, de manera que es posible escribir

tambien,

(p2 − p′2)2 = −4p2 sin2 θ/2

(p2 − p′1)2 = −4p2 cos2 θ/2(3.35)

26


El resultado de emplear estos factores cinematicos se muestra en las siguientes expresio-

nes,

Xaa =e4

16m4p4 sin4 θ/2

[p4(1 + cos2 θ/2)2 + 2m2p2(3 cos2 θ/2− 1) +m4

]Xbb =

e4

16m4p4 cos4 θ/2

[p4(1 + sin2 θ/2)2 + 2m2p2(3 sin2 θ/2− 1) +m4

]Xab +Xba =

−e4

8m4p4 sin θ/2 cos2 θ/2

[−p4(cos2 θ/2 sin2 θ/2 + 2) +m2p2 +m4

](3.36)

De manera que la longitud eficaz diferencial en el sistema de referencia centro de masas

puede obtenerse de:

(dλ

dθ′1

)CoM

=1

32π (E1 + E2)2

1

|~p1|∏l

(2ml) |M|2, (3.37)

que en el caso tratado puede escribirse como:

(dλ

dθ′1

)CoM

=m4

8πpE2|M|2. (3.38)

Si se introduce ademas la constante de estructura fina en el plano, α =e2

4πm, la longitud

eficaz diferencial para el scattering Møller es finalmente:

(dλ

dθ′1

)=α2m2π

8E2p5

[p4(1 + cos2 θ/2)2 + 2m2p2(3 cos2 θ/2− 1) +m4

sin4 θ/2

+p4(1 + sin2 θ/2)2 + 2m2p2(3 sin2 θ/2− 1) +m4

cos4 θ/2

+2(p4(sin2 θ/2 cos2 θ/2 + 2)−m2p2 −m4)

sin2 θ/2 cos2 θ/2

] (3.39)

Si se realiza un analisis dimensional se obtiene que

[dλ

dθ

]= M−1 = L en el sistema de

unidades naturales. Es decir, el resultado es una longitud eficaz en lugar de una seccion

eficaz como serıa el caso de (3+1)-dimensiones.

Ademas, resulta interesante estudiar los lımites ultrarelativista y no relativista que se

derivan de la expresion anterior.

Para obtener el lımite ultrarelativista, UR., se aproxima E ' p y se desprecian los termi-

nos proporcionales a la masa en el corchete a partir de m2. El resultado obtenido es el

27


siguiente:

(dλ

dθ′1

)CoM,UR

∼=α2m2π

(2E)3

[(1 + cos2 θ/2)2

sin4 θ/2+

(1 + sin2 θ/2)2

cos4 θ/2+

2(sin2 θ/2 cos2 θ/2 + 2)

sin2 θ/2 cos2 θ/2

](3.40)

Ademas el lımite no relativista, N.R., puede calcularse aproximando E ' m y empleando

β =p

m 1, dando lugar al siguiente resultado:

(dλ

dθ′1

)CoM,NR

∼=α2π

8mβ5

[1

sin4 θ/2+

1

cos4 θ/2− 2

sin2 θ/2 cos2 θ/2

], (3.41)

Los resultados obtenidos pueden compararse ademas con los que se derivan del estudio

de este proceso de scattering en QED en (3+1) dimensiones, en dicho caso se tiene que

[18]:

(dσ

dΩ

)CoM

=α2 (2E2 −m2)

2

4E2(E2 −m2)2

[4

sin4 θ/2− 3

sin2 θ/2+

(E2 −m2)2

(2E2 −m2)2

(1 +

4

sin2 θ

)].

(3.42)

El lımite ultrarelativista es ahora, tomando de forma equivalente al caso en (2+1) dimen-

siones E ' p:

(dσ

dΩ

)CoM,UR.

≈ α2

4E2

(1

sin4 θ/2+

1

cos4 θ/2+ 1

), (3.43)

mientras que en lımite no relativista el resultado es:

(dσ

dΩ

)CoM,N.R.

≈( αm

)2 1

16β4

(1

sin4 θ/2+

1

cos4 θ/2− 1

sin2 θ/2 cos2 θ/2

)(3.44)

Con β de forma similar al analisis anterior en (2+1) dimensiones es la velocidad de uno

de los electrones en unidades de c.

Ası, se comprueba que entre el scattering Møller en (2+1) dimensiones y en (3+1) dimen-

siones hay diferencias, sin embargo, la estructura general de los resultados es similar.

En la aproximacion no relativista, para ambos casos, los dos ultimos terminos tienen su

origen en el intercambio de electrones y fueron obtenidos por Mott [19], por el contrario el

primer termino representa el resultado obtenido para el scattering Rutherford, que se trata

de la colision elastica de partıculas con carga cuya interaccion es Coulombiana [20].

28


Otra similaridad entre la longitud y la seccion eficaz es que no distingue entre scattering

hacia delante, en el cual θ > π/2 y scattering hacia detras, en el que θ < π/2.

Por ultimo, en el caso del lımite ultrarrelativista, el comportamiento de la longitud efi-

caz diferencial y la seccion eficaz diferencial dependiendo de la energıa es similar, sin

embargo, para energıas cada vez mayores la longitud eficaz diferencial decae mas rapido

que la seccion eficaz, dado que sus dependencias en energıa son respectivamente 1/E3 y

1/E2.

3.4. Scattering Compton en (2+1) dimensiones

En el scattering Compton se tienen un electron y un foton en el estado inicial y final:

|i〉 = c†(~p)b†(~k)|0〉 −→ |f〉 = c† (~p′) b†(−→k ′)|0〉, (3.45)

donde el elemento de matriz a orden mas bajo en teorıa de perturbaciones es:

〈f |S(2)(e−γ −→ e−γ) |i〉 =

(2π)3δ(3) (p′ + k′ − p− k)∏ext

(m

AE~p

)1/2∏ext

(1

2Aω~k

)1/2

(Ma +Mb)(3.46)

Donde al igual que en el caso anterior, A es el area grande pero finita empleada para

normalizar las soluciones de partıcula libre de la ecuacion de Dirac en el plano. Ma

y Mb nuevamente corresponden a las amplitudes de Feynman, dado que el scattering

Compton presenta dos contribuciones a la amplitud total, representadas por los diagramas

de Feynman de la figura 3.3.

Las amplitudes de Feynman para este proceso pueden escribirse como:

Ma = −e2u(−→p ′)γαεα(−→k ′)iSF (p+ k)γβεβ(~k)u(~p)

Mb = −e2u(−→p′ )γαεα(~k)iSF (p− k′) γβεβ(

−→k′ )u(~p),

(3.47)

donde SF es el propagador del fermion, que en cada caso es:

SF (p+ k) =/p+ /k +m

(p+ k)2 −m2

SF (p− k) =/p− /k −m

(p− k)2 −m2

(3.48)

29


Figura 3.3: Contribuciones de Ma y Mb al scattering Compton [16].

Figura 3.4: Scattering Compton en el sistema laboratorio [21].

Si se considera el caso en el que el foton incide sobre la partıcula en reposo en el sistema

laboratorio, tal como se muestra en la figura 3.4, se tiene que p = (m, 0, 0) y empleando

la conservacion del trimomento se verifica ~p′ = ~k − ~k′. Ademas es interesante comprobar

que la velocidad relativa en este caso es igual a la unidad, puesto que se considera vrel =

|~k|/ω = 1.

Otro resultado que es interesante obtener a partir de la ley de conservacion energıa-

momento es el cambio de energıa del foton ademas de la energıa de retroceso del electron,

los cuales, teniendo en cuenta que θ es el angulo de scattering son:

ω′ =mω

m+ ω(1− cos θ)(3.49)

y

E ′ =√m2 + ω2 + ω′2 − 2ωω′ cos θ. (3.50)

Una consecuencia de estos resultados, es que el valor obtenido no difiere de los resultados

que se obtienen en el caso de QED en (3+1) dimensiones, como puede comprobarse en

30


[16].

El siguiente paso es obtener la longitud eficaz diferencial para este caso en particular.

Para ello se emplea el resultado obtenido anteriormente, ecuacion (3.10),

(dλ

dθ

)Lab

=1

32πE1E2E ′1E′2vrel

|~p′1|(∂(E′1+E′2)∂|~p′1|

)∏l

(2ml) |M|2, (3.51)

de forma que en el sistema laboratorio se obtiene:

(dλ

dθ

)Lab

=1

8πω

(ω′

ω

)|M|2, (3.52)

donde |M|2 se desarrolla como:

|M|2 = Xaa +Xbb +Xab +Xba =

=MaM∗a +MbM∗

b +MaM∗b +MbM∗

a.(3.53)

Cada uno de los terminos en (3.53) se calcula como:

Xaa =e4

16m2(pk)2Tr[γβ (γµ(p+ k)µ +m) γα (γνpν +m) γα (γρ(p+ k)ρ +m) γβ

(γλp′λ +m

)],

(3.54)

Xab =−e4

16m2(pk) (pk′)Tr[γβ (γµ(p+ k)µ +m) γα (γνpν +m) γβ(γρ (p− k′)ρ +m) γα

(γλp′λ +m

)],

(3.55)

mientras que Xbb y Xba pueden obtenerse a partir de las expresiones anteriores intercam-

biando k ←→ −k′ y ε ←→ −ε′. Si se desarrollan cada una de las trazas, el resultado

es:

Xaa = e4

4m2(pk)2[4m4 + 4m2(pk) + (pk) (pk′)]

Xab = − e4

4m2(pk)(pk′)

[4m4 + 2m2 (pk − pk′)− (pk) (pk′) + i6mεµνλpµkνk

′λ

],

(3.56)

donde nuevamente se puede calcular recordando que Xab = X∗ba :

31


Xab +Xba =e4

2m2(pk) (pk′)

[4m4 + 2m2 (pk − pk′)− (pk) (pk′)

](3.57)

Por ultimo, para escribir la longitud eficaz diferencial para el scattering Compton, utili-

zaremos el sistema laboratorio, en el que pk = mω y pk′ = mω′, con lo cual el resultado

es:

(dλ

dθ

)Lab

=α2π

2ω

(ω′

ω

)ω

ω′+ω′

ω+ 4 cos2 θ − 2

. (3.58)

Donde se ha utilizado la constante de estructura fina definida en (2.24).

Es interesante ademas escribir tanto la longitud eficaz como la seccion eficaz diferencial

del caso en (3+1)-dimensiones en funcion de un parametro γ que se define como γ = ω/m,

y es la razon entre la frecuencia del foton incidente y la masa en reposo del positron [17],

de esta forma se obtiene:

(dλ

dθ

)Lab

=lT

4πγ

1

(1 + γ(1− cos θ))

[1

(1 + γ(1− cos θ))+ γ(1− cos θ) + 4 cos2 θ − 1

],

(3.59)

donde ademas se emplea la constante, con dimensiones de longitud, lT = (2π2α)r0, donde

r0 =α

m. La seccion eficaz diferencial es, empleando estas definiciones:

(dσ

dΩ

)Lab

=r2

0

2

1

(1 + γ(1− cos θ))2

[1

(1 + γ(1− cos θ))+ γ(1− cos θ) + cos2 θ

]. (3.60)

A continuacion, para ambos resultados, puede obtenerse el lımite no relativista, en el cual

ω << m y ω′ ≈ ω, o de forma equivalente γ << 1:

(dσ

dΩ

)Lab,N.R.

=r2

0

2

(1 + cos2 θ

), (3.61)

(dλ

dθ

)Lab,N.R.

=2πα2

ωcos2 θ ≡ lT

πγcos2 θ. (3.62)

La ecuacion (3.61) es conocida como la formula de Thomson. De forma analoga se de

denomina a la ecuacion (3.62) como formula de Thomson en el plano. Sin embargo, la

ecuacion (3.62) a diferencia de la ecuacion de Thomson estandar, depende de la energıa

del foton incidente y diverge cuando γ −→ 0.

32


De forma comun a la longitud eficaz diferencial y a la seccion eficaz diferencial se tiene

que no es posible diferenciar entre scattering Compton hacia delante o hacia atras debido

a la simetrıa de ambas ecuaciones.

Otra aproximacion de interes es la ultrarrelativista, en la cual ω >> m. Si ω(1−cos θ) <<

m, en este regimen a angulos de scattering muy pequenos, ω ≈ ω′ y se obtiene:

(dλ

dθ

)Lab,UR.

≈ lTπγ

cos2 θ, (3.63)

(dσ

dΩ

)Lab,UR.

≈ r20

2

(1 + cos2 θ

), (3.64)

En este caso, se comprueba que la longitud eficaz diferencial y la seccion eficaz diferencial

satisfacen las mismas formulas de Thomson que en el caso no relativista. Si por el contrario

se considera que ω(1 − cos θ) >> m, es decir, se tienen en cuenta angulos de scattering

muy grandes en el lımite ultrarrelativista, el resultado es:

(dλ

dθ

)Lab,UR.

≈ lT2πγ

(3.65)

(dσ

dΩ

)Lab,UR.

≈ r20

2

1

γ(1− cos θ). (3.66)

Con el resultado de una longitud eficaz diferencial independiente del angulo de scatte-

ring.

33

Capıtulo 4

Correcciones radiativas a un lazo.

Polarizacion del vacıo

4.1. Divergencias y renormalizacion. Grado superfi-

cial de divergencia

La aparicion de divergencias ultravioletas es uno de los problemas que surgen al realizar

calculos a un lazo en electrodinamica cuantica tanto en (3+1) como e otras dimensiones

espacio-temporales. En este contexto, el grado superficial de divergencia permite deter-

minar si un diagrama es divergente ultravioleta y cual es el grado superficial de dicha

divergencia de una forma sencilla [22].

En primer lugar comenzaremos introduciendo la siguiente notacion para caracterizar un

diagrama en QED, Consideraremos un espacio-tiempo generico de D = d + 1 dimensio-

nes:

Ne = numero de lıneas externas de electron.

Nγ = numero de lıneas externas de foton.

Pe = numero de propagadores del electron.

Pγ = numero de propagadores del foton.

V = numero de vertices.

L = numero de loops.

Se considera una teorıa general en la cual el Lagrangiano de interaccion es de la for-

ma:

34

CAPITULO 4. CORRECCIONES RADIATIVAS A UN LAZO. POLARIZACIONDEL VACIO

Lint = N [ψγµψAµ] (4.1)

La amplitud para un diagrama generico en QED para D dimensiones puede escribirse

como:

iM ∼∫

dDl1 . . . dDlL

(k21 . . . k

2Pγ

)(/p1−m) . . . (/pPe

−m)(4.2)

De forma que el grado superficial de divergencia puede definirse como:

Ds ≡ (Potencias del numerador)−(Potencias del denominador) = DL−Pe−2Pγ, (4.3)

que es posible reescribir en terminos del numero de lıneas externas y vertices. Para ello,

el numero de loops en un diagrama se escribe como:

L = Pe + Pγ − V + 1, (4.4)

ya que cada propagador nos da una integral en los momentos y cada vertice una conser-

vacion de la energıa y momento, ademas de la conservacion del D-momento total.

Otro aspecto a senalar es, teniendo en cuenta la expresion de la densidad Lagrangiana de

interaccion empleada, como se expresa el numero de vertices en funcion del numero de

lıneas externas y de propagadores. De esta forma,

V = 2Pγ +Nγ =1

2(2Pe +Ne) (4.5)

Luego el grado superficial de divergencia puede hallarse como:

Ds ≡ DL− Pe − 2Pγ = D +

(D − 4

2

)V −

(D − 2

2

)Nγ −

(D − 1

2

)Ne. (4.6)

Es facil comprobar que en un espacio-tiempo tetradimensional, la expresion para el grado

superficial de divergencia no depende del numero de vertices, dado que la expresion final

para D = 4 es:

Ds = 4− (Nγ +3

2Ne). (4.7)

35


Sin embargo, para un espacio tiempo tridimensional, que es el que estudiamos en este

trabajo, el grado superficial de divergencia es:

Ds = 3− V

2− (

Nγ

2+Ne), (4.8)

es decir, la divergencia disminuye con el numero de vertices y solo hay un numero finito

de divergencias.

Es interesante identificar que diagramas son primitivamente divergentes en electrodinami-

ca cuantica bidimensional y compararlos con el caso mas estandar de la electrodinamica

en el que se tienen tres dimensiones espaciales, por tanto, buscando aquellos diagramas

que satisfacen Ds ≥ 0, puede encontrarse la siguiente clasificacion que puede verse en la

tabla 4.1.

Comparacion de divergencias ultravioletas

Diagrama (Ne, Nγ, V ) Ds en QED2+1 Ds en QED3+1

Autoenergıa del foton (0, 2, 2) 1 2

Autoenergıa del electron (2, 0, 2) 0 1

Correccion al vertice (2, 1, 3) -1 0

Tabla 4.1: Comparacion de divergencias ultravioletas en QED2+1 y QED3+1.

Ademas el diagrama con tres fotones externos resulta convergente en ambos casos me-

diante el teorema de Furry y el scattering luz-luz, que es convergente en QED3+1 por

invariancia gauge, es directamente convergente en QED2+1 ya que Ds = (−1) en ese

caso.

Se comprueba ası que el grado superficial de divergencias ultravioleta disminuye en una

unidad al pasar de QED3+1 a QED2+1.

De forma analoga, para dimensiones espaciales mayores a tres los diagramas con mas

vertices tienen un mayor grado superficial de divergencia, de forma que cualquier amplitud

es divergente a un orden suficientemente alto en teorıa de perturbaciones.

Teniendo esto en cuenta puede realizarse la siguiente clasificacion:

Teorıas super-renormalizables: solo hay un numero finito de diagramas de Feynman

divergentes.

Teorıas renormalizables: solo hay un numero finito de amplitudes divergentes, sin

36


embargo, aparecen diagramas divergentes en todos los ordenes de teorıa de pertur-

baciones.

Teorıas no renormalizables: todas las amplitudes son divergentes a un orden sufi-

cientemente alto en teorıa de perturbaciones.

Por tanto, la electrodinamica cuantica bidimensional es una teorıa super-renormalizable,

con un numero finito de diagramas divergentes, en comparacion con QED3+1, que es una

teorıa renormalizable.

A diferencia de las divergencias ultravioletas que como hemos visto disminuyen al pa-

sar de (3+1)-dimensiones a (2+1)-dimensiones, las divergencias infrarrojas, que aparecen

cuando los momentos que se integran son muy pequenos y estan asociados a la presen-

cia de partıculas de masa nula, como es el foton en (3+1)-dimensiones [23], aumentan al

disminuir la dimension espacial en la que planteamos la teorıa de campos que describe

la interaccion entre los fermiones cargados y los fotones. Sin embargo, como veremos en

(2+1)-dimensiones si los fermiones tienen masa en reposo no nula esto induce la aparicion

del termino de Chern-Simons en la accion que proporciona una masa al foton que controla

las divergencias infrarrojas.

4.2. Correciones radiativas a un loop en QED2+1

Los procesos que se han considerado hasta ahora han sido al orden mas bajo en teorıa

de perturbaciones. Para tratar ordenes mayores es necesario tener en cuenta correcciones

que se conocen como correcciones radiativas. Los terminos que hay que tratar involucran

en muchas ocasiones integrales divergentes que deben tratarse de manera adecuada, este

tratamiento implica tres pasos:

Regularizar: se modifica la teorıa con el objetivo de que sea finita y este bien

definida a todos los ordenes de la teorıa de perturbaciones.

Renormalizar: la masa y la carga del electron o positron que aparecen en la teorıa

son las del electron o positron desnudo, que no son conocidas. Por este motivo es

necesario encontrar la relacion entre dichas propiedades y las del electron o positron

fısico o vestido con la interaccion.

Volver de la teorıa regularizada a QED2+1: los infinitos originales de la teorıa

aparecen ahora unicamente en las relaciones entre las propiedades del electron des-

nudo y el fısico. Estas relaciones son inobservables. Por el contrario, las predicciones

observables de la teorıa, expresadas en funcion de la carga y la masa que se puede

medir de las partıculas, son finitas.

Aunque nos restringiremos a calculos a un loop, los pasos indicados se realizan en todos

37


Figura 4.1: Correcciones radiativas a las lıneas del foton (a) y del fermion (b) y al verticebasico (c) [16].

los ordenes en teorıa de perturbaciones, de manera que las correcciones pueden calcularse

con una precision muy alta. Las correcciones radiativas a un loop a primer orden en la

constante de estructura fina pueden hallarse al sumar todas las contribuciones que se

obtienen al realizar las sustituciones que se muestran en la figura 4.1.

4.3. Polarizacion del vacıo

Una vez descritas las correcciones radiativas a un loop en QED2+1, nos centraremos en

el estudio concreto de la polarizacion del vacıo en mayor profundidad. Las correcciones

debidas a la autoenergıa del foton estan asociadas al cambio representado en la figura

4.2.

Figura 4.2: Correccion radiativa a la lınea del foton [16].

38


De esta forma, teniendo en cuenta la sustitucion anterior, el propagador del foton se

modifica como:

iDFαβ(k)→ iDFαβ(k) + iDFαµ(k)ie20Πµν(k)iDFνβ(k), (4.9)

donde para determinar ie0Πµν , tendremos en cuenta el diagrama de la figura 4.1 (b). De

esta forma utilizando las reglas de Feynman para QED2+1, detalladas en el capıtulo 2 del

trabajo, se escribe:

M(2) = εµ(~k)ie20Πµν(k)εν(~k), (4.10)

para la cual,

ie0Πµν(k) = −(ie0)2

(2π)3Tr

[∫d3pγµiSF (p+ k)γνiSF (p)

], (4.11)

que teniendo en cuenta la expresion del propagador del foton se escribe como:

ie20Πµν(k) = − e2

0

(2π)3

∫d3p

Tr[γµ(/p+ /k +m

)γν(/p+m

)][(p+ k)2 −m2 + iε|] p2 −m2 + iε|

. (4.12)

Como habıamos determinado con el grado superficial de divergencia la integral que apa-

rece en ie0Πµν diverge linealmente para valores grandes de p. Es necesario, por tanto,

regularizar y a continuacion renormalizar.

4.3.1. Regularizacion de Pauli-Villars

Una vez se comprueba que la expresion (4.12) tiene una divergencia ultravioleta, es necesa-

rio introducir un metodo de regularizacion. El metodo que utilizaremos en este apartado se

conoce como metodo de Pauli-Villars y se caracteriza por mantener la invarianza Lorentz

y la invarianza gauge de la teorıa [24], [25].

Para obtener el tensor de polarizacion regularizado comenzamos teniendo en cuenta una

densidad Lagrangiana en la que se incluyen dos contribuciones correspondientes a elec-

trones ficticios, pesados, de masas M1 y M2:

LR = −1

4FµνF

µν + ψ [iγµ (∂µ − ie0Aµ)−m]ψ − ξ

2(∂µA

µ)(∂νAν)

− C1ψ1 [iγµ (∂µ − ie0Aµ)−M1]ψ1 − C2ψ2 [iγµ (∂µ − ie0Aµ)−M2]ψ2.(4.13)

En consecuencia el tensor de polarizacion regularizado puede expresarse como:

39


ΠµνR ≡ Πµν(k,m)−

2∑j=1

CjΠµν(k,Mj), (4.14)

donde para asegurar que la integracion en k sea convergente, las constantes Ci se esco-

gen:

C1 + C2 = 1

C1M21 + C2M

22 = m2.

(4.15)

En definitiva, la integral que debemos calcular es:

ie20Πµν

R (k) = − e20

(2π)3

∫d3p

[Tr[γµ(/p+ /k +m

)γν(/p+m

)][(p+ k)2 −m2 + iε|] p2 −m2 + iε|

− terminos reguladores

],

(4.16)

en ella los terminos reguladores corresponden a la misma expresion intercambiando m

por M1 y M2- Ademas utilizando las relaciones entre matrices gamma y el calculo de las

trazas en (2+1)-dimensiones desarrolladas en el apendice B, la traza puede reescribirse

como:

Tr[γµ(/p+ /k +m

)γν(/p+m

)]=

= (pµ + kµ)pν + (pν + kν)pµ − (p2 + kp−m2)gµν + imεµναkα.(4.17)

A continuacion, utilizaremos la representacion parametrica de Feynman, de forma que la

ecuacion (4.16) es ahora:

ie20Πµν

R (k) =− 2e20

∫ 1

0

dx

∫d3p

(2π)3

[(pµ + kµ)pν + (pν + kν)pµ − (p2 + kp−m2)gµν + imεµναkα

(p2 + (k2 + 2kp)x−m2)2 −

−terminos reguladores] .

(4.18)

Es posible ademas introducir el cambio de variable q = p+kx, ası eliminando los terminos

en q que originan integrales impares, se obtiene:

40


ie20Πµν

R (k) =−2e2

0

(2π)3

∫ 1

0

dx

∫d3q[

− q2

3gµν − 2kµkνx(1− x) + k2x(1− x)gµν +m2gµν + imεµναkα

(q2 + k2x(1− x)−m2)2

−terminos reguladores]

(4.19)

Para calcular la integral en el momento q, se puede realizar una rotacion al espacio

Euclıdeo conocida como rotacion de Wick, en la cual q0 = iq0. De esta manera la ecuacion

(4.19), donde hemos pasado a coordenadas polares en el espacio tridimensional Euclıdeo,

se escribe como:

ie20Πµν

R (k) =−ie2

0

π2

∫ 1

0

dx

∫ ∞0

q2dq[q2

3gµν + x(1− x) (−2kµkν + k2gµν) +m2gµν + imεµναkα

(−q2 + k2x(1− x)−m2)2


(4.20)

De forma general se pueden encontrar dos tipos de integrales a resolver:

La primera de ellas es:

∫ Λ

0

q4dq

(q2 + a2)2 = Λ +a2

2

Λ

(Λ2 + a2)− 3a

2arctan

Λ

a, (4.21)

donde a2 = m2 − x(1 − x)k2. Ademas se comprueba que aparece una divergencia lineal

para la teorıa cuando tomamos el lımite Λ −→∞. La segunda integral a resolver es:

∫ Λ

0

q2dq

(q2 + a2)2 = −1

2

Λ

(Λ2 + a2)+

1

2aarctan

Λ

a(4.22)

donde podemos ver que en el lımite Λ −→∞ no aparece ninguna divergencia

Los resultados que se han obtenido en el caso tridimensional pueden compararse con los

que se obtendrıan en cuatro dimensiones. Ası, en este ultimo caso aparecen dos diver-

gencias, una cuadratica y una logarıtmica [24], mientras que en tres dimensiones solo

aparece una divergencia lineal. Por tanto, se comprueba que las divergencias ultravioletas

caracterısticas de estas teorıas han disminuido en una unidad.

Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuacion (4.20) y teniendo en cuenta que

los coeficientes Cj satisfacen las condiciones (4.15) de forma que es posible eliminar la

41


divergencia lineal, se tiene la integral:

ie20Πµν

R (k) =−ie2

0

4π

∫ 1

0

dx

[2x(1− x) (k2gµν − kµkν) + imεµναkα

(m2 − k2x(1− x))1/2−


(4.23)

Realizando la integracion en x, el tensor de polarizacion regularizado es:

ΠµνR = (kµkν − gµνk2)ΠPV

R (k2) + iεµναkαΠPVR (k2), (4.24)

donde

ΠPVR

(k2)

= − 1

12πM+

1

2π

[(k2 + 4m2)

8k3ln

(2|m|+ k

2|m| − k

)− |m|

2k2

](4.25)

ΠPVR

(k2)

=im

8πM− m

4π

[1

kln

(2|m|+ k

2|m| − k

)](4.26)

Donde se ha tenido en cuenta que M21 y M2

2 son mucho mayores que m2, lo que permite

simplicar la expresion obtenida y se ha definido1

M=

C1

M1

+C2

M2

. De esta forma se tiene

el tensor de polarizacion del vacıo regularizado.

Si tenemos en cuenta el lımite M m las expresiones (4.25) y (4.26) pueden escribirse

de forma independiente del parametro de regulacion,

ΠPVR

(k2)

=m

2π

[(k2 + 4m2)

8k3ln

(2|m|+ k

2|m| − k

)− |m|

2k2

], (4.27)

ΠPVR

(k2)

= −m4π

[1

kln

(2|m|+ k

2|m| − k

)]. (4.28)

Es interesante observar teniendo en cuenta el resultado (4.24) que aparece un termino

anomalo, asociado al tensor totalmente antisimetrico, εµνα, debido a que viola paridad

en el espacio tiempo tridimensional. Este resultado esta relacionado con el termino de

Chern-Simons, que induce una masa topologica al foton.

4.3.2. Renormalizacion

Las divergencias ultravioletas que aparecen en la teorıa al ir a ordenes superiores en teorıa

de perturbaciones pueden eliminarse por medio del proceso de renormalizacion.

42


Para llevar a cabo este proceso, en este trabajo, utilizaremos un metodo iterativo mediante

el cual se anaden terminos adicionales, conocidos como contraterminos de renormalizacion,

a la densidad Lagrangiana inicial.

De esta forma, para plantear la renormalizacion del campo electromagnetico, se considera

la siguiente densidad Lagrangiana:

L = −1

4F µνFµν −

ξ

2(∂µA

µ)(∂νAν). (4.29)

Para hallar los contraterminos necesarios, el campo y el parametro gauge renormalizados

son respectivamente:

AµR ≡ Z−1/23 Aµ, ξR ≡ Z3ξ (4.30)

Por tanto, la densidad Lagrangiana resultante es:

L = L0 + Lcont

= −1

4F µνR FRµν −

ξR2

(∂µAµR)(∂νA

νR)− 1

4(Z3 − 1)F µν

R FRµν(4.31)

De esta forma puede encontrarse ie2Πµνct como la suma del vertice correspondiente a la

densidad Lagrangiana de contraterminos, Lcont y el termino asignado a los diagramas en

loop, que se denomina como ie2Πµν ,

e20Πµν

ct (k) =(Z−1

3 − 1) (−k2gµν + kµkν

)+ e2

0Πµν(k). (4.32)

Siendo e0 = Z−13 e la carga renormalizada.

Ademas el propagador del foton completo viene dado por la siguiente suma,

iDµνF (k) = iD

(0)µνF (k) + iD

(0)Fµλ

(k)ie20Πλα(k)iD

(0)Fαν

(k) + . . . , (4.33)

de forma que, teniendo en cuenta que representa una serie armonica, puede obtenerse el

propagador del foton completo:

iDµνF (k) =

[(iD

(0)µνF (k)

)−1

− ie20Πµν(k)

]−1

, (4.34)

Donde Πµν(k) es el tensor de polarizacion, que en funcion de las cantidades encontradas

en la seccion anterior para el proceso de regularizacion de Pauli-Villars tiene la siguiente

43


forma:

Πµν(k2) = (kµkν − gµνk2)ΠPVR (k2) + iεµναkαΠPV

R (k2). (4.35)

Ademas ΠPVR (k2) y ΠPV

R (k2) vienen dados por las ecuaciones (4.25) y (4.26) respectiva-

mente.

Entonces, teniendo en cuenta la expresion para el propagador del foton libre,

iD(0)Fαβ

(k) = −i[

gαβk2 + iε

+1− ξξ

kαkβ

(k2 + iε)2

], (4.36)

se sustituye el tensor de polarizacion en el propagador total, dando como resultado:

ie20D

µνF (k) = −ie2

0

gµνk2 − (1− ξ) kµkν − e2

0

[(−k2gµν + kµkν

)ΠPVR (k2) + iεµνλkλΠ

PVR (k2)

]−1

.

(4.37)

A continuacion puede usarse la ecuacion (4.32), si denotamos Πµνct (k2) = (−k2gµν +

kµkν)Πct(k2), lo que conduce a

e20ΠPV

R (k2) = Z−13 − 1 + e2

0Πct(k2). (4.38)

La constante de renormalizacion Z3 puede hallarse ademas como:

Z−13 = 1− e2

0gµν∂Πµν

∂k2

∣∣∣∣∣k2=0

= 1− e20

12π|m|(4.39)

Por otro lado, ΠPVR (k2) puede escribirse como la suma de dos contribuciones, es decir,

ΠPVR (k2) = ΠPV

R (0) + Πct(k2), (4.40)

donde la expresion de ΠPVR (0) puede hallarse y se obtiene como resultado:

ΠPVR (0) =

−m4π|m|

(4.41)

El siguiente paso es introducir la carga y el parametro gauge renormalizados, es decir,

sustituir

44


e2 = e20Z3

ξR = Z3ξ(4.42)

en la ecuacion (4.35). El resultado es,

iDµνF (k) =− i

k2gµν

(1− e2Πct(k

2))

+ kµkν(ξR − 1 + e2Πct(k

2))

− 2iεµνλkλe2(

ΠPVR (0) + Πct(k

2))−1 (4.43)

En este resultado puede comprobarse que aparece un termino anomalo que es proporcional

a εµνλkλ e introduce una masa topologica al foton [26].

Por tanto, dado que se conoce el desplazamiento del polo del propagador libre, la masa

en reposo no nula del foton fısico en el plano, conocida como masa topologica, es:

θR = −e2ΠPVR (0) =

e2m

4π|m|(4.44)

De esta forma, la densidad Lagrangiana para el campo electromagnetico en el plano se

ve modificada por un termino de masa para el foton que se corresponde con la densidad

Lagrangiana de tipo Chern-Simons (Capıtulo 2),

L = −1

4F µνFµν −

ξ

2(∂µA

µ) (∂νAν) +

θR4εµνλFµνAλ. (4.45)

Por otro lado, la densidad Lagrangiana de contraterminos no cambia su expresion ya que

el nuevo termino no introduce ningun contratermino adicional, es decir,

Lcont = −1

4(Z3 − 1)F µνFµν (4.46)

Es interesante ademas notar que aunque solo se han tenido en cuenta correcciones radiati-

vas a un loop, el origen topologico de la masa inducida da lugar a que no haya correcciones

si se consideran mas loops. De esta forma, los calculos a dos loops realizados en [27] y [28]

no obtienen correccion alguna. La demostracion de este resultado para todos los loops fue

dada por Coleman y Hill en [29].

45


4.4. Formula de Kubo y conductividad Hall

El efecto Hall cuantico es uno de los fenomenos mas destacados de la fısica de la materia

condensada, dado que se trata una manifestacion macroscopica de la mecanica cuantica.

En esta seccion se hace una descripcion del efecto Hall como posible forma de aplicacion

de los resultados anteriores para la polarizacion del vacıo en electrodinamica cuantica

bidimensional.

Desde el descubrimiento del efecto Hall cuantico entero y fraccionario han sido muchos

los trabajos publicados sobre este fenomeno, tanto a nivel experimental [30], [31], [32],

[33] como teorico [26], [34], [35]. En este trabajo tratamos de relacionar aspectos de la

teorıa cuantica de campos bidimensional con resultados de materia condensada (Efecto

Hall Cuantico) a traves de la conexion entre la formula de Kubo y la polarizacion del

vacıo [36].

De esta forma, en primer lugar se describen brevemente las caracterısticas del efecto Hall

cuantico entero y fraccionario. Posteriormente se introduce la formula de Kubo, que se

trata de una ecuacion que permite expresar la respuesta lineal de un observable debido

a una perturbacion que depende del tiempo [37]. Esta formula puede relaccionarse con

el tensor de conductividad, que esta conectado con la polarizacion del vacıo en electro-

dinamica cuantica bidimensional. Por ultimo se calcula el factor de llenado y se interpreta

el resultado obtenido.

4.4.1. El efecto Hall cuantico

El efecto Hall clasico fue descubierto en 1879 por Edwin Hall [9] y se trata de una conse-

cuencia del movimiento de partıculas cargadas en presencia de un campo magnetico.

El efecto Hall clasico puede observarse colocando una fina lamina metalica, que considera-

remos de espesor δ, en presencia de un campo magnetico constante y uniforme perpendi-

cular a la lamina metalica, es decir, en la direccion z. Como resultado el movimiento de los

electrones son orbitas circulares restringidas al plano. Si ademas se aplica una corriente en

la direccion x, los electrones se ven acelerados y las trayectorias pasan a ser helicoidales.

El resultado es la acumulacion de carga en uno de los lados de la lamina, dando lugar a

la aparicion de un voltaje, conocido como voltaje Hall, VH .

Si consideramos campos magneticos y electricos constantes, y nos limitamos al plano

perpendicular al campo magnetico, el tensor de resistividad es:

ρ =

(ρ0

Bnec

− Bnec

ρ0

)(4.47)

46


Figura 4.3: Resistividad frente al campo magnetico para el efecto Hall clasico [38].

De forma que si se representa la resistividad longitudinal y transversal frente al campo

magnetico se obtiene ( ver Figura 4.3).

La resistencia Hall puede hallarse ademas a partir del tensor de resistividad, teniendo en

cuenta que δ es la anchura de la lamina y que se define ρH = ρxy:

RH =ρHδ

=B

necδ. (4.48)

El efecto Hall cuantico sin embargo no fue descubierto hasta 1980. Esto es debido a

la dificultad experimental para alcanzar las condiciones bajo las cuales se observa este

efecto. Ademas es posible diferenciar entre dos tipos de efecto Hall cuantico. Estos son el

efecto Hall cuantico entero y el fraccionario. Para observar ambos es necesario tener un

gas bidimensional de electrones, ası como temperaturas muy bajas ( por debajo de los

15K para el efecto Hall cuantico entero y por debajo de los 40mK para el fraccionario) y

campos magneticos muy intensos (del orden de los 15T para el efecto Hall cuantico entero

y de 40T para el fraccionario).

Los primeros experimentos realizados sobre el efecto Hall cuantico fueron llevados a ca-

bo por von Klitzing y sus colaboradores en 1980 [1]. Para realizar dichos experimentos

emplearon como hemos comentado anteriormente, un gas bidimensional de electrones,

temperaturas por debajo de los 2K, campos magneticos del orden de 15T ademas de

campos electricos poco intensos para producir la corriente en la muestra.

El resultado a esperar, es de acuerdo a la ecuacion (4.48), que la resistividad Hall varıe

linealmente con el campo magnetico como se observa en la figura 4.3, sin embargo, expe-

rimentalmente aparecen una serie de mesetas en las que la resistividad Hall es constante e

47


Figura 4.4: Resistividad Hall y resistividad longitudinal a temperatura constante en elefecto Hall cuantico Entero [38].

independiente de las caracterısticas del experimento. Ademas la resistividad longitudinal,

es nula en los intervalos que corresponden a las mesetas, como puede apreciarse en la

figura 4.4. Esto es lo que se conoce como efecto Hall cuantico entero.

En dichos intervalos el tensor de conductividad es el siguiente:

σ =

(0 −ν e2

h

ν e2

h0

), ν = 1, 2, · · · (4.49)

siendo q = e,−e > 0 la carga del electron, h la constante de Planck y ν se conoce como

factor de llenado.

La resistencia Hall puede hallarse ademas teniendo en cuenta que se considera un gas

bidimensional de electrones (δ −→ 0) y por tanto coincide con la resistividad. Este valor

puede medirse con una precision mayor a 10−8:

RH ≡ ρH =h

νe2, ν = 1, 2, 3, · · · (4.50)

Este resultado es ademas muy importante porque no depende de la geometrıa ni de las

caracterısticas del material, es decir, la resistividad Hall que se calcula coincide con lo que

se mide.

El efecto Hall cuantico fraccionario fue observado mas tarde, en 1982, por D.C. Tsui, H.L.

48


Figura 4.5: Resistividad Hall y resistividad longitudinal en el efecto Hall cuantico fraccio-nario [35].

Stormer y A.C. Gossard [2]. Para observar este efecto realizaron el experimento empleando

heteroestructuras de alta calidad, es decir, materiales con muy pocas impurezas. Ademas

la muestra fue sometida a temperaturas muy bajas, de aproximadamente 40mK, y a

campos magneticos muy intensos, del orden de 40T. Esto, como veremos mas adelante,

es debido a que el desorden juega un papel fundamental en la observacion del efecto Hall

cuantico entero, no siendo ası para el efecto Hall fraccionario.

El resultado obtenido fue una meseta paraσHh

e2=

1

3junto a un mınimo en la conductivi-

dad longitudinal, aunque estudios posteriores demostraron la presencia de mesetas para

diferentes fracciones deσHh

e2=p

q, siendo p y q enteros primos entre sı y q impar. Es decir,

el factor de llenado que se obtiene ahora es ν =p

q.

Ademas la precision en la medida de la conductividad Hall sobre las mesetas es bastante

menor en el caso del efecto Hall cuantico fraccionario (10−5).

Es interesante observar que el orden en el que aparecen las mesetas a medida que se dis-

minuye la temperatura presenta ademas una jerarquıa, dado que las mesetas mas estables

son aquellas con denominador pequeno. Una representacion grafica de estos resultados

puede verse en la figura 4.5.

Para interpretar los resultados obtenidos resulta de utilidad comparar la expresion de la

resistividad Hall clasica con la determinada experimentalmente en el Efecto Hall Cuantico,

ası:

49


ρH =B

nec≡ h

νe2=⇒ ν =

n(eBhc

) , (4.51)

donde ν es un entero para el Efecto Hall Cuantico Entero y un numero fraccionario de

denominador impar para el Efecto Hall Cuantico Fraccionario.

Estos resultados pueden explicarse empleando la mecanica cuantica, ya que el espectro

de una partıcula cargada en presencia de un campo magnetico viene dada por los niveles

de Landau.

La densidad de estados posibles para cada nivel de Landau, por unidad de area y de espın

es:

nB =eB

hc, (4.52)

con lo cual el factor de llenado es:

ν =n

nB. (4.53)

Sin embargo esto solo explica el valor obtenido para la resistividad en el centro de la

meseta.

Para explicar la aparicion de mesetas en el efecto Hall cuantico entero debemos tener en

cuenta que el espectro del sistema presenta dos tipos de estados, como se muestra en la

figura 4.6, estos son los estados localizados y los estados extensos. En los estados extensos

los electrones se mueven con total libertad, mientras que en los estados localizados los

electrones estan ligados a las impurezas, dando lugar a que para un rango de valores de

campo magnetico la resistividad no varıe, apareciendo ası las mesetas [39].

Cuando se reduce el desorden las mesetas del efecto Hall cuantico entero son menos

notables y aparecen para valores fraccionarios del factor de llenado. Para explicar este

efecto, a diferencia del efecto Hall cuantico entero, en el cual se consideran electrones

libres, es necesario considerar las interacciones entre electrones, dando lugar a un problema

mucho mas difıcil de resolver [41], [42], [43].

4.4.2. Formula de Kubo relativista y polarizacion del vacıo.

Para obtener el factor de llenado en el efecto Hall cuantico el observable a estudiar es el

tensor de conductividad σµν . Comenzamos suponiendo un material al cual se le aplica un

campo electrico externo, dando lugar a corrientes inducidas que generan a su vez campos

electricos internos. En este apartado se sigue la referencia [44].

50


Figura 4.6: Origen de las mesetas para el efecto Hall cuantico entero [40].

El hamiltoniano del sistema puede descomponerse en el hamiltoniano en equilibrio, que

denominamos H0 y en el hamiltoniano perturbado H ′(t), de forma que el campo electrico

total se relaciona con la perturbacion mediante el potencial escalar φ(~r, t) como

H ′(t) =

∫d3rρ(~r)φ(~r, t), (4.54)

siendo ρ(~r) = eψ(~r)†ψ(~r). El hamiltoniano perturbado puede ademas obtenerse en fun-

cion del potencial vector, dando lugar a un resultado similar al que se muestra en esta

seccion.

Si se tiene en cuenta la teorıa de la respuesta lineal, junto con el colectivo gran canonico,

se define H0 = H0 − µN , siendo µ el potencial quımico y N el operador numero de

partıculas.

De esta forma, la ecuacion de movimiento para el operador densidad en la imagen de

Heisenberg es:

∂ρH(~r, t)

∂t

∣∣t=0

= −i[H0, ρ(~r)]. (4.55)

Este resultado es de utilidad, puesto que si tomamos la derivada temporal de H ′H(t) en la

ecuacion (4.54) se tiene,

51


H ′(t) = −i∫d3r[H0, ρ(~r)]φ(~r, t) =

∫d3r

∂ρH(~r, t)

∂t

∣∣t=0φ(~r, t)

= −∫d3r~∇ ~J(~r)φ(~r, t) =

∫d3r ~J(~r)~∇φ(~r, t) = −

∫d3r ~J(~r) ~E(~r, t)

(4.56)

Donde ~J(~r) es el operador densidad de corriente en el caso relativista. Ademas en el

desarrollo de (4.56) se ha empleado la ecuacion de continuidad, ~∇ ~J(~r) =∂ρ(~r)

∂t, y el

teorema de Gauss, considerando condiciones de contorno periodicas en la superficie del

solido.

Haciendo uso de este resultado y de la formula de Kubo, que para un operador generico

A(t) es de la forma:

δA(t) = −∫ t

−∞dt′∫ β

0

dλTrρ0H

′I (t′ − iλ)AI(t)

= −

∫ t

−∞dt′∫ β

0

dλTrρ0H

′ (t′)AI (t− t′ + iλ),

(4.57)

la componente µ-esima de la corriente puede escribirse como:

Jµ(r, t) =∑ν

∫d3r′

∫ ∞−∞

dt′σµν (~r, ~r′, t, t′)Eν (~r′, t) , (4.58)

donde la funcion de correlacion viene dada por:

σµν (~r, ~r′, t, t′) = Θ (t− t′)∫ β

0

dλTr ρ0Jν(~r, 0)Jµ (~r′, t− t′ + iλ) . (4.59)

Los operadores estan en la imagen de Heisenberg y Θ(t − t′) es la funcion escalon, σµν

expresa la respuesta lineal de la componente µ de J dada por la proyeccion de cada

componente sobre Eν .

En algunas situaciones, cuando la corriente medida es un promedio de la corriente local

dada por la ecuacion (4.58) en una region muy grande, puede asumirse que σµν(~r, ~r′; t−t′)

es homogenea en el espacio, y ası la dependencia de σµν sera de la forma σµν(~r−~r′; t− t′),si calculamos la transformada de Fourier de la ecuacion (4.58):

Jµ(~q, ω) =∑ν

σµν(~q, ω)Eν(~q, ω), (4.60)

junto al tensor de conductividad σµν(~q, ω).

52


Figura 4.7: Diagrama Feynman para la polarizacion del vacıo, correspondiente con lafuncion de correlacion Πµν a primer orden [16].

σµν(~q, ω) =

∫ ∞0

dteiωt∫ β

0

dλTr ρ0Jν(−~q, 0)Jµ(~q, t+ iλ) . (4.61)

Integrando la ecuacion (4.61) [44], se obtiene:

σµν(~q, ω) = i

∫ ∞0

dteiωt∫ ∞t

dt′Tr ρ0 [Jµ (~q, t′) Jν(−~q, 0)] . (4.62)

Se define la funcion de correlacion corriente-corriente,

Σµν(~q, ω) =

∫ ∞0

dteiωt Tr ρ0 [Jµ(~q, t), Jν(−~q, 0)] , (4.63)

de tal manera que el tensor de conductividad puede reescribirse como:

σµν(~q, ω) =Σµν(~q, ω)− Σµν(~q, 0)

ω, (4.64)

y en el lımite ω −→ 0 resulta:

σµν =dΣµν

dω. (4.65)

En el contexto de la teorıa cuantica de campos la funcion de correlacion viene dada

por,

Πµν(x) = 〈0 |Jµ(x)Jν(0)| 0〉 , (4.66)

y representa el diagrama de polarizacion del vacıo, ver figura 4.7.

53


4.4.3. El factor de llenado: efecto Hall cuantico para ν =1

2.

Es posible calcular el factor de llenado a partir de la definicion de la conductividad Hall

como la parte lineal de la funcion de correlacion corriente-corriente junto a los resultados

encontrados en la seccion anterior para el tensor de polarizacion:

σxy =1

3!εµνη

∂

∂qηie2Πµρ(q2)

∣∣∣q=0

, (4.67)

de forma que empleando la ecuacion (4.35) se obtiene:

σxy = − 1

3!εµνη

∂

∂qη(e2εµνλqλΠ

PVR (q2))

∣∣∣q=0

= −e2ΠPVR (0)− e2

3!qη

∂

∂qηΠPVR (q2)

∣∣∣q=0

(4.68)

Esto permite utilizar los resultados:

ΠPVR (0) =

−m4π|m|

(4.69)

q2 ∂

∂q2ΠPVR

∣∣∣∣q=0

= 0, (4.70)

que junto a la definicion:

σxy = νe2

h, (4.71)

nos permite encontrar finalmente: ν =1

2, cuya interpretacion daremos al final de esta

seccion.

Otra forma de obtener este resultado es la siguiente, consideremos la funcion de correlacion

corriente-corriente dada por:

Πµν(q) = − e2

(2π)3

∫d3pTr γνSF (p− q)γµSF (p) , (4.72)

en el espacio de momentos donde SF es el propagador del fermion. A continuacion, debe-

mos calcular:

∂

∂qαΠµν(q) = − e2

(2π)3

∫d3pTr

γν

(∂

∂qαSF (p− q)

)γµSF (p)

, (4.73)

54


donde para calcular la derivada del propagador SF (p − q) debemos tener en cuenta que

se trata de una matriz, lo que implica que:

∂SF (p− q)∂qα

= −SF (p− q)∂SF (p− q)−1

∂qαSF (p− q). (4.74)

Utilizando este resultado y tomando el lımite q −→ 0 se obtiene [45]:

∂Πµν(q)

∂qα

∣∣∣∣q=0

= − e2

(2π)3

∫d3pTr

γνSF (p)

(∂

∂pαS−1F (p)

)SF (p)γµSF (p)

(4.75)

Para desarrollar la ecuacion (4.75) es necesario emplear la identidad de Ward-Takahashi

[46] y [47]. Segun esta es correcto escribir:

∂S−1F (p)

∂pµ=

∂

∂pµ(/p−m) = γµ (4.76)

De esta forma (4.75) es ahora:

∂Πµν(q)

∂qα

∣∣∣∣q=0

= − e2

(2π)3

∫d3p Tr

∂ν(S−1F (p)

)SF (p)∂α

(S−1F (p)

)SF (p)∂µ

(S−1F (p)

)SF (p)

,

(4.77)

Teniendo en cuenta que el factor de llenado viene dado por

ν =hσxye2

, (4.78)

resulta:

ν = − εαβρ

24π2

∫d3pTr

∂α(S−1(p)

)S(p)∂β

(S−1(p)

)S(p)∂ρ

(S−1(p)

)S(p)

. (4.79)

El siguiente paso es sustituir la expresion del propagador del foton, que resulta en:

ν = − εαβρ

24π2

∫d3pTr

γα

(/p+m

p2 −m2

)γβ

(/p+m

p2 −m2

)γρ

(/p+m

p2 −m2

)= − ε

αβρ

24π2

∫d3p

Trγα(/p+m)γβ(/p+m)γρ(/p+m)

(p2 −m2)3 .

(4.80)

La traza ademas puede desarrollarse teniendo en cuenta las identidades del apendice B.

Ası, se descompone:

55


Trγα(/p+m)γβ(/p+m)γρ(/p+m)

= Tr

γα/pγβ/pγρ/p

+ Tr

mγα/pγβγρ/p

+ Tr

mγαγβ/pγρ/p

+ Tr

m2γαγβγρ/p

+ Tr

mγα/pγβ/pγρ

+ Tr

m2γα/pγβγρ

+ Tr

m2γαγβ/pγρ

+ Tr

m3γαγβγρ

,

(4.81)

tal que se obtiene, teniendo en cuenta que ademas εβρηεαβρ = 2δαη :

εαβρ Trγα(/p+m)γβ(/p+m)γρ(/p+m)

= −2im

(2pαp

ηδαη − 2pµpρδρµ−

− 2pβpµδβµ + 4pµpρδ

ρµ − 2p2δρρ − 2pαp

ηδαη + 2pβpµδβµ − 2pρp

µδρµ + 2m2δρρ).

(4.82)

Por tanto el factor de llenado, considerando δρρ = 3 es:

ν = − 1

24π2

∫d3p

12im(p2 −m2)

(p2 −m2)3= − 1

24π2

∫d3p

12im

(p2 −m2)2. (4.83)

Empleando a continuacion,

∫ddp

(p2 − s2)n= (−1)niπd/2

Γ(n− d/2)

Γ(n)sd/2−n (4.84)

se obtiene

ν = − im2π2

(−1)2iπ3/2 Γ(2− 3/2)

Γ(2)

(m2)−1/2

=1

2. (4.85)

Este resultado, que fue previamente obtenido en [48], no se corresponde con un entero ni

con una fraccion de denominador impar, por lo que en principio no deberıa corresponderse

con el efecto Hall cuantico entero ni con el fraccionario.

Para interpretar este resultado inicialmente se propuso que era necesario multiplicar por

dos debido a la degeneracion de espın de las partıculas [48], [49], de forma que se con-

seguirıa el factor de llenado ν = 1 caracterıstico del efecto Hall cuantico entero. Sin

embargo mas tarde se demostro que no existe degeneracion debida al espın [50], ademas

de encontrar experimentalmente el valor1

2para el factor de llenado [51].

Ademas el factor de llenado ν =1

2se ha calculado a campo magnetico externo nulo, por

lo que en un principio no debe corresponder al efecto Hall cuantico entero ni al efecto

Hall cuantico fraccionario.

El factor de llenado ν =1

2se ha encontrado en sistemas que tienen un pozo de potencial

muy ancho, con la peculiaridad de que es necesario temperaturas del orden del milikelvin

56


para observarlo. Ademas, teniendo en cuenta que se aprecia mejor cuanto menor sea la

temperatura, el campo magnetico que es necesario aplicar tambien disminuye. De esta

forma, el fenomeno fısico al que corresponde el factor de llenado1

2es el efecto Hall

cuantico a campo cero [41], [36].

57

Capıtulo 5

Conclusiones

Las conclusiones mas destacadas del desarrollo de este trabajo fin de master son:

Una vez conocida la electrodinamica cuantica en el caso mas estandar de (3+1)-

dimensiones espaciales, se ha realizado un estudio de la electrodinamica cuantica en

(2+1)-dimensiones, con especial enfasis en la densidad Lagrangiana y en los terminos

de los que esta se compone. De este modo cabe destacar el termino de la densidad

Lagrangiana de Chern-Simons, que es un resultado propio del caso especial que se

trata en este trabajo.

Ademas se ha realizado una analisis dimensional para la electrodinamica cuantica

en (2+1)-dimensiones en comparacion con el caso en (3+1)-dimensiones, poniendose

de manifiesto algunas de las diferencias fundamentales.

Por otro lado se ha expuesto la teorıa de perturbaciones y el elemento de matriz

para la electrodinamica cuantica bidimensional, finalizando con la exposicion de las

reglas de Feynman para el caso estudiado.

En el capıtulo 3 se ha planteado el estudio de algunos procesos de scattering al orden

mas bajo en teorıa de perturbaciones. De esta manera se ha comenzado realizando

un analisis de la longitud eficaz diferencial ası como de las diferencias que surgen

en el estudio de la suma en el espın y las polarizaciones en (2+1)-dimensiones res-

pecto al caso de tres dimensiones espaciales. Una vez realizado este estudio, se han

llevado a cabo los calculos para el scattering Møller y para el scattering Compton,

encontrandose diferencias con el resultado mas habitual cuadridimensional. En par-

ticular, el hecho de que la traza de un numero impar de matrices gamma en QED2+1

sea distinta de cero, se traduce en un considerable aumento de la complejidad de los

calculos de las trazas para obtener la longitud eficaz diferencial para estos procesos

en el plano.

58

CAPITULO 5. CONCLUSIONES

En el capıtulo 4 se ha abordado el estudio de las correcciones radiativas a un loop o

lazo.

De esta forma se ha realizado un estudio comparativo del grado superficial de di-

vergencia en electrodinamica cuantica en (2+1) y en (3+1)-dimensiones.

Posteriormente, tras introducir las correcciones radiativas a un loop en QED2+1, se

ha estudiado el proceso de polarizacion de vacıo, utilizando en particular el metodo

de regularizacion de Pauli-Villars previo a la renormalizacion de la teorıa.

Finalmente se ha introducido una posible aplicacion del tensor de polarizacion del

vacıo en electrodinamica cuantica bidimensional a traves de la formula de Kubo

para la obtencion de la conductividad Hall.

De esta forma se han presentado las propiedades fundamentales del efecto Hall

cuantico entero y fraccionario como procesos de materia condensada que ocurren en

plano, sirviendo ası de introduccion al caso estudiado por su relevancia teorica.

Posteriormente se ha empleado la formula de Kubo, la cual se ha relacionado con el

tensor de polarizacion del vacıo con el objetivo de obtener el factor de llenado para

el efecto Hall cuantico.

Para finalizar, una vez hallado el valor para dicho factor de llenado, se ha realizado

un analisis de este con el objetivo de dar una interpretacion fısica a dicho resultado.

59

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63

Apendice A

Notacion relativista en (2+1)

dimensiones

La notacion que se va a emplear es la siguiente, se introduce un objeto de tres compo-

nentes que llamamos trivector espacial contravariante, el cual se expresa con superındices

griegos:

xµ = (x0, x1, x2) = (ct, ~x) (A.1)

El espacio en el cual tienen lugar los fenomenos fısicos es el espacio de Minkowski, M3

con la metrica hiperbolica en notacion contravariante,

gµν =

1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

conµ, ν = 0, 1, 2 (A.2)

Relacionado con el tensor contravariante mediante:

gµνgνλ = δµλ =

0 si µ 6= λ

1 si µ = λ

(A.3)

De esta manera se define un nuevo trivector, llamado covariante como:

xµ =2∑

ν=0

gµνxν = gµνx

ν = (ct,−x1,−x2) = (ct,−~x). (A.4)

De la misma forma que xµ y xµ estan relacionados con el tensor metrico, para otros

64

APENDICE A. NOTACION RELATIVISTA EN (2+1) DIMENSIONES

trivectores se verifica aµ = gµνaν . Se define ası el producto escalar de dos trivectores a y

b como:

aµbµ = aµbµ = a0b0 − ~a ·~b (A.5)

Las transformaciones de simetrıa son las traslaciones espacio-temporales y las transfor-

maciones de Lorentz. Estas ultimas pueden definirse como todas aquellas que verifican la

siguiente relacion:

x′µ = Λµνx

ν , (A.6)

donde xµxµ es invariante. Es decir se cumple que xµxµ =x′µx′µ.

En el plano las transformaciones de Lorentz pueden representarse con matrices 3 × 3, dado

que se ha eliminado una coordenada espacial. En este caso ademas unicamente contamos

con una rotacion y dos boosts, que pueden representarse como R3(φ3), L1(φ1) y L2(φ2),

las cuales se detallan a continuacion:

R3 (θ3) =

1 0 0

0 cos θ3 sen θ3

0 − cos θ3 cos θ3

, (A.7)

L1 (φ1) =

coshφ1 − senhφ1 0

− senhφ1 coshφ1 0

0 0 1

, (A.8)

L2 (φ2) =

coshφ2 0 − senhφ2

0 1 0

− senhφ2 0 coshφ2

. (A.9)

Se introduce ademas en este apendice la generalizacion∂

∂xµdel operador gradiente ~∇:

∂µ ≡(

1

c

∂

∂t,+~∇

)(A.10)

El invariante escalar asociado a este trivector se conoce como D’Alambertiano, y queda

definido como:

= ∂µ∂µ =

1

c2

∂2

∂t2− ~∇2 (A.11)

65

Apendice B

Matrices gamma en QED2+1

La ecuacion de Dirac para una partıcula libre de masa m es:

ih∂ψ(x)

∂t= H(x)ψ(x) =

[c~α(−i~~∇) + βmc2

]ψ(x), (B.1)

Donde para evitar densidades de probabilidad negativas se verifican las relaciones:

αi, αj = 2δij, αi, β = 0, β2 = 1 i, j = 1, 2, (B.2)

derivadas de imponer una interpretacion correcta del momento y energıa de una partıcula

libre relativista, E2 = ~p2 +m2.

Ademas, la hermiticidad del hamiltoniano, H† = H implica que:

α†i = αi

β† = β(B.3)

La ecuacion de Dirac puede reescribirse como:

ihγµ∂ψ(x)

∂xµ−mcψ(x) = 0. (B.4)

Siendo ψ(x) un espinor de dos componentes y γµ matrices cuya dimension mınima para

satisfacer las condiciones de B.2 es 2x2. Esto permite construir la representacion emplean-

do las matrices de Pauli, lo cual conduce a dos representaciones no equivalentes de dichas

matrices γµ que es posible escoger de la siguiente manera:

66

APENDICE B. MATRICES GAMMA EN QED2+1

γ0 = σ3 γ1 = iσ1, γ2 = iσ2

γ0 = σ3 γ1 = iσ1, γ2 = −iσ2

(B.5)

Donde se han introducido las matrices de Pauli,

σ1 =

(0 1

1 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 0

0 −1

)(B.6)

Ademas se verifica que β = γ0 y αi = βγi, i = 1, 2 y se satisfacen las relaciones de

anticonmutacion y hermiticidad,

γµ, γν = 2gµν γµ†

= γ0γµγ0. (B.7)

Una vez expuestas las matrices γµ y las relaciones anteriores, se puede construir el algebra

de Dirac en el espacio-tiempo tridimensional de Minkowski, M3 = R1,2. Ası,

1, γµ, γµ1γµ2 , γµ1γµ2γµ3 ; µ1 < µ2 < µ3 (B.8)

que forman con respecto al grupo SO(2, 1) la base del algebra de Dirac, siendo 1 un escalar,

γµ un trivector, γµ1γµ2 puede actuar como un pseudovector o un tensor antisimetrico

y γµ1γµ2γµ3 = −iεµ1µ2µ3 es un psudoescalar, siendo εµ1µ2µ3 un tensor completamente

antisimetrico cuyo valor es 1 o -1 dependiendo de si se trata de una permutacion par o

impar respectivamente y 0 en cualquier otro caso.

Las matrices gamma tambien verifican la siguiente relacion de conmutacion:

σµν =i

2[γµ, γν ] = εµνργρ (B.9)

Ademas de las siguientes identidades algebraicas:

1. Contracciones de las matrices gamma

γµγµ = 3 γµγ

νγλγµ = 4gνλ − γνγλ

γµγνγµ = −γν , γµγ

νγλγδγµ = −2γδγλγν + γνγλγδ(B.10)

2. Contracciones con el tensor antisimetrico εµνρ

εαβδεαλµ = gβλgδµ − gβµgδλ , εαβδεαβµ = 2gδµ , εαβδεαβδ = 6 (B.11)

67

APENDICE B. MATRICES GAMMA EN QED2+1

3. Trazas de productos de matrices γ

Tr (γµ) = 0 = Tr (σµν) , Tr (γµγν) = 2gµν

Tr(γµγνγλ

)= −2iεµνλ, Tr

(γµγνγλγδ

)= 2

(gµνgλδ − gµλgνδ + gµδgνλ

) (B.12)

Por ultimo, para un numero par de matrices γ se satisface que,

Tr(γµγν · · · γδγλ

)= Tr

(γλγδ · · · γνγµ

), (B.13)

lo cual no es cierto para un numero impar de matrices γ, que se comprueba con el siguiente

ejemplo, Tr(γµγνγλ

)= Tr

(γλγνγµ

).

68

Apendice C

El campo de Dirac en (2+1)

dimensiones

Como se expuso en el apendice A la ecuacion de Dirac para una partıcula libre de masa

m puede escribirse en la forma de Schrodinger o Hamiltoniana como:

i~∂ψ(x)

∂t= H(x)ψ(x) =

[c~α(−i~~∇) + βmc2

]ψ(x), (C.1)

Que en forma covariante se puede reescribir:

ihγµ∂ψ(x)

∂xµ−mcψ(x) = 0 (C.2)

Para una partıcula libre esta ecuacion posee ademas soluciones en forma de ondas pla-

nas,

ψ(x) = const.

u(~p)

v(~p)

e±ipx/~ (C.3)

Siendo p =(E~pc, ~p)

con ~p = (p1, p2) y E~p = +√m2c2 + c2~p~p. Ademas u(~p) corresponde a

una partıcula de momento ~p y energıa positiva E~p, mientras que v(~p) corresponde a una

antipartıcula de momento ~p y energıa E~p > 0.

La ecuacion de Dirac para partıculas de masa m puede escribirse entonces como:

(γµpµ −mc)u(~p) = 0 (γµpµ +mc) v(~p) = 0, (C.4)

que son manifiestamente invariantes Lorentz.

69

APENDICE C. EL CAMPO DE DIRAC EN (2+1) DIMENSIONES

Es interesante escribir ademas las ecuaciones de Dirac conjugadas que satisfacen los espi-

nores adjuntos de Dirac, que se definen como u(~p) = u†(~p)γ0 y v(~p) = v†(~p)γ0,

u(~p) (γµpµ −mc) = 0 v(~p) (γµpµ +mc) = 0. (C.5)

La normalizacion ademas puede escogerse de la forma:

u†(~p)u(~p) = v†(~p)v(~p) =E~pmc2

, u(~p)u(~p) = −v(~p)v(~p) = 1 (C.6)

que junto a las condiciones de ortogonalidad,

u†(~p)v(−~p) = 0 , u(~p)v(~p) = v(~p)u(~p) = 0, (C.7)

conduce a la relacion de completitud para los espinores:

uα(~p)uβ(~p)− vα(~p)vβ(~p) = δαβ, α, β = 1, 2 (C.8)

Si escogemos las matrices gamma en una de las representaciones irreducibles del algebra

de Dirac,

γ0 = σ3, γ1 = iσ1, γ2 = iσ2, (C.9)

las soluciones normalizadas de la ecuacion de Dirac en dicha representacion son:

u(~p) =

√E~p +mc2

2mc2

(1

c(p2−ip1)E~p+mc2

), v(~p) =

√E~p +mc2

2mc2

(c(p2+ip1)E~p+mc2

1

)(C.10)

El campo de Dirac ademas puede desarrollarse en series de Fourier normalizando para un

cuadrado de area finita A = L2 como:

ψ(x) = ψ+(x) + ψ−(x) =∑

~p

(mc2

AE~p

)1/2 [c(~p)u(~p)e−

ipx~ + d†(~p)v(~p)e

ipx~

]ψ(x) = ψ+(x) + ψ−(x) =

∑~p

(mc2

AE~p

)1/2 [d(~p)v(~p)e−

ipx~ + c†(~p)u(~p)e

ipx~

],

(C.11)

siendo c(~p) y d(~p) los coeficientes de Fourier.

Es interesante ademas comprobar que la ecuacion de Dirac puede obtenerse a partir de

las ecuaciones de Euler-Lagrange para la densidad Lagrangiana:

70


L = cψ(x)

(i~γµ

∂

∂xµ−mc

)ψ(x), (C.12)

de forma que el hamiltoniano del campo de Dirac es,

HD =

∫d2x

[ψ†(x)

(c~α · (−i~~∇) + βmc2

)ψ(x)

](C.13)

Es posible ademas cuantizar el sistema imponiendo que los coeficientes de Fourier pasen

a operadores en la teorıa cuantica que satisfacen las siguientes relaciones de anticonmu-

tacion:

c(~p), c† (~p′)

=d(~p), d†(−→p ′)

= δ~p,~p′ , (C.14)

siendo los restantes anticonmutadores igual a cero. Los operadores de creacion y aniquila-

cion de electrones son c†(~p) y c(~p), mientras que d†(~p) y d(~p) actuan de forma similar para

positrones. El espacio de Fock puede ademas construirse de la siguiente forma, definimos

el estado de vacıo:

c(~p)|0〉 = d(~p)|0〉 = 0, (C.15)

sobre el que actuan operadores de creacion de electrones y positrones,

∣∣n (~p+1

)n(−→p1

−) · · ·n (~p+N

)n(~p+N

)⟩∝[d†(~p+

1

)]n(~p+1 ) [c†(~p−1)]n(~p−1 ) · · ·

[d†(~p+N

)]n(~p+N) [c†(~p+N

)]n(~p+N) |0〉,(C.16)

donde n(~pa±) = 0 o 1 dado que estamos considerando estadıstica fermionica.

Se puede definir el producto normal para fermiones de la forma:

N [ψα(x), ψβ(y)] = ψ+α (x)ψ+

β (y)− ψ−β (y)ψ+α (x) + ψ−α (x)ψ+

β (y) + ψ−α (x)ψ−β (y), (C.17)

lo que permite reescribir el hamiltoniano con el producto normal ademas sustituir la ex-

pansion del campo de Dirac para los espinores, lo que conduce al operador de energıa:

H =

∫d2~xN

[ψ(x)

[−i~cγi∂i +mc2

]ψ(x)

]=∑~p

E~p[N(~p) + N(~p)], (C.18)

71


Figura C.1: Contornos para la representacion integral de las funciones S±(x)

donde se han introducido N(~p) = c†(~p)c(~p) y N(~p) = d†(~p)d(~p) como los operadores

numero de electrones y positrones respectivamente.

De las relaciones de anticonmutacion para los operadores de creacion y destruccion, es

posible obtener las relaciones de anticonmutacion covariantes para los operadores del

campo de Dirac, que son:

ψα(x), ψβ(y) = ψα(x), ψβ(y) = 0 ,ψα(x), ψβ(y)

= iSαβ(x− y), (C.19)

donde Sαβ(x− y) = S+αβ(x− y) + S−αβ(x− y) se trata de una funcion matricial 2x2 que es

posible escribir como:

S±(x) =

(iγµ

∂

∂xµ+mc

~

)∆±(x− y), (C.20)

siendo ∆±(x) las funciones ∆-invariantes. S±(x) admite la siguiente representacion inte-

gral:

S±(x) =−~

(2π~)3

∫C±

d3p e−−ipx

~γµpµ +mc

p2 −m2c2, (C.21)

en la cual C± son los contornos en el plano complejo que encierran los polos p0 = ±(E~p/c),

como se muestra en la figura C.1.

72


Figura C.2: Contornos y polos desplazados para la representacion integral de SF (x)

Podemos definir, pues, el propagador del fermion como el valor esperado del producto

ordenado temporalmente Tψ(x)ψ(x)

en el estado de vacıo.

〈0|Tψ(x)ψ(y)|0〉 = iSF (x− y) = θ(x0 − y0

)iS−(x− y)− θ

(y0 − x0

)iS−(x− y)

donde SF (x) es:

SF (x) =~

(2π~)3

∫d3p

γµpµ +mc

p2 − (mc)2 + iηe−ipx

~

y θ(x) es la funcion salto, θ(x) = 1 si x ≥ 0, θ(x) = 0 si x < 0. La integracion se realiza

ademas a lo largo de todo el eje real, como se puede comprobar en la figura C.2.

73

Apendice D

El campo electromagnetico en (2+1)

dimensiones

Para estudiar las ecuaciones de Maxwell en (2+1) dimensiones comenzamos exponiendo

el tri-vector potencial Aµ(x) = (Φ(x), ~A(x)), mediante el cual podemos definir el tensor

electromagnetico,

F µν(x) = ∂νAµ(x)− ∂µAν(x) =

0 E1 E2

−E1 0 B

−E2 −B 0

. (D.1)

Comprobando que se trata de un tensor antisimetrico (F µν = −F νµ) y donde:

B = ∂1A2 − ∂2A1

~E = −~∇A0 − 1c∂ ~A∂t

= (E1, E2)(D.2)

Es importante tener en cuenta en (2+1) dimensiones, el campo magnetico es un escalar

en el plano. Es interesante escribir las ecuaciones de Maxwell a partir del tensor electro-

magnetico y de la densidad de carga-corriente jµ(x) = (cρ(x),~j(x)), que resultan:

∂νFµν(x) =

1

cjµ(x), (D.3)

Junto a:

∂λF µν + ∂µF νλ + ∂νF λµ = 0, (D.4)

Ademas, en terminos del potencial vector:

74

APENDICE D. EL CAMPO ELECTROMAGNETICO EN (2+1) DIMENSIONES

Aµ(x)− ∂µ (∂νAν(x)) =

1

cjµ(x) (D.5)

Las ecuaciones del campo pueden obtenerse a partir de la densidad Lagrangiana siguiente,

la cual fue propuesta por Fermi y es adecuada para la cuantizacion:

L = −1

4FµνF

µν − 1

cjµA

µ − ξ

2(∂νA

ν)2 (D.6)

En la anterior densidad Lagrangiana se ha introducido un termino adiccional, − ξ2

(∂νAν)2,

llamado termino de acoplamiento gauge, y ξ es el parametro gauge. En el caso en el que

ξ = 1 estamos en el gauge de Feymann, mientras que en el caso en el que ξ →∞ estamos

en el gauge de Landau.

Partiendo de la anterior densidad Lagrangiana, es posible obtener los momentos conjuga-

dos no nulos:

πµ =1

c

∂L∂ (∂0Aµ)

=1

c

[F µ0 − ξg0µ (∂νA

ν)]

(D.7)

De forma que las ecuaciones de Maxwell son ahora,

Aµ(x)− (1− ξ)∂µ (∂νAν(x)) =

1

cjµ(x) (D.8)

El proximo paso es la cuantizacion del campo electromagnetico en (2+1) dimensiones,

que se realiza de forma analoga al caso cuadridimensional. Comenzaremos escogiendo una

superficie de area grande pero finita, A = L2 y expandiendo el campo electromagnetico

en un conjunto completo de soluciones de ondas planas a partir de las ecuaciones de

Maxwell.

Aµ(x) = Aµ+(x) + Aµ−(x) =∑r,~k

(~c2

2Aω~k

) 12 [εµr (~k)ar(~k)e−ikx + εµr (~k)a†r(

~k)eikx]

(D.9)

En la expresion anterior el sumatorio recorre todos los valores de ~k permitidos por las

condiciones periodicas de contorno en el recinto A = L2, junto con k0 =1

cω~k = |~k|. La

suma sobre r = 0, 1, 2 se corresponde a los tres estados de polarizacion para cada ~k. Los

vectores de polarizacion reales εµr (~k) satisfacen ademas las relaciones de ortonormalidad

y completitud

75


εrµ(~k)εµs (~k) = −ηrδrs, r, s = 0, 1, 2∑r ηrε

µr (~k)ενr(

~k) = −gµν , η0 = −1, η1 = η2 = 1(D.10)

Es importante senalar que εµ1(~k) y εµ2(~k) se interpretan como polarizacion transversal y

longitudinal respectivamente mientras que εµ0(~k) como polarizacion escalar. Asimismo, el

hecho de que en electrodinamica cuantica los vectores de polarizacion sean reales, es decir,

que se verifique εr(~k) = ε∗r(~k) se debe a que corresponden a polarizacion lineal.

Las relaciones de conmutacion para tiempos iguales pueden escribirse en el gauge de

Feymann como:

[Aµ(t, ~x), πν (t, ~x′)] = i~µνδ2(~x− ~x)

[Aµ(~x, t), Aν(~x, t)] = 0 = [πµ(~x, t), πν(~x, t)](D.11)

Ası, es posible escribir las relaciones de conmutacion para los operadores ar(~k) y a†r(~k)

como:

[ar(~k), a†s(

−→k ′)]

= ηrδrsδ~k~k′ , (D.12)

teniendo en cuenta que todos los conmutadores restantes son nulos. El parametro que

hemos denominado como r en la expresion anterior puede tomar valores r = 0, 1, 2 que

corresponden a fotones escalares, transversales y longitudinales respectivamente. Sin em-

bargo, como resultado de la condicion de Lorentz, que en la teorıa de Gupta-Bleuler se

reemplaza por una restriccion, solo pueden observarse fotones transversales como partıcu-

las libres. Para llevar esto a cabo, se escriben los estados de la base del espacio de Fock

bosonico de la forma:

∣∣∣nr1(−→k1)nr2(−→k2) · · ·nrN (

−→kN)⟩∝[a†r1(−→k1)]nr1 (

−→k1) [

a†r2(−→k2)]nr2 (

−→k2)

· · ·[a†rN (−→kN)]nrN (

−→kN )

|0〉.(D.13)

Donde nri(~ki) pertenece al conjunto de los numeros enteros positivos y ademas, ar(~k) |0〉 =

0 para r = 0, 1, 2.

Para comprobar que los fotones longitudinales y escalares no contribuyen a la energıa,

dado que actuan como partıculas virtuales, pero sı los fotones transversales, se escribe el

hamiltoniano del campo

76


H =

∫d2~xN

[πµ(x)Aµ(x)− L(x)

]=∑r,~k

~ω~kηra†r(~k)ar(~k) (D.14)

que permite definir el operador numero de la forma,

Nr(~k) = ηra†r(~k)ar(~k) (D.15)

Ademas, para evitar estados con norma negativa se impone la condicion de Lorentz,

(Ψ |∂µAµ(x)|Ψ〉 =⟨Ψ∣∣∂µAµ+(x) + ∂µA

µ−(x)∣∣Ψ⟩ = 0, (D.16)

que es equivalente en el espacio de momentos a:

[a2(~k)− a0(~k)

]|Ψ〉 = 0, (D.17)

de forma que el valor esperado de la energıa resulta:

〈Ψ|H|Ψ〉 =

⟨Ψ

∣∣∣∣∣∣∑−→k

~ω~ka†1(~k)a1(~k)

∣∣∣∣∣∣Ψ⟩, (D.18)

con lo cual solo los fotones transversales contribuyen a la energıa.

Por ultimo, el propagador del foton puede calcularse a partir las relaciones de conmutacion

covariantes.

iDµνF (x− x′) = 〈0|TAµ(x), Aν(x′) |0〉 , (D.19)

que se verifica para:

DµνF (x) =

∫d3k

(2π)3

[−gµν

k2 + iε+ξ − 1

ξ

kµkν

(k2 + iε)2

]e−ikx. (D.20)

77

la polarizacion del vac o en electrodinamica cu antica

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