electrodinamica rañada

7/31/2019 electrodinamica raada

1/181

Notas de curso de

Electrodinamica clasica

Prof. Dr. Antonio Fernandez-Ranada

Curso 2008/09

Universidad ComplutenseFacultad de Fsica

Ciudad Universitaria, Madrid


2/181

Antonio Fernandez-Ranada

Departamento de Fsica Aplicada III

Facultad de Fsica

Universidad Complutense

www.ucm.es/info/electron/personal/ranada.html

02AntonioFernandez-Ranada2007

notas EDC (v. 2/febrero/2009)


3/181

Indice general

1. Revision del campo electromagnetico y las ecuaciones de Maxwell11

1.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Energa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Las ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. Ecuaciones de ondas de los campos electrico y magnetico . 15

1.4.2. Los potenciales electromagneticos y su ecuacion de ondas . 16

1.5. Ondas planas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1. Polarizacion de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.6. Transformacion de los campos electromagneticos bajo rotaciones,

reflexiones e inversion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.6.1. Rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.6.2. Reflexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.6.3. Inversion temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2. Guas de ondas y cavidades resonantes 21

2.1. Condiciones de contorno en la frontera entre un conductor y un

dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Radiacion electromagnetica en una cavidad en forma de parale-

leppedo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Guas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mnimas 29

2.5. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


AntonioFernandez-Ranada2007

03


4/181

Indice general

2.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.7. Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3. Relatividad especial 31

3.1. El principio de relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion. . . . . . . . . . 32

3.1.3. Sucesos, intervalo y tiempo propio. . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.4. Tipos de intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.5. Tiempo propio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Dos consecuencias de la transformacion de Lorentz . . . . . . . . 310

3.3.1. Contraccion de longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

3.3.2. Dilatacion de tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

3.4. Los postulados de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3.5. Transformacion de las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

3.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.7. Principio de covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.8. Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

4. Formulacion lagrangiana de la electrodinamica clasica I 41

4.1. Principio de Hamilton en mecanica newtoniana . . . . . . . . . . 41

4.2. Principio de Hamilton en teora de campos . . . . . . . . . . . . . 43

4.3. La accion de una partcula libre

en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.1. Formulacion cuadridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4. Cuadripotencial del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . 49

4.5. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electro-

magnetico exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

4.6. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

4.7. El tensor electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

4.7.1. Transformaciones de Lorentz del campo . . . . . . . . . . . 415




5/181

Indice general

4.7.2. Invariantes del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

4.8. Campo electrico de una carga puntual en movimiento uniforme . . 418

4.9. Partcula cargada en un campo electrico uniforme y constante . . 420

4.10. Partcula cargada en un campo magnetico uniforme y constante . 422

4.11. Partcula cargada en campos electrico y magnetico uniformes y

constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

4.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

5. Formulacion lagrangiana de la electrodinamica clasica II 51

5.1. El primer par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. La accion del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3. El cuadrivector corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1. La ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4.1. Forma integral del segundo par de Maxwell . . . . . . . . . 59

5.5. Densidad de energa y flujo de energa . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.6. El tensor de energa-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

5.6.1. Sentido de las componentes de T. . . . . . . . . . . . . . 513

5.6.2. Expresion del tensor energa-momento canonico. . . . . . . 514

5.6.3. El tensor energa-momento simetrico . . . . . . . . . . . . 515

5.7. Balance energetico de la interaccion

campo electromagnetico-cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

5.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

6. Radiacion de partculas cargadas 616.1. Ondas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2. Solucion general de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . 64

6.3. Potenciales y campos de una carga en movimiento: solucion general

de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.1. Campos de una carga en movimiento uniforme . . . . . . . 68

6.4. Radiacion de una carga acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.1. Formula de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69



05


6/181

Indice general

6.4.2. Formula relativista de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 612

6.5. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sincrotron . . . . . . . . . 612

6.5.1. Caso de aceleracion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

6.5.2. Caso de la aceleracion centrpeta en un movimiento circular.616

6.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

7. Sistemas radiantes 71

7.1. Radiacion de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2. Radiacion de un dipolo oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.3. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.4. Termino dipolar electrico de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . 79

7.5. Radiacion dipolar magnetica y cuadrupolar electrica . . . . . . . . 710

7.6. Un ejemplo de antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

8. Apendice 1. Tensores 81

8.1. Breve introduccion: escalares, vectores y matrices . . . . . . . . . 81

8.2. Definicion de grupo y de grupo de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.3. Espacio eucldeo y grupo de las rotaciones . . . . . . . . . . . . . 83

8.3.1. Formas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.3.2. Que cosa es un tensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3.3. Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.4. Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz, cuadrivectores y tensores.811

8.4.1. Tensores en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . 813

8.4.2. Vectores y pseudovectores en el espacio de Minkowski . . . 814

8.4.3. Integrales en cuatro dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . 815

9. Apendice 2. Otra deduccion de los potenciales y campos de

Lienard-Wiechert 91

9.1. Solucion de la ecuacion de ondas en forma covariante. Funciones

de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.2. Los potenciales de Lienard-Wiechert de una carga puntual . . . . 95




7/181

Indice general

9.3. Calculo de los campos electrico y magnetico. . . . . . . . . . . . . 97



07


8/181

Indice general

Bibliografa

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Teora cl asica de campos (Reverte,Barcelona, 1986); The classical theory of fields, (Pergamon Press, Oxford, 1975).

J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition (John Wiley, NewYork, 1998). Hay version espanola de la segunda edicion inglesa, Electrodinamicaclasica, 2 edicion (Alhambra Universidad, Barcelona, 1980).

Bo Thide, Classical electrodynamics,http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html.

W. H. Hayt y J.A. Buck, Teora electromagnetica, 7a edicion (MacGraw-HillInteramericana, Mexico, 2006).

J. Costa Quintana y F. Lopez Aguilar, Interaccion Electromagnetica. TeoraClasica (Reverte, Barcelona,2007)

R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures inPhysics, vol. 2 (Caltech, Reading, Massachusetts, 1963).

R. Resnick, Introduccion a la Teora Especial de la Relatividad (Limusa,Mexico, 1998).

W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism(Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964).

F. Rohrlich, Classical Charged Particles (Addison-Wesley, Reading, Mas-sachusetts, 1990).

J. I. Iniguez de la Torre, A. Garca Flores, J. M. Munoz Munoz y C. deFrancisco Garrido, Problemas de Electrodinamica clasica(Ediciones Universidad,

Salamanca, 2002).




9/181

Captulo 1

Revision del campo

electromagnetico y las ecuacionesde Maxwell

1.1. Las ecuaciones de Maxwell

Sean E(r, t) y B(r, t) los campos electrico y magnetico y D(r, t) y H(r, t), losvectores de desplazamiento y de intensidad magnetica. Las cuatro ecuaciones de

Maxwell que los relacionan son, en el vaco,

B = 0 , (1.1) E = B

t, (1.2)

E =

0, (1.3)

B = 0j + 00 Et

, (1.4)

donde (r, t) y j(r, t) son las densidades de carga y de corriente. Por razones

que quedaran claras mas adelante al estudiar la formulacion relativista, las dos

primeras se conocen como el primer pary la tercera y la cuarta, como el el segundo

par.



11


10/181

Captulo 1. Revision del campo electromagnetico y lasecuaciones de Maxwell

En un medio material, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma

B = 0, (1.5)

E = Bt

, (1.6)

D = , (1.7) H = j + D

t, (1.8)

a las que se deben anadir las relaciones D = E, B = H y, si la corriente es

exterior al sistema y no esta dada a priori, tambien j = E. Las cantidades y

son la permitividady la permeabilidad del medio, que representan fenomenologi-

camente el efecto de las cargas y spines del mismo. Se llaman tambien a veces su

constante electrica y su constante magnetica. es la conductividad electrica cuyainversa es la resistividad electrica.

En muchas ocasiones, se trata de estudiar como vara el campo electro-

magnetico en interaccion con cargas libres cuyo movimiento no esta dado a priori

sino que esta afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente intere-

sante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. En ese caso hay que

acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello

hay que hacer dos cosas

(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones

e = e

k

(3)(r rk), (1.9)

y como densidad de corriente

je = e

k

(3)(r rk)vk (1.10)

(ii) Anadir a las ecuaciones de Maxwell las de movimiento de los electrones

d

dt mvk

(1 v2k/c2)1/2 = Fk = e(E + vk B). (1.11)que es la segunda ley de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre

cada carga dada por la expresion de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t)

y B = B(r, t) en la posicion de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemosaproximar el primer miembro por su expresion no relativista d(mv)/dt.

Estas ecuaciones estan siendo comprobadas incontables veces cada da, tanto

desde el punto de vista teorico, como en su aplicacion a multitud de instrumentos

y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte

muy importante de la f sica basica.




11/181

1.2. Energa electromagnetica

1.2. Energa electromagnetica

Las cantidades

UE =1

2

V

E D dv, y UM = 12

V

H B dv, (1.12)

son las energas almacenadas en los campos electrico y magnetico, respectiva-

mente, en un cierto volumen V. Notese que las densidades de energa se pueden

escribir tambien como

uE =1

2E2, uM =

1

2B2.

Veremos ahora que ocurre en las situaciones dinamicas. Tomemos la diferencia

entre la ecuacion (1.6) multiplicada escalarmente por H y la (1.8) multiplicada

por E

H ( E) E ( H) = H Bt

E Dt

E j.El primer miembro de esta ecuacion es igual a (E H), por lo que

(E H) = H Bt

E Dt

E j. (1.13)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuacion puede

escribirse como

(E H) = t

1

2(E D + B H)

j E. (1.14)

El segundo miembro tiene una interpretacion clara: con un cambio de signo, es la

derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energa electrica y

magnetica mas el calentamiento Joule por unidad de volumen (o bien la energa

transferida a las cargas electricas).

Integrando la ecuacion anterior en el volumen V, bordeado por S, y aplicando

el teorema de Gauss, se llega de inmediato a

V

j E dv = ddt

V

1

2[E D + B H] dv +

S

(E H) n da, (1.15)

donde el ultimo termino es igual a

V (EH) dv, como se puede ver aplicando

el teorema de Stokes.

Esta ecuacion integral es muy importante, pues se trata de la conservacion de

la energa. Se conoce como Teorema de Poynting en forma integral. Si definimos

el vector de Poynting

S = E H (1.16)



13


12/181


(no confundir con la notacion usada para una superficie S) podemos escribir el

teorema de Poynting (1.15) en forma integral como

d

dt

V

u dv +

S

S n da =

V

j E dv , (1.17)

y en forma diferencial como

u

t+ S = j E, (1.18)

donde u es la suma de las densidades de energa electrica y magnetica

u = uE + uM =1

2[E D + B H] . (1.19)

La interpretacion (1.18) es clara: el segundo miembro es la energa por unidad de

volumen que pierde el campo electromagnetico debido al efecto Joule (o sea la

energa transferida del campo a la agitacion termica de la materia o a la energa

cinetica de las cargas); el primer sumando del primer termino es la variacion local

de la densidad de energa y S es la densidad de flujo de energa electromagnetica,

es decir la energa electromagnetica que atraviesa una unidad de superficie normal

a S por unida de tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando

el termino con S en una integral en la superficie S que bordea a V) la ecuacion

(1.18) nos dice que la variacion de energa electromagnetica en ese volumen se

debe a (i) el efecto Joule o la transferencia de energa a la cinetica de las cargas

y (ii) al flujo de energa a traves del borde de V, representada por el vector de

Poynting.

En resumen u es la densidad de energa electromagnetica almacenada en el

campo y S es la densidad de flujo de esa energa.

1.3. Condiciones de frontera

Sea una superficie S de ecuacion f(r) = 0 que separa dos medios cuyas

propiedades electromagneticas son diferentes. En su superficie hay (o se inducen)

una densidad supeficial de carga y una densidad superficial de corriente K.

Indicamos las magnitudes en los dos medios por subndices 1 y 2. Las condiciones

de contorno para los campos E, D, B, H son las siguientes (siendo n un vector

unitario normal a la superficie (i. e. n = f /|f|) que suponemos dirigido delmedio 1 al 2

(D2 D1) n = , (E2 E1) n = 0 ,(1.20)

(H2 H1) n = K , (B2 B1) n = 0 .

14Anton

ioFernandez-Ranada2007



13/181

1.4. Las ecuaciones de ondas

Se pueden enunciar as: Las componentes normal de B y tangencial de E son

continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad

igual a la densidad superficial de carga libre y la componente tangencial de H

tiene una discontinuidad igual a la densidad superficial de corriente. Si fluye una

corriente de un medio al otro, su componente normal debe ser continua,

(j 2 j1) n = . (1.21)

Las condiciones sobre los potenciales son

t 2

t 1 = 0 2

n 2 1

n 1 = . (1.22)Otra condicion para puede escribirse en la forma

2 = 1 , (1.23)

en la frontera, de modo que sea continuo en ella. Las condiciones para el potencial

vectorial tienen expresiones mas complicadas que dependen la geometra de la

superficie.


1.4.1. Ecuaciones de ondas de los campos electrico y

magnetico

Tomando el rotacional de la ecuacion (1.6) (o sea de la ley de Faraday), se

tiene

( E) = t B,

que puede escribirse en la forma (pues ( A) =( A) 2

A)

( E) 2E = t (j + tE) ,

o sea

2E + 1 = tE 2t E.

Suponiendo que el espacio (o el medio) no tiene cargas libres, = 0, resulta

que el campo electrico satisface la ecuacion

2E 2

Et2 Et = 0. (1.24)



15


14/181


Podemos proceder de modo analogo con el campo H, a partir de (1.8). Se tiene

( H) =j + Dt

.

Sustituyendo adecuadamente, con j = 0, esta ecuacion se transforma en

( H) = E + t E.

Intercambiando el orden de las derivadas espaciales y temporales en el segundo

termino de la derecha y usando la tercera ecuacion de Maxwell en el primero,

tambien de la derecha, resulta

( H) = Ht

2

Ht2

.

La ecuacion de ondas para H es por tanto

2H

2H

t2 H

t= 0. (1.25)

Supongamos que la conductividad es cero (o que la resistividad es infinito).

La ecuaciones de onda se transforman en

2

E 1

v2

2E

t2 = 0, (1.26)

2H 1

v22H

t2= 0. (1.27)

donde v vale

v =1

(1.28)

que son dos ecuaciones clasicas de ondas con velocidad v. En el vaco se tiene

v = c =1

00= 2,997925 108 m/s. (1.29)

1.4.2. Los potenciales electromagneticos y su ecuacion de

ondas

La ecuacion B nos dice que el campo magnetico es un rotacional, o seaque existe un campo vectorial A tal que B = A. Ello implica que la ley deFaraday E = tB puede escribirse como (E + tA) = 0, lo que diceque (E + tA) es el gradiente de una funcion . Recapitulando

E = At , B = A. (1.30)

16Anton




15/181


A y son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el

campo electromagnetico con solo cuatro funciones.

Sustituyendo en las dos ecuaciones de Maxwell (1.7) y (1.8) estas expresiones

de los campos E y B, resulta tras un poco de algebra

2 +

t( A) = 1

(1.31)

2A

2A

t2

A +

t

= j (1.32)

Consideremos el caso del espacio vaco. Sumando y restando a la primera ecuacion

la cantidad /(ct)2, estas dos ecuaciones se pueden reescribir en la forma

2 1

c22

t2+

t

A + 1

c2

t

= 1

0 (1.33)

2A 1

c22A

t2

A + 1

c2

t

= 0j, (1.34)

donde c = (00)1/2 es la velocidad de la luz en el vaco.

Transformaciones de gauge. Sea una funcion cualquiera de (r, t) (con

buen comportamiento). Podemos cambiar los potenciales mediante la siguiente

transformacion de gauge

= t

,

A A = A + . (1.35)

Es facil comprobar que los campos E, B permanecen inalterados bajo esta trans-

formacion. Gracias a ello se pueden elegir potenciales que simplifiquen los pro-

blemas. Por ejemplo, si los elegimos de modo que se cumpla la llamada condicion

de Lorenz (o gauge de Lorenz)1

A +1

c2

t = 0, (1.36)

las ecuaciones de onda (1.33)-(1.34) toman la forma mas simple

2 1

c22

t2= 1

0 (1.37)

2A 1

c22A

t2= 0j, (1.38)

1Por el fsico y matematico danes Ludwig Lorenz, que contribuyo al desarrollo de las ideas

de Maxwell. Fue quien propuso por primera vez esta condicion en 1867. Debido a la semejanza

de sus apellidos, se confunde a menudo con el holandes Hendrik Antoon Lorentz, mas conocido

por las transformaciones relativistas que llevan su nombre.



17


16/181


es decir que son dos ecuaciones clasicas de onda con terminos de fuente. Al hacer

una transformacion de gauge para fijar la forma de las ecuaci on se dice que se

fija el gauge. Es facil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales

cumplan la condicion de Lorenz. Si , A cumplen (1.33)-(1.34) y elegimos la

funcion como una solucion de

2 1

c22

t2=

A + 1

c2

t

,

que siempre tiene solucion, los nuevos potenciales obtenidos mediante la trans-

formacion de gauge (1.35) obedecen las ecuaciones simplificadas (1.37)-(1.38).

Notese que estas dos ecuaciones se reducen en el caso estatico a

2 = 1

0, 2A = 0j, (1.39)

como caba esperar.

Se suele usar la notacion

=2 1c2

2

t2,

conociendose este operador como dalambertiano u operador de DAlembert. Es

util pues las ecuaciones de onda con la condicion de Lorenz se pueden escribir de

forma compacta

= /0, A = 0j,ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condicion

de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se

pueden cambiar sin modificar la forma (1.37)-(1.38) de las ecuaciones de onda

haciendo transformaciones de gauge con una funcion que cumpla la ecuacion

homogenea de Klein-Gordon

= 0.

Otra condicion de gauge frecuentemente usada es la condicion de Coulomb

A = 0, (1.40)

que conduce a las ecuaciones de onda

2 = 1

0, (1.41)

2A 1c2 2

At2 = 0j + 1c2

t . (1.42)

18Anton




17/181

1.5. Ondas planas electromagneticas

Un vector se llama transversal o solenoidalsi su divergencia es nula y longitudinal

o irrotacional, si tiene rotacional nulo. En el gauge de Coulomb el potencial

vectorial es pues transversal. Se puede probar que todo vector V se puede escribir

como la suma de uno longitudinal y otro transversal, V = V + V, donde Ves longitudinal y V es transversal.

El interes del gauge de Coulomb es que, si se usa, el potencial escalar es el

potencial instantaneo creado por la densidad de carga (de ah viene el nombre,

pues se obtiene como con la ley de Coulomb en el caso estatico)

(r, t) =1

40 V(r, t)

|r

r

|dv. (1.43)

Si descomponemos la corriente como la suma de dos terminos j = j +j, se tiene

2A 1

c22A

t2= 0j , (1.44)

pues A es transversal. Se sigue de la ecuacion de continuidad o de (1.42) que

00

t= 0j.

Una propiedad interesante de la condicion de Coulomb es que, si no hay densidadde carga, entonces = 0 con lo que = 0, de modo que con ese gauge

E = At

, B = A.


Supongamos un medio no conductor, o sea cuya conductividad se anula = 0.

Los dos campos E y B obedecen la ecuacion clasica de ondas,

2E 1

c22E

t2= 0, (1.45)

2B 1

c22B

t2= 0, (1.46)

con c = ()1/2, pero eso no basta: deben relacionarse entre s de modo que cum-

plan ademas las ecuaciones de Maxwell. Notese que estas ecuaciones se refieren

a un medio caracterizado por , , sin fuentes, o sea en ausencia de materia. Las

soluciones de esas ecuaciones se denominan ondas electromagneticas.



19


18/181


Estudiaremos una clase muy importante de soluciones, las ondas monocro-

maticas, que son las caracterizadas por una sola frecuencia (un solo color).

Siguiendo un metodo estandar, buscaremos soluciones de la forma

E(r, t) = Es(r)eit, B(r, t) = Bs(r)e

it

entendiendo que la funcion que representa a los campos fsicos esta dada por la

parte real de esas funciones complejas. Notese que Es y Bs seran tambien com-

plejos, aunque con el mismo desfasaje los dos, de modo que el campo electrico

sera proporcional a cos(t + ) y el magetico, a sen(t + ). Las ecuaciones de

Maxwell en el vaco se pueden escribir en la forma

Es = 0 , Es = iBs (1.47) Bs = 0 , Bs = i00Es . (1.48)

Al sustituir en las ecuaciones de ondas (1.45)-(1.46), resulta

eit

2Es +2

c2Es

= 0 , eit

2Bs +2

c2Bs

= 0. (1.49)

Diremos que la solucion es una onda planasi la amplitud de la onda es la misma

dentro de cada plano perpendicular a una direccion que sera la de propagacion.Tomando el eje x paralelo a esa direccion, esto implica que E = Es(x), lo que

simplifica la ecuacion ad2Esdx2

+2

c2Es = 0,

cuya solucion es

Es(x) = E0eix/c,

siendo E0 es un vector constante. Ademas se tiene

E(x, t) = (uxE0x + uyE0y + uzE0z) eieix/ceit= (uxE0x + uyE0y + uzE0z)cos(kx t + ) ,

Tomaremos para simplificar el signo en t. Como el campo electrico solo de-pende de x y t, la ecuacion E = 0 se simplifica a dEx/dx = 0, pero como Exdepende sinusoidalmente de x segun la ecuacion anterior, resulta que E0x = 0,

o sea que la condicion de divergencia nula implica que el campo electrico es

transversal: solo son distintas de cero las componentes normales a la direcci on de

propagacion. O, en otras palabras, el campo electrico es paralelo a los frentes de

onda. Por ello E = 0 se conoce tambien como condicion de transversalidad.

110Anton




19/181


Esto significa que el campo electrico tiene la forma

E(x, t) = (uyE0y + uzE0z) eieix/ceit,= (uyE0y + uzE0z)cos(kx t + ) , (1.50)

donde k = /c es la componente x del vector de ondas. Como las otras dos

componentes son nulas es tambien su modulo, tambien llamado el numero de

ondas.

Para obtener el campo magnetico, empleremos la ecuacion de Maxwell E = tB. El rotacional de (1.50) esta dado por

E = [uyE0z + uzE0y] k sen(kx t + ),por lo que el campo magnetico debe valer (junto con el electrico)

E(x, t) = (uyE0y + uzE0z)cos(kx t + ) ,B(x, t) = (uyE0z/c + uzE0y/c)cos(kx t + ) , (1.51)

donde se aprecia bien la transversalidad de la onda.

Esta onda se transmite hacia la derecha con velocidad v = /k = ()1/2, o

sea

velocidad de la onda = v = ux()1/2. (1.52)

El ndice de refraccion vale, por tanto,

n =

rr, (1.53)

en funcion simple de la permitividad y la permeabilidad relativas.

Notese que hay dos modos de polarizacion plana que se obtienen haciendo

E0y = 0 y E0z = 0, respectivamente. Finalmente veamos cuanto vale el vector de

Poynting

S = 10

E B = 10

E20y + E

20z

cos2(kx t)ux, (1.54)

en el que se ha hecho = 0 por simplicidad. Notese que el flujo de energa va en

el sentido positivo del eje x como caba esperar.

1.5.1. Polarizacion de las ondas

La onda (1.51) es la suma de dos soluciones distintas de la ecuacion de ondas.

Una corresponde a E0z = 0, la otra a E0y = 0. En la primera el vector electrico

vibra siendo paralelo al eje y y el magnetico al eje z; en la segunda, ocurre al reves.



111


20/181


Se dice que cada una de ellas tiene polarizacion plana o que esta planopolarizada

(los dos vectores describen dos planos perpendiculares). Por convenio se toma

la del vector E como la direccion de polarizacion. Vemos, pues, que toda onda

monocromatica con vector de onda en la direccion del eje x se puede escribir como

la combinacion lineal de dos ondas planopolarizadas en dos planos normales, si

bien la descomposicion no es unica.

Hay otro tipo de polarizacion llamada circular que es muy importante. Para

entender como es, introduzcamos una diferencia da fase entre las dos componentes

de (1.51), de modo que

E(x, t) = (uyE0y iuzE0z)e

i(kxt) ,B(x, t) =

iuy E0z

c+ uz

E0yc

ei(kxt)

, (1.55)

o, lo que es igual, como

E(x, t) = uyE0y cos(kx t) uzE0z sen(kx t) .B(x, t) = uz

E0yc

cos(kx t) uy E0zc

sen(kx t) .) . (1.56)

El extremo del vector E describe una elipse en el plano (yz), en el sentido anti-

horario vista desde la parte positiva del eje x, si el signo es menos en el segundotermino; en sentido horario con el signo +. Esta polarizacion se califica como

eleiptica. Si, ademas, E0y = E0z = E0, la elipse es una circunferencia. Se dice

entonces que la polarizacion es circular, a izquierdas si el sentido es antihorario,

a derechas si es horarrio. El sentido de giro del vector magnetico es el mismo que

el del electrico.

1.6. Transformacion de los campos electromagneticos

bajo rotaciones, reflexiones e inversion tem-

poral

El comportamiento de las cantidades fsicas bajo ciertas transformaciones

tienen mucha importancia. Ello se debe a que las propiedades basicas del espacio-

tiempo y la materia se expresan a menudo como ciertas invariancias bajo grupos

de transformaciones. As

i) la homogeneidad del espacio se puede enunciar como la invariancia de las

leyes basicas bajo traslaciones. Ello significa que al pasar de un punto a otro no

112Anton




21/181

1.6. Transformacion de los campos electromagneticos bajo rotaciones,reflexiones e inversion temporal

cambian las leyes, o sea que todos los puntos del espacio son equivalentes para la

fsica. Las leyes son las mismas en Madrid que en Barcelona, Bilbao, Nueva York

o Moscu, o en otras galaxias. Este fue un descubrimiento importante de Newton:

debemos aceptar la idea de que las leyes son las mismas por todas partes, en

contra de lo que se admita hasta entonces, siguiendo la tradicion de la filosofa

aristotelica que divida el mundo en uno sublunar y el de las estrellas.

ii) la isotropa del espacio, o sea que todas las direcciones son equivalentes para

las leyes de la fsica, se puede enunciar diciendo que estas deben ser invariantes

bajo las rotaciones del espacio.

iii) la equivalencia entre la derecha y la izquierda se conoce en fsica como

invariancia bajo paridad. Significa que, si tenemos un proceso fsico cualquieraque sigue una cierta ley, el proceso obtenido mediante una imagen especular

esta tambien previsto por la misma ley. Se puede expresar diciendo que las leyes

son invariantes bajo reflexiones r r. Esta simetra es valida con la excepcionde las interacciones debiles que no la tienen; se dice que en ellas la paridad es

violada.

iv) el principio de relatividad se puede formular diciendo que las leyes son

invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

Para que estas ideas sean operativas es esencial el concepto de simetra.

Que significa esta palabra en la vida ordinaria? Siempre alude a que algo no

cambia cuando se realizan ciertas transformacione geometricas. Por ejemplo, una

esfera es una figura muy simetrica. Esto significa que si la giramos alrededor de

cualquier eje que pase por su centro o si la reflejamos respecto al origen o a

cualquier plano o recta que pasen por su centro, ella permanece invariante. El

grupo que forman esas transformaciones se llama grupo de simetras de la esfera.

Por su parte, un cubo no cambia bajo rotaciones de un angulo multiplo entero

de /4 alrededor de un eje que pase por los centros de dos caras opuestas, o bajo

rotaciones de angulo 2/3 alrededor de un eje que pase por dos vertices opuestos,

o rotaciones de angulo alrededor de un eje que pase por los puntos medios

de dos aristas opuestas, o bajo la reflexiones r r o xk xk, k = 1, 2, 3,si se toma el origen de coordenadas en su centro. Esas transformaciones y sus

productos forman un grupo llamado el grupo de simetrias del cubo.

Analogamente, una columna cilndrica no cambia si la giramos un angulo

cualquiera alrededor de su eje. O una helice, ante rotaciones de un angulo

alrededor de su eje multiplicadas por una traslacion segun su eje de una longitud

r tan , siendo r su radio y 2r tan su paso de rosca. Con frecuencia este tipo

de simetras esta asociado a una sensacion estetica. Nos parece que las figuras



113


22/181


23/181


Si la matriz A tiene por coordenadas ajk , esto significa que su inversa A1 es igual

a su traspuesta A, o sea que

AA = I . (1.59)

Las matrices que expresan una rotacion se llaman (adecuadamente) ortogonales

y su conjunto se conoce como grupo ortogonal O(3), el tres refiriendose a la

dimension del espacio. De la ecuacion anterior se deduce que det(A) = 1. Sidet(A) = +1, se dice que la rotaci on es propia ( a veces se dice que es una

rotacion pura) y si det(A) = 1, que es impropia. Una rotacion impropia essiempre igual a una propia multiplicada por una reflexion respecto al origen.

Pues bien, todo conjunto de tres cantidades que se transforman en una

rotacion como las componentes de x se llama vector, por ejemplo la velocidadv o el momento lineal p. Hay, ademas, cantidades que son invariante bajo rota-

ciones y se llaman escalares. Por ejemplo, los productos escalares de dos vectores,

as x2, x p o v p, este ultimo el doble de la energa cinetica en fsica newtoniana.Si es un escalar y Vk es un vector, se tiene

= , Vj =

k

ajk Vk . (1.60)

Se dice que los escalares y los vectores son tensores de rango cero y uno, respec-

tivamente. Por otra parte hay cantidades con dos ndices Bij

que se transforman

como un vector respecto a cada uno, es decir

Bij Bij =

k

aikajBk . (1.61)

Son los llamados tensores de segundo rango o de dos ndices. Como ejemplos,

podemos mencional los tensores de inercia de un solido o los de tension y de-

formacion en mecanica de medios continuos. Otro, el tensor electromagnetico,

jugara un papel importante en este curso, como veremos mas adelante. La gene-

ralizacion a tensores de rango n, o de n ndices, es inmediata. Los escalares son

tensores de rango cero, sin ndices, y los vectores, tensores de rango uno o con unndice.

Si las cantidades anteriores son funciones de xk, las ecuaciones (1.60)-(1.61)

deben cambiarse a

(xi) = (xi) , V

j (xi) =

k

ajk Vk(xi) , Bij(xi) Bij(xi) =

k

aikajBk(xi) .

Supondremos, por ahora, que los tensores son constantes

Si multiplicamos termino a termino dos tensores, se obtiene un tensor cuyo

rango es la suma de los dos. As el producto diadico de dos vectores Pij = AiBj



115


24/181


es un tensor de rango dos. La cantidad Tijk = AiBjk es un tensor de tres ndices,

etc. Los operadores diferenciales tienen tambien propiedades de transformacion

bajo las rotaciones. Por ejemplo, el gradiente es un operador vectorial. Como

consecuencia, el gradiente de un escalar es un vector, la divergencia de un

vector V es un escalar, la laplaciana es un operador escalar, de modo que lalaplaciana de un escalar es otro escalar 2.

Para interpretar lo que significa una rotacion, podemos usar dos interpreta-

cionees. En el punto de vista activo se considera que no cambian los ejes de

referencia y el sistema fsico es el que se gira. En el punto de vista pasivo es al

reves, los ejes se giran y el sistema se deja fijo. Para entenderlo mejor, tomemos

una rotacion alrededor del eje z, o sea en el plano xy. Desde el punto de vistaactivo, giramos el sistema un angulo y desde el pasivo, giramos los ejes un

angulo . La situacion relativa del sistema y los ejes es la misma en los dospuntos de vista.

Consideremos el producto vectorial

D = B C . (1.62)

En componentes la ecuacion anterior se escribe

Di =jk

ijk BjCk ,

donde el smbolo ijk representa el llamado tensor de Levi-Civita, que es de rango

tres y completamente antisimetrico. Vale cero si dos ndices son iguales, +1 si ijk

es una permutacion par de (123) y 1 si es una permutacion impar. Es facil verque es un tensor invariante bajo rotaciones, pues

ijk =mn

ai ajm aknmn = ijk .

En efecto, si dos ndices en (ijk) son iguales el segundo miembro se anula. Si, porejemplo i = j, los terminos en aiaimmn se cancelan. Si ijk es una permutacion

par, el segundo miembro es igual al determinante de A = (aij) y si es una per-

mutacion impar a menos el determinante (pues se han intercambiado dos filas).

Como el determinante de una rotacion propia es +1, queda demostrado.

Notese que si la rotacion fuese impropia, su determinante sera 1 y el tensorde Levi-Civita cambiara de signo en una reflexion. Los tensores a lo que les

ocurre tal cosa, se llaman pseudotensores. De modo mas preciso, un pseudotensor

se transforma como un tensor, pero multiplicando ademas por det(A). Vemos

que ijk es un pseudotensor de tres ndices. En el caso del producto vectorial

116Anton




25/181


D, su expresion sugiere que se puede considerar como un tensor antisimetrico

de rango dos cuyas componentes sean BjCk

BkCj. Por ser antisimetrico tiene

solo tres componentes distintas, lo que permite tratarlo como un vector. Pero el

hecho de que el tensor de Levi-Civita sea un pseudotensor, indica que su ley de

transformacion es

Di = det(a)

j

aijDj (1.63)

O sea que un producto vectorial es realmente de un pseudovector. Esto tiene

importancia pues es el caso del campo vectorial. Los pseudovectores se llaman

tambien vectores axiales mientras que los vectores ordinarios se conocen como

vectores polares. El producto vectorial de un axial por un polar es polar, el de dosaxiales es axial. El producto escalar de un axial y un polar es un pseudoescalar y

el de dos axiales, un escalar.

1.6.2. Reflexiones.

La paridado reflexion r r es una transformacion que cambia la axilidad deuna figura, por ejemplo transformando una mano derecha en una mano izquierda.

La matriz de tal transformacion es aij =

ij cuyo determinante vale

1. Ya

hemos visto antes que los pseudotensores se transforman de modo distinto que

los vectores bajo una reflexion.

Si consideramos el conjunto de todas las rotaciones propias, es decir tales que

det(a) = +1, es facil ver que forman un grupo llamado ortogonal. Si incluimos los

productos de esas rotaciones por la paridad, resulta que det(a) = 1, que se llamagrupo ortogonal completo. La reflexion respecto a un plano tiene determinante 1y es igual al producto de la paridad por una rotacion de angulo en el plano. Por

ejemplo (x,y,z) (x,y, z) es igual al producto de una rotacion en el plano xy

por la reflexion r r.

1.6.3. Inversion temporal.

Las leyes basicas de la fsica clasica son invariantes por el cambio de la flecha

del tiempo2. Notese que lo que es invariante no es cada trayectoria, sino la expre-

sion matematica de la ley, es decir, la ecuacion del movimiento. Si tomamos una

2Nos referimos aqu al caso de las interacciones entre pocas partculas. Cuando hay muchas

hay que tener en cuenta consideraciones estadsticas y aparece una flecha del tiempo, como

muestra la 2a ley de la Termodinamica.



117


26/181


pelcula de una carambola, que no contenga pistas como un reloj o una persona

andando, resulta imposible saber al verla si esta siendo pasada hacia alante o

hacia atras. Los planetas giran an torno al Sol aproximadamente en un plano y

con un cierto sentido de giro. Ello se debe a un accidente hist orico, pues podran

igualmente girar en el sentido contrario. A las leyes del movimiento les da igual.

Notese que para pasar de un sentido al otro, basta con cambiar t t, v v,p p.

Pues bien para tener en cuenta esta simetra temporal, es preciso que las

ecuaciones sean invariante por esos cambios. Tomemos la segunda ley de Newton

en la formadp

dt =

U(r) .Es una ley invariante por inversion temporal, pues el segundo miembro no cambia

al invertir t y el primero tampoco, pues cambian de signo p y t, los dos a la vez. Por

ello los sistemas dinamicos Newtonianos son invariantes por inversion temporal.

En la Tabla 1, se indican las propiedades de transformacion de las principales

magnitudes electromagneticas ante rotaciones, paridad e inversion espacial.

118Anton




27/181


Tabla 1.1 Propiedades de transformacion de varias magnitudes bajorotaciones, paridad e inversion temporal.

Rotacion Inversion

Magnitud (rango del tensor) Paridad temporal

I. Mecanicas

Coordenada x 1 Impar (vector) Par

Velocidad v 1 Impar (vector) Impar

Momento p 1 Impar (vector) Impar

Momento angular L = x p 1 Par (pseudovector) ImparFuerza F 1 Impar (vector) ParTorque N = x F 1 Par (pseudovector) ParEnerga cinetica p2/2m 0 Par (escalar) Par

Energa Potencial U(x) 0 Par (escalar) Par

II. Electromagneticas

Densidad de carga 0 Par (escalar) Par

Densidad de corriente J 1 Impar (vector) Impar

Campo electrico E 1 Impar (vector) ParDesplazamiento D 1 Impar (vector) Par

Polarizacion P 1 Impar (vector) Par

Campo Magnetico B 1 Par (pseudovector) Impar

Intensidad Magnetica H 1 Par (pseudovector) Impar

Imanacion M 1 Par (pseudovector) Impar

Vector de Poynting S = E H 1 Impar (vector) ImparTensor de Maxwell T 2 Par (tensor) Par



119


28/181


1.7. Problemas

Problema 1.1 Comprobar que la fuente del potencial vectorial en el gauge de

Coulomb es la componente transversal o solenoidal de la corriente Jt (que verifica

Jt = 0).

Problema 1.2 Si existiesen los monopolos magneticos, uno de carga qm si-

tuado en el origen de coordenadas producira un campo magnetico igual a

Bm =0qm

4

r

r3

a) Demostrar que ese campo no es una solucion de las ecuaciones de Maxwelly, por tanto, es incompatible con la teora en ellas basada.

b) Demostrar que, si se anade el termino Bs = 0qm(x)(y)h(z)ez al campoanterior, donde es la funcion de Dirac y h, la funcion escalon de Heaviside,

el campo suma s obedece a las ecuaciones de Maxwell. Interpretar la solucion

as obtenida.

Problema 1.3 Supongamos que la relacion constitutiva de un material que

expresa el vector polarizacion P en funcion del campo electrico en presencia

de una campo magnetico estatico B0

incluye varias contribuciones de E, sus

derivadas temporales y B0. Usar argumentos de simetra que muestren que la

expresion mas general hasta el segundo orden en B0 tiene necesariamente la

forma:

1

0P = 0E + 1

E

t B0 + 2(B0 B0)

2E

t2+ 3

2E

t2 B0

B0

Problema 1.4 Si en un conductor por el que fluye una corriente debida

a un campo electrico se aplica un campo magnetico transversal, aparece una

componente de campo electrico en la direccion perpendicular a ambos y, comoconsecuencia, un voltaje entre los dos lados del conductor. Este fenomeno se

conoce como efecto Hall. Basandose en las propiedades se simetra espacial y

temporal, demostrar que, para campos magneticos pequenos. la generalizacion

de la ley de Ohm que es correcta hasta el segundo orden en el campo magnetico

tiene la forma

E = 0J + R(H J) + 1H2J + 2(H J)H

donde 0 es la resistividad en ausencia del campo magnetico y R, 1, 2 son ciertos

coeficientes (R se conoce como coeficiente de Hall o coeficiente Hall).

120Anton




29/181

1.7. Problemas

Problema 1.5 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vaco, sin car-

gas ni corrientes, son invariantes bajo las llamadas transformaciones de dualidad

E E = E cos + cB sen , cB cB = E sen + cB cos .

1.5

Problema 1.6 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el espacio vaco,

pero con distribuciones de cargas y corrientes, se pueden modificar para incluir las

hipoteticas cargas magneticas y que tales ecuaciones modificadas son invariantes

bajo las llamadas transformaciones de dualidad que entremezclan la electricidad

y el magnetismo

E = E cos + cB sen , cB = E sen + cB cos ,ce = ce cos + m sen ,

m = ce sen + m cos ,

cje = cj e cos +j m sen , jm = cj e sen +j m cos .

Determinar las propiedades de transformacion bajo rotaciones propias, reflexiones

espaciales e inversion temporal de las cantidades electromagneticas involucradas.

Tambien bajo la reflexion de carga q q = q.



121


30/181


122Anton




31/181

Captulo 2

Guas de ondas y cavidades

resonantes

Las guas de ondas son dispositivos para la transmision de microondas a bajo

coste. Ya en 1893, Heaviside (uno de los Maxwellianos) considero la posibilidad

de propagacion de ondas electromagneticas por dentro de un tubo metalico, pero

deshecho la idea por creer que eran necesarios dos conductores el tubo y otro

por dentro para la transmision de la onda. Cuatro anos mas tarde, en 1897,

Lord Rayleigh (John William Strutt) probo matematicamente que la propagacionde ondas es posible en tubos de seccion circular y cuadrada. Mostro que hay un

numero infinito de modos de propagacion, los llamados TE y TM que estudi-

aremos en este captulo, pero no intento la verificacion experimental. La cosa se

olvido hasta los anos 30 del siglo XX, cuando las guas de ondas se redescubrieron

y empezaron a construirse y a aplicarse.

2.1. Condiciones de contorno en la frontera en-

tre un conductor y un dielectrico

Antes de entrar en el tema de este captulo, conviene repasar las condiciones de

contorno entre dos medios expuestas en la seccion 1.3. Si n es un vector unitario

y normal a la superficie que va del medio d (dielectrico) al medio c (conductor),

se cumple

(Dd Dc) n = , (Ed Ec) n = 0 ,(2.1)

(Hd Hc) n = K , (Bd Bc) n = 0 .



21


32/181

Captulo 2. Guas de ondas y cavidades resonantes

Se pueden enunciar as: Las componentes normal de B y tangencial de E son

continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad

igual a la densidad superficial de carga libre y la componente tangencial de H

tiene una discontinuidad igual a la densidad superficial de corriente.

En el caso de las guas de ondas se aplican las condiciones sobre E y B para

obtener las soluciones y las sobre H y D para determinar las densidades de carga

y de corriente debidas al movimiento de las cargas superficiales de las paredes

interiores de las guas.

Puede parecer que la superficie frontera tiene espesor nulo, pero no es as.

En realidad, los campos penetran algo en el conductor, atenuandose exponencial-

mente hacia su interior con una longitud caracterstica del conductor , conocidacomo su profundidad de la pielo profundidad de penetracion(en ingles skin depth).

Cuanto mejor conduzca un conductor menor es esta profundidad. En esa capa es-

trecha, el campo electromagnetico puede transferir energa a las cargas que all hay

produciendose as una disipacion de energa con la consiguiente atenuacion de la

onda

Figura 2.1: Campos electrico y magnetico en la superficie de un conductor perfecto

( = 0)

Pero en lo sucesivo y mientras no se diga nada en contra tomaremos como

aproximacion el lmite en que se desprecia la existencia de esa capa, suponiendoque el paso de una medio al otro tiene espesor nulo. Para muchos problemas eso

es suficiente y simplifica el analisis. En tal aproximacion, el comportamiento de

las componentes paralelas y perpendicular a la superficie de los cuatro campos

es el que se muestra esquematicamente en 2.1. O sea que, para obtener las ex-

presiones de los campos en el interior de una gua de ondas, se deben resolver las

ecuaciones de Maxwell con las condiciones de contorno (que expresan tambien las

de equilibrio)

E n = 0 , B n = 0, (2.2)siendo n un vector normal a la pared de la cavidad S= C (ver figura . Pero

22Anton




33/181

2.2. Radiacion electromagnetica en una cavidad en forma de paraleleppedorectangular

insistamos que estas condiciones son una idealizacion, segun la cual la componente

normal de B y la tangencial de E caen abruptamente en la superficie. De ese modo

no se tiene en cuenta una fuente de disipacion de energa.

2.2. Radiacion electromagnetica en una cavidad

en forma de paraleleppedo rectangular

Consideremos una cavidad C en forma de paraleleppedo rectangular solido0 x L1, 0 y L2, 0 z L3, en la que hay radiacion electromagneticaen equilibrio con las paredes. Supondremos tambien que las cargas tienen unamobilidad perfecta de modo que se adaptan instantaneamente a la variacion de los

campos. Estos pueden expresarse como suma de modos normales, caracterizado

cada uno por tres enteros no negativos n1, n2, n3, de los cuales al menos dos

deben ser no nulos. Eligiendo adecuadamente el gauge, podemos tomar A0 = 0,

de manera que los modos normales pueden expresarse como

A0 = 0, A1 = Ae1x cos t cos(n1x/L1) sen(n2y/L2)sen(n3z/L3),

A2 = Ae1y cos t sen(n1x/L1)cos(n2y/L2)sen(n3z/L3), (2.3)

A3 = Ae1z cos t sen(n1x/L1) sen(n2y/L2) cos(n3z/L3),

E1 = Ae1x sen t cos(n1x/L1)sen(n2y/L2)sen(n3z/L3),

E2 = Ae1y sen t sen(n1x/L1) cos(n2y/L2) sen(n3z/L3), (2.4)

E3 = Ae1z sen t sen(n1x/L1)sen(n2y/L2)cos(n3z/L3),

y

B1 =

c Ae2x cos t sen(n1x/L1) cos(n2y/L2)cos(n3z/L3),B2 =

cAe2y cos t cos(n1x/L1) sen(n2y/L2) cos(n3z/L3), (2.5)

B3 =

cAe2z cos t cos(n1x/L1)cos(n2y/L2)sen(n3z/L3),

donde k = (n1/L1, n2L2, n3/L3) y

= |k|c = c

n1L1

2+

n2L2

2+

n3L3

2,

siendo (e1, e2, k/k) tres vectores ortogonales.



23


34/181


35/181


36/181


Figura 2.4: Gua de ondas de seccion rectangular (figura tomada de Hayt and

Buck ).

Figura 2.5: Gua de ondas de placas paralelas con una capa con ndice de refraccion

n1 rodedada por dos dielectricos de ndice n2 < n1 (figura tomada de Hayt and

Buck).

26Anton




37/181

2.3. Guas de onda

Figura 2.6: Gua de ondas de forma arbitraria.

laplaciano como una suma

2 =

2

x2+

2

y2

+

2

z2=2t +

2z ,

de un termino transversal 2t y otro longitudinal 2z, siendo t = (x, y, 0) y

z = (0, 0, z). Sustituyendo en las ecuaciones de onda de E y B

2 +2

c2

E

B

eikzt =

2t +

2

c2 k2

E(x, y)

B(x, y)

eikzt = 0 ,

con k2 = k2z y 2/c2 k2 = k21 + k22. Se sigue que

2t +

2

c2 k2

E

B

= 0 . (2.8)

Conviene descomponer los campos en partes paralelas al eje z y transversales,

E = Ez + Et , (2.9)

de modo que

Ez = Ezez Et = (ez E) ez , (2.10)y analogamente para B. Esto es interesante pues veremos a continuacion que si se

conocen las partes Ez y Bz quedan determinadas las otras dos. De hecho, las ecua-

ciones de Maxwell (1.47)-(1.48) se pueden escribir en terminos de componentes

transversas y longitudinales. Toman entonces la forma

zEt + iez Bt = tEz , ez (t Et) = iBz , (2.11)zBt iez Et = tBz , ez (t Bt) = iEz , (2.12)

t Et = zEz , t Bt = zBz (2.13)



27


38/181


A partir de las primeras ecuaciones (2.11) y (2.12), resulta que si Ez y Bz se

conocen, las componentes transversas quedan determinadas, suponiendo las ex-

presiones (2.7). De hecho, se pueden despejar Et y Bt, resultando (con el signo

+ en ikz)

Et =i

2/c2 k2 (kt Ez (ez t)Bz) (2.14)

Bt =i

2/c2 k2

kt Bz + c2

(ez t)Ez

. (2.15)

Para cambiar el sentido de la propagacion basta con cambiar el signo de k.

Hay, en primer lugar, un tipo de solucion conocida como onda transversal

electromagnetica (u onda TEM), caracterizada por tener los campos solocomponentes transversas, o sea por Ez = Bz = 0. En tal caso, se deduce de la

segunda (2.11) y la primera (2.13) que el campo EEMT = Et obedece a

t ETEM = 0 , t ETEM = 0 .Estas son las ecuaciones del campo electrostatico en dos dimensiones. Ello tiene

tres consecuencias.

i) El numero de ondas longitudinal es el mismo que en un medio infinito

k = k0 = /c =

. (2.16)

ii) El campo magnetico correspondiente, deducido de la primera (2.12), es

BTEM = ez ETEM , (2.17)segun el sentido de propagacion de las ondas. O sea que la relaci on entre los

campos electrico y magnetico es la misma que en el caso de una onda plana que

avanza segun el eje z.

iii) Un modo TEM no puede darse en un conductor cilndrico hueco. La razon

es que, como es facil demostrar, los dos campos de un modo TEM obedecen la

ecuacion de Laplace en dos dimensiones

tETEM = 0 tBTEM = 0 ,

y se pueden deducir de potenciales, que obedecen la misma ecuacion (pues si

t ETEM = 0, entonces ETEM = t y t = 0). Como un conductor esuna superficie equipotencial, la unica solucion para el potencial en el interior de

la gua es = constante, que corresponde a campo electrico nulo. En cambio

la solucion es posible con varios conductores, pues cada uno puede estar a un

potencial diferente, siendo no nulo el campo E. Veremos un ejemplo en el cable

coaxial.

28Anton




39/181

2.4. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mnimas

2.4. Modos transversales electricos y magneticos

y frecuencias mnimasNecesitamos conocer las condiciones de contorno de los campos Ez y Bz en la

superficie S, pues el procedimiento que seguimos es obtenerlos primero y deducir

de ellos Et y Bt mediante (2.14)-(2.15). De (3.1) se sigue de modo evidente que

la condicion para Ez es

Ez|S = 0 . (2.18)En el caso de Bz, tomamos la primera ecuacion (2.12) multiplicada escalarmente

por la normal a S n. Como Et es normal a S el segundo termino del primer

miembro se anula y, como Bt es paralelo a la superficie, se anula el primer termino.

Solo queda n tBz = 0, o seaBzn

S

= 0 . (2.19)

Las ecuaciones (2.8) junto con las condiciones de contorno (2.18)-(2.19) plantean

el problema de hallar las ondas en la gua.

Existen dos familias de soluciones especialmente interesantes

i) Ondas transversas magneticas (TM):Bz = 0 en todo el interior y Ez|S = 0 en la superficie.ii) Ondas transversas electricas (TE):

Ez = 0 en todo el interior y nBz|S = 0 en la superficie. Notese que ni elcampo electrico es transversal en las ondas TM ni el campo magnetico lo es en

las ondas TE.

Una propiedad importante es que el conjunto completo de ondas TE y TM,

mas las TEM si existen, constituyen un conjunto completo de soluciones para

expresar cualquier onda electromagnetica en la gua.

Ejemplo 2.1: gua de ondas rectangular

Sea una gua de ondas, infinitamente larga en la direccion x, con lados a y

b (< a) en las direcciones y y z. Sus paredes son conductores perfectos.

a) Cuales son las condiciones de contorno de los campos electrico y magnetico

en las paredes?

b) Escribir la ecuacion que describe los campos del modo mas bajo. (Pista: el

campo electrico solo tiene componente z, pero por que?).

c) Hallar las velocidades de fase y de grupo del modo m as bajo que se propaga.



29


40/181


d) Los modos de propagacion se clasifican de modo natural en dos clases. Cuales

son y en que se diferencian? (Princeton)

a) Condiciones de contorno. Las condiciones de contorno ( o de borde) son

E n = 0 y B n = 0 en la superficie interna de las paredes, siendo n un vectornormal a ellas. O sea que el campo electrico sea normal y el campo magnetico

tangencial a dichas paredes. Por tanto se debe cumplir

Para y = 0, a, By = 0, Ex = Ez = 0 ,

Para z = 0, b, Bz = 0, Ex = Ey = 0 .

Ademas, como

E = 0, se sigue que Ey/y = 0 en y = 0, a, y Ez/z = 0 en

z = 0, b. Esto significa que Ey y Ez tienen un maximo o un mnimo en las caras

de la gua como funciones de y o de z, respectivamente.

b) Modo mas bajo. Para ondas sinusoidales en el tiempo se cumple la

ecuacion de Helmholtz (2 2/c2)E = 0, siendo /c = k, y la ecuacion deMaxwell E = tB (ley de induccion de Faraday). Por lo que

B = i

E .

En el modo mas bajo Ex = Ey = 0, E = Ez. Es pues una onda TE que cumple2Ez + k2Ez = 0. El campo magnetico correspondiente es

Bx = i

Ezy

, By = +i

Ezx

, Bz = 0

Notese que la componente longitudinal de E se anula, pero no as la de B. Se

trata pues de una onda TE.

c) Separacion de variables. La ecuacion de Helmholtz de este modo se

puede separar tomando

Ez = Y(y)Z(z)ei(k xt) .

Ello da lugar a las dos ecuaciones diferenciales ordinarias

d2Y

dy2+ k1Y = 0 ,

d2Z

dz2+ k2Z = 0 .

con k21 + k22 = k

2 k 2. Las soluciones son

Y = A1 cos k1y + A2 sen k1y ,

Z = B1 cos k2z+ B2 sen k2z .

210Anton




41/181

2.4. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mnimas

Teniendo en cuenta las condiciones de contorno Ez = 0 para y = 0, a, y zEz =

0 para z = 0, b resulta

A1 = B2 = 0, k1 = m/a, k2 = n/b,

con m y n dos enteros positivos o uno de ellos positivo y nulo el otro. Por tanto

k 2 = Csenmy

a

cos(

nz

b)ei(k

xt) .

La ley de dispersion de la onda es pues

= ck 2 + ma2 + n

b2

1/2

.

Se comprende facilmente la existencia de un mnimo para cada modo que corre-

sponde a k = kz = 0

min = c

ma

2+n

b

21/2. (2.20)

Sea vf la velocidad de fase a lo largo de la gua. Como k = /vf, se tiene

= vf2

c2 m

a2

+n

b2

21/2

.

Notese que n puede valer cero sin que Ez se anule identicamente, por lo que el

modo mas bajo es TE10 (m = 1, n = 0). Su velocidad de fase es

vf =

(/c)2 (/a)2 > 0 .

La velocidad de grupo es

vg =d

dk =dk

d1

=c2

k =c2

22

c2 2

a2 =c2

vf < c .

d) Tipos de modos. Los modos que se pueden propagar en esta gua son de

dos tipos. Uno con el campo electrico transversal pero con el campo magnetico

con componente longitudinal (modos TE) y otro con campo magnetico transverso

pero con componente longitudinal en el campo electrico (modos TM). Esta gua

no tiene soluciones del tipo TEM. La calculada en este ejemplo es de tipo TE.



211


42/181


Figura 2.7: Seccion de un cable coaxial.

Ejemplo 2.2: cable coaxial

Un cable coaxial consiste en un cilindro conductor exterior y otro interior,

entre los que hay un dielectrico. Puede transmitir ondas TEM debido a que sufrontera esta formada por dos conductores separados (es decir, sin contacto).

Segun se vio mas arriba, en esas ondas se cumple

k =

, tETEM = 0 , BTEM = ez ETEM

Podemos resolver la ecuacion de E, pero es preferible trabajar con un potencial

en dos dimensiones (x, y), de modo que

ETEM = (

t)e

i(tkz)

La ecuacion de es la de Laplace en 2D 2t = 0 que se escribe en coordenadaspolares

2

2+

1

+

1

22

2

(, ) = 0

Como el potencial es constante en cada uno de los dos conductores, (R1, ) = 1y (R2, ) = 2, la solucion es independiente del azimut , por lo que el potencial

depende solo de y la ecuacion se simplifica a

1

= 0

212Anton




43/181

2.5. Planteamiento general

cuya solucion es = A log + B, siendo A y B dos constantes de integracion que

se deducen de las condiciones de contorno

A =1 2

log(R1/R2), B =

2 log R1 1 log R2log(R1/R2)

Es facil comprobar que, si se quita el conductor interno, A se puede deducir de las

condiciones de contorno en R1, pero el potencial as obtenido diverge en = 0.

La unica solucion posible es = constante que corresponde a campo nulo, como

caba esperar, ya que as ocurre en las guas constituidas por un conductor hueco.

Los campo electrico y magnetico son

En coordinadas cilndricas:

ETEM(,,z,t) =A

ei(tkz) e , BTEM(,,z,t) =

A

ei(tkz) e

En coordenadas cartesianas:

ETEM =A

x2 + y2(xex + yey) e

(itkz) , BTEM =A

x2 + y2(yex + xey) ei(tkz) .

2.5. Planteamiento generalMultiplicando vectorialmente por ez cada una de las las ecuaciones (2.14) y

(2.15) y combinandola con la otra, se deduce que tanto las ondas TE como las

TM cumplen

Ht =1Z

ez Et , (2.21)donde se usa el campo H en vez de B y la llamada impedancia de la onda Z =

E/H vale

Z =k

=

kk0

TM

(2.22)

Z =

k=

k0k

TE

con k0 dado mas arriba. El signo depende del sentido de la propagacion. Loscampos transversales se determinan por los longitudinales segun (2.14) y (2.15):

Ondas TM

Et = ik

2 t



213


44/181


Ondas TE

Ht =

ik

2t

siendo eikz igual a Ez (resp. Hz) para las ondas TM (resp. TE) y

2 = 2 k2 . (2.23)

La funcion escalar cumple la ecuacion de ondas bidimensional

(2t + 2) = 0 , (2.24)

y las condiciones en el borde

|S , n

S

. (2.25)

Esta claro que la constante 2 debe ser no negativa. Se tiene as un problema de

valores propios, dado por la ecuacion de onda y las dos condiciones de contorno,

que tiene un conjunto discreto de valores propios 2 y de funciones propias ,

= 1, 2, 3, . . .. Dada una frecuencia el numero de ondas toma un valor para

cada

k2 = 2 2 , (2.26)

lo que define una frecuencia de corte mnima (cut-off frequency)

=

, (2.27)

siendo el correspondiente numero de ondas

k =

2 2 . (2.28)

Para que haya propagacion, debe ser real (de otro modo, la onda sera exponen-

cialmente decreciente o creciente) y para ello es preciso que > . En tal caso

las ondas se propagan en la gua. Conviene subrayar que para cada valor de hay

un modo, con una familia infinita de frecuencias que dependen continuamente de

k, con 0 < k/

< 1, segun las ecuaciones anteriores

Notese que el numero de ondas k es menor que el correspondiente valor en el

espacio libre no confinado

, por lo que las longitudes de onda son mayores

que la del espacio libre. Por contra, la velocidad de fase vf es mayor que en el

espacio libre, pues

vf =

k=

1

1

1 (/)2

>1

214Anton




45/181

2.6. Cavidades resonantes

Figura 2.8: Numero de ondas k frente a en varios modos .


Una cavidad resonante es simplemente un volumen rodeado por una placa

conductora. Como ejemplo sirve cualquier hueco en el interior de un conductor

o la cavidad en forma de paraleleppedo de la primera seccion de este captu-

lo. Lo mismo que esa, cualquier otra tiene un conjunto discreto de frecuenciasllamadas de resonancia, que pueden excitarse si la pared tiene un agujero que

comunica a la cavidad con el exterior. Cada modo tiene una frecuencia y una

forma del modo, dada esta por un par de funciones vectoriales E(r, t), B(r, t).

El conjunto de frecuencias y las formas de los modos se determinan al resolver

un problema de valores propios: las ecuaciones de Maxwell en el interior, mas las

condiciones de contorno. Notese que la cavidad tiene un gran parecido con los

sistemas oscilatorios mecanicos, como varios pendulos acoplados por ejemplo.

Si las paredes estuvieran hechas de un conductor perfecto y la cavidad estu-

viese vaca de materia, la energa contenida en el campo en el interior se conser-vara, pues el vector de Pointing es siempre tangente a esas paredes. Pero, como

ya se ha indicado, hay una capa fina bajo la superficie interior en la que entra

el campo por el efecto pelicular (skin effect). En esa capa hay una transferencia

de energa del campo a las paredes, en forma de calor que se transmite por el

conductor y sale fuera. Tambien hay alguna inevitable perdida en el dielectrico

interior, debida a la constante polarizacion y despolarizacion. Por ello la cantidad

de energa almacenada en el interior de la cavidad disminuye. Una consecuencia

de esos procesos es que la frecuencia ya no esta completamente definida (como

una funcion delta) sino que hay una banda mas o menos estrecha de frecuencias



215


46/181


alrededor de un cierto valor 0.

Para caracterizar la disipacion de energa se define el factor de calidado factorQ de la cavidad como 2 veces la energa almacenada dividida por la perdida de

energa por ciclo

Q = 0Energa almacenada

Potencia perdida. (2.29)

La potencia disipada es la tasa de variacion de la energa almacenada U cambiada

de signo, por lo que se puede escribir

dU

dt= 0

QU, U(t) = U0e0t/Q . (2.30)

La energa decrece exponencialmente tanto mas despacio cuanto mayor sea el

factor Q, lo que explica la razon de ser calificado como de calidad.

La dependencia anterior del tiempo implica que los campos en la cavidad

tienen la forma

E(t) = E0e0t/2Q ei(0+)t

donde es una imprecision de la frecuencia y E0, una funcion espacial. Usando

la transformacion de Fourier se puede escribir

E(t) =1

2

E()eit

dt ,

E() =12

0

E0e0t/2Q ei(0)tdt . (2.31)

Resolviendo la segunda integral, resulta

|E()|2 1( 0 )2 + (0/2Q)2 , (2.32)

en forma de curva de resonancia. El maximo esta en 0 + . Se define como

anchura de la resonancia a la anchura de la curva a la mitad de la altitud delmaximo. Su valor es = 0/Q. Por tanto, el factor Q vale

Q =0

. (2.33)

Ejemplo 2.2: Gua de ondas rectangular 2 Sea una gua de seccion rect-

angular de lados a y b y de caras paralelas al eje z(ver figura 2.10). Las condiciones

de contorno n B = 0 y n E = 0 en las caras, equivalen a

Ey = Ez = Bx = 0, en x = 0, a

216Anton




47/181


Figura 2.9: Forma de la resonancia.

Figura 2.10: Figura Gua de ondas rectangular.



217


48/181


Ex = Ez = By = 0, en y = 0, b

Los campos son de la forma

E(x , y, z, t) = E(x, y)ei(kzt), B(x , y, z, t)B(x, y) = ei(kzt)

y deben cumplir las ecuaciones de ondas

2

x2+

2

y2

E

B

+

2

c2 k2

E

B

= 0

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell (2.11)-(2.13), se pueden buscar

soluciones para E(x, y) y B(x, y) de la forma

Ex = cosm

ax sen

n

by, Bx =

senm

ax cos

n

by

Ey = senm

ax cos

n

by, By =

cosm

ax sen

n

by

Ez = senm

ax sen

n

by, Bz =

cosm

ax cos

n

by

Sustituyendo en la ecuacion de ondas, se obtiene

2

c2

= ma

2

+ nb

2

+ k2

Esto indica que para cada modo (m, n) hay una frecuencia mnima

min = mn = c

ma

2+n

b

2Aplicando las ecuaciones de Maxwell, se llega a

i = n

b ik , i = n

b ik

i = ik

m

a,

i = ik +

m

ai =

m

a n

b, i = m

a+

n

b

Un examen de estas condiciones lleva a las conclusiones siguientes.

i) Los modos TE corresponden a = 0 y los TM a = 0. Si las dos se anulan,

el campo es nulo, como caba esperar ya que las paredes forman un solo cuerpo

conductor y no hay modos TEM.

ii) Los modos TE tienen uno de los enteros m, n igual a cero. O sea, corre-

sponden bien a (m

= 0 n = 0) bien a (m = 0, n

= 0). Los modos TM tienen los

dos enteros, o sea m = 0 y n = 0)

218Anton




49/181

2.7. Cuestiones y problemas

Tomemos como ejemplo el modo (10) (o sea m = 1, n = 0), que es TE. Es

facil ver que Ex = Ez = 0 y

Ey = senx

aei(kzt) =

2i

ei[kz+(/a)xt] ei[kz(/a)xt] .

Ademas, By = 0, Bx, Bz = 0. Vemos que, como ocurre en los demas modos TE, elcampo magnetico no es transverso. El campo electrico es la superposicion de dos

ondas con vectores de onda (/a, 0, k) y (/a, 0, k) que representa una onda ysus reflexiones en las caras normales al eje x. El vector de Poynting de cada una

de esas ondas esta en el plano xz y su angulo con el eje x es = arctan [k/(/a)].

Ello explica que la velocidad de grupo vg a lo largo de la gua sea menor que c, si

bien la de fase vf es mayor. Se cumple, como en las demas guas

vf vg = c2

rr= c 2

donde c es la velocidad de la luz en el dielectrico que llena la gua.


Cuestiones

2.1 Considerense con atencion las condiciones de contorno sobre el campo

electromagnetico en el borde entre un dialectrico y un conductor, B n = 0 yEn = 0, en el caso de una situacion de equilibrio y entendiendo lo que significan.

2.2 En el caso de campos variables en el tiempo, hay que considerar tambien

las condiciones D n = y H n = K, donde y K son las densidadessuperficiales de carga y de corriente. Ello implica que en las pareden interiores de

las guas debe haber corrientes superficiales tales que H , E , K forman un triedrorectangulo con E normal a la superficie. Formese una representacion visual del

fenomeno.

2.3 Las condiciones de contorno anteriores valen para una superifice matematica-

mente perfecta de manera que el campo magnetico normal y el electrico tangencial

se anulan en esa superficie al acercrse desde el exterior del conductor.Implica eso

que no se disipa energa en las paredes?

2.4 Relacionar las cuestiones anteriores con el efecto pinch o pelicular estudi-

ado en Electromagnetismo II.



219


50/181


2.5 Revisar el concepto de ley de dispersion, es decir la relacion = (k).

Considerar los casos de una onda sobre una cuerda, sobre el parche de un tambor

o de la ecuacion de Schodinger. Reflexionar sobre la relacion entre esa ley y la

ecuacion de ondas correspondiente. Que debe de ocurrir para que haya una

frecuencia mnima?

2.6 Revisar los conceptos de onda estacionaria en varios casos, la cuerda

vibrante y la funcion de ondas, por ejemplo. En el primer caso, comprobar de

nuevo que cada onda estacionaria es la auperposicion de una onda progresiva

hacia la derecha y otra hacia la izquierda. Este hecho es importante para entender

la propagacion de una onda en una cavidad.

Problemas

Problema 2.1 Un tunel se comporta como una gua de ondas. En el caso de

uno de seccion rectangular con dimensiones a y b:

a) Hallar el rango de frecuencias para las que se propaga solo el modo fundamen-

tal.

b) Explicar por que las senales de radio de AM se recibenpeor dentro del tunel

que las de FM.

Problema 2.2 En una gua de ondas de seccion cuadrada de lado a y paredesperfectamente conductoras, se propaga un campo electromagnetico cuyo campo

electrico vale

Ex = E0x cos

2x

a

sen

2y

a

ei(kzt) ,

Ey = E0y sen

2x

a

cos

2y

a

ei(kzt) ,

Ez = E0z sen

2x

a

sen

2y

a

ei(kzt) .

a) Que relacion debe haber entre Ex, Ey, Ez para que sea un modo TM puro?

Identificar tal modo y calcular la frecuencia f0 a la que deja de propagarse.

b) Que otros modos pueden propagarse con frecuencia por encima de f0?

c) Calcular la densidad de energa electromagnetica por unidad de longitud de la

gua, promediada en el tiempo.

Problema 2.3 Estudiar las constantes de corte y los modos de propagacion en

una gua de seccion circular de radio a (sugerencia: revisar el metodo de separacion

de variables en coordenadas cilndricas para el operador de Laplace en geometras

circulares). Hallar la expresion de las velocidades de fase y de grupo en funcion de

220Anton




51/181


la frecuencia para los modos TE11, TM01 y TE01 en una gua cilndrica de radio

1 cm. Dibujar un esquema de las configuraciones de campos en esos modos en los

planos xy y xz.

Problema 2.4 Sea una gua de ondas rectangular, con dimensiones a = 2

cm, b = 1 cm, transmitiendo una onda en el modo fundamental.

a) Hallar las velocidades de fase y de grupo en funcion de la frecuencia.

b) Calcular la potencia media maxima que puede transmitir la gua a 10 GHz (el

campo electrico de ruptura en el aire es de 30 kV/cm).

Problema 2.5 Sea una gua de ondas rectangular, infinitamente larga en la

direccion x, con anchura (en la direccion y) 2 cm y altura (en la direccion z) 1

cm. Las paredes son conductores perfectos.

a) Cuales son las condiciones de contorno de los campos electrico y magnetico

en las paredes?

b) Escribir la ecuacion que describe los campos del modo mas bajo. (Pista: el

campo electrico solo tiene componente z, pero por que?).

c) Hallar las velocidades de fase y de grupo del modo m as bajo que se propaga.

d) Los modos de propagacion se clasifican de modo natural en dos clases. Cuales

son y en que se diferencian? (Princeton)

Problema 2.6 Una onda se propaga en el modo TE a lo largo de una guarectangular vaca de lados a y b.

a) Cual es la frecuencia de corte de ese modo?

b) Si la gua se llena con un material de permitividad , como cambia la fre-

cuencia de corte? (Columbia)

Problema 2.8 a) Escribir las ecuaciones de Maxwell para un medio no con-

ductor de constantes electromagneticas y y deducir la propagacion de ondas

electromagneticas en ese medio.

b) Determinar los campos E y B del modo TE mas bajo en una gua de ondascuadrada de lado llena con el medio anterior. Expresar las condiciones de con-

torno.

c) Para que intervalo de frecuencias es el modo TE del apartado anterior el

unico posible? Que pasa con los otros modos? (Wisconsin)

Problema 2.9 Una gua tiene seccion triangular con lados a, a, y

2a. Las

paredes son conductores perfectos y = 0, = 0 en su interior. Determinar

los modos posibles TEM, TE y TM. Hallar las funciones E(x , y, z, t), B(x , y, z, t)

y las frecuencias de corte. Explicar por que no todos los modos son permitidos.

(Princeton)



221


52/181


Problema 2.10 Una gua esta formada por dos cilindros concetricos conduc-

tores de radios R1 y R2. Su eje es el z. El espacio entre los conductores esta vaco

en z < 0 y lleno de un dielectrico de permitividad en z > 0.

a) Determinar los modos TEM.

b) Si una onda electromagnetica viene desde z < 0, calcular las ondas reflejadas

y transmitidas.

c) Que fracciones de la energa son transmitidas y reflejadas? (Columbia)

Problema 2.11 Una lnea de transmision consiste en dos conductores par-

alelos largos y de secciones arbitrarias pero constantes, paralelas al eje z. La

corriente va por un conductor y vuelve por el otro. Estan inmersos en un medio

de constantes y .a) Hallar la ecuaciones de ondas de E y B para ondas propagandose en la direc-

cion z.

b) Hallar la velocidad de propagacion de las ondas. (Princeton)

Problema 2.12 Una gua de ondas consiste en dos placas conductoras par-

alelas y separadas por la distancia a. El espacio entre las placas esta lleno de un

gas con ndice de refraccion n (independiente de la frecuencia).

Suponiendo que las placas son perpendiculares al eje z, considerense los modos

en los que los campos sean independientes de la coordenada y. Hallar la relacionentre y , as como las velocidades de fase y de grupo. (Princeton)

222Anton




53/181


54/181

Captulo 3. Relatividad especial

matematica. En otras palabras, si Andres y Beatriz cada uno en su referencia

inercial, investigan mediante experimentos las leyes de la naturaleza en un cierto

sistema fsico, los dos obtendran las mismas leyes excepto en el nombre de las

variables (salvo error, claro).

Con frecuencia se distingue entre principio de relatividad de Galileo y de

Einstein. El primero se refiere tan solo a leyes de la dinamica. El segundo a todas

las leyes de la fsica, incluyendo en particular el electromagnetismo, o sea que es

el principio de relatividad sin mas cualificacion.

3.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion.

La dinamica de Newton usaba fuerzas a distancia, o sea de efecto instantaneo.

La ley de la gravitacion universal, por ejemplo, no incluye ninguna referencia

ni al tiempo t ni a la velocidad de propagacion de la gravedad. Para ilustrar

esta cuestion, imaginemos que en el Sol se produjese una explosi on en un cierto

instante t0, de modo que dos mitades fuesen despedidas con una cierta velocidad

en direcciones opuestas (o quiza en el nucleo de la galaxia). Al cabo de un cierto

tiempo, cambiara la orbita de la Tierra porq

electrodinamica rañada

Documents