Constantino de la Fuente Martínez

IES “Cardenal López de Mendoza”Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán”

X JORNADAS DE MATEMX JORNADAS DE MATEMÁÁTICAS B03 SESTAOTICAS B03 SESTAOB03 SESTAOKO MATEMATIKA X JARDUNALDIAKB03 SESTAOKO MATEMATIKA X JARDUNALDIAK

Organiza: B03 y Dpto. EducaciónColabora: Ayuntamiento de Sestao

LA MODELIZACILA MODELIZACIÓÓN MATEMN MATEMÁÁTICA TICA Y EL PROCESO DE MATEMATIZACIY EL PROCESO DE MATEMATIZACIÓÓN. N.

EJEMPLOS EN ESO Y BACH. EJEMPLOS EN ESO Y BACH.

SESTAO, 17 DE FEBRERO DE 2009

ESQUEMA DE LA SESIÓN:-MARCO TEÓRICO

-LA BÚSQUEDA DE PATRONES: Ejemplos

-LA BÚSQUEDA DE MODELOS: Ejemplos

-LA CONSTRUCCIÓN DE UNA TEORÍA:

- Parte 1ª - Parte 2ª

-REFLEXIONES FINALES

¿Cómo describir su extraordinaria belleza?

UNA SECUENCIA DEL RITMO DE CRECIMIENTO:

4, 4, 8, 4, 4, 8, 4, 4, 8, …

21+=θLADOS DE OCTÓGONOS REGULARES:

LADOS DE OCTÓGONOS ESTRELLADOS:

LADOS DE CUADRADOS:

...,3,3,13 232 θθθθθ +++

...,2,2,2 2θθ

...,,,,1 34232 θθθθθθθ ++++

““ButtnerButtner les hables habíía mandado sumar todas a mandado sumar todas las cifras del uno al cien [las cifras del uno al cien [……]. ].

Cincuenta mil cincuenta.Cincuenta mil cincuenta.¿¿QuQuéé? [? [……]]Gauss no entendGauss no entendíía su reaccia su reaccióón. Cien mn. Cien máás s

uno daba ciento uno, noventa y nueve muno daba ciento uno, noventa y nueve máás dos s dos daba ciento uno[daba ciento uno[……]. Siempre ciento uno. Y as]. Siempre ciento uno. Y asíícincuenta veces.cincuenta veces.

ButtnerButtner callcallóó. Cincuenta por ciento uno . Cincuenta por ciento uno eran cinco mil cincuenta. Se froteran cinco mil cincuenta. Se frotóó la nariz. la nariz. Estaba a punto de echarse a llorar.Estaba a punto de echarse a llorar.””

Daniel Daniel KehlmannKehlmann::““La MediciLa Medicióón del Mundon del Mundo””

( )1

101n

nnS a x d dx

n−

= ⋅ + ⋅− ∫ FÓRMULA DE

ÁLVARO

¿QUÉ QUEREMOS?- Profundizar en los métodos propios de investigación en matemáticas: la particularización, la búsqueda de leyes generales, la construcción de modelos, la generalización, el uso de analogías, conjeturas y demostraciones.

- Utilizar modelos matemáticos para la matematización de la realidad y la resolución de problemas, experimentando su validez y utilidad, criticando sus limitaciones, mejorándolos y comunicando sus resultados y conclusiones

- Practicar la resolución de problemas como la actividad más genuina en cualquier campo específico de las matemáticas.

- Acercar a los alumnos y alumnas a los conocimientos matemáticos priorizando el planteamiento y resolución de retos, la búsqueda de modelos explicativos, la indagación y el descubrimiento.

- Propiciar que los alumnos/as vean el verdadero rostro de las matemáticas, asumiendo en muchos momentos el papel de matemático investigador y desechando creencias erróneas sobre la naturaleza del conocimiento, del quehacer matemático y sus resultados.

- Preparar a nuestros estudiantes para la invención, incrementando el gusto por ella y cultivando sus gérmenes inventivos.

““El proceso fundamental que los El proceso fundamental que los estudiantes emplean para resolver problemas estudiantes emplean para resolver problemas de la vida real se denomina de la vida real se denomina matematizacimatematizacióónn””..

OCDE, MEC, INECSE:“Marcos Teóricos de PISA 2003”

SITUACISITUACIÓÓNN““REALREAL””

MODELO MODELO MATEMMATEMÁÁTICOTICO

SOLUCISOLUCIÓÓN N MATEMMATEMÁÁTICATICA

SOLUCISOLUCIÓÓN N ““REALREAL””

RepresentarGeneralización

Validación

PrediccionesLimitaciones

RegularidadesPatrones

Uso de lenguajes

InterpretaciónArgumentar

OCDE, MEC, INECSE:“Marcos teóricos de PISA 2300”

Fases del proceso de Fases del proceso de matematizacimatematizacióónn

““Modelar Modelar incluye las capacidades de:incluye las capacidades de:--Estructurar el campo o situaciEstructurar el campo o situacióón que se va a n que se va a modelar.modelar.--Traducir la realidad a una estructura Traducir la realidad a una estructura matemmatemáática.tica.--Interpretar los modelos matemInterpretar los modelos matemááticos en ticos en ttéérminos reales.rminos reales.--Trabajar con un modelo matemTrabajar con un modelo matemáático.tico.--Reflexionar, analizar y ofrecer la crReflexionar, analizar y ofrecer la críítica de un tica de un modelo y sus resultados.modelo y sus resultados.--Comunicar acerca de un modelo y de sus Comunicar acerca de un modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones).resultados (incluyendo sus limitaciones).--Dirigir y controlar el proceso de Dirigir y controlar el proceso de modelizacimodelizacióónn..””

Luís Rico:“Competencias matemáticas e instrumentos de evaluación

en el estudio PISA 2003”

DATOSDATOS

PATRONESPATRONES

MODELOSMODELOS

TEORTEORÍÍASAS

Consortium for Mathematics and its Applications. (COMAP):“Precalculus. Modeling Our World”

Uno de los temas centrales de las Uno de los temas centrales de las matemmatemááticas es el estudio de patrones y ticas es el estudio de patrones y funciones. Este estudio requiere que los funciones. Este estudio requiere que los estudiantes reconozcan, describan y estudiantes reconozcan, describan y generalicen patrones y construyan modelos generalicen patrones y construyan modelos matemmatemááticos para predecir el comportamiento ticos para predecir el comportamiento de fende fenóómenos del mundo real que muestran el menos del mundo real que muestran el patrpatróón observado.n observado.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM):“Estándares curriculares y de evaluación

para la educación matemática”

La BLa Búúsqueda de Patronessqueda de Patrones

Ejemplo 1: Fichas blancas y negrasEjemplo 1: Fichas blancas y negras

Queremos pasar las fichas blancas al lugar de las negras y éstas al de las blancas. Para ello se deben cumplir las reglas siguientes:

Una ficha puede moverse a la casilla de al lado si está libre, y también puede saltar sobre una de distinto color si a continuación hay un hueco.

Ninguna ficha puede retroceder. ¿Cuántos movimientos necesitamos para

conseguirlo?

Variar el número de fichas a cada lado y encontrar la fórmula que nos da el número de movimientos para cualquier número de fichas.

Hasta ahora el número de fichas era el mismo a cada lado. Resolver el problema si puede haber distinto número de fichas a cada lado.

Hasta ahora había, en medio de las fichas, un hueco con un lugar libre. Resolver el problema si hubiera, en medio, un hueco con varios lugares libres.

NNºº de fichas de fichas a cada ladoa cada lado

NNºº de de movimientosmovimientos

2233……nn

881515……

nn22+2n+2nn, pn, p n.pn.p+n+p+n+p

NNºº de fichas de fichas a cada lado a cada lado

y Ny Nºº de de huecoshuecos

NNºº de de movimientosmovimientos

n, p; hn, p; h n.pn.p+(n+p).h+(n+p).h

““La simulaciLa simulacióón sirve para explorar qun sirve para explorar quéé tipo de tipo de interacciones individuales son compatibles con un interacciones individuales son compatibles con un comportamiento conocido de un comportamiento conocido de un todotodo o, por el o, por el contrario, para, conocidas ciertas reglas de contrario, para, conocidas ciertas reglas de actuaciactuacióón de los elementos, aventurar ciertas n de los elementos, aventurar ciertas predicciones sobre el comportamiento del predicciones sobre el comportamiento del todotodo..

“¿“¿Es la simulaciEs la simulacióón sn sóólo una herramienta de lo una herramienta de ccáálculo o es algo mlculo o es algo máás? En mi opinis? En mi opinióón la n la simulacisimulacióón no es teorn no es teoríía, ni experiencia ni un mero a, ni experiencia ni un mero úútil de ctil de cáálculo, sino una genuina tercera forma de lculo, sino una genuina tercera forma de aproximaciaproximacióón a la realidad que estn a la realidad que estáárevolucionando el mismrevolucionando el mismíísimo msimo méétodo cienttodo cientíífico. fico. ””

Jorge Jorge WagensbergWagensberg::““Ideas sobre la complejidad del mundoIdeas sobre la complejidad del mundo””

La BLa Búúsqueda de Patrones squeda de Patrones

Ejemplo 2: Algunos patrones artEjemplo 2: Algunos patrones artíísticossticos

NNÚÚMEROS DINMEROS DINÁÁMICOSMICOS

MODELO GEOMMODELO GEOMÉÉTRICOTRICO

PROPORCIPROPORCIÓÓN N ÁÁUREAUREA

““El mEl méétodo cienttodo cientíífico tiene un protagonista: el fico tiene un protagonista: el experimento. Experimentar es un intento de experimento. Experimentar es un intento de didiáálogo con la naturaleza. No todas las preguntas logo con la naturaleza. No todas las preguntas son buenas, ni siquiera estson buenas, ni siquiera estáá claro que deba claro que deba hacerse pregunta alguna. Por ello no siempre hay hacerse pregunta alguna. Por ello no siempre hay respuesta que sirva para producir conocimiento. respuesta que sirva para producir conocimiento. Pero cuando la hay, cuando la naturaleza, de Pero cuando la hay, cuando la naturaleza, de repente, responde con algo inteligible, entonces repente, responde con algo inteligible, entonces es la hora del cientes la hora del cientíífico. Es el momento en el que fico. Es el momento en el que se consuma la comunicacise consuma la comunicacióón hombren hombre--naturaleza, naturaleza, es la emocies la emocióón del cientn del cientíífico, comparable, por otro fico, comparable, por otro lado, con el momento de la emocilado, con el momento de la emocióón en arte. n en arte. Estas emociones son, creo, los verdaderos Estas emociones son, creo, los verdaderos motores del conocimiento (cientmotores del conocimiento (cientíífico o artfico o artíístico).stico).””

Jorge Jorge WagensbergWagensberg::““Ideas para la imaginaciIdeas para la imaginacióón impura. n impura.

53 reflexiones en su propia sustancia53 reflexiones en su propia sustancia””

““Usted sabe, por supuesto, que el Usted sabe, por supuesto, que el teorema de teorema de FermatFermat no es mno es máás que una s que una generalizacigeneralizacióón del problema de las ternas n del problema de las ternas pitagpitagóóricas, el secreto mejor guardado de la ricas, el secreto mejor guardado de la secta.secta.””

“Los Crímenes de Oxford”Guillermo Martínez

La bLa búúsqueda de modelossqueda de modelosEjemplo 1: Las Ternas PitagEjemplo 1: Las Ternas Pitagóóricasricas

LECTURAS MATEMLECTURAS MATEMÁÁTICASTICAS

GUIONES DE TRABAJO:

www.lopezdemendoza.es

MenúDepartamentosMatemáticas

Otros

63017

62985

X

En las fiestas de Navidad de cierto año recibí el siguiente correo electrónico:

¡ FELIZ X !

-Averigua su significado.-¿Es una casualidad o hay algo más detrás?- Estudio de las ternas pitagóricas: ejemplos, significado y formas de obtención.

a2 –b2 , 2ab, a2 +b2

2n+1, 2n2 +2n, 2n2 +2n+1

-¿Podemos encuadrar esta terna en alguna de las fórmulas obtenidas? Estudiar el caso.

-Obtener otras ternas con el mismo valor de X.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

==−

=+

200826298563017

22

22

abbaba

4251

==

ba

-Hacer lo mismo para felicitar dos años más tarde.

2502

==

ba

11004

==

ba251.21004 2=

67.5.31005 =1567

==

ba

5201

==

ba

3335

==

ba

11005

==

ba

200822 =−ba 2008))(( =−+ baba

251.2))(( 3=−+ baba⎭⎬⎫

=+=−

5024

babaPor ejemplo:

(Hay varias posibilidades)

⎭⎬⎫

==

249253

ba

⎪⎭

⎪⎬

⎫

==−

=+

12599422008126006

22

22

abbaba

-¿Podría ser 2008 el otro cateto?

-¿Podría ser 2008 la hipotenusa?

-¿Cómo podemos elaborar felicitaciones para el año 2009?2n+1, 2n2 +2n, 2n2 +2n+1

1004200912

==+

nn

-¿Cómo se obtiene esas expresiones para las ternas pitagóricas? Por ejemplo, la terna

1. Enfoque aritmético-algebraico (Diofanto):- Ternas primitivas y derivadas- Paridad de los elementos de una terna (x par, y impar, z impar)-

-

- ….

( )( )yzyzxyzxzyx +−=⇒−=⇒=+ 2222222

abxbaybaz 2,, 2222 =−=+=

( ) ( ) uxwyzvyz 2,2,2 ==+=−

a2 –b2 , 2ab, a2 +b2

41;4941.72009 222

=−=+==−baba

ba

2. Enfoque analítico-algebraico

11 2222

222 =+⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=+ YX

zy

zxzyx

⎭⎬⎫

+==+1122

mXYYX

2

2

2

111

2

mmY

mmX

+−

=

+−

=

2

2

2

111

2

mm

zy

mm

zx

+−

=

+−

=

1,1,2 22 +=−== mzmymx

2222 ,,2 bazbayabxbam +=−==⇒=

QmmXYXmY ∈+=⇒=− ,1.1

“Un estudiante de escuela secundaria regresó a su hogar contando que su maestra de matemáticas estaba descontenta con las calificaciones de sus alumnos en una prueba escrita que habían realizado sobre funciones, atribuyéndolo a que quizá las preguntas propuestas habían sido un tanto difíciles. La maestra decidió “ajustar” esas calificaciones usando un factor de corrección […]”

Abraham Arcavi:El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos

(Revista UNO, nº 44)

La bLa búúsqueda de modelossqueda de modelosEjemplo 2: La correcciEjemplo 2: La correccióón de notasn de notas

- Algunos factores de corrección, para x perteneciente al intervalo [0, 10]:

-Subir a todos una misma cantidad fija c

-Aumentar un porcentaje, r, cada nota

-Redondear al número entero más próximo, que sea mayor que la nota

- Transformar en 10 la nota mayor, a, y el resto de forma proporcional

cxy +=

xrxrxy )100/1(100/. +=+=

1][ += xEnty

- ¿Qué factores de corrección podemos proponer a la profesora para que modifique las notas? Expresarlos en forma algebraica y representarlos gráficamente. Analizar las ventajas e inconvenientes de cada uno.

xa

y 10=

“… si la calificación original era x (en una escala de 0 a 100), ésta devendría en . Es decir, si la calificación inicial fue 81, la corregida sería 90. Aparentemente, este factor es común entre los maestros en Israel”.

x10

- Adapta ese factor de corrección a nuestro país, donde las notas están entre 0 y 10. Exprésalo algebraicamente y gráficamente. Analiza sus ventajas e inconvenientes respecto a los anteriores.

f(x)=x

f(x)=sqrt(10

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

xy 10=

xy =

- Es una curva.- Se mantiene en el intervalo [0, 10].

-Transforma la nota 2,5 en 5 y un 8,1 en un 9.-Favorece más a las notas bajas que a las altas.

- ¿Podríamos variarvariar este factor para obtener otros similares? Introduce algún cambio en su expresión algebraica.

- Índice de la raíz, - Exponente de 10.- Exponente de x.

- Analiza las características de cada uno y su idoneidad.

“Las conjeturas se producen como resultado de dos actividades fundamentales. Particularizar, probablemente la más usual, y el uso de la analogía, que es en realidad una forma de generalización.

“Las conjeturas son como mariposas. Cuando una revolotea, suele haber muchas más alrededor. Según van apareciendo, cada una distrae la atención de la anterior, y esto hace que sea más fácil perder el hilo. (...) Descubrirás que, como las mariposas, no son fáciles de capturar. Puedes requerir varios intentos, y en esos intentos tu mente se concentra y la conjetura va adquiriendo forma y perdiendo imprecisión.”

John Mason, Leone Burton y Kaye Stacey:“Pensar matemáticamente”

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

2

3

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6

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9

10

x

y

xy =

xy 10=3 100xy =

4 1000xy =

4 310xy =

3 210xy =

[ ]Nx ,0∈( ) n n

n xNxF 1−=

( ) n nn NxxG 1−=

2, ≥Ν∈ nn

- El factor F2 = G2 es la función que tienen en común los factores que tienden a llevar las notas al valor N y los que tienden a dejarlas todas como estaban.

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

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x

y

xy 10=

- Reflexionando sobre los factores Fn y Gn, encuentra una expresión que los englobe a los dos.

( ) n iniin xNxH −=

-Para i=1obtenemos los Gn.

-Para i=n-1obtenemos los Fn.

-Para i=n/2 obtenemos el factor F2=G2.

-Para i=0 obtenemos el factor Identidad

( ) n nn xNxF 1−=

( ) n nn NxxG 1−=

NxxGxF == )()( 22

{ }1...,,3,2,1,0,2,−∈

≥Ν∈ni

nn

xy =

- Si la nota mayor del examen es a, encontrar un factor similar a los radicales que transforme a en la nota máxima posible N.

( ) ( ] [ ]NxNaxaaNx n inii

an ,0,,0,, ∈∈=ℑ −

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

2

3

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5

6

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10

x

y

xy =

xy 88

10=

3 288

10 xy =

3 288

10 xy =

- ¿Habrá factores de corrección para bajar las notas de un examen muy fácil?

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

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x

y

xy =10

2xy =

2

3

10xy =

3

4

10xy =

- Encontrar un factor con un efecto parecido al de los factores radicales, pero que sea una función logarítmica.

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

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x

y

y=(10/log11).log(x+1)

y=x

- ¿Habrá factores de corrección que aumenten o disminuyan de una forma distinta a como lo hacen las funciones anteriores?

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

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x

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

5.cos1 xxy π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

5.cos1 xxy π

““El estilo El estilo deductivistadeductivista esconde la lucha esconde la lucha y oculta la aventura. Toda la historia se y oculta la aventura. Toda la historia se desvanece, las sucesiva formulaciones desvanece, las sucesiva formulaciones tentativas del teorema a lo largo del tentativas del teorema a lo largo del procedimiento probatorio se condenan al procedimiento probatorio se condenan al olvido, mientras el resultado final se exalta olvido, mientras el resultado final se exalta al estado de infalibilidad sagrada.al estado de infalibilidad sagrada.

““Algunos de los defensores del estilo Algunos de los defensores del estilo deductivistadeductivista pretenden que la deduccipretenden que la deduccióón es n es el patrel patróón heurn heuríístico de las matemstico de las matemááticas y ticas y que la lque la lóógica del descubrimiento es la gica del descubrimiento es la deduccideduccióón.n.””

Imre Lakatos:““Pruebas y refutaciones.Pruebas y refutaciones.

La lLa lóógica del descubrimiento matemgica del descubrimiento matemááticotico””

- ¿Habrá factores de corrección que aumenten unas notas y disminuyan otras?

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

2

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4

5

6

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9

10

x

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

5.xsenxy π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

5.xsenxy π

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5

1

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3

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7

8

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10

x

y

- ¿Habrá factores de corrección que aumenten unas notas y disminuyan otras de manera caprichosa, por ejemplo, que aumente las notas entre 0 y 1, disminuya las notas entre 1 y 2, y así sucesivamente?

( )xsenxy .π+=

La construcciLa construccióón de una teorn de una teoríía: a: Progresiones aritmProgresiones aritmééticas en el espacio ticas en el espacio

Primera Parte. Curso 2003/04Primera Parte. Curso 2003/04

““El cEl céélebre rigor cientlebre rigor cientíífico no se refiere fico no se refiere a la obtencia la obtencióón de ideas sino al tratamiento n de ideas sino al tratamiento de de ééstas.stas.””

Jorge Wagensberg:““Ideas para la imaginaciIdeas para la imaginacióón impura.n impura.

35 reflexiones en su propia sustancia35 reflexiones en su propia sustancia””

¿¿SerSeráá posible rellenar los posible rellenar los espacios vacespacios vacííos del os del cuadrado con ncuadrado con núúmeros meros enteros positivos, de enteros positivos, de modo que los nmodo que los núúmeros meros de cada fila y de cada de cada fila y de cada columna formen columna formen progresiones aritmprogresiones aritmééticas?ticas?

7474

186186

103103

00

““Comienzo con un enunciado inicial, al que Comienzo con un enunciado inicial, al que llamarllamaréé ““semillasemilla””. Este enunciado ha de . Este enunciado ha de ser interesante y muy sencillo. El ejercicio ser interesante y muy sencillo. El ejercicio tiene por proptiene por propóósito regar la semilla y sito regar la semilla y hacerla crecer y convertirse en una planta hacerla crecer y convertirse en una planta recia. De ordinario ofrezco a mi clase una recia. De ordinario ofrezco a mi clase una variedad de variedad de ““simientessimientes””, y ellos eligen la , y ellos eligen la que quieren regar, en funcique quieren regar, en funcióón de su n de su experienciaexperiencia””..

PhilipPhilip DavisDavis y y ReubenReuben HershHersh““Experiencia MatemExperiencia Matemááticatica””

1032

x +

103 742

2

x ++ 251

4x+

Entre x y 103 estará la semisuma de los dos, que tiene como valor:

Entre y 74 estará la semisuma de los dos, que es:

74

186

x 103

0

1032

x +

=

El número situado encima de x será 2x

La diferencia de la p. a. de la 3ª fila es: 251 251 724 4

x xx+ −− =

251 251 7 251 34 4 2

x x x+ − −+ =

El número que sigue a será:2514

x+

251 32

x−251 3 186 623 32

2 4

xx

−+ −

=Entre y 186 se situará:

251 3 251 7 753 132 4 4

x x x− − −+ =

753 13 623 34 4

x x− −= 130 10 ; 13x x= =

Por otra parte, este número también será:

Por tanto: Luego

52 82 112 142 172

39 74 109 144 179

26 66 106 146 186

13 58 103 148 193

0 50 100 150 200

30→

35→

40→

45→

50→

13↑

8↑

3↑

2↑− 7

↑−

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

REVISIREVISIÓÓNN--EXTENSIEXTENSIÓÓNNVISIVISIÓÓN RETROSPECTIVAN RETROSPECTIVA

(Proceso heur(Proceso heuríístico)stico)

Otras formas de resoluciOtras formas de resolucióónnNuevas preguntas, conjeturas globales y Nuevas preguntas, conjeturas globales y parcialesparcialesVariaciones en las condiciones o datos:Variaciones en las condiciones o datos:

GeneralizacionesGeneralizacionesParticularizacionesParticularizacionesAnalogAnalogííasas

Intuiciones sobre conceptos nuevos, Intuiciones sobre conceptos nuevos, propiedades, regularidades, conjeturas, propiedades, regularidades, conjeturas, demostraciones, demostraciones, ……

A implica BA implica BB es verdaderaB es verdadera

________________________________________________________________________________________________

A es mA es máás digna de crs digna de crééditodito

A implica BA implica BB es muy improbable en sB es muy improbable en síí mismamisma

B es verdaderaB es verdadera__________________________________________________________________________________________________________________________________________

A es muchA es muchíísimo msimo máás digna de crs digna de crééditodito

Patrones de razonamiento plausiblePatrones de razonamiento plausible

GeorgeGeorge PolyaPolya::““MatemMatemááticas y razonamiento plausibleticas y razonamiento plausible””

Estructura interna del problema:-Cuadrado-Valores numéricos dados: cuatro números enteros-Progresiones aritméticas-Números enteros

Algunas variantes posibles:-Cuadrado: Rectángulo, Recta, Cubo, Paralelepípedo,...-Número de datos conocidos. ¿Será 4 el mínimo

número necesario de ellos? Si nos dan 3, ¿quéocurrirá? Y si nos dan valores de las diferencias …

-Progresiones aritméticas: Geométricas.-Números enteros positivos: Números enteros,

números racionales, reales, etc.

¿EN QUÉ CONDICIONES SE PUEDE CONSTRUIR UN CUADRO ARITMÉTICO?

¿SON UNA GENERALIZACIÓN DE LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS?

…•……………………………………………•…………x y P. A. TRADICIONALES

zz tt

xx yy

FIGURA BIDIMENSIONAL

FIGURA TRIDIMENSIONAL

Nuevos conceptos, generalizaciones:

TEORTEORÍÍAS Y RESULTADOS NUEVOSAS Y RESULTADOS NUEVOS

--Conceptos nuevos y propiedades.Conceptos nuevos y propiedades.--Relaciones con conceptos conocidos:Relaciones con conceptos conocidos:•• Conexiones. Compatibilidades.Conexiones. Compatibilidades.•• Generalizaciones. Generalizaciones. •• Estructura. Estructura. InvariantesInvariantes……

--Teoremas propios.Teoremas propios.--Vuelta al problema inicial: demostraciVuelta al problema inicial: demostracióón n o refutacio refutacióón de conjeturas.n de conjeturas.

--Problemas abiertos, nuevas lProblemas abiertos, nuevas lííneas de neas de investigaciinvestigacióón.n.

““El aspecto mEl aspecto máás importante del s importante del descubrimiento matemdescubrimiento matemáático (contrariamente tico (contrariamente a la imagen habitual que se tiene de la a la imagen habitual que se tiene de la demostracidemostracióón como el nn como el núúcleo de las cleo de las matemmatemááticas) es la construcciticas) es la construccióón de nuevos n de nuevos conceptos, uno detrconceptos, uno detráás de otro, generalizando s de otro, generalizando cada vez algcada vez algúún aspecto de los anteriores. Por n aspecto de los anteriores. Por supuesto, cada construccisupuesto, cada construccióón tiene n tiene propiedades que no pueden ser controladas, propiedades que no pueden ser controladas, sino tan ssino tan sóólo descubiertas, en este sentido lo descubiertas, en este sentido las matemlas matemááticas combinan la invenciticas combinan la invencióón y el n y el descubrimiento.descubrimiento.

““La mayor parte de los nuevos conceptos La mayor parte de los nuevos conceptos se producen mediante ciertos tipos de se producen mediante ciertos tipos de recetas no escritas que todos los recetas no escritas que todos los matemmatemááticos entienden intuitivamente, y ticos entienden intuitivamente, y que normalmente se pueden caracterizar por que normalmente se pueden caracterizar por gloriosos giros del botgloriosos giros del botóón; esto es, partir de n; esto es, partir de un fenun fenóómeno familiar, encontrarle algmeno familiar, encontrarle algúún n aspecto que hasta ahora habaspecto que hasta ahora habíía permanecido a permanecido fijo (fijo (ééste serste seríía el bota el botóón) convertir n) convertir explexplíícitamente este aspecto en una variable, citamente este aspecto en una variable, y ver quy ver quéé sucede cuando toma valores sucede cuando toma valores distintos del habitual.distintos del habitual.””

Analogías con fluidos y la creatividad humana. Douglas R. Hofstadter, en

“Sobre la imaginación científica. Qué es, cómo nace, cómo triunfa una idea”.

52 82 112 142 172

39 74 109 144 179

26 66 106 146 186

13 58 103 148 193

0 50 100 150 200

30→

35→

40→

45→

50→

13↑

8↑

3↑

2↑− 7

↑−

NNÚÚMERO DE PRISCILA EN UNA RA2D(MERO DE PRISCILA EN UNA RA2D(nxmnxm))

Tenemos un conjunto de 221 números reales cuya suma es 110721. Los disponemos formando una tabla rectangular de modo que todas las columnas y la primera y última filas son progresiones aritméticas de más de un elemento. Probar que la suma de los elementos de las cuatro esquinas vale 2004.

OTRO PROBLEMA ... OTRO PROBLEMA ... (OLIMPIADA MATEM(OLIMPIADA MATEMÁÁTICAS 2004)TICAS 2004)

La bLa búúsqueda de teorsqueda de teoríías: as: Progresiones aritmProgresiones aritmééticas en el espacioticas en el espacio

(2(2ªª parte, curso 2006/07)parte, curso 2006/07)

1,1 1,1

2,1 2,2

,1 ,

2

2..............................

2

m

m

n n mn

a aS m

a aS m

a aS m

+= ⋅

+= ⋅

+= ⋅

1, 2, ,

1,2 2,2 ,2

1,1 2,1 ,1

m m n m

n

n

a a a

a a aa a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

LM M N M

LL

( ) ( )1 2 1,1 2,1 ,1 1, 2, ,2n n m m n mmS S S S a a a a a a⎡ ⎤= + + + = ⋅ + + + + + + +⎣ ⎦K K K

( )1,1 ,1 1, ,4 n m n mn mS a a a a⋅

= ⋅ + + +

1,1 ,1 1, ,4 4 110721 2004

221n m n mSa a a a

n m⋅

+ + + = = =⋅

Solución del problema:

SUMA DE LOS ELEMENTOS DE UNA RA2D

- Dada una RA2D(nxm) (con n>1, m>1) la suma de todos sus elementos la podemos obtener a partir de los cuatro elementos de las esquinas a1 1, an 1, a1 m, an m.

( ), 11 1 1 2 2.n m n m n m

n mS a a a a= + + +

-Para m=1 obtenemos la fórmula tradicional de la suma de las p. a.

( )1 11 1 2n nnS a a= +

““Lo que el profesor dice en clase no carece de Lo que el profesor dice en clase no carece de importancia, pero lo que los alumnos piensan es mil importancia, pero lo que los alumnos piensan es mil veces mveces máás importante. Las ideas deben nacer en la s importante. Las ideas deben nacer en la mente de los alumnos y el profesor debe actuar tan mente de los alumnos y el profesor debe actuar tan ssóólo como una comadrona.lo como una comadrona.””

George Polya:“Mathematical Dicovery”

“…“… lo que dice el profesorlo que dice el profesor se refiere al modelo se refiere al modelo diddidááctico y ctico y lo que piensa el alumnolo que piensa el alumno se refiere al se refiere al camino propio del alumnado hacia la solucicamino propio del alumnado hacia la solucióón del n del problema (que puede ser el entendimiento de problema (que puede ser el entendimiento de alguna cosa), que tiene que facilitar el profesorado.alguna cosa), que tiene que facilitar el profesorado.””

Hartmut Köler:“Enseñanza viva. Pensamientos sobre las clases de matemáticas”

Revista UNO nº 33, pág. 51 a 64.

TÉRMINO GENERAL DE UNA RA2D

1 1 11( 1)( 1) ( 1) ( 1)i j pa d i j h i v j a= − − + − + − +

( ) ( )1 1 2 21 . 1i ja a d i a d j p= + − + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

p cumpliendo la relación: ( )1,1 1 1Pd a p h v⋅ − = ⋅

aa1111h1

v1

TÉRMINO GENERAL DE UNA RA2D(Interpretación geométrica)

1 1 11pz d x y h x v y a= ⋅ + + +

paraboloide hiperbólico

““El resultado del trabajo creador del El resultado del trabajo creador del matemmatemáático es el razonamiento demostrativo, tico es el razonamiento demostrativo, una prueba, pero la prueba se descubre por una prueba, pero la prueba se descubre por razonamiento plausible, es decir, por razonamiento plausible, es decir, por intuiciintuicióón.n.

Si esto es asSi esto es asíí, y yo lo creo, habr, y yo lo creo, habráá un un lugar para la intuicilugar para la intuicióón en la ensen en la enseññanza de las anza de las matemmatemááticas. La educaciticas. La educacióón debe prepararnos n debe prepararnos para la invencipara la invencióón o, al menos, para el gusto n o, al menos, para el gusto por ella. En cualquier caso, la educacipor ella. En cualquier caso, la educacióón no n no debe suprimir los gdebe suprimir los géérmenes inventivos en el rmenes inventivos en el estudiante.estudiante.””

GeorgeGeorge PolyaPolya““MatemMatemááticas y razonamiento plausibleticas y razonamiento plausible””

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA RA2D

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1,11 1 2 1 2 1 44n m P

n mS d n m h n v m a⋅⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 1

, 1 1 1,10 01 1n m

n m Pn mS d x y h x v y a dy dx

n m− −⋅ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦− ⋅ − ∫ ∫

, 1 1,2 2

n m n mS n m a + += ⋅ ⋅

- Usando las diferencias y en función del término general:

- En función del término central (n, m impares):

- Usando integrales y en función del término general:

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA RAND(a partir de los términos de “las esquinas”)

( ) ( ) ( )( )n

Tppp

n

ii

ddd

n

n

adS

2

,...,,1

,...,,

21

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=∑∏∈= σ

σσσ

{ } { }nn dddDpppP ..,,,,1,...,,, 21*

21 ==

( ) { }{ }ii dpDPT ,1/: * ∈→= σσ

““Una de las caracterUna de las caracteríísticas de las sticas de las matemmatemááticas es que la invenciticas es que la invencióón empieza n empieza muy pronto, desde que un alumno se sitmuy pronto, desde que un alumno se sitúúa a ante un problema que debe resolver (...).ante un problema que debe resolver (...). Si Si el alumno no se limita a contestar a las el alumno no se limita a contestar a las preguntas que se le formulan, sino que se preguntas que se le formulan, sino que se esfuerza en hacer observacionesesfuerza en hacer observaciones originales originales relativas al problema, o mejor arelativas al problema, o mejor aúún, si n, si éél l mismo se plantea problemas, en estos mismo se plantea problemas, en estos casos su trabajo se distingue del casos su trabajo se distingue del deldelmatemmatemáático creador stico creador sóólo en unalo en una diferencia diferencia de nivel.de nivel.””

RenRenéé TatonTaton““Causalidad y accidentalidad de los descubrimientos cientCausalidad y accidentalidad de los descubrimientos cientííficosficos””

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA P. A.

( )1

101n

nnS a x d dx

n−

= ⋅ + ⋅− ∫

( )12 12nnS a n d= ⎡ + − ⎤⎣ ⎦

- Usando las diferencias y en función del término general:

- En función del término central (n impar):

, 12

n m nS n a += ⋅

- Usando integrales y en función del término general:

““Pocos placeres hay en la vida Pocos placeres hay en la vida humana que igualen al producido por la humana que igualen al producido por la apariciaparicióón repentina de una generalizacin repentina de una generalizacióón n repentinarepentina que ilumina el entendimiento. que ilumina el entendimiento. Quien haya experimentado una vezQuien haya experimentado una vez este este placer de creaciplacer de creacióón cientn cientíífica, no lo olvida fica, no lo olvida jamjamááss””

PiotrPiotr A. A. KropotkinKropotkin::““Memorias de un revolucionarioMemorias de un revolucionario””

( )1

101n

nnS a x d dx

n−

= ⋅ + ⋅− ∫

FÓRMULA DE ÁLVARO

UNAS REFLEXIONES UNAS REFLEXIONES FINALESFINALES……

Algunas características de estas tareas o actividades escolares:

Susceptibles de variaciones y modificacionesSusceptibles de variaciones y modificaciones

Propicias para un trabajo posterior a su trabajo posterior a su resoluciresolucióónn

Surgidas de la realidad, Surgidas de la realidad, pero no pero no exclusivamenteexclusivamente

Adecuadas para el uso de la particularizaciparticularizacióón, n, la analogla analogíía y la generalizacia y la generalizacióónn.

Con pocas variablespocas variables y que sean ffáácilmente cilmente mediblesmedibles, manejables, modificables., manejables, modificables.

El profesor/a debe:-Practicar la resoluciresolucióón de problemasn de problemas

con un marco temarco teóóricorico adecuado

-Conocer la estructura matemestructura matemááticatica que subyace en cada problema o situación a plantear, excepto en alguna investigación más profunda

-Plantearse, en sus objetivos para cada curso, trabajartrabajar dos o tres de estas tareasestas tareas

-Elegir la forma de trabajoforma de trabajo que crea más idónea para cada problema o situación

Algunas ideas claves

-El entusiasmoentusiasmo del profesor/a, el disfrute personaldisfrute personal con lo que decimos y hacemos en clase son virus contagiososvirus contagiosospara bastantes estudiantes

-Los conceptosconceptos de “problema real” o “realidad matematizable” son subjetivossubjetivos

-Casi todos los problemas y situaciones Casi todos los problemas y situaciones pueden hacerse idealespueden hacerse ideales

-Tener como objetivo prioritario el objetivo prioritario el proceso, no la soluciproceso, no la solucióónn de la actividad

En los procesos de enseEn los procesos de enseññanza y anza y aprendizaje, es muy faprendizaje, es muy fáácil cil resaltar las dificultades, pensar resaltar las dificultades, pensar que todo va a peor, regodearse que todo va a peor, regodearse en lo negativo en lo negativo ……

Tenemos que aprender a salir fuera de la clase y Tenemos que aprender a salir fuera de la clase y analizar nuestras verdaderas coordenadas (danalizar nuestras verdaderas coordenadas (dóónde nde estamos) y las dimensiones reales de nuestra profesiestamos) y las dimensiones reales de nuestra profesióón n (qu(quéé somos).somos).

MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIAS

Constantino de la Fuente Martínez

I.E.S. “Cardenal López de Mendoza” Burgos

Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática “Miguel de Guzmán”

cdelafu@terra.es