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La geometria dell'universoLa scienza delle forme dai greci a oggi
Alberto SaraccoDipartimento di
Scienze Matematiche, Fisiche e InformaticheUniversità di Parma
Genova, 27 ottobre 2019
Festival della Scienza
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Il teorema di Pitagora
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Il teorema di Pitagora
A2+B2=C2
Pitagora 575-495 AC
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Il teorema di Pitagora
Serve una dimostrazione!
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Euclide: matematica = dimostrazioni
Serve una dimostrazione!
Euclide – IV-III sec AC
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Postulati e dimostrazioni
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Il V postulato
V POSTULATO
Se una retta taglia altre due rette e forma dalla stessa parte angoli interni
la cui somma è minore di due angoli retti,allora le due rette si incontreranno
dalla parte di tali angoli.
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Euclide senza il V postulato
Proposizioni 1-28 e 31 dimostrate senza il V
17: teorema inverso
Proposizioni 16 e 17: corollari della 32
Eliminare il V postulato!
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Euclide ripulito da ogni macchia
Dimostrare V a partire da I-II-III-IV
Oppure
Sostituire V con una proprietà equivalente
Studiare la geometria assoluta(postulati I-IV)
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P se e solo se V
In geometria assoluta,
V implica P e P implica V
P teorema della geometria Euclidea
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P se e solo se V
Esiste un rettangoloRette parallele alla stessa retta sono parallele
Teorema di Pitagora
Per un punto esterno ad una retta, passa una e una solo parallela
Esiste una coppia di rette equidistanti
Somma angoli interni di un triangolo: due angoli retti
costante
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Girolamo Saccheri 1667-1733
Tentativo di dimostrazione per assurdo
Geometria assoluta+
V è falso ASSURDO!
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Saccheri Euclide ab omni naevo vindicatus 1733
Geometria assoluta+
V è falso
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Saccheri Euclide ab omni naevo vindicatus 1733
Geometria assoluta+
V è falso
RetteAsintotiche:Non bello!
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Saccheri Euclide ab omni naevo vindicatus 1733
Geometria assoluta+
V è falso
RetteAsintotiche:Non bello!
ASSURDO
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Saccheri Euclide ab omni naevo vindicatus 1733
Geometria assoluta+
V è falso
RetteAsintotiche:Non bello!
ASSURDO
ERRORI DI CONTO!
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Bolyai (1802-1860) e Lobachevskij (1792-1856)
Fondamenti della geometria iperbolica
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Geometria iperbolica
Rette asintotiche Non ci sono figure simili
Somma degli angoli interni di un triangolo < 2 retti non costante
Per un punto esterno ad una retta data passano infinite parallele
In un triangolo la somma degli angoli interni e dell'area è costante
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Geometria iperbolica: e se ci fosse un assurdo?
Idea: modello della geometria iperbolica in termini di geometria euclidea
Riemann (1826-1866) Poincaré (1854-1912)
Beltrami (1835-1900)
Klein (1849-1925)
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Limite del cerchio, M. C. Escher
Poincaré
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Geometria sferica
Riemann
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Paperoga
Non ci sono parallele!
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Di nuovo la geometria euclidea
Assiomi di Hilbert
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Hilbert vs Euclide
Geometria greca Matematica moderna
Assiomi (verità)
Teoremi (veri)
Assiomi (arbitrari)
Teoremi
ModelliModelli
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Ma allora cos'è la (una) geometria?
Programma di Erlangen
Klein (1872)
GeometriaGeometria
Studio delle proprietà invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioniStudio delle proprietà invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni
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Altre geometrie: la topologia
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Altre geometrie: la geometria differenziale
L'analisi al servizio della geometriaL'analisi al servizio della geometria
Gauss: curvaturaGauss: curvatura
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Geometrie omogenee o a curvatura costante
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Misurare la geometria dell'universo
Luce = rette
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La geometria moderna
Congettura di Poincaré (1903)
L'unica 3-varietà chiusa semplicemente connessa è la 3-sfera
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La geometria moderna
Congettura di Poincaré (1903)
Archimede 4-2019, gennaio 2020
Flusso di Ricci
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www2.unipr.it/~saralb74/divulgazione
maddmaths.simai.eu
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