Univerzitet u SarajevuPrirodno-matematicki fakultetOdsjek za fiziku

Fizika poluvodica

Kvantni Hallov efekt

seminarski rad

Bojan Durickovic

11. juni 2004

Sadrzaj

1 Klasicni Hallov efekt 21.1 Hallov koeficijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Hallov otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Cjelobrojni kvantni Hallov efekt 52.1 Landauova stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Dvodimenzionalni elektronski gas . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Lokalizirana i rasirena stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Kvantizacija Hallovog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Laughlinov argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Primjene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Razlomljeni kvantni Hallov efekt 13

Ovaj rad je dostupan na adresi:http://www.bojan.info/seminarski/kvantnihallovefekt

Uvod

Dok je Hallov efekt otkriven u XIX stoljecu (Edwin Hall, 1879), i objasnjenna osnovu Lorentzove sile jos prije otkrica elektrona1 i dubljih saznanja omehanizmima prenosenja elektricne struje u materiji, do prvog otkrica kojeje vodilo kvantnom Hallovom efektu, opazanja tzv. Hallovih platoa, doslo jecitav vijek kasnije (T. Englert & K. v. Klitzing, Surf. Sci. 73, 70 (1978)).Medutim, ovi podaci su tada bili analizirani na osnovu pogresnog modela [5,str. 325], pa je kvantizacija Hallove vodljivosti shvacena u eksperimentimaponovljenim dvije godine kasnije, 1980. godine [1].

Von Klitzing je 1985. godine dobio Nobelovu nagradu za otkrice kvantnogHallovog efekta. U uvodu svog govora pred svedskom akademijom [5], on jeistakao:

Semiconductor research and the Nobel Prize in physics seem tobe contradictory since one may come to the conclusion that sucha complicated system like a semiconuctor is not useful for veryfundamental discoveries. Indeed, most of the experimental datain solid state physics are analyzed on the basis of simplified the-ories, and very often the properties of a semiconductor device isdescribed by empirical formulas since the microscopic details aretoo complicated. Up to 1980 nobody expected that there existsan effect like the Quantized Hall Effect, which depends exclusi-vely on fundamental constants and is not affected by irregulari-ties in the semiconductor like impurities or interface effects.2

Kada se mislilo da je pojava u potpunosti objasnjena, 1982. godine suDaniel C. Tsui i Horst L. Stormer otkrili Hallove platoe sa necjelobrojnim(racionalnim) kvantnim brojevima. Ovo otkrice je docekano sa zapanjenjem,jer interpretacija nuzno vodi ka elektronima sa nabojima jednakim racional-nom dijelu elementarnog naboja, sto je protivno duboko uvrijezenom po-imanju o naboju elektrona kao nedjeljivom. Bilo je potrebno godinu danaRobertu B. Laughlinu da ovaj fenomen teorijski objasni [4].

Za ovo otkrice je dodijeljena jos jedna Nobelova nagrada, 1998. godine,koju su podijelili Laughlin, Stormer i Tsui.

1J. J. Thomson, 18952“Istrazivanje u oblasti poluprovodnika i Nobelova nagrada za fiziku se cine protiv-

rjecnim, jer bi se moglo zakljuciti da tako komplikovan sistem kao sto je poluprovodniknije koristan za jako temeljna otkrica. Zaista, vecina eksperimentalnih podataka u fizicicvrstog stanja se analiziraju na osnovu simplificiranih teorija, i cesto se svojstva polupro-vodnickih elemenata opisuju empirijskim formulama jer su mikroskopski detalji previsekomplikovani. Do 1980. godine niko nije ocekivao da postoji efekat kao sto je kvantniHallov efekt, koji zavisi isklju civo o fundamentalnim konstantama i na kojeg ne uticunepravilnosti u poluvodicu kao sto su necistoce ili kontaktni efekti.”

1

1 Klasicni Hallov efekt

Prije nego sto se posvetimo kvantnom Hallovom efektu, osvrnimo seukratko na Hallov efekt kakav je bio poznat do 1980. godine.

Slika 1: Princip Hallovog eksperimenta iz 1878. godine, vrsenog na zlatnomlistu. (preuzeto iz [11])

Primjenom magnestkog polja na naboje u kretanju dolazi do njihovogotklona, pri cemu je ovaj otklon, uzrokovan Lorentzovom silom, okomit i nabrzinu naboja i na vektor magnetskog polja. Kada se materijal kroz kojiprotice elektricna struja I uvede u magnestko polje B, nosioci struje, poddjelovanjem ove sile, otklanjaju se ka rubu uzorka.3 Nastala nehomogenostraspodjele elektrona po poprecnom presjeku uzorka ima za posljedicu us-postavljanje elektricnog polja (Hallovog polja EH) u smjeru okomitom nasmjer toka struje i na smjer magnetskog polja, odnosno razlike potencijalaizmedu bocnih strana vodica (Hallovog napona VH). Ova pojava se nazivaHallovim efektom.

1.1 Hallov koeficijent

E. Hall je otkrio da, pri konstantnoj struji, napon VH pokazuje linearnuzavisnost o jacini magnetskog polja B, kao i o struji I (slika 2), dakle:

VH ∝ BI .

3Nekad se moze naici na opis da se “nosioci gomilaju uz rub provodnika”. Medutim,“gomilati se” ovdje nije najsretniji izraz, jer se naboji ne zadrzavaju na jednom mjestu,vec nastavljaju teci sa strujom drifta, samo im je tok otklonjen ka rubu vodica. Ispravnijeje reci da se struja otklanja prema rubu vodica.

2

Slika 2: Ovisnost Hallovog napona VH o magnetskom polju B pri sobnojtemperaturi. Nema kvantnih efekata, napon je proporcionalan magnetskompolju. (preuzeto iz [12])

Ova zakonitost se moze kompaktno zapisati u vektorskom obliku prekodiferencijalnih velicina (neovisno o dimenzijama uzorka): gustoce strujedrifta j = I/S, gdje je S povrsina poprecnog presjeka uzorka; i Hallovogpolja EH = VH/w, gdje je w sirina uzorka.

EH = −RH (j×B) .

Konstanta proporcionalnosti RH4 je Hallov koeficijent (ili Hallova kons-

tanta), i svojstvo je materijala.Pri proucavanju Hallovog efekta, magnetsko polje B se primjenjuje oko-

mito na smjer struje j, pa je Hallov koeficijent u tom slucaju jednak:

RH =EH

jB. (1)

Dakle, Hallov koeficijent pokazuje koliko se “lako” stvara Hallovo polje EH

kao odziv na magnetsko polje B koje djeluje na struju j.U praksi se, naravno, koriste direktno mjerljive integralne velicine VH i

I, pa se Hallova konstanta izrazava kao:

RH =VHb

IB, (2)

gdje je b - debljina uzorka.4Oznaka RH je ovdje rezervirana za Hallov otpor.

3

Pokazuje se da, u slucaju jedne vrste nosilaca, Hallov koeficijent ovisisamo o koncentraciji nosilaca5 n:

RH =1ne

. (3)

1.2 Hallov otpor

Umjesto Hallovog napona moze se promatrati i Hallov otpor RH , koji sedefinira kao omjer Hallovog napona VH i struje drifta I:6

RH =VH

I,

odnosno Hallova otpornost ρH :

ρH =EH

j.

Iz (1) se vidi da je Hallova otpornost proporcionalna magnetskom polju, ida je koeficijent proporcionalnosti upravo Hallova konstanta:

ρH = RHB . (4)

Ovo je klasicni rezultat za koji cemo vidjeti da vise ne vrijedi u kvantnomHallovom efektu.

Smisao Hallovog otpora, odn. otpornosti, postaje jasniji ako se uoci dasistem u magnetskom polju vise ne posjeduje izotropiju, tako da u relaci-jama:

j = σ E , E = ρ j ,

vodljivost σ i otpornost ρ vise nisu skalari nego tenzori7:

σ =[

σxx σxy

σyx σyy

], ρ =

[ρxx ρxy

ρyx ρyy

].

5ukoliko postoji vise od jedne vrste nosilaca, tada ovisi i o njihovim pokretljivostima.U najcescem slucaju dvije vrste nosilaca, elektrona i supljina, Hallov koeficijent ovisi onjihovim relativnim pokretljivostima:

RH =pµ2

p − nµ2n

e (pµp + nµn)2=

p− nb2

e (p + nb)2,

gdje je b = µn/µp omjer pokretljivosti elektrona i supljina.6Ovdje treba napomenuti da se radi o omjeru napona izmedu bocnih strana uzorka, i

struje koja tece okomito u odnosu na gradijent ovog napona. VH dakle nije napon kojipokrece struju I, pa ni RH nije otpor u uobicajenom, skalarnom smislu.

7Razmatranja smo ovdje ogranicili na dvije dimenzije u kojima se nalazi uzorak (dakleokomito na smjer magnetskog polja). Os x cemo orjentisati u smjeru struje drifta, a os yu smjeru Hallovog polja.

4

Sada vidimo da otpornost ρxy odgovara Hallovoj otpornosti (jer je EH =Ey, a jdrift = jx), dok se otpornost ρxx naziva dijagonalna ili longitudinalnaotpornost.8 Sa ova dva clana tenzor otpornosti je potpuno odreden, jervrijedi9:

ρxx = ρyy , ρxy = −ρyx .

Tenzori otpornosti i vodljivosti su medusobno inverzni, pa su povezanirelacijama:

ρxx =σxx

σ2xx + σ2

xy

, ρxy = − σxy

σ2xx + σ2

xy

. (5)

Uoci da, uz σxy 6= 0, vrijedi: ρxx = 0 ⇐⇒ σxx = 0.

2 Cjelobrojni kvantni Hallov efekt

Nasuprot klasicnom Hallovom efektu, koji predvida linearnu zavisnostizmedu Hallovog otpora i magnetskog polja (4) (slika 2), kod kvantnog Hal-lovog efekta ova ovisnost odstupa od linearne i postaje stepenasta. Stepenicena slici 3 se nazivaju Hallovi platoi.

Samo odstupanje od linearnosti, medutim, nije bilo toliko senzacionalnokoliko cinjenica da se Hallovi platoi javljaju na tacno odredenim univerzal-nim vrijednostima otpora, nezavisno o materijalu uzorka.10 Kako je vonKlitzing pokazao, vrijednosti Hallovog otpora na platoima se mogu izrazitiiskljucivo preko fundamentalnih konstanti h i e.

Kvantni Hallov efekt se javlja samo u prilicno ekstremnim i posebnimlaboratorijskim uvjetima. Da bi doslo do pojave kvantnog Hallovog efekta,potrebno je:

- jako magnetno polje (∼ 10T),

- vrlo niska temperatura (∼ 1K),

- elektronski gas ogranicen na dvije dimenzije.

Slijedi pregled nekih pojmova nuznih za objasnjenje kvantnog Hallovogefekta.

2.1 Landauova stanja

Kada se naelektrisana cestica nade u magnetskom polju, ona opisujeputanju koja je u ravnini okomitoj na smjer magnetskog polja kruzna11.

8 Znacenje dijagonalnog otpora jeste omjer napona koji pokrece struju drifta I i samestruje drifta, dakle to je otpor uzorka kao elementa u strujnom kolu.

9Za izvod vidjeti: [6, http://www.pha.jhu.edu/∼qiuym/qhe/node2.html]10Jedino sirina Hallovih platoa varira od uzorka do uzorka.11Ovo vazi za pogodno odabran sistemu referencije. Opcenito se na ovo kretanje moze

superponirati translatorno kretanje, pa je putanja cikloida.

5

Slika 3: Hallovi platoi. (preuzeto iz [12])

Frekvencija ovog kretanja je dobro poznata ciklotronska frekvencija

ωc =eB

m. (6)

Energija naboja u ovom sistemu ne moze biti proizvoljna, vec je kvantizi-rana12:

E = ~ωc

(n +

12

). (7)

Ova kvantna stanja se nazivaju Landauova stanja, a odgovarajuci energetskinivoi - Landauovi nivoi.

Energija Landauovih nivoa (7) predstavlja samo jedan clan u ukupnojenergiji nabijene cestice u magnetskom polju, koja iznosi:

E = E0 + ~ωc

(n +

12

)+ s g µB B ,

gdje je E0 - energija bez magnetskog polja; s = ±1/2 - spinski kvantni broj;g - Landeov faktor; i µB - Bohrov magneton.

12vidjeti [14] ili [15]

6

Sada postaje jasno zbog cega je potrebno elektronski gas ograniciti uravnini okomitoj na smjer magnetskog polja da bi Landauovi nivoi dosli doizrazaja: u 3 dimenzije clan E0 moze sadrzavati kontinuiran (odnosno, uslucaju uzorka konacne z-dimenzije, kvazikontinuiran) spektar translacijskeenergije u z-smjeru, koji bi zasjenio diskretnost Landauovih novoa.

Osim toga, vidi se i zasto je potrebno jako magnetsko polje: iz (6) sevidi da jako magnetsko polje daje visoke ciklotronske frekvencije, sto opetu (7) vodi sirim Landauovim nivoima.

Sta zapravo znaci ova kvantizacija energije elektrona u magnetskom poljuza njegovu putanju? Putanja ce i dalje biti kruzna sa ciklotronskom frek-vencijom (6), kao i u klasicnom slucaju, ali kvantizacija energije dozvoljavaputanje samo odredenih radijusa.

Slika 4: Kvantizacija Landauovih nivoa u prostoru valnih vektora. Crtkanakruznica odgovara Fermijevom nivou, a pune kruznice dozvoljenim Landa-uovim stanjima, pri cemu kruznice unutar Fermijeve odgovaraju stanjimaispod Fermijevog nivoa. (preuzeto iz [16])

Ako za nabijene cestice uzmemo elektrone u materijalu, tada Landauovinivoi nece biti savrseno ostri, vec se sire. Razlog tome su poremecaji poten-cijala zbog nesavrsenosti kristalne resetke. Ovaj uticaj se moze modeliratinasumicnim potencijalom Vrandom. U granici kada je on blago promjenjiv igladak, dobijaju se ostri nivoi. Sto se Vrandom brze mijenja, Landauovi nivoisu siri. [8]

7

Slika 5: Sirenje Landauovih nivoa zbog nereda u sistemu. Nivoi(n + 1/2) ~ωc, koji su vrlo degenerirani, isprva se sire bez popunjavanja pro-cjepa izmedu nivoa. Stanja u repovima su lokalizirana, tako da nema bitnihpromjena u sistemu kada Fermijev nivo prolazi kroz njih. I kada se repovispoje, stanja u njima su i dalje lokalizirana. (preuzeto iz [8])

2.2 Dvodimenzionalni elektronski gas (2DEG)13

Kako je vec receno, da bi se pojavili diskretni Landauovi nivoi, potrebnoje da se kretanje elektrona ogranici na dvije dimenzije, odnosno da se elek-tronima onemoguci da kretanjem duz smjera magnetskog polja dobijaju do-datnu translacijsku energiju. Ovo je preduslov bez kojeg se kvantni Hallovefekt ne moze manifestirati.

Kvazi-dvodimenzionalan elektronski gas se moze ostvariti u povrsinskomstanju na poluprovodniku kao npr. siliciju ili galij-arsenidu, gdje je povrsinaobicno u kontaktu sa izolatorom14 (slika 6).

U takvom sistemu, moguce je ostvariti potencijalnu jamu uz povrsinu po-luvodica koja je sirine male u poredenju sa de Broglievom valnom duzinomelektrona. Energija nosilaca se tada grupira u tzv. elektricne potpojasevekoji odgovaraju kvantiziranom kretanju u z-smjeru (slika 7). Pri niskim tem-peraturama (T < 4K) i niskim koncentracijama nosilaca (Fermijeva energijau odnosu na najnizi potpojas E0 mala u poredenju sa razmakom izmedjupotpojaseva E1 − E0), samo najnizi potpojas je popunjen elektronima, sto

13Opsirnije o dvodimenzionalnim strukturama: [16], [17] i [6, http://www.pha.jhu.

edu/∼qiuym/qhe/node3.html].14Kvantni Hallov efekt je otkriven na MOSFET-u sa Si kao poluvodicem i SiO2 kao

izolatorom. Godinu dana kasnije, Daniel Tsui i A. Gossard su efekt postigli i na heteros-trukturi GaAs/AlxGa1−xAs. D. C. Tsui & A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 38(7) 550(01 Apr 1981)

8

Slika 6: Dvodimenzionalni elektronski gas (2DEG) se moze formirati napovrsini poluvodica ako su elektroni fiksirani uz povrsinu vanjskim elek-tricnim poljem. Silikonski MOSFET (a) i GaAs/AlxGa1−xAs heterostruk-ture (b) su tipicne strukture koje se koriste za ostvarivanje 2DEG-a. (preuzetoiz [5])

vodi strogo dvodimenzionalnom elektronskom gasu sa spektrom energija:

E = E0 +~2k2

q2m∗ ,

gdje je kq valni vektor u dvodimenzionalnoj ravnini [5, str. 318-319].Osim povrsine poluvodica, 2DEG je moguce ostvariti i na povrsini tecnog

helija i u tzv. heterospojevima.

Dimenzijske napomene

U odjeljku 1.2 smo govorili o Hallovom otporu i Hallovoj otpornosti, gdjesu otpor i (3D) otpornost vezani dobro poznatom relacijom R = ρ l/S, igdje je jedinica za otpornost 1Ωm.

Medutim sada se bavimo dvodimenzionalnom strukturom, tako da spe-cificna otpornost dobija drugo znacenje i drugu dimenziju. Ako navedenurelaciju prilagodimo po analogiji, tada umjesto poprecne povrsine S trebauzeti samo sirinu w (debljina je dimenzija koja ovdje vise ne postoji), paizraz za 2D otpornost postaje:

ρ = Rw

l

Prvo sto ovdje treba uociti jeste da otpor i ovako definisana 2D otpornostimaju istu osnovnu dimenziju - 1Ω. Zatim, vidimo da uzorak kvadratnog

9

Slika 7: Elektricni potpojasevi i elektronske distribucije u povrsinskom slojuSi MOSFET-a (a) i GaAs/AlxGa1−xAs heterostrukture (b) (preuzeto iz [5])

oblika (w = l) ima otpor brojcano jednak specificnoj 2D otpornosti ρ, i tajje otpor nezavisan od velicine kvadrata w. Upravo zbog ove cinjenice seρ i naziva otpor po kvadratu, a radi konceptualne distinkcije ove velicine uodnosu na otpor, pise se ρ = 1Ω/ (“ro je jedan Ohm po kvadratu”).

Slicno otpornosti, i vodljivost σ mijenja dimenziju u dvodimenzionalnomsistemu, a jos jedna velicina koja mijenja dimenziju jedinica jeste i gustocastruje: umjesto j = I/S, sada je j = I/w.

2.3 Lokalizirana i rasirena stanja

Fizikalna situacija bitno ovisi o polozaju Fermijevog nivoa u odnosu naLandauove nivoe na grafikonu gustoce stanja. U sljedecem pretpostavljamovrlo nisku temperaturu, odnosno da elektroni nemaju termicke energije dase bitnije izdignu iznad Fermijevog nivoa.

Ako se Fermijev nivo nalazi u procjepu izmedu Landauovih stanja, otporpada na nulu. Naime, ne moze doci do elasticnog rasprsenja elektrona jersu sva stanja sa istom energijom vec popunjena, a za neelasticna rasprsenjau kojima bi elektron primio energiju od kristalne resetke i presao u visestanje nema dovoljno termicke energije. U banalizovanoj slici, elektronitada opisuju zatvorene kruzne putanje15, tako da nema prenosa elektronasa jednog kraja uzorka na drugi, dakle ovi elektroni ne doprinose Hallovomnaponu. Ova stanja se nazivaju lokalizirana.

15u sistemu referencije koji se krece sa strujom drifta

10

Slika 8: Lokalizirana stanja na grafikonu gustoce stanja. (preuzeto iz C. Kittel,Introduction to Solid State Physics, Seventh Edition, Wiley, 1996)

Stvarna situacija je, naravno, mnogo kompleksnija, i lokaliziranost sezasniva na nasumicnom potencijalu nesavrsene kristalne resetke, koji je vecspomenut pred kraj odjeljka 2.1. Laughlin u [8] slikovito poredi ovaj po-tencijal sa nasumicno brezuljkastim terenom, a Fermijev nivo sa nivoomvode: dok bi voda na savrseno ravnom terenu pokrivala citavu povrsinu, naneravnom terenu se stvaraju bare - voda je lokalizirana.

Centri lokalizacije elektrona u kristalnoj resetci su atomi primjese sasvojim kulonskim silama, kao i defekti resetke. Maksimalna energija loka-liziranih elektrona zavisi od naboja necistoca koje prouzrokuju lokaliziranastanja.

Dijelovi energetskog spektra koji odgovaraju lokaliziranim stanjima senazivaju i procjepi pokretljivosti16.

Kada se Fermijev nivo nalazi u blizini Landauovog nivoa, putanja elek-trona se prostire preko citave sirine uzorka, te na taj nacin elektroni prenosestruju s jednog kraja uzorka na drugi. Ova stanja se nazivaju rasirena17.

U zornoj slici sa reljefnim terenom i nivoom vode, rasirena stanja odgo-varaju situaciji kada se nivo vode toliko podigne da umjesto kopna i jezeraostaju ostrva okruzena morem.

Treba istaci da, nasuprot onome sto bi se na prvi pogled moglo ocekivati,necistoce su bitne za jasno uocavanje kvantnog Hallovog efekta - bez njih,Hallovi platoi bi bili mnogo uzi. Naime, necistoce su presudne za lokalizacijuelektrona, dakle vise necistoca daje siri procjep pokretljivosti, pa i siri Hallovplato.

16engl. mobility gaps17engl. extended states

11

2.4 Kvantizacija Hallovog otpora

Slika 9 predstavlja rukom crtan von Klitzingov grafikon na kojem suHallovi platoi prvi put jasno uoceni. Tu je apscisa napon Vg, koji je pro-porcionalan Fermijevom nivou. Umjesto koristenja magnetskog polja kaoparametra pri stalnom Fermijevom nivou, von Klitzing i dr. su naime radiliobrnuto - drzali su magnetsko polje konstantnim, a pomjerali Fermijev nivo.Efekat je isti, ono sto je bitno jeste da se Fermijev nivo mice u odnosu naLandauove nivoe (vidi sliku 10).

Na slici 11 su prikazani Hallovi platoi na grafu Hallovog otpora ρxy, iuporedo longitudinalna otpornost ρxx, ovaj put sa magnetskim poljem Bkao apscisom. Jasno se vidi da se podrucja Hallovih platoa podudaraju sapodrucjima gdje ρxx pada na nulu.

Hallov plato se javlja dok Fermijev nivo prolazi kroz procjep pokretlji-vosti. Kao sto je vec receno u odjeljku 2.3, u toj zoni izmedu Landauovihnivoa, elektroni ne mogu mijenjati svoja energetska stanja, te se krecu bezrasprsenja, dakle otpor pada na nulu.

Objasnjenje kvantiziranosti Hallovog otpora u izvornom clanku von Klit-zinga, Dorde i Peppera je bilo vrlo sazeto, i glasilo je otprilike ovako:

Broj stanja po Landauovom nivou je:

NL =eB

h(8)

Hallova vodljivost σxy, koja je inace slozena funkcija procesa rasprsenja,ovdje, u odsutnosti rasprsenja, poprima jednostavan oblik18:

σxy = −Ne

B, (9)

gdje je N - koncentracija nosilaca.Kada se Landauov nivo u potpunosti popuni, i N = NLi, σxy se dobija

direktno iz (8) i (9):

−σxy =e2i

h. (10)

Hallova otpornost je sada, prema (5), i uz σxx = 0, ρxy = σ−1xy , dakle:

ρxy =h

e2i. (11)

18von Klitzing i dr. su se ovdje pozvali na T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 37, 622 (1974)

12

2.5 Laughlinov argument

Iako je dobio Nobelovu nagradu za necjelobrojni kvantni Hallov efekt,Robert Laughlin je dao i veliki doprinos teorijskom objasnjenju cjelobrojnogefekta. Njegov clanak iz 1981. godine [2] se zasniva na misaonom eksperi-mentu i koristi svojstva simetrije sistema, tacnije kalibracione transforma-cije.

2.6 Primjene

Kvantni Hallov efekt je nasao vrlo vaznu primjenu u metrologiji. Onomogucava odredivanje Hallovog otpora h/e2 sa izvanrednom preciznoscu(∼ 2× 10−8), pri cemu necistoce uzorka ne uticu na rezultate mjerenja. Naosnovu ovih svojstava, Hallov otpor za i = 1 (25.812806kΩ) od 1990. godinevazi za standard za mjerenje otpora. Po von Klitzingu, ova jedinica se nazivaKlitzing : 1Klitzing = h/e2.

Osim toga, kvantni Hallov efekt trenutno predstavlja najprecizniji me-tod za odredivanje konstante fine strukture α = e2/2hcε0 ≈ 1/137.036(neodredenost ∼ 0.3ppm).

3 Razlomljeni kvantni Hallov efekt

Eksperimentirajuci sa jos jacim poljima i jos nizim temperaturama odonih koristenih prilikom otkrica cjelobrojnog kvantnog Hallovog efekta, Da-niel Tsui i Horst Stormer [3] su naisli na nesto sto uopste nisu ocekivali:Hallove platoe na vrijednostima otpora koje su tacno jednake racionalnimbrojevima u jedinicama h/e2.

I koristeci elegantno teorijsko objasnjenje Laughlina [2], nametao se za-kljucak da se izmedu rubova uzorka prenosi naboj koji nije jednak cjelobroj-noj vrijednosti elementarnog naboja e.

Kako bi objasnio ovaj rezultat, Laughlin je razvio teoriju [4] prema kojoju ovom ekstremnom kvantnom uvjetu, elektroni tako jako medudjeluju dazapravo materija prelazi u jednu potpuno novu fazu, cija je jedna manifesta-cija i necjelobrojan naboj. Taj naboj je, naravno, svojstvo citavog sistema,i on se ne moze lokalizirati u jednoj cestici. Na taj nacin je nedjeljivostelementarnog naboja ostala nepovrijedena.

Teorijsko objasnjenje racionalnog kvantnog Hallovog efekta je neupore-divo slozenije od interpretacije cjelobrojnog efekta.

4-dimenzionalno poopcenje Interesantno je spomenuti i da su Shou-Cheng Zhang i Jiangping Hu sa Stanfordskog univerziteta 2001 godine us-pjeli generalizirati teoriju razlomljenog kvantnog Hallovog efekta na 4-di-menzionalni kvantni Hallov sistem koji lezi na povrsini 5-dimenzionalne ku-gle. (“Fractional Success”, Sci. Am., January 2002, p. 21)

13

Literatura

[1] K. v. Klitzing, G. Dorda & M. Pepper, “New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based onQuantized Hall Resistance”, Phys. Rev. Lett. 45, 494-497 (1980)(http://fangio.magnet.fsu.edu/∼vlad/pr100/100yrs/pdf/09/108.pdf)

[2] R. B. Laughlin, “Quantized Hall conductivity in two dimensions”,Phys. Rev. B 23, 5632-5633 (1981)(http://fangio.magnet.fsu.edu/∼vlad/pr100/100yrs/pdf/09/109.pdf)

[3] D. C. Tsui, H. L. Stormer & A. C. Gossard, “Two-DimensionalMagnetotransport in the Extreme Quantum Limit”, Phys. Rev. Lett.48, 1559-1562 (1982)(http://fangio.magnet.fsu.edu/∼vlad/pr100/100yrs/pdf/09/112.pdf)

[4] R. B. Laughlin, “Anomalous Quantum Hall Effect: An IncompressibleQuantum Fluid with Fractionally Charged Excitations”, Phys. Rev.Lett. 50, 1395-1398 (1983)(http://fangio.magnet.fsu.edu/∼vlad/pr100/100yrs/pdf/09/116.pdf)

[5] Klaus von Klitzing, The Quantized Hall Effect, Nobel Lecture (1985),http://www.nobel.se/physics/laureates/1985/klitzing.pdf

[6] Yiming Qiu, Introduction to the Quantum Hall Effect (1997), http://www.pha.jhu.edu/∼quiym/qhe/qhe.html, 22. maj 2004.

[7] Steven Kivelson, Dung-Hai Lee & Shou-Cheng Zhang, “Electrons inFlatland”, Sci. Am., March 1996

[8] Robert B. Laughlin, Fractional Quantization, Nobel Lec-ture (1998), http://www.nobel.se/physics/laureates/1998/laughlin-lecture.pdf

[9] Horst L. Stormer, The Fractional Quantum Hall Effect, NobelLecture (1998), http://www.nobel.se/physics/laureates/1998/stormer-lecture.pdf

[10] Daniel Tsui, Interplay of Disorder and Interaction in Two-DimensionalElectron Gas in Intense Magnetic Fields, Nobel Lecture (1998), http://www.nobel.se/physics/laureates/1998/tsui-lecture.pdf

14

[11] T. B. Tang (1998), An explanation of the research by Dan Tsui et al.on “Fractional Quantum Hall Effect” that led to their award of the 1998Nobel Prize in Physics, http://www.hkbu.edu.hk/∼matsci/waltz2/1.html, 25. maj 2004.

[12] Joseph E. Avron, Daniel Osadchy & Ruedi Seiler, “A TopologicalLook at the Quantum Hall Effect”, Phys. Today, August 2003(http://physics.technion.ac.il/∼avron/files/pdf/phystoday.pdf)

[13] Shu-Chen Liu (2003), AlGaAs/GaAs Quantum Wells: Optical Cha-racteristics and Dynamic Nuclear Polarization Phenomena, http://www.phys.ufl.edu/∼liusc/Talk(3in1).ppt

Landauova stanja

[14] Lev Landau & E. Lifchitz, Physique theorique, Tome 3 - Mecaniquequantique, 3e edition, (Editions Mir Moscou, 1988), §119.

[15] Walter Greiner, Quantum Mechanics - An Introduction, Fourth Edition,(Springer-Verlag, 2001), p. 214-216.

Dvodimenzionalne strukture

[16] David R. Leadley (1997), Reduced Dimensional Structures, http://www.warwick.ac.uk/∼phsbm/2deg.htm, 30. maj 2004.

[17] T. B. Tang, Low Dimensional Systems in Condensed Matter Physics,http://www.hkbu.edu.hk/∼matsci/lds/1.html, 30. maj 2004.

15

Slika 9: Originalni radni papir von Klitzinga, 4. februar 1980. (Preuzeto izPeter Y. Yu, Manuel Cardona, Fundamentals of Semiconductors: Physics and MaterialsProperties, Springer Verlag, 3rd edition, July 2001)

16

Slika 10: Distribucija stanja kako se povecava magnetsko polje. S rastucimmagnetskim poljem, povecava se i ciklotronska energija ~ωc, koja je jednakarazmaku izmedu Landauovih nivoa. (preuzeto iz [16])

Slika 11: ρxx i ρxy za 2DEG niske pokretljivosti u GaAs/AlxGa1−xAs (pre-uzeto iz [10])

17

Slika 12: Shema uzorka za kvantni Hall efekt (preuzeto iz [5])

Slika 13: Geometrija mjerenja magneto-otpora R i Hallovog otpora RH kaofunkcije struje I i magnetskog polja B. V je longitudinalni napon, koji padaduz smjera struje, a VH je Hallov napon koji pada okomito na smjer struje.n je koncentracija elektrona po cm2. (preuzeto iz [9])

18

Slika 14: Hallov napon i longitudinalni napon kao funkcija magnetskog po-lja u necjelobrojnom kvantnom Hallovom efektu (desno). Naznaceni su raci-onalni Hallovi platoi za i = 2/3 i i = 3/5. Poredenja radi, lijevo su prikazanirezultati za klasicni Hallov efekt. (preuzeto iz [7])

19

Slika 15: Slika uzorka na kojem je otkriven necjelobrojni kvantni Hall efekt.(preuzeto iz [9])

20