operator kutne koli cine gibanja - unios · 2016-03-21 · kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj...
TRANSCRIPT
![Page 1: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/1.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Operator kutne kolicine gibanjaQuantum mechanics 1 - Lecture 9
Igor Lukacevic
UJJS, Dept. of Physics, Osijek
2. svibnja 2013.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 2: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/2.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 3: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/3.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 4: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/4.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Kartezijeve komponente
Klasicna mehanika
Sto nije bas najbolje prikazano naovoj slicici?
Kvantna mehanika
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 5: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/5.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Kartezijeve komponente
L = r × p =
Lx = ypz − ypy
Ly = zpx − xpz
Lz = xpy − ypx
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 6: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/6.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Kartezijeve komponente
L = r × p =
Lx = ypz − ypyQM −i~
(y ∂∂z− z ∂
∂y
)Ly = zpx − xpz
QM −i~
(z ∂∂x− x ∂
∂z
)Lz = xpy − ypx
QM −i~
(x ∂∂y− y ∂
∂x
)
= −i~r ×∇
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 7: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/7.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
[r, p] = i~ ⇒
[Ly , Lz ] = i~Lx
[Lz , Lx ] = i~Ly
[Lx , Ly ] = i~Lz
⇔ i~L = L× L =
∣∣∣∣∣ex ey ez
Lx Ly Lz
Lx Ly Lz
∣∣∣∣∣
Pitanje
Mozete li naci motivaciju zasto proucavamo komutacijske relacije izmedukomponenti operatora L?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 8: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/8.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
[r, p] = i~ ⇒
[Ly , Lz ] = i~Lx
[Lz , Lx ] = i~Ly
[Lx , Ly ] = i~Lz
⇔ i~L = L× L =
∣∣∣∣∣ex ey ez
Lx Ly Lz
Lx Ly Lz
∣∣∣∣∣
Pitanje
Mozete li naci motivaciju zasto proucavamo komutacijske relacije izmedukomponenti operatora L?
Ako operatori komutiraju, onda imaju zajednicki skup svojstvenih funkcija.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 9: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/9.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
Primjer 1.
Neka je neko stanje istovremeno svojstvena funkcija od Lx i Ly . Pokazite datom stanju onda pripada svojstvena vrijednost Lx = Ly = Lz = 0.
ϕ
Lxϕ = Lxϕ
Lyϕ = Lyϕ
⇒[Lx , Ly
]= 0
⇒ 0 =[Lx , Ly
]ϕ = i~Lzϕ⇒ Lzϕ = 0 · ϕ ⇒ Lz = 0
⇒ ϕ je “nul-svojstvena funkcija” od Lz
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 10: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/10.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
Primjer 1.
Neka je neko stanje istovremeno svojstvena funkcija od Lx i Ly . Pokazite datom stanju onda pripada svojstvena vrijednost Lx = Ly = Lz = 0.
Robertson-Schrodingerova relacija (dokaz u ref. [1]):
[A,B] = iC ⇒ ∆A∆B ≥ 1
2|〈C〉|
[Lx , Lz ] = −i~Ly ⇒ 0?= ∆Lx∆Lz ≥
~2|〈Ly 〉|
⇒ 〈Ly 〉 = Ly = 0
DZ⇒ 〈Lx〉 = Lx = 0
Nijedno stanje ne moze istovremeno biti svojstvena funkcija bilo koje dvijekomponente operatora L. Ako je, onda je to “nul-svojstvena funkcija”.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 11: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/11.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
DZ
Dokazite da su Lx i L2 Hermitski operatori.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 12: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/12.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
promotrimo operator L2
L2 = L2x + L2
y + L2z
[Lz , L2] = [Lz , L
2x + L2
y + L2z ] = [Lz , L
2x ] + [Lz , L
2y ] + [Lz , L
2z ]︸ ︷︷ ︸
=0
= Lx [Lz , Lx ] + [Lz , Lx ]Lx + Ly [Lz , Ly ] + [Lz , Ly ]Ly
= i~[LxLy + LyLx − LyLx − LxLy ]
= 0
slicno za ostale ⇒ [Li , L2] = 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 13: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/13.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Osnovna svojstva
Relacije komutacije
Bilo koja komponenta operatora L ima zajednicke svojstvene funkcije s L2.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 14: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/14.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 15: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/15.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja - J = L,S,L + S
Orbitalna - L Spinska - S
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 16: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/16.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Analogno kao za L
[Jx , Jy ] = i~Jz[Jy , Jz ] = i~Jx[Jz , Jx ] = i~Jy
J2 = J2x + J2
y + J2z
[Jx , J2] = [Jy , J
2] = [Jz , J2] = 0
∆Jx∆Jy ≥~2
∣∣〈Jz〉∣∣
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 17: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/17.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Definicija operatora stvaranja i ponistavanja
J+ = Jx + iJy (1)
J− = Jx − iJy = J†+ (2)
Neka svojstva (dokazati za DZ - pomoc u ref. [1,2])
[Jz , J±] = ±~J± (3)
[J2, J±] = 0 (4)
J2 = J∓J± + J2z ± ~Jz (5)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 18: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/18.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
pretpostavka: ϕm svojstvena funkcija od Jz sa svojstvenomvrijednoscu ~m
Jzϕm = ~mϕm , m =?
promotrimo
JzJ+ϕm(3)= (~J+ + J+Jz)ϕm = (~J+ + J+~m)ϕm
Jz(J+ϕm) = ~(m + 1)(J+ϕm)
⇒ J+ϕm svojstvena funkcija od Jz sa svojstvenom vrijednoscu ~(m + 1)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 19: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/19.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
J+ϕm = ϕm+1
J+(J+ϕm) = J+ϕm+1 = ϕm+2
J−ϕm = ϕm−1
J−ϕm−1 = ϕm−2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 20: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/20.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
[J2, Jz ] = 0 ⇒ pretpostavka: ϕm svojstvena funkcija od J2 sasvojstvenom vrijednoscu ~2K 2
J2ϕm = ~2K 2ϕm , K =?
promotrimo
J2(J+ϕm)(4)= J+(J2ϕm) = ~2K 2(J+ϕm)
⇒ J+ϕm = ϕm+a svojstvena funkcija od J2 sa svojstvenom vrijednoscu~2K 2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 21: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/21.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Jz
J2
ϕm±n
~m
~2K 2
Pitanje
Koliko ima svojstvenih funkcija ϕm±n?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 22: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/22.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Jz
J2
ϕm±n
~m
~2K 2
Pitanje
Koliko ima svojstvenih funkcija ϕm±n?
〈J2〉 = ~2K 2 = 〈J2x 〉+ 〈J2
y 〉+ 〈J2z 〉
~2K 2 = 〈J2x 〉+ 〈J2
y 〉+ ~2m2
J2i
DZ
≥ 0 ⇒ ~2K 2 ≥ ~2m2
|K | ≥ |m| ⇒ ∀K > 0 , −K ≤ m ≤ K
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 23: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/23.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
mmax ⇒ J+ϕmmax = 0
⇒
J2ϕmmax = ~2K 2ϕmmax
(5)= J2
zϕmmax + ~Jzϕmmax
~2K 2 = ~2mmax(mmax + 1)
mmin ⇒ J−ϕmmin = 0
⇒
J2ϕmmin = ~2K 2ϕmmin
(5)= J2
zϕmmin − ~Jzϕmmin
~2K 2 = ~2mmin(mmin − 1)
⇒ mmax(mmax + 1) = mmin(mmin − 1) ⇒ mmax = −mmin
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 24: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/24.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
m su simetricno nizani oko m = 0 za dani K
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 25: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/25.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
j ≡ mmax = −mmin ⇒ ~2K 2 = ~2j(j + 1)
Svojstvene vrijednosti operatora J iL
J2 = ~2j(j + 1) , j = 0, 1, 2, . . .
Jz = ~mj , mj = −j , . . . , +j
L2 = ~2l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . .
Lz = ~ml , ml = −l , . . . , +l
Degeneracija stanja
∀l ⇒ (2l + 1) m − ova
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 26: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/26.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
j ≡ mmax = −mmin ⇒ ~2K 2 = ~2j(j + 1)
Svojstvene vrijednosti operatora J iL
J2 = ~2j(j + 1) , j = 0, 1, 2, . . .
Jz = ~mj , mj = −j , . . . , +j
L2 = ~2l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . .
Lz = ~ml , ml = −l , . . . , +l
Degeneracija stanja
∀l ⇒ (2l + 1) m − ova
Kvantni brojevi
l orbitalni kvantni broj
m magnetski kvantni broj
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 27: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/27.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 28: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/28.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
1 L2 = ~2l(l + 1) = 30~2 ⇒ l(l + 1) = 30 ⇒ l = 5
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 29: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/29.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
1 L2 = ~2l(l + 1) = 30~2 ⇒ l(l + 1) = 30 ⇒ l = 5
2 Mjerenje L2 ostavlja kotac u svojstvenom stanju od L2. Lz i L2 imajuzajednicka svojstvena stanja.
l = 5 ⇒ m = −5 , . . . , +5 ⇒ lz = −5~ , . . . , +5~
Npr. neka mjerenje da Lz = 3~. Tada kotac ostaje u stanju ϕ53.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 30: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/30.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Operatori stvaranja i ponistavanja
Primjer 2.
Kvantni kotac rotira u izoliranom sustavu. Mjerimo kutnu kolicinu gibanja daiznosi L2 = 30~2.
1 Odredite pripadajuci l .
2 Koju vrijednost za Lz bi dalo slijedece mjerenje?
3 Kolika je degeneracija stanja kotaca?
3 l = 5 ⇒ (2l + 1) = 11
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 31: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/31.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
U pokusu smo mjerili L2 i npr. Lz , te dobili vrijednosti L2 = 56~2 i Lz = 3~.Zatim mjerimo Lx , te dobijemo vrijednost Lx = 5~. Sto se dogada sa stanjemsustava? Sto se dogada s informacijom o Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 32: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/32.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
U pokusu smo mjerili L2 i npr. Lz , te dobili vrijednosti L2 = 56~2 i Lz = 3~.Zatim mjerimo Lx , te dobijemo vrijednost Lx = 5~. Sto se dogada sa stanjemsustava? Sto se dogada s informacijom o Lz?
funkcija stanja nije vise zajednicka svojstvena funkcija L2 i Lz , nego od L2 iLx
informacije o rezultatu mjerenja Lz (i Ly ) postaju vise neodredene
∆Ly∆Lz ≥~2|〈Lx〉| =
~Lx
2=
5~2
2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 33: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/33.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 34: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/34.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 35: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/35.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li si mozete predociti stanja rotacije kvantnog kotaca u kojemu ostajuocuvane vrijednosti od L2 i Lz?
za dane l i m, vektor L jejednoliko razmazan po plastustosca vrsnog kuta
θ = cos−1 m√l(l + 1)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 36: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/36.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 3.
Kako izgledaju L i Lz za l = 2?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 37: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/37.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 3.
Kako izgledaju L i Lz za l = 2?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 38: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/38.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li L moze biti poravnan s Lz , tj. θ = 0?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 39: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/39.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Pitanje
Da li L moze biti poravnan s Lz , tj. θ = 0?
Ne L = ~√
l(l + 1) ⇒ Lmaxz = ~l ⇒ l <
√l(l + 1) ⇒ θ > 0 , ∀l ,m
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 40: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/40.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 41: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/41.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
L = ~√
l(l + 1) = ~√
56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 42: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/42.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
L = ~√
l(l + 1) = ~√
56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7
φxmin = φz
max ⇒ m = 1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 43: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/43.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Relacije neodredenosti
Primjer 4.
U mnostvu nezavisnih kvantnih kotaca se mjeri kut φ izmedu L i x-osi. Svikotaci imaju kutnu kolicinu gibanja L = ~
√56. Koliki se najmanji moguci kut φ
moze mjeriti?
L = ~√
l(l + 1) = ~√
56 ⇒ l(l + 1) = 56 ⇒ l = 7 ⇒ m = −7 , . . . , 7
φxmin = φz
max ⇒ m = 1
⇒ φzmax = cos−1 1√
7(7 + 1)
= 82.32
⇒ φxmin = 7.68
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 44: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/44.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
I = 2Ma2
EDZ=
L2
2I
⇒ H =L2
2I
S .J. ⇒ Hϕ =
(L2
2I
)ϕ = Eϕ
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 45: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/45.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
I = 2Ma2
EDZ=
L2
2I
⇒ H =L2
2I
S .J. ⇒ Hϕ =
(L2
2I
)ϕ = Eϕ
⇒
(L2
2I
)ϕlm = Eϕlm
⇒ El =~2l(l + 1)
2I
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 46: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/46.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
I = 2Ma2
EDZ=
L2
2I
⇒ H =L2
2I
S .J. ⇒ Hϕ =
(L2
2I
)ϕ = Eϕ
⇒
(L2
2I
)ϕlm = Eϕlm
⇒ El =~2l(l + 1)
2I
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 47: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/47.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
Primjer 5.
Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 48: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/48.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
Primjer 5.
Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO(a = 1.13 · 10−10 m, mc = 2.0091 · 10−26 kg, mo = 2.678768 · 10−26 kg) izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.
I = µa2 =mcmo
mc + moa2 = 1.46588 · 10−46 kgm2
El =~2l(l + 1)
2I;
~2
2I= 3.79 · 10−23 J = 1.91 cm−1
ν15→ 14 = E15 − E14 ≈ 61 cm−1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 49: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/49.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
Primjer 5.
Izracunajte frekvenciju fotona (u cm−1) emitiranog pri prijelazu molekule CO(a = 1.13 · 10−10 m, mc = 2.0091 · 10−26 kg, mo = 2.678768 · 10−26 kg) izrotacijskog stanja s l = 16 u stanje s l = 15.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 50: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/50.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanja
Rotacijski spektar dvoatomne molekule
DZ
Dokazite da je frekvencija fotona emitiranog/apsorbiranog pri prijelazu izmedudva susjedna rotacijska stanja “krutog rotatora” momenta tromosti I dana s
~ω =
(~2
I
)(l + 1) ili
(~2
I
)l
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 51: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/51.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 52: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/52.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Operator L u sfernim koordinatama
Cilj 99K rijesiti
L2ϕlm = ~2l(l + 1)ϕlm
Lzϕlm = ~mϕlm
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 53: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/53.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Operator L u sfernim koordinatama
Sferne koordinate (DZ)
x = r sinϑ cosϕ
y = r sinϑ sinϕ
z = r cosϑ
Lx = i~(
sinϕ∂
∂ϑ+ cotϑ cosϕ
∂
∂ϕ
)Ly = i~
(− cosϕ
∂
∂ϑ+ cotϑ sinϕ
∂
∂ϕ
)Lz = −i~ ∂
∂ϕ
L2 = −~2
[1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
]
L+ = ~e iϕ(i cotϑ
∂
∂ϕ+
∂
∂ϑ
)L− = ~e−iϕ
(i cotϑ
∂
∂ϕ− ∂
∂ϑ
)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 54: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/54.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
L2 = L2(ϑ , ϕ)
Lz = Lz(ϑ , ϕ)
⇒ ϕlm Y ml (ϑ , ϕ)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 55: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/55.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Jednadzba za Lz
LzYml = ~mY m
l
⇒ −i~ ∂
∂ϕY m
l = ~mY ml
⇒
∂
∂ϕY m
l = imY ml
Y ml (ϑ , ϕ) = Φm(ϕ)Θm
l (ϑ)
DZ⇒ Φm(ϕ) = Ce imϕ
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 56: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/56.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Pitanje
Kako glasi uvjet normiranja za Φm?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 57: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/57.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Normiranje Φm ∫ 2π
0
|Φm|2dϕ = 1
|C |2∫ 2π
0
e−imϕe imϕdϕ = 1
⇒ C =1√2π
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 58: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/58.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Rubni uvjet (periodicnost) na Φm
Φ(ϕ) = Φ(ϕ+ 2π)
e imϕ = e im(ϕ+2π)
e im·2π = 1
⇒ m = 0 , ±1 , ±2 , . . .
m imaju vrijednosti cijelih brojeva - diskretne vrijednosti!
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 59: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/59.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϕ
Rjesenja kutne jednadzbe za ϕ
Φm(ϕ) =1√2π
e imϕ , m = 0 , ±1 , ±2 , . . .
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 60: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/60.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
L2Y ml = ~2l(l + 1)Y m
l
Y ml =
1√2π
e imϕΘml (ϑ)
DZ⇒ 1
sinϑ
d
dϑ
(sinϑ
dΘ
dϑ
)+
[l(l + 1)− m2
sin2 ϑ
]= 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 61: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/61.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
L2Y ml = ~2l(l + 1)Y m
l
Y ml =
1√2π
e imϕΘml (ϑ)
DZ⇒ 1
sinϑ
d
dϑ
(sinϑ
dΘ
dϑ
)+
[l(l + 1)− m2
sin2 ϑ
]= 0
Supstitucija: µ = cosϑDZ⇒
d
dµ
[(1− µ2)
dΘ
dµ
]+
[l(l + 1)− m2
1− µ2
]Θ = 0
−1 ≤ µ ≤ 1
⇒ trazimo Θ(µ)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 62: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/62.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
stavimo m = 0 i l(l + 1) = λ ⇒
Legendreova jednadzba [4]
d
dµ
[(1− µ2)
dΘl
dµ
]+ λΘl = 0 , Θ0
l = Θl
Pitanje
Mozete li iz usporedbe Legendreove jednadzbe s jednadzbom svojstvenihvrijednosti za L2
−~2
[1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
]Y m
l = ~2l(l + 1)Y ml
zakljuciti za koji operator je Legendreova jednadzba ustvari jednadzbasvojstvenih vrijednosti i s kojom svojstvenom vrijednoscu?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 63: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/63.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
stavimo m = 0 i l(l + 1) = λ ⇒
Legendreova jednadzba [4]
d
dµ
[(1− µ2)
dΘl
dµ
]+ λΘl = 0 , Θ0
l = Θl
Pitanje
Mozete li iz usporedbe Legendreove jednadzbe s jednadzbom svojstvenihvrijednosti za L2
−~2
[1
sinϑ
∂
∂ϑ
(sinϑ
∂
∂ϑ
)+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
]Y m
l = ~2l(l + 1)Y ml
zakljuciti za koji operator je Legendreova jednadzba ustvari jednadzbasvojstvenih vrijednosti i s kojom svojstvenom vrijednoscu?
L2
~2
m=0 λ
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 64: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/64.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
Pretpostavimo rjesenje u obliku reda po potencijama od µ:
Pridruzene Legendreove funkcije [5]
Pml (µ) = (1− µ2)|m|/2 d|m|
dµ|m|Pl(µ) = P−m
l (µ)
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 65: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/65.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
Pretpostavimo rjesenje u obliku reda po potencijama od µ:
Rodriguesova formula za Legendreove polinome Pl [6]
Pl(µ) =1
2l l!
dl
dµl(µ2 − 1)l
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 66: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/66.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
d|m|
dµ|m|(Legendreova jednadzba)
Θl=Pl=⇒
d
dµ
[(1− µ2)
dPml
dµ
]+
[l(l + 1)− m2
1− µ2
]Pml = 0
Pitanje
Sto mozete zakljuciti usporedujuci ovu jednadzbu s jednadzbom za Θ?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 67: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/67.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
d|m|
dµ|m|(Legendreova jednadzba)
Θl=Pl=⇒
d
dµ
[(1− µ2)
dPml
dµ
]+
[l(l + 1)− m2
1− µ2
]Pml = 0
Pitanje
Sto mozete zakljuciti usporedujuci ovu jednadzbu s jednadzbom za Θ?
Θml ! Pm
l ⇒ Θml = N · Pm
l
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 68: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/68.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Kutna jednadzba za ϑ
Uvjet normiranja
∫|Y m
l |2dΩ = 1 ⇒ N =
√(2l + 1)
2
(l − |m|)!
(l + |m|)!
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 69: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/69.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Sferni harmonici (kugline funkcije) [7]
Y ml (ϑ, ϕ) = Θm
l (ϑ)Φm(ϕ) = ε
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!e imϕ Pm
l (cosϑ) ,
ε =
(−1)m , m > 01 , m ≤ 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 70: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/70.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Pitanje
Sto mozete zakljuciti o |Y ml |, ako uocite da |Y m
l | ovisi samo o ϑ
|Y ml | = |ε|
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!|Pm
l (cosϑ)| ?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 71: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/71.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Pitanje [8]
Sto mozete zakljuciti o |Y ml |, ako uocite da |Y m
l | ovisi samo o ϑ
|Y ml | = |ε|
√(2l + 1)
4π
(l − |m|)!
(l + |m|)!|Pm
l (cosϑ)| ?
⇒ |Y ml | povrsina rotacije oko z-osi
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 72: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/72.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Razvoj po sfernim harmonicima
ζ(ϑ, ϕ) =∞∑l=0
∑|m|≤l
almYml (ϑ, ϕ) , ∀ζ(ϑ, ϕ)
alm = 〈Y ml |ζ〉 =
∫ 2π
0
dϕ
∫ 1
−1
[Y ml (ϑ, ϕ)]∗ ζ(ϑ, ϕ)d cosϑ
Pitanje
Ako se sistem nalazi u stanju ζ(ϑ, ϕ), kolika je vjerojatnost da ce se za:
1 L2 dobiti vrijednost ~2l(l + 1),
2 Lz dobiti vrijednost ~m?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 73: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/73.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Razvoj po sfernim harmonicima
ζ(ϑ, ϕ) =∞∑l=0
∑|m|≤l
almYml (ϑ, ϕ) , ∀ζ(ϑ, ϕ)
alm = 〈Y ml |ζ〉 =
∫ 2π
0
dϕ
∫ 1
−1
[Y ml (ϑ, ϕ)]∗ ζ(ϑ, ϕ)d cosϑ
Pitanje
Ako se sistem nalazi u stanju ζ(ϑ, ϕ), kolika je vjerojatnost da ce se za:
1 L2 dobiti vrijednost ~2l(l + 1),
2 Lz dobiti vrijednost ~m?
1 P[~2l(l + 1)
]=∑|m|≤l
|alm|2
2 P [~m] =∞∑
l=|m|
|alm|2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 74: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/74.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 6.
Neka se rotator nalazi stanju
ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .
Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 75: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/75.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 6.
Neka se rotator nalazi stanju
ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .
Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?
1 razvijemo ζ po Y tako da uocimo
Y 22 ∼ sin2 ϑe2iϕ
Y−22 ∼ sin2 ϑe−2iϕ
⇒ ζ = a22Y2
2 + a2−2Y−2
2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 76: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/76.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 6.
Neka se rotator nalazi stanju
ζ(ϑ, ϕ) = A sin2 ϑ cos 2ϕ .
Koje vrijednosti ce se mjeriti za L2 i Lz?
1 razvijemo ζ po Y tako da uocimo
Y 22 ∼ sin2 ϑe2iϕ
Y−22 ∼ sin2 ϑe−2iϕ
⇒ ζ = a22Y2
2 + a2−2Y−2
2
2 a22, a2−2 ⇒ l = 2 , m = ±2
~2l(l + 1) = 6~2 , P(6~2)?= 1
~m = ±2~ , P(2~)?= 1/2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 77: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/77.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 78: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/78.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1
1 =∑
m amX , am P(m)
LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)
Pitanje
Zasto X nisu jednake Y ?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 79: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/79.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1
1 =∑
m amX , am P(m)
LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)
Y svojstvene funkcije od L2 ⇒
X =∑
m=−1,0,1
bmYm
1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 80: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/80.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
l = m = 1 ⇒ Y 11 ⇒ Y 1
1 =∑
m amX , am P(m)
LxX (ϑ, ϕ) = ~αX (ϑ, ϕ)
Y svojstvene funkcije od L2 ⇒
X =∑
m=−1,0,1
bmYm
1
Lx = 12(L+ + L−)
L+Y1
1 = 0 , L+Y0
1 =√
2~Y 11 , L+Y
−11 =
√2~Y 0
1
L−Y1
1 = Y 01 , L−Y
01 =√
2~Y−11 , L−Y
−11 = 0
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 81: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/81.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
[b1Y
01 + b0(Y 1
1 + Y−11 ) + b−1Y
01
]=√
2α(b1Y1
1 + b0Y0
1 + b−1Y−1
1 )
⇒
−√
2α 1 0
1 −√
2α 0
0 1 −√
2α
b1
b0
b−1
= 0
⇒ α(α2 − 1) = 0 ⇒ α = 0,±1
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 82: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/82.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
U.N.⇒X0 = 1√
2(Y 1
1 − Y−11 ) , α = 0
X+ = 12(Y 1
1 +√
2Y 01 + Y−1
1 ) , α = +1
X− = 12(Y 1
1 −√
2Y 01 + Y−1
1 ) , α = −1
Y 11 =
1
2(X+ +
√2X0 + X−) ⇒
P(+~) = 14
P(−~) = 14
P(0) = 12
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 83: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/83.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanja
Sferni harmonici
Primjer 7.
Neka se sistem nalazi u svojstvenom stanju od L2 i Lz , koje odgovara l = 1 im = 1. Kolika je vjerojatnost da ce mjerenje Lx dati vrijednost koja odgovaram = 0,±1?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 84: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/84.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 85: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/85.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
L2 = (L1 + L2)2 = L21 + L2
2 + 2L1L2
Lz = L1z + L2z
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 86: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/86.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Pitanje
Neka se sistem nalazi u stanju s odredenim vrijednostima od L1z i L2z (npr. m1
i m2), |l1l2m1m2〉. Zatim se mjeri L2. Da li ce nakon mjerenja L2 sistem bitiopet u stanju |l1l2m1m2〉?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 87: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/87.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Pitanje
Neka se sistem nalazi u stanju s odredenim vrijednostima od L1z i L2z (npr. m1
i m2), |l1l2m1m2〉. Zatim se mjeri L2. Da li ce nakon mjerenja L2 sistem bitiopet u stanju |l1l2m1m2〉?
Nece, jer npr.[L1z , L
2] DZ
= 2i~(L1yL2x − L1xL2y ) 6= 0.
⇒ trebaju nam skupovi komutirajucih operatora
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 88: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/88.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
(L1z , L2z , L21, L
22)
(L21, L
22, L
2, Lz)
potpuni skupovi operatora
(l1, l2,m1,m2)
(lml1l2) , m = m1 + m2
dobri kvantni brojevi
DZ
Dokazite da operatori iz potpunog skupa svi medusobno komutiraju.
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 89: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/89.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
(l1, l2,m1,m2) (lml1l2)
99K Pogledajte ref. [9].
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 90: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/90.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Clebsch-Gordanovi koeficijenti Cm1m2 [10]
|l1l2m1m2〉 = |l1m1〉|l2m2〉
|lml1l2〉 =∑m
Cm1m2 |l1l2m1m2〉
Cm1m2 = 〈l1l2m1m2|lml1l2〉|Cm1m2 |
2 = vjerojatnost da uz fiksne L i Lz
mjerenje nade jednu cesticu s L1z = m1~i drugu cesticu s L2z = m2~
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 91: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/91.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Primjer 8.
Neka se sistem nalazi u stanju |lml1l2〉 = |1,−1, 1, 1〉. Kolika je vjerojatnost dace (m1,m2) imati vrijednost (0,−1) ili (−1, 0)?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 92: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/92.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Primjer 8.
Neka se sistem nalazi u stanju |lml1l2〉 = |1,−1, 1, 1〉. Kolika je vjerojatnost dace (m1,m2) imati vrijednost (0,−1) ili (−1, 0)?
m = m1 + m2 = −1DZ⇒ |1,−1, 1, 1〉 = C0,−1|1, 0〉|1,−1〉+ C−1,0|1,−1〉|1, 0〉
L−|1,−1, 1, 1〉 DZ= 0
L− = L1− + L2−
L−|1,−1, 1, 1〉 = (L1− + L2−)(C0,−1|1, 0〉|1,−1〉+ C−1,0|1,−1〉|1, 0〉)DZ= ~
√2(C0,−1 + C−1,0)|1,−1〉|1,−1〉
⇒ C0,−1 = −C−1,0
U.N.⇒ C0,−1 =1√2
⇒ P(0,−1) = P(−1, 0) = |C0,−1|2 =1
2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 93: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/93.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Zadatak
Koje su dopustene (najvece i najmanje) vrijednosti (l ,m) za dane (l1, l2)?
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 94: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/94.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Najvece vrijednosti
Lz = L1z + L2z ⇒ mmax = m1max + m2max = l1 + l2 ⇒ lmax = l1 + l2
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 95: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/95.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Najmanje vrijednosti
l1, l2 ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) nezavisnih svojstvenih stanja
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 96: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/96.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
Najmanje vrijednosti
l1, l2 ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) nezavisnih svojstvenih stanja
l1+l2∑l=lmin
(2l + 1) = (2l1 + 1)(2l2 + 1)DZ⇔ lmin = |l1 − l2|
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 97: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/97.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Dvije cestice
l = |l1 − l2| , . . . , l1 + l2
Npr. sistem od jednog p i jednog d elektrona:
p elektron (l1 = 1)
d elektron (l2 = 2)
⇒ l = 1, 2, 3 ⇒ L =
~√
2
~√
6
~√
12
Broj stanja =
l1+l2∑l=lmin
(2l + 1) =3∑
l=1
(2l + 1) = 15
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 98: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/98.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 99: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/99.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
1 N = 2
⇒ L2 = (L1 + L2)2 ~2l(l + 1) , l = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 100: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/100.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
1 N = 2
⇒ L2 = (L1 + L2)2 ~2l(l + 1) , l = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|
2 N = 3L2 = (L1 + L2 + L3)2 =
∣∣∣L′ = L1 + L2
∣∣∣ = (L′ + L3)2
L′2 l ′ ⇒ l = l ′ + l3, . . . , |l ′ − l3|
Npr. l1 = l2 = l3 = 1 ⇒ l ′ = l1 + l2, . . . , |l1 − l2| = 0, 1, 2
l ′ = 0 99K l = 1l ′ = 1 99K l = 0, 1, 2l ′ = 2 99K l = 1, 2, 3
⇒ l = 0, 1, 2, 3 , broj stanja = 27
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 101: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/101.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Kutna kolicina gibanja vise cestica
Vise cestica
N cestica 99K (l1, l2, . . . , lN) ⇒ (2l1 + 1)(2l2 + 1) · · · (2lN + 1) nezavisnih
stanja
3 N = . . .
l ′ = l1 + l2, . . . , |l1 − l2|l ′′ = l ′ + l3, . . . , |l ′ − l3|l ′′′ = l ′′ + l4, . . . , |l ′′ − l4|
...
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 102: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/102.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Literature
Contents
1 Osnovna svojstva
2 Svojstvene vrijednosti operatora kutne kolicine gibanjaRotacijski spektar dvoatomne molekule
3 Svojstvene funkcije operatora kutne kolicine gibanjaOperator L u sfernim koordinatamaKutna jednadzba za ϕKutna jednadzba za ϑSferni harmonici
4 Kutna kolicina gibanja vise cesticaDvije cesticeVise cestica
5 Literature
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja
![Page 103: Operator kutne koli cine gibanja - UNIOS · 2016-03-21 · Kvantni brojevi l orbitalni kvantni broj m magnetski kvantni broj Igor Luka cevi c Operator kutne koli cine gibanja. Operator](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022041814/5e597b90aa4ea12721565eb3/html5/thumbnails/103.jpg)
Operator kutne kolicine gibanja
Literature
Literature
1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.
2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.
3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.
4 http://www.ams.org/notices/200911/rtx091101440p.pdf
5 Aplet - Pridruzene Legendreove funkcije
6 Aplet - Legendreovi polinomi
7 Aplet - Kompleksni sferni harmonici
8 Aplet - Sferni harmonici
9 Aplet - Zbrajanje L
10 Aplet - C-G koeficijenti
Igor Lukacevic Operator kutne kolicine gibanja