krzywe i powierzchnie stopnia drugiegomath.pollub.pl/km/wp-content/uploads/2010/04/krzywe-i...ypt...

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Iwona Malinowska, Zbigniew �agodowski

25 maja 2015

I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30

Rozwa»my dwie proste przecinaj¡ce si¦ pod k¡tem α, 0 < α < π2. Jedn¡ z

nich nazwiemy osia obrotu a drug¡ tworz¡c¡. Sto»kiem nazywamy

powierzchni¦ zakre±lona przez tworz¡c¡ podczas obrotu wokóª osi. Punkt

przeci¦cia prostych nazywamy wierzchoªkiem sto»ka. Dzieli on sto»ek na

dwie cz¦±ci zwane powªokami.


KRZYWE STO�KOWE

Krzywymi sto»kowymi- nazywamy krzywe, które mo»na otrzyma¢ w wyniku

przeci¦cia sto»ka pªaszczyzn¡ nieprzechodz¡ca przez wierzchoªek.


Typ krzywej zale»y od k¡ta x jaki tworzy o± sto»ka z pªaszczyzn¡ tn¡c¡:

elips¦ gdy α < x < π2, tj gdy pªaszczyzna tn¡ca przecina tylko jedn¡

powªok¦ i nie jest prostopadªa do osi ani równolegªa do tworz¡cej;

hiperbola gdy 0 ≤ x < αtj. gdy pªaszczyzna tn¡ca przecina obie

powªoki sto»ka;

parabola gdy x = α tj. gdy pªaszczyzna tn¡ca jest równolegªa do

tworz¡cej;

okr¡g gdy x = π2, tj gdy pªaszczyzna tn¡ca jest prostopadªa do osi

sto»ka;


Krzywe sto»kowe s¡ równie» nazywane krzywymi stopnia drugiego, gdy»

mo»na je w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz¦dnych opisa¢ równaniami

algebraicznymi drugiego stopnia wzgl¦dem zmiennych x i y


Elips¡ nazywamy krzyw¡ b¦d¡c¡ zbiorem punktów pªaszczyzny, których

wspóªrz¦dne speªniaj¡ równanie:

x2

a2+

y2

b2= 1

oraz ka»d¡ krzyw¡, która z niej powstanie przez izometri¦ (przeksztaªcenie,

które nie zmienia odlegªo±ci mi¦dzy punktami np. translacja, obrót,

symetria)


Wierzchoªkami elipsy nazywamy punkty: A1(a, 0), A2(−a, 0), B1(0, b),B2(0,−b);Wielka osi¡ nazywamy odcinek A1A2,o dªugo±ci 2a,

Osi¡ maª¡ nazywamy odcinek B1B2,o dªugo±ci 2b,

Ogniskami elipsy nazywamy punkty F1(c , 0) i F2(−c , 0) przy czym

c =√a2 − b2.

Proste o równaniach x = a2

c i x = −a2

c nazywamy kierownicami elipsy.

Elipsa ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

Suma odlegªo±ci dowolnego punktu elipsy od jej ognisk jest staªa i

równa dªugo±ci osi wielkiej.

|MF1|+ |MF2| = 2a

Stosunek odlegªo±ci dowolnego punktu elipsy od ogniska do jego

odlegªo±ci od kierownicy jest mniejszy od 1.


Hiperbol¡ nazywamy krzyw¡ b¦d¡c¡ zbiorem punktów pªaszczyzny, których


x2

a2− y2

b2= 1

oraz ka»d¡ krzyw¡, która z niej powstanie przez izometri¦.

Wierzchoªkami hiperboli nazywamy punkty: A1(a, 0), A2(−a, 0),Odcinek A1A2 dªugo±ci 2a nazywamy osi¡ rzeczywist¡,

Odcinek B1B2 dªugo±ci 2b le»¡cy na Oy nazywamy osia urojon¡

Ogniskami hiperboli nazywamy punkty F1(c, 0) i F2(−c , 0) przy czym

c =√a2 + b2.

Proste o równaniach x = a2

c i x = −a2

c nazywamy kierownicami

hiperboli.


Hiperbola ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

Warto±¢ bezwzgl¦dna ró»nicy odlegªo±ci dowolnego punktu hiperboli

od jej ognisk jest staªa i równa dªugo±ci osi rzeczywistej.

||MF1| − |MF2|| = 2a

Stosunek odlegªo±ci dowolnego punktu hiperboli od ogniska do jego

odlegªo±ci od kierownicy jest staªy i wi¦kszy od 1.

Proste y = bax i y = −b

ax s¡ asymptotami hiperboli.


Parabol¡ nazywamy krzyw¡ b¦d¡c¡ zbiorem punktów pªaszczyzny, których


y2 = 2px , p > 0

oraz ka»d¡ krzyw¡, która z niej powstanie przez izometri¦.

Punkt (0, 0) nazywamy wierzchoªkiem paraboli;

Ogniskiem paraboli nazywamy punkt F (p2, 0);

Kierownica paraboli nazywany prost¡ x = −p2.


Parabola ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

Dowolnego punktu paraboli jest jednakowo odlegªy od jej ogniska i

kierownicy.

|MF | = |MD|

Stosunek odlegªo±ci dowolnego punktu paraboli od ogniska do jego

odlegªo±ci od kierownicy jest równy 1.


Okr¡g o ±rodku (0, 0) i promieniu r ma równanie:

x2 + y2 = r2.

Równanie to wyra»a, ze odlegªo±¢ punktu (x,y) od punktu (0,0) jest równa

a

Okr¡g o ±rodku (p, q) i promieniu r ma równanie:

(x − p)2 + (y − q)2 = r2.

Zbiór punktów P pªaszczyzny poªo»onych w staªej odlegªo±ci od ustalonego

punktu P0 tej pªaszczyzny nazywamy okr¦giem:

|PP0| = const

P0-±rodek okr¦gu; staªa const- promie« okr¦gu.


POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO

Powierzchni¡ stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni

trójwymiarowej, które speªniaj¡ równanie:

Kx2 + Ly2 +Mz2 + Nxy + Pxz + Qyz + Rx + Sy + Tz + U = 0,

gdzie K,L,...,U sa staªymi. Ponadto przynajmniej jedna ze staªych

K,L,M,N,P,Q musi by¢ ró»na od zera.

Podamy tak zwane równania kanoniczne najcz¦±ciej spotykanych

powierzchni stopnia drugiego.


Elipsoida

Elipsoid¡ nazywamy powierzchni¦ dan¡ równaniem:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1


Przekroje elipsoidy pªaszczyznami ukªadu wspóªrz¦dnych to zawsze elipsy:x2

a2+ y2

b2= 1 dla przekroju pªaszczyzn¡ z=0;

x2

a2+ z2

c2= 1 dla przekroju pªaszczyzn¡ y=0;

y2

b2+ z2

c2= 1 dla przekroju pªaszczyzn¡ x=0;


Sfera

Zauwa»my,ze dla a = b = c = R > 0 otrzymujemy powierzchni¦ zwan¡

sfer¡ o ±rodku w punkcie (0,0,0) i promieniu R.

Ogólne równanie sfery o ±rodku (x0, y0, z0) i promieniu R na posta¢:

(x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = R2


Hiperboloida jednopowªokowa

Hiperboloid¡ jednopowªokow¡

nazywamy powierzchni¦ o

równaniu:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1


Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxy s¡ elipsami

Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxz oraz Oyz

s¡ hiperbolami

W szczególno±ci w przeci¦ciu hiperboloidy jednopowªokowej pªaszczyznami

ukªadu wspóªrz¦dnych otrzymujemy nast¦puj¡ce krzywe:

z pªaszczyzn¡ Oxy tj. pªaszczyzn¡ z = 0- elips¦ x2

a2+ y2

b2= 1;

z pªaszczyzn¡ Oyz tj. pªaszczyzn¡ x = 0- hiperbol¦ y2

b2− z2

c2= 1;

z pªaszczyzn¡ Oxz tj. pªaszczyzn¡ y = 0- hiperbol¦ x2

a2− z2

c2= 1.


Hiperboloida dwupowªokowa

Hiperboloid¡ dwupowªokowa

nazywamy powierzchni¦ o

równaniu:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= −1


Przekroje pªaszczyznami równolegªymi do pªaszczyzny Oxz oraz Oyz

s¡ hiperbolami

Przekroje pªaszczyznami z = k , |k | > c s¡ elipsami.

W szczególno±ci w przeci¦ciu hiperboloidy dwupowªokowej pªaszczyznami

ukªadu wspóªrz¦dnych otrzymujemy nast¦puj¡ce krzywe:

z pªaszczyzn¡ Oxy tj. pªaszczyzn¡ z = 0- zbiór pusty

z pªaszczyzn¡ Oyz tj. pªaszczyzn¡ x = 0 - hiperbol¦ z2

c2− y2

c2= 1;

z pªaszczyzn¡ Oxz tj. pªaszczyzn¡ y = 0- hiperbol¦ z2

c2− x2

a2= 1.


Sto»ekSto»kiem nazywamy powierzchni¦ o równaniu:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0


Przekroje sto»ka pªaszczyzn¡ z = k , k 6= 0 sa elipsami, przekrój

pªaszczyzn¡ z = 0 jest punktem (0,0,0)

Przekroje sto»ka pªaszczyzn¡ x = k, k 6= 0 s¡ hiperbolami.

Pªaszczyzna x = 0 przecina sto»ek wzdªu» prostych: yb + zc = 0 i

yb −

zc = 0

Przekroje sto»ka pªaszczyzn¡ y = k, k 6= 0 s¡ hiperbolami.

Pªaszczyzna y = 0 przecina sto»ek wzdªu» prostych: xa + zc = 0 i

xa −

zc = 0


Paraboloida eliptyczn¡ nazywamy powierzchni¦ o równaniu:

x2

a2+

y2

b2= 2z


Przekroje pªaszczyzn¡ x = k , oraz y = k s¡ parabolami,

Przekroje pªaszczyzn¡ z = k , k 6= 0 s¡ elipsami, przekrój pªaszczyzn¡

z = 0 jest punktem (0,0,0)


Paraboloida hiperboliczn¡ nazywamy powierzchni¦ o równaniu:

x2

a2− y2

b2= 2z

Przekroje pªaszczyzn¡ z = k , k 6= 0 s¡ hiperbolami, przekrój

pªaszczyzn¡ z = 0 daje dwie proste przecinaj¡ce si¦

Przekroje pªaszczyzn¡ x = k , oraz y = k s¡ parabolami.


Walcem eliptycznym nazywamy powierzchni¦ o równaniu:

x2

a2+

y2

b2= 1


Przekroje pªaszczyzn¡ z = k , s¡ elipsami,

Przekrój pªaszczyzn¡ np. x = 0, jest para prostych y = b, y = −b.Przekrój pªaszczyzn¡ np. y = 0 jest para prostych x = a, x = −a.


Walcem hiperbolicznym nazywamy powierzchni¦ o równaniu:

x2

a2− y2

b2= 1

Przekroje pªaszczyzn¡ z = k , s¡ hiperbolami,I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 29 / 30

Walcem paraboliczny nazywamy powierzchni¦ o równaniu:

y2 = 2px

Przekroje pªaszczyzn¡ z = k , s¡ parabolami.


krzywe i powierzchnie stopnia drugiegomath.pollub.pl/km/wp-content/uploads/2010/04/krzywe-i...ypt...

Documents