krzywe parametryczne
TRANSCRIPT
![Page 1: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/1.jpg)
Grafika wektorowa
![Page 2: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/2.jpg)
Spis treści
• Przekształcenia geometryczne• Przesunięcie• Skalowanie• Obrót• Przekształcenia 3D
• Krzywe• Krzywe specjalne• Krzywe parametryczne 3. stopnia• Krzywe Hermite’a• Krzywe Beziera • Krzywe sklejane• Inne
![Page 3: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/3.jpg)
PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
![Page 4: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/4.jpg)
Przekształcenia
![Page 5: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/5.jpg)
Przesunięcie
Punktu A do punktu B
• Przesunięcie oznacza dodanie składowych wektora przesunięcia T (dx, dy) do współrzędnych punktu A (ax, ay).
• Wektor T nazywamy wektorem translacji.
Metematycznie
![Page 6: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/6.jpg)
Przesunięcie
![Page 7: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/7.jpg)
Skalowanie
A(ax, ay) względem osi 0X / 0Y
• Skalowanie oznacza pomnożenie współrzędnych punktu A(ax, ay) przez odpowieni współczynnik skalowania S.
Matematycznie:
![Page 8: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/8.jpg)
Skalowanie
![Page 9: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/9.jpg)
Obrót
A(ax, ay) o kąt α
• Obrót punktu A o kąt α względem początku układu współrzędnych.
Matematycznie:
![Page 10: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/10.jpg)
Obrót
![Page 11: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/11.jpg)
Przekształcenia 3D
![Page 12: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/12.jpg)
Przesunięcie 3D
![Page 13: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/13.jpg)
Skalowanie 3D
![Page 14: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/14.jpg)
Obrót 3D wokół osi X o kąt α
![Page 15: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/15.jpg)
Obrót 3D wokół osi Y o kąt α
![Page 16: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/16.jpg)
Obrót 3D wokół osi Z o kąt α
![Page 17: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/17.jpg)
KRZYWE
![Page 18: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/18.jpg)
KRZYWE SPECJALNE
![Page 19: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/19.jpg)
Elipsa
Równanie parametryczneIlustracja graficzna
![Page 20: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/20.jpg)
Cykloida
Równanie parametryczneIlustracja graficzna
![Page 21: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/21.jpg)
Cykloida skrócona
Równanie parametryczneIlustracja graficzna
![Page 22: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/22.jpg)
Cykloida wydłużona
Równanie parametryczneIlustracja graficzna
![Page 23: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/23.jpg)
Kardioida
Równanie parametryczneIlustracja graficzna
![Page 24: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/24.jpg)
Asteroida
Równanie parametryczneIlustracja graficzna
![Page 25: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/25.jpg)
KRZYWE PARAMETRYCZNE 3. STOPNIA
![Page 26: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/26.jpg)
Tak to się zaczęło…
![Page 27: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/27.jpg)
Sprawa kaczek
• Kreślarz wytyczając krzywą używał tzw. kaczek (duck) i drewnianej, giętkiej listewki (spline).
![Page 28: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/28.jpg)
Reprezentacja krzywej
1. Poprzez zbiór punktów• odcinkami liniowa – nie oddaje gładkiej krzywej
• kosztowne – każdorazowo należy wyznaczać wszystkie punkty
• uciążliwa – potrzeba dużo punktów
2. Poprzez wielomiany• segmenty krzywej opisywane są wielomianami• x=x(t), y=y(t), z=z(t)
• dobre odwzorowanie krzywej
![Page 29: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/29.jpg)
Jak wyznaczę krzywą?
1. Ustalam punkty kontrolne/węzły. • Zbiór punktów decydujących o kształcie krzywej.
2. Przeprowadzam interpolację.• Krzywa przechodząca przez punkty kontrolne.
3. Przeprowadzam aproksymację.• Wygładzona krzywa – punkty kontrolne wpływają
na kształt krzywej, jednak nie musza na niej leżeć.
![Page 30: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/30.jpg)
Aproksymacja krzywej
![Page 31: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/31.jpg)
Krzywe parametryczne
• elastyczne.
• Nie muszą być funkcją.
To nie jest funkcja!
To nie jest funkcja!
![Page 32: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/32.jpg)
Wielomian 3. stopnia
•x(t)=axt3+bxt2+cxt+dx
•y(t)=ayt3+byt2+cyt+dy
•z(t)=azt3+bzt2+czt+dz
![Page 33: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/33.jpg)
Krzywe parametryczne 3. stopnia
![Page 34: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/34.jpg)
Zapis macierzowy Q(t)=T*C
• Q(t)= t3 t2 t
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
dx dy dz
Macierz współczynników C
![Page 35: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/35.jpg)
Styczna do krzywej f(x) w punkcie x0
•S(x0)= f’(x)*(x-x0)+f(x0)• Np.
f(x)=x2-4, x0=3S(x0=3)=2x*(x-3)+4=2x2-6x+4
![Page 36: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/36.jpg)
Styczna do krzywej macierzowo
• Pochodna Q(t) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej w t
d/dt Q(t)=Q’(t)
Q’(t)=d/dt T * C
Q’(t)=[3t2 2t 1 0] * C
![Page 37: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/37.jpg)
KRZYWE HERMITE’A
![Page 38: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/38.jpg)
Krzywe Hermite’a
• Segment krzywej określony jest przez: • dwa punkty końcowe A i B,
• oraz wektory Q i R styczne w tych punktach.
![Page 39: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/39.jpg)
Krzywe Hermite’a
![Page 40: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/40.jpg)
KRZYWE BEZIERA
![Page 41: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/41.jpg)
Krzywe Beziera
• Krzywa przechodzi przez punkty końcowe,ale nie przechodzi przez pozostałe punkty kontrolne.
• Segment krzywej definiowany jest przez • dwa punkty końcowe P0 i Pn,
• oraz n-1 punktów pośrednich.
![Page 42: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/42.jpg)
Krzywe Beziera
Stopień wielomianu zależy od ilości punktów kontrolnych.
![Page 43: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/43.jpg)
Krzywe Beziera
![Page 44: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/44.jpg)
Krzywe Beziera
• Wzór tych krzywych został opracowany niezaleznie przez dwóch inzynierów:• Pierre'a Béziera (Renault),
• oraz Paula de Casteljau (Citroën).
Ciekawostka
![Page 45: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/45.jpg)
KRZYWE SKLEJANE
![Page 46: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/46.jpg)
Krzywa sklejana
• Powstaje z połączenia wielu segmentów.
• Uwaga!Należy zachować ciągłość krzywej w punktach łączenia segmentów!
![Page 47: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/47.jpg)
Krzywa sklejana
![Page 48: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/48.jpg)
Inne krzywe
• B-SPLINE jednorodne
• B-SPLINE niejednorodne
• Stożkowe
• NURBS
• …
Więcej informacji o modelowaniu krzywych i powierzchni znajdziesz m.in. w książce „Modelowanie geometrii elementów maszyn i urządzeń w systemach CAD 3D” autorstwa prof. Edwarda Lisowskiego
![Page 49: Krzywe Parametryczne](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081508/5561f8aed8b42ae04e8b4c17/html5/thumbnails/49.jpg)
koniec