magdalena skrzypiec - lublinhektor.umcs.lublin.pl/~mskrzypiec/magda_s_obrona_it.pdf · ewolutoidą...
TRANSCRIPT
Sekantooptyki owali i ich własności
Magdalena Skrzypiec
Wydział Matematyki, Fizyki i InformatykiUniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej
19 października 2009r.
Informacje wstępne
Definicja
Owalem nazywamy krzywą zamkniętą, daną równaniem
z(t) = p(t)eit + p(t)ieit dla t ∈ [0, 2π),
gdzie p(t), nazywana funkcją podparcia owalu, jest klasy C3 oraz promieńkrzywizny R(t) = p(t) + p(t) jest dodatni dla każdego t ∈ [0, 2π).
Informacje wstępne
Definicja [Philippe de La Hire]
Izooptyką Cα danej krzywej C nazywamy zbiór punktów, z których krzywaC jest widziana pod ustalonym kątem α.
Niech C będzie zamkniętą, ściśle wypukłą krzywą sparametryzowaną zapomocą funkcji p(t), zaś α ∈ (0, π) ustalonym kątem. Wówczas równanieizooptyki Cα krzywej C zapiszemy wzorem
zα(t) = p(t)eit + −p(t) ctgα+1
sinαp(t+ α)ieit, t ∈ [0, 2π).
Konstrukcja sekantooptyki owalu
Niech C będzie owalem, zaś β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α ∈ (β + γ, π)ustalonymi kątami.
Definicja
Zbiór punktów zα,β,γ(t) przecięcia się siecznych s1(t) i s2(t) do owalu C dlat ∈ [0, 2π) tworzy krzywą, którą nazywamy sekantooptyką Cα,β,γ owalu C.
Konstrukcja sekantooptyki owalu
Przyjmijmy następujące oznaczenia
q(t) = z(t)− z(t+ α− β − γ),
b(t) = [q(t), eit],
B(t) = [q(t), ieit],
q(t) = (B(t)− ib(t))eit,λ(t) =
b(t) sin(α− β)−B(t) cos(α− β)sinα
,
µ(t) = − b(t) sinβ +B(t) cosβsinα
,
gdzie [v, w] = ad− bcdla v = a+ bi i w = c+ di.
Parametryzacja sekantooptyki owalu
Niech C będzie owalem, zaś β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α ∈ (β + γ, π)ustalonymi kątami. Wówczas parametryzacja sekantooptyki Cα,β,γ owalu Cdana jest wzorem
zα,β,γ(t) = (p(t) + λ(t) sinβ + i(p(t) + λ(t) cosβ))eit dla t ∈ [0, 2π).
Równanie sekantooptyki w zależności od funkcji podparcia owalu C
zα,β,γ(t) =(
sin(α− β)(p(t) cosβ − p(t) sinβ) +
+ sinβ(p(t+ α− β − γ) cos γ + p(t+ α− β − γ) sin γ) +
+ i(− cos(α− β)(p(t) cosβ − p(t) sinβ) +
+ cosβ(p(t+ α− β − γ) cos γ + p(t+ α− β − γ) sin γ))) eit
sinα.
Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami
Niech C będzie ustalonym owalem. Przez e(C) oznaczmy zewnętrze owaluC, zaś przez ζ półprostą o kierunku ie−iβ i początku w punkcie z(0).Zdefiniujmy odwzorowanie
Fβ,γ : (β + γ, π)× (0, 2π) 7→ e(C) \ ζwzorem
Fβ,γ(α, t) = zα,β,γ(t).
Jakobian J(Fβ,γ) odwzorowania Fβ,γ w punkcie (α, t) wyraża się wzorem
J(Fβ,γ) =1
sinα(R(t+ α− β − γ) sin γ − µ(t))(R(t) sinβ + λ(t)) > 0.
Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami
J(Fβ,γ) =1
sinα(R(t+ α− β − γ) sin γ − µ(t))(R(t) sinβ + λ(t)) > 0
Q(t) = (B(t) +R(t+ α− β − γ) sin γ sin(α− β)−R(t) sin2 β +
+ i(−b(t)−R(t+ α− β − γ) sin γ cos(α− β)−R(t) sinβ cosβ))eit
Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami
J(Fβ,γ) =1
sinα(R(t+ α− β − γ) sin γ − µ(t))(R(t) sinβ + λ(t)) > 0
Q(t) = (B(t) +R(t+ α− β − γ) sin γ sin(α− β)−R(t) sin2 β +
+ i(−b(t)−R(t+ α− β − γ) sin γ cos(α− β)−R(t) sinβ cosβ))eit
Informacje dodatkowe
Definicja[*]
Niech Sβ oznacza rodzinę prostych danych równaniem
x cos θ + y sin θ = ψβ(θ),
gdzie kąt θ = t+ β, zaś (x, y) = z(t) ∈ C. Sβ nazywamy rodziną prostychsiecznych do owalu C, przecinających go pod kątem β.
Definicja[*]
Obwiednią rodziny krzywych F (x, y, λ) = 0, zależną od paramertu λ,nazywamy taką krzywą, której każdy punkt jest styczny do pewnej krzywejz tej rodziny.
Informacje dodatkowe
Definicja[*]
Ewolutoidą krzywej f(s) dla kąta δ nazywamy obwiednię rodziny prostychtworzących ustalony kąt δ z wektorem normalnym do krzywej f w punkcief(s).
Obwiednię Γβ rodziny prostych Sβ możemy sparametryzować wzorem
zβ(t) = ψβ(t)eit + ψβ(t)ieit,
gdzieψβ(θ) = p(θ − β) cosβ + p(θ − β) sinβ, θ ∈ [0, 2π).
Informacje dodatkowe
Elipsa i jej ewoluta.
Informacje dodatkowe
Definicja[R. Langevin, G. Levitt, H. Rosenberg, Y. Martinez-Maure ]
Jeżem nazywamy krzywą Γ, którą można sparametryzować za pomocąrównania
z(t) = ψ(t)eit + ψ(t)ieit,
gdzie h(cos t, sin t) = ψ(t) oraz h ∈ C2(S1,R). Funkcja h(cos t, sin t) = ψ(t)jest nazywana funkcją podparcia jeża Γ.
Skoro funkcja ψβ(t) ∈ C2, to krzywa Γβ jest jeżem.
Wniosek
Każda ewolutoida owalu jest jeżem.
Izooptyki dla pary jeży
Definicja
NiechΓ1 : z1(t) = ψ1(t)eit + ψ1(t)ieit,
Γ2 : z2(t) = ψ2(t)eit + ψ2(t)ieit.
będą dwoma jeżami. Ustalmy α ∈ (0, π). Zbiór punktów zΓ1Γ2α (t) przecięcia
się prostych l(t) i m(t+ α) dla t ∈ [0, 2π) tworzy krzywą, którą nazywamyα-izooptyką CΓ1Γ2
α dla pary jeży Γ1 i Γ2.
Izooptyki dla pary jeży
Niechq1(t) = M(t)iei(t+α) − L(t)ieit,
gdzie
L(t) = −ψ1(t)− ψ1(t) ctgα+ ψ2(t+ α)1
sinα,
M(t) = −ψ1(t)1
sinα− ψ2(t+ α) + ψ2(t+ α) ctgα.
Izooptyki dla pary jeży
NiechΓ1 : z1(t) = ψ1(t)eit + ψ1(t)ieit,
Γ2 : z2(t) = ψ2(t)eit + ψ2(t)ieit.
będą dwoma jeżami, zaś α ∈ (0, π) ustalonym kątem. Wtedyparametryzacja izooptyki CΓ1Γ2
α dana jest wzorem
zΓ1Γ2α (t) = ψ1(t)eit + (ψ2(t+ α)
1sinα
− ψ1(t) ctgα)ieit,
gdzie t ∈ [0, 2π).
Niechρ1(t) = ψ1(t) + ψ2(t+ α)
1sinα
− ψ1(t) ctgα,
WówczaszΓ1Γ2α (t) = −L(t)eit + ρ1(t)ieit.
Izooptyki dla pary jeży
Uwaga
Zauważmy, że ∣∣zΓ1Γ2α (t)
∣∣2 =1
sin2 α|q1(t)|2,
i CΓ1Γ2α może nie być krzywą regularną, jeśli z1(t) = z2(t+ α) dla pewnego
t ∈ [0, 2π).
Niech
Γ1 :x2
92 +y2
32 = 1, Γ2 :x2
32 +y2
92 = 1, α = 1.3494818844471053.
Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid
Rozważmy dwie ewolutoidy owalu C
Γ−β : ψ−β(t) = p(t+ β) cosβ − p(t+ β) sinβ,
Γγ : ψγ(t) = p(t− γ) cos γ + p(t− γ) sin γ.
Równanie izooptyki CΓ−βΓγα , gdzie β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α ∈ (β + γ, π)
zΓ−βΓγα (t) = ψ−β(t)eit +
(ψγ(t+ α)
1sinα
− ψ−β(t) ctgα)ieit.
-100 -75 -50 -25 25 50
-100
-50
50
Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid
Twierdzenie
Niech C będzie ustalonym owalem, zaś β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) iα ∈ (β + γ, π) ustalonymi kątami. Jeśli Cα,β,γ jest sekantooptyką owalu C,zaś C
Γ−βΓγα izooptyką pary jego ewolutoid Γ−β i Γγ , to
zΓ−βΓγα (t− β) = zα,β,γ(t),
czyli sekantooptyka owalu jest izooptyką pary jego odpowiednich ewolutoid.
Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid
Twierdzenie
Jeśli Cα,β,γ jest sekantooptyką owalu C, to
L(t) = R(t) sinβ + λ(t),
M(t) = µ(t)−R(t+ α− β − γ) sin γ,
Q(t) = M(t)iei(t+α−β) − L(t)iei(t−β) = q1(t).
Krzywizna sekantooptyki owalu
Twierdzenie
Niech C będzie owalem o funkcji podparcia p(t) ∈ C3 a Cα,β,γ jejsekantooptyką dla α ∈ (0, π − β − γ), gdzie β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β).Krzywizna sekantooptyki Cα,β,γ dana jest wzorem
κ(t) =sinα|Q(t)|3 (2|Q(t)|2 − [Q(t), Q(t)]).
gdzie t ∈ [0, 2π).
Twierdzenie
Sekantooptyka Cα,β,γ owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy
[Q(t), Q(t)] < 2|Q(t)|2 dla t ∈ [0, 2π).
Wzory całkowe typu Croftona
Wzór całkowy Croftona (1868)
Niech Ω oznacza zewnętrze zamkniętej, wypukłej krzywej C, wówczas∫∫
Ω
sinωt1t2
dxdy = 2π2.
Wzory całkowe typu Croftona
Twierdzenie
Ustalmy β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i rozważmy sekantooptyki Cα,β,γ owalu C,dla kąta α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π). Niech Ω oznaczazewnętrze owalu C i niech
ω = π − α,τ1 = L(t),
τ2 = −M(t).
Wówczas ∫∫
Ω
sinωτ1τ2
dxdy = 2π2 − 2π(β + γ).
Niech Ω1 oznacza pierścień ograniczony owalem C i jego izooptyką Cπ−β−γowalu C. Niech t1 = |za(t)− z(t)|, t2 = |za(t)− z(t+ a)| oraz ω = π − a,gdzie a ∈ (0, π − β − γ). Wówczas
∫∫
Ω1
sinωt1t2
dxdy = 2π2 − 2π(β + γ).
Wzory całkowe typu Croftona
Jeżeli C jest krzywą wypukłą, sparametryzowaną za pomocą funkcji
podparcia, to jej długość LC =2π∫0
p(t)dt, gdzie t ∈ [0, 2π).
Definicja [Y. Martinez-Maure]
Algebraiczną długością jeża Γ nazywamy liczbę
LΓ =
2π∫
0
ψ(t)dt,
gdzie ψ(t) jest funkcją podparcia krzywej Γ.
Zatem dla ewolutoid owalu C otrzymujemy
LΓ−β = LC cosβ i LΓγ = LC cos γ.
Wzory całkowe typu Croftona
Twierdzenie
Ustalmy β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i rozważmy sekantooptyki Cα,β,γ owalu C,dla kąta α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π). Niech
ω = π − α,τ1 = L(t),
τ2 = −M(t).
Wówczas∫∫
Ω
sin2 ω
τ1dxdy = LΓ−β (π − (β + γ)) + LΓγ sin(β + γ)
i∫∫
Ω
sin2 ω
τ2dxdy = LΓγ (π − (β + γ)) + LΓ−β sin(β + γ).
Wzory całkowe typu Croftona
Twierdzenie
Niech CCa,β,γ oznacza pierścień ograniczony owalem C i jegosekantooptyką Ca,β,γ , gdzie a ∈ (β + γ, π). Niech τ1 = L(t). Wówczas
∫∫
CCa,β,γ
dxdy
τ1= LC
(cos γ − cosβ cos asin a
− sinβ).
Jeśli β = γ, to wzór ten uprości się do postaci∫∫
CCa,β,β
dxdy
τ1= LC
(tga
2cosβ − sinβ
)= LΓ−β
(tga
2− tg β
).
Natomiast dla β = γ = 0 otrzymujemy wzór∫∫
CCa
dxdy
τ1= LC tg
a
2
znany dla izooptyk krzywych ściśle wypukłych.
Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką
Twierdzenie
Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką Cα,β,γ owalu C, dla ustalonychβ ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) i α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π),możemy opisać wzorem
Aβ,γ(α) =1
2 sin2 α
2π∫
0
(Ψ2−β(t− β) + Ψ2
γ(t+ α− β)−
− 2Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ α− β) cosα−− Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ α− β) sinα+
+ Ψγ(t+ α− β)Ψ−β(t− β) sinα)dt.
Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką
Twierdzenie
Funkcja Aβ,γ(α) dana wzorem (1) dla β ∈ [0, π), γ ∈ [0, π − β) iα ∈ (β + γ, π), spełnia następujące równanie różniczkowe
A′β,γ(α) sinα+ 2Aβ,γ(α) cosα = G(α),
gdzie
G(τ) =
2π∫
0
(Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ τ − β)− Ψ−β(t− β)Ψγ(t+ τ − β))dt
dla τ ∈ [β + γ, π].Ponadto, jeśli β 6= 0 lub γ 6= 0, to
0 ¬ A′β,γ((β + γ)+) ¬ LC maxt∈[0,2π]
R(t)sinβ sin γsin(β + γ)
.
Twierdzenie sinusów dla sekantooptyk
Twierdzenie
Sekantooptyka Cα,β,γ owalu C w punkcie zα,β,γ(t) ma następującą własność
|Q(t)|sinα
=L(t)
sinα1=−M(t)sinα2
.
Twierdzenie sinusów dla sekantooptyk
Wniosek
Jeśli α1 i α2 są kątami jakie styczna do sekantooptyki Cα,β,γ owalu C wpunkcie zα,β,γ(t) tworzy, odpowiednio, z prostymi s1 i s2 , zaś σ1 i σ2 sąkątami jakie wektor Q(t) tworzy z prostymi s1(t) i s2(t), to α1 = σ1 iα2 = σ2.
Sekantooptyki krzywych o stałej szerokości
Twierdzenie
Jeśli owal C jest krzywą o stałej szerokości, tzn.∆ = p(t) + p(t+ π) = const, to odległość między punktami zα,β,γ(t) izα,β,γ(t+ π) na jego sekantooptyce Cα,β,γ jest stała i równa
∆sinα
√cos2 β + cos2 γ − 2 cosα cosβ cos γ.
Wniosek
Jeśli założymy, że β = γ, to otrzymamy
|zα,β,β(t)− zα,β,β(t+ π)| = ∆ cosβcos α2
.
Twierdzenie
Niech C będzie owalem i niech α− 2β będzie liczbą liniowo niezależną od πnad ciałem Q. Jeśli odległość między punktami zα,β,β(t) i zα,β,β(t+ π) najego sekantooptyce Cα,β,β jest stała, to dla krzywej C prawdą jest, że|z(t)− z(t+ π)| = const.
Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu
Zdefiniujmy funkcję
RΓβ (t) = R(t− β) cosβ + R(t− β) sinβ,
gdzie R(t) jest promieniem krzywizny owalu C. Tak określona funkcjaprzyjmuje wartości w zbiorze liczb rzeczywistych.
Twierdzenie
Sekantooptyka Cα,β,γ owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy wkażdym punkcie t ∈ [0, 2π) spełniona jest nierówność
2|Q(t)|2 > sinα(RΓγ (t+ α− β)L(t)−RΓ−β (t− β)M(t)
).
Twierdzenie
Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ−β i Γγ są owalami ofunkcjach podparcia klasy C2. Sekantooptyka Cα,β,γ takiego owalu C jestwypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t ∈ [0, 2π) spełniona jestnierówność
2|Q(t)|2 > sinα
(L(t)
κΓγ (t+ α− β)− M(t)κΓ−β (t− β)
).
Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu
Twierdzenie
Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ−β i Γγ są owalami ofunkcjach podparcia klasy C2. Sekantooptyka Cα,β,γ takiego owalu C jestwypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t ∈ [0, 2π) spełniona jestnierówność
2|Q(t)| > sinα
(sinα1
kΓγ (t+ α− β)+
sinα2
kΓ−β (t− β)
),
gdzie kąty α1 i α2 są określone tak jak w twierdzeniu sinusów dlasekantooptyk owali.
Twierdzenie
Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ−β i Γγ są owalami ofunkcjach podparcia klasy C2. Sekantooptyka Cα,β,γ takiego owalu C jestwypukła wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości rzutów wektorów krzywiznykrzywej Γ−β w punkcie z−β(t− β) i krzywej Γγ w punkcie zγ(t+ α− β) nakierunek wektora Q(t) jest mniejsza niż 2|Q(t)|.
Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu
Dla każdego punktu z−β(t), gdzie t ∈ [0, 2π] możemy wybrać punktzγ(t+ α), gdzie α ∈ (β + γ, π). Wektor z−β(t)zγ(t+ α) łączący rozważanepunkty na ewolutoidach oznaczmy przez q(t, t+ α).
Twierdzenie
Załóżmy, że ewolutoidy Γ−β i Γγ owalu C są owalami o funkcjach podparciaklasy C2. Jeśli suma długości rzutów wektorów krzywizny ewolutoidy Γ−βowalu C w punkcie z−β(t) oraz ewolutoidy Γγ owalu C w punkcie zγ(t+ α)na kierunek wektora q(t, t+ α) jest mniejsza niż 2|q(t, t+ α)| dla wszystkicht ∈ [0, 2π) oraz dla wszystkich α ∈ (β + γ, π), to wszystkie sekantooptykiCα,β,γ owalu C są wypukłe.
Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu
Wiadomo, że wszystkie izooptyki elipsy
x2
a2 +y2
b2= 1, a > b
są wypukłe wtedy i tylko wtedy, gdy 1 < ab<√
2.
Przykład
Wszystkie sekantooptyki Cα,β,β elipsy
x2
a2 +y2
b2= 1, a > b
są wypukłe jeśli parametry a i b są związane warunkiem
b2 cosβ[sin2 β(2a4(1 + cos2 β)− a2b2(− cos4 β + 3 cos2 β + 3)
−2b4 cos2 β) + cos6 β(a2b2 − 2b4)] = 0.
Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu
-15 -10 -5 5 10 15
-40
-20
20
40
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
-60
-40
-20
20
40
60
Sekantooptyki Cα, 2π5 , 2π5elipsy x2
92 + y2
32 = 1
oraz elipsy x2
12 + y2
1,225372 = 1.
Dziękuję za uwagę.