1

Konoidtető

Az [ 1 ] tankönyvben is olvashatunk a konoidról, ami egy vonalfelület.

Ennek „alapja és fedőlapja két olyan síkidom ( vagy görbe ), amelyek egymással

párhuzamos síkokban fekszenek, és oldalfelületük olyan szakaszokból áll, amelyek az alap

és fedőlap határpontjait kötik össze bizonyos szabály szerint”. Az 1. ábrán mutatott

konoid alapja egy r sugarú kör, „fedőlapja” pedig egy 2r hosszúságú szakasz, a körlap

síkja felett a magasságban.

1. ábra – forrása [ 1 ]

Arra gondoltunk, hogy kiszámítjuk az ilyen alakú tető néhány jellemzőjét. Előtte azonban

nézegessük az 1., 2., 3. ábrákat, hogy szokja a formát a szemünk!

2. ábra – forrása: [ 2 ]

2

3. ábra – forrása: [ 3 ]

Elnevezések – 2. ábra – :

~ piros görbe: vezérgörbe / vezérkör;

~ kék egyenes: vezéregyenes;

~ sárga sík: vezérsík.

Minden egyenes alkotó

~ a vezérsíkkal párhuzamos síkban helyezkedik el,

~ metszi a vezéregyenest, amely merőleges a vezérsíkra ( az egyenes körkonoid itteni

esetében ).

A felület egyenletének megadása egy Oxyz derékszögű k. r. - ben az alábbi – 4. ábra.

4. ábra

A tetőfelület egyenes alkotóit szarufáknak is nevezhetjük, szerkezetbéli nevükön nevezve

azokat. A szarufák hajlására írhatjuk, hogy

3

tg𝜑 =𝑧𝐾

𝑙=

𝑧𝑃

𝑥𝑃 → 𝑧𝑃 = 𝑥𝑃 ∙

𝑧𝐾

𝑙= 𝑥𝑃 ∙

𝑟2−𝑦𝐾2

𝑙= 𝑥𝑃 ∙

𝑟2−𝑦𝑃2

𝑙 ,

majd az indexeket elhagyva:

tg𝜑 𝑦 = 𝑟2−𝑦2

𝑙 , ( 1 )

𝑧 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑟2−𝑦2

𝑙 . ( 2 )

A ( 2 ) képlet írja le az egyenes körkonoid egynegyedét, ahogyan az a 3. ábrára tekintve

rögtön látható. Mi most csak ezzel az egyszerűbb esettel foglalkozunk.

E felület egyik érdekes tulajdonsága, hogy keresztmetszetei ellipszisek. Ugyanis a felületet

elmetszve egy x = x0 egyenletű síkkal, ( 2 ) - ből kapjuk, hogy

𝑧 = 𝑥0 ∙ 𝑟2−𝑦2

𝑙 →

𝑧𝑥0𝑙

= 𝑟2 − 𝑦2 → 𝑧𝑥0𝑙

2

= 𝑟2 − 𝑦2 → 𝑧𝑥0𝑙

2

+ 𝑦2 = 𝑟2 , innen:

𝑧2

𝑥0 ∙𝑟

𝑙

2 +𝑦2

𝑟2= 1 , ( 3 )

ami egy olyan ellipszis kanonikus egyenlete, melynek fél tengelyhosszai:

𝑎 = 𝑟 , 𝑏 = 𝑥0 ∙𝑟

𝑙 . ( 4 )

A keresztmetszeti ellipszisek a végeken körré, illetve egyenes szakasszá fajulnak el.

Az alábbiakban megvizsgáljuk az ilyen felülettel készült tető némely jellemzőjét.

Az egyenes körkonoid tető csavarodásának meghatározása

A csavarodás „szokásos” kifejezése felületeknél:

𝑠 =𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦 ; ( 5 )

most ( 1 ), ( 2 ) és ( 5 ) - tel:

𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝑟2−𝑦2

𝑙= tg𝜑 𝑦 , ( 6 )

𝑠 =𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝑑

𝑑𝑦 tg𝜑 𝑦 =

𝑑

𝑑𝑦 𝑟2−𝑦2

𝑙 ; ( 7 )

részletezve:

𝑠 =𝑑

𝑑𝑦 𝑟2−𝑦2

𝑙 =

𝑑

𝑑𝑦

1

𝑙∙ 𝑟2 − 𝑦2 1/2 =

1

2∙𝑙∙ 𝑟2 − 𝑦2 −1/2 ∙ −2 ∙ 𝑦 ,

4

𝑠 = −𝑦

𝑙∙

1

𝑟2−𝑦2 . ( 8 )

Bevezethetünk – önkényesen – más mennyiségeket is; pl.:

𝑠∗ =𝑑𝜑

𝑑𝑦 . ( 9 )

Most ( 1 ) - ből:

tg𝜑 𝑦 = 𝑟2−𝑦2

𝑙 → 𝜑 𝑦 = arctg

𝑟2−𝑦2

𝑙 . ( 10 )

Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel:

𝑠∗(𝑦) =𝑑𝜑

𝑑𝑦=

1

1+𝑟2−𝑦2

𝑙2

∙ −𝑦

𝑙∙

1

𝑟2−𝑦2 =

𝑠(𝑦)

1+tg 2 𝜑 𝑦 , ( 11 )

𝑠∗ 𝑦 =𝑑𝜑

𝑑𝑦= −

𝑦

𝑙

1+𝑟2−𝑦2

𝑙2

∙1

𝑟2−𝑦2= −

𝑦∙𝑙

𝑙2+𝑟2−𝑦2∙

1

𝑟2−𝑦2 . ( 12 )

Kényelmesebb képletek állnak elő a 4. ábráról leolvasható

𝑦 = 𝑟 ∙ cos𝜗 ( 13 )

helyettesítéssel. Ekkor ( 12 ) és ( 13 ) - mal:

𝑠∗ 𝑦 =𝑑𝜑

𝑑𝑦= −

𝑟∙cos 𝜗∙𝑙

𝑙2+𝑟2∙sin 2 𝜗∙

1

𝑟∙sin 𝜗= −

𝑙

𝑙2+𝑟2∙sin 2 𝜗∙

1sin 𝜗

cos 𝜗

= −𝑙

𝑙2∙ 1+𝑟2

𝑙2∙sin 2 𝜗

∙1

tg 𝜗 ,

𝑠∗ =𝑑𝜑

𝑑𝑦= −

1

𝑙∙

1

tg 𝜗∙ 1+𝑟2

𝑙2∙sin 2 𝜗

. ( 14 )

Egy további mennyiség lehet az alábbi; ( 13 ) és ( 14 ) - gyel is:

𝑠∗∗ 𝑦 =𝑑𝜑

𝑑𝜗=

𝑑𝜑

𝑑𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝜗= −

1

𝑙∙

1

tg 𝜗∙ 1+𝑟2

𝑙2∙sin 2 𝜗

∙ −𝑟 ∙ sin 𝜗 =𝑟

𝑙∙cos 𝜗

1+𝑟2

𝑙2∙sin 2 𝜗

, tehát:

𝑠∗∗ =𝑑𝜑

𝑑𝜗=

𝑟

𝑙 ∙ cos 𝜗

1+𝑟2

𝑙2 ∙ sin 2 𝜗

. ( 15 )

Majd ( 10 ) és ( 13 ) - mal:

𝜑 𝜗 = arctg 𝑟

𝑙∙ sin 𝜗 . ( 16 )

Ezután ( 8 ) és ( 13 ) - mal:

5

𝑠 = −𝑟∙cos 𝜗

𝑙∙

1

𝑟∙sin 𝜗= −

1

𝑙∙tg 𝜗 , tehát:

𝑠 𝜗 =𝑑

𝑑𝑦 tg𝜑 = −

1

𝑙∙tg 𝜗 . ( 17 )

Látjuk, hogy az s, s*, s** mennyiségek közül bármelyik használható lehet, folytonosan

változó alkotó - hajlás esetén. Ha az alkotók hajlása ugrásszerűen változik – mint pl.

különálló szarufák esetében – , akkor lehet, hogy más mennyiségek után kell néznünk.

Ha nem akarunk ilyet, akkor az adott szarufa hajlása ( 10 ) vagy ( 16 ) - ból számítható.

Az egyenes körkonoid tető által lefedett térrész térfogatának meghatározása

A térfogat meghatározásáról [ 1 ] - ben is olvashatunk. Eszerint:

𝑉 = 𝑆 𝑦 𝑑𝑦 ;𝑟

−𝑟 ( 18 )

itt a 4. ábra szerint:

𝑆 𝑦 =1

2∙ 𝑙 ∙ 𝑧𝐾 =

𝑙

2∙ 𝑟2 − 𝑦2 ; ( 19 )

most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

𝑉 = 𝑆 𝑦 𝑑𝑦 = 2 ∙ 𝑆 𝑦 𝑑𝑦 = 2 ∙ 𝑙

2∙ 𝑟2 − 𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑙 ∙

𝑟

0

𝑟

0

𝑟

−𝑟 𝑟2 − 𝑦2 𝑑𝑦 ;𝑟

0

( 20 )

majd ( 13 ) és ( 20 ) - szal:

𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑟2 − 𝑦2 𝑑𝑦 = −𝑙 ∙ 𝑟2 ∙ sin2 𝜗 𝑑𝜗 = + 𝑙 ∙0𝜋

2

𝑟

0𝑟2 ∙

1

2∙ 𝜗 −

1

4∙ sin 2 ∙ 𝜗

0

𝜋

2=

=𝑙∙𝑟2

2∙

𝜋

2− 0 −

1

2∙ sin 2 ∙

𝜋

2 − sin 2 ∙ 0 =

𝑙∙𝑟2

2∙𝜋

2=

𝑟2∙𝜋∙𝑙

4 , tehát:

𝑉 =𝑟2∙𝜋∙𝑙

4 . ( 21 )

Látjuk, hogy a negyed konoid test térfogata egyenlő az ugyanolyan alapú és magasságú

félhenger térfogatának felével. Ezek szerint a 3. ábra szerinti 2l hosszúságú / magasságú

test térfogata – mely az itteninek négyszerese – egyenlő az l hosszúságú / magasságú, r

alapkör - sugarú forgáshenger térfogatával. Ez egyezik a szemlélettel.

Az egyenes körkonoid tető felszínének meghatározása

6

A 4. ábra körkonoidjának felszínét az alábbi kettős integrál adja:

𝐹 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑙 ∙ sin2 𝜗 ∙ 1 + 𝑟

𝑙

2

∙ sin2 𝜗 + 𝑥

𝑙

2

∙ cos2 𝜗 𝑑 𝑥

𝑙

𝑥2𝑙

=1

𝑥1𝑙

=0

𝜗2=𝜋2

𝜗1=0

𝑑𝜗 .

( 22 )

A ( 22 ) integrál kiszámítása numerikusan történhet.

A ( 22 ) képlet az alábbi számítás alapján adódott – v.ö.: [ 4 ].

A szóban forgó felület vektoregyenlete:

𝐫 = 𝑥 ∙ 𝐢 + 𝑦 ∙ 𝐣 + 𝑧 ∙ 𝐤 ; ( F1 )

itt ( 2 ) szerint:

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑟2−𝑦2

𝑙 ; ( F2 )

A felületelem - vektor:

𝑑𝐟 = 𝜕𝐫

𝜕𝑥×

𝜕𝐫

𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ; ( F3 )

a parciális deriváltak, ( F1 ) és ( F2 ) - vel is:

𝜕𝐫

𝜕𝑥= 𝐢 +

𝜕𝑓 𝑥 ,𝑦

𝜕𝑥∙ 𝐤 = 𝐢 +

𝑟2−𝑦2

𝑙∙ 𝐤 ; ( F4 )

𝜕𝐫

𝜕𝑦= 𝐣 +

𝜕𝑓 𝑥 ,𝑦

𝜕𝑦∙ 𝐤 = 𝐣 −

𝑥

𝑙∙

𝑦

𝑟2−𝑦2∙ 𝐤 ; ( F5 )

a vektoriális szorzatuk:

𝜕𝐫

𝜕𝑥×

𝜕𝐫

𝜕𝑦= 𝐢 +

𝑟2−𝑦2

𝑙∙ 𝐤 × 𝐣 −

𝑥

𝑙∙

𝑦

𝑟2−𝑦2∙ 𝐤 =

= 𝐢 × 𝐣 −𝑥

𝑙∙

𝑦

𝑟2−𝑦2∙ 𝐢 × 𝐤 +

𝑟2−𝑦2

𝑙∙ 𝐤 × 𝐣 − 𝟎 =

= − 𝑟2−𝑦2

𝑙∙ 𝐢 +

𝑥

𝑙∙

𝑦

𝑟2−𝑦2∙ 𝐣 + 𝐤 , tehát:

𝜕𝐫

𝜕𝑥×

𝜕𝐫

𝜕𝑦= −

𝑟2−𝑦2

𝑙∙ 𝐢 +

𝑥

𝑙∙

𝑦

𝑟2−𝑦2∙ 𝐣 + 𝐤 . ( F6 )

Most ( F3 ) és ( F6 ) - tal:

𝑑𝐟 = − 𝑟2−𝑦2

𝑙∙ 𝐢 +

𝑥

𝑙∙

𝑦

𝑟2−𝑦2∙ 𝐣 + 𝐤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ; ( F7 )

7

ennek abszolút értéke a skaláris felületelem:

𝑑𝐹 = 𝑑𝐟 ∙ 𝑑𝐟 = 𝑟2−𝑦2

𝑙2+

𝑥2

𝑙2∙

𝑦2

𝑟2−𝑦2+ 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ; ( F8 )

A felület felszíne:

𝐹 = 𝑑𝐹 = 𝑟2−𝑦2

𝑙2+

𝑥2

𝑙2∙

𝑦2

𝑟2−𝑦2+ 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 .

𝑥2=𝑙

𝑥1=0

𝑦2=𝑟

𝑦1=−𝑟 ( F9 )

Most áttérünk polárkoordinátákra, ( 13 ) szerint:

𝑦 = 𝑟 ∙ cos𝜗 , 𝑦2 = 𝑟2 ∙ cos2 𝜗 , 𝑟2 − 𝑦2 = 𝑟2 ∙ sin2 𝜗 , 𝑑𝑦 = −𝑟 ∙ sin 𝜗 𝑑𝜗 , ( F10 )

így ( F9 ) és ( F10 ) szerint:

𝐹 = 𝑟2∙sin 2 𝜗

𝑙2+

𝑥2

𝑙2∙𝑟2∙cos 2 𝜗

𝑟2∙sin 2 𝜗+ 1 𝑑𝑥 −𝑟 ∙ sin 𝜗 𝑑𝜗 =

𝑥2=𝑙

𝑥1=0

𝑦2=𝑟

𝜗1=−𝑟

= −𝑟 sin 𝜗 ∙ 1 +𝑟2∙sin 2 𝜗

𝑙2+

𝑥2

𝑙2∙

cos 2 𝜗

sin 2 𝜗 𝑑𝑥 𝑑𝜗 =

𝑥2=𝑙

𝑥1=0

𝑦2=𝑟

𝑦1=−𝑟

= 𝑟 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝜗 ∙ 1 +𝑟2

𝑙2∙ sin2 𝜗 +

𝑥

𝑙

2∙

cos 2 𝜗

sin 2 𝜗 𝑑

𝑥

𝑙 𝑑𝜗 =

𝑥2=𝑙

𝑥1=0

𝜗2=𝜋

𝜗1=0

= 𝑟 ∙ 𝑙 ∙ sin2 𝜗 ∙ 1 +𝑟2

𝑙2∙ sin2 𝜗 +

𝑥

𝑙

2∙ cos2 𝜗 𝑑

𝑥

𝑙 𝑑𝜗 ,

𝑥2=𝑙

𝑥1=0

𝜗2=𝜋

𝜗1=0

majd az xz síkra vett szimmetria miatt:

𝐹 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑙 ∙ sin2 𝜗 ∙ 1 +𝑟2

𝑙2∙ sin2 𝜗 +

𝑥

𝑙

2∙ cos2 𝜗 𝑑

𝑥

𝑙 𝑑𝜗 ,

𝑥2=𝑙

𝑥1=0

𝜗2=𝜋

2𝜗1=0

( F11 )

egyezésben ( 22 ) - vel.

Megjegyzések:

M1. A magyar szakirodalmi elnevezéseknek utánanéztünk a [ 5 ] műben is.

( Ott nem vizsgálták a körkonoidot. )

[ 6 ] - ben vezérsík helyett iránysíkról ( Richtebene ) beszélnek.

M2. Konoidunk ( 2 ) egyenlete:

𝑧 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑟2−𝑦2

𝑙= 𝑥 ∙ 𝑓 𝑦 , 𝑓 𝑦 =

𝑟2−𝑦2

𝑙 ( 23 )

8

alakban is felírható. Továbbá ( 2 ) és ( 13 ) - mal a negyed konoidra:

𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑟2−𝑟2∙cos 2 𝜗

𝑙=

𝑥

𝑙∙ 𝑟2 ∙ 1 − cos2 𝜗 =

𝑥

𝑙∙ 𝑟2 ∙ sin2 𝜗 =

𝑥

𝑙∙ 𝑟 ∙ sin 𝜗 →

𝑧(𝑥, 𝜗) =𝑟

𝑙∙ 𝑥 ∙ sin 𝜗 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 , 0 ≤ 𝜗 ≤ 𝜋 ( 24 )

is írható. Folytatva az átírást: az

𝜆 =𝑟

𝑙 , 𝑥 = 𝑢 , 𝜗 = 𝑣 ( 25 )

jelölésekkel az egyenes körkonoid egy másik egyenlete:

𝑧(𝑢, 𝑣) = 𝜆 ∙ 𝑢 ∙ sin 𝑣 . ( 26 )

M3. A [ 3 ] mű az orosz eredeti alapján készült angol nyelvű kiadás. Sokszor színes

ábráival, szép és jó képleteivel fontos szakmai segédanyag lehet felület - geometriai kér -

désekben. Mi is használjuk.

M4. Az 5. ábrán egy makett látható az egyenes körkonoidról.

5. ábra – forrása: [ 7 ]

9

M5. A felszínszámítás rövidebb lett volna, ha rögtön az

𝐹 = 1 + 𝜕𝑓

𝜕𝑥

2+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

2 𝑑𝑥𝑑𝑦

képlettel kezdünk dolgozni. Nem így tettünk, hogy egy kicsit ismételjünk. Nem árt az.

Források:

[ 1 ] – A. F. Bermant: Matematikai analízis I. rész

Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.

[ 2 ] – https://de.wikipedia.org/wiki/Konoid

[ 3 ] – S. N. Krivoshapko ~ V. N. Ivanov: Encyclopedia of Analytical Surfaces

Springer International Publishing Switzerland, 2015.

[ 4 ] – Obádovics J. Gyula ~ Szarka Zoltán: Felsőbb matematika

4. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 2019.

[ 5 ] – Csonka Pál: Héjszerkezetek

Akadémiai Kiadó, Budapest, 1981.

[ 6 ] – Lőrincz Pál ~ Petrich Géza: Ábrázoló geometria

3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

[ 7 ] –

https://www.europeana.eu/portal/hu/record/2048443/item_3W5BF35FICFOGVFRQE3X7

VACBS2W5OWB.html

Összeállította: Galgóczi Gyula

ny. mérnöktanár

Sződliget, 2019. 10. 19.