kolmogorov-smİrnov uyum İyİlİĞİ testİ

8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST

1/130

1

GR

ada bilimi belirleyen niteliklerden birisi artan uzmanlamadr. Bu nitelik

sayesinde farkl bilimsel alanlarda yer alan benzer kavramlar gelimi ve bu kavramlar

ieren yeni bilim dallar ortaya kmtr. Bu gelien benzer kavramlar iindeki en genel

kavram sistem kavramdr. Sistem, belirli bir hedefe ynelmi ve aralarnda ilikiler

bulunan eler topluluudur. Sistem zerinde gerekletirilecek almalar, gerek

sistem veya sistemin bir modeli yardm ile yaplabilir. Bununla birlikte, sistem

yaklam yneticilerin en nemli yardmclarndan biridir. Sistem yaklamnn

karmak sistemlerin analizinde ve tasarmnda yararland en nemli yntemlerden

biride simlasyon (benzetim) olarak adlandrlr.

Simlasyon ynteminin ilk aamas olan problemin tanmlanmas ve

amalarn belirlenmesinden sonra, modelin kurulmas, verilerin toplanmas ve daha

sonra da modelin bilgisayar ortamna aktarlmas gerekletirilmelidir. Modeli

bilgisayar ortamna aktarmak iin simlasyon uygulamalarnda kullanlan zel amal

dillerden (GPSS, GASP, SIMSCRIPT,vb.) ve ayrca genel amal diller olarak kabuledilen ( Fortran, Pascal, Basic,...vb.) yararlanlabilir. Sz edilen aamalardan sonra

modelin gerek sistemi doru bir ekilde yanstp yanstmadn test etmek

gerekir. Bu amala istatistiksel testlerden faydalanlr. Bu dorulama ileminden sonra

sistemin bilgisayar ortamnda altrmlar yaplabilir. Simlasyon srecindeki son

aama sz konusu altrmlardan elde edilen sonularn deerlendirilmesidir.

almamzn birinci blmnn ilk ksmnda, simlasyon ynteminin model

ve sistem kavramlar ile olan ilikisinin tanmlanmas yaplmtr. Daha sonra yntemin

tarihi geliimi, genel kullanm amalar ve uygulama alanlar, ortaya kabilecek

glkler ve kullanm stnlkleri, sahip olunan avantaj ve dezavantajlar ele alnmtr.

Son ksmda ise, simlasyon trleri ile simlasyon uygulama yntemleri genel bir

erevede ele alnarak aklanmaya allmtr.


2/130

2

kinci blmde ise, simlasyon uygulama srecinde ilk aama olan problemin

tanmlanmas ile uygulamaya ilikin verilerin toplanarak derlenmesi, modelin

bilgisayar programna uygulanmas ve test edilmesi, modelin geerliliinin

salanarak yaplan deney sonularna ilikin sonularn elde edilmesi ve modelin

bilgisayar programna uygulanmas ilevini gerekletiren bilgisayar program ve dilleri

zerinde durulmutur.

nc blmde, simlasyon altrmlarnn yaplabilmesi iin gerekli olan

rasgele say reteleri ve retelerden elde edilen rassal saylarn rasgeleliinin test

edilmesi zerinde durulmutur.

Uygulama blmn ieren drdnc blmde, problemimizin tanm yaplarak,

problemin zm srecine kesikli - olay sistem simlasyonunun nasl uyguland

aklanmtr.


3/130

3

BLM 1

SMLASYON YNTEM

1.1. Simlasyonun Temel Kavramlar

Simlasyon, zellikle problemin boyutunun ve karmaklnn analitik

tekniklerin kullanmn zorlatrd yada imkanszlatrd durumlarda bavurulan

analitik bir yaklamdr.1

Sistem; belirli girdileri alan ve bunlar uygun olarak ileyerek, bunlarla ktlararasndaki ilikiyi gsteren bir fonksiyonu en iyilemeyi amalayan varlklar ve

eler topluluudur. Model ise dnce srecinin dnda varolan gerek olayn soyut

bir gsterimi, temsilidir. Sistemin bir esi zerinde deiiklik yapmak, sistemin

tmnde deiimlere neden olacaktr. Bu durum sistem yaklamnn domasn ve

gelimesini salamtr.

Sistem yaklam, yneticilerin kulland en nemli aralardan biridir. Sistem

yaklamnn karmak sistemlerin analizinde ve zmlenmesinde yararland en

nemli yntemlerden biride simlasyon olarak bilinmektedir.

Simlasyon, gerek sistemin temsili iin bir model kurma, bu model yardm ile

gerek sistemin davrann kestirebilme ve deiik stratejileri deerlendirebilmek

amacyla deneylerin yrtlme srecidir.2

Simlasyon, ayrca her bir rasgele deikenin sahip olduu frekanslardan elde

edilen rasgele deikenlerin olaslk dalmlarnn kullanm ile amaca ynelik

sonularn bulunabildii bir yntemdir.3

1 CHASE B.R.., AQUILANO N. J.,Production and Operations Management; A Life Cycle ApproachRichard D. Irwin Inc.,USA,1981, Sayfa 3692 ERKUT Haluk, Analiz, Tasarm ve Uygulamal Sistem Ynetimi , rfan Yaymclk, 2. Bask,Ynetim Bilimleri Dizisi=4, stanbul, 1996, Sayfa 32 - 189 - 2983 LAPIN L.,Quantative Methods For Business Decisions With Cases, Harcourt B.Inc.,1988, Sayfa 494


4/130

4

1.2. Simlasyon Ynteminin Kullanld Durumlar

Simlasyon, stokastik yada deterministik sistemlerin tasarmlarnn yaplmas

yada gelitirmesi amacna ynelik olarak kullanlabilir. Burada ifade edilen stokastik

sistemler Markov zincirlerinin ve kuyruk sistemlerinin rneklerine benzerdir.

Byle durumlarda sistem iinde gerekleen eitli olaylar ansa bal olarak retilerek,

bunlarn olaslk dalmlarnn kullanmyla gerek sistemin performans

rneklendirilmi olur.4

Simlasyon, geleneksel istatistiksel tekniklerle de kullanlabilir. Ayrca,

simlasyon alanlarn eitimi ve sistemi nasl idare edecekleri, matematiksel ve

rgtsel ilikiler ile ilgili yeni teorilerin gelitirilmesinde de yararldr.5

Simlasyon ynteminin etkin olarak kullanlmas, bilgisayar kullanm ile daha

da artmtr. Bu nedenle ou kez simlasyon terimi yerine bilgisayarla simlasyon

terimi kullanlr olmutur. Bilgisayarla yaplan simlasyonun en nemli drt zellii ise

unlardr;6

Simlasyon uygulamas firma, endstri, ekonomi ve/veya bunlarnoluturduu birimler zerinde yaplabilir.

Deneyler (veya denemeler) mantksal veya matematiksel modeller zerindeyaplr.

Simlasyon denemeleri saysal ve karma bilgisayarlar ile yaplr. Denemeler uzun bir zaman periyodunda stokastik veya dinamik koullar

altndadr.

1.3. Simlasyonun Tarihi Geliimi

Yzylmzn son yarsnda, eitimden elenceye, tamacla ve

animasyona kadar, modelleme ve simlasyon ok hzl bir ekilde

ilerlemitir. Son 40 ylda simlasyon dillerinin ve paket programlarnn geliimi ve

4 HILLER S. FREDERICKH., LIEBERMAN GERALD J., Introduction to Operations Research ,Mc Graw Hill Publishing Company ,USA, 1990, Sayfa 8575 CHASE B.R., AQUILANO N. J.,a.g.e., Sayfa 3696YAR Yksel, Ekonometrik Modeller, Ceren Basm Yayn, Bursa, 1999, Sayfa 621


5/130

5

saysnn artmas, simlasyonun kullanlma ekilleri ile kullanm alanlar da arpc

bir ekilde arttrmtr.

Simlasyon, 1950 ve 1960l yllarn sonlarna doru, genellikle byk

sermaye yatrmlar gerektiren irketlerin kulland, ok pahal ve zel alanlarda

kullanlan bir ara idi. Bu irketler, Fortran gibi programlama dilleri ile byk ve

karmak simlasyon modellerini gelitirmek iin uzman kiilerden oluan alma

gruplar kurmulard. Gelitirilen modeller daha sonra byk bilgi ilem

merkezlerinde altrlyordu. O yllarda bu makinelerin kullanm maliyeti, ok

yksekti. Gnmzdeki kiisel bilgisayarlar, bu makinelerden ok daha gl vehzldr.

Simlasyonun asl geliimi 1970li yllarn sonlarnda olmutur. lem hz

yksek bilgisayarlarn maliyeti olduka dm ve simlasyon ok farkl alanlarda

kullanlmaya balanmt. Ayn zamanda, bu sre ierisinde simlasyon (benzetim)

niversitelerde endstri mhendislii, yneylem aratrmas ve iletme derslerinin

standartlaan bir blm haline gelmiti.

Simlasyonun endstri alanndaki hzl ilerleyii, niversiteleri simlasyonu

daha kapsaml bir ekilde ele almaya zorlamtr. Gelien taleple beraber bu

konuda alan aratrmac ve rencilerin says da artmtr. Son zamanlarda modern

ynetim biliminde nemli bir ara olarak simlasyonun kullanld gzlenmektedir.

Simlasyon kullanm 1980li yllarn sonuna gelindiinde kiisel

bilgisayarlarn kapasitelerinin de artmasyla i dnyasna yerlemiti. Simlasyon

gnmzde, hem var olan sistemlerin analizinde bir analiz arac hem de tasar halindeki

sistemlerin analizinde bir tasarm arac olarak yaygn ekilde kullanlmaktadr. .

ok iyi bir animasyon yeteneine sahip olmas, kullanm kolayl,

bilgisayarlarn kapasitelerindeki gelime, dier paket programlaryla kolay uyumu

ve simlatrlerin gelimesi, simlasyonu birok firma iin standart bir ara haline

getirmitir. Ayrca simlasyonu uygulama ekli de deiebilmektedir; sistemlerin

tasarm aamasnda kullanlan simlasyon programlar, yaplan herhangi bir deiiklikle


6/130

6

sistemin farkl alanlarnda kullanlabilmektedir. Bylelikle yaayan bir simlasyon

kullanm salanabilmektedir.7

1.4. Simlasyon Ynteminin Kullanm Amalar

zel-amaca ilikin simlasyon dillerinin kullanlmaya balanmas ve simlasyon

yntembiliminde salanan ilerlemeler, bu yntemi yaygn biimde kullanlan ve

kabul edilen bir ara haline getirmitir.

Bu anlamda simlasyon izleyen amalara ynelik olarak kullanlabilir;

1. Simlasyon, karmak sistemlerin yada bir karmak sistem iindeki alt sistemlerini etkileimlerini deneysel olarak ele almak amacyla kullanlabilir.

2. Bilgisel, rgtsel ve evresel deiimlerin benzetimi yaplabilecei gibi budeiimlerin modelin davranlar zerindeki etkileri incelenebilir.

3. Belirli bir aratrma altnda bir simlasyon modelinin tasarmndan elde edilen bilgisistem iinde bir gelimenin olduunu iaret edebilir.

4. Simlasyon girdilerinin deitirilmesi ve sonulanan ktlarn incelenmesiyle,hangi deikenlerin daha ok nemli olduu ve deikenler arasnda nasl bir

etkileimin olduunu belirlemek olduka yararl olacaktr.

5. Simlasyon, analitik zm yntembilimlerinin glendirilmesi iin kullanlabilir.6. Simlasyon, analitik zmlerin doruluunu kantlamak iin kullanlabilir.87. Benzetim ile gerekletirilecek sistem gznnde canlandrlabilir.8. Modern sistemler (Fabrika, servis rgt, imalat birimleri,...vb,) olduka

karmak bir yapda olduundan, bunlarn etkileimleri dorudan simlasyon

ynteminin kullanmyla elde edilebilir.9

7 KU Pelin Simlasyon Uygulamalar, Yaymlanan Makalesi, Ankara, 2004, Sayfa 53 -54.8 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., Discrete - Event System Simulation, 2.Bask, PrenticeHall International, Inc, New Jersey - USA, 1996, Sayfa 49 LIEBERMAN GERALD J., Introduction to Simulation Articles, www. Jstor.com.tr., 1995 Sayfa 3-4


7/130

7

1.5. Simlasyon Ynteminin Uyguland Alanlar ve Kullanm Koullar

Amerikann nde gelen ou irketi 1980lerin banda simlasyon yntemini

daha etkin bir biimde kullanmaya balamtr. Bu yntemi zellikle irketlerin

fonksiyonel alanlarnn tanmlanmasnda kullanmlardr. Daha sonra ise, genel

yzdelik dilimler kullanarak; irket planlamas, mhendislik, finans, aratrma ve

gelitirme (ar-ge) vb., blmlerde simlasyon yntemini kullanmlardr.10

Tablo 1-5. Belirli Fonksiyonel Alanlarda Simlasyonun Kullanm Yzdeleri

Faaliyet Alan Yzdelik Dilim (%)

retim % 59

irket Planlamas % 53

Mhendislik % 46

Finans % 41

Ar-Ge % 37

Pazarlama % 24

Bilgi lem % 16

Personel % 10

Simlasyonun ayrca genel anlamda uyguland birtakm uygulama alanlar da

mevcuttur. Bu alanlar izleyen ekilde listelenmitir.11

malat sistemleri

Yar iletken imalat iin malzeme ynetim sistemi tasarmnda, Envanter sistemi planlamasnda, Yolcu ua harekatlarnn planlanmasnda,10 HILLER S. FREDERICKH., LIEBERMAN GERALD J., a.g.e. , Sayfa 863 - 86411 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 6 - 7 - 8


8/130

8

Bilgisayarla btnlemi bir imalat sistemi iin datm modelinin tasarmnda, malat sistemi iinde alet paylamnn etkin olarak yaplmasnda, Tam zamanl retim iin envanter maliyet modeli tasarlanmasnda.Kamusal sistemler

Salk Sektr

Ecza maliyet ve giderlerini nceden haber vermede, Acilde bekleme sresinin drlmesinde.Askeri

Operasyonel test ve deerlendirme konularnda, Kolordu sava simlasyonu tasarmnda, Hava komuta ve kontrol alanlarnda.Doal Kaynaklar

Atk ynetim sisteminin tasarlanmasnda, Depo atklarn iyiletirme sistemi tasarmnda, evresel tanzim faaliyetlerinin gerekletirilmesinde.Ulatrma Sistemleri

Kargo nakliyatlarnn tam zamanl yaplmasnda, Konteyner liman harekatlarnn dzenlenmesinde.


9/130

9

Kurulum Sistemleri

Madencilik uygulamalarnda, Tasarmlar glendirme / Ara yzlerin kurulumunda, leri dzey proje planlamasnda.Gda Sreleri

Balk endstrisinde balk gemisi harekatlarnn dzenlenmesinde, Kkba hayvan retiminde uluslar aras rekabetin deerlendirilmesinde.Bilgisayar Sistemi Performanslar

st dzey bilgisayar sistemi performanslarnn deerlendirilmesinde, Mteri / hizmeti (client /server) sistemi tasarmnda.

Bunlarla birlikte, havaliman tasarm, yolcu ua bakm programlamas,

haberleme sistemi tasarm, finansal tahminler, personel planlamas, su kaynaklarnn

gelitirilmesi, tketici davranlarnn tahmini, demiryolu trafii planlamas,..vb, daha

birok alanda da uygulanabilir.12

Bir bilim dal olarak simlasyon ynteminin baz stokastik sistemler iin tercih

edilebilmesi, uygulanmas ve uygulamann baarl olabilmesi iin belirli bir takm

koullarnda olumu olmas gerekmektedir. Bu koullar da u ekilde sralayabiliriz:

Belirsizlikevre koullarnda ve i olaylarda yer alan belirsizlik ve ynetsel kararlarn

byk lde belirsizlik altnda alnma zorunluluunun bulunmas.

12 CHASE B.R., AQUILANO N. J., a.g.e., Sayfa 370


10/130

10

Rassallkevresel deiimlerin belirli bir kurala ve dzene bal olamadan rassal olarak

olumas.

Deneysellikevre koullar ile sistemi oluturan deikenler, parametreler ve sistemi

kstlandran kst ve varsaymlarda deiiklikler yaparak, alternatif plan, karar ve yn

oluturma gereksiniminin bulunmas. Simlasyonu bir ynetim laboratuar olarak

kullanarak, Byle olursa ne yapmalyz ?, yle olsayd ne yapardk ? (What if ?)

trnden durumlarn deneylerle incelenme gereksiniminin bulunmas.

Davran AnaliziYnetim ve karar sistemlerinin, belli gelecekteki belirli bir noktada ierdikleri

zm deerlerinin tahmini yerine, gelecekte ortaya kabilecek davranlarnn

ynlendirilme gereksiniminin olmas.

Sistem GrYap, sistem ve olaylarn bir btn olarak ok ynl ve geni bir adan

incelenme gereksiniminin bulunmas. Ayrca, evrimsellik gr bakmndan da,

sistem ve olaylarn zaman iindeki deiimlerinin incelenme zorunluluunun

olmasdr.13

1.6. Simlasyonu Kullanmann Salad Avantaj ve stnlkler

Simlasyon birtakm dezavantajlara sahip olduu gibi belirli avantajlara da

sahip bir yntemdir. Bunlardan ilk deinilecek olan, yntemin salam olduu

yarar ve stnlkler olup, Pedgen, Shannon ve Sadowski tarafndan 1995 ylnda

dzenlenmi ve izleyen ekilde sralanmtr.14

1. Yeni politikalar, ilemsel prosedrler, karar kurallar, bilgi aklar, rgtselprosedrler, yeni donanmsal tasarmlar, fiziksel yerlerin planlamas, ulatrma

13 ERKUT Haluk, a.g.e., Sayfa 299 - 30014 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 4 - 5


11/130

11

sistemleri ve daha birou gerek sistemin devam eden ilevsellii aksatlmadan

incelenebilir ve test edilebilir.

2. Olayn nasl yada niin meydana geldii ile ilgili hipotezler uygunluk iin testedilebilir.

3. Ekonomik inceleme altndaki olayn hzlandrlmas yada yavalatlmas iinzaman daraltlabilir veya uzatlabilir.

4. Deikenler aras etkileimlerin ortaya karlmasnda kullanlabilir.5. Sistemin performans zerinde deikenlerin nemleri ile ilgili bilgi elde

edilebilir.

6. Bir simlasyon almas bireylerin sistemi nasl yneteceklerini dnmelerindenziyade sistemi nasl yneteceklerini anlamalarnda yardmc olabilir.

7. Ne olursa - ne olur sorular cevaplanabilir. Bu durum zellikle yenisistemlerin tasarmnda yararldr.

Simlasyon, yukarda belirtilen durumlarda yararl olmasnn yannda;

1. Simlasyon esnek bir zm yntemidir.2. Deney koullar zerinde analist tam bir kontrole sahiptir. Simlasyonu istenen

zamanda durdurup yeniden balatabilir.15

3. Simlasyon, sistem verilerinin detayl olmad durumlarda da kullanlabilir.161.7. Simlasyon Kullanmnn Ortaya kard Glk ve Dezavantajlar

Simlasyonun kullanm avantajlarnn yan sra ortaya kabilecek

glk ve dezavantajlarn da gz nnde bulundurmak gerekir;

1. Simlasyon kesin olmayabilir. Bu bakmdan bazen deiik iletim koullarnasistemin tepkilerinden oluan bir set ortaya koyar.

15 TTEK H. Hlya, GMOLU evkinaz, Saysal yntemler - Ynetsel Yaklam Beta basmyaym A.., stanbul, 2000, Sayfa 378 - 37916 KU Pelin, a.g.e. , 2004.


12/130

12

2. yi bir simlasyon modeli yksek maliyetli olabilir. ounlukla kullanlabileceknitelikte bir irket planlamas modelini gelitirmek ok uzun sre alabilir.

3. Her durum simlasyon kullanlarak deerlendirilemez; yalnzca belirsizlik ierendurumlar simlasyon kullanmna adaydr ve rassal olarak deer alan bir sre

olmadan simlasyonun tm deneyleri ayn sonucu verir.

4. Simlasyon, zmlerin kendilerini deil, bir zm deerlendirme yolu gelitirir.175. Simlasyon sonularnn yorumlanmas analitik tekniklerin sonularna

benzemedii iin zor olabilmektedir.

6. Simlasyon, analitik zmn olas yada tercih edilebilir olmas durumunda dakullanlabilmektedir. Ancak bu durum zellikle baz bekleme hatt sistemi

modellerinin simlasyonunda olasdr.18

1.8. Simlasyon Trleri

Simlasyon kelimesinin modern anlamda kullanl 1940 yl sonlarnda JohnVon Neumann ve Stanislaw Ulamn almalarna Monte - Carlo Simlasyonu

adn vermeleri ile balar. Bu teknik sayesinde analitik ilemleri ok kark ve

deneysel ilemleri de ok pahal olan nkleer savunma problemleri baaryla

zlmtr. 1950 yl balarnda saysal bilgisayarlarn geliimi ile simlasyon

kelimesi baka anlamlarda kazanmtr. Bu sayede sosyal bilimciler de fizik ve

kimyaclar gibi laboratuar deneylerine benzer deneyleri bilgisayarda gerekletirme

olana bulmutur.19

Ekonominin ve sanayiinin ou problemleri ok karmak olup, deneysel

olarak incelemek yada matematiksel olarak kesin bir zm bulabilmek olduka

zordur. Bu gibi durumlarda yaklak zme gtren tekniklere, sezgisel yaklamlara,

daha dorusu sistematik denemeye, modele uygun saysal denemeye dayanan metotlara

bavurulmaktadr.20

17 TTEK H. Hlya, GMOLU evkinaz, a.g.e., Sayfa 37918 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 519 HALA Osman, Kantitatif Karar Verme Teknikleri, Evrim Datm, 3. Bask, stanbul, 1991,Sayfa 33520 YILMAZ Zekai, Saysal Yntemler, Uluda niversitesi Basmevi, Bursa, 1988, Sayfa 203 - 204


13/130

13

Yukarda ifade edilen bu metotlar belli ana balklar halinde sralanacak

olursa, bunlarla ilgili drt simlasyon eidi mevcut olup; unlardr:21

1. Monte - Carlo Simlasyonu2. Srekli - Sistem Simlasyonu3. Kesikli - Olay Sistem Simlasyonu4. Birletirilmi Kesikli Srekli Sistem Simlasyonu

1.8.1. Monte Carlo Simlasyonu

Bir niform dalmdan yani rassal saylar U(0,1) rassal deikeni kullanan

monte carlo simlasyonu ayn zamanda zaman unsurundan bamsz bir yap ile statik

modellere ilikin olarak kullanlmaktadr. Monte Carlo Simlasyon yntemi aadaki

be temel aamadan meydana gelmektedir.

1. Deikenler iin ihtimal (olaslk) dalmnn bulunmas,

2. lk aamadaki her deiken iin olaslk dalmnn kmlatif toplamnn

bulunmas,

3. Her deiken iin rasgele say aralnn bulunmas,

4. Rasgele saylarn retilmesi,

5. Simlasyon ileminin tamamlanarak, geek olayn benzetiminin yaplmas.22

Monte Carlo Simlasyon yntemi, iki farkl snftaki problemlerin

zmnde kullanlabilir. lk problem tipi iin Monte Carlo metodu, olaslk

dalmlarndan veri taban simle etmek iin gelitirilebilir. kinci snf

problemlerde ise, kmlatif dalm fonksiyonunun fonksiyonel ilikilerini ve

21 HALA Osman, Kantitatif Karar Verme Teknikleri, stanbul niversitesi Yayn Arpaz MatbaaclkLtd., stanbul, 1978, Sayfa 44422 TEKN Mahmut, Kantitatif Karar Verme Teknikleri Aka Ofset Basmevi, 2. Bask, Konya, 1992,Sayfa 260 -261


14/130

14

deterministik bir problemin zm gereksinimlerini karlayan bir stokastik sre

simlasyonu ile yaklak zmler olas olabilir.23

1.8.2. Srekli Sistem Simlasyonu

Srekli sistem simlasyonu, bir sistemin modellenmesi ile ilgili durum

deikenlerinin zamana bal olarak srekli deiim iinde olduu temsili bir

modeldir.24

Bir baka ifade ile de, davranlar zamanla birlikte srekli deiim gsteren

sistemlerle ilgilenmektedir. Srekli sistemlerin simlasyonu genelde, sistemin farkl

elemanlar arasndaki etkileimin birtakm diferansiyel denklemlerle ifade

edildii modellerdir. Dnya nfusundaki hareketliliin aratrlmas buna tipik bir

rnek olarak verilebilir.25

Sistem simlasyonu gncel verilerin karmak problemlerde yararl olduu ve bir

model dorultusunda ilevsel evrenin bir kopyas ile ilerleme salayan bir sretir.

Buna gre srekli sistem simlasyonu, durum deikenlerinin deeri zamana gre

srekli deien bir sistemin modellenmesine ilikindir. Yani burada zaman unsuru sz

konusudur. Bu simlasyon tr, sistem analizlerinin alternatif ynetim faaliyetlerine

yant vermesine ve kararlar iin salam bir temel salanmasna olanak vermektedir.26

Bu anlamda sz konusu bir iletmenin toplam maliyetini bulabilmek iin

deiik iletme koullarnda sistemin performansnn lm gerekmektedir. Bunun

iinde sistemin modelini kurmaya gerek vardr. Model kurulduktan sonra, sra

sistemin davrann incelemeye gelmitir. Bunun iinde simlasyon yaplr.

Bu amaca ilikin olarak;

Sisteme gerekte karlaaca dnlen girdiler verilir.

23 THIERAUF J.R., KLEKAMP C.R., Decision Making Throught Operations Research John Willeyand Sons, Inc., New York, 1975, Sayfa 454

24 LAW Averil M., KELTON W. David, Simulation Modeling and Analysis , Mc Graw Inc., Singapore,1991, Sayfa 10925 TAHA Hamdy A., Yneylem aratrmas, Literatr Yaynclk,Datm, Pazarlama San Tic. Ltd. ti.,Beyolu - stanbul, 2000, Sayfa 67126 THIERAUF J.R., KLEKAMP C.R.,a.g.e. , Sayfa 455


15/130

15

Sistemde dalgalanmalar oluturacak olan gereki bozucu etkiler sisteme dahiledilir.27

1.8.3. Kesikli Olay Sistem SimlasyonuKesikli olay sistem simlasyonu, dinamik, kesikli ve olaslkl veya

deterministik yapdaki sistemlere ilikin durum deikenlerinin zamann belirli

noktalarnda deiim gsterdii durumlardaki simlasyon modellemesi ile ilgilidir.

Dier bir ifadeyle durum deikenlerinin zaman iindeki belirli noktalarda

sadece kesikli yada saylabilir olarak deitii durumlardr.28 Kesikli simlasyon

modelleri, sistemlerin davranlarndaki deiimleri sadece verilmi olan bir anda

izleyen modellerdir. Buna tipik bir rnek olarak, bekleme - hatlarnda ortalama

kuyrukta bekleme sresinin ve bekleme hatt uzunluunun tahmini gsterilebilir.

Sistemin durumu sadece bir mterinin sisteme girdii yada

sistemden kt anda deiir. Sitemde zaman iinde meydana gelen deiimler

modelde olay unsurunu oraya karr. Bu olaylar kesikli noktalarda meydana geldii

iin kesikli olay simlasyonu yntemi ortaya kmtr. 29

Kesikli olay sistem simlasyonu birok yardmc unsurla ilgili olup, bu

unsurlar mantksal bir rgtlenme ile simlasyon modelinin bilgisayar programnn

kodlanmasna, hataszlatrlmasna ve gelecekteki deiimlerin gelitirilmesine

yardmc olmutur. zellikle, sz konusu bu unsurlarn ou kesikli - olay

simlasyon modelinde bulunmakta ve sonraki - olaylarn planlanmas

yaklamnda kullanlmaktadr. Balca nemli unsurlar aadaki ekilde ifadeedilebilir.

Sistem durumu : Belirli bir zamanda sistemin aklanmas iin sistem durumdeikenlerinin toplanmasyla belirlenir.

27 ERKUT Haluk, Sistem Analizi Sistem Bilimleri Dizisi 2, rfan Yaymclk ve Tantm Ltd. ti.,stanbul,1995, Sayfa 3828 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 111529 TAHA Hamdy A., a.g.e., Sayfa 671


16/130

16

Simlasyon saati : Simle edilen zamann geerli deerini veren deikendir. Olay listesi : Her bir olayn meydana gelecei zaman dilimini ieren listedir. statistiksel saya : Sistem performans ile ilgili istatistiksel bilgileri saklamak

iin kullanlan deikenlerdir.

Balang unsuru : Simlasyon modelini sfrdan balatmak iin bir alt programdr. Olay unsuru : zel trde bir olay meydana geldiinde sistemi gncelletirir. Ktphane unsuru : Simlasyon modelinin bir blm gibi tanmlanan ve olaslk

dalmlarndan rasgele gzlemler retmek iin kullanlan bir alt program

grubudur.

Rapor retici : Simlasyon bittiinde istenilen performans lmlerini tahminederek hesaplayan ( istatistiksel sayalardan ) ve rapor reten bir alt

programdr.

Ana program : Zamanlama unsuru ile bir sonraki olay tanmlar ve daha sonrasistemi buna uygun bir biimde gncelletirir.30

1.8.4. Birletirilmi Kesikli Srekli Sistem Simlasyonu

Bir sistemde, baz durum deikenleri srekli ve dierleri de kesikli

olarak deiiyorsa bu sistem birletirilmi sistem olarak snflandrlr. Baz fiziksel

sistemler olan ( sre endstrileri, rafineri ieren endstriler, kimyasal fabrikalar ..vb.)

birletirilmi sistem simlasyonu uygulama alanlar olarak snflandrlmaktadrlar.

Bu durumu ekil yardm ile de aklamak mmkndr.31

30 LAW Averil M., KELTON W. David, ,a.g.e., Sayfa 1031KHOSHNEVIS B. ,a.g.e., Sayfa 13-14-15


17/130

17

ekil 1.9 4.3 Birletirilmi Sistemdeki Durum Deikeni

t - zamannda srekli ak zerinde kesikli deiimlerin etkisiSuyunAk SrekliOran Srekli Kesikli

Srekli

Srekli

Kesikli

t (Zaman)Yukarda ifade edilen ekil 4.3. birletirilmi (kesiklisrekli) sistem durum

deikeninin bir rnek yardm ile gsterimidir.

1.9. Simlasyon Modellerinin Genel Olarak Snflandrlmas

Modeller, somut ve soyut olmak zere genel itibariyle snflandrlabilir.

Simlasyon modeli ise somut bir model olarak bilinir ve bir sistemi sembolik

notasyonlar ve matematiksel eitlikler kullanarak temsil eder. Bylece simlasyon

modeli, sz konusu sistemin matematiksel bir modeli olmaktadr.32

Bu modellerin snflandrlmas izleyen ekilde ifade edilebilir;

1. Statik ve dinamik simlasyon modelleri,2. Deterministik ve stokastik (rassallk zellii tayan) simlasyon modelleri,3. Srekli ve kesikli simlasyon modelleri.33

32 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 1233 KHOSHNEVIS B., Discrete Systems Simulation Mc Graw Hill Inc., Singapore,1994, Sayfa 15


18/130

18

Bu durumla ilgili olarak ekil 1.9.1 simlasyon modellerinin nasl

snflandrlabilecei hakknda bilgi vermektedir.

ekil 1.9.1 Simlasyon Modellerinin Snflandrlmas ve likilendirilmesi

1.9.1. Statik ve Dinamik Simlasyon Modelleri

1.9.1.1. Statik Simlasyon Modelleri

Statik simlasyon modeli, zamann belirli bir noktasnda bir sistemin temsil

edilmesidir. Genellikle statik bir simlasyon Monte - Carlo simlasyonu olarak

adlandrlr.34

Bir baka ifadeyle, statik simlasyon modelleri ekonomik ilikileri zamandan

soyutlayarak veya zamann bir noktasnda ele alarak inceleyen modeller olarak

tanmlanrlar.35

1.9.1.2. Dinamik Simlasyon Modelleri

Dinamik simlasyon modeli ise, zamann her noktasnda deien bir sistemin

temsil edildii modeldir. Ayrca zaman kavramn veya zaman aka ieren

34 WINSTON WAYNE L., Operations Research Applications and Algorithms , PWS - KENTPublishing Company, Boston, 1991, Sayfa 111535YAR Yksel, a.g.e., Sayfa 9

SSTEM

KESKLSREKL

DNAMKSTATK

BLEK

DETERMNSTK STOKASTK


19/130

19

modellerdir. Bununla birlikte, dinamik modellerde deikenlerin fonksiyonel ilikiye

girdii zaman aka belirtilmektedir. Dinamik sre, model veya sistemdeki tm

deikenlerin zaman srecindeki davrann belirleyen bir teoridir. Dinamik modellerde

deikenlerin gemi ve gelecee ait deerleri arasnda simlasyon ile balant

kurulabilir.36

1.9.2. Deterministik ve Stokastik Simlasyon Modelleri

1.9.2.1. Deterministik Simlasyon Modelleri

Deterministik simlasyon modelleri, kullanlacak tm verilerin kesin olduu

problemlerin analizi ve zm iin uygundur. rnein; deterministik yapya sahip

stok problemleri, seyahat ve vardiya planlarnn simlasyon modelleri vb.., bir ou

saylabilir. Deterministik simlasyon modeli, ematik bir biimde ekildeki gibi girdi

ve kt ilikisine sahip bir kara kutu olarak tasvir edilebilir.

ekil 1-9.2 Kara Kutu Olarak Deterministik Simlasyon Modeli

Bu kara kutunun daha doru karakterize edilebilmesi iin aadaki

ayrmlardan yararlanlabilir.

Elemanlar : Sistem teorisi erevesinde bir sistemi oluturan eler eleman

olarak nitelendirilmektedir. rnein; trenler, istasyonlar, retim siparileri,

makineler eleman olabilir.

Eleman zellikleri : Eleman zelliklerinin tanmlanabilmesi iin belirli deiken

tipleri kullanlmaktadr. deiken grubu arasnda ayrm yapmak mmkndr.

Bunlar ;

Deterministik simlasyon modellerinde kullanlan (bamsz) girdideikenleri.

36YAR Yksel, a.g.e., Sayfa 9 - 11

Girdi Deterministik Model kt


20/130

20

Belirli bir zaman srecinde modelin gncel statsn aklayan statdeikenleri; rnek olarak bir seyahat simlasyonun da trenlerin var ve hareket

zamanlar verilebilir.

Girdi ve stat deikenlerinin balants sonucunda elde edilen veistenilen simlasyon sonularn tekil eden (baml) kt deikenlerine;

bir seyahat simlasyonun da belirli iki istasyon arasndaki trenlerin seyir srelerini

rnek vermek mmkndr.

likiler : likiler, modelin elemanlar veya daha akas yukarda aklanandeiken tipleri arasndaki ilikileri tasvir etmektedir. Bunlara, balang artlarnn

tanm iin gerekli tehis ve snrlama ilikileri de dahil edilmektedir.

1.9.2.2. Stokastik simlasyon Modelleri

Baz simlasyon modellerinde ele alnan olaylar byk lde tesadfi

olaylara bal olduundan stokastik problemlerin analizi ve zm iin

stokastik simlasyon modellerinden yararlanlabilir. Stokastik simlasyon modelini

izleyen kara kutu sistemi ile ifade edebiliriz.

ekil 1-9.3 Kara Kutu Olarak Stokastik Simlasyon Modeli

Deterministik simlasyon modellerinden farkl olarak stokastik simlasyon

modellerinde rassallk sz konusudur. Bu tipteki bir simlasyonun zellikleri bir

tesadfi deneyin sonularndan elde edilebilmektedir. 37

37 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 1154

Girdi Stokastik Model kt

TesadfiDeiken


21/130

21

BLM 2

SMLASYON UYGULANMA SREC VE AAMALARI

Bu ksmda ele alnacak olan simlasyonun aamalar, bir simlasyonun

almasnn nasl yaplaca ile ilgilidir. Herhangi bir simlasyon almas birka

farkl ana aamadan oluabilmektedir.

Bununla birlikte, yaplan yada yaplacak baz simlasyon almalar, bu

aamalarn tamamndan olumayabilecei gibi burada ifade edilecek olan sra ile de

meydana gelmeyebilir.38

Bununla birlikte, simlasyon almas basit saylabilecek bir sre deildir.

Bu bakmdan, almann yrtlebilmesi ve sistem ile ilgili unsurlarn daha

iyi anlalmasn salayabilmek iin sklkla nceki admlara geri dnlmek

istenir. rnein, alma devam ederken sisteme yeni bilgi girilerinin olmas,

problemin zmlenebilmesinde problemin yeniden formlasyonunu gerektirebilir.39

Ayrca sistemde bulunan ve dinamik nitelik gsteren unsurlar alg veya sezgi

yoluyla incelenebilir.40

Simlasyon yntemi kullanm uygulamalarda,

1. Sistemlerin davranlarn inceleme ve tanmlama,

2. Gzlenen sistem davrann aklayan teori yada hipotezleri deneme ve

uygulama,

3. Bu teorileri kullanarak, sistemdeki deiimlerin etkilerini belirleme ve

bylece sistemin gelecekteki davrann tahmin etmeyi amalayan deneysel

bir zellik salar.41

38 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 115539 LAW Averil M., KELTON W. David,, a.g.e. , Sayfa 10640EN Salim., letme Ynetimine Modeller Yoluyla Yaklam; letme Ynetim Srecinde ModelKullanma zerinde Bir Aratrma, Emel Matbaaclk San. Ltd. ti., Ankara, 1973, Sayfa 2341 SARIASLAN Halil, a.g.e, Sayfa 44


22/130

22

Yukarda ifade edilenlerin nda, bir simlasyon almasna rehberlik edebilecek

aamalar uygulama blmnde izleyen ekille gsterilebilir.42 Ayrca aadaki ak

diyagramndan uygulama blmnde yararlanlmtr.

ekil 2.1. Simlasyon Srecindeki Aamalara likin Ak Diyagram

HayrEvet

Evet Hayr

42 EMSHOFF James R., SISSON Roger L., Design and Use of Computer Simulation Models,The Macmillan Company, USA, 1970, Sayfa 50

ProbleminTanmlanmas

Gerekli Verilerin ve MevcutKaynaklarla lgili Bilgilerin

Analizi

Alt SistemlerinModellerininFormlasyonu

Alt Sistem ModelleriniSimlasyon Modeliinde Birletirme

Veri toplama veSimlasyon

Parametreleri Tahmini

Programn Belirlenmesi veSimlatr Hataszla

trma

Simlasyon Modelini Dorulama

Sreteki

ncekiAdmlar

Simlasyon Deneylerinin Tasarlanmas( Alternatiflerin Tanmlanmas )

Simlatr Koturma

Sonularn Analizi veYnetime Verilmesi

SonularnYrtlmesi


23/130

23

ekil 2.2 Genel Hatlar ile Simlasyon Srecine likinAk Diyagram

Yukarda ifade edilmi olan simlasyon srecine ilikin ak diyagram genel

aamalar halinde ele alnm olup, 4. blm olan uygulama blm ile ilikilidir.43

43EN Salim., a.g.e. , Sayfa 22


24/130

24

2.1. Problemin Tanmlanmas ve Formlasyonu

Yaplan tm bilimsel almalar belirgin bir durumda ve ortamda ilgili

hedeflerin btnyle ortaya konarak, amaca ynelik etkin sonular bulmak amacyla

yaplmaktadr.44

Simlasyon denemesi planlamadan nce, sz konusu problem ak bir

ekilde tanmlanmaldr. Bu aama simlasyon denemesi boyunca problemin yeniden

ifade edilmesini gerektirebilir. Pek ok aratrmada olduu gibi simlasyon denemesi de

sorunlara zm bulma, hipotez testi, parametre etkilerinin gzlenmesi gibi daha basite

indirgenerek ele alnabilir.

Simlasyon sreci balatlrken aratrmann amac ve deerlendirme kriterleri

mutlaka belirlenmelidir. Bu temel unsurlar belirlendikten sonra bilgisayarla simlasyon

yapmann maliyeti, simlasyonun karmak dzeyi ve hedeflenen amac karlama

dzeyi gibi simlasyona devam edip etmeme kararna etki edebilecek faktrler gz

nne alnmaldr.45

Ayrca, aratrma ekibi tarafndan belirlenen problemler ve bunlarn

giderilmesine ynelik zmlerin gerekletirilmesini salayacak ve incelenen

sistemi temsil edecek bir model formle edilmelidir. Model belli bir ama iin

gelitirileceinden ilgili amaca ynelik olarak formle edilmelidir. Dolaysyla,

model hedeflenen ilgili amaca ynelik olarak toplam sistemin yalnzca belli bir alt

sisteminin ya da alt sistemlerinin ileyiini temsil edecek bir biimde de formle

edilebilir.

yi bir benzetim modelinde gerein temsil edilebilmesi, anlalabilir ve

kullanmnn kolay olmas aranan temel zellikler olduundan, sistemin ileyiini

belli bir ya da birka alt sistemi kapsayan bir model gelitirerek temsil etmek daha

uygun olacaktr.

Daha ncede ifade edildii gibi bir simlasyon modeli, karmaklk dzeyi ve

model zerinde yaplacak deneylerin okluu sebebiyle bir akemas biiminde ifade

44 LAW Averil M., KELTON W. David, a.g.e. , Sayfa 10745 HALA Osman, letmelerde Simlasyon Teknii, stanbul Matbaas, stanbul, 1982, Sayfa 3-4


25/130

25

edilebilir. Daha sonra ise, bu akemas yardm ile simlasyon bilgisayar ortamnda

gerekletirilebilir.46

Bununla birlikte, ele alnan problemin tehisinin iyi yaplmas ve anlalmas,

sistemi temsil edecek olan modelin gelitirilmesi bakmndan ok kritik bir

aamadr. Bu aamann nemi zellikle, simlasyon srecinin tekrarl ileyiinde ortaya

kmaktadr.47

2.2. Verilerin Toplanmas

Veri toplama, gerektiinde ilenebilir zellikteki verilerin elde edilerekkullanld bir sretir. Veriler toplanmaya, kaydedilmeye, etkin bir araca

dntrlmeye baland zaman verileri elle ileme ilemi ve son kt hazrlklar

da balam olur. Elle ileme aamalar; ilem performanslar iin snflandrma,

sralama, birletirme vb., aritmetik ve mantksal ilemlerdeki gibi adlandrlr. Bu

ilemler, elle ilenecek veri miktarna bal olarak bilgisayar kullanarak yada

kullanmakszn ortaya konabilir.48

Bir problem tanmlanmadan nce verilerin derlenmesi ve ilenmesi gerekir. Bu

amala bilgisayarla yaplacak olan bir simlasyon almasnda baarl olabilmek iin

birtakm n hazrlklar yaplmaldr. Bunlar ;

1. Kantitatif veriler nceden hazrlanmaldr.

2. Anlaml bir dzeye indirgenen verilerin, sistemin davranlarn aratrmak iin

matematik bir model kurmaya uygun olup olmad aratrlmaldr.

3. Veriler, simle edilmekte olan sistemin matematik modelini iyiletirmeye imkan

verebilir.

4. Veriler, sistemin durum deikenlerinin alma karakteristiklerinin parametrelerini

tahmin etmek iin kullanlr.

5. Veriler olmakszn simlasyon modellerinin geerliliini aratrmak olas deildir.

46 SARIASLAN Halil, a.g.e. , Sayfa 4547 EMSHOFF James R., SISSON Roger L., a.g.e. , Sayfa 5148 NAYLOR Thomas H.,BALINTFY Joseph L.,CHU Kong, BURDICK Donalds, Computer SimulationTechniques, John Wiley and Sons, Inc., USA, 1966, Sayfa 28 - 29


26/130

26

zellikle stokastik sistemlerin tasarmnda, tecrbelere dayal verilerin yada

teorik olaslk dalmlarnn kullanm nem tamaktadr. Bu durum nemli bir

aamadr ve izleyen nedenlerden dolay aratrmann temelini oluturur.

lem grmemi ham verilere gre sistemin altrlmas.

Modelin ilenmesi iin gerekli olan rasgele deikenler retilirken tablolarn

kullanlmas yerine teorik dalmlarn, bilgisayar ve bellein etkin bir biimde

kullanlmas.

halde, kullanlan veriler, geerlilik, verilerin dalm, teorik dalmlar gibi

unsurlar simlasyon almasnn baarsn nemli lde etkileyen faktrlerdir.49

2.3. Modelin Bilgisayara Aktarlmas

Model kurulduktan sonra bu modeli bilgisayarda analiz etmek iin modeli

bilgisayar ortamna aktarmak gerekir. Bu genellikle sz konusu model iin bir

bilgisayar program gelitirmeyi kapsamaktadr. Buradaki nemli kararlardan biri

dilin seimidir. Bununla birlikte, burada gz nnde tutacamz nemli kriter ise,

zel - amaca ilikin simlasyon dillerin, genel-amaca ilikin dillere gre daha az

programlama gerektirmesinin yannda daha az esnek olmas ve bilgisayarda ilem

yapabilme performansnn daha uzun olmasdr.50

Simlasyon modelinin bilgisayar ortamna aktarlmasnda belirli admlar sz konusudur.

Bunlar;

Ak diyagramnn izilmesi,

Kodlama,

- Genel - amal simlasyon dilleri , zel amal simlasyon dilleri,

Hatalarn ayklanmas,

49 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 450 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 1156


27/130

27

Toplanan verilerin kullanlmas ve balama koullar,

Toplanan verilerden yeni verilerin retilmesi,

kt raporunun hazrlanmas.

Birbirinden farkl zelliklere sahip olan simlasyon dilleri arasndaki belirgin

farklar ksm 2.10da ayrntl olarak ele alnacaktr.51

Simle edilen model ok basit bir yapya sahipse, standart programlama dilleri

( Fortran, Basc, PL/1, Algol ..vb.) kullanlarak model bilgisayar ortamna aktarlr.Ancak daha karmak modellemeler iin zel-amal simlasyon dilleri olan GPSS,

GASP, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, MODSIM, SIMNET ..vb., simlasyon dilleri

kullanlmaktadr.52

2.4. Modelin Test Edilmesi

Bilgisayara kodlanarak aktarlan modelin doru bir ekilde ileyip ilemedii

yada gelitirilen modelin gerek sistemi iyi temsil edip etmedii yani geerlilii

test edilmelidir.53 Modelin test edilerek dorulanmasndaki ama, kurulan modelin tam

olarak bilgisayara aktarlm temsilinde yanstldn anlamaktr. Bununla birlikte,

dorulama srecinin kullanmna yaygn olarak kabul grm birok neri verilebilir.

Bunlar;

1. Aratrma ekibine modele ilikin tm kodlarn anlatlmas.

2. Olaylar meydana geldiinde sistemde oluabilecek olas faaliyetleri ieren ve

modeli her bir olay tipindeki her faaliyet iin izleyen bir ak diyagram yapmak.

3. Girdilerin doru bir biimde yerletirilebilmeleri iin model ktlarnn dikkatlice

gzden geirilmesi ve bilgisayardan elde edilen temsili ktnn istatistiksel testlerle

tamamen dorulanmas.

51 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 552 WAGNER Harvey M., Principles Of Operations Research With Applications To ManagerialDecisions , Prentice Hall International Inc., London, 1972, Sayfa 89353 SARIASLAN Halil, a.g.e., Sayfa 46


28/130

28

4. Bilgisayar ortamna aktarlan temsili modelin sahip olduu girdilerin

simlasyon bitiminde ktsn alrken, bunlarn parametre deerlerinin sehven

deitirilmediinden emin olmak.

5. Modelde kullanlan her deikene ilikin tam bir tanmlama vermek.54

2.5. Modelin Geerliliinin Salanmas

Genel olarak bir simlasyon modeli ok sayda e ve mantksal

balantdan meydana gelir. Bu bakmdan, bireysel unsurlar dikkatlice test edildiinde,

tm modelin ktlar iindeki byk deiimlerin pek ok kk deiimler sonucu

meydana geldii anlalabilir. Dolaysyla, bilgisayar programnn yazlmas ve

hataszlatrlmasndan sonra benzetilen sistemin davrannn uygun bir biimde tahmin

edilerek modelin geerli klnmasn salamak olduka nemlidir.

Ele alnan model gerek verilerin bulunmad bir sistem iin alternatif

tasarm biimlerinin benzetimini yada politikalarnn incelenmesini amalyorsa

modelin ktlar ile toplanan birtakm gerek verilerin karlatrlmasnda Alan Testleri

kullanm yararl olabilmektedir. Buradaki dier bir olaslk ise, var olan sistemin

nerilenlerden birini karlamas iin geici ve amaca uygun bir biimde bozulmasdr.55

Bir simlasyon modelinin geerliliini aratrmak iin yntem

kullanlabilir.

1. Modelin geerli olmas : Parametrelere snr deerler verildiinde modelden olumlu

cevaplar alnabilir.

2. Varsaymlarn testi.

3. Girdi kt dnmnn testi.

Buradaki son iki yntem ortalama testi, varyans testi, regresyon analizi, faktr

analizi, spektral analiz, oto - korelasyon, ki - kare, parametrik olmayan testlerle

ilgilidir.56

54 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 401 - 40255 HILLER S. FREDERICKH., LIEBERMAN GERALD J., a.g.e., Sayfa 87356 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 5 - 6


29/130

29

2.6. Deneyin Gerekletirilmesi ve ktlarn Alnmas

Bu aamaya kadar gelinmi olunan simlasyon modelinin performansndan

memnun kalnd takdirde, sz konusu model eldeki problemin zm iin

kullanlabilir. Bu aamay takiben de modelden elde edilen sonularn istatistiksel

gvenirlilik ve geerliliklerinin analizi yaplmaldr.57

Gelinen bu aamada modelin geerlilii salanmsa model ile amalanan karar

deikenlerinin deerlendirilmesi ve gerek sistemi temsil eden bu model zerindeki

uygulama sonular gzden geirilmelidir. Ancak burada dikkat edilmesi gereken

husus, deneysel nitelikteki simlasyon modellerinin istatistiksel deney hatalarna

ak bir yapda olmasdr. Buna neden olarak, her deneyin ana ktleden alnan bir

rneklemi temsil etmesi ve bunun sonucunda da istatistiksel rneklem hatalarnn

oluabilmesi gsterilebilir. Bu bakmdan, simlasyon altrmlar kullanlarak ana

ktle parametreleri hakknda belli bir olaslkla belli bir gven aralnda

tahminde bulunabilmek ve istatistiksel deney hatalarn kabul edilebilir bir dzeyde

tutabilmek iin simlasyon deneylerini ok iyi planlamak gerekir.58

Yaplan bir simlasyon almas ele alnan problemle ilgili kabul edilebilir,

anlalr ve kullanlabilir bir sonu salamaldr. Simlasyon sonularnn alnmas

nemli bir sre sonunda olumaktadr. Yaplan bir aratrmaya gre, simlasyon

projelerine harcanan zamann aamalara gre pay izleyen ekliyle; %25i problemin

tanmlanmasna, %20si veri derleme ve analizine, %30u modelin gelitirilmesine,

%25i uygulama ve ktlarn alnarak deerlendirilmesine ayrlmtr.59

Simlasyondan elde edilen ktlarn alnmasna ilikin dikkat edilmesi gereken

hususlar u ekilde sralanabilir;60

ktlar iin uygun bir kelime haznesinin seilmesi,

ktlarn uzunluunun ve biiminin ksa ve zl olarak yazlmas,

57 WINSTON WAYNE L., a.g.e. , Sayfa 1156

58 SARIASLAN Halil, a.g.e., Sayfa 4659 HALA Osman, a.g.e. , Sayfa 760 SHANNON E. Robert, Introduction to the Art and Science of Simulation In Proceeding of the 1998Winter Simulation Conference, MEDEIROS D.J., WATSON E.F., CARSON J.F., MANIVANNANM.S.,Eds.,USA,1998, Sayfa 13


30/130

30

ktlarn tam vaktinde ve uygun olarak elde edilmesi,

Kullancnn amacna uygun olarak dzenlenmesi nemlidir.

2.7. Sonularn Deerlendirilmesi

Gelitirilen modelin altrm sonucu elde edilen bilgi ve veriler balangta

belirlenen amalar gz nnde bulundurularak zmlenir ve deerlendirilir daha

sonra ise karar seeneklerine ilikin olarak yorumlanr ve gerek sistemin ileyii

konusunda bir karara varlr. Bununla birlikte, elde edilen sonulara ilikin olarak

modelin istenilen amaca hizmet edip etmediinin aratrlmas gereklidir. Model

istenilen amaca hizmet etmiyorsa, yani iyi bir temsili model olduu konusunda pheler

olumu ise bu phelerin giderilmesi iin gerekli dzenlemeler yaplmaldr. Modelin

gerek sitemin iyi bir temsili olduu konusunda karara varldktan sonra model eitli

uygulamalar iin kullanlmaldr.61

lgili sistem modelinin yardm ile bilgisayar kullanlarak elde edilen veriler

iin sonularn deerlendirilmesi admna bavurulur. Simle edilen verilerin analizi

ise izleyen admdan meydana gelmektedir;

( 1 ) Simle edilen verilerin toplanmas ve ilenmesi,

( 2 ) Test istatistiklerinin hesaplanmas,

( 3 ) Sonularn yorumlanmas.

Simle edilen verilerin analizi ile gerek dnya verilerinin analizi birbirineok benzer bir yapda olmasna ramen baz nemli fakllklarda mevcut

olabilmektedir.

Bilgisayar simlasyonunun istatistiksel tekniklerle analizinde nemli bir

zorlukta rnekleme dalmndan yararlanmadr. rnekleme dalmnda rasgeleliin

oluabilmesinin yolu bu unsurun iyi anlalmas ve aka belirtilmesinden gemektedir.

Ancak, simlasyon deneylerinde ise rasgelelik kavram genelde stokastik srelerle

ilgili olup, zellikle saysal deerleri hesaplanabilen algoritmalardan farkl

61 SARIASLAN Halil, a.g.e., Sayfa 47


31/130

31

olarak, ilikiler ak deildir. Bunun yannda dier bir zorlukta, rnekleme

dalmnn genellikle statik modellerle ilikili olabilmesine karn, simlasyonun

doas gerei genelde dinamik modellerle ilikili olabilmesidir.62

2.8. Simlasyon Deneyinin Tasarm

Simlasyon, gerek bir sistem hakknda bilgi elde etmek iin bir model

aracl ile deneme yaparak, istenilen bilgileri salamay amalar. Bu bakmdan,

deneme yapmak iin istenilen bilgileri salayacak deneyin iyi bir ekilde

tasarlanmas gerekmektedir. Deney tasarm konusu biyoloji, fen bilimleri ve

simlasyon alanlarnda geni uygulama bulmutur.

Deney tasarmnn iki kullanm amac vardr;

Gerekli deneme saysn azaltmak,.

Aratrmacnn renme srecini hzlandrmak.

Deney tasarmyla incelenen sistem hakknda yeterli bilgi elde edilmeyeallr. Tasarm, zme nclk eden bilgiyi salayan gzlem ve analiz srecidir. yi

bir deney tasarm, amaca ilikin olarak yaplacak sentez ve konjonktr iin faydal

delilleri derleme stratejisi salar. Deney tasarm ile yrtlen her bir testin

bilgisayarda nasl yrtlecei ile ilgili olarak ; (1) Balama koullar, (2) rneklem

hacmini drrken ayn zamanda varyans da azaltma unsurlar nem tamaktadr.63

statistiksel olarak kk bir varyansa sahip ve yansz olan bir tahminci iin

aratrma ekibinin her bir deney tasarmnda izleyen unsurlarn uygunluunu aka

belirtmesi gerekmektedir :

Her bir simlasyon altrmnn uzunluu,

Bamsz simlasyon altrmlarnn says,

62 NAYLOR Thomas H.,BALINTFY Joseph L.,CHU Kong, BURDICK Donalds, a.g.e., Sayfa 4163 HALA Osman, a.g.e. , Sayfa 6


32/130

32

Simlasyonu koturma sresinin kesin olarak belirtilmesi ve en uygun zaman

diliminin bu ama iin belirlenmesi.64

Bir deney tasarmnn gerekletirilebilmesi iin sistemin gzlemlenmesi ve

ilgili deikenlerin amaca ynelik olarak ynlendirilmesi gerekir. Bir simlasyon

modeli, kontrol edilebilir deikenler ve performans lm arasndaki ilikinin ortaya

koyduu kontrol koullar ve sonular altnda incelenir. Bununla birlikte, deney

tasarmna ilikin olarak karar almaya etki eden birka etmen arasnda; kontrol

edilebilir deikenler iin performans tahmini yapmada gereken bilgisayar kullanm

sresi ve maliyeti, spesifik deikenlerin performans lmlerinin duyarll ve

kontrol deikenleri arasndaki bamlln derecesi unsurlar saylabilir.65 Bununla

birlikte, meydana getirilen simlasyon modelinin geerliliinin yaplan testler

sonucunda tatmin edici bir dzeyde olduu belirlenmi ise, o zaman model asl

simlasyon deneylerinin yrtlmesi iin kullanlabilir.66 .

zellikle, simlasyon analistleri bu amala, karar deikenlerinin yant

deikenleri zerindeki etkilerini lmeyi ve verilen bir karar deikeni yant deikeni

zerinde kayda deer bir etkiye sahipse, bunu tanmlamay isteyebilirler.

statistiksel literatrde, sistemin girdi deikenleri olan karar deikenleri, yapsal

tahminler ve rasgele deikenlerin parametreleri faktrler olarak adlandrlrlar. Faktr

ile ilgili her bir olas deer ise, faktr dzeyi olarak bilinmektedir. Faktr bileimlerinin

zel bir dzeyde ele alnmas ise davran olarak ifade edilir.

Faktrler ayrca nitel ve nicel olarak snflandrlrlar. Nitel faktrlere rnek

olarak kuyruk disiplini verilebilir. Nicel bir faktr ise, saysal bir deer almak kaydylaoluan ; ( rnein ; var oran, paralel servis verenlerin says vb.. ) durumlar ile

rneklendirilebilir.

Buna ilave olarak, deterministik faktrlerin yneticinin kontrol altnda

olduu ve istenilen ekilde amaca ynelik olarak deitirilebilecei sylenebilir.

Bu faktrler karar deikenleri yada politika deikenleri olarak isimlendirilir.

64 LAW Averil M., COMAS Michael G. Mc., Simulation of Manufacturing Systems In Proceeding ofthe 1998 Winter Simulation Conference, MEDEIROS D .J., WATSON E .F., CARSON J .F.,MANIVANNAN M. S., Eds. ,USA, 1998, Sayfa 5165 EMSHOFF James R., SISSON Roger L., a.g.e., Sayfa 5766 NAYLOR Thomas H., BALINTFY Joseph L.,CHU Kong, BURDICK Donalds, a.g.e., Sayfa 40


33/130

33

Dier faktrler ise, yneticiler tarafndan kontrol edilemeyen ancak ve

sadece analist tarafndan simlasyon altrmlar srasnda mdahale edilebilen

faktrler olarak bilinir. Buna rnek olarak; rasgele var yapan mteriler iin

var oran yada talep oran verilebilir.

Sonu itibariyle, bu aamadan sonra model (What if) ne olursa ne olur

eklindeki sorular cevaplandrmak amac ile kullanlabilir. Ayrca, deney yapan

aratrmaclara, eitli girdi parametrelerinin performans lmleri zerindeki etkilerini

deerlendirmeleri iin olanak salanmaktadr.67

2.9. Simlasyon Deneme Saysnn Belirlenmesi

Simlasyonu bilgisayar ortamna aktarmadan nce verilecek en nemli

kararlardan biri rneklem hacminin belirlenmesidir. Fakat simlasyon altrlncaya

kadar rnek hacminin ( deneme says ) kesin olarak bilinememesi gerekli bilginin

yeterli dzeyde olmamasndan kaynaklanmaktadr. Bu nedenle baz varsaymlarn

yaplmas gereklidir. Simlasyon ynteminde zellikle, ortalama ve standart sapma

gibi iki parametre bulunmaktadr. Dolaysyla, bu parametreler yardmyla denemesays hesaplanabilir.

2.9.1. Ortalama ile Deneme Saysnn Belirlenmesi

Yeterince byk bir rnek hacmi seildiini ve rnekleme ortalamalarnn

normal daldn varsayalm. (n) rnek hacmini, Zx/2 ile 1- /2 arasnda olan ve gven

dzeyi 1 olan normal sapmay, (d) anaktle ortalamas ile rneklem ortalamas

arasndaki fark gstermek zere, rnek hacmi ( deneme says ) ;

2

2

2/ )(

d

Zn x= (2.9)

forml ile hesaplanr.

Yukarda verilen formln kullanlabilmesi iin standart sapmann bilinmesi

gereklidir. Eer standart sapma bilinmiyorsa ;

67 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 500


34/130

34

1

)( 2

=

n

xx

S

n

i ; forml yardmyla hesaplanabilir. (2.10)

2.9.2. Standart Sapma ile Deneme Saysnn Belirlenmesi

rneklem hacmi, ana ktlenin varyans duyarll ve gven dzeyi ile

bulunabilir. Genel yaklam )1( n serbestlik derecesi ve normallii varsayarak,

2 dalmolan ;

Burada 2s rneklem varyansn, 2 anaktle varyansn, n gzlem saysn

gstermektedir.

2

22 )1(

sn = (2.11)

bantsndan rnek hacminin belirlenmesidir.

Bununla beraber, byk rnek hacimlerinin normal dalma sahip olduu

gerekesiyle rnek hacmi iin;

)1(

)1(22/

=

n

ndZ bants yazlr ve buradan, (2.12)

1)(

)(22

22/

2/ +

=d

ZZ

a

; haline dntrlebilir. (2.13)

Buradaki, drnek varyans ile gerek varyans arasndaki fark ifade etmektedir.

Ayrca, simlasyon sonular kullanlarak gvenlik snr saptanabilir. Bunun

iin her bir denemeden sonra ortalama deer hesaplanarak aadaki ekilde ifade


35/130

35

edilecei zere bir limite doru gidilir. En yksek ve en dk noktalar aras

mesafe, bir deere eit veya ondan kk olduu zaman simlasyon durdurulur.68

ekil 2.9 Stokastik Limit

OrtalamaDeer

Deneme Says

2.10. Simlasyon Dilleri

Bilgisayar kodunun karmak bir simlasyon modeli iin yazlmas genellikle

zor ve ok aba isteyen bir itir. Bu nedenle, bir takm zel amaca ilikinsimlasyon dilleri programlamay kolaylatrmak amac ile gelitirilmitir.

Ayrca, ou simlasyon dili, iki tr modelle yaklamndan birinin uygulanmasnda

kullanlr. Bunlar; olay programlama ve sre etkileimidir.69

Bununla birlikte, simlasyon dillerinin neden faydal olduuna ilikin olarak iki

ana sebep sz konusudur. Bunlardan ilki, simlasyonun kurulma srecinde, kesin

olan ilerin bir araya getirilerek gruplandrlmasdr.

kincisi ise, simlasyonlarn yaps iindeki yaygn kesin zelliklerdir. Bu

anlamda, temel tipteki bir yapya uygunluk salanmas asndan diller,

formlasyonu olduka kolaylatrmakta ve simlasyonu hataszlatrmaktadr.70

Sz konusu simlasyon dilleri, ana balklar halinde srekli ve kesikli

olarak izleyen ekilde snflandrlabilir.

68 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 354 - 355 - 35669 WINSTON WAYNE L., a.g.e. , Sayfa 115370 MITCHEL G.H., Operational Research Techniques and Examples , The English Universities PressLtd., London, 1972, Sayfa 215


36/130

36

Srekli simlasyon dilleri Kesikli simlasyon dilleri

* DYNAMO Srece Ynelik * GASP Olay Sralamal

* SLAM Olay Sralamal * GPSS Srece Ynelik

* SIMSCRIPT II .5 Olay Sralamal

* SIMAN Srece Ynelik.

ekil 2.10 Amerikadaki Belirli Simlasyon Paketlerinin Tarihsel Geliimi

Q -GERT GASP

GASP IV

SLAM

SIMAN SLAM II

SIMAN &CINEMA

SLAMPC

TESS MAP/1

SIMSCRIPT

SIMSCRIPT II SIMSCRIPT II. 5

PCSIMSCRIPT II. 5

SIMFACTORY

PC

SIMSCRIPT II.5 +SIMANIMATION

ARENA


37/130

37

Yukardaki ekilde, simlasyon dillerine ilikin paket programlarn geliim

evreleri ana hatlaryla ifade edilmektedir.71

Simlasyon paket programlarnn kullanlmas baz avantajlarda

salamaktadr. Bunlar izleyen ekilde ifade edilebilir.

Programlama ilerinin azaltlmas,

Kavramsal yardm salama,

Model deitirilirken esneklii arttrma,

Daha az programlama hatas,

Otomatik olarak veri toplama.

Bununla birlikte, herhangi bir simlasyon paket programnn temel amacnn,

kurulan yapsal model ile uygulama iin oluturulan model arasndaki an

kapatlmas olduu sylenebilir.72

2.10.1 GPSS

Srece ynelik en eski dil GPSS olarak bilinmektedir. Bu dil, ilk olarak

1960 larn banda gelitirilmi olup, yllar boyu yava yava karmak modellerin

kurulmasna ilikin gereksinimleri de karlayacak ekilde gelitirilmitir.73

Genel amal sistemler simlatr ( General purpose systems simulator ) olarak

bilinen GPSS, simlasyonu otomatik olarak ortaya koymak iin deimez bir grupprosedr belirlerken, sistemlerin geni bir snf zerinde uygulanabilir.

GPSS in model kurmak iin kullanlmasnda, analist ilk olarak dilin

temelinden gelen drt unsurla ilgilenmelidir. Bunlar ; ilemler, frsatlar, depolamalar ve

bloklardr.

71 CARRIE Allan, Simulation of Manufacturing Systems , John Wiley and Sons Ltd., Great Britain,

1988, Sayfa 9972 SHANNON E. Robert, Introduction to the Art and Science of Simulation In Proceeding of the 1998Winter Simulation Conference, MEDEIROS D.J., WATSON E.F., CARSON J.F., MANIVANNANM.S.,Eds.,USA,1998, Sayfa 1173 TAHA Hamdy A., a.g.e.,Sayfa 699


38/130

38

GPSS, GASP simlasyon diline tezat bir yapda ve zel amaca ilikin

bir dil olarak da yaplandrlabilir. IBM tarafndan gelitirilen GPSS, ayrca

allm anlamda herhangi bir program yazmay gerektirmeyen bir yap arz eder.

Bunlarla birlikte nemli bir hususta, simlasyon motorunun seimidir.

Simlasyon motorunun seiminde belirleyici olarak ifade edilen birka zellik vardr.

Bunlar ; motor iin kullanlacak olan dilin, bilgisayar yazlm zerinde genelletirilen

modelin taleplerini kontrol altna alabilecek bir esneklikte olmas ve uygulanma hznn

iyi olmas eklinde belirlenmitir. Bu bakmdan, GPSS in hz ve esneklik iinde

yaplandrlm olmas, onu zel - amaca ilikin simlatrler arasnda nemli klar.74

2.10.2 GASP

Kesikli olay simlasyonunda, bir sisteme ilikin alt sistemler belirli bir

zaman dilimi ierisinde kesikli noktalar eklinde gz nnde tutulur ve bu noktalar

olaylar olarak adlandrlr. Olaylar sistem durumunun nedenini oluturur ve zaman

iinde kesikli noktalarda deiir. Sistem davrannn kopya edilmesi, sistemin olay

srecinde incelenmesi ile gerekleir. Bir simlasyon almas sistem performansnailikin bir sonu karmak iin sistemin davrannn bir kopyasn karma kabiliyetini

kullanr. GASP, bu anlamda analiste etkin bir modelleme yaps ve bir grup

programlama dili kullanm salayarak, analistin ilerini hem abuklatrr hem de

geliim iin destek olur.

Bununla birlikte, sistem faaliyet olaylarna ek olarak kontrol olaylarnn da

tanmlanmas ile simlasyon esneklii arttrlm olunur. Sz konusu bu olaylar zamana

ynelik bir ierie sahip olmakla birlikte, mantk temelinde olduu gibi belirli bir

zamanda modun deimesine izin vermektedir. Bir olayn bu anlamda kt moduna

git eklinde programland dnlrse, bunun anlam talepler yz birimi atnda

simlasyon saatinin de bin saatlik bir yol almas gerektii rnei ile tasvir edilebilir.75

74 CRAIN Robert C., HENRIKSEN James O., Simulation Using GPSS/ H, Proceedings of the 1999Winter Simulation Conference, FARRINGTON P.A., NEMBHARD H.B., STURROCK D.T., EVANSG.W., Eds., Wolverine Software Corporation, USA, 1999, Sayfa 182 -184 -185 -18675 PRITSKER D. Alan. B., KIVIAT P. J., Simlation With Gasp II A Fortran Based SimulationLanguage , Prentice Hall Inc., Engle Wood Cliffs, New Jersey, 1969, Sayfa 6, 8, 16


39/130

39

2.10.3 SIMAN

SIMAN, ( SIMulation Analysis ) simlasyon analizi olarak tanmlanan bir

kavramdan ismini almtr. SIMAN simlasyon dili 1982 ylnda Dennis Pedgen

tarafndan gelitirilmitir. Bu gelime sonucunda mikro bilgisayarlar iin ilk bata

gelen bir simlasyon dili olmas ve imalatta salad zel bir takm yararlar

sebebiyle, alma istasyonlarndan, nakliyatlardan, tamaclardan ve otomatik

rehberletirilmi aralardan kullanm bakmndan abuk bir ekilde kabul

grmtr. Bu dil iinde temsil edilen nemli birka sre sz konusudur.

Bu sreler imalatta olduu gibi uygulamalarda da dilin faydasn

arttrmaktadr. Ayrca, sahne animasyon yazlm olarak bilinen ve Cinema olarak

adlandrlan modl ayrca SIMAN iinde mevcuttur.

SIMANn kt ilemcisi ise farkl yada ayn sistem biimleriyle yaplan

simlasyon koturmalar tarafndan retilen kt verilerini analiz etme, gven

aral tahminleri ve hipotez testleri gibi baz istatistiksel teknikleri kullanabilme

yeteneine sahiptir. Buna ek olarak, histogramlar ve farkl trde grafiksel gsterimleride kullanlabilir.76

Bununla birlikte, SIMAN n hataszlatrclar yada sre ilerleme kontrolleri

ok etkin bir alet salamaktadr. Modelin fonksiyonel yetenekliliinin test edilmesi iin

SIMAN hataszlatrclar yada kontrollerinden yararlanlmas gerekir.77

2.10.4 SIMSCRIPT II.5

SIMSCRIPT bilgisayar simlasyonu iin yaplandrlan ilk programlama

dilleri arasndadr. Rand irketi SIMSCRIPT i 1962de gelitirmi ve bunu takip eden

gelime 1968de SIMSCRIPT IInin amerika hava kuvvetleri iin tasarlanmas

olmutur. SIMSCRIPT II.5 ise, ticari bir versiyon olarak CACI kuruluu tarafndan

76 LAW Averil M., KELTON W. David, a.g.e., Sayfa 248 - 24977 GURU A., SAVORY S., WILLIMAS R., A Web Based Interface For Storing and ExecutingSimulation Models , Proceedings Of The 2000 Winter Simulation Conference, JOINES J .A.,BARTON R.R., KANG K. and Fishwick P.A.Eds ,University of Nebraska,Lincoln,USA,Sayfa 1810-1811


40/130

40

1970lerde pazarlanm ve gelitirilmitir. 1979da ise, Harry Markowitz bir

makalesinde SIMSCRIPT IInin fonksiyonelliinin aamalarn sralamtr.78

Simlasyonun deerli bir ara olduu kantlanmasna ramen, temel

simlasyon modelinin formlasyonu iin bir bilgisayar programnn gelitirilmesi ok

zaman almtr. Neyse ki deneyimlerle, mantksal formlasyon ve asl programlamaya

ilikin ilemler zerinde daha fazla zaman harcanmas gerektii anlalm ve bu durum

bir simlasyon probleminden dierine benzer olarak sk sk yinelenmitir.

Dolaysyla, programlanan bir sistemin problemlere uyarlanmasnda

simlasyon programnn yazlmas nemli bir ihtiya haline gelmitir. te

SIMSCRIPT bu ihtiyaca cevap vermek iin tasarlanmtr. Buna ek olarak,

SIMSCRIPT, simlasyon problemlerinin zm iin gelitirilmi zel amaca ynelik

bir dil olmasnn yannda benzetimi yaplamayan problemlerinde

deerlendirilebilmesine olanak salayan bir dildir.79

SLAM ( Simulation Language For Alternative Modeling )

SLAM Dennis Pedgen ve Alan Pritsker tarafndan 1979 ylnda gelitirilen ayn

zamanda da Alan Prtisker tarafndan tantlan bir simlasyon dilidir. SLAM

(Simulation Language for Alternative Modeling) srece ynelik, olaya ynelik

veya bunlarn bileimine ynelik bir model iin yaplandrlabilen zel amaca

ynelik bir simlasyon dilidir.

Tipik uygulamalarda ou simlasyon modeli sre uyarlamas kullanlarak

gelitirilmektedir. Sre yaklam iin imkansz yada uygunsuz olan karmakkarar mant olay rutini iinde kodlanr ve daha sonra sre modeli olarak arlr.

Sre modelinin oluturulmas sklkla analistin sistem iin grafiksel bir a

diyagram oluturmas ile balar. Bu diyagram belirli sembollerin bir setini ierir ve

bu semboller dmler ve dallar olarak tanmlanr.80

78 RICE Stephen V., Database Access In Simscrript II.5, Proceedings of the 15th IASTED InternationalConference on Modeling And Simulation, The University of Mississippi,USA, 2004, Sayfa 179 MARKOWITZ H.M.,HAUSNER B.,HEWSNER H.,Simscript/A simulation Programming LanguagePrentice Hall Inc., Englewood Cliffs N.J.,California,1963, Sayfa 280 LAW Averil M., KELTON W. David,a.g.e. , Sayfa 258 - 259


41/130

41

2.10.5 MODSIM III

MODSIM III, belirli bir amaca ynelik olan bir genel - amal simlasyon

programlama dilidir. Derlenebilir bir dildir. MODSIM III yap itibariyle nesneleri

dinamik olarak balayc, bilgi saklayc ve veri soyutlayc bir zellik tar.81

Bir MODSIM simlasyon modeli, tek bir simlasyon saatine sahiptir. Bu

saat, tm simlasyon modeli ilemlerini ardk olarak sraya koymaktadr. Sz

konusu saat - 0.0 - itibariyle balayp simlasyon sreci iinde ilerlemektedir.

Ayrca MODSIM III simlasyon dilinin etkin olarak kullanlmas kayda

deer bir zaman kazanm ve risk azaltm salamaktadr.82

81 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L,a.g.e., Sayfa 12882 JOHNSON Glen D., Network Simulation With HLA And Modsim III , Proceedings of the 1999Winter Simulation Conference, FARRINGTON P.A., NEMBHARD H.B., STURROCK D.T., EVANSG.W., Eds., CACI Products Company, USA, 1999, Sayfa 1067 - 1070


42/130

42

BLM 3

RASTSAL SAYILARIN RETLMES VE RASTSAL SAYI RETELERNN

TEST

3.1. Rastsal Saylarn retilmesi

Uygulama blmnde ele alnan kesikli olay sistem simlasyonunun

kullanlabilmesi iin, olaslk dalmlarndan rassal deiken deerlerinin elde

edilmesi ve bunun gereklemesi iin de rassal saylarn retilmesi gereklidir..

Rassal saylar; (1) el ilemleri, (2) tablolar, (3) eitli bilgisayar yntemleri

kullanlarak elde edilir. El ilemleri yntemi yorucu olmas nedeni ile pratik

deildir. Rassal say tablolarndan elde edilen saylarn gerekten rasgele saylar

olduklar dnlr. Ayrca bu iin bilgisayar sreci iinde ok yava ilerledii

sylenebilir. Rasgele saylarn retilmesinde bir dier durumsa szde rasgele saylarn

retmektir. Bu ilem genellikle bir rassal say generatr ile olur. Ancak szde rasgele

saylar dizisi tamamen matematik srelerle elde edildiinden, gerekte tam

rasgele deildirler. Buna bal olarak bu yolla retilen rassal saylarn rasgele olup

olmadklarnn anlalmas iin, bu saylar reten generatrlere istatistiksel uyum

iyilii testlerinin uygulanmas gerekir.

Rassal saylarn retilmesinde birtakm pratik yntemler kullanlabilir. Bu

yntemlerden kare ortas ynteminde saynn karesi alnarak ortadaki basamak rasgele

say olarak kullanlr, )(n deeri ilk saydaki basamak saysdr. Onu izleyen sayda

ise, bir nceki bulunan rasgele say, ilk say olarak ele alnr ve ilemlere devamedilir. Uygunluk ( Congruential ) yntemlerinde ise baz formller kullanlmaktadr.

rnein, arpm uygunluk ynteminde k ve m pozitif tamsaylar olmak zere ve

k m den kk olmak )( mk< art ile; uloXkX nn .(mod.1 =+ )m forml kullanlr.

).( nXk , )(m e blnr ise, rasgele saylar kalan deerlerdir ve bu saylar 1+nX

saysnn nX den retilecei anlamndadr.83

83 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 352 - 353


43/130

43

Rassal saylarn retilebilmesi iin gerekli olan rassal say generatrlerinin

izleyen zellikleri iermesi beklenir ;

1 . retilen rassal saylarn dzgn dalm en iyi ekilde temsil etmesinin salanmas,

2 . Kk (balang says) takip eden tesadfi saylarn tekrar retilebilme imkannn

olmas,

3 . Rassal say reteci hzl olmal,

4 . Mmkn olduunca az kayt yeri igal etmesi gerekir.84

Ayrca rassal saylar; (a) Kesikli rassal deikenlerin deerleri ve (b) Srekli

rassal deikenlerin deerleri ile bunlarn bir kmlatif dalm fonksiyonu altndaki

zellikler dikkate alnarak incelenmektedir.

( a ) Kesikli rasgele deikenler : Xin rasgele bir deiken olduu

dnlsn. Xin olas deerlerinin says sonlu yada saylabilen bir sonsuzlukta

ise X bir kesikli rasgele deiken olarak adlandrlr. Xin olas deerleri burada

.,.........21,xx olarak listelenebilir. Xin olas deerleri xR de xR = { },.....2,1,0 olarak

ifade edilebilir. Bununla birlikte, Xin kesikli bir rasgele deiken olduu dikkate

alndnda, buradan xR iindeki Xin olas deerleri ix ler iin )()( ii xXPxp ==

eitlii bir rasgele deikenin ix deerine eit olma olasln verir. )( ixp saylarnn,

,.......2,1=i olmak zere izleyen iki koulu karlamas gereklidir;

1 . 0)( i

xp tm i ler iin; (3.1)

2 .

=

=1

1)(i

ixp . (3.2)

84 YILMAZ Zekai, a.g.e., Sayfa 211


44/130

44

Burada toplanan iftler olan ))(,( ii xpx , Xi ,.....2,1= in olaslk dalm olmakla

birlikte, )( ixp ise Xin olaslk yn fonksiyonu ( p m f ) olarak bilinir.

( b ) Srekli rasgele deikenler : X rasgele deikeninin dizisi olan Rx belirli

bir aralk yada aralk toplamlaryla ilgili ise, o zaman X bir rasgele srekli deiken

olarak tanmlanr. Srekli rasgele deiken Xin [ ]ba, aralnda yer almasnn

olasl u ekilde tanmlanabilir.

=b

a

dxxfbXap )()( (3.3)

Burada )(xf fonksiyonu X rasgele deikeninin olaslk younluk fonksiyonu

(p d f) olarak tanmlanmaktadr. Olaslk younluk fonksiyonu (pdf) ayrca aadaki

koullar karlamaktadr ;85

xR iindeki tm x ler iin 0)( xf . (3.4)

=xR

dxxf .1)( (3.5)

Eer x , xR iinde yer almyorsa, 0)( =xf . (3.6)

( c ) Kmlatif younluk fonksiyonu : Kmlatif younluk fonksiyonu ( c d f ),

)(xF ile gsterilir ve rasgele deiken X in, x den kk yada ona eit bir deer

alma olasln gsterir.

Bu durum zellikle ;

)()( xXPxF = eklinde gsterilebilir. (3.7)

Eer X bu durumda kesikli ise,

85 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L, a.g.e., Sayfa 186 - 187


45/130

45

=

xxtm

i

i

xpxF )()( (3.8)

Eer X bu durumda srekli ise,

=

x

dxxfxF )()( . (3.9)

Kmlatif younluk fonksiyonu ( c d f )nin baz zellikleri u ekilde ifade edilebilir;

F azalmayan bir fonksiyondur. Eer ba ise, o zaman )()( bFaF dir.

x

lim .1)( =xF (3.10)

xlim .0)(

=xF

(3.11)

Ardk rasgele saylarn, en nemli iki istatistiksel zellii niform ve

bamsz olmalardr. Her iR rasgele says 0 ile 1 arasndaki srekli bir niform

dalmdan bamsz rneklemler ekilerek oluur. Burada olaslk younluk

fonksiyonu u ekilde belirlenir ;86

1 , 10 x

=)(xf (3.12)

0 , Dier Durumlarda.

86 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L, , a.g.e., Sayfa 189 - 289


46/130

46

3.2. Rastsal Say retelerinin Testi

Rassal say retelerinin test edilmesine ilikin olarak testler zelliklerine gre

iki farkl kategoriye ayrlmaktadr. Bunlar niform dalma ilikin testler ve

bamszlk testleri olarak adlandrlr. Sz konusu bu testlerden Kolmogorov - Smirnov

ve Ki Kare testleri niform dalma ilikin testler olmakla birlikte Frekans testi, Run

testi, Otokorelasyon testi, Gap testi ve Poker testi ise bamszlk testleri olarak bilinir.87

Bunlardan niform dalma ilikin olan her iki testte, rassal say reteleri

tarafndan retilen rasgele saylarn rnekleme dalm ile teorik niform dalmlarn

arasndaki uyumun derecesini ler. Ayrca, bu testler rnekleme dalm ile teorik

dalm arasnda kayda deer bir farkllk olmadn ifade eden sfr hipotezi temel

alnarak gelitirilmitir.88 Bu testler izleyen ekilde ele alnabilir;

3.2.1. Ki Kare Uygunluk Testi

Ki kare uygunluk testinin esas, n hacimlik bir rneklemin ana ktleyi iyi

temsil edip edemedii veya hangi blnmeye sahip bir ana ktleden geldii

unsurlarnn incelenmesidir. Bu anlamda, eer gzlenen frekanslarla teorik

frekanslar arasnda az ok bir fark ortaya karsa, ite bu durumda ki kare

uygunluk testi bu farkn rassal sebeplere balanp balanamayacan aratrr. Ki -

kare ( ) uygunluk testinin nasl ilediini ifade etmede izleyen admlar yararl

olacaktr.

Adm : 1

uygunluk testinde ilk adm olarak amaca ilikin hipotezler oluturulmaldr ;

87 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e, Sayfa 29888 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 299


47/130

47

Burada;

0H : rneklem ana ktleyi temsil edebilir.

1H : rneklem ana ktleyi temsil edemez.

hipotezleri yazlabilir.

Adm : 2

Anlamllk dzeyi iin %1 ve %5 dzeylerinden biri, kararn etkilenmemesi

iin ncelikle belirlenir.

Adm : 3

Red blgesi ise, u ekilde tanmlanabilir;

Red blgesi : (Hesaplanan test istatistik deeri) 2hes > 2t ( Tablo deeri).

Adm : 4

2hes istatistiinin blnmesi 2t blnmesine ok yaklat iin, test

istatistii belli bir anlamllk dzeyine ve k - 1 serbestlik derecesine gre mevcut bir

Deerleri Tablosundan bulunan kritik deerler ile karlatrlmaktadr.

( 22 thes )

Test istatistii burada ;

2hes =

=

k

i i

ii

B

BG

1

2)( ( 2.1)


48/130

48

formlne gre hesaplanr. Burada Gi , i. snftaki gzlemlenen frekans, Bi , i. snftaki

beklenen frekans ve k ise snf saysn gstermektedir. Yukarda red blgesi,

(2hes )nn (2t )den byk olduu blge eklinde tanmlanmtr. Bu tanmlamaya

gre 2hes < 2t olduunda H0 hipotezi kabul edilirken,

2hes

2t olduunda ise

reddedilir. H0 hipotezinin kabul edilmesi ise, rneklemden elde edilen frekans

blnmesinin H0 kart hipotezini destekleyici yeterli bir kant saylamayaca,

yani rneklem blnmesinin ana ktle blnmesine uygun olduu ( rneklemin

ana ktleyi temsil edebilecei ) anlamn tar.89

3.2.2 Kolmogorov - Smirnov Uygunluk Testi

Bu test niform dalmn srekli dalm fonksiyonu )(xF ile N adet

gzlem setinden rneklem olarak alnm olan ampirik srekli dalm fonksiyonu

)(xSN i karlatrmaktadr.

Tanm olarak;

xxF =)( , 10 x verilebilir. (2.2)

Ayrca, eer rasgele say reticilerinden alnan rneklem seti ; NRRR ,......,, 21

olarak belirlenir ise, o zaman ampirik srekli dalm fonksiyonu )(xSN u ekilde

tanmlanabilir;

)(xSN =N

xstoplamsayRR )(..,,........., 21 (2.3)

Bununla birlikte, N deeri bydke ( gzlem says arttka ),

)(xSN fonksiyonu, )(xF fonksiyonuna daha iyi bir yaklam ile sfr hipotezinin

doruluunu salayacaktr.

89 SERPER zer, Uygulamal statistik - 2 , Geniletilmi 2. Bask, Filiz Kitabevi, stanbul, 1993,Sayfa 114 - 116 - 117


49/130

49

Kolmogorov Smirnov uygunluk testi, )(xF ve )(xSN fonksiyonlar

arasndaki en byk kesin sapmann, rasgele deikenler dizisi zerinden elde edilmesiile uyarlanan bir testtir. Bu durum bir istatistik zerinden uyarlamal olarak ;

)()(max xSxFD N= (2.4)

eklinde ifade edilir.

Bu ifade edilenlerin nda, niform srekli dalma sahip bir

fonksiyonun test edilmesine ilikin olarak test yntemi u admlar izlemektedir ;

Adm : 1

lk adm sz konusu verilerin kkten bye doru sralanmasdr. Bu

bakmdan, )(iR nin ininci en kk gzlemi belirttii dnlerek ;

Dolaysyla ;

)()2()1( ......... NRRR eklinde sralanabilir. (2.5)

Adm : 2

Bu admda ise aada yer alan eitlikler hesaplanr ;

{ })(1

/max iNi

RNiD =

+ ; (2.6)

{ }NiRD iNi

/)1()(1max =

; (2.7)

Adm : 3

Buradan ise ; ),max( += DDD hesaplanr. (2.8)


50/130

50

Adm : 4

Bu admda ise, anlamllk dzeyi ve verilen N rneklem bykl ileD ,

kritik deeri tablo yardmyla tanmlanr.

Adm : 5

Son adm ise, karar aamas olarak adlandrlr. Eer rneklem istatistiiD ,

D dan daha byk ise, o zaman rneklemin bir niform dalmdan geldii bilgisini

veren sfr hipotezi reddedilir. EerDD

ise, sonu olarak{ })()2()1(

,......,,N

RRR in

doru dalm ile niform dalm arasnda hibir fark olmad anlalr.90

Bunun yannda bamszlk testlerine ilikin tanmlamalar da izleyen ekilde

zetlenebilir ;

1 . Frekans Testi : Bu test, niform bir dalm ile retilen say setinin

dalmn karlatrmak amac ile Kolmogorov Smirnov yada Ki Kare testini

kullanr.

2 . Run Testi : retilen saylarn belirli bir ortalamann aasnda ve

yukarsnda yada altnda ve stnde yer alma durumunun gerek deerler ile

beklenen deerler karlatrlarak test edilmesine ilikindir. Karlatrma iin Ki kare

istatistiinden yararlanlmaktadr.

3 . Otokorelasyon Testi : Saylar arasndaki korelasyonu test ederek,

rneklem korelasyonu ile beklenen korelasyonu karlatrr.

4 . Gap Testi : Arada tekrarlanan belirli rakamlar ortaya karabilmek iin

rakamlarn saysn sayar ve daha sonra Kolmogorov - Smirnov testini kullanarak

boluklarn beklenen byklkleriyle karlatrr.

5 . Poker Testi : Bir poker elindeki gibi saylarn gruplandrld dnlr.

Daha sonra ise, Ki kare testi kullanlarak elden elde edilen ile beklenen durum

90 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e. , Sayfa 299 - 300


51/130

51

karlatrlr.91 Bununla birlikte, niformluun test edilmesinde hipotezler izleyen

ekilde olumaktadr ;

[ ]1,0:0 URH i =

[ ]1,0:1 URH i

Burada bo (sfr) hipotez olan0H hipotezi, [ ]1,0 aral zerinde

saylarn niform olarak daldn ifade eder. Ayrca bamszlk iin test yapmada

ilgili hipotezler u ekildedir ;

=iRH :0 Bamsz ( olarak birbirini etkilemeden dal gsterir.)

iRH :1 Bamsz (olarak birbirini etkilemeden dal gsterir.)

Burada ise0H hipotezi, saylarn bamsz olduklarn ifade etmektedir.

Bunlara ilave olarak, karar alc burada ifade edilen her bir test iin deerini

belirlemektedir. Bu deeri sk sk 0.01 yada 0.05 anlamllk dzeylerinde

belirlenmektedir.92

3.3. Rastsal Deiken Deerlerini Elde Etme Teknikleri

Rassal deiken deerlerinin elde edilmesi, bir simlasyon modeline ilikin olan

dalmdan rassal deiken deerlerinin bulunmas olarak ifade edilebilir. Bu ama

iin Gamma, Poisson, Beta vb., dalmlardan yararlanlabilir. Ayrca bu dalmlar

srekli yada kesikli bir biimde olabilir.

Simlasyon iinde bu dalmlar kullanmann bir avantaj da

parametrelerin deiim aralnn belirlenmesi iin yaplan duyarllk analizlerine

olanak salanmasdr. Bununla birlikte, aratrmac kullanlan verilerin ait olduu

deikenleri modellemek iin uygun bir teorik dalm bulamyorsa, bu durumda belirli

bir takm tekniklerinin kullanmas nemli bir hale gelmektedir.93 Bu amala,

Ters - Dnm teknii ve Kabul - Red teknii rastsal deiken deeri elde etmek

91 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 29792 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 29893 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 223 328


52/130

52

iin kullanlmaktadr. Bu tekniklerin her ikisinin de kkeninde ayn ekilde dalm

olan niform[ ]

1,0 rasgele saylarn ve bamsz birtakm olaylarn kullanm vardr.94

3.3.1 Ters Dnm Teknii

)(xF olaslk younluk fonksiyonundan (srekli yada kesikli) bir x rasgele

rneklemi elde edilecei varsaylsn. Ters dnm yntemi nce, y nin tanmlanm

tm deerleri iin 1)(0 xF olmak zere, { }xyPxF =)( birikimli olaslk

fonksiyonunun kapal bir formunu belirlemektedir.R , niform bir ( )1,0 dalmndan

elde edilen rasgele bir deiken olarak verilmi ise ve 1F de Fin tersi olarak

belirlenmi ise , yntemin admlar aadaki gibi olacaktr ;

Adm 1 . )1,0(R rasgele saysn ret.

Adm 2 . stenen )(1 RFx = deerini hesapla.

ekil 3.3.1, bu yntemi hem srekli hem de kesikli deikenler iin

gstermektedir. Burada dey )(xF eksenindeki niform )1,0(1R rassal say

deerlerinden dik klrsa, bunun fonksiyonu kestii yere karlk gelen yatay

eksen deeri1x deeri olarak belirlenmi olur.

F(x) ekil 3.3.1 F(x)

R 1 1------------------- R 1 1---------------------- -------

-----

-----

0 x1 x 0 x1 x

( a ) x Srekli ( b ) x Kesikli

94 TAHA Hamdy A., a.g.e., Sayfa 674


53/130

53

nerilen bu yntemin geerliliinin ilgili teorem ile gsterildii gibi,

10 z aralnda niform olarak dalm )(xFz = rasgele deikenine dayand

grlmektedir.

Teorem 3.3.1 : x olmak zere, x rasgele deikeninin )(xF birikimli

younluk fonksiyonu verildiinde, 10 x olmak zere )(xFz = rasgele deikeni

aadaki olaslk younluk fonksiyonuna sahip olur :

1)( =xf , 10 x (3.13)

Bu bir niform ( )1,0 dalmdr.

spat Rasgele deiken sadece ve sadece ;

{ } ZZzP = , 10 Z (3.14)

ise niform dalmtr. Bu sonu aadaki eitlikten yararlanlarak dorudan karlr

{ } { } { } [ ] ZZFFZFxPZxFPZzP ====

)()()(

11

(3.15)

Ayrca, { } 10 ZzP olduundan 10 Z dir.95

3.3.2. Kabul Red Teknii

Kabul red teknii, bilinen dalmlarn uymad karmak olaslk younluk

fonksiyonlarn kullanabilmek iin tasarlanmtr. Bu teknikte karmak olaslk

younluk fonksiyonu )(xf i daha analitik olarak kullanabilen bir temsili (p d

f) )(xh ile deitirmektir. )(xh ten alnan rneklemler daha sonra orijinal (p d

f) )(xf teki rneklemleri belirlemede kullanlmaktadr.

)(xg gibi bir steleme fonksiyonu olduu ve bu foksiyonun yetiebildii her

yerde )(xf zerinde baskn bir davran sergiledii varsaylsn.

)()( xfxg ,


54/130

54

olup, bunun ardndan temsili ( p d f ) olan )(h , )(xg in normalizasyonu ile

+

=

dxxg

xgxh

)(

)()( ,


55/130

55

3.3.3. Convolution Teknii

Bu teknik iki yada daha fazla bamsz rassal deikenin olaslk dalmlarnn

istatistiksel olarak toplanmasn ngrr. Bunu ise, istenilen dalma sahip yeni bir

rassal deikeni ortaya karmak amacyla yapar. Bu teknik zellikle erlang, binom ve

normal dalm gibi teorik dalmlar iin kullanlmaktadr.97

Y rassal deikeninin nxxx +++ ......21 ile ayn dalma sahip olduu bir

nxxx +++ ......21 bamsz rassal deikenler dizisinin olduu varsaylsn. Buradan

zellikle Y = nxxx +++ ......21 yazlabilir.98

Herhangi bir Xinin T gibi ve Ynin ise F gibi bir dalm fonksiyonuna sahip

olduu da dnlrse, bu durumda Y rassal deiken deeri izleyen admlar ngrr:

Adm 1. Her birinin dalm fonksiyonu T olan bamsz nxxx +++ ......21 i

elde et.

Adm 2. Y = nxxx +++ ......21 al ve geriye dn.99

3.3.4. Yaklak Normal Rassal Deiken Deeri Oluturma Teknii

Normal bir rasgele sapmann elde edilebilmesine iyi bir yaklam da

merkezi limit teoreminin kullanlmasdr. Burada ifade edilen ayn dalmdan elde

edilecek n adet rasgele deikenin ortalamas ve n in limitte sonsuza gittii

dnldnde, normal dalmn sz konusu olduudur. Dolaysyla, standart sapma

orantsal olarak n/1 e eit olmaktadr. Bylece, eer n adet niform olaslksal

deiken birlikte toplanrsa ve sonuta elde edilen olaslksal deiken ).2/1( n ortalama

97 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 34398 TAHA Hamdy A., a.g.e., Sayfa 67699 LAW Averil M., KELTON W. David, a.g.e., Sayfa 490


56/130

56

ve 12/n standart sapma ile normal dalma yaklar. Pratikte, n deerinin en az 10

olmas uygulama asndan kolaylk salar.100

Normal dalmn bir deikenin aklanmasna ynelik olarak kullanlmas

iin ortalamann ve standart sapmann bir ekilde belirlenmesi gerekir. Eer buna ilikin

olan simlasyon problemindeki x deikeninin srekli ve normal dald dnlrse

x deikeni aadaki eitlikten hesaplanabilir ; ),( 2NX .

=

+=n

i

xix nrn

x1

2/1)2/(

)()12( (3.18)

Bu eitlikte ;

x dalmn standart sapmasn,

x dalmn ortalamasn,

n ampirik gzlem saysn ifade eder.101

Normal dalmn (pdf) olaslk younluk fonksiyonu ise ;

[ ]2/)((2/1exp2

1)(

= xxf ,


57/130

57

Birikimli olaslk younluk fonksiyonu (cdf) ise ;

[ ] ./)((2/1exp2

1)()( 2 dxxxXPxF

x

==

(3.20)

eitlii ile ifade edilmektedir.

ekil 3.4.3 Normal Dalmn Olaslk Younluk Fonksiyonu

)(xf

Yukardaki ekil Xin ortalama ve 2 varyans ile normal daldn gsteren

X in normal olaslk younluk fonksiyonudur.102

102 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 209


58/130

58

3.4. Rastsal Saylarn Dalmlar iin Rastsal Say reteleri ile retilmesi

a ) Srekli Dalmlardan rastsal say retme

niform dalm

Eksponansiyel (stel) dalm

Gamma dalm

Erlang dalm

Weibull dalm

Beta dalm

b ) Kesikli dalmlardan rastsal say retme

Poisson dalm

Geometrik dalm

Bernoulli dalm

Binom dalm


59/130

59

3.4.1. Srekli dalmlardan rastsal say retilmesi

Srekli bir dalmdan rassal say retilebilmesi iin rassal say retecinin bu

dalm iin elde edilmesi gerekir.Ayn durum kesikli dalmlar iinde geerlidir. Bu

amala dalmlara Ters Dnm, Kabul Red, Convolution vb., teknikler de

uygulanmaktadr.

3.4.1.1. niform dalm iin rastsal say retecinin elde edilmesi

Bu dalmda X rasgele deikeni ),( ba aralnda niform olarak

dalmaktadr ve olaslk younluk fonksiyonu u ekilde ifade edilebilir ;

ab

1, bxa

=)(xf (3.18)


Buna bal olarak birikimli olaslk younluk fonksiyonu ise ;

0 , ax

)(xF =ab

ax

, bxa (3.19)

1 , bx

Dalma ilikin ortalama ve varyans formlleri sras ile aada ayrca

verilmitir ;

=)(XE 2

ba +, =)(XV

2

)( 2ab (3.20)


60/130

60

niform dalm, simlasyon iinde ok nemli bir rol oynamaktadr.

Burada rasgele saylar, 0 ve 1 aralnda niform olarak dalarak rasgele olaylarn

retilmesi iin ortalamalar salamaktadr.103

X rasgele deikeninin daha ncede varsayld gibi [ ]ba, aralnda

niform olarak dald kabul edilir ise ;

;).( RabaX += ).1,0(R (3.21)

Bununla birlikte izleyen admlar nifom dalm iin rasgele saylarn

retilmesi amac ile kullanlr.

Adm 1 . lk olarak birikimli olaslk younluk fonksiyonu belirlenir ;

0 , ax

=)(xF ab

ax

, bxa (3.22)

0 , bx >

Adm 2 . Bu admda ise ;

.)/()()( RabaXXF == (3.23)

eitlii yukardaki kestirime bal olarak yazlr.

Adm 3 . Son olarak ise ;

RabaX ).( += (3.24)

eitliinden X, R nin terimlerine bal olarak zmlenir.104

103 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 201 - 202104 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 326


61/130

61

3.4.1.2. Eksponansiyel dalm iin rastsal say retecinin elde edilmesi

Sz konusu dalmda, rasgele X deikeni 0> kouluna bal olarak

eksponansiyel bir dalm gsterir. Bu duruma ilikin olaslk younluk fonksiyonu ise

xe , 0x (3.25)=)(xf


eklinde ifade edilir.

ekil 3.4.2.1

Eksponansiyel younluk fonksiyonu Kmlatif younluk fonksiyonu

f ( x ) F ( x )

1 - - - - - - - - - - - - - - -

0 x 0 x ( a ) (b )

Eksponansiyel younluk fonksiyonu grafiinden de grld gibi x deki

artlara bal olarak fonksiyon deeri )( eksponansiyel olarak azalmaktadr.


62/130

62

Birikimli olaslk younluk fonksiyonu ise ;

kolmogorov-smİrnov uyum İyİlİĞİ testİ

Documents