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Kerstin Herms
3D-GIS I3D-GIS I
Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe
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InhaltInhalt
Simplizes
Simpliziale Komplexe
Einschränkungen und Erweiterungen für 3D-GIS
Topologische Beziehungen
Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS
Literatur
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Simplizes Simplizes (Wh. aus GIS1)(Wh. aus GIS1)
• Ein 0-Simplex0-Simplex ist ein Punkt
aus: Skript zur GIS-I Vorlesung
• Ein 1-Simplex1-Simplex ist eine gerade Kante
• Ein 2-Simplex2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten)
• Ein 3-Simplex3-Simplex ist ein Tetraeder
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Simplizes (Definition)Simplizes (Definition)
Die Punkte P0, ..., Pn heißen affin unabhängigaffin unabhängig, falls die n Vektoren von P0 aus linear unabhängig sind.
Sei P eine Menge von (d+1) affin unabhängigen Punkten. Ein Simplex der Dimension dSimplex der Dimension d ist die konvexe Hülle von P.
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Simplizes (Aufbau)Simplizes (Aufbau)• Simplizes bestehen selber aus Simplizes einer
niedrigeren Dimension (sog. „face“ Simplizes).
• Im n-dimensionalen Raum hat ein n-Simplex
„face“-Simplizes der Dimension d.
11
dn
Zur Erinnerung:
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11
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Beispiel:
Ein 3-Simplex im 3-dimensionalen Raum besteht aus:
41013
Knoten
61113
Kanten
41213
Dreiecken
11313
Tetraeder
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Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe
aus: Hecht5
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Simpliziale Komplexe Simpliziale Komplexe (Definition)(Definition)
(1) Der Schnitt zweier beteiligter Simplizes ist entweder leer oder ein „face“-Simplex beider Simplizes.
(2) Mit jedem Simplex sind auch alle seine „face“-Simplizes definiert.
(D.h. alle „face“-Simplizes sind wieder Teil des Simplizialen Komplex.)
Ein simplizialer Komplexsimplizialer Komplex ist ein endlicher Satz von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:
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Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe(Beispiele)(Beispiele)
Simplizialer Komplex keinkein Simplizialer Komplex
aus: Hecht5
nicht alle „face“-Simplizes sind definiert
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Simpliziale KomplexeSimpliziale Komplexe(Gegenbeispiel)(Gegenbeispiel)
der Schnitt ist nicht leer, aber selber auchkein „face“-Simplex
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Simpliziale Komplexe Simpliziale Komplexe (Dimension)(Dimension)
Die Dimension dDimension d eines Simplizialen Komplexes ist gleich der maximalen Dimension der Simplizes, aus denen der Simpliziale Komplex zusammengesetzt ist.
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Simpliziale Komplexe Simpliziale Komplexe (Dimension)(Dimension)
Dimension 2
Dimension 3
aus: Hecht5
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Simpliziale d-Komplexe Simpliziale d-Komplexe (Einschränkung)(Einschränkung)
Vereinfachung:
d-dimensionale Komplexe, die nur aus d-dimensionalen Simplizes bestehen
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Simpliziale 3-Komplexe Simpliziale 3-Komplexe (Tetraedernetze)(Tetraedernetze)
aus: Hecht5
Entfernen aller Simplizes der Dimension 0, 1 und 2, die nicht „face“-Simplex eines Tetraeders sind
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Darstellung als UML-DiagrammDarstellung als UML-Diagramm0-Komplex
Punkt-objekt
1
2-Komplex
Flächen-objekt
1-Komplex
Linien-objekt
1 1
2-Simplex
Dreieck
1-Simplex
Kante
0-Simplex
Knoten
3-Simplex
Tetraeder
1..* 1..* 1..*
0..2 0..* 0..*
4 3 2
geändert nach: Lenk6
3-Komplex
Raum-objekt
1..*
1
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Erweiterung der Erweiterung der Simplizialen KomplexeSimplizialen Komplexe
3D-Darstellungen benötigen räumliche Information
Umsetzung:
• Speichern von Topologie und Geometrie
e-Komplexe-Komplex (e = extended)
• Definition von NachbarschaftenNachbarschaften
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NachbarschaftenNachbarschaftenEin d-Simplex mit Nachbarschaftd-Simplex mit Nachbarschaft (d > 1) besteht aus einem Simplex der Dimension d und maximal d+1 adjazenten Simplizes der Dimension d.
(Nach dieser Definition müssen keine Nachbarschaften existieren!)
2-Simplex
adjazenter 2-Simplex
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Nachbarschaften in 3DNachbarschaften in 3D
aus: Breunig3
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Topologische BeziehungenTopologische Beziehungen
Anwendung: Ausdruck räumlicher Relationen
Konsistenzprüfung von digitalisierten, interpolierten oder editierten räumlichen Daten (z.B. Schnittfreiheit von Tetraedern)
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4-Schnitt-Modell4-Schnitt-Modell(Wh. aus GIS1)(Wh. aus GIS1)
X Y X° Y° X Y° X° Y Operation X disjunkt Y
not X trifft Ynot not X gleicht Y not not X innerhalb Y
not not not Y überdeckt X
not not Y innerhalb Xnot not not X überdeckt Y
not not not not X überlappt Y
6 grundlegende Beziehungen
aus: Skript zur GIS-I Vorlesung
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Topologie für Topologie für Simpliziale 2-KomplexeSimpliziale 2-Komplexe
aus: Breunig1
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Weitere topolog. BeziehungenWeitere topolog. Beziehungen
Für 3D-GIS reicht es nicht aus, nur Objekte gleicher Dimension zu betrachten
Darstellung von Lagebeziehungen von Objekten verschiedener Dimension
(z.B. Punktlage bzgl. Linie, Dreieck oder Tetraeder)
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Weitere topolog. BeziehungenWeitere topolog. Beziehungen(Beispiele)(Beispiele)
aus: Breunig2
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Anwendungsmöglichkeiten Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GISin 3D-GIS
Frage: Wozu sind Simpliziale Komplexe geeignet?
Betrachtung zweier Beispiele:
Geologie (Modellierung von Bodenschichten)
Stadtmodelle
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3D-Modellierung von 3D-Modellierung von BodenschichtenBodenschichten
Vorteile der Verwendung von simplizialen Komplexen:• Darstellung von Punkten, Linien, Flächen und Volumina
• Simplizes bestehen aus der einfachsten Geometrie
wenig Fallunterscheidungen bei einem geometrischen Algorithmus
• auch unregelmäßig verteilte Messpunkte werden erfasst
Geologische Anwendungen erfordern eine Verwaltung von Volumina
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3D-Modellierung von 3D-Modellierung von BodenschichtenBodenschichten
Was ist zu Modellieren?
Querschnitte (sections)
Schichtgrenzen (stratigraphic boundaries)
Störungen / Verwerfungen (faults)(durch tektonische Deformation)
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Beispiel: Niederrheinische BuchtBeispiel: Niederrheinische BuchtArbeit des SFB 370 der Uni Bonn
aus: Breunig2
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Ablauf der ModellierungAblauf der ModellierungGegeben: digitalisierte Punktdaten aus Messungen
1. Linien aus Punktdaten generieren
2. Flächen aus Linien generieren
3. Volumen aus Flächen generieren
aus: Breunig2
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Oberfläche einer Bodenschicht
aus: Breunig2
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StadtmodelleStadtmodelleBeispiel: „Bauklötzchen-Modell“
Darstellung von Häuserblöcken mit Simplizialen Komplexen
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Zerlegung von BlöckenZerlegung von Blöcken mindestens 5 Tetraeder benötigt
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ZerlegungsmöglichkeitenZerlegungsmöglichkeiten Darstellung nicht eindeutig
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FazitFazit
Simpliziale Komplexe sind für Geologische Modelle gutgut geeignet
Simpliziale Komplexe sind für Stadtmodelle weniger gutweniger gut geeignet
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LiteraturLiteratur1. Breunig, M.: Komponentenbasierte 3D/4D-Geoinformationssysteme für
Anwendungen in der Geologie, Habil. Thesis.
2. Breunig, M.: Integration of Spatial Information for Geo-Information Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 61. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996.
3. Breunig, M.: On the Way to Component-Based 3D/4D Geoinformation Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 94. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001.
4. Cremers, A.B.; Bode, T.; Breunig, M.; Floeren, J. and S. Shumilov: Object Oriented 3D/4D Geo Information System (GIS). Bonn, 2000. Abrufbar unter: http://www.geo.informatik.uni-bonn.de/index_en.html
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Literatur (Fortsetzung)Literatur (Fortsetzung)5. Hecht, S.: Konzeption und Implementierung topologischer 3D-
Beziehungen in einem GeoToolKit. Bonn, 1999. Abrufbar unter: http://www.geo.informatik.uni-bonn.de/publications/1999/dipl-hecht
6. Lenk, U. und C. Heipke: Neue Untersuchungen zur Integrationvon DGM und DSM mittels Triangulationen zur Berechnung integrierter 2.5D-Landschaftsmodelle. Abrufbar unter: http://www.ipi.uni-hannover.de/html/publikationen/2002/paper/ aga01_mit_bildern.pdf
7. Skript zur GIS1-Vorlesung. Abrufbar unter: http://www.ikg.uni-bonn.de/Lehre/Geoinfo
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