kelompok 3_tipe dan karakteristik ring

5/24/2018 Kelompok 3_tipe Dan Karakteristik Ring

1/8

TIPE-TIPE DAN KARAKTERISTIK RING

Makalah ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Struktur Aljabar 2

Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, MPd

Disusun oleh:

Kelompok !"#A$

Khamami Puspa%anti &'('$$'((')(*

+ungki Praita K &'''$$'(('22*

-esti .unitasari &'''$$'(('$2*

/r%za Set%aningsih &'''$$'(('01*

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENGETAHUAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2014

'


2/8

TIPE-TIPE RING DAN KARAKTERISTIK RING

Misalkan R suatu himpunan %ang tidak kosong, operasioperasi 3 dan

didefinisikan padaR, maka &R, 3* disebut ring, apabila:

i &R, 3* suatu grup abelian

ii &R, * suatu semigrup

iii 4ersifat distributif operasi terhadap 3 baik kiri maupun kanan

A. Tipe-tipe Rin

1. Rin !en"n E#e$en Ke%"t&"n

5ika &R, 3, * suatu ring dan jika ada sedemikian hingga

Maka disebut elemen kesatuan dan selanjutn%a &R, 3, * disebut ring dengan elemen

kesatuan Dalam ring adan%a elemen identitas terhadap penjumlahan &elemen nol*

adalah suatu keharusan, tetapi untuk elemen identitas terhadap perkalian &elemen

identitas* tidak harus dimiliki oleh suatu ring

2. Rin K'$&t"ti(

5ika &R, 3, * suatu ring dan mempun%ai sifat komutatif terhadap perkalian, %aitu

, ,a b R ab ba =

maka &R, 3, * disebut ring komutatif &ring abelian* Perlu diingatkan bah6a sifat

komutatif penjumlahan merupakan keharusan dalam suatu ring, sedangkan sifat

komutatif perkalian tidak harus dimiliki oleh suatu ring

). Rin Pe$*"i"n +division ring/skew field,

7ing dengan elemen kesatuan dan setiap elemen %ang bukan nol memiliki in8ers

terhadap perkalian

4. Rin Me!"n +#"p"n"n(ie#!,

7ing komutatif dengan elemen kesatuan dan setiap elemen %ang bukan elemen nol

mempun%ai in8ers terhadap perkalian

2


3/8

. /'nt' Rin

1. , %aitu himpunan semua bilangan bulat modulo 9 Merupakan

suatu ring Periksalah apakah suatu medan

5a6ab :

39 ( ' 2 ! $ 0 #

( ( ' 2 ! $ 0 #

' ' 2 ! $ 0 # (

2 2 ! $ 0 # ( '

! ! $ 0 # ( ' 2

$ $ 0 # ' 2 ! $

0 0 # ' 2 ! $ 0

# # ( ' 2 ! $ 0

9( ' 2 ! $ 0 #

( ( ( ( ( ( ( (

' ( ' 2 ! $ 0 #

2 ( 2 $ # ' ! 0

! ( ! # 2 0 ' $

$ ( $ ' 0 2 # !

0 ( 0 ! ' # $ 2

# ( # 0 $ ! 2 '

i Sifat komutatif perkalian

Akan ditunjukan sifat komutatif dari ring tersebut

Ambil sebarang nilai dari misal $ dan 0 elemen

$0 ; #

0$ ; #

Sehingga $0 ; 0$ ; #

Karena ring tersebut memenuhi sifat komutatif maka ring

adalah ring komutatif atau ring abelian

ii 7ing dengan elemen kesatuan

!


4/8

Dari tabel a%le% diatas dapat dilihat bah6a mempun%ai elemen kesatuan

iii Memiliki in8ers dari setiap elemen terhadap perkalian

Karena memenuhi i, ii,iii maka adalah suatu medan

/. K""tei%ti %&"t& Rin

De(ini%i ).13

Karakteristik suatu ring R adalah bilangan bulat positif terkeil n &jika ada*,

sedemikian hingga (na = , untuk setiap a dalam R Apabila bilangan bulat positif

tersebut tidak ada, maka dikatakan karakteristik dari ringRadalah nol atau tak berhingga

Te'e$" :

5ika 7 adalah ring dengan elemen satuan ' maka 7 pun%a karakteristik jika han%a

jika merupakan bilangan positif terkeil sehingga

&ti 3

Diketahui:Rring dengan elemen satuan '

(Kekanan)

R mempun%ai karakteristik (n> akan dibuktikan n bilangan bulat positif terkeil

sehingga ' (n = R mempun%ai karakteristik n berarti n adalah bilangan bulat positif terkeil sehingga

(n a = untuk , dan ' maka ' (a R R n =

(Kekiri)

n merupakan bilangan bulat positif terkeil sehingga ' (n =

Akan dibuktikan n karakteristik dariRdan (n>

(n > &diketahui*

Ambil sebarang a R maka:

$


5/8

&definisi *

&' ' '* &distributif < ' *

& '* &definisi '*

( &diketah

n a a a a a n a

a R

a n n

a

= + + + +

= + + +

=

= ui ' (*

( &sifat sederhana*

n =

=

Karena n bilangan bulat positif terkeil sehingga berlaku (a R n a = maka n

merupakan karakteristik dariR.

/'nt'3

i. 4 ; =(,',2,!,$,0,#> adalah suatu ring dengan penjumlahan modulo 9 dan

perkalian modulo 9 ?lemen identitas terhadap penjumlahan modulo 9 adalah

( @ntuk setiap , Misaln%a 90 ; !0 ( &mod 9*, 9$ ; 2) (

&mod 9* dan sebagain%a Dan tidak ada bilangan bulat positif sehingga

n a ; (

5adi, ring b mempun%ai karakteristik 9

ii -impunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan

real masingmasing terhadap penjumlahan dan perkalian dalam aritmetika

merupakan ring %ang mempun%ai karakteristik nol atau tak berhingga

iii Misalkan M ; =a,b,,d> adalah suatu ring /perasi penjumlahan pada M

didefinisikan seperti pada tabel di ba6ah ini

3 a b d

a d a b

b d b a

a b d

d b a d

Memperhatikan tabel di atas, elemen identitas terhadap penjumlahan & elemen

nol * dari M adalah Karena maka ring

M mempun%ai karakteristik 2

0


6/8

LATIHAN

Se#e%"i"n S'"# *ei&t

1. Apabila S ; =a,b,,d> dan %aitu himpunan dari semua himpunan bagian dari

S Didefinisikan operasioperasi penjumlahan dan perkalian pada 7 sebagai berikut:

@ntuk setiap dan

Maka 7 merupakan suatu ring Tunjukanlah bah6a 7 adalah ring komutatif dengan

elemen satuan

2 7 ; =a,b,,d,e,f,g,h> adalah suatu ring /perasi penjumlahan pada 7 didefinisikan

seperti pada tabel di ba6ah ini:

3 a b d e f g h

a a b d e f g h

b b a d f e h g

d e f g h a b

d d f e h g b a

e e f g h a b d

f f e h g b a d

g g h a b d e f

h h g b a d f e

i Tentukanlah elemen identitas terhadap enjumlahan dari 7

ii Tentukanlah in8ers terhadap penjumlahan dari setiap elemen 7

iii Tentukanlah karakteristik 7

#


7/8

KUN/I A5AAN

1. Karena untuk setiap

5adi 7 suatu ring komutatif

7 mempun%ai elemen satuan %aitu S, sebab dan

untuk setiap

2 Dari tabel 1# dapat disimpulkan bah6a

i ?lemen identitas terhadap penjumlahan dalam 7 adalah a

ii n8ers terhadap penjumlahan dari a, %aitu Ba ; a,

n8ers elemenelemen lainn%a adalah Bb ; b, ; g, d ; h, e ; e, f ; f,

g ; dan Bh ; d

iii a 3 a ; a b 3 b ; b

3 3 3 ; a d 3 d 3 d 3 d ; a

e 3 e ; a f 3 f ; a

g 3 g 3 g 3 g ; a h 3 h 3 h 3 h ; a

5adi karakteristik dari 7 adalah $

9


8/8

DAFTAR PUSTAKA

Cilbert, 5imm% 2((( Element of Modern Algebra @ni8ersit% of South arolina

Spartanburg: 4rooks"ole

Sukirman 2((#Aljabar Abstrak Lanjut .og%akarta: -anggar Kreator

Sukirman'1)9Pengantar Aljabar Modern..og%akarta

)

kelompok 3_tipe dan karakteristik ring

Documents