2

Sadraj:1.Uvod .....3

2.K- tablice i oznake.........................................................................4

3.K -mape sa dvije varijable..............................................................7

4.K -mape sa tri varijable..................................................................8

5.K-mape sa etiri varijble................................................................11

6.Pravila izrade K-mapa pomocu mintermi......................................14

7.Zakljucak........................................................................................15

8.Literatura.......................................................................................16

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

3

1.UvodU narednom tekstu razmotriemo Boolove izraze i njihovu vezu sa digitalnom elektronikom. Minimizacija logikih digitalnih simbola pomae u smanjenju fizikih komponenata. Sa manje komponenata digitalni sklop radi bre. Smanjenje boolovih izraza je mogue ostvariti s pomou boolovih identiteta. Taj nain moe biti vrlo sloen jer nema pravila kako i kada koristiti koje identitete i nema predodreenih koraka koje treba slijediti. Tada minimiziranje Boolovih izraza postaje slino matematikom dokazu. Znate da ste na pravom putu, a postupak je iscrpan i moe oduzeti mnogo vremena. U narednom tekstu je predstavljen sastavni pristup za minimiziranje Boolovih izraza.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

4

2. Karnoove tablice i oznake Karnoove tablice (Karnaugh maps) ili K-mape su grafiki nain za prikaz Boolovih funkcija. K-mapa je jednostavna tablica koja se koristi za minimizaciju Boolovih izraza za razliite ulazne vrijednosti. Stupci i retci odgovaraju moguim vrijednostima ulaza, a svaka elija tablice predstavlja izlaznu vrijednost odgovarajuih ulaznih vrijednosti. Ako rjeenje prikaemo u obliku zbroja umnoaka, to zovemo minterma. Na primjer, ako se radi o dvije ulazne vrijednosti postoje etiri minterme:

, koje predstavljaju sve mogue kombinacije ulaza. Ako su ulazne varijable

x,

y

i

z

,

tada

postoji

osam

mintermi:

Na primjer razmotrimo Boolovu funkciju vrijednosti ulaza su prikazane u tabeli 1. Minterma tome, minterma predstavlja(1,1). predstavlja(0,1), minterma

. Mogue predstavlja ulazni par(0,0). Slino predstavlja(1,0) i minterma

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

5

K-mapa je tablica sa elijama za svaku mintermu, to znai da postoji elija za svaku liniju tablice.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

6

Funkciju F(x,y) moemo prikazati kao logiku funkciju ILI(OR) za sve minterme koje imaju vrijednost 1. Tada se F(x,y) moe predstaviti kao . Ovaj izraz nije

minimiziran. Ve znamo da taj izraz treba biti x+y . Moemo ga minimizirati koritenjem Boolovih identiteta.

Kako smo mogli znati da treba dodati x+y u izrazu? Algebarska pojednostavljenja mogu biti vrlo zagonetna. Zato nam mogu pomoi K-mape.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

7

3. K-mape za dvije varijable U prethodnoj redukciji funkcije F(x,y), cilj je bio grupisati izraze kako bi mogli izluiti varijable. Dodali smo x+y izraz kako bi dobili oblik koji se moe kombinovati sa nam je omoguilo da izluimo y, nakon ega ostaju . To

, to se redukuje na 1 . Kako

god, koritenjem K-mapa neemo morati brinuti koje izraze treba dodati ili koje Boolove identitete treba koristiti. K-mape brinu o tome za nas. Pogledajmo ponovo u primjer 2, K-mape za funkciju . Da bismo minimizirali Boolovu funkciju koristei ovu K-mapu (sl. 2), jednostavno treba grupisati jedinice. Grupisanje je slino pri minimiziranju primjenom Boolovih identiteta. Pri tome treba primijeniti odreena pravila. Prvo, grupiemo samo jedinice. Drugo, treba grupisati jedinice u K-mapi ako su jedinice u istom redu ili u istoj koloni, ali ne mogu biti na dijagonali. Tree, moemo grupisati jedinice ako je broj grupiranih jedinica potencija broja 2. etvrto, potrebno je ostvariti to veu moguu grupu. Peto, sve jedinice moraju biti u grupi, ak i ako su neke u grupi sa po jednom jedinicom. Razmotrimo neka pravilna i nepravilna grupisanja, kako je prikazano na slici 3.

Slika 3. Pravilna i nepravilna grupisanja pri minimiziranju Boolovih izraza K-mapama.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

8

Da bismo pojednostavili boolove izraze primjenom K-mapi, prvo treba stvoriti grupe kako je navedeno u gore predstavljenim pravilima. Nakon to pronadjete sve grupe, razmotrite svaku grupu i odbacite varijable koje se mijenjaju unutar grupe. Na primjer, na slici 3.d.b je prikazano pravilno grupisanje za funkciju F(x,y)=x+y . Ponimo sa grupom prikazanom u drugom redu, gdje je x=1 . Dvije minterme su Ovi izrazi se razlikuju po y varijabli,

te se y varijbla moe odbaciti, nakon ega ostaje samo x . Druga grupa je predstavljena mintermama . Ovi izrazi se razlikuju po x varijabli, te se x varijbla moe

odbaciti, nakon ega ostaje samo y . Kada se primjeni logika funkcija ILI na rezultate ovih grupa dobija se x+y kao rezultat minimizacije. Primijetite da bismo dobili iste vrijednosti kada bi koristili Boolove identitete. K-mape nam omoguuju automatsko odbacivanje odgovarajuih varijabli.

4. K-mape za tri varijable K-mape se mogu primijeniti na izraze sa vie od dvije varijable. U ovom poglavlju pokazat emo primjenu sa tri varijable. Iz prethodnog poglavlja je poznato kako se K-mape primjenjuju za funkcije sa dvije varijable. Istu ideju emo proiriti na K-mapu sa tri varijable, prikazanu na slici 4.

Prva razlika koju ete primijetiti je da su varijable x i y grupirane zajedno u tablici. Druga je razlika u nizu brojeva dodijeljenih stupcima. Prebrojavanje kolona nije sekvencijalno, prema prirodnoj binarnoj progresiji. Oznaili smo ih sa 00,01,11,10 . Ulazne vrijednosti za K-mapeDragan Todorovi Karnoove tablice

9

moraju biti poredane tako da se svaka minterma razlikuje samo u jednoj varijabli u odnosu na susjedne minterme. Koristei ovaj red (na primjer, nakon 01 slijedi 11) odgovarajuih mintermi se razlikuju samo u varijabli y. Zapamtite, da biste redukovali, potrebno je odbaciti varijablu koja se mijenja unutar grupe. Najvee grupe koje se nalaze u primjerima sa dvije varijable su sastavljene od dvije jedinice. Mogue je imati grupe od etiri ili ak osam jedinica, ovisno o funkciji. Pogledajmo nekoliko primjera minimizacije logikih funkcija za izraze sa tri varijable.

Ponovo slijedimo pravila za grupiranje. Mogue je napraviti grupe sa dvije jedinice na nekoliko naina. Kako god, pravila navode kako bi grupe trebale biti to je moge vee sa brojem lanova potencije broja 2. Postoji jedna grupa od etiri jedinice, grupiramou skladu tome.

Nije potrebno stvarati dvije grupe po dva. to manje grupa imate manje ete imati izraza. Zapamtite, elimo pojednostaviti izraz i sve to moramo uiniti je osigurati da je svaka jedinica u nekoj od grupa. Kako pojednostaviti izraz kada imamo etiri jedinice u grupi? Dvije jedinice u grupi omoguuju odbacivanje jedne varijable. etiri jedinice u grupi omoguuju nam odbacivanje dvije varijable: one dvije varijable kod kojih se sve etiri kombinacije razlikuju. U grupi od etiri iz prethodnog primjera, imamo slijedee minterme:Dragan Todorovi

. SveKarnoove tablice

10

imaju zajedniku varijablu z , a razlikuju se varijable x i y. U skladu tome, odbacujemo varijable x i y , pri emu F(x,y,z)=z ostaje kao konani rezultat minimizacije. Da bismo vidjeli kako se isti rezultat dobije primjenom Boolovih identiteta, razmotrit emo istu funkciju.

Rezultat je isti bilo da koristimo Boolove identitete ili K-mape. Od sluaja do sluaja grupiranje moe biti vie ili manje uoljivo. Pogledajmo jedan sloeniji primjer.

Prva grupa u prvom retku K-mape se reducira na imaju lanovi prve grupe. Druga grupa se reducira na funkcijaDragan Todorovi

. To je jedini zajedniki izraz koji

. Dakle, konani rezultat minimizacije je

.Karnoove tablice

11

Najvea grupa jedinica koju moemo nai je grupa od 8 jedinica, koja sadri sve elije mape. Kako se to pojednostavljuje? Slijedimo ista pravila kao do sada. Prisjetimo se da se grupom od dvije jedinice moe eliminisati jedna varijabla, grupom od etiri jedinice se mogu eliminisati dvije varijable, a grupom od osam varijabli se mogu eliminisati sve tri varijable. Ako eliminiemo sve varijable koja imamo onda preostaje F(x,y,z)=1 . Ako razmotrite tablicu vrijednosti ove funkcije, vidi se da imamo ispravno pojednostavljenje.

5. K-mape za etiri varijable Sada proirujemo na etiri varijable. etiri varijable nam daju esnaest mintermi, kako je prikazano na slici 10. Primijetite kako se slijed 11 nakon kojeg slijedi 10 pojavljuje u recima kao i u kolonama. Primjer 6 predstavlja pojednostavljenje funkcije sa etiri varijable. Samo nas zanimaju izrazi koji rezultiraju sa jedinicama.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

12

Slijedei primjer e nam pokazati kako je ponekad birati u koju e se grupu jedinica svrstati.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

13

6. Pravila izrade K-mapa pomou mintermi 1) Grupe mogu sadravati samo jedinice, a ne nule. 2) Grupiu se susjedna polja jedinica, pri emu dijagonalno grupisanje nije dozvoljeno. 3) Broj jedinica u grupi mora biti potencija broja 2. 4) Grupe trebaju biti to je mogue vee, a da se pri tome zadovoljena sva ostala pravila. 5) Sve jedinice trebaju pripadati grupi, ak i ako se radi o grupi sa jednom jedinicom. 6) Preklapanje grupa je dozvoljeno. 7) Omotavanje grupa je dozvoljeno. 8) Iskoristite to je mogue manji broj grupa.Dragan Todorovi Karnoove tablice

14

7. ZaljucakKarnoove tablice predstavljaju tablini metod minimizacije logikih funkcija.Koriste se za funkcije do 6 promenljivih, ali najpraktinije su za 3 i 4 promjenljive.Za vee brojeve promenljivih postaju nepregledne i previe sloene.Kolone i vrste mape se oznaavaju kombinacijama vrednosti promenljivih.Ako je n broj promjenljivih, mapa se sastoji od 2 na n-ti kvadrata.Ako je irina (odnosno visina) mape n kvadrata, po irini (odnosno visini) se zadaju vrednosti za log2n promenljivih.Oznake kolona odnosno vrsta (kombinacije vrednosti pormenljivih) su poredjane tako da ine Grejov kod.Karnoove tablice se popunjavaju iz kombinacionih tabela.Svakom decimalnom indeksu odgovara po jedno polje Karnoovoj tablici.

Dragan Todorovi

Karnoove tablice

15

8.Literatura 1. Osnovi raunarstva , Danilo Obradovi, Univerzitet u Novom Sadu,2000

2. Vikipedia.org

Dragan Todorovi

Karnoove tablice