Matematički fakultet u Beogradu

Seminarski rad:

Tema: IZOMETRIJE

student: Antonijević Slavica

Broj indeksa:124/87

Aksiome podudarnosti omogućuju da u geometriji prostora En

(n=1,2,3) definišemo naročitu klasu transformacija tog prostora koja imaju veoma široku primenu. To su izometrije, tj. izometrijske transformacije, odnosno geometrijska kretanja prostora En.

Izometrije ravniInteresuje nas ravan. Ako je zadata ravan i svakoj tački A transformacijom dodelimo A’, pri čemu ako su dve tačke različite i slike su različite, i svaka tačka ima sliku i svaka slika je slika neke tačke, tada je ta transformacija bijekcija. Dakle, ako A nije jednako B, onda ni A’ nije jednako B’, to je bijekcija ravni na sebe.

Izometrije su neke transformacije koje svakom paru tačaka (A, B) dodeljuju podudaran par tačaka (A’, B’). To je transformacija koja čuva rastojanje. Postavlja se pitanje da li takve transformacije postoje?

Ako posmatramo ravan i transformaciju I: AA koja preslikava tačku A u tačku A koja pripada ravni Ovakvo preslikavanje I zovemo identičnost i to jeste izometrija.

k k’

r r’

O O’

Postoje dve vrste izometrija ravni. To su direktne koje ne menjaju i indirektne koje menjaju orjentaciju ravni. Da bismo ustanovili da li je neka izometrija ravni direktna ili indirektna dovoljno je

2

ustanoviti da li su dve odgovarajuće trojke nekolinearnih tačaka ravni, u toj izometriji, istosmerne ili suprotnosmerne. Neposredno se dokazuje da je kompozicija dveju direktnih ili dveju indirektnih izometrija, direktna izometrija, a kompozicija direktne i indirektne izometrije indirektna izometrija.Neka je nekom izometrijom J, J(A)=A i J(B)=B. Tačke A i B su invarijantne tačke. Invarijantne znači nepokretne u nekoj transformaciji. [ta je slika tačke C u izometriji J?

B k1

C C’

A k

Konstruišemo krug k(A,AC). Slika od C je na k. Odredimo k1(B,BC). Slika C pripada i k1. Znači može biti J(C)=C ili J(C)=C’. AB je medijatrisa duži CC’. Ako je J(C)=C kako znamo da je J identičnost?

AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’ tj. (A,B,C)=(A’,B’,C’)

A PB’ P’

B C

3

A

B

A

B

A

B

C’

Koliko je izometrija slika A,B,C na A’,B’,C’? Samo jedna. Uzmemo P proizvoljno. Odredimo krugove k1(A,AP), k2(B,BP) i k3(C,CP). Njihove slike se seku u P’. [ta ako uzmemo Q? Opet isto, uz pomoć krugova dobijamo Q’. Pokazali smo da ako imamo slike triju tačaka, nekolinearnih, imamo jedinstvenu izometriju. Za J(C)=C J je dakle identičnost.Sada se vratimo na prethodno. Dobili smo za J(C)=C’ osnu refleksiju. Za proizvoljnu tačku X lako određujemo sliku. Ako je tačka P na na pravoj AB, J(P)=P. Znači osna refleksija je izometrija ravni u kojoj je svaka tačka prave AB invarijantna.

Neposredno zaključujemo da osna refleksija van prave AB nema invarijantnih tačaka. Dakle, osna refleksija ravni je jednoznačno određena svojom osom, ili pak jednim parom odgovarajućih neistovetnih tačaka.

Refleksija slika trougao i njemu suprotno orjentisan trougao. Dokažimo najpre tvrđenje da je kompozicija dveju izometrijskih transformacija takođe izometrijska transformacija. Nama su I1 i I2

bilo koje dve izometrijske ravni. Ako su X i Y proizvoljne tačke ravni, tačke X1 i Y1 su tačke koje u izometriji I1 odgovaraju tačkama X i Y, a tačke koje u izometriji I2 odgovaraju tačkama X1 i Y1, tada u kompoziciji I2oI1 tačkama X i Y odgovaraju tačke X2 i Y2. Pri tome je (X,Y)=(X1,Y1) i (X1,Y1)=(X2,Y2), pa je (X,Y)=(X2,Y2). Stoga kompozicija I2oI2 predstavlja takođe izometrijsku transformaciju.

Sp(C)=C’, Sp(C’)=C(ako bi bilo Sp(C’)=C’ Sp bi bila identičnost!)

SpoSp=I tj. Sp2=I.

Ovakvo preslikavanje je involucija. Involucija (od latinskog izdanak, pupoljak) je svaka identična transformacija kojoj kvadrat predstavlja identičnost. Pokazujemo da je osna refleksija involucija: Obeležimo sa X proizvoljnu tačku ravni i sa X’ i X’’ tačke takve da je Sp(X)=X’ i Sp(X’)=X’’. Ako tačka X pripada pravoj p, tada je X=X’ i X’=X’’, pa je X=X’’. Ako tačka X ne pripada pravoj p, tada je X=X’ i X’=X’’, pa je osa p osne refleksije Sp medijatrisa svake od duži XX’ i X’X’’, pa je X=X’’, čime smo dokazali da je Sp involucija.

Možemo dokazati i sledeću teoremu: Neka je Sp refleksija. Neka je zadata izometrija I: A,B,CA’,B’,C’ i J: A’,B’,C’A,B,C.

JI: A,B,CA,B,C pa je JoI=I

4

Ovu izometriju J zovemo inverznom izometrijom. Ona je jedinstvena za zadato I, odakle zaključujemo Sp

-1=Sp. J drugačije obeležavamo sa I-1.

Dakle, inverzna osnoj refleksiji je ponovo osna refleksija. Ovo je prvo mesto gde se učenici sreću sa preslikavanjem.

[ta je kompozicija preslikavanja JoSpoJ-1?

A J P

p Xq Q

J(p)=q, tačka X pripada pravoj q

JoSpoJ-1(X)=? Neka je J-1(X)=A, Sp(A)=A’ i J(A)=X pa je JoSpoJ-

1(X)=X. Kako je X proizvoljna tačka prave q, znači da je svaka tačka prave q invarijantna. Osna refleksija Sp je indirektna transformacija, pa je JoSpoJ-1 indirektan i nije identičnost (čuva orjentaciju). Dakle JoSpoJ-1 je refleksija Sq.

Za sada smo ustanovili da možemo definisati izometriju, lako smo konstantovali da identičnost jeste izometrija i da postoji refleksija. Refleksija je svaka neidentična izometrija ravni u kojoj je svaka tačka invarijantna.

Dalje, neka je neko J, J(A)=A. [ta će biti slika tačke B, tj. J(B)? Gde se nalazi B’. Na krugu AB.

B X’

5

X Y

A B’

p q

Da li postoji refleksija da se BB’? Postoji osa koja se dobija u preseku dva podudarna kruga BA i B’A.

SpoJ(A)=A SpoJ=I J=Sp

SpoJ(B)=B’ SpoJ=Sq J=Sp/2oJq

[ta je slika tačke X?

Neka je Sq(X)=X’ i Sp(X’)=Y biće: SpoSq(X)=Sp(X’)=Y. Ovu izometriju nazivamo rotacija oko tačke A za ugao. Ugao je jednak dvostrukom uglu između pravih p i q. To je direktna izometrija. Postavlja se pitanje možemo li izabrati prave p i q proizvoljno, ali tako da zaklapaju isti ugao i prolaze kroz A? Odgovor je da. Na primer, neka su prave p’ i q’ takve da sadrže tačku A i orjentisani ugao

RA,SpoSq = Sp’oSq’

SpoSqoSq’ = Sp

Y

X

6

X’

Y’

A k

Proizvod dve izometrijske transformacije je takođe izometrijska transformacija. Neka su date tačke A i X. Rotacijom se tačka X slika u tačku X’ koja pripada krugu k (A,AX). Gde će biti slika tačke Y tj. Y’? Nalaziće se na krugu AY. Naime, konstruisaćemo krug sa centrom u tački X’, poluprečnika X’Y’ = XY. Dakle, to je krug k1

(X’,XY). Koja od dveju presečnih tačaka krugova k i k1 je tražena tačka Y’? Kako je rotacija direktna izometrijska transformacija, to će biti ona tačka gde je trougao AXY istosmeran trouglu AX’Y’.

Do sada znamo za tri izometrije:

1) identičnost - to je direktna izometrijska transformacija gde su sve tačke invarijantne.2) refleksija - indirektna izometrijska transformacija koja ima dve invarijantne tačke.3) rotacija - direktna izometrijska transformacija koja ima samo jednu invarijantnu tačku.Dakle, poznate su nam izometrije koje imaju jednu, dve ili kod kojih su sve tačke invarijantne. [ta ako izometrija J nema invarijantnih tačaka? Pretpostavimo da kako god da izaberemo tačku A slika tačke A u izometriji J je A’ i A’=A

7

A A’ J: AA’

q p q’

Postoji medijatrisa AA’ i neka je to prava p. [ta je SpoJ?a) Ako je SpoJ=I tada će J biti refleksija Sp što je nemoguće.b) Da li je SpoJ=Sq proizvod refleksija. Može biti refleksija J=SpoSq.

Dakle, prvo Sq pa Sp, ali takve da se prave p i q ne seku (ako bi se prave p i q sekle ta tačka bi bila invarijantna što nije moguće).

Prava q sadrži tačku A i prave p i q su međusobno paralelne. Neka je tačka X na pravoj q, J(X) = SpoSq(X) = Y. Duž XY biće podudarna duži AB i istosmerna. Ova izometrija se naziva translacija. Translacija je direktna izometrijska transformacija.

c) Neka je IpoI = RO, neka rotacija. Onda je I=SpoRO, indirektna transformacija bez invarijantnih tačaka (jer smo pretpostavili da I nema invarijantnih tačaka).

Može li se dogoditi da središte O bude na pravoj p? Ne, jer bi onda tačka O bila invarijantna. Dakle, tačka O ne pripada pravoj p.

r p

/2 O

8

q

Kroz tačku O postavljamo pravu q koja je normalna na pravu p i pravu r takvu da je ugao između pravih q i r jednak /2. [ta je izometrija SpoSqoSr.

J=SpoSqoSr = (SpoSq)oSr = SsoSr

Rotacija SpoSq gde je p=q i svaku tačku X slika u tačku Y gde je S središte duži XY, naziva se centralna simetrija ravni i obeležava se sa Ss. Sada biramo prave a i b takve da je prava b paralelna pravoj r i prava a normalna na pravu r. Proizvod SsoSr će biti klizajuća refleksija. Klizajuća refleksija je takođe indirektna izometrijska transformacija.

Značaj refleksija se ogleda u tome što se svaka izometrija ravni može izraziti kao kompozicija konačnog broja refleksija. Postoji teorema koja kaže da se svaka izometrija ravni može predstaviti kao kompozicija najviše tri osnih refleksija. Iz ovog tvrđenja sledi da se svaka direktna izometrija J ravni može predstaviti kao kompozisija dveju osnih refleksija: J=SbSa.

- ako se ose a i b seku u tački O, J je rotacija ravni Ro,, gde je dvostruki orjentisani ugao između a i b.

- ako su a i b međusobno upravne, J je centralna simetrija ravni, tj. So.

- ako su a i b upravne na pravu s u tačkama A i B i Sb(A)=C, J je translacija ravni IAC.

Ako je J indirektna izometrija ravni ona će biti ili osna refleksija ili kompozicija triju osnih refleksija J=SsSbSa. Ako su prave a i b upravne na pravu s u tačkama A i B, J je klizajuća refleksija ravni GAC.

Primer: Ako su date tačke A i B i prava p, odrediti na pravoj p tačku X takvu da je AX+BX najmanje.

Rešenje: X je tražena tačka. Za bilo koju tačku X na pravoj p biće AY+YB’>AB’ iz trougla AYB AY+YB>AX+XB.

A

B X

9

Y

B’

Pojam grupe: Kod izometrija možemo doći do pojma grupa transformacijama definisanim sa:a) ako je I u skupu određene izometrije onda je i I-1 u tom istom

skupu.b) za svako I,J koje pripadaju skupu i IoJ je u tom istom skupu.Neka je zadat kvadrat (slika na sledećoj strani). Tačka O je središte kvadrata. Ako je J izometrija kvadrata na sebe, koliko takvih izometrija postoje? U izometriji J uočavamo da je tačka O invarijantna (jednako je udaljena od A,B,C,D i svi krugovi se seku u njoj).

B A

O

B’ A’

Neka se izometrijom J trougao OAB slika u trougao OA’B’. Dakle, ivicu AB slikamo na ivicu A’B’. Kako imamo četiri ivice, time je određeno osam izometrija. To su identičnost, četiri refleksije i tri rotacije. Da li je ovo onda grupa, tj. proizvod refleksija i rotacija da li pripada grupi?Ako su J1 i J2 dve od tih izometrija J2oJ1 isto slika kvadrat na sebe i J-1

1 isto slika kvadrat na sebe. Dakle, jeste grupa. Njen red je osam.

10

Neka je dat ravan pravilan n-tougao (sve ivice i svi uglovi su podudarni). Svaki pravilan poligon ima središte (mnogougao se može razložiti na trouglove). Red grupe tog poligona je 2n. Ova grupa ima podgrupu indeksa 2 (ima red n). To je grupa rotacija R.Ako je R rotacija i J slika n-tougla na sebe, onda je i JoRoJ-1 takođe rotacija.

O

S A

Znači, R invarijantna podgrupa grupa svih izometrija koje slikaju N-tougao na samog sebe. Međutim, skup svih indirektnih izometrija grupe poligona nije podgrupa.

Izometrije prostoraUstanovićemo najpre direktne i indirektne transformacije prostora. Da bismo definisali te dve vrste izometrija neophodno je pomenuti tvrđenje prema kome svaka izometrijska transformacija prostora prevodi istosmerne tetraedre u istosmerne tetraedre, a suprotnosmerne tetraedre u suprotnosmerne tetraedre. Iz ovog tvrđenja sledi postojanje direktnih, koje ne menjaju orjentaciju prostora, i indirektnih izometrija, koje menjaju orjentaciju prostora. Da bismo ustanovili da li je neka izometrija prostora direktna ili indirektna, dovoljno je ustanoviti da li neke dve odgovarajuće četvorke nekoplanarnih tačaka određuju istosmerne ili suprotnosmerne tetraedre.Identična transformacija prostora predstavlja direktnu izometrijsku transformaciju. Direktna (indirektna) izometrija prostora jednoznačno je određena ako su zadata tri para odgovarajućih nekolinearnih tačaka. Direktna izometrija prostora

11

sa tri nekolinearne invarijantne tačke uvek predstavlja identičnost. Kao i kod izometrija ravni i ovde važi tvrđenje da je kompozicija sastavljena od dveju direktnih ili dveju indirektnih izometrija prostora uvek predstavlja direktnu transformaciju tog prostora, a kompozicija sastavljena od jedne direktne i jedne indirektne izometrijske transformacije prostora uvek predstavlja indirektnu izometrijsku transformaciju.Osnovu daljeg razmatranja predstavljaće neidentične izometrije prostora koje poseduju po tri nekolinearne invarijantne tačke, i prema tome još jednu ravan kojoj su sve tačke invarijantne. Tako definišemo: ravanska refleksija ili ravanska simetrija prostora sa osnovom je neidentična izometrijska transformacija S, kojoj je svaka tačka ravni invarijantna. Ravanska refleksija van ravni nema invarijantnih tačaka i jednoznačno je određena svojom osnovom ili jednim parom odgovarajućih neistovetnih tačaka. Ravanska refleksija S prostora je indirektna izometrijska transformacija. Ona je takođe i involuciona transformacija.Neka su Si S dve ravanske refleksije euklidskog prostora kojima se osnove iseku u nekoj pravoj s. Osnim obrtanjem ili osnom rotacijom prostora oko prave s za ugao nazivamo transformaciju Rs,određenu Rs,=SoS, s je osa, a orjentisani ugao je jadnak dvostruko orjentisanim uglom između ravni i . Kako je kompozicija dve indirektna, osna rotacija predstavlja direktnu izometriju prostora. Osne rotacije prostora, u opštem slučaju, nisu involucione transformacije.One su involucione samo u specijalnom slučaju kada su im uglovi rotacije opruženi. Takve osne rotacije nazivamo osnim refleksijama. Dakle, osnom refleksijom Ss prostora nazivamo kompoziciju dveju ravanskih refleksija S i S kojima se osnove i seku po pravoj s pod pravim uglom, tj. ravni i su međusobno normalne. Pravu s nazivamo osom osne refleksije. Osne refleksije je direktna izometrija kojoj su invarijantne jedino tačke ose s. U osnoj refleksiji Ss prostora invarijantna je svaka ravan koja sadrži osu s, kao i svaka ravan koja je upravna na osi s.Dalje, kompoziciju sastavljenu iz jedne osne rotacije Rs, i jedne ravanske refleksije S prostora, pri čemu je s normalno na nazivamo osnorotacionom ili samo rotacionom refleksijom prostora i obeležavamo sa Rs. Imamo da je:

Rs,= SoRs, = Rs,oS

12

Ravan nazivamo osnovom, pravu s osom, tačku O=s središtem ili centrom, a orjentisani ugao uglom osnorotacione refleksije R

s,. To je indirektna izometrijska transformacija prostora i poseduje samo jednu invarijantnu tačku, to je tačka O= s. Ako ugao nije opružen, ona poseduje jedinstvenu invarijantnu pravu, to je prava s i jedinstvenu invarijantnu ravan - to je osnova . U opštem slučaju nije involuciona transformacija; ona je involuciona jedino u slučaju kada je ugao rotacije opružen; tada je zovemo centralnom refleksijom prostora.Centralna refleksija SO prostora je kompozicija jedne osne refleksije Ss i jedne ravanske refleksije S, pri čemu je s upravno na u tački O. Tačku O nazivamo centrom ili središtem centralne refleksije. Definišimo još neke izometrijske transformacije prostora. Kompozicija dve ravanske refleksije Si S kojima su osnove i upravne na nekoj pravoj s u dvema različitim tačkama A i B i S(A)=A’ nazivamo translacijom prostora po pravoj s za orjentisanu duž PP’ i obeležavamo PP’. PP’=SoS. Translacija prostora, dakle, predstavlja direktnu izometriju i nema invarijantnih tačaka.Klizajućim ili translatornom refleksijom G;PP’ prostora nazivamo kompoziciju sastavljenu iz translacije PP’i ravanske refleksije S kojoj osnova sadrži pravu PP’. GPP’ = SoPP’ = PP’oSRavan nazivamo osnovom, orjentisanu pravu PP’ osom, a orjentisanu duž PP’ translacionom duži klizajuće refleksije. Klizajuća refleksija predstavlja indirektnu izometriju i nema invarijantnih tačaka.Zavojnim ili helikoidalnim kretanjem ZPP’, prostora nazivamo kompoziciju sastavljenu iz translacije i osne rotacije tog prostora tj. ZPP’; = RPP’,oPP’ = PP’oRPP’,. Orjentisanu pravu PP’ nazivamo osom, orjentisanu duž PP’ translacionom duži, a orjentisani ugao uglom zavojnog kretanja. Specijalno, ako je ugao opružen, zavojno kretanje nazivamo zavojnim poluobrtanjem. Ova transformacija predstavlja direktnu izometriju.Koje izometrije ostavljaju invarijantnim kocku?Centar O je invarijantna tačka. Skup svih izometrija je grupa reda 2x24=48. Ima 24 ugla kao što je ugao ABC. Možemo posmatrati tetraedar OSTA. Ovih tetraedara ima 48 (za svaku pljosan po 8). Imamo 24 direktnih i 24 indirektnih izometrija.

T’

13

O D C

S

A BT

Direktne su rotacije, jer je tačka O invarijantna. Postoje tri prave koje sadrže središta naspramnih pljosni. Imamo devet rotacija koje ostavljaju invarijantnim te prave (OS), jednu identičnost, šest rotacija sa osom t (spajaju središta kao OT), osam rotacija oko pravih koje spajaju temena naspramnih pljosni (kao OA). Indirektne su: šest refleksija u odnosu na OAT (isto OSA), tri refleksije tipa OTS, šest rotacionih refleksija u odnosu na OS, osam rotacionih refleksija tipa OA i jedna centralna simetrija. Kocka je opisana sa dva broja: pljosni su četvorostrane, a rogljevi trostrani Pravilna tela su tipa:Dualan kocki je oktaedar. Njegov red grupe je 48 i ta grupa je ista kao za kocku.

14

Pomenimo još da je red grupe tetraedra 24. 4x3=12, 12x2=24, i za dodekaedar 5x12=60, pa je red 2x60=120.

15

Literatura:

1) Zoran Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet, Beograd, 1994.

2) Dr Dragomir Lopandić, Geometrija, Naučna knjiga, Beograd, 1981.

3) Dr Slaviša Prešić i Dr Branka Alimpić, Matematika, Naučna knjiga, Beograd, 1982.

16