INVESTIGACIONNombre: Nuria Narváez.

CARACTERISTICAS DE LOS TRIÁNGULOS

Rectas Notables

Altura Medianas Mediatrices Bisectrices

-Altura: Recta perpendicular que parte del vértice hacia el lado opuesto. Forma ángulo recto con el lado opuesto al vértice desde donde se traza.

-Las medianas de un triángulo son las rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

-Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados en sus puntos medios.

-Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.

Perímetro del triangulo

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus tres lados.

Área del triangulo

El área del triángulo es igual a base por altura partido por 2, la altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto ( o su prolongación).

Formula:

Ejemplo:

La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área del triángulo conociendo sus tres lados.

Formula General.

Ejemplo:

Hallar el  área del triángulo  cuyos lados miden 3, 4 y 5

cm.

Teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos.

Este teorema, enunciado por el matemático griego Pitágoras en el siglo V a.C., es uno de los resultados más conocidos e importantes de la geometría y posee gran cantidad de aplicaciones tanto en distintas partes de las matemáticas como en situaciones de la vida diaria.

El teorema se aplica a los triángulos rectángulos

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Si llamamos "a" a la hipotenusa de un triángulo rectángulo y "b", "c" a los catetos   ⇒   a2=b2+c2

A los grupos de tres números "a", "b" y "c" que verifican a2=b2+c2 se les llama "ternas pitagóricas"

El teorema de Pitágoras es sencillo de probar, y tiene muchas demostraciones de diversos tipos, pero la más sencilla puede ser la siguiente:

Mira las dos figuras siguientes:

Ambas son dos cuadrados de lado (b+c), y en las dos puedes ver que aparecen cuatro triángulos rectángulos de lados "a", "b" y "c", en color rosa todos ellos.

Eso quiere decir, que las partes restantes en cada uno de los cuadrados de lado (b+c) deben tener el mismo área.

=

Teorema del Angulo de 30°

Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30°, entonces el cateto opuesto al angulo de 30° mide la mitad de la hipotenusa.

CUADRILATEROS (PARALELOGRAMOS, CUADRADOS, ROMBOS Y TRAPECIOS)

Características fundamentales

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º.Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados.

- Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos.

- Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades:

- Los lados opuestos tienen la misma longitud.

-Los ángulos opuestos son iguales.

- Las diagonales se cortan en su punto medio.

- Los trapecios son cuadriláteros que tienen sólo dos lados opuestos paralelos.

- Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos.

Perímetro y Área

Perímetro (P) y Área (A) del PARALELOGRAMO

P = a + b + c + d     

y    como   a = c  y    b = d     ,    entonces   P = 2 . a + 2 . b                   

A = base . altura  

y   como   base  = b   y   altura = e    ,   entonces                                      A = b . e

Perímetro (P) y     Área (A) del CUADRADO

P = a + b + c + d     

y    como   a = b = c = d     ,    entonces                        P = 4 . a           

A = base . altura  

y   como   base  = b   y   altura = a   y  además     a = b    ,   entonces      A = a2

Perímetro (P) y Área (A) del ROMBO

P = a + b + c + d     

y    como   a = b = c = d     ,    entonces                   P = 4 . a               

A  =  A(triáng. ABD)  +  A(triáng.   BDC)

donde       A(triáng. ABD)  =  A(triáng.   BDC)

luego         A  = 2 . A(triáng. ABD)

y  como     A(triáng. ABD) = (base . altura) : 2   =     ( f . ½ e ) : 2

entonces  A  =  2 . ( f . ½ e ) : 2 = 2 . ( f . ½ e ) : 2  =  ( f . ½ e)  =  (f . e) : 2

Finalmente como f y e son las diagonales del rombo,  

comúnmente llamadas diagonal menor (d) y diagonal mayor (D):                   A = (d . D) : 2

Perímetro (P) y Área (A) del TRAPECIO

P = a + b + c + d

y como los lados son todos diferentes, 

salvo en el trapecio isósceles 

tenemos:                                            P = a + b + c + d

 A = A(triáng.DAE) + A(triáng.BCF) + A(rectáng.ABFE)  

donde

A(triáng.DAE) =  (base . altura) : 2 = ( m . e) : 2 =  ( m . f) : 2     (porque   e =  f)

A(triáng.BCF)  =  (base . altura) : 2 = ( q . f) : 2

A(rect.ABFE)   =    base . altura       =   p . f

entonces       A = ( m . f) : 2 + ( q . f) : 2 + p . f   =

    =  m . f       +       q . f       +     2 . p . f    =  f .   (m     +       q       +     2 . p )   =  =  f . (m     +       q       +       p       +     p )  

                           2                                         2                                            2

Como    m  +   q   +   p  = Base mayor del trapecio (B)

y                                  p  = base menor del trapecio (b) , tenemos que       A  = ( b + B ) . f  :  2

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES

Circunferencia:

Es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de

otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.

Circulo:

Un círculo, en geometría elucídela, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida

RECTAS NOTABLES (RADIO, DIAMETRO, TANGENTE, RECTA, CUERDAS Y ARCO

La Recta Notable o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola

dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de

infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como un sucesión continua e

indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados

conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las

características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de

la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía que ilustraba la

desaparición de la recta al dividirla en puntos. Así, es posible elaborar definiciones basándose

en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las

rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del

tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es

denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta

respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término

independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje

vertical en el plano.

LONGITUD Y AREA DE LA CIRCUNFERENCIA

La  longitud de una circunferencia  es igual a  pi por el

diámetro.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio .

Ejemplo:

1º A part i r del d iámetro

2º A part i r del radio