MECANICA VECTORIAL PARA INGENIERIOS DINAMICABEER, JOHNSTONE

Introduccin al estudio de las vibraciones mecnicasLa razn principal para analizar y diagnosticar el estado de una maquina es determinar las medidas necesarias para corregir la condicin de vibracin - reducir el nivel de las fuerzas vibratorias no deseadas y no necesarias. De manera que, al estudiar los datos, el inters principal deber ser la identificacin de las amplitudes predominantes de la vibracin, la determinacin de las causas, y la correccin del problema que ellas representan.El siguiente material muestra los diferentes causas de vibracin y sus consecuencias, lo cual nos ayudara enormemente para interpretar los datos que podamos obtener , determinado as el tipo de vibracin que se presenta y buscar as la debida correccin de las mismas.Teora general de vibracionesEl anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introduccin expone de forma resumida algunos aspectos tericos de las vibraciones de los sistemas elsticos, que ayudarn a comprender los mtodos de clculo de la accin de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinmicos.El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las mquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin de este efecto dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado desde una posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elstica o gravitacional, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibracin, el nmero de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin.Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposicin y las tcnicas matemticas para su tratamiento estn bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las tcnicas para el anlisis de sistemas no lineales son ms complicadas y no muy conocidas.Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elstico puede tener una vibracin libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin inherentes al mismo. El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribucin de su masa y rigidez.Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibracin forzada. Cuando la excitacin es oscilatoria, ya sea peridica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitacin, si sta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramtica posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el clculo de las frecuencias naturales de vibracin es de gran importancia en el diseo ssmico de estructuras.1.1.- VIBRACIONES MECNICAS DEFINICIONES, CLASIFICACIONES.El estudio de las vibraciones mecnicas tambin llamado, mecnica de las vibraciones, es una rama de la mecnica, o ms generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.Vibracin: es el movimiento de vaivn que ejercen las partculas de un cuerpo debido a una excitacin.Existe una relacin entre el estudio de las vibraciones mecnicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado est estrechamente relacionado con la vibracin mecnica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al # de ciclos por segundo de vibracin.Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer caractersticas potenciales y cinticas. Ntese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee caractersticas energticas cinticas, y el resorte, caractersticas energticas potenciales.Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cintica y el cambio de posicin la parte potencial.Vibracin mecnica: es el movimiento de vaivn de las molculas de su cuerpo o sistema debido a que posee caractersticas energticas cinticas y potenciales.En cualquiera que sea el caso, la excitacin es el suministro de energa. Como ejemplos de excitacin instantnea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgue de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformacin inicial de un sistema masa resorte, etc.Como ejemplo de una excitacin constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibracin por desbalance, el motor de un automvil, un tramo de retenedores es una excitacin constante para el sistema vibratorio de un automvil, etc.Los grados de libertad: son el nmero mnimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemtico de un mecanismo o sistema mecnico. El nmero de grados de libertad coincide con el nmero de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema holnomo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes.Grado de libertad.- es el mnimo nmero de coordenadas requeridas e independientes para determinar completamente la posicin de todas las partes de un sistema en un instante.En mecnica clsica y lagrangiana, la dimensin d del espacio de configuracin es igual a dos veces el nmero de grados de libertad GL, d = 2GL.El nmero de grados de libertad: en ingeniera se refiere al nmero mnimo de nmeros reales que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el nmero de reacciones de una estructura.Frecuencias Naturales de vibraciones: De cualquier estructura fsica se puede hacer un modelo en forma de un nmero de resortes, masas y amortiguadores. Los amortiguadores absorben la energa pero los resortes y las masas no lo hacen. Como lo vimos en la seccin anterior, un resorte y una masa interactan uno con otro, de manera que forman un sistema que hace resonancia a su frecuencia natural caracterstica. Si se le aplica energa a un sistema resorte-masa, el sistema vibrar a su frecuencia natural, y el nivel de las vibraciones depender de la fuerza de la fuente de energa y de la absorcin inherente al sistema. . La frecuencia natural de un sistema resorte-masa no amortiguado se da en la siguiente ecuacin:

Donde Fn = la frecuencia naturalk = la constante del resorte, o rigidezm = la masaDe eso se puede ver que si la rigidez aumenta, la frecuencia natural tambin aumentar, y si la masa aumenta, la frecuencia natural disminuye. Si el sistema tiene absorcin, lo que tienen todos los sistemas fsicos, su frecuencia natural es un poco ms baja y depende de la cantidad de absorcin.Un gran nmero de sistemas resorte-masa-amortiguacin que forman un sistema mecnico se llaman "grados de libertad", y la energa de vibracin que se pone en la mquina, se distribuir entre los grados de libertad en cantidades que dependern de sus frecuencias naturales y de la amortiguacin, as como de la frecuencia de la fuente de energa.Por esta razn, la vibracin no se va a distribuir de manera uniforme en la mquina. Por ejemplo, en una mquina activada por un motor elctrico una fuente mayor de energa de vibracin es el desbalanceo residual del rotor del motor. Esto resultar en una vibracin medible en los rodamientos del motor. Pero si la mquina tiene un grado de libertad con una frecuencia natural cerca de las RPM del rotor, su nivel de vibraciones puede ser muy alto, aunque puede estar ubicado a una gran distancia del motor. Es importante tener este hecho en mente, cuando se hace la evaluacin de la vibracin de una mquina. --la ubicacin del nivel de vibracin mximo no puede estar cerca de la fuente de energa de vibracin. La energa de vibracin frecuentemente se mueve por largas distancias por tuberas, y puede ser destructiva, cuando encuentra una estructura remota con una frecuencia natural cerca de la de su fuente.1.2.- CLASIFICACIN DE LAS VIBRACIONES MECNICAS.Toda mquina en funcionamiento, aunque este muy bien diseada, ajustada y equilibrada, se ve sometida a vibraciones en todos sus elementos.El fenmeno de vibracin no es posible eliminarlo nunca y as lo demuestra la experiencia. Las razones son varias, fundamentalmente podemos decir que hay solicitaciones tanto externas como internas a la mquina, que hacen vibrar a todos sus componentes.El viento es en el aeromotor el agente externo excitador fundamental. Internamente, el alternador (campos magnticos variables) y todas las pequesimas desalineaciones, holguras, excentricidades, etc que tienen todos los componentes mecnicos, son fuentes internas de excitacin para la mquina en conjunto.se produce vibracin cuando a un sistema mecnico se le desplaza de su posicin de equilibrio y se le deja libre, o bien se le somete a una percusin, o bien se le aplica una fuerza variable con el tiempo.En general, podemos definir la vibracion como: todo desplazamiento oscilante con el tiempo de un elemento o sistema, alrededor de su posicin de equilibrio esttico.En el problema de vibraciones intervienen las fuerzas elsticas y las de inercia. El estudio de vibraciones en un aeromotor se hace necesario porque un nivel excesivo o anmalo en las mismas puede conducir a:- alterar las condiciones normales de operacin de la mquina con el perjuicio que ello lleva, de desajustes y holguras entre elementos con prdida de rendimiento y aumento de ruido sonoro. - si la vibracin es muy intensa, pueden producir aflojes de uniones y el fallo estructural o colapso de la mquina.- con vibraciones no muy intensas, puede producirse el fallo con el tiempo de funcionamiento de la mquina, por fatiga de algunos de sus elementos. Las vibraciones se pueden clasificar de varias maneras, segn el concepto a estudiar. Una primera clasificacin puede ser en:

Para un sistema vibrando linealmente rige el principio de superposicin y las tcnicas matemticas son relativamente sencillas y estn bien desarrolladas. Por el contrario las tcnicas para sistemas no lineales son ms complicadas y difciles de aplicar. Los sistemas tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de su oscilacin.Tambin se puede establecer una segunda clasificacin de la siguiente manera:

La vibracin puede ser periodica o aleatoria. La vibracin peridica est caracterizada por su perodo de tiempo muy bien definido, (su inversa es la frecuencia), figura 10. En cambio hay vibraciones que no tienen una forma de onda o perodo repetible caracterstico definido. Estas son las llamadas vibraciones aleatorias o random. Ver figura 1.

Figura 1A su vez, la vibracin peridica puede ser: simple y compuesta. Denominamos vibracin simple cuando en el espectro de la misma en frecuencia aparece nicamente una sola frecuencia. Podemos decir de forma ms coloquial que la vibracin simple, slo esta compuesta por una onda. Ver figura 2. Si aparecen dos o ms frecuencias en el espectro la vibracin es compuesta.

Figura 2Toda vibracin peridica puede ser descompuesta en trminos de vibraciones simples. As pues una vibracin compuesta en general, se puede establecer matemticamente como la suma de finitos o infinitos modos propios, segn la expresin general siguiente (6):6)Donde n puede ser finito o infinito, segn el tipo de onda. Cada sumando ?n(x) tn(t) constituye el modo propio i, el cual a su vez consta de la llamada forma propia ?n (x) y la pulsacin propia tn(t). Como ejemplo en la figura 12 se ve una viga de distribucin uniforme, empotrada en un extremo y libre en el otro, la cual vibra en general con infinitas formasFinalmente las vibraciones pueden ser amortiguadas o no amortiguadas. Como en la realidad todo sistema oscilatorio real est sometido a cierto grado de amortiguamiento debido a la friccin y otros tipos de resistencias internas del propio material, toda vibracin "libre" acabar siendo amortiguada y en el caso de que no fuera amortiguada sera debido a un aporte externo de energa (vibracin "forzada").Un caso muy importante en todo sistema vibratorio es cuando la excitacin exterior fuerza al sistema con una frecuencia exactamente igual a una propia del mismo. Esto se llama resonancia. En este caso el valor del amortiguamiento y de la fuerza excitadora es fundamental en el desarrollo de la vibracin, pudiendo darse el caso de rotura de la estructura del sistema oscilante si el valor relativo del amortiguamiento es muy bajo.En el diseo de una mquina debe tenerse muy en cuenta las posibles resonancias entre los diversos elementos que la componen, para evitar que en el funcionamiento de aquella se presenten acoplamientos destructivos entre sus sistemas oscilantes.Que es vibracin?En su forma ms sencilla, una vibracin se puede considerar como la oscilacin o el movimiento repetitivo de un objeto alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin de equilibrio es la a la que llegar cuando la fuerza que actua sobre l sea cero. Este tipo de vibracin se llama vibracin de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma direccin en cualquier momento.El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describir completamente como una combinacin de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las tres direcciones ortogonales x, y, y z, y rotaciones alrededor de los ejes x, y, y z. Cualquier movimiento complejo que el cuerpo pueda presentar se puede descomponer en una combinacin de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de libertad. Por ejemplo un barco se puede mover desde adelante hacia atras ( ondular )desde abajo hacia arriba ( ) y de babord hacia tribord ( ). Tambin puede rodar en el sentido de la longitud (rodar), girar alrededor del eje vertical, (colear) y girar alrededor del eje babor-tribor (arfar)Supongamos que a un objeto se le impide el movimiento en cualquiera direccin excepto una. Por ejemplo un pndulo de un reloj solamente se puede mover en un plano. Por eso, se le dice que es un sistema con un grado nico de libertad. Otro ejemplo de un sistema con un grado nico de libertad es un elevador que se mueve hacia arriba y hacia abajo en el cubo del elevador.

La vibracin de un objeto es causada por una fuerza de excitacin. Esta fuerza se puede aplicar externamente al objeto o puede tener su origen a dentro del objeto. Mas adelante veremos que la proporcin (frecuencia) y la magnitud de la vibracin de un objeto dado, estn completamente determinados por la fuerza de excitacin, su direccin y frecuencia. Esa es la razn porque un anlisis de vibracin puede determinar las fuerzas de excitacin actuando en una mquina. Esas fuerzas dependen del estado de la mquina, y el conocimiento de sus caracteristicas e interacciones permite de diagnosticar un problema de la mquina.Vibracin libre no amortiguada.Figura 4.1 sistema sdf: vibracin libre sin amortiguamiento [ref. 12]El movimiento representado por la ecuacin 4.5 puede tambin ser expresado en la forma:

Figura 4.2 vibracin libre, representacin vectorial [ref. 13]Donde u0 es la magnitud del desplazamiento mximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:

En la figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuacin de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyeccin horizontal de los dos vectores de rotacin; y el ngulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del trmino del coseno.Vibracin libre con amortiguamiento viscosoLa ecuacin de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibracin libre es:El coeficiente de amortiguamiento crtico, ccr, y la razn o relacin de amortiguamiento crtico, son parmetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.Figura 4.3 vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]

Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) Poseen una relacin de amortiguamiento la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razn que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.Sistema subamortiguadoPara un sistema subamortiguado (C