vibraciones mecÁnicas - … · vibraciones mecÁnicas - 1 - vibraciones vibración: es el...

MECÁNICA TEÓRICA

Especialidad: Ing. Mecánica

VIBRACIONES MECÁNICAS

Elaborado por: Ing. Juan Carlos Lucero

FACULTAD DE INGENIERÍA

2014


- 1 -

VIBRACIONES

Vibración: Es el movimiento de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados que se repite

uniforme o aleatoriamente después de un intervalo de tiempo dado. Cualquier vibración requiere

de energía para producirla, por consiguiente la eficiencia de las máquinas se reduce. Además, las

vibraciones causan esfuerzos de fatiga en los materiales que pueden apresurar el tiempo de su

falla eventual.

En general hay dos tipos de vibraciones: libres y forzadas.

Vibraciones libres: ocurren cuando el movimiento se mantiene por medio de fuerzas

gravitacionales o fuerzas restauradoras elásticas, tales como el movimiento de un péndulo o la

vibración de una barra elástica.

Vibraciones forzadas: son causadas por fuerzas externas periódicas o no periódicas aplicadas al

sistema.

Todas las vibraciones pueden ser amortiguadas o sin amortiguamiento. Estas últimas pueden

continuar indefinidamente debido a que los efectos friccionantes se desprecian en el análisis.

Como en realidad ambas fuerzas de fricción, internas y externas, se presentan, el movimiento de

todos los cuerpos vibratorios es realmente amortiguado.

Cuando el movimiento de un cuerpo está restringido de tal manera que se le permite vibrar

solamente en una dirección, se dice que tiene un solo grado de libertad, es decir se requiere una

sola coordenada para especificar de modo unívoco la posición del sistema en cualquier tiempo.

El análisis de sistemas de muchos grados de libertad está basado en este caso simplificado.

Vibraciones libres sin amortiguamiento, sistema con un grado de libertad

Es el tipo mas simple de movimiento vibratorio, está representado por el modelo indicado en la

figura. El bloque tiene masa “m”, se apoya sobre una superficie lisa, y está unido a un resorte

que tiene una rigidez “k”.


- 2 -

El movimiento vibratorio está proporcionado al desplazar el bloque una posición “x” a partir de

su posición de equilibrio y permitiendo al resorte devolver al bloque a su posición original.

Cuando el resorte tira del bloque, el mismo adquirirá una velocidad tal que procederá a moverlo

hacia la posición de equilibrio. Como la superficie sobre la que se mueve no tiene fricción, la

oscilación continuará indefinidamente. La trayectoria del movimiento del bloque, dependiente

del tiempo, puede determinarse aplicando la ecuación del movimiento al bloque cuando está en

la posición desplazada “x”.

∑ ⇒=−→= xxmkxmaF xx&&&& es proporcional a x

Donde m

kn =ω = constante frecuencia natural o angular.

Esta ecuación también puede obtenerse considerando que el bloque está suspendido, midiendo

un desplazamiento “y” a partir de la posición de equilibrio del bloque. Cuando el bloque está en

equilibrio el resorte ejerce una fuerza hacia arriba F = mg = k ye sobre el bloque. Por lo tanto,

cuando el bloque se desplaza una distancia “y” hacia abajo de esta posición, la magnitud de la

fuerza del resorte es F = k y’, siendo y’ = ye + y

Por lo tanto F = k (ye + y) = k ye + k y = mg + k y

Aplicando la segunda ley de Newton

∑ =+−= ymWFFy&& ymmgkymg &&=+−−

Esta ecuación diferencial es lineal, de segundo orden, homogénea, con coeficientes constantes.

Para resolverla se debe hallar una función del tiempo “x(t)” tal que cuando se sustituya en la

ecuación la satisfaga, esto es, la reduzca a la identidad. Se pueden seguir dos caminos, uno

estimar “x(t)” o bien usar un procedimiento mas formal. Como se ha visto la solución mas

general de esta ecuación consiste en una combinación lineal de dos funciones que no puedan

escribirse como múltiplo una de la otra, esto es que sean linealmente independientes, además

habrán dos constantes arbitrarias de integración.

Donde A y B representan constantes de integración. La velocidad y aceleración del bloque se

determinan derivando respecto del tiempo.

0xm

kx =

+&& [1]

x&& + 2

nω 0x = Forma estándar

0yy 2

n =+ω&&

( ) ( )tBtAsenx nn ωω cos+= [2]


- 3 -

Si sustituimos esto en la ecuación [1] sin dudas se satisface; luego [2] representa la verdadera

solución de [1]. Las constantes A y B de integración se determinan, generalmente, a partir de las

condiciones iniciales del problema. Por ejemplo supongamos que el bloque ha sido desplazado

hacia la derecha una distancia “x1” con respecto a su posición de equilibrio, y se le ha dado una

velocidad inicial v1 hacia la derecha.

x = x1 ⇒ B = x1

Para t = 0

x& = v1 ⇒ A = n

v

ω1

Ecuación del movimiento

La ecuación [2] siempre puede expresarse en términos de un movimiento sinusoidal simple, si

hacemos: A = C cos φ ; B = C sen φ ; donde C y φ son nuevas constantes en lugar de A y B.

Por lo tanto:

( ) ( )tCsentsenCx nn ωφωφ coscos += ;

Si trazamos esta ecuación en un par de ejes x – ωn t, se obtiene:

C: se denomina amplitud y es el máximo desplazamiento del bloque con respecto a su posición

de equilibrio.

φ: es el ángulo de fase, este ángulo representa la cantidad según la cuál la curva está desplazada a

partir del origen. Como φ es una constante la curva senoidal completa un “ciclo” en un tiempo T,

y por lo tanto, el movimiento cíclico del bloque se repite en el tiempo t = T, de modo que:

( ) ( )tsenBtAxv nnnn ωωωω −== cos&

( ) ( )tBtsenAxa nnnn ωωωω cos22 −−== &&

( ) ( )txtsenv

x nn

n

ωωω

cos11 +

=

( )φω += tCsenx n [3]


- 4 -

ωn T = 2 π , donde “T” se denomina período; [ T] = s.

k

m2T π= f = 1/ T =

m

k

π2

1 , donde “f” se denomina frecuencia.

Las constantes C y φ están relacionadas con A y B de la siguiente forma:

22 BAC +=

=A

Barctgφ

Métodos energéticos

El movimiento armónico simple de un cuerpo, analizado anteriormente, es debido sólo a fuerzas

restauradoras gravitatorias y elásticas que actúan sobre el cuerpo. Como estos tipos de fuerzas

son conservativas, también es posible usar la ecuación de conservación de la energía mecánica

para obtener la frecuencia natural o el periodo de vibración del cuerpo.

Para hacer esto consideremos nuevamente el bloque y el resorte anterior. Cuando el bloque es

desplazado una cantidad arbitraria “x” desde la posición de equilibrio, la energía cinética es

EC = (½)m v2 = (½)m 2x& y la energía potencial es EP = (½)kx

2. Por medio de la ecuación de

conservación de la energía mecánica es necesario que:

EC + E P = cte

(½) m 2x& + (½) k x2 = cte

La ecuación diferencial que describe el movimiento se puede obtener diferenciando esta

ecuación con respecto al tiempo; esto es

m x&& x& + k x x& = 0 x& (m x&& + k x ) = 0

luego: x&& + ωn2 x = 0 donde ωn =

m

k

la cual es idéntica a la ecuación deducida anteriormente.

Ahora podemos estudiar la energía en este movimiento mas detalladamente; para lo cual el

desplazamiento esta dado por: ( )φω += tCsenx n

La energía potencial en cualquier instante está dada por: EP = (½) k x2 = (½)k C

2 sen

2 ( )φω +tn

La energía potencial oscila entonces con el tiempo y tiene un valor máximo de (½) k C2.

Durante el movimiento, la energía potencial varía entre cero y este valor máximo, como lo

muestran las curvas de la figura.

La energía cinética en cualquier instante es (½) m 2x& . Usando la ecuación correspondiente para

v(t) y la ecuación para ωn2, obtenemos:

EC = (½)m 2x& = (½)m ωn2

C2

cos2 ( )φω +tn = (½) k

C

2 cos

2 ( )φω +tn


- 5 -

La energía cinética, al igual que la energía potencial, oscila con el tiempo y tiene un valor

máximo de (½) k C

2. Durante el movimiento, la energía cinética varía entre cero y este valor

máximo, como lo muestran las curvas de la figura. Nótese que las energías cinética y potencial

varían proporcionalmente con el cuadrado de la amplitud y de la frecuencia natural.

La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y de la energía potencial. Usando las

ecuaciones anteriores, obtenemos:

EM = EC + EP = (½) k C

2 cos

2 ( )φω +tn + (½) k C

2 sen

2 ( )φω +tn = (½) k C

2

Vemos que la energía mecánica total es constante y vale (½) k C

2. En el desplazamiento máximo

la energía cinética es cero, pero la energía potencial vale (½) k C

2. En la posición de equilibrio la

energía potencial es cero, pero la energía cinética vale (½) k C

2. En otras posiciones las energías

potencial y cinética contribuyen cada una con términos cuya suma es siempre (½) k C

2.

La energía mecánica total constante EM se muestra en las figuras. La energía mecánica total de

una partícula que efectúa un movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la

amplitud del movimiento. Puede demostrarse que la energía cinética promedio del movimiento

durante un periodo es exactamente igual a la energía potencial promedio y que cada una de estas

cantidades promedio es la mitad de la energía mecánica total, o sea (¼) k C

2.

La ecuación de la energía mecánica puede escribirse en forma bastante general como:

EM = EC + EP = (½) m v2 + (½) k

x

2 = (½) k

C

2

A partir de esta relación obtenemos v2 = (k / m) (C

2 – x

2), o sea


- 6 -

( )22

dt

dx v xC

m

k−±==

Esta relación muestra claramente que la velocidad es máxima en la posición de equilibrio (x = 0)

y es cero en los desplazamientos (x = ± C). De hecho, podemos partir de la conservación de la

energía mecánica [E = (½) k

C2], y por integración de la ecuación última obtener el

desplazamiento en función del tiempo. El resultado es idéntico al de la ecuación [3], la cual

deducimos de la ecuación diferencial del movimiento, ecuación [1].

Vibraciones forzadas sin amortiguamiento, sistema con un grado de libertad

Las vibraciones forzadas sin amortiguamiento se consideran como uno de los tipos más

importantes de movimiento vibratorio en el trabajo del Ingeniero. Los principios que describen la

naturaleza de este movimiento pueden aplicarse al análisis de las fuerzas que causan vibración en

varios tipos de máquinas y estructuras. El bloque y el resorte indicados en la figura proporcionan

un “modelo” conveniente que representa la característica vibratoria de un sistema sujeto a una

fuerza excitadora periódica F = F0 sen (ω t).

La fuerza tiene una magnitud máxima de F0 y una frecuencia forzada ω.

Aplicando la segunda ley de Newton:

( )∑ =−= xmkxtsenFFx&&ω0

La ecuación se refiere como una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden. La

solución general consta de una solución (homogénea) complementaria más una solución

particular. La solución complementaria es:

Donde m

kn =ω

Como el movimiento es periódico, la solución particular de la ecuación puede determinarse

suponiendo una solución de la forma:

( )tCsenx p ω= donde C = constante

( )tsenm

Fx

m

kx ω

=

+ 0&&

( ) ( )tBtAsenx nnc ωω cos+=


- 7 -

( )tCx p ωω cos=& ( )tsenCx p ωω 2−=&&

Reemplazando: ( ) ( ) ( )tsenm

FtCsen

m

ktsenC ωωωω

=

+− 02

( ) =

−

=−

=−

=

2

2

0

22

0

2

0

1n

n

n

m

F

m

F

m

k

m

F

C

ωω

ωωωω

Luego:

La solución general será:

Aquí “x” describe dos tipos de movimientos, por un lado xc que es una vibración libre que

depende de ωn, A y B; por otro xp que es una vibración forzada. Como todos los sistemas

vibratorios están sujetos a fricción, la vibración libre xc, a su tiempo se disipará. Por esta razón,

la vibración libre se denomina de transición, y la vibración forzada se llama estado permanente,

ya que es la única vibración que perdura.

2

0

1

−

n

k

F

ωω

( )tsenk

F

x

n

p ω

ωω

2

0

1

−

=

( ) ( ) ( )tsen

1

k

F

tcosBtAsenxxx2

n

0

nnpc ω

ωω

ωω

−

++=+=


- 8 -

Según se ve, la amplitud forzada depende de la relación de frecuencias ω / ωn. Si definimos el

“factor de amplificación” (MF) como la razón de la amplitud de la vibración del estado

permanente, xpmáx, a la deflexión estática F0 / k, que es causada por la amplitud de la fuerza

periódica F0, entonces:

2

0

1

1

−

==

n

p

k

F

xMF máx

ωω

Se ve que para ω ≅ 0 el factor MF = 1, en este caso, debido a pequeñas frecuencias ω, la

vibración del bloque estará en fase con la fuerza aplicada F. Si la fuerza se aplica con una

frecuencia cercana a la frecuencia natural del sistema, es decir (ω / ωn) ≅ 1, la amplitud de la

vibración del bloque se vuelve extremadamente grande. Esta condición se llama “resonancia”, y

en la práctica, las vibraciones resonantes pueden causar esfuerzos enormes y la falla rápida de las

partes. Cuando la fuerza cíclica F se aplica con altas frecuencias (ω > ωn), el valor de MF se

vuelve negativo, indicando esto que el movimiento del bloque está fuera de fase con la fuerza.

Bajo estas condiciones, cuando el bloque se desplaza hacia la derecha, la fuerza actúa hacia la

izquierda y viceversa. Para frecuencias extremadamente altas (ω >>> ωn) la inercia de la masa

impide que el bloque siga a la fuerza, y resulta de ello que el bloque se conserva casi estacionario

y MF 0.


- 9 -

Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso, sistema con un grado de libertad

El análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido los efectos de la fricción ó el

amortiguamiento en el sistema, y como resultado de ello las soluciones no son reales. En muchos

casos el amortiguamiento se atribuye a la resistencia creada por la sustancia en la que vibra el

sistema, tal como agua, aceite o aire. Con tal de que el cuerpo se mueva con lentitud a través de

esta sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo.

El tipo de fuerza desarrollada bajo estas condiciones se llama “fuerza amortiguadora viscosa”.

La magnitud de la misma puede expresarse como xcF &= donde c es el coeficiente de

amortiguamiento viscoso en Ns/m.

El movimiento vibratorio de un cuerpo o de un sistema de cuerpos que tiene amortiguamiento

viscoso puede caracterizarse mediante el bloque y resorte indicados. El efecto de

amortiguamiento es proporcionado por el amortiguador conectado al bloque del lado derecho. El

cilindro contiene un fluido, y el movimiento del pistón es retardado ya que el fluido debe fluir

alrededor o a través de un agujero en el pistón. Se supone que el amortiguador tiene un

coeficiente de amortiguamiento viscoso “c”.


xmxckxFx&&& =−−=

La ecuación se refiere como una ecuación diferencial, homogénea, de segundo orden y lineal,

cuya solución será: tAex λ= donde A y λ son constantes

Sustituyendo:

02 =++ ttt AkeeAceAm λλλ λλ ( ) 02 =++ kcmAe t λλλ

02 =++ kcm λλ

−

±

−=−m

k

m

c

m

c2

2122

λ

La solución general es una combinación lineal de exponenciales que involucra ambas raíces λ1-2

Hay tres combinaciones posibles de λ1-2 que deben considerarse para la solución general.

Sin embargo, antes vamos a definir el “coeficiente de amortiguamiento crítico” cc, como el

valor de c que hace que el radical sea igual a cero.

0=

+

+ xm

kx

m

cx &&&


- 10 -

02

2

=

−

m

k

m

cc

1º) Sistema sobreamortiguado: c > cc

⟩

m

k

m

cc2

2

Las raíces λ1 y λ2 son reales y negativas. Entonces la solución general será:

El movimiento correspondiente no es vibratorio; el efecto del amortiguamiento es tan fuerte que

cuando el bloque se desplaza y se suelta, simplemente regresa a su posición original sin oscilar.

2º) Sistema críticamente amortiguado: c = cc

=

m

k

m

cc2

2

Las raíces λ1 y λ2 son reales, negativas e iguales. ( )2

21 2/ mcc−== λλ

Entonces la solución general será:

El movimiento correspondiente no es vibratorio; “c” tiene el valor mínimo para hacer que el

sistema está sobreamortiguado.

nc mc ω2=

ttBeAex 21 λλ +=

twneBtAx−+= )(


- 11 -

( )φω +=−

tsenDex a

tm

c

2

3º) Sistema subamortiguado: c < cc

⟨

m

k

m

cc2

2

Las raíces λ1 y λ2 son números complejos.

2

2122

−

±

−=−m

c

m

ki

m

cλ llamando

2

2

−

=m

c

m

kaω

ttti

m

c

CeBeAexa

212 λλω

+==

±−

; )(222 titit

m

c

tit

m

c

tit

m

c

aaaa CeBeeeCeeBexωωωω −−−−−

+=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }tisentCtisentBex aaaa

tm

c

ωωωω −++=−

coscos2

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tsenCBitCBex aa

tm

c

ωω −++=−

cos2 llamando ( ) ECB =+ ; ( ) FCBi =−

entonces ( ) ( )[ ]tFsentEex aa

tm

c

ωω +=−

cos2 , luego φDsenE = ; φcosDF =

( ) ( )[ ]tsenDtDsenex aa

tm

c

ωφωφ coscos2 +=−

Por lo tanto la solución general es:

Donde D y φ son constantes determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema. La

constante ωa se llama “frecuencia natural amortiguada” del sistema, y vale:

,c

c1

m2

c

m

k2

c

n

2

a

−=

−

= ωω donde β=cc

c factor de amortiguamiento


- 12 -

Vibraciones forzadas con amortiguamiento viscoso, sistema con un grado de libertad

El caso mas general de movimiento vibratorio de un solo grado de libertad ocurre cuando un

sistema incluye los efectos del movimiento forzado y el amortiguamiento inducido. El análisis de

este tipo particular de vibración es de valor práctico cuando se aplica a sistemas que tienen

características amortiguadoras significativas.


( )tsenFkxxcxm ω0=++ &&& [*]

Esta ecuación se refiere como ecuación diferencial, no homogénea, de segundo orden y lineal. La

solución general consta de una solución complementaria (homogénea) mas una solución

particular.

pc xxx +=

De acuerdo a lo ya visto, la solución complementaria de la homogénea será:

c > cc xc = A eλ1t + B e

λ2t

0=++ kxxcxm &&& c = cc xc = (A + B t) e-ωn t

c < cc xc = D [e(-c/2m) t

sen (ωa t + φ)]

Sin embargo, como todos los sistemas contienen fricción esta solución se disipará con el tiempo.

Solamente se conservará la solución particular que describe la “vibración del estado

permanente” del sistema. La solución particular puede determinarse suponiendo una solución

de la forma:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tBtsenAx

tsenBtAx

tBtsenAx

p

p

p

ωωωω

ωωωω

ωω

cos

cos

cos

2'2'

''

''

−−=

−=

+=

&&

&

Reemplazando en la ecuación diferencial

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tsenFtkBtsenkAtsencB

tcAtmBtsenmA

ωωωωω

ωωωωωω

0

'''

'2'2'

cos

coscos

=++−

−+−−

Como esta ecuación es válida para todo tiempo, los coeficientes que son constantes pueden

igualarse, entonces:


- 13 -

0''2'

0

''2'

=++−

=+−−

kBcAmB

FkAcBmA

ωω

ωω

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

( )

( )2

222

220

'

+−

−

=

m

c

m

F

A

n

n

ωωω

ωω

( )2

222

20'

+−

=

m

c

m

cF

B

n

ωωω

ω

Luego, haciendo A’ = R cosφ’ y B’ = -R sen φ’ ; ( )'φω −= tRsenx p ; siendo:

El ángulo φ’ representa la diferencia de fase entre la fuerza aplicada y la vibración resultante del

estado permanente del sistema amortiguado. El factor amplificador ya definido resulta ahora:

22

200

21

1

+

−

===

ncn

p

c

ck

F

R

k

F

xMF máx

ωω

ωω

222

0

2'2'

21

+

−

=+=

ncn c

c

k

F

BAR

ωω

ωω

−

=2

'

1

arctan

n

k

c

g

ωω

ω

φ


- 14 -

Puede verse claramente que la amplificación de la amplitud aumenta cuando el amortiguamiento

disminuye.

El ángulo de fase también puede graficarse, resultando:

Otra forma de encarar el estudio de este tipo de movimiento vibratorio es a través del diagrama

de fasores, como veremos a continuación.

La ecuación [*] es una ecuación de fuerzas que expresaremos ahora como un conjunto de

vectores giratorios. Primeramente pasaremos todos los términos a un solo miembro.

( ) 00 =−−− kxxcxmtsenF &&&ω

Analizaremos solo la solución particular por ser la permanente.

( )( )( )φωω

φωω

φω

−−=

−=

−=

tsenRx

tRx

tRsenx

p

p

p

2

cos

&&

&

Entonces los términos de la ecuación de fuerzas se pueden escribir:

( )( )

( ) inercia de Fuerza ------

ientoamortiguam de Fuerza -------- cos

resorte del Fuerza --------

2>&&

>&

>

φωω

φωω

φω

−−=−

−−=−

−−=−

tsenmRxm

tRcxc

tkRsenkx

p

p

p

Las fuerzas que están en la ecuación de fuerzas se representan en la figura por un conjunto de

vectores giratorios.


- 15 -

Como el sistema está en equilibrio, entonces se puede dibujar un polígono de fuerzas que debe

cerrarse, como se ve en la figura.

Que concuerda con la solución anteriormente encontrada. De los diagramas vectoriales se

obtienen las siguientes conclusiones:

1º) El desplazamiento está atrasado de la fuerza un ángulo φ.

2º) Si el término m R ω2 es pequeño comparado con k R, el ángulo φ es pequeño (se aproxima a

cero).

3º) Si el término m R ω2 es grande comparado con k R, , el ángulo φ es grande (se aproxima a

180º).

4º) El ángulo φ se limita a los valores comprendidos entre 0º y 180º porque la componente de F0

normal a la dirección R debe ser igual a R c ω (la fuerza de amortiguamiento) pero de sentido

opuesto.

Fuerza transmitida

En ciertos casos prácticos interesa disminuir la fuerza que se transmite al soporte del

amortiguador y el resorte, cuando la masa “m” está sujeta a una fuerza perturbadora armónica.


- 16 -

De la figura, se ve que la máxima fuerza transmitida al soporte es la suma vectorial de la fuerza

del resorte k R y la fuerza amortiguadora cωR. Definiendo la amplitud de la fuerza transmitida

por Ftr, se deduce que: 2222

.

2 ωckRFFF amortresortetr +=+=

siendo:

( ) ( )222

0

ωω cmk

FR

+−=

luego:

Transmisibilidad

Si definimos la Transmisibilidad Tr como la relación Ftr / F0, entonces:

( )

( ) ( )222

22

0 ωω

ω

cmk

ck

F

FT trr

+−

+==

recordando que: m

kn =2ω y nc mc ω2=

entonces:

22

2

2

2

21

21

+

−

+

=

ncn

nc

r

c

c

c

c

T

ωω

ωω

ωω

22

2

2

2

0

1

1

+

−

+=

k

c

k

c

FF

n

tr

ωωω

ω


- 17 -

De la figura se puede concluir que:

1º) Para cualquier valor que tome el factor de amortiguamiento (c / cc) la Transmisibilidad Tr ≥ 1

para valores de (ω / ωn) ≤ √2.

2º) Cuando (ω / ωn) = √2, Tr = 1 para todos los valores de c / cc. Esto se puede comprobar

sustituyendo directamente en le ecuación.

3º) Para valores de (ω / ωn) < √2 el crecido amortiguamiento disminuye la fuerza transmitida,

mientras que para valores de (ω / ωn) > √2 el crecido amortiguamiento aumenta la fuerza

transmitida.

4º) Independientemente del amortiguamiento existente, es conveniente que (ω / ωn) > 2 , a fin

de que la fuerza transmitida sea menor que la fuerza perturbadora. Esto implica que un resorte

blando que tenga valores bajos de ωn es necesario para aislar la fuerza perturbadora del soporte.

Se tiene un caso especial cuando (c / cc) = 0. La ecuación del coeficiente de Transmisibilidad se

transforma en:

En este caso Tr ∝ cuando (ω / ωn ) 1 o sea cuando ocurre resonancia. Además, Tr es

positiva cuando (ω / ωn)<1 y negativa cuando (ω / ωn)>1. Esto dice que la fuerza transmitida está

en fase con la fuerza del soporte cuando el sistema opera a frecuencias abajo de la resonancia y a

180º fuera de fase cuando el sistema opera a frecuencias por encima de la resonancia.

Vibraciones libres de un sistema con dos grados de libertad

Comenzaremos estudiando un sistema con dos grados de libertad, tal como el que se muestra, las

masas son iguales y también lo son las constantes de rigidez de los resortes exteriores. Se

desprecia el rozamiento. Veamos como podemos describir el movimiento.

Aplicamos la segunda ley de Newton para cada una de las masas, e imaginemos a las mismas en

cualquier posición tal como x1 y x2 medidas desde la configuración de equilibrio. Suponemos por

conveniencia que x1 > x2 esto implica que el resorte de constante k2 está comprimido.

2

2

1

1

n

rT

ωω

−

=


- 18 -

( ) ( )( ) ( ) 221221222

221221211

xkkxkxxkkxxm

xkxkkxxkkxxm

+−=−+−=

++−=−−−=

&&

&&

Estas ecuaciones diferenciales se pueden expresar en forma matricial de la siguiente forma:

+−

+=

2

1

22

12

2

1

0

0

x

x

kkk

xkk

x

x

m

m

&&

&&

En donde a [R] se la denomina “matriz de rigidez” del sistema.

Puesto que las variables “dependientes” aparecen en ambas ecuaciones diferenciales, a estas

ecuaciones se las denomina como “ecuaciones diferenciales simultáneas”. Luego:

[1]

( )

( ) 0

0

212

22

212

11

=−−+

=−++

xxm

kx

m

kx

xxm

kx

m

kx

&&

&&

Hallar una solución, es encontrar dos funciones x1(t) y x2(t) tal que satisfagan las ecuaciones [1].

En estas ecuaciones solamente aparecen derivadas segundas y derivadas de orden cero, por

consiguiente se puede intentar una solución por el método de los coeficientes indeterminados.

[2] ( )( )φω

φω

+=

+=

tsenCx

tsenCx

22

11 siendo, C1, C2, ω y φ indeterminados.

Derivando y reemplazando en [1]:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

2212

2

2

2211

2

1

=+

−−+

++−

=+

−++

++−

φωφωφωω

φωφωφωω

tsenm

kCCtsen

m

kCtsenC

tsenm

kCCtsen

m

kCtsenC

luego:

[3]

0

0

222

12

22

122

=

+

+−+

−

=

−

+

+−

Cm

k

m

kC

m

k

Cm

kC

m

k

m

k

ω

ω

Una forma de asegurar que estas ecuaciones se satisfacen es haciendo C1 = C2 = 0. Esto significa,

que x1 y x2 siempre son cero, lo cual implica un equilibrio estático. Esta es una solución válida,

puesto que el equilibrio estático es un movimiento posible, pero el resultado es trivial. ¿ Hay

algún medio de satisfacer estas ecuaciones sin hacer C1 y C2 iguales a cero?. Para responder a

esto, despejemos C1 y C2, como si fueran incógnitas usando la regla de Cramer.

[ ]{ } [ ]{ }xRxm =− &&


- 19 -

mm

k

m

k

mmm

k

mm

k

m

k

C

222

222

22

2

1

k-

k-

k-

k

- 0

0

++−

++

++

−

=

ω

ω

ω

mm

k

m

k

mmm

k

m

k

mm

k

C

222

222

2

22

2

k-

k-

k-

0

0 k

-

++−

++

−

++

=

ω

ω

ω

Observemos que en cada caso el determinante del numerador es cero. Si el denominador no es

cero, se tiene la solución trivial C1 = C2 = 0. Una condición “necesaria” para una solución no

trivial, es que el denominador también sea cero para C1 y C2. Entonces claramente C1 y C2

pueden tener valores diferentes de cero. Por lo tanto:

m

k-

m

k-

m

k-

222

222

++−

++

m

k

m

k

m

k

ω

ω= 0

2

2

2

22 m

k-

=

++

m

k

m

kω

Dos valores de ω2 satisfacen dicha condición necesaria, empleando los signos + y -,

respectivamente:

m

k

m

k

m

k 221 2 +== ωω

Vamos a determinar ahora que otras condiciones se deben imponer para encontrar una solución,

puesto que estas ecuaciones forman el criterio para la aceptación de un conjunto de funciones

como soluciones.

Empleando en las ecuaciones [3] 1m

k=ω tenemos:

022

12 =−

++− C

m

kC

m

k

m

k

m

k

Aquí se ve que cuando se usa el valor de ω1 es necesario que a la misma conclusión

llegamos si usamos la otra ecuación [3].

Podemos establecer a continuación una solución posible de la ecuación diferencial. Empleando

C1 = C2 = A, obtenemos:

m

k

m

k- 222 ±=++

m

kω

C1 = C2


- 20 -

[4]

+=

+=

φ

φ

tm

kAsenx

tm

kAsenx

'

2

'

1

Si ahora empleamos en [3] m

k

m

k 22 2+=ω

02 22

122 =−

++−− C

m

kC

m

k

m

k

m

k

m

k

Así, si usamos C1 = - C2 = B y β, la otra solución posible es:

[5]

++−=

++=

β

β

tm

k

m

kBsenx

tm

k

m

kBsenx

2

2

2''

2

2''

1

Ahora analicemos las soluciones [4] y [5]; en el primer caso [4] los movimientos de ambas

masas están en fase entre sí, tienen la misma amplitud, y por tanto, se mueven juntas con

movimiento armónico y con frecuencia natural mk / . Para este movimiento, el resorte central

de constante k2 no está ni estirado ni comprimido, es decir que no tiene efectos sobre él. Esto

explica porqué la frecuencia natural tiene una fórmula tan simple. La segunda solución

independiente [5], es aquella en que las amplitudes son iguales para las dos masas, pero las

masas están desfasadas 180º. Cada una de las masas oscila en forma armónica con frecuencia

natural mayor que la del movimiento anterior. Debido a que las masas se mueven en direcciones

opuestas el centro del resorte del medio, para este movimiento, deberá estar fijo, esto es, como si

cada una de las masas estuviera vibrando bajo la acción de un resorte de constante k y la acción

de la mitad de la longitud de otro resorte, lo que explica porqué la frecuencia natural para este

movimiento es ( ) mkk /2 2+ .

Cada uno de estos movimientos [4] y [5] se llama “modo natural”. El primer modo se refiere al

movimiento de frecuencia natural mas baja y el segundo modo se identifica con aquél de

frecuencia natural mas alta. Luego, la solución general es la suma de las dos soluciones:

C1 = - C2


- 21 -

++−+

+=

+++

+=

βφ

βφ

tm

k

m

kBsent

m

kAsenx

tm

k

m

kBsent

m

kAsenx

2

2

22

21

1º modo de mov. 2º modo de mov.

Aún deben conocerse cuatro constantes A, B, φ y β; las mismas se determinan en función de las

condiciones iniciales del problema, es decir la posición y la velocidad de cada una de las masas

en t = 0.

Conclusiones

El movimiento más general del sistema en estudio, es la superposición de dos modos de

movimiento de naturaleza armónica, que tienen frecuencias naturales distintas, con amplitudes y

ángulos de fase que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Así los modos básicos

son los “bloques que constituyen” el movimiento libre general.

Si las dos masas así como los resortes no fueran iguales, el análisis daría dos frecuencias

naturales y dos modos determinados, pero estos no serían tan simples como en este caso especial

que se ha resuelto. Como se ve corresponden dos frecuencias naturales a los dos grados de

libertad, luego para “n” grados de libertad, habrá “n” frecuencias naturales y la vibración libre

general será la superposición de “n” modos de movimiento con amplitudes propias y con

relaciones de fase que satisfacen “2n” condiciones iniciales.

Un argumento similar aunque más complicado, puede desarrollarse para el caso de que exista

amortiguamiento. Cuando están presentes los disturbios, están disponibles otros procedimientos.

Sin embargo, debe indicarse que las frecuencias naturales del tipo de las obtenidas en el análisis

efectuado, esto es, sin incluir amortiguamiento, dan al Ingeniero las frecuencias que son

potencialmente peligrosas y que en lo posible deben evitarse.

Vibraciones forzadas de un sistema con dos grados de libertad

Consideremos el sistema visto, en el cual los dos resortes exteriores tienen igual constantes y por

conveniencia x1 > x2. Se desprecia el rozamiento. Veamos como se puede describir el

movimiento.


- 22 -

Aplicamos la segunda ley de Newton para cada una de las masas, las cuales imaginamos en

cualquier posición.

( ) ( )( ) 0212222

0212111

=−−+

=−++

xxkkxxm

tsenFxxkkxxm

&&

&& ω

Luego teniendo en cuenta que m1 = m2 = m, tenemos:

( ) ( )

( ) 0212

22

021

211

=−−+

=−++

xxm

kx

m

kx

tsenm

Fxx

m

kx

m

kx

&&

&& ω

tomemos como soluciones particulares del sistema las funciones:

( ) ( )tBsenxtAsenx ωω == 21

Sustituyendo obtenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 022

022

=−−+−

=−++−

BAtsenm

ktBsen

m

ktsenB

tsenFBAtsenm

ktAsen

m

ktsenA

ωωωω

ωωωωω

De donde calculamos las amplitudes A y B

Si se desea que en una aplicación tecnológica la amplitud de m1 sea nula, se deberá verificar que:

2

2 ωmkk =+

o en otras palabras, la frecuencia natural del sistema (k, k2, m) considerado como sistema

aislado, deberá ser igual a la frecuencia de la fuerza excitadora.

El prestigioso especialista R. H. Scanlan ha realizado una interesante aplicación de este

principio. Siguiendo a Scanlan consideremos un edificio de varios pisos (figura).

( )22

2

20

mkk

kFB

ω−+=

( )( ) 2

2

22

2

2

20

kmkk

mkkFA

−−+

−+=

ω

ω


- 23 -

Probablemente la excitación dinámica más común la constituye el viento. Desde el punto de vista

estructural el sistema puede ser diseñado en forma adecuada de modo que tanto los corrimientos

como los esfuerzos dinámicos sean “resistidos” sin daño por la estructura, pero resulta muy

molesto para los ocupantes del edificio que este oscile.

Evidentemente, es posible reducir las oscilaciones incrementando la rigidez del edificio, pero en

general esta solución es antieconómica, y luego, no puede ser considerada como sana desde el

punto de vista técnico.

En edificios muy altos, cuya estructura es de acero, el problema de vibraciones inducidas por el

viento es mas severo que en edificios de estructura de hormigón armado, cuyo amortiguamiento

interno es mas elevado que el de acero. Un artificio que ha sido utilizado es el de absorber

energía del sistema que puede vibrar mediante fricción entre la estructura metálica y la

mampostería.

En edificios tipo rascacielos, constituidos por esqueletos metálicos y paneles de vidrio, el

amortiguamiento interno es muy pequeño y ha sido necesario colocar amortiguadores especiales,

como es en el caso del edificio World Trade Center de Nueva York.

Pero el artificio, motivo de nuestro estudio, que consiste en agregar al sistema vibrante original

una masa vinculada elásticamente a dicho sistema, posee características muy interesantes, dada

su simplicidad y comienza a ser utilizado en diseños antivibratorio de edificios.

Conviene enfatizar el hecho de que ha sido utilizado recientemente en múltiples aplicaciones:

chimeneas, líneas de transmisión, antenas y hasta en motores de aviación.

No es un “amortiguador” ya que no disipa energía, pero la extrae del sistema básico (al cual

deseamos “aquietar”) y pone en movimiento un sistema subsidiario.

Si un edificio es excitado por esfuerzos hidrodinámicos que fluctúan en una forma sinusoidal a

una frecuencia cercana o coincidente con la fundamental del mismo, se generarán oscilaciones

apreciables. Pero algo similar a esto ocurrirá si el edificio es excitado por fuerzas aleatorias que

poseen un espectro de banda ancha. En este caso el edificio vibrará predominantemente a su

frecuencia fundamental aunque con amplitudes que variarán en forma aleatoria.

Por regla general, los primeros dos modos en flexión, son los mas importantes. Pero en una gran

cantidad de casos la mayor preocupación estriba en el primer modo a flexión (ver figura

anterior). Una solución posible la constituye el montaje que se indica en la figura siguiente.


- 24 -

Si el peso del edificio es 100.000 toneladas, un valor aproximado de Mg es de 500 toneladas

(0,5% del total del peso del edificio).

Puntualiza Scanlan que si el peso total es de 100.000 toneladas, el peso “efectivo” desde el punto

de vista “dinámico” es de aproximadamente 50.000 toneladas o quizás menos, dada la variación

de amplitudes de desplazamientos en función de una coordenada vertical.

El segundo modo de vibración en flexión se muestra en la figura.

Otro sistema “dinámico” subsidiario deberá ir colocado en otro nivel intermedio si se desea

“aquietar” también este modo de vibración.

vibraciones mecÁnicas - … · vibraciones mecÁnicas - 1 - vibraciones vibración: es el...

Documents