introd control aut

7/25/2019 Introd Control Aut

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CONTROL AUTOMTICO.3. INTRODUCCIN AL CONTROL MODERNO :Las aplicaciones del control automtico son sinnimos de la tecnologa moderna seencuentran tanto en la ro!tica como en un tostador. "l control moderno a!orda elpro!lema de o!tener el comportamiento deseado de un sistema dinmico #ue tra!a$a por si

solo.

"ntendemos por sistema dinmico al con$unto de cantidades #ue dependen del tiempo lascuales identi%ican a los o!$etos de inter&s.

Un piloto automtico msiles guiados control de temperaturas control de 'elocidadconstante 'elocidad de cintas ( unidades de disco todas ellas dependen del controlautomtico. )entro del control se tienen grandes in'entos como los de cora*onesarti%iciales marcapasos sistemas para e'itar colisiones sistemas automticos para elaterri*a$e de aerona'es ( muc+os sistemas !iolgicos. Las aplicaciones del controlautomtico son in%initas (a #ue casi cual#uier sistema dinmico puede ser controlado.

,ara un sistema dinmico dado puede +a!er ms de una posi!le aplicacin de controlautomtico tal como el seguimiento de un planeta o un cometa con un telescopio. "lo!$eti'o de la teora del control automtico es o!tener este tipo de regulacin o control sin#ue tenga #ue inter'enir un ser +umano en el la*o de control. ,ara lograr el controlautomtico se de!en lle'ar a ca!o mediciones re%erentes al estado del sistema ( estain%ormacin se utili*a para generar la accin de control #ue nos permita alcan*ar el estadodeseado. ,ara reali*ar las mediciones se utili*an dispositi'os llamados sensores parae%ectuar la accin de control se emplean actuadores. "l con$unto de sensores -actuadores (los dispositi'os lgicos utili*ados para implementar la accin de control constitu(en elcontrolador.

3.1 MANEJO MATRICIAL BAICO :

a! ARRE"LO DE #ILA $ COLUMNA :"sto se re%iere a como se de!enacomodar los datos dentro de una matri* ( la posicin #ue ocupan.

%! MATRI& UNIDAD : "sta matri* se re%iere a a#uella #ue posee una diagonalcon unos ( todos los dems datos son ceros


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CONTROL AUTOMTICO.

c! ORDEN DE UNA MATRI& :"sto es como se de!e de mencionar a las matricesesto es primero los renglones luego por la cantidad de columnas.

c! MATRI& CUADRADA :"sta es a#uella matri* #ue tiene igual n/mero decolumnas como de renglones.

e ! MATRI& COLUNMA :"s a#uella en la #ue el 'alor de 0 1 .

%2 MATRI& REN"LN :"s en la #ue i 1

g2 MATRI& DIA"ONAL : "s a#uella en la solo e3isten 'alores en $ 1 i

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CONTROL AUTOMTICO.

'! MATRI& NULA : "s a#uella #ue para todo ai0el 'alor es cero.

(! MATRI& IM)TRICA :"s a#uella en la #ue ai0 1 a0i.

*! DETERMINANTE DE UNA MATRI& :M+todo de las d(a,onales :

"l resultado es la suma de los productos de las diagonales +acia a!a$o menos la sumade las diagonales +acia arri!a 5

M+todo de los co-actores : "l co%actor de un termino ai0 es el determinante %ormadopor lo #ue #ueda de la matri* al anular el rengln i ( la columna $.

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CONTROL AUTOMTICO.

"l resultado de la matri* es la suma de los co%actores de una columna o rengln.

Matr( s(n,ular : Cuando el determinante de una matri* es igual a cero se dice #ue essingular.

Matr( trans/uesta : "s intercam!iar %ilas por columnas.

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CONTROL AUTOMTICO.

Matr( ad*unta :"s la matri* de los co%actores transpuesta.

AL"EBRA DE MATRICE: Ad(c(0n8 de!en de ser de igual orden ( se reali*a

elemento a elemento2

Mult(/l(cac(0n : con-ora%(l(dad : La matri* resultante de la multiplicacin es deorden 8nm42

)e!en ser iguales para #ue sean con%orma!les. 9i no es con%orma!le no se puedereali*ar la multiplicacin entre la matrices.

Operacin 8usando la dos matrices anteriores2 ,rimero se re'isa #ue sean con%orma!les.

:


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CONTROL AUTOMTICO.

La multiplicacin ;A < ;= se reali*a por el rengln de la primera matri* por la columnade la segunda.

,ara el t&rmino de la matri* resultante se multiplica el rengln por la columna

8428>2?8-628-2?8728:217. "ste es el t&rmino resultante de la matri* %inal.

,ara o!tener el termino i $ se multiplica de la manera #ue (a se 'io el rengln i por lacolumna $. "l resultado de ;A < ;= es 5

La multiplicacin no es conmuta!le es decir #ue no es lo mismo multiplicar ;A < ;=#ue ;= < ;A.

D(2(s(0n :

ro/(edades de la (n2ersa5

2 ;A es cuadrada42 ;A no de!e ser singular62 si ;A- e3iste

72 - ;A < ;A- 1

:2 - 8;A-2- 1 ;A@2 - 8;A < ;=2- 1;=- < ;A-

4! IDENTI#ICACIN $ DECRICIN DE ITEMA :

Mane$o matricial para mane$ar sistemas 5

@


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CONTROL AUTOMTICO.

842 842 842 842 -Todos los t&rminos resultantes son del mismo orden esto es para #uepuedan sumarse.

"sta serie de matrices se reali*an cuidando de #ue el resultado concuerde con lasecuaciones ( de #ue los ordenes de los terminos sean iguales para poder reali*ar las sumas.

,ara ecuaciones di%erenciales primero se escri!en de manera ms sencilla ( luego se pasana matrices.

3.5 MODELO DE ITEMA DIN6MICO :

A %in de disear un controlador para un sistema en particular primero se de!e de desarrollarun modelo para dic+o sistema. A continuacin se anali*arn modelos para algunos sistemas

B


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CONTROL AUTOMTICO.dinmicos #ue re#uieren de control automtico para su operacin e3actitud o %acilidad deuso.

a! ITEMA DE UENIN MA"N)TICA :

9e o!tiene un modelo simpli%icado para un rotor suspendido magn&ticamente suponiendo elmo'imiento en una dimensin a lo largo de una direccin a3ial inesta!le como se muestraen la siguiente %igura. Asimismo se supone #ue e3iste un campo de %uer*a in'ersamenteproporcional al cuadrado de los entre+ierros 8 distancia entre polos ( rotor 2. )e estamanera un rotor de longitud 5 cu(o centro de masa esta despla*ado una distancia de lalnea central entre los polos e3perimentar una %uer*a de atraccin dada por 5

# 7 4 8 94 !

)e!ido al polo superior ( a una %uer*a de atraccin dada por 5

# 7 4 8 94 !

)e!ida al polo in%erior donde es la distancia entre la parte superior del rotor ( el polosuperior es la parte in%erior del rotor ( el polo in%erior 4( 4son las constantes asociadascon el polo magn&tico. 9ea 5dla distancia entre los polos entonces 5

& 7 d ; < (

& 7 d ;

9i se +ace4 7 4 d


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CONTROL AUTOMTICO.? 7 18

( es la masa del rotor.

,ara este sistema supngase #ue se puede medir el despla*amiento +aciendo 7 @ 7 ( 7 @se o!tiene el sistema de ecuaciones e#ui'alentes 5

7 7 ? ?u$ 7

%! "UIADO DE UN MIIL OBRE LA LNEA DE IIN :

Consid&rese un misil de !/s#ueda guiado so!re la lnea de 'isin a 'elocidad constante #uese muestra en la siguiente %igura. "ste misil se 'a a guiar de modo #ue siga una lnea de'isin 8LO92 esta!lecida so!re un punto de partida +asta el !lanco. Todo el mo'imiento es

>


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CONTROL AUTOMTICO.en el plano +ori*ontal por lo #ue los e%ectos gra'itacionales no necesitan ser modelados. Lasiguiente %igura se tra* 'iendo +acia a!a$o so!re el misil a medida #ue este se mue'e so!reel plano +ori*ontal. La rapide* a la cual se des'a el misil de la lnea de 'isin para ngulospe#ueos esta dada por 5

)onde es la 'elocidad del misil ( es la direccin #ue el 'ector de 'elocidad %orma conLO9. La rapide* de cam!io en el tiempo de la tra(ectoria del ngulo satis%ace laecuacin5

Con tal #ue el ngulo de ata#ue a permane*ca pe#ueo de modo #ue el coe%iciente deele'acin lateral se pueda apro3imar mediante la relacin lineal C . C . Los otrosparmetros en la ecuacin anterior son la densidad del aire el rea de la super%icie deele'acin la masa del misil ( el cam!io en el coe%iciente de ele'acin de!ido a C.)e manera similar la rapide* de cam!io en el tiempo de momento angular esta dada por 5

)onde Ies el momento de inercia del misil alrededor del centro de masa des una distanciacaracterstica 8como si %uese la longitud promedio de la cuerda de las aletas del misil o lalongitud de este 2 M es la de%le3in para la aleta de control C es el cam!io en elcoe%iciente del momento de Cde!ido a (Ces el cam!io en el coe%iciente del momento

de!ido a M con C. C C M. Los otros parmetros se de%inieron pre'iamente.

9i se apro'ec+a el +ec+o #ue se pueden com!inar las ecuaciones anteriores paradar como resultado 5

D


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CONTROL AUTOMTICO.

)onde 5

"l sistema completo descrito mediante las dos ecuaciones de primer orden ( la de segundoorden es un sistema dinmico de cuarto orden. 9upngase #ue es la /nica medicin8salida 2 . "ntonces +aciendo 7 a @ 7 a@ 7 @ 7 se o!tiene el sistema e#ui'alente decuatro ecuaciones de primer ordenE 1 3E 1 -F 3 - F 3 ? F uE 1 F 3E 1 G3

H 1 3

Ntese #ue las suposiciones de la 'elocidad constante de los ngulos pe#ueos ( a#uellasrelacionadas con el uso de C permiten el desarrollo de un modelo lineal para este sistemadirectamente. 9i cual#uiera de estas suposiciones no es 'lida entonces el modelo tampocolo es. ,or e$emplo si la 'elocidad no es constante el orden del sistema se incrementara porla adicin de una ecuacin di%erencial para el cam!io de 'elocidad ( el sistema completo secon'ierte en no lineal en t&rminos de .


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CONTROL AUTOMTICO.O!s&r'ese #ue las ecuaciones no contienen a o @ ( #ue la e'olucin de estas dos'aria!les esta completamente regida por 9t! 7 a 9t!.)e este modo si es posi!le medir a asolamente se necesitan las ecuaciones 8.6-4D2 ( 8.6-42 ( las ecuaciones 8.6-442 a la8.6-472 se reempla*an por

,ara disear el controlador #ue se emplear en el sistema. "sto es las ecuaciones se puedenutili*ar despu&s de este +ec+o para calcular el ngulo de la tra(ectoria de 'uelo ( lades'iacin de la LO9. "ste es el e$emplo de un caso en el cual es posi!le reducir el ordendel modelo del sistema con tal #ue la nue'a salida arepresente la 'aria!le de inter&s enlugar de . )e otra manera como en el caso del o!$eti'o originalmente planteado de

se de!e de mane$ar un sistema de cuarto orden.

c! MOIMIENTO LON"ITUDINAL DE UN AION :

Consid&rese el a'in #ue se muestra en la %igura siguiente. 9e determinar el mo'imientocon respecto a un con$unto de coordenadas de cuerpo %i$o 3 ( *. "l ngulo entre el+ori*onte ( el 'ector de 'elocidad se conoce como el ngulo de la tra(ectoria de 'uelo ( elngulo Aentre el e$e 3 ( el 'ector de 'elocidad se le denomina ngulo de ata#ue. "l ngulooentre el e$e 3 ( el +ori*onte se conoce como el ngulo de inclinacin longitudinal. Con la%inalidad de utili*ar las le(es de NeJton para %ormular las ecuaciones de mo'imiento senecesitan e3presiones para los 'ectores de 'elocidad ( aceleracin del a'in sin #ue est&nre%eridas a un sistema coordenado rotacional. "stas se pueden encontrar utili*ando el

teorema de C+asle el cual esta!lece #ue el mo'imiento en general del cuerpo rgido es el'ector #ue se o!tiene como resultado de una translacin ( una rotacin puras. Un corolariodel teorema de C+asle es #ue para cual#uier 'ector a8t2 la ra*n de cam!io en el tiempopara un sistema coordenado #ue no sea rotacional esta relacionado con la ra*n de cam!io'ista por un o!ser'ador rotacional mediante la %ormula 5

donde denota el Kproducto cru*K 'ectorial ( es la 'elocidad angular del sistemacoordenado rotacional.

,ara este pro!lema la 'elocidad angular del sistema coordenado rotacional esta dada poroJ donde*es un 'ector unitario dirigido +acia %uera ( perpendicular a los e$es @ @ . 9i se+ace #ue Usea la componente de la 'elocidad en la direccin del e$e ( Fla componentede la 'elocidad en la direccin del e$e @ entonces el 'ector de la 'elocidad total esta dadopor medio de 5

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CONTROL AUTOMTICO.

)onde (( 4son 'ectores unitarios en la direccin positi'a de los e$es @ @ . Aplicando elcorolario del teorema se o!tiene 5

O !ien 5

)onde el punto a+ora denota las 'eces #ue se deri'a la 'aria!le en el sistema coordenadorotacional. Adems de la %uer*a gra'itacional #ue se muestra en la %igura anterior tam!i&nact/an las %uer*as de empu$e ( aerodinmica so!re el a'in. 9ean la componente en (&la componente en de todas las %uer*as adicionales. A partir de la segunda le( de NeJtonse o!tiene 5

Adems el mo'imiento rotacional se determina a partir de 5

)onde I es el momento de inercia del a'in alrededor del origen de las coordenadas delcuerpo rgido ( Mes la suma de los momentos alrededor del mismo punto. 9i se de%ine 5

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CONTROL AUTOMTICO.

"ntonces la ecuacin anterior se puede escri!ir como 5

Las cuatro ecuaciones anteriores de%inen el mo'imiento longitudinal del a'in en t&rminosde las cuatro 'aria!les de estado oU@ F(G. La 'aria!le de estadoGse conoce como lara*n de a'ance . "n general las %uer*as de control pueden entrar a tra'&s de @ & ( M.A#u se simpli%icar el sistema suponiendo #ue el control entra solamente a tra'&s delt&rmino M. "spec%icamente se supone #ue las %uer*as ( los momentos se pueden e3presar%uncionalmente como 5

7 9U@ F!& 7 M9U@ F!M 7 M9U@ F@ G@ N!@

)onde la entrada de control N corresponde a la de%le3in del ele'ador so!re elesta!ili*ador +ori*ontal. "n general @ &( Mson %unciones mas comple$as del empu$e laele'acin el arrastre ( los momentos #ue act/an so!re el a'in. La ele'acin el arrastre (el momento dependern del ngulo de ata#ue A. ,uesto #ue 5

9e 'e #ue dic+a dependencia se +a incluido. 9in em!argo se +a despreciado la dependenciade otras cantidades tales como las ra*ones de cam!io de A( O#ue es mu( importante paraalgunos a'iones. 9upngase #ue el o!$eti'o es disear un controlador #ue mantenga ela'in en la 'ecindad de la condicin nominal correspondiente al ni'el de 'uelo esta!le."sto es la condicin nominal corresponde a 5

9ustitu(endo estos re#uerimientos en las ecuaciones 8.6-4B2 a la 8.6-6D2 se o!tiene 5

9i se eligen las coordenadas del cuerpo %i$o de modo #ue el 'alor nominal para F 7 > entonces estas coordenadas se denominan e$es de esta!ilidad. 9e +ace esta seleccin no solopor#ue es lo mas com/n sino tam!i&n simpli%ica el anlisis siguiente. La relacin entre los

7


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CONTROL AUTOMTICO.'alores real nominal ( pertur!ados '&ase las ecuaciones 8.6-4@2 a la 8.6-6D2 estn dadospor 5

)onde las letras min/sculas denotan las pertur!aciones. Aplicando las ecuaciones de estadopertur!adas 8.4-62 al sistema descrito por las ecuaciones 8.6-4B2 a la 8.6-6D2 e'aluadoen las condiciones de re%erencia da 5

)onde representa la deri'ada parcial de con respecto a Ue'aluada en las condicionesde re%erencia. La misma notacin se utili*a para de%inir etc. "l sistema a+ora es lineal.9in em!argo este aun no esta completamente en la %orma %a'orecida por la esta!ilidad dela'in ( los ingenieros de control . 9e tiene a partir de la ecuacin 8.6-62 #ue para 'alorespe#ueos de A ( F :

A.F8U,uesto #ue 5

H se tiene #ue 5

A 7 H8U.

Reempla*ando Hpor Ua en las ecuaciones 8.6-662 a la 8.6-6:2 ( reordenando se o!tiene 5

La cual es de la %orma 5

)onde 5

:


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CONTROL AUTOMTICO.

Los elementos de la matri* Ase conocen como las deri'adas de esta!ilidad. Los 'alorespara un a'in en particular se determinan a partir de los resultados de una prue!a de 'ueloo se estiman de los datos o!tenidos del t/nel del 'iento.

d! ELOCIDAD ROTACIONAL DE UN MOTOR DE CD :

Los elementos !sicos de un motor de CC controlado por armadura se muestran en la

siguiente %igura. Al aplicar un 'olta$e Ea la entrada se produce una corriente Ia tra'&s dela armadura #ue es de resistencia R( de inductancia L. "sta corriente produce un par #uees proporcional al producto del %lu$o magn&tico ( la corriente de la armadura I. "sto es

donde4es una constante del motor.

"l %lu$o magn&tico se puede producir (a sea mediante una corriente de campo constantesiendo proporcional a la corriente Io se puede producir mediante el uso de un imnpermanente. "n cual#uier caso es constante para un motor de CC controlado porarmadura. )e este modo el par es proporcional a la corriente de armadura como esta dada

por 5

donde 1 . "l 'olta$e ees la %uer*a contraelectromotri* inducida por la rotacin de los!o!inados de la armadura en el campo magn&tico. La %uer*a contraelectromotri* esproporcional a la 'elocidad de giro de la armadura ( la intensidad de campo . "sto es

donde 4es otra constante del motor. ,uesto #ue la intensidad de campo esconstante se puede reempla*ar el producto de las constantes por 4 7 4para o!tener 5

@


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CONTROL AUTOMTICO.

Aplicando la le( de 'olta$es de irc++o%% alrededor de la malla de la armadura da comoresultado 5

)onde R( Lson la resistencia e inductancia de armadura respecti'amente. "mpleando laecuacin 8.6-742 para eliminar I se o!tiene 5

Consid&rese a+ora el rotor ( la %lec+a de un motor. La aceleracin angular del rotor ( la%lec+a sern proporcionales al par de reaccin de un dispositi'o e3terno8tal como el par%ormado por una polea ( una !anda2 la cual esta dada por 5

donde* es el momento de inercia del rotor la %lec+a ( los implementos. )e este modo 5

9ustitu(endo esta e3presin en la ecuacin ( empleando para indicar latercera deri'ada de (con respecto al tiempo se o!tiene 5

9i se denota la tasa de rotacin 8 'elocidad angular 2 (mediante H la ecuacin anteriorpuede entonces ser escrita como un sistema de segundo orden 5

,ara motores de !a$a inductancia L 7 >de modo #ue esta ultima ecuacin se apro3imamediante 5

B


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CONTROL AUTOMTICO.Asignando se o!ser'a#ue la ecuacin 8.6-72 es la %orma escalar de la ecuacin 8.4-442. inalmente semostrara #ue4 ( 4 son la misma constante e3presada en unidades di%erentes. "n estadoesta!le se 'e #ue a partir de la ecuacin 8.6-72 #ue C

"sto es en ausencia de pares e3ternos el 'olta$e suministrado al motor iguala la %uer*aautomotri*. "n esta situacin de estado permanente la potencia de entrada al motor estadada por 5

H la potencia de salida del motor est dada por 5

"n ausencia de la potencia de entrada en estado esta!le se iguala a la potencia de salida (se conclu(e #ue 5

7 4

,or e$emplo si 4se e3presa en l%


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CONTROL AUTOMTICO.

"n la siguiente %igura se ilustra un rodillo cilndrico uni%orme con un pi'ote en el origen elcual opera !a$o la in%luencia de la gra'edad ( una aplicacin en el origen.

"l momento de inercia del rodillo cilndrico alrededor del centro de rotacin est dado por=83@donde es la mitad de la longitud ( es la masa total. 9ea*el momento de inerciade la %lec+a del motor ( del rotor de modo #ue 5

"s el momento rotacional de inercia total del sistema. Igualando la ra*n de cam!io delmomento angular alrededor del origen ( los pares aplicados da como resultado 5

)onde J es el despla*amiento angular medido a partir de la 'ertical. 9i se considera elngulo para como la entrada de control se puede detener en este momento el desarrollo (la ecuacin 8.6-7>2 podra dar un sistema de segundo orden. "l anlisis de los controlesseria para determinar la %uncin .

,ara controlar el sistema 5 9upngase #ue en este caso para el p&ndulo in'ertido el par segenera mediante un motor de CC controlado por armadura. Com!inando las ecuaciones8.6-7>2 ( 8.6-7:2 da el siguiente modelo para el con$unto rodillo-motor5

>


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CONTROL AUTOMTICO.La ecuacin di%erencial no lineal 8.6-:D2 descri!e el mo'imiento en general del sistemarodillo-motor para el caso en el #ue el par de actuacin se genera mediante un motor de CCcontrolado por armadura. "sta ecuacin no lineal se puede utili*ar por e$emplo parain'estigar el pro!lema de control #ue consiste en regresar al rodillo a su posicin 'ertical

1D.

9in em!argo supngase #ue el pro!lema de control es simplemente regresar el rodillo a laposicin T 1 D dado #ue este se encuentra en la 'ecindad de una posicin desead. 9 i se+ace la suposicin de #ue los ngulos son pe#ueos sen 1 D ( cos 1 entonces laecuacin 8.6-:D2 despu&s de multiplicarla por F la #ue se de%ine enseguida ( la ecuacindi%erencial lineal se reduce a 5

9upngase #ue el despla*amiento angular es la /nica cantidad #ue se mide 9 7 !.Paciendo 7 @ 7 @ u 7 E@ se 'e #ue la ecuacin 8.6-:2 es e#ui'alente al sistema deecuaciones 5

"l cam!io rpido 8 prcticamente instantneo2 en signi%ica #ue de!e satis%aceresencialmente una ecuacin alge!raica 9 7 >! mas #ue una ecuacin di%erencial 8 QD2. "nrealidad si Les id&nticamente cero entonces tam!i&n lo son e( e ( se puede resol'er laecuacin 8.6-:>2 para dando como resultado un sistema de segundo orden 5

"ntonces para inductancias pe#ueas es posi!le reducir el orden del modelo del sistema (aun o!tener una representacin ra*ona!le para un sistema real.

Consid&rese el pro!lema de disear un controlador de empu$e a !ordo para un sat&litesiendo la tarea de control el mantener al sat&lite en una r!ita circular geosncronadirectamente arri!a de cierto punto del "cuador de la tierra. "n la siguiente %igura se

4D


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CONTROL AUTOMTICO.muestra un sistema coordenado ortogonal giratorio con 'ectores unitarios e e ( e donde eapunta +acia %uera del papel ( coincide con el e$e de la tierra a tra'&s del polo norte.

"l sistema coordenado esta centrado en la tierra ( gira de modo #ue e siempre apunta +acia

el sat&lite. Con$untamente los 'ectores unitarios e ( e de%inen el plano de la r!ita delsat&lite el cual contiene al ecuador terrestre. La tierra esta rotando en sentido contrario a lasmanecillas del relo$ alrededor del e$e e con una 'elocidad angular H ( el sat&lite se mue'een su r!ita en sentido contrario a las manecillas del relo$ pero el segundo puede cam!iarsu r!ita mediante un empu$e. 9ea r la distancia del centro de la tierra al sat&lite ( o elngulo al sat&lite a partir de la direccin de una lnea !ase %i$a espec%icamente ladireccin desde el centro terrestre +asta la posicin destino so!re el ecuador en el tiempot 7 >.

9e supone #ue la masa del sat&lite ser constante !a$o la in%luencia de la %uer*agra'itacional de la tierra solamente. 9upuestamente este planeta es una es%era +omog&nea

#ue gira a una 'elocidad angular constante ( su centro es un punto %i$o en el espacio.

"l pro!lema de control consiste en mantener el sat&lite en una or!ita circular so!re unaposicin deseada en la super%icie terrestre su$eta a todas las pertur!aciones #ue tienden amo'er al sat&lite %uera de dic+a posicin . "sto es se !uscaT9.!( T9.!de modo #ue r9t!una constante 9t! Ht.

"l 'ector de posicin para el sat&lite esta dado por 5

H la 'elocidad angular del sistema coordenado giratorio es 5

"mpleando el corolario del teorema de C+asle se o!tiene el 'ector de 'elocidad 2en unsistema coordenado no giratorio como 5

4


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CONTROL AUTOMTICO.

La cual se reduce a 5

Aplicando la segunda le( de NeJton para un campo gra'itacional cuadrtico in'erso en lasdirecciones r ( se generan las ecuaciones de mo'imiento 5

)onde es la masa del sat&lite. Mes la masa de la tierra ( ula constante de la gra'itacinuni'ersal. Las entradas al sistema #ue controlan la r!ita del sat&lite son las componentesdel empu$e T9.!( T9.!en las direcciones r( o respecti'amente.

9e modelarn estos e%ectos tratando la masa de la tierra como M donde es un 'alorincierto %luctuante cu(o rango se asume como una %raccin de Mgenerndose la siguienteecuacin 5

,uesto #ue se desea mantener al sat&lite en una r!ita geosncrona con'iene de%inir las'aria!les de estado las 'aria!les de control u( un sistema escalar de incertidum!re 2mediante 5

)onde H es la 'elocidad angular de rotacin de la tierra. Las ecuaciones de estado son 5

A+ora se ilustra el proceso de lineali*acin en t&rminos del 'ector de control

44


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CONTROL AUTOMTICO.U 7T8@ T8K( procediendo de la misma manera para el 'ector de estados 7 r@r < Ht@!.Ignorando cual#uier incertidum!re en la masa de la tierra se pueden escri!ir las ecuacionesde mo'imiento 8.6-@>2 a la 8.6-B42 como 5

,ara U 7 >( una r!ita circular geosncrona se tiene la solucin de re%erencia 5

donde Rse determina a partir de la ecuacin 8.6-@@2 como 5

"l correspondiente estado de re%erencia constante 7 R@>@>@HK es una solucin a lasecuaciones de e#uili!rio 7 -9@U! 7 > con U 7 >. 9ean @@@ pe#ueos cam!ios enr@r@o o respecti'amente al de%inir 9t! 7 9t! 9t!. "ntonces las ecuaciones lineali*adasson 5

3.3 DE#INICIN DE LA ARIABLE DE ETADO :

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CONTROL AUTOMTICO.)iagrama de un sistema en 'aria!le de estado o de espacio estado 8ss2.

;A - Matri* de trans%erencia;= - Matri* de entrada;C - Matri* de salida;) - Matri* de transmisin directa 8=(pass2

La 'aria!le de estado es la representacin matricial de un sistema por medio de lasecuaciones #ue rigen este sistema. "l K!(passK es relacionado con #ue tiene el sistema sintener entrada como ocurre en los ampli%icadores operacionales #ue sin tener 'olta$e deentrada se puede medir un 'olta$e en su salida.

,rimero se determinan las entradas ( las salidas en este caso la entrada es u ( la salida es(.

9e despe$a la deri'ada de ma(or orden 5

9e de%inen 'aria!les de estado +asta orden -.

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CONTROL AUTOMTICO.Orden 1 ma(or deri'adaOrden - 1 4- 1 ra deri'ada

9e de%inen e#ui'alencias 5

9e sustitu(en las 'aria!les de estado en la ecuacin 5

9e constru(en las matrices de acuerdo a la regla general. 5

No se de!en ol'idar las e#ui'alencias si no la matri* se 'uel'e singular 5

La salida5 La salida es ( o !ien E5

EJEMLO DE ARIABLE DE ETADO :

4:


26/72

CONTROL AUTOMTICO.

Como se presenta una integral en la ecuaciones se pasa la ecuacin a t&rminos de Laplacepara des+acer la integral ( tra!a$ar en t&rminos de deri'ada.

"n esta e3presin (a no +a( integrales ( se 'uel'e a dominio del tiempo.

"n esta ocasin si se considera el K!(passK esto por si el capacitor estu'iese cargado antesde encender la %uente.

4@


27/72

CONTROL AUTOMTICO.3.= ALORE CARACTERITICO :

Galores caractersticos de una matri* Aden n5 Los 'alores caractersticos de una matri*Ade n nson las races de la ecuacin caracterstica .

Los 'alores caractersticos tam!i&n se denominan races caracterst(cas.

,or e$emplo considere la matri* Asiguiente5

La ecuacin caracterstica es 5

Los 'alores caractersticos de A son las races de la ecuacin caracterstica - -4 (-6 5

ALORE $ ECTORE CARACTERTICO:

9i Aes una matri* de n n entonces los n n/meros #ue satis%acen 5

son los 'alores caractersticos deA #ue de'uel'e los 'alores caractersticos en un 'ectorcolumna.

9i Aes real ( sim&trica los 'alores caractersticos sern reales. ,ero si Ano es sim&tricalos 'alores caractersticos sern con %recuencia n/meros comple$os.

,or e$emplo con 5

Los elementos de la matri* diagonal Dson los 'alores caractersticos ( las columnas de son los 'ectores caractersticos correspondientes tales #ue 5

A 7 D,or e$emplo si 5

4B


28/72

CONTROL AUTOMTICO.

9e escalan los 'ectores caractersticos para #ue la norma de cada uno sea .

9i los 'alores caractersticos de una matri* son distintos los 'ectores caractersticos sonsiempre independientes ( la matri* del 'ector caracterstico diagonali*ar la matri* Aoriginal si se aplica como una matri* de trans%ormacin de similaridad. 9in em!argo si unamatri* tiene 'alores caractersticos repetidos no es diagonali*a!le a menos #ue tenga uncon$unto completo 8independiente2 de 'ectores caractersticos. 9i los 'ectorescaractersticos no son independientes se dice #ue la matri* original est de%ectuosa. Inclusosi una matri* est de%ectuosa la solucin o!tenida se satis%ace si la relacin A 7 D.

3.= #UNCIN DE TRAN#ERENCIA :

a! EGUIALENCIA ENTRE ARIABLE DE ETADO $ #UNCINDE TRAN#ERENCIA :

Las ecuaciones en 'aria!le de estado para el sistema son 5

,ara o!tener la %uncin de trans%erencia se sustitu(en A@ B@ C ( Den la siguiente ecuacin5

sustitu(endo 9sIA!


29/72

CONTROL AUTOMTICO.

se determina la in'ersa de la matri* 5

( %inalmente se o!tiene la %uncin de trans%erencia 5

%! TRAN#ORMACIONE DE IMILITUD :

Las caractersticas para reali*ar la trans%ormacin cannica diagonal es #ue los 'alorescaractersticos sean5.- )i%erentes.4.- Reales.

6.- Sue la matri* ;A sea normal.Sue ;A sea normal es5 #ue se o!tenga del %ormato #ue se +a usado es decir #ue tengae#ui'alencias.

4>


30/72

CONTROL AUTOMTICO.

6D


31/72

CONTROL AUTOMTICO.c! OLUCION DE LA REUETA DE ETADO ARA UNAREUETA NO #OR&ADA :

7 A Bu

7 C Du

Respuesta No or*ada

6


32/72

CONTROL AUTOMTICO.

9olucin 5

Resol'er por trans%erencia de Laplace 5

d! AN6LII DE LA REUETA DEL ITEMA NO #OR&ADO :

M)TODO ARA REOLER eAt :

1.< M)TODO DE TRAN#ORMADA DE LALACE :

64


33/72

CONTROL AUTOMTICO.

EJEMLO:

oluc(0n NO -orada u 7 > :

66


34/72

CONTROL AUTOMTICO.

rmulas para calcular la Trans%ormada In'ersa de Laplace 5

Aplicando la Trans%ormada In'ersa al e$ercicio anterior5

67


35/72

CONTROL AUTOMTICO.

e! OLUCIN DE LA ECUACIONE DE ETADO ARA UNA

REUETA #OR&ADA :

Consid&rese el sistema lineal de tiempo continuo in'ariante con respecto al tiempo de p ( rsalidas dado por el modelo de estado.

9t! 7 A9t! B9t!

9t! 7 C9t! D9t!

Recu&rdese #ue la matri* Aes de n n Bes de n / Ces de r n( Des de r /.

)ado un estado inicial 38D2 en el tiempo inicial t 1 D ( una entrada 38t2 t D

el o!$eti'o consiste en resol'er 9t! 7 A9t! B9t!para la respuesta de estado 9t! alemplear9t! 7 C9t! D9t!.

Comi&ncese por considerar la ecuacin di%erencial 'ectorial li!re 8no %or*ada2 5

9t! 7 A9t!@ t >@

con estado inicial #8D2. ,ara resol'er 9t! 7 A9t! t D se necesita de%inir la matri*e3ponencial eAt #ue es una generali*acin natural de la e3ponencial escalar eat. ,ara cada'alor real de t se de%ine eAt mediante la serie de potencias de matrices.

6:


36/72

CONTROL AUTOMTICO.)onde Ines la matri* identidad de n n. La matri* e3ponencial eAt es una matri* de n nde %unciones del tiempo. Mas adelante se mostrar como se pueden calcular los elementosde eAt mediantela utili*acin de la trans%ormada de Laplace.

Pa( un par de propiedades de eAt

#ue se necesitarn. ,rimero para cual#uier n/mero realest ( l se tiene #ue 5

La relacin 5

se puede compro!ar al +acer 5

t 7 t l

en el 5

Al tomar se o!tiene 5

eAt e


37/72

CONTROL AUTOMTICO."l resultado es 5

Al regresar al pro!lema de resol'er se sostiene #ue la solucin es 5

,ara e3plicar #ue la e3presin . para 9t!es la solucin tmese la

deri'ada de am!os lados de .

"sto da 5

por lo tanto la e3presin . para #8t2 s satis%ace la ecuacindi%erencial 'ectorial 5

A partir de se 'e #ue el estado 9t!en el tiempo t#ue resulta delestado #8D2 en el tiempo t 1 D cuando no +a( entrada aplicada para t D se puede calcular al

multiplicar a #8D2 por la matri* eAt. Como resultado de esta propiedad la matri* eAt seconoce como la matri* de transicin de estado del sistema.

6B


38/72

CONTROL AUTOMTICO.-! OLUCION DE LA ECUACIN #OR&ADA :

A+ora se deducir una e3presin para la solucin de la ecuacin %or*ada 5

9t! 7 A9t! B9t!

La ecuacin se puede calcular mediante la utili*acin de una 'ersin matricial del m&tododel %actor de integracin.

Al multiplicar am!os lados de 9t! 7 A9t! B9t!por la i*#uierda por eAt( al rearreglart&rminos se o!tiene 5

Al emplear 5

se tiene #ue el lado i*#uierdo de 5

es igual a la deri'ada de eVAt#8t2. ,or tanto

Al integrar de am!os lados de 5

se tiene 5

6


39/72

CONTROL AUTOMTICO.por ultimoal multiplicar am!os lados por la i*#uierda por eAt se o!tiene 5

La ecuacin

es la solucin completa de 9t! 7 A9t! B9t!

#ue resulta del estado inicial #8D2 ( de la entrada 38t2 aplicada para . "sta ecuacines una generali*acin de la e3presin #ue se dio para la solucin de una ecuacindi%erencial escalar de primer orden.

,! REUETA DE ALIDA :

Respuesta de salida 5

Al sustituir 5

en 5

9t! 7 C9t! D9t!

se tiene #ue la respuesta de salida (8t2 completa #ue resulta deW estado inicial #8D2 ( de laentrada 38t2 est dada por 5

Al usar la de%inicin del impulso unitario d8t2 se puede escri!ir 5

6>


40/72

CONTROL AUTOMTICO.

en la %orma 5

Al de%inir 5

( 9t! 7 C eAr9>!

( 5

se tiene5

$9t! 7 $( 9t! $s9t!.

Al t&rminoyzi (t!se le conoce como la respuesta de entrada cero puesto #ue es la respuestade salida completa cuando la entrada 9t!es cero. "l t&rmino ( 9t! se conoce como la

respuesta de estado cero (a #ue es la respuesta de salida completa cuando el estado inicial#8D2 es cero.

La respuesta de estado cero s 9t!es igual #ue la respuesta a la entrada 9t!cuando no +a(energa inicial en el sistema en el tiempo t 1 D. "n el caso de entrada;salida sencillas sesa!e #ue 5

donde +8t2 es la respuesta al impulso del sistema.

7D


41/72

CONTROL AUTOMTICO.Al igualar los lados derec+os de 5

( 5

se tiene 5

,ara #ue 5

'alga para todas las entradas 38t2 de!e ser cierto #ue 5

o !ien 5

Al emplear la relacin 5

se puede calcular la respuesta al impulso directamente de las matrices de los coe%icientesdel modelo de estado del sistema.

7


42/72

CONTROL AUTOMTICO.'! M)TODO ARA REOLER eAt:

.- MXTO)O )" LA TRAN9ORMA)A )" LA,LAC" 5

7 A B u

s 9s! ; 9>! 7 A 9s! B u 9s!

s 9s! ; A 9s! 7 9>! B u 9s!

9sI ; A ! 9s! 7 9>! B u9s!

9s! 7 9sI ; A !! B u 9s!

e At 7 L;1{9sI ; A !! A@ B@ C@ D

7 C 9t! D u9t!

EJEMLO:

A = B = C = D = 0

oluc(0n NO -orada u 7 >

E 1A 3 ? = u 38t2 1 e At38D2

( 1 C 3 ? ) u

e At 1 L V{8sI V A2-}

74


43/72

CONTROL AUTOMTICO.

* 1 sI V A 1

1

1

1

1

eAt1 L V

rmulas para calcular la trans%ormada In'ersa de Laplace 5

L V 1 e V!tsen Jt

L V 1 e V!tcos Jt

Aplicando la Trans%ormada In'ersa al e$ercicio anterior 5

L V

L V 1 -

76


44/72

CONTROL AUTOMTICO.

J1 J1

!14 !14

1 e V4tcos t V e-4tsen t 82

L V 1 e-4tsen t 842

J 1

! 1 4

L V 1 -4 1 -4 e-4tsen t 862

J 1

! 1 4

L V 1 1 ?

J1 J1

!14 !14

e-4t cos t ? e-4tsen t 872

1

1

77


45/72

CONTROL AUTOMTICO.

1

( 1

( 1

( 1

3. CONTROLABILIDAD :

7:


46/72

CONTROL AUTOMTICO.9e dice #ue un sistema es controla!le en el tiempo t osi se puede lle'ar de cual#uier estadoinicial 9to!a cual#uier otro estado mediante un 'ector de control sin restricciones en uninter'alo de tiempo %inito.

Las condiciones de controla!ilidad determinan la e3istencia de una solucin completa paraun pro!lema de diseo de un sistema de control. Tal 'e* no e3ista una solucin a estepro!lema si el sistema considerado es no controla!le.

a! CONTROLABILIDAD COMLETA DEL ETADO DE ITEMA ENTIEMO CONTINUO :

Considere el sistema en tiempo continuo5

d8dt7A Bu

"n donde 3 1 'ector de estados u 1 'ector de dimensin n.

U 7 sePal de control 9 escala!A 7 atr( de n nB 7 atr( de n 1

9e dice #ue el sistema descrito mediante la ecuacin d8dt7A Bu es de estadocontrola!le en t 1to si es posi!le construir una seal de control sin restricciones #uetrans%iera un estado inicial a cual#uier estado %inal en un inter'alo de tiempo %initotoQ 7 t Q 7 t1.

9i todos los estados son controla!les se dice #ue el sistema de estado es completamentecontrola!le.A+ora o!tendremos la condicin para una contrala!ilidad completa del estado. 9in perder lageneralidad suponemos #ue el estado %inal es el origen en el espacio de estados ( #ue eltiempo inicial es cero to7 >.

La solucin de la ecuacin es 5

9i el sistema es de estado completamente controla!le entonces dado cual#uier estadoinicial 9>!la ecuacin de!e satis%acerse. "sto re#uiere #ue el rango de la matri* de n nsea n :

7@


47/72

CONTROL AUTOMTICO.

A partir de este anlisis esta!lecemos del modo siguiente la condicin para lacontrola!ilidad completa del estado 5 el sistema o!tenido mediante la ecuacind8dt7A Bu es de estado completamente controla!le si ( solo si los 'ectores

son linealmente independientes a la matri* de n n.

"l resultado reci&n o!tenido se e3tiende al caso en el #ue el 'ector de control u es dedimensin r. 9i el sistema se descri!e mediante 5

d8dt7A Bu

en donde u es un 'ector de dimensin r se demuestra #ue la condicin para lacontrola!ilidad completa del estado es #ue la matri* de n nrsea de rango n o #uecontenga n'ectores columna linealmente independientes.

La matri* se denomina por lo com/n matri* de controla!ilidad.

%! CONTROLABILIDAD DE LA ALIDA :"n el diseo prctico de un sistema de control tal 'e* pretendamos controlar la salida enlugar del estado del sistema. Una controla!ilidad completa del estado no es necesaria nisu%iciente para controlar la salida del sistema.

,or esta ra*n es con'eniente de%inir una controla!ilidad completa de la salida porseparado. Considere el sistema descrito mediante 5

d8dt7A Bu 17 C Du 5

en donde 31 'ector de estado 8'ector de dimensin n2 5

u7 2ector de control 9 2ector de d(ens(0n r!7 2ector de sal(da 9 2ector de d(ens(0n n!

A 7 atr( de n nB 7 atr( de n rC7 atr( de nD 7 atr( de r

9e dice #ue el sistema descrito mediante las ecuaciones 1( 5 es de estado completamentecontrola!le si es posi!le construir un 'ector de control sin restriccionesu9t!#ue trans%iera

7B


48/72

CONTROL AUTOMTICO.cual#uier salida inicial determinada 9to2 a cual#uier salida %inal 9t1!en un inter'alo detiempo %inito toQ 7 t Q 7 t1.

"s posi!le demostrar #ue la condicin para una controla!ilidad completa de la salida es la

siguiente 5 el sistema descrito mediante las ecuaciones 1( 5es de salida completamentecontrola!les si ( solo si la matri* 9n1!r.

es de rango.

c! OBERABILIDAD :

La o!ser'a!ilidad se utili*a para calcular las 'aria!les de estado o!ser'ando la salida encaso de no tener acceso a esta.

)ado un estado (8 t ? 2 como salida puede estimarse 38t2 como estado.

La matri* de o!ser'a!ilidad esta determinada por 5

"sta matri* nos sir'e para determinar si un sistema de n


49/72

CONTROL AUTOMTICO.CRITERIO DE LIAUNO ARA LA ETABILIDAD :

"3isten muc+os en%o#ues para el anlisis de la esta!ilidad de los sistemas de controlin'ariantes en el tiempo. 9in em!argo para los sistemas no lineales (;o los sistemas

'ariantes con el tiempo el anlisis de la esta!ilidad resulta mu( di%cil o imposi!le. "lanlisis de esta!ilidad de Liapuno' es un m&todo #ue se aplica para encontrar respuestas alas preguntas so!re la esta!ilidad de los sistemas no lineales.

"n >4 Liapuno' present dos m&todos el segundo m&todo 8#ue es el #ue nos interesa2no re#uiere de las soluciones de las ecuaciones di%erenciales mediante &ste m&todo sedetermina la esta!ilidad de un sistema sin resol'er las ecuaciones de estado. "sto o%receuna gran 'enta$a por#ue por lo general es mu( di%cil despe$ar las ecuaciones de estado nolineales (;o 'ariantes con el tiempo.

Caracterst(cas:

Tra!a$an en tiempo. No re#uieren resol'er ecuaciones.

1.(stea :

)onde es el 'ector de estado ( -9.t2 es un 'ector de dimensin n cu(os elementos son%unciones de 1@5@n.

5.Estado de eu(l(%r(o :

-9e@ /ara todo t! 7 > es el punto en el #ue las 'aria!les de estado son igual a cero.

Respuesta al estado inicial 5

"sta!ilidad en el sentido de Liapuno' 5

7>


50/72

CONTROL AUTOMTICO.

Lo anteriormente escrito se entender ms %cilmente o!ser'ando las siguientes gr%icas 5

Ninguna 'aria!le de!e de salirse del circulo donde se encuentra el punto de e#uili!rio8como se 'e en la %igura2.

9i suponemos #ue esta %ormada por todos los puntos tales #ue 5

( si suponemos tam!i&n #ue est %ormada por todos los puntos tales #ue 5

"l n/mero real depende de ( en general tam!i&n depende de to. 9i no depende deto se dice #ue el estado de e#uili!rio es uni%ormemente esta!le.

Lo #ue +emos planteado a#u es #ue primero seleccionamos la regin ( para cada

de!e e3istir una regin tal #ue las tra(ectorias #ue empie*an dentro de ( no

se aparten de con%orme tse incrementa inde%inidamente.

3.Esta%(l(dad As(nt0t(ca :

9e dice #ue un estado de e#uili!rio edel sistema de la ecuacin 82 es asintticamenteesta!le si se esta!lece en el sentido de Liapuno' ( todas las soluciones #ue empie*an dentro

de con'ergen a e sin apartarse de con%orme tse incrementa inde%inidamente.

:D


51/72

CONTROL AUTOMTICO.

=.Esta%(l(dad as(nt0t(ca ,eneral o total :

9i la esta!ilidad asinttica es 'lida para todos los estados 8todos los puntos en el espaciode estados2 a partir de los cuales se originan tra(ectorias se dice #ue el estado de e#uili!rioes asintticamente esta!le en general es decir se dice #ue el estado de e#uili!rio e delsistema o!tenido mediante la ecuacin 91! es asintticamente esta!le en general si esesta!le ( todas las soluciones con'ergen a econ%ormetse incrementa inde%inidamente.

:


52/72

CONTROL AUTOMTICO.

.Teorea /r(nc(/al de la esta%(l(dad de L(a/uno2 :

9e puede demostrar #ue si una %uncin escalar 9!en donde es un 'ector de dimensinn es de%inida positi'a lo estados 3 se satis%acen.

,ara un sistema determinado si se encuentra una %uncin escalar de%inida positi'a 9!tal#ue su deri'ada con respecto al tiempo tomada a lo largo de una tra(ectoria sea siemprenegati'a entonces con%orme se incrementa el tiempo 9!adopta 'alores cada 'e* ms

:4


53/72

CONTROL AUTOMTICO.pe#ueos de C. Con%orme se incrementa el tiempo 9!%inalmente se reduce a cero ( portanto tam!i&n se reduce a cero. "sto e3plica la esta!ilidad asinttica del origen delespacio de estados.

9uponga #ue el sistema se descri!e mediante 5

7 9-9@t! en donde -9>@t! 7 > /ara toda t

9i e3iste una %uncin escalar 9@t!con primeras deri'adas parciales continuas #uesatis%aga las condiciones 5

1. 9@t! es de-(n(da /os(t(2a5. 9@t! es de-(n(da ne,at(2a

"ntonces el estado de e#uili!rio en el origen es uni%orme ( asintticamente esta!le.

Un e$emplo sera5

os(t(2a 9! 7 1S 5SNe,at(2a


54/72

CONTROL AUTOMTICO.

,unto de e#uili!rio

unciones "scalares

)istancia euclidianaTra(ectorias

CLAE DE ETABILIDAD

G832 de%inida positi'aG832 de%inida negati'a

Cr(ter(o de ILETER

es de-(n(da /os(t(2a s(

:7


55/72

CONTROL AUTOMTICO.

Matr( cuadrVt(ca

M+todo de LIAUNO

::


56/72

CONTROL AUTOMTICO.UBICACIN DE OLO

,ara la u!icacin de polos solo se consideran las matrices A( B9iendo A1 B1

.n 1 6

Los polos deseados sern

1 -4 ? 7i41 -4 - 7i61 -D8s ? 4 ? 7i2 8s ? 4 - 7i2 8s ? D2

)esarrollando tenemos #ue es igual a5 s6? 7s4? @Ds ? 4DD

asos del d(sePo

1. Calcular la controla%(l(dad5.

M 1 = Y A= Y A4= Y A6= Y A7=

Como 'amos a tener tres polos entoncesM 1 = Y A= Y A4=

M 1

(a #ue A41

5. Calcular los /olos del s(stea 9coe-(c(entes!

s ;I - A 1 D

1

D 1 s4? 8s ? @2 ? ? :s

D 1 s6? @s4? ? :s

D 1 s6? @s4? :s ?

a+ora tomamos los coe%icientes de s en un orden de - es decir tomamos los coe%icientes apartir de s4

:@


57/72

CONTROL AUTOMTICO.a1 @a41 :a61

3. oner la atr( A en la -ora can0n(ca controla%le

T 1 M Z

Z 1 T 1 ;I

=.

8s ? 4 ? 7i2 8s ? 4 - 7i2 8s ? D2 WX s6? 7s4? @Ds ? 4DD

[ 1 - aY 4- a4Y 6- a6 T 8siempre ( cuando T este en la %orma cannica2

[ 1 6- a6Y 4- a4Y- a T

Los 'alores de seran los siguientes 11 7 51 @D 31 4DD

9ustitu(endo los 'alores de a ( de tenemos #ue

[ 1 4DD - @ Y @D - s Y 7 - @ [ 1 >> ::

#0rula de Ac4eran

[ 1 D D = Y A= Y A4= 8A2

)onde 8A2 es el coe%iciente de la ecuacin #ue se #uiere pero en lugar de s colocamos lamatri* A. "$emplo5 tenemos la ecuacin s6? 7s4? @Ds ? 4DD

8A2 1 A6? 7A4? @D A ? 4DD ;I

D(sePo de un s(stea de Control /or U%(cac(0n de olos

:B


58/72

CONTROL AUTOMTICO.

U1 -[3Pa( 'arios tipos de polos5

,olos La*o a!ierto,olos La*o cerradoH polos Reguladores

orma Cannica Controla!le

La %orma cannica O!ser'a!le es la transpuesta de la anterior matri*

:


59/72

CONTROL AUTOMTICO.

U%(cac(0n de olos

"$emplo

OLO DEEADO

M17


60/72

CONTROL AUTOMTICO.

OBERADORE DE ETADO:

"n la seccin donde se present el m&todo de la u!icacin de polos para el diseo desistemas de control se supuso #ue todas las 'aria!les de estado estn disponi!les pararetroalimentacin. 9in em!argo en la prctica no todas las 'aria!les se encuentrandisponi!les para retroalimentacin. "ntonces +a( #ue estimar las 'aria!les de estadodisponi!les. "s importante e'itar la di%erenciacin de una 'aria!le de estado para generarotra. La di%erenciacin de una seal siempre disminu(e la relacin seal de comando. "nocasiones la relacin seal a ruido puede disminuir 'arias 'eces por un proceso dedi%erenciacin. Pa( procedimientos para estimar 'aria!les de estado no disponi!les sinutili*ar el proceso de di%erenciacin. La estimacin de 'aria!les de estado no medi!les sesuele denominar o!ser'acin. A un dispositi'o 8 o aun programa de computadora2 #ueestima u o!ser'a las 'aria!les de estado se le denomina o!ser'ador de estado osimplemente o!ser'ador . 9i el o!ser'ador de estado estima todas las 'aria!les de estadodel sistema independientemente de si algunas 'aria!les de estado se encuentran disponi!lespara medicin directa se denomina o!ser'ador de estado de orden completo. Pa(

ocasiones en #ue esto no es necesario (a #ue solo se re#uiere o!ser'ar las 'aria!les deestado no medi!les pero no las #ue son medi!les en %orma directa.,or e$emplo como las 'aria!les de salida son o!ser'a!les ( estn relacionadas con las'aria!les de estado no se necesitan o!ser'ar todas las 'aria!les de estado si no sloo!ser'ar n < 'aria!les de estado donde n es la dimensin del 'ector de estado ( m es ladimensin del 'ector de salida. "l o!ser'ador de estado #ue slo estima las 'aria!les deestado de orden mnimo se denomina o!ser'ador de estado de orden mnimo o simplementeo!ser'ador de orden mnimo.

O%ser2ador de Estado :

Un o!ser'ador de estado estima las 'aria!les de estado con !ase en la medicin de las'aria!les de salida ( de control. Como se 'era mas adelante se pueden disearo!ser'adores de estado si ( slo si se satis%ace la condicin de o!ser'a!ilidad.

"n los estudios siguientes so!re o!ser'adores de estado se utili*ar la notacin paradesignar el 'ector de estado o!ser'ado. "n muc+os casos prcticos el 'ector de estadoo!ser'ado se utili*a en la retroalimentacin del estado para generar el 'ector de controldeseado.

@D


61/72

CONTROL AUTOMTICO.

Considere el sistema de%inido por5

9uponga #ue el estado se de!e apro3imar por el estado del modelo dinmico

#ue representa el o!ser'ador de estado. Ntese #ue el o!ser'ador de estado tiene a ( ucomo entradas ( a como salida. "l /ltimo t&rmino del miem!ro derec+o de la ecuacin862 es un t&rmino de correccin #ue inclu(e la di%erencia entre la salida medida @ ( la

salida estimada . La matri* sir'e como matri* pesante. "l t&rmino de correccin

controla el estado . "n presencia de discrepancias entre matrices A ( B usadas en elmodelo ( en el sistema real la adicin de t&rminos correcti'os a(uda a reducir los e%ectosde!idos a la di%erencia entre el modelo dinmico ( el sistema real. "n la %igura siguienteaparece el diagrama de !lo#ues del sistema ( el o!ser'ador de estado de orden completo.

A continuacin se anali*an detalles so!re el o!ser'ador de estado cuando la dinmica secaracteri*a por las matrices A ( B ( por el termino de correccin adicional #ue inclu(e ladi%erencia entre la salida media ( la salida estimada. "n este anlisis se supone #ue lasmatrices A( Butili*adas en el modelo ( las del sistema real. son iguales.

O%ser2adores de estado de orden co/leto.

"l orden del o!ser'ador de estado #ue se tratar a#u es el mismo #ue el del sistema.9uponga #ue el sistema esta de%inido por las ecuaciones 82 ( 842 ( #ue el modelo deo!ser'ador esta de%inido por la ecuacin 862.,ara o!tener la ecuacin del error del o!ser'ador se resta la ecuacin 862 de la ecuacin 82.

@


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CONTROL AUTOMTICO.

.se de%ine la di%erencia entre ( como el 'ector de error e o sea

e 7 2 ( 9>!. si los

'alores propios de la matri* A< e C se eligen de modo #ue el desempeo dinmico del'ector de error sea asintticamente esta!le ( adecuadamente 'elo* cual#uier 'ector deerror tender a cero 8origen2 con 'elocidad adecuada.9i el sistema es completamente o!ser'a!le se puede pro!ar #ue es posi!le elegir la matri*epara #ue A < e Ctenga los 'alores propios deseados. "s decir se puede determinar lamatri* de ganancia del o!ser'ador epara o!tener la matri* deseada a < e C.

ITEMA DE CONTROL OTIMO CUADR6TICO:

"L )I9"\O )" 9I9T"MA9 )" CONTROL INGOLUCRA LO9 TR"9 ,A9O99I]UI"NT"9 5. )etermine #ue de!e de +acer el sistema ( como de!e de +acerlo 8especi%icaciones dediseo2.4. )etermine la con%iguracin del compensador o controlador relati'a a como estaconectado al proceso controlado.6. )etermine los 'alores de los parmetros del controlador para alcan*ar los o!$eti'os deldiseo.

Con-(,urac(0n de 2ar(os controladores en la co/ensac(0n de s(steas de control.

Co/ensac(0n en ser(e o cascada.

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CONTROL AUTOMTICO.

Co/ensac(0n ed(ante real(entac(0n.

Compensacin en prealimentacin 8 dos grados de li!ertad 2.

"n esta sesin se o!ser'ar el Controlador O/t(o CuadrVt(co.8LSR2.

)e acuerdo a la %uncin de 0auno'59! 7 Z

9! 7 9! 7 9A! A,ara #ue el sistema sea esta!le la deri'ada tiene #ue ser negati'a 8condicin de 0auno' 2 7 A9AB! 7 BA9! 7 Z 9 AA ! < 9AA! 7 G^ndice de rendimiento.

Con la ecuacin de Ricatti

AZAH la ecuacion de 7 RBZ< @@F 7 lr 9a@%@@r!

(stea de Control Ada/ta%le

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CONTROL AUTOMTICO."n aos siguientes se +a incrementado el inter&s en los sistemas de control adapta!le $untocon el inter&s ( progreso de ro!tica ( otros campos del control. "l termino de sistema decontrol adapta!le tiene una 'ariedad de signi%icados espec%icos pero en general implican#ue el sistema es capa* de acomodarse a modi%icaciones no predeci!les del medio sean

esos cam!ios internos o e3ternos al sistema. "ste concepto tiene una gran dosis de atraccinpara los diseadores de sistemas un sistema altamente adapta!le adems de aceptar lasmodi%icaciones am!ientales tam!i&n aceptar errores de diseo de ingeniera oincertidum!re ( compensar las %allas de componentes menores incrementando as lacon%ia!ilidad de los sistemas.9e comien*a por presentar algunos conceptos !sicos so!re sistemas de control adapta!lee3plicando en #u& consiste. Luego se tratan las %unciones necesarias #ue un controladorde!e cumplir para #ue se pueda considerar adapta!le. inalmente se presentan algunosconceptos so!re sistema de aprendi*a$e.

Introducc(0n :"n la ma(ora de los sistemas de control de retroalimentacin pe#ueas

des'iaciones en los 'alores de los parmetros de diseo no produce ning/n incon'enienteen el desempeo normal del sistema siempre #ue esos parmetros estn dentro del la*o. 9inem!argo si los parmetros de la plantan 'aran ampliamente con los cam!ios am!ientalesel sistema de control puede presentar una respuesta satis%actoria para cierta condicinam!iental pero no para otras condiciones. "n ciertos casos grandes 'ariaciones en losparmetros de la planta pueden causar inesta!ilidad."n el anlisis mas sencillo considerar di%erentes con$untos de 'alores de los parmetros dela planta. "ntonces es desea!le reali*ar el diseo de un sistema de control #ue %uncione!ien con todo los con$untos. Tan pronto se %ormula esta e3igencia el pro!lema de controlptimo estricto pierde su importancia. Al pedir un !uen diseo so!re un rango amplio +a(#ue a!andonar el desempeo ptimo para un con$unto de parmetros.

9i la %uncin de trans%erencia o la ecuacin de estado de una planta se puede identi%icarcontinuamente las 'ariaciones en la %uncin de trans%erencia o en la ecuacin de estado dela planta se puede compensar por la simple 'ariacin de los parmetros a$usta!le delcontrolador ( por tanto o!tener un diseo satis%actorio continuo del sistema !a$o di'ersascondiciones am!ientales. Tal m&todo de adaptacin es !astante /til para en%rentar unpro!lema en #ue la plata &sta normalmente e3puesta a condiciones am!ientales 'aria!lesde manera #ue los parmetros de la plantan 'aran de tiempo en tiempo. 8Como los cam!iosno son predeci!les en la ma(or parte de los casos un controlador de parmetros %i$os o de'ariacin programada de tiempo no puede dar respuesta al pro!lema2.

De-(n(c(0n de s(stea de control ada/ta%le.

La adaptacin es una caracterstica %undamentalmente de los organismos 'i'os pues tratande mantener un e#uili!rio %isiolgico en medio de condiciones am!ientales 'aria!les. Unm&todo para el diseo de sistemas adapta!les es el de considerar los aspectos de adaptacinen +umanos o animales ( desarrollar sistemas #ue se comporten de alguna manera en%orma anloga.

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CONTROL AUTOMTICO."n la literatura actual +a( di%erentes de%iniciones de sistemas de control adapta!les. La'aguedad #ue rodea a la ma(ora de las de%iniciones ( clasi%icaciones de sistemasadapta!les se de!e a la gran 'ariedad de dispositi'o por los #ue se pueden alcan*ar laadaptacin ( a la di%icultad de di%erenciar entre mani%estaciones e3ternas de

comportamiento adapta!le ( los mecanismos in ternos utili*ados para lograrla. "n primerlugar aparecen distintas de%iniciones de!idas a las di%erentes clasi%icaciones ( los limites#ue di'iden los sistemas de control adapta!les. 8"l grado de adaptacin re#uerido por lama(ora de las especi%icaciones de sistema se puede lograr usando las t&cnicas +a!itualesde retroalimentacin con ganancias %i$as compensadores ( en algunos casos nolinealidades2.

"s necesario de%inir las caractersticas del sistema adapta!le #ue son %undamentalmentedi%erentes de las de los sistemas con'encionales de realimentacin de modo #ue se puedarestringir la atencin e3clusi'amente a a#uellos aspectos propios del diseo ( desempeodel control adapta!le. "n este li!ro se de%inen los sistemas de control adapta!le como sigue5

)e%inicin sistema de control adapta!le es un sistema #ue en %orma continua ( automticamide las caractersticas dinmicas 8tales como la %uncin de trans%erencia o la ecuacin deestado2 de la planta las compras con las caractersticas dinmicas deseadas ( usa ladi%erencia para 'ariar los parmetros a$usta!le del sistema 8#ue suelen ser las caractersticasdel controlador2o general una seal actuante de modo #ue se mantenga el desempeoptimo independientemente de las modi%icaciones am!ientales.)e otra %orma el sistema puede medir continuamente su propio desempeo de. acuerdo conalg/n ndice de desempeo ( modi%icar en caso necesario sus propios parmetros paramantener el desempeo ptimo independientemente de algunas modi%icacionesam!ientales.

,ara denominarlo sistema adapta!le de!en darse caractersticas de auto-organi*acin. 9i ela$uste de los parmetros del sistema se reali*a slo por medicin directa del medio elsistema no es adapta!le.

9e puede dar el e$emplo de un sistema #ue sin serlo parece ser adapta!le el auto piloto deaerona'e diseado para a$ustar las ganancias de su la*os como %uncin de su altura paracompensar los correspondientes cam!ios en los parmetros de la aerona'e. "l a$uste se !asaen in%ormacin directa so!re el medio8en este caso la presin atmos%&rica2 ( no en unes#uema de auto-organi*acin. "sos sistemas no tienen ninguna caractersticas deorgani*arse as mismos ( por tanto son esencialmente sistemas con'encionales de la*ocerrado.

Otro e$emplo de sistema #ue pueden aparecer adapta!les #ue en realidad no lo son se daen el campo de los sistemas de control con modelo de re%erencia. Alguno de estos sistemassolo utili*an la di%erencia entre la respuesta del modelo ( la respuesta de la planta comoseal de entrada a la planta como se puede 'er en la %igura :- 8a2."stos sistemas no sepueden considerar 'erdaderamente adapta!les pues una simple manipulacin en eldiagrama de !lo#ues reduce esta con%iguracin a la %igura :-8!2#ue simplemente es unla*o de retroalimentacin !sico con un %iltro pre'io. 8Ntese #ue algunos autores llaman

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CONTROL AUTOMTICO.adaptacin por modelo a este tipo de control. "l modelo puede ser un modelo %sico o unsistema simulado en una computadora. "l modelo no tiene parmetros 'aria!les2.

nd(ce de dese/ePo.

La !ase del control adapta!le descansa en el %undamento de #ue +a( alguna condicin deoperacin o desempeo del sistema me$or #ue cual#uiera otra. "ntonces es necesariode%inir #u& constru(e el desempeo ptimo. "n sistemas de control adapta!le taldesempeo est de%inido en %uncin del ndice de desempeo #ue se de!e %i$ar al esta!lecerlos o!$eti'os. "sos o!$eti'os pueden ser tan di'ersos como los sistema a los cuales se 'an aaplicar pero en general se pueden e3tender el o!$eti'o de la optimi*acin a minimi*ar elcosto de operacin o minimi*ar el !ene%icio econmico.

Algunas caractersticas #ue se consideran desea!les son 5

. Con%ia!ilidad4. 9electi'idad6. Aplica!ilidad

8a2 9istema de control con modelo de re%erencia.

8!2 )iagrama de !lo#ue simpli%icado.

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CONTROL AUTOMTICO.,or tanto el ndice de desempeo de!e ser con%ia!le o de!e ser una medida uni%orme deK!ondad K para sistemas de todo orden. )e!e ser selecti'o o sea de%inir claramente loptimo como %uncin de parmetros del sistema. No de!e contener ptimos locales oparciales el ndice de desempeo de!e %cil de aplicar ( medir en sistemas reales.

9i el ndice de desempeo toma un 'alor cero en las condiciones ptimas de%uncionamiento en un lugar de m3imo o un mnimo se puede utili*ar como seal de errorde la*o adapta!le ( puede utili*arse directamente como retroalimentacin en algunossistemas.

)e!e notarse #ue en general todos los ndices de desempeo matemticamente utili*a!les8como los ndices de desempeo cuadrtico2. Comparten un incon'eniente gra'e5 aun#ueespeci%ican el costo de operacin del sistema en %uncin del error ( de la energa noo%recen in%ormacin so!re las caractersticas de respuesta transitoria del sistema. As unsistema diseado para %uncionar en %orma ptima desde el punto de 'ista de las

KutilidadesK puede tener caractersticas transitorias indesea!les o +asta ser inesta!le.,or tanto para asegurar caractersticas de repuesta satis%actorias se pueden re#uerir criteriossecundarios respecto a las caractersticas de respuesta #ue in%lu(an en la seleccin de loselementos de costo mas ele'ado.

inalmente se de!e recordar #ue el ndice de desempeo utili*ado en un sistema de controladapta!le de%ine alg/n desempeo ptimo de este sistema. "sto signi%ica #ue el ndice dedesempeo o%rece so!retodo el lmite superior de desempeo del sistema. ,or tanto esmu( importante elegir un ndice de desempeo adecuado.

Controladores ada/ta%les :

Un controlador adapta!le est %ormado en las tres %unciones siguientes5

. Identi%icacin de las caractersticas de la planta.4. Toma de decisin !asada en la identi%icacin de la planta.

Mod(-(cac(0n o acc(0n %asada en la dec(s(0n toada :

9i la planta se conoce en %orma imper%ecta #ui*s a causa de la 'ariacin aleatoria de losparmetros al transcurrir de tiempo o por el e%ecto de 'ariaciones am!ientales en lascaractersticas dinmicas de la planta en ese caso la identi%icacin inicial decisin (modi%icacin de procedimientos no sern su%iciente para minimi*ar 8o ma3imi*ar2 el ndicede desempeo. "ntonces se re#uiere reali*ar estos procedimientos continua o%recuentemente a inter'alos #ue dependen de la 'elocidad de 'ariacin de los parmetros."ste constante KautorrediseoK u organi*acin de s mismo para compensar los cam!iosimpredeci!les de la planta es el aspecto de desempeo considerado al de%inir un sistema decontrol adapta!le.

"n la %igura siguiente se muestra un a representacin en diagrama de !lo#ue de un sistemade control adapta!le. "n este sistema se identi%ica la planta ( se mide el ndice de

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CONTROL AUTOMTICO.desempeo continua o peridicamente. Una 'e* logrado esto el ndice de desempeo secompara con el ptimo ( se toma una decisin so!re cmo modi%icar la seal actuante.Como la planta se identi%ica dentro del sistema mismo el a$uste de los parmetros es unaoperacin de la*o cerrado. Ntese #ue en un caso as de adaptacin en la*o cerrado se

puede plantear la pregunta so!re la esta!ilidad.

A continuacin se e3plicarn con cierto detalle las tres %unciones5 identi%icacin decisin (modi%icacin.

Ident(-(cac(0n de las caracterst(cas d(nV(cas de la /lanta :

Las caractersticas dinmicas de la planta se de!en medir e identi%icar continuamente o almenos %recuentemente. "sto se de!e reali*ar sin a%ectar el %uncionamiento normal delsistema. ,ara identi%icar las caractersticas de un sistema +a( #ue e%ectuar una prue!a omedicin ( anali*ar lo resultados.8"n el caso de un sistema de control esto implica imponeruna seal de control a la planta ( anali*ar la respuesta del sistema2. La identi%icacindeseada se puede reali*ar con !ase en los datos de %uncionamiento normal de la planta omediante el uso de seal de prue!a como pueden ser la seales senoidales de pe#ueamagnitud o di'ersas seales estocticas de !a$a amplitud. "n la prctica no se puedereali*ar una aplicacin directa de entradas a escaln o pulso. 8"3cepto en algunos casosespeciales la planta de!e encontrarse en %uncionamiento normal durante la prue!a demodo #ue las seales de prue!a superpuestas no pueden pertur!ar las salidas normalesadems las entradas normales ( el ruido del sistema no de!en a%ectar o con%undir laprue!a2.Las entradas normales son seales de prue!a ideales (a #ue no producendi%icultades en cuanto a salidas indeseadas o entradas #ue produ*can con%usin. 9inem!argo la identi%icacin con entradas normales slo es posi!le cuando tienencaracterstica de seal adecuadas 8anc+o de !anda amplitud ( otros2 para su correctaidenti%icacin.

"n determinadas aplicaciones las seales de prue!a estocsticas son mu( con'enientes.Utili*ando t&cnicas de correlacin cru*adas se puede anali*ar la salida como %uncin de laentrada estocstica se puede distri!uir la energa de e3citacin so!re una !anda de%recuencias +aciendo tolera!le su e%ecto. Adems como el dispositi'o #ue reali*a lacorrelacin cru*ada se puede disear de manera #ue relaciones estrec+adamente lasentradas ( las salidas el ni'el de la seal de prue!a se puede mantener !a$o.

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CONTROL AUTOMTICO.

La identi%icacin no de!e ser mu( larga de lo contrario se pueden producir otras'ariaciones de los parmetros de la planta. "l periodo de identi%icacin de!e sersu%icientemente !re'e en comparacin con las modi%icaciones am!ientales. Al limitar el

tiempo de identi%icacin es imposi!le identi%icar la planta en %orma completa lo me$or #uese puede esperar es solo una identi%icacin parcial."s importante notar #ue no todos los sistemas adapta!les re#uieren una identi%icacine3plcita.

,or otro lado si es mu( di%cil identi%icar la planta +a( #ue medir directamente el ndice dedesempeo ( construccin de un controlador adapta!le !asado en el mismo. 9i no sere#uiere identi%icacin ( la adapta!ilidad est !asada solo en mediciones del ndice dedesempeo se dice #ue el sistema de control es un sistema de control ptimo. Como coneste m&todo se consigue la organi*acin por s mismo se considera adapta!le.

La di%icultad para reali*ar una identi%icacin realista depende de cuanta in%ormacin sere#uiere de la planta ( la cantidad de in%ormacin pre'ia #ue se tiene de la misma. "ngeneral &stos son tam!i&n los %actores para decidir si con'iene utili*ar un m&todo deidenti%icacin o una !/s#ueda directa del espacio de parmetros de control como %uncindel ndice de desmpeo #ue se tratar ms adelante !a$o sistemas de control ptimo.

Toa de dec(s(0n %asada en la (dent(-(cac(0n de la /lanta :

9e entiende por decisin la #ue se toma en !ase a las caractersticas de la planta #ue +ansido identi%icadas ( al ndice de desempeo calculado.

Una 'e* identi%icada la planta se compara con las caractersticas ptimas 8o desempeoptimo2 ( luego se de!e tomar una decisin respecto a cmo se de!en 'ariar los parmetrosa$usta!les 8caractersticas del controlador2 para mantener el desempeo ptimo. Ladecisin se logra con una computadora.

Mod(-(cac(0n %asada en la dec(s(0n toada :

La modi%icacin se re%iere al cam!io de seales de control de acuerdo con los resultados dela identi%icacin ( decisin. "n la ma(ora de los es#uemas de la decisin ( modi%icacinson conceptualmente una sola operacin #ue consiste en una %orma de mecani*ar latrans%ormacin de la seal de decisin de salida en la seal de control 8la entrada alaplanta2."sta seal de control o seal de entrada a la planta se puede modi%icar de dos %ormas. Laprimera consiste en a$ustar los parmetros de control para compensar los cam!ios en ladinmica de la planta esto se denomina modi%icacin de parmetros del controlador. "lsegundo m&todo consiste en sinteti*ar la seal de control ptimo con !ase en la %uncin detrans%erencia de la planta o la ecuacin de estado de la planta del ndice de desempeo (de la respuesta transitoria deseada. A este m&todo se le denomina sntesis de seal decontrol.

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CONTROL AUTOMTICO.La eleccin entre modi%icacin de parmetros del controlador ( la sntesis de la seal decontrol depende %undamentalmente del e#uipo disponi!le pues am!os procedimientos sone#ui'alentes en su concepto. 9i lo importante es la con%ia!ilidad como en aplicacionesaeroespaciales con %recuencia se pre%iere usar la adaptacin de cam!io de parmetros ms

#ue la sntesis de seal de control."sto se de!e a #ue el sistema puede %uncionar aun tras un a %alla del la*o adapta!le si laseal de control no depende totalmente de la porcin adapta!le del sistema .

(stea de control 0/t(os :

Los sistemas de control ptimos se !asan %undamentalmente en las t&cnicas deoptimi*acin. "n general la optimi*acin consiste en la !/s#ueda del espacio de losparmetros 'aria!les del controlador como una %uncin de alg/n ndice de desempeopara determinar dnde se minimi*a o ma3imi*a ese n dice de desempeo. )e lo anterior#ueda implcito el +ec+o de #ue se puede de%inir un ndice de desempeo escalar como una

%uncin de las salidas del sistema de modo #ue su e3tremo representa el me$or desempeoposi!le del sistema. "sto suele ser posi!le ( necesario para cual#uier sistema de controladapta!le.

Los m&todos para determinar el punto de %uncionamiento ptimo son !sicamente los deprue!a ( correccin. "n el m&todo de pendiente m3ima se mide el gradiente de lasuper%icie del ndice de desempeo o!ser'ado los e%ectos de pe#ueos cam!ios de losparmetros 'aria!les. 8A esto se le puede llamar m&todo sensor de deri'ada2.Luego sedespla*a el 'ector de parmetros en direccin +acia la pendiente m3ima (a sea en un'alor %i$o en una magnitud determinada por el gradiente de la super%icie. Cuando losparmetros son de 'ariacin lenta el gradiente se puede calcular en %orma relati'amente

poco %recuentemente. 9in em!argo si se da el caso de #ue los parmetros 'aren masrpidamente se dispone de un m&todo conocido como disposicin alternati'a #ue essuperior al m&todo de sensor de deri'ada. Con disposicin alternati'a el sistema nunca%unciona en la condicin ptima opera a una distancia %i$a en %orma alternati'a a am!oslados del ptimo calculado un nue'o ptimo a partir de la di%erencia en los 'alores delndice de desempeo.

,ro!a!lemente la ma(or 'enta$a del m&todo de control ptimo no se +an impuestorestricciones a la planta. ,uede ser no lineal de m/ltiples entradas ( ; o salidas 'aria!les enel tiempo etc. Un incon'eniente importante de este m&todo de optimi*acin consiste en#ue no se +a encontrado ning/n procedimiento satis%actorio para discriminar contrae3tremos locales. ,or lo tanto este m&todo es /til en a#uellos sistemas %sicos cu(asuper%icie de desempeo tiene un ptimo /nico ( cu(as 'ariaciones son lo su%icientementelentas como para #ue el sistema se adapte a ellas.

(steas con a/rend(a*e :

Una di%erencia %undamental entre un operador +umano +!il ( el sistema de controladapta!le tratado antes es #ue el operador +umano reconoce entradas #ue le son %amiliares( puede utili*ar las e3periencias pasadas aprendidas para reaccionar de manera ptima. Los

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CONTROL AUTOMTICO.sistemas d control adapta!le estn diseados de modo #ue la seal de control se modi%i#ueal cam!iar el entorno del sistema manteniendo el desempeo siempre ptimo.A un sistema #ue puede reconocer las caractersticas %amiliares de alguna situacin (utili*ar sus e3periencias ad#uiridas en el pasado para desempearse en %orma ptima se le

llama sistema con aprendi*a$e.

Un sistema con aprendi*a$e constitu(e un sistema ms ele'ado #ue el de un sistemaadapta!le. "l espacio de todos los sistemas de control se puede di'idir en cuatro ni'eles$err#uicos !sicos5

. La*o a!ierto4. La*o cerrado6. La*o adapta!le7. La*o con aprendi*a$e.

)onde cada ni'el corresponde a un ndice de desempeo o error de control medido al ni'elinmediato o in%erior ( en donde los ni'eles superiores al cuarto aparecern en entonces mscompletos.

Un sistema con aprendi*a$e #ue responde a una situacin conocida no re#uiereidenti%icacin del sistema. "l m&todo de diseo en este sistema consiste en KensearleK alsistema cul es la me$or eleccin ante cada situacin. Una 'e* #ue el sistema a aprendidola le( de control ptimo para cada situacin posi!le puede %uncionar cerca de la condicinptima independientemente de los cam!ios am!ientales. 8La capacidad de aprendi*a$e esmu( importante en los sistemas ro!ticos2 .

Cuando un sistema con aprendi*a$e se encuentra sometido a una situacin nue'a aprende acomportarse por un m&todo de tipo adapta!le. 9i el sistema e3perimenta una situacin (aaprendida antes la reconoce ( act/a en %orma ptima sin necesidad de 'ol'er a pasar por elmismo proceso de adaptacin. Los modelos del comportamiento +umano #ue muc+osin'estigadores estn desarrollado induda!lemente darn resultados /tiles por su aplicacina sistemas con aprendi*a$e.

Coentar(os -(nales :

Los desarrollos recientes en 'e+culos aeroespaciales de alta e%iciencia en sistemasro!ticos en plantas de %a!ricacin de alto rendimiento imponen e3igencias ms ( msrigurosas a sus sistemas de control asociados. Al disear esos sistemas de control se tratadel desarrollo de sistemas #ue cumplan con las especi%icaciones impuestas por los usuarios!a$o las condiciones de operacin anticipadas. La ma(ora de los sistemas de control #uenecesitan tener un desempeo mu( riguroso en un rango mu( amplio de condiciones deoperacin necesariamente +an de ser adapta!les. "n los casos en #ue sea e'idente lanecesidad de una alta adapta!ilidad los re#uerimientos e%ecti'os son atendidos por unsistema de identi%icacin-decisin -modi%icacin sea con modi%icacin secuencial ocontinua seg/n el ritmo de 'ariacin de los parmetros.

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CONTROL AUTOMTICO.Los desarrollos ms %ascinantes en sistemas de control adapta!le se encuentran en las reasde reconocimiento de imgenes ( en sistemas con aprendi*a$es. "s posi!le #ue las t&cnicasde reconocimiento de patrones sean la respuesta a la necesidad de un procedimientogeneral de identi%icacin. Asociados a los m&todos con aprendi*a$e permitirn o!tener un

control adapta!le con aprendi*a$e.

"n esta seccin se +a presentado /nicamente un per%il de los sistemas de control adapta!les." l alumno interesado en tales sistemas de!e recurrir a la in%ormacin disponi!le dereciente in'estigacin.

introd control aut

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