ingenieria sismoresistente i - tema 2 - vibración libre

CURSO

INGENIERIA SISMORESISTENTE I

Modelos Dinmicos.-Principio de Dalambert.- Sistemas de un grado de

Libertad.- Ecuacin de Equilibrio Dinmico.- Vibracin Libre no

Amortiguada.

Ing. Omart Tello Malpartida

Modelos Dinmicos

En problemas de ingeniera no siempre es posible obtener soluciones matemticas rigurosas.

Cuando los problemas implican propiedades de los materiales, distribucin de carga y condiciones de contorno complejas, es necesario introducir simplificaciones o idealizaciones para reducir el problema a una solucin matemtica que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de la seguridad y la economa.

El nexo entre el sistema fsico y la posible solucin matemtica se obtiene con el modelo matemtico. Esta es la designacin simblica del sistema idealizado de sustitucin que incluye todas las simplificaciones impuestas al problema fsico.

Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida

Caractersticas del Problema Dinmico.

Caractersticas del problema Dinmico Presenta una sucesin de soluciones los desplazamientos y

esfuerzos dependen del tiempo.

Las fuerzas de inercia son parte del sistema de cargas. Se presentan fuerzas de amortiguamiento el

amortiguamiento genera que el movimiento se disipe.

Caractersticas del Problema Esttico. Las cargas no dependen del tiempo. La magnitud de la carga es independiente de el mecanismo de

respuesta.


Dinmico vs. Esttico

Dinmico.El resultado de los desplazamiento esta asociado con la aceleracin el cual es producto de la fuerza de inercia opuesta al movimiento.

Esttico.La respuesta estructural es funcin de la aplicacin de las cargas y es independiente del tiempo.


El Principio de Dalembert

Un sistema puede ser puesto en equilibrio dinmicoagregndole a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comnmente conocida como fuerza de inercia.

La fuerza de inercia es igual a la masa multiplicada por la aceleracin y debe estar siempre dirigida en direccin contraria al movimiento.

.IF M u= &&


Grados de Libertad

En dinmica estructural, el numero de coordenadas independientes necesario para especificar la configuracin o posicin de un sistema en cualquier instante del tiempo se conoce como el numero de grados de libertad.

Toda estructura continua tiene un numero infinito de grados de grados de libertad. Sin embargo, el proceso de seleccin o idealizacin de un modelo matemtico apropiado permite reducir los grados de libertad a un numero discreto y en algunos casos a uno solo.


Estructuras de un gdl

Estructuras que pueden ser modeladas con un grado de libertad

y

p (t)

F (t)

F (t)

yy

c)Ingeniera Sismo Resistente I

a)

b)


Modelo de un gdl

Las estructuras vistas anteriormente pueden ser representadas por el siguiente modelo matemtico:

y

F(t)c

k

m

Donde:

Un elemento masa m, que representa la masa o propiedad de inercia de la estructura.

Un elemento resorte k, que representa las fuerzas internas del sistema y la capacidad de la estructura a almacenar energa potencial.

Un elemento de amortiguacin c, que representa las caractersticas friccionantes y las perdidas de energa de la estructura.

La fuerza de excitacin F(t), que representa las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema estructural, la fuerza F(t) se escribe de esta forma para indicar que es funcin del tiempo


Resortes en paralelo y en serie

ke = k1 + k2

ke = ki

k1

k2

a) En paralelo

k1 k2

PP

yy

y1 = P / k1 y2 = P / k2

b) En serie

y = y1 +y2

1 / ke = 1 / k1 + 1 / k2

1 / ke = 1 /kiIng. Omart Tello MalpartidaIngeniera Sismo Resistente I

Ecuacin de Equilibrio Dinmico

c

F(t)

k

m

u

Sistema de un grado de libertad

Donde :

F(t) = Fuerza que varia con el tiempo

k = Constante total de los resortes de los elementos resistentes

c = Coeficiente de amortiguamiento

u = Desplazamiento lateral



c

F(t)

k

m

uFI = Fuerza de inercia de

sentido contrario al movimiento.

FD = Fuerza de amortiguamiento de sentido contrario al movimiento.

Fs = Fuerza elstica de resorte o fuerza recuperadora, de sentido contrario al movimiento.

= m. u

= c. u

= k. u

..

.

FI + FD + Fs = F(t)

m. u + c. u + k. u = F(t).. .

Sistema de un grado de libertad



ck

mu

Sistema de un grado de libertad Para el caso de excitacin ssmica, la nica carga externa tiene la forma de un movimiento aplicado al nivel del suelo, ug(t) ,entonces la aceleracin total de la masa m es:

ut = u + ug

FI = m. ut = m.( u + ug )

..

FI + FD + Fs = 0

m.(u + ug) + c. u + k. u = 0.. .

ut

ug

.. ..

.. .. ..

..

m.u + c. u + k. u = - m.ug.. . ..

m.u + c. u + k. u = Feff(t).. .Feff(t) = Fuerza efectiva resultante

del movimiento del suelo


Vibracin libre,sin amortiguamiento

Feff(t) = 0 c = 0 ; Movimiento peridico

m.u + k. u = 0..

u + (k/m). u = 0.. Ecuacin diferencial lineal

de 2do orden homognea

Haciendo : 2 = k / m ; = Frecuencia circular del sistemau + 2 .u = 0.. Solucin :

u = A. cos t + B. sen t u = -A. .sen t + B. . cos t

Calculo de constantes de integracin A y BPara condiciones iniciales :

Para t = 0 uo = A A = uoPara t = 0 uo = B. B = uo/

.

. . Ingeniera Sismo Resistente I



Reemplazando :

u = A. cos t + B. sen t u = -uo. cos t + (uo/ ) . sen t

Donde : uo = Desplazamiento inicial

uo = Velocidad inicial.

.

uo

uo.

C

u

t

T



Del grafico anterior :

= Frecuencia Circular o Natural del Sistema. (rad/seg)

T = Periodo de vibracin del Sistema, tiempo necesario para efectuar un ciclo completo de vibracin.(seg)

f = frecuencia de vibracin, numero de vibraciones en la unidad del tiempo.(ciclos/seg , hertz)

C = Amplitud, desplazamiento mximo con respecto ala posicin media.

= k/m

= 2. /

= 1 / T

= (uo)2+ (uo/ )2.


Ejemplo:


Determine la Ecuacin de movimiento.

Ejemplo:


Determine la frecuencia natural del sistema mostrado en la figura, que consiste en una carga de 100kg aplicado en una viga en voladizo a travs de un resorte k2.

La viga tiene un espesor t = 0.5 cm. , un ancho b = 5cm, un modulo de elasticidad E = 2.1x106 kg/cm2 y una longitud L = 50 cm. La constante k2 = 2kg/cm.

Ejemplo:


Determine la Ecuacin de movimiento.

Ejemplo:


Propiedades:

Ejemplo:


Ejemplo:


Masa:

Frecuencia Natural

Periodo del Sistema

Preguntas ?

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