inferencia estadÍstica: muestras de tamaño y... · 2020-05-06 · carmen cortés parejo tema 4:...

Carmen Cortés Parejo

Tema 4: Intervalos de confianza

INFERENCIA ESTADÍSTICA:

El objetivo será hacer estimaciones de los parámetros (media, varianza, …) de una población (variable) a partir de las

observaciones en las muestras.

Consideramos una variable 𝑋 de parámetros 𝜇 y 𝜎. Vamos a ir tomando muestras de tamaño 𝒏 de la variable. Para cada

una de ellas, su media ҧ𝑥 y su varianza 𝑠2 serán estimaciones de la media 𝜇 y la varianza 𝜎2 de la población 𝑋.

Muestra 1: 𝑥11 𝑥2

1 𝑥31 … 𝑥𝑛−1

1 𝑥𝑛1


2 𝑥32 … 𝑥𝑛−1

2 𝑥𝑛2 ҧ𝑥2 𝑠2

2


3 𝑥33 … 𝑥𝑛−1

3 𝑥𝑛3 ҧ𝑥3 𝑠3

2

ҧ𝑥1 𝑠12

Mediamuestral

Varianzamuestral

𝑋2

𝑋𝑖 ≡ 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑛 𝑑𝑒 𝑋

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏:

𝑋𝑖 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 μ 𝑦 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝜎2 𝑞𝑢𝑒 𝑋

𝑋1 𝑋3 𝑋𝑛−1 𝑋𝑛



Consideramos una variable 𝑋 de parámetros 𝜇 y 𝜎.

𝑋𝑖 ≡ 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑛 𝑑𝑒 𝑋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,… , 𝑛.

Variable media muestral:

ത𝑋 =𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛

𝑛Toma como valores las medias de las muestras de tamaño n: ҧ𝑥1, ҧ𝑥2, ҧ𝑥3, …

Variable varianza muestral:

𝑆2 =(𝑋1− ത𝑋)

2 + (𝑋2− ത𝑋)2 +⋯+ (𝑋𝑛− ത𝑋)

2

𝑛Toma como valores las varianzas de las muestras de tamaño n: 𝑠1

2, 𝑠22, 𝑠3

2, …



Teorema:

Si 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ത𝑋~𝑁(𝜇,𝜎

𝑛)

Demostración:

𝐸 ത𝑋 = 𝐸𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛

𝑛=𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + ⋯+ 𝐸(𝑋𝑛)

𝑛=𝜇 + 𝜇 +⋯+ 𝜇

𝑛=𝑛 ∙ 𝜇

𝑛= 𝜇

Observemos que si 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 entonces 𝑋𝑖~𝑁 𝜇, 𝜎 para todo 𝑖 = 1,… , 𝑛.

𝑉𝑎𝑟 ത𝑋 = 𝑉𝑎𝑟𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛

𝑛= 𝑉𝑎𝑟

𝑋1𝑛

+ 𝑉𝑎𝑟𝑋2𝑛

+⋯+ 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑛𝑛

=

=1

𝑛2𝑉𝑎𝑟 𝑋1 +

1

𝑛2𝑉𝑎𝑟 𝑋2 +⋯+

1

𝑛2𝑉𝑎𝑟 𝑋𝑛 = 𝑛 ∙

1

𝑛2∙ 𝜎2 =

𝜎2

𝑛



Ejemplo: Consideramos una variable aleatoria X que toma valores (equiprobables) 4, 7, 10

Función de probabilidad de 𝑋:

𝑥𝑖 4 7 10

𝑝𝑖 1/3 1/3 1/3

Media de 𝑋:

𝜇𝑋 =𝑥𝑖𝑝𝑖 =

= 4 ∙1

3+ 7 ∙

1

3+ 10 ∙

1

3= 7

Desviación típica de 𝑋:

𝜎𝑋 = 𝑥𝑖2𝑝𝑖 − 𝜇

2 =

= 16 ∙1

3+ 49 ∙

1

3+ 100 ∙

1

3− 49 = 6

SE CONSIDERAN MUESTRAS DE TAMAÑO 𝒏 = 𝟐:

Espacio muestral (4,4) (4,7) (4,10) (7,4) (7,7) (7,10) (10,4) (10,7) (10,10)

Medias muestrales 4 5.5 7 5.5 7 8.5 7 8.5 10

Función de probabilidad de ത𝑋:

ҧ𝑥𝑖 4 5.5 7 8.5 10

𝑝𝑖 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9

𝜇 ത𝑋 = ҧ𝑥𝑖𝑝𝑖 =

= 4 ∙1

9+ 5.5 ∙

2

9+ 7 ∙

3

9+ 8.5 ∙

2

9

+ 10 ∙1

9= 7

𝜎 ത𝑋 = ҧ𝑥𝑖2𝑝𝑖 − 𝜇

2 =

= 42 ∙1

9+ 5.52 ∙

2

9+ 72 ∙

3

9+ 8.52 ∙

2

9+ 102 ∙

1

9− 49 =

= 3 =6

2=𝜎𝑋

𝑛



Consideramos una variable 𝑋 de parámetros 𝜇 y 𝜎.

𝑋𝑖 ≡ 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑛 𝑑𝑒 𝑋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,… , 𝑛.

Estadístico: Cualquier variable definida a partir de las 𝑋𝑖.

ത𝑋 =𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛

𝑛𝑆2 =

(𝑋1− ത𝑋)2 + (𝑋2− ത𝑋)

2 +⋯+ (𝑋𝑛− ത𝑋)2

𝑛Ejemplos:

Estimador: Estadístico que se utiliza para estimar algún parámetro de la población (variable) 𝑋.

Ejemplos: ത𝑋 es un estimador de 𝜇 y 𝑆2 es un estimador de 𝜎2.

Estimador insesgado: Su esperanza matemática coincide con el valor del parámetro que estima.

Estimador sesgado: Su esperanza matemática no coincide con el valor del parámetro que estima.



Ejemplo 1: ത𝑋 es un estimador insesgado de 𝜇 porque vimos que 𝐸 ത𝑋 = 𝜇.

Ejemplo 2: 𝑆2 es un estimador sesgado de 𝜎2 porque puede comprobarse que 𝐸 𝑆2 =𝑛−1

𝑛∙ 𝜎2 ≠ 𝜎2.

Ejemplo 3:

Si definimos la variable CUASI-VARIANZA MUESTRAL como መ𝑆2 =𝑛

𝑛−1𝑆2 se tiene que la cuasi-varianza muestral es un

estimador insesgado de 𝜎2 ya que:

𝐸 መ𝑆2 = 𝐸𝑛

𝑛 − 1𝑆2 =

𝑛

𝑛 − 1𝐸 𝑆2 =

𝑛

𝑛 − 1∙𝑛 − 1

𝑛∙ 𝜎2 = 𝜎2

Nos ayudaremos de ciertos estimadores para calcular estimaciones de algunos parámetros de las poblaciones.



Un Intervalo de confianza [𝒂, 𝒃] para un parámetro de una población es un par de números entre los cuales se estima

que estará el parámetro con un determinado nivel de confianza p prefijado de antemano. Este intervalo se calcula a

partir de los datos de una muestra. El nivel de confianza representa el porcentaje de intervalos construidos a partir de

100 muestras independientes distintas que contienen al parámetro.

INTERVALOS DE CONFIANZA:

Nivel de confianza p:

𝑝 ∈ 0,1 (es una probabilidad)

𝑝 ↑↑ 1

𝑝~0.975, 0.95, 0.999

Amplitud del intervalo de confianza: 𝑏 − 𝑎

Margen de error cometido en la aproximación: 𝑏−𝑎

2

A veces es conveniente expresar el nivel de confianza como 𝒑 = 𝟏 − 𝜶, siendo 𝛼 ∈ 0,1

lo que se conoce como nivel de significación.



TABLA DE INTERVALOS DE CONFIANZA:



1.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝝁 CON 𝝈 CONOCIDA

Partiremos de:

𝑋 variable aleatoria con media 𝜇 desconocida y desviación típica 𝜎 conocida.

Una muestra de 𝑋 de tamaño 𝑛 de la que conocemos su media ҧ𝑥.

Un nivel de confianza 𝑝 = 1 − 𝛼.

Buscamos un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝑃 𝜇 ∈ 𝑎, 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝜇 ≤ 𝑏 = 𝑝 = 1 − 𝛼

Utilizaremos el estadístico: ത𝑋−𝜇

ൗ𝜎

𝑛

~𝑁(0,1) y buscaremos un intervalo −𝜆, 𝜆 tal que 𝑃 −𝜆 ≤ത𝑋−𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆 = 𝑝 = 1 − 𝛼

1 − 𝛼 = 𝑝 = 𝑃 −𝜆 ≤ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑧1−

𝛼2𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 1 −𝛼

2.

= 𝑃ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆 − 𝑃ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ −𝜆 = 𝑃ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆 − 1 − 𝑃ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆

𝑃ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆 =1 + (1 − 𝛼)

2= 1 −

𝛼

2⟹ 𝜆 = 𝑧

1−𝛼2



𝑃 −𝜆 ≤ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝜆 = 𝑝 = 1 − 𝛼 𝜆 = 𝑧1−𝛼2

𝑃 −𝑧1−

𝛼2≤

ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝜎

𝑛

≤ 𝑧1−

𝛼2

= 1 − 𝛼 ⟹ 𝑃 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2≤ ത𝑋 − 𝜇 ≤

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

= 1 − 𝛼

⟹ 𝑃 − ത𝑋 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2≤ −𝜇 ≤ − ത𝑋 +

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

= 1 − 𝛼 ⟹ 𝑃 ത𝑋 +𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2≥ 𝜇 ≥ ത𝑋 −

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

= 1 − 𝛼

𝑃 ത𝑋 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2≤ 𝜇 ≤ ത𝑋 +

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

= 1 − 𝛼Esto es cierto para cualquier valor de la variable media muestral

ത𝑋, en particular para ത𝑋 = ҧ𝑥.

𝑃 ҧ𝑥 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2≤ 𝜇 ≤ ҧ𝑥 +

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

= 1 − 𝛼 = 𝑝 INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝝁 CON 𝝈 CONOCIDA

ҧ𝑥 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2; ҧ𝑥 +

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2



INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝝁 CON 𝝈 CONOCIDA

ҧ𝑥 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2; ҧ𝑥 +

𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

ҧ𝑥

ҧ𝑥 +𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

ҧ𝑥 −𝜎

𝑛∙ 𝑧

1−𝛼2

Error = 𝝈

𝒏∙ 𝒛𝟏−𝜶

𝟐


Tema 4: Intervalos de confianzaDISTRIBUCIÓN t de STUDENT:

Dadas 𝑌, 𝑋1, … , 𝑋𝑛 variables independientes normales 𝑁(0,1),

la distribución t de Student con n grados de libertad se define

como:𝑡𝑛 =

𝑌

1𝑛σ𝑋𝑖

2

𝑡𝑛,𝑝

𝑝𝑡𝑛

Tabla: Dados 𝑛 (grados de libertad) y 𝑝 (probabilidad) la tabla nos proporciona el valor 𝑡𝑛,𝑝 tal que:

𝑃 𝑡𝑛 ≤ 𝑡𝑛,𝑝 = 𝑝

𝑡9,0.975 = 2.2622

Esto quiere decir que dada una 𝑡9, el valor que deja a su izquierda un área encerrada de 0.975 es 2.2622.

𝑃 𝑡9 ≤ 2.2622 = 0.975


Tema 4: Intervalos de confianzaDISTRIBUCIÓN t de STUDENT:

Dadas 𝑌, 𝑋1, … , 𝑋𝑛 variables independientes normales 𝑁(0,1),

la distribución t de Student con n grados de libertad se define

como:𝑡𝑛 =

𝑌

1𝑛σ𝑋𝑖

2

𝑡𝑛,𝑝

𝑝𝑡𝑛

Tabla: Dados 𝑛 (grados de libertad) y 𝑝 (probabilidad) la tabla nos proporciona el valor 𝑡𝑛,𝑝 tal que:

𝑃 𝑡𝑛 ≤ 𝑡𝑛,𝑝 = 𝑝

𝑡59,0.99 = 2.3901~ 𝑡60,0.99



2.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝝁 CON 𝝈 DESCONOCIDA

Partiremos de:

𝑋 variable aleatoria con media 𝜇 desconocida y desviación típica 𝜎 desconocida.

Una muestra de 𝑋 de tamaño 𝑛 de la que conocemos su media ҧ𝑥 y su desviación típica 𝑠.


ҧ𝑥 − 𝑡𝑛−1;1−

𝛼2∙

𝑠

𝑛 − 1; ҧ𝑥 + 𝑡

𝑛−1;1−𝛼2∙

𝑠

𝑛 − 1

Intervalo:

⟹ ҧ𝑥 ± 𝑡𝑛−1;1−

𝛼2∙

𝑠

𝑛 − 1

ത𝑋 − 𝜇

ൗ𝑆𝑛 − 1

=ത𝑋 − 𝜇

൘መ𝑆

𝑛

~𝑡𝑛−1Estadístico:𝑆 ≡ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 (𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙)

መ𝑆 ≡ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐶𝑢𝑎𝑠𝑖 − 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙



DISTRIBUCIÓN 𝝌𝟐 de PEARSON:

Dadas 𝑋1, … , 𝑋𝑛 variables independientes normales 𝑁(0,1), la

distribución 𝝌𝟐 de Pearson con n grados de libertad se define

como:

𝜒𝑛2 =𝑋𝑖

2 = 𝑋12 +⋯+𝑋𝑛

2𝜒𝑛,𝑝2

𝜒𝑛2

𝑝

Tabla: Dados 𝑛 (grados de libertad) y 𝑝 (probabilidad) la tabla nos proporciona el valor 𝜒𝑛,𝑝

2 tal que:

𝑃 𝜒𝑛2 ≤ 𝜒𝑛,𝑝

2 = 𝑝

𝜒7,0.952𝑃 𝜒7

2 ≤ ; = 14.1

Esto quiere decir que dada una 𝜒72,

el valor que deja a su izquierda un área encerrada de 0.95 es 14.1.



3.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝝈𝟐

Partiremos de:

𝑋 variable aleatoria con desviación típica 𝜎 desconocida.

Una muestra de 𝑋 de tamaño 𝑛 de la que conocemos su desviación típica 𝑠.


𝑛𝑆2

𝜎2=(𝑛 − 1) መ𝑆2

𝜎2~𝜒𝑛

2Estadístico:

1-𝑛𝑠2

𝜒𝑛−1;1−

𝛼2

2 ,𝑛𝑠2

𝜒𝑛−1;

𝛼2

2

Intervalo:

3(BIS).- INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝝈

1-

𝑛𝑠2

𝜒𝑛−1;1−

𝛼2

2 ,𝑛𝑠2

𝜒𝑛−1;

𝛼2

2



4.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON DESVIACIONES TÍPICAS CONOCIDAS

Partiremos de:

Dos variables aleatorias: 𝑋𝑖~𝑁(𝜇𝑖 , 𝜎𝑖) con 𝜎𝑖 conocida, para 𝑖 = 1,2.

Dos muestras: Muestra de tamaño 𝑛𝑖 de la variable 𝑋𝑖, con media ҧ𝑥𝑖 , para 𝑖 = 1,2.


Estadístico: ത𝑋1 − ത𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2

( ҧ𝑥1− ҧ𝑥2) − 𝑧1−𝛼2∙

𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2; ( ҧ𝑥1− ҧ𝑥2) + 𝑧1−𝛼

2∙

𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2

Intervalo:

⟹ ( ҧ𝑥1− ҧ𝑥2) ± 𝑧1−𝛼2∙

𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2

Si el intervalo de confianza contiene al cero,se concluye que hay similitud entre las mediasde ambas variables.



5.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON DESVIACIONES TÍPICAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Partiremos de:

Dos variables aleatorias: 𝑋𝑖~𝑁(𝜇𝑖 , 𝜎𝑖, ) para 𝑖 = 1,2, con 𝜎1 = 𝜎2 desconocidas.

Dos muestras: Muestra de tamaño 𝑛𝑖 de la variable 𝑋𝑖, con media ҧ𝑥𝑖 y varianza 𝑠𝑖2, para 𝑖 = 1,2.


Estadístico:ത𝑋1 − ത𝑋2 − (𝜇1 − 𝜇2)

መ𝑆𝑇1𝑛1

+1𝑛2

~ 𝑡𝑛1+𝑛2−2

( ҧ𝑥1− ҧ𝑥2) − 𝑡𝑛1+𝑛2−2;1−𝛼2∙ መ𝑆𝑇 ∙

1

𝑛1+

1

𝑛2; ( ҧ𝑥1− ҧ𝑥2) + 𝑡𝑛1+𝑛2−2;1−

𝛼2∙ መ𝑆𝑇 ∙

1

𝑛1+

1

𝑛2⟹

Intervalo:

⟹ ( ҧ𝑥1− ҧ𝑥2) ± 𝑡𝑛1+𝑛2−2;1−𝛼2∙ መ𝑆𝑇 ∙

1

𝑛1+

1

𝑛2

መ𝑆𝑇 =𝑛1𝑠1

2 + 𝑛2𝑠22

𝑛1 + 𝑛2 − 2



6.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN 𝑷 DE UNA CARACTERÍSTICA EN UNA POBLACIÓN

Partiremos de:

𝑋 variable aleatoria.

Una muestra de 𝑋 de tamaño 𝑛 de la que conocemos la proporción 𝑝0 de la característica.


Estadístico: 𝑃0~𝑁 𝑃,𝑃(1 − 𝑃)

𝑛

INTERVALO DE CONFIANZA PARA 𝑷:

𝑝0 − 𝑧1−𝛼2

𝑝0 1 − 𝑝0𝑛

; 𝑝0 + 𝑧1−𝛼2

𝑝0(1 − 𝑝0)

𝑛⟹ 𝑝0 ± 𝑧1−𝛼

2

𝑝0(1 − 𝑝0)

𝑛



PROBLEMA: Determinar el tamaño muestral 𝒏 para determinar un intervalo de confianza para la proporción 𝑷 con un error menor que 𝜺 sin conocer la proporción 𝒑𝟎 en una muestra.

Partiremos de:

𝑋 variable aleatoria.

Una muestra de 𝑋 de tamaño 𝑛 de la que conocemos la proporción 𝑝0 de la característica.


𝑝0 ± 𝑧1−𝛼2

𝑝0(1 − 𝑝0)

𝑛

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

INTERVALO PARA 𝑷:

𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 − 𝑥 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑢 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 =1

2⟹ 𝑓 𝑥0 ≤ 𝑓

1

2𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑥0 ∈ ℝ

⟹ 𝑥0 ∙ (1 − 𝑥0) ≤ 0.5 ∙ 1 − 0.5 ⟹ 𝑥0 ∙ (1 − 𝑥0) ≤ 0.52

𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 = 𝑧1−

𝛼2

𝑝0(1 − 𝑝0)

𝑛≤ 𝑧

1−𝛼2

0.52

𝑛

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑛

≤ 𝜀

𝐿𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

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