ines filipović

Ines Filipović

Das Merton-Modell (1974) und seine

Anwendungen in der Praxis

Masterarbeit

zur Erlangung des akademischen Grades

eines Master of Science

der Studienrichtung Betriebswirtschaft

an der Karl-Franzens-Universität Graz

Betreuer:

o. Univ. Prof. Dr. Edwin O. Fischer

Institut für Finanzwirtschaft

Graz, im März 2016

Ehrenwörtliche Erklärung

Ich erkläre ehrenwörtlich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe

verfasst, andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt und die den Quellen wörtlich oder

inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Die Arbeit wurde bisher in

gleicher oder ähnlicher Form keiner anderen inländischen oder ausländischen Prüfungsbehörde

vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. Die vorliegende Fassung entspricht der einge-

reichten elektronischen Version.

26.03.2016 Unterschrift

I

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................. I

Abbildungsverzeichnis ..................................................................................................... III

Abkürzungsverzeichnis ..................................................................................................... IV

Symbolverzeichnis ............................................................................................................... v

1 Einleitung ...................................................................................................................... 1

1.1 Problemdarstellung und Ziel der Arbeit................................................................ 1

1.2 Aufbau der Arbeit ................................................................................................. 2

2 Theoretische Grundlagen ............................................................................................ 3

2.1 Systematisierung der Finanzierungsformen .......................................................... 3

2.1.1 Charakteristika bedeutender Anleihearten ................................................ 4

2.1.1.1 Ausfallrisikolose Staatsanleihen ............................................... 4

2.1.1.2 Ausfallrisikobehaftete Unternehmensanleihen ......................... 4

2.2 Grundlagen von Kreditrisikomodellen ................................................................. 5

2.3 Ausfallrisiko .......................................................................................................... 5

2.3.1 Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default) .................................. 6

2.3.2 Exposure at Default ................................................................................... 6

2.3.3 Loss Given Default ................................................................................... 7

2.4 Klassifizierung der Kreditrisikomodelle ............................................................... 9

2.4.1 Reduced Models ...................................................................................... 10

2.4.2 Structural Models .................................................................................... 10

3 Das Merton Modell (1974) und seine Anwendungen in der Praxis ....................... 11

3.1 Das Black/Scholes Modell .................................................................................. 11

3.2 Das Merton Modell (1974) ................................................................................. 14

3.2.1 Darstellung und Annahmen des Merton Modells ................................... 15

3.2.2 Die Bewertung der Eigenkapitalposition ................................................ 19

3.2.3 Die Bewertung der Fremdkapitalposition ............................................... 21

3.2.4 Ermittlung des Credit Spreads ................................................................ 22

3.2.5 Bewertung der Kreditrisikoparameter ..................................................... 23

3.3 Probleme und Eingrenzungen des Merton Modells ............................................ 26

II

4 Bekannteste Erweiterungen des Merton Modells und ihre praktische Anwendung

30

4.1 KMV Modell ....................................................................................................... 30

4.1.1 Modell Grundlagen und Herleitung der Modellfaktoren ........................ 31

4.1.2 Die Zusammenhänge innerhalb des KMV Modells ................................ 37

4.1.3 Praktische Anwendung des KMV Modells – Moody´s Analytics .......... 39

4.2 Credit Metrics ..................................................................................................... 43

4.3 Black/Cox Modellerweiterung für Junior und Senior Anleihen ......................... 46

5 Weitere Modellerweiterungen, Empirische Studien und

Problemlösungsvorschläge ................................................................................................ 51

5.1 Überblick der weiteren Erweiterungsmodellen................................................... 51

5.1.1 Geske (1977) (G-Modell) ........................................................................ 52

5.1.2 Longstaff und Schwarz (1995a) (LS Modell) ......................................... 53

5.1.3 Zhou (2001) ............................................................................................. 54

5.1.4 Collin-Dufresne und Goldstein (2001) (CDG Modell) ........................... 55

5.1.5 Leland (1994) und Leland/Toft (1996) (L und LT Modell) .................... 55

5.2 Überblick der relevantesten empirischen Studien der Strukturmodelle ............. 57

5.2.1 Ausfallvorhersagekraft des Merton Modells im Vergleich zu den Ratings

und Accounting-Ratios nach Kealhofer/Kurbat .................................................. 60

5.2.1.1 Ausfallvorhersage: EDF im Vergleich mit Moody´s Ratings . 61

5.2.1.2 Ausfallvorhersage: EDF im Vergleich mit Accounting-Ratios

67

5.3 Die Studie von Eom/Helwege/Huang (2004) ..................................................... 69

5.4 Weitere wesentliche empirische Studien der Strukturmodelle ........................... 71

6 Fazit ............................................................................................................................. 75

Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 77

Anhang ................................................................................................................................ 85

III

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Rangfolge der Anleihen im Insolvenzfall ....................................................... 8

Abbildung 2: Robert Carhart Merton .................................................................................. 14

Abbildung 3: Graphische Darstellung der Auszahlungsprofile ........................................... 17

Abbildung 4: Solvenz und Insolvenz nach Merton Modell ................................................. 19

Abbildung 5: Kalibrierungsfunktion ................................................................................... 36

Abbildung 6: Die Ermittlung der Ausfallwahrscheinlichkeit mittels KMV........................ 37

Abbildung 7: Distance to Default im KMV Modell ............................................................ 37

Abbildung 8: Renditeschranken für ein Unternehmen mit Rating BB ................................ 45

Abbildung 9: Black/Cox Verteilungsfunktion ..................................................................... 49

Abbildung 10: Illustration der Kombinierung der Daten im hypothetischen Beispiel ........ 63

Abbildung 11: Intra-Kohorten-Analyse (Vergleich zwischen Moody´s Ratings und EDF) 65

Abbildung 12: Vergleich der Ausfallprognosefähigkeit der EDFs und Moody´s Ratings.. 66

Abbildung 13: Intra-Kohorten-Analyse (Vergleich zwischen ROA und EDF) .................. 68

Abbildung 14: Vergleich der Ausfallprognosefähigkeit der EDFs und ROA ..................... 69

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Recovery Rates von Unternehmensanleihen 1982-2014 ...................................... 9

Tabelle 2: Black/Scholes Modell: Annahmen ..................................................................... 12

Tabelle 3: Merton Modell: Annahmen ................................................................................ 16

Tabelle 4: Kapitalstruktur zum Fälligkeitszeitpunkt in Bezug zu Senior und Junior Anleihen

............................................................................................................................................. 47

Tabelle 5: Auszahlungsprofile der Senior und Junior Bondholders sowie des Eigenkapitals

............................................................................................................................................. 48

Tabelle 6: Empirische Studien von Strukturmodellen nach Erscheinungsjahr ................... 60

Tabelle 7: Ratingskala von Moody´s ................................................................................... 62

IV

Abkürzungsverzeichnis

Bsp. – Beispiel

bspw. – beispielsweise

BS – Black/Scholes

bzgl. – bezüglich

bzw. – beziehungsweise

CAPM – Capital Asset Pricing Model

CDG-Modell – Collin-Dufresne/Goldstein Modell

CS – Credit Spread

DCF – Discounted Cash Flow

d.h. – das heißt

EAD – Exposure at Default

EK – Eigenkapital

EL – Expected Loss

etc. – et cetera (usw.)

FK – Fremdkapital

G-Modell – Geske Modell

KMV – Kealhofer Merton Vasicek

L-Modell – Leland Modell

LGD – Loss Given Default/Verlustquote

LS-Modell – Longstaff/Schwarz Modell

LT-Modell – Leland/Toft Modell

PD – Probability of Default/Ausfallwahrscheinlichkeit

RR – Recovery Rate/Erlösquote

sog. – sogenannt

u.a. – unter anderen

Vgl. – Vergleiche

z.B. – zum Beispiel

v

Symbolverzeichnis

C0 – Wert der europäischen Kaufoption zu t = 0

CT – Wert der europäischen Kaufoption zum Zeitpunkt T

DT – Marktwert des Fremdkapitals

E0 – heutiger Marktwert der Eigenkapitalposition

ET – Marktwert des Eigenkapitals zum Fälligkeitszeitpunkt T

F – fällige Zahlung an die Fremdkapitalgeber zum t = T

FJ – Rückzahlungsbetrag der Junior Anleihe

FS – Rückzahlungsbetrag der Senior Anleihe

K – Ausübungspreis (Strike)

Ke-rt – Barwert von K

L – Leverage (Verschuldungsgrad)

N( ) – Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

P0 – Wert der europäischen Verkaufsoption zu t = 0

PT – Wert der europäischen Verkaufsoption zu t = T

r – risikoloser Zinssatz

S0 – Kurs der Aktie zum heutigen Zeitpunkt

σE – Eigenkapitalvolatilität

σV – Assetvolatilität bzw. Volatilität des Marktwertes des Unternehmenvermögens

T – Restlaufzeit des Fremdkapitals (Fälligkeitszeitpunkt)

V – Unternehmenswert

V0 – der heutige Marktwert des Unternehmens

VT – der gesamte Marktwert des Unternehmensvermögens (t = T)

y – Rendite

Das Merton-Modell (1974) und seine Anwendungen in der Praxis

1

1 Einleitung

1.1 Problemdarstellung und Ziel der Arbeit

Die Bewertung des Kreditrisikos hat seit Mitte der 90er Jahre verstärkte Aufmerksamkeit

erfahren. Besonders große Bedeutung hat sie für Banken und andere Finanzinstitutionen. In

der letzten Zeit hat die erfolgreiche Erledigung dieser Aufgabe verstärkt an Bedeutung ge-

wonnen, da die Eigenmittelanforderungen immer größer werden. Die Baseler Eigenkapital-

vorschriften (Basel II) haben es den Banken ermöglicht, das Kreditrisiko, das mit Eigenka-

pital zu unterlegen ist, selber zu berechnen. Aus diesem Grund ist es wichtig, besonderen

Wert auf die internen Kreditrisikomodelle zur Bewertung der Ausfallwahrscheinlichkeiten

sowie zur Bestimmung der Eigenmittelanforderungen zu legen, um das Kreditrisiko zu de-

terminieren.

In der Praxis gibt es keine einheitliche Vorgehensweise, um das Kreditrisiko zu messen und

zu bewerten. Stattdessen wurden viele unterschiedliche Modelle benutzt, was ein sehr hete-

rogenes Gebiet ausmacht. Eines dieser Modelle ist das Merton Modell (1974), welches den

Schwerpunkt dieser Arbeit darstellt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Modell sowie die

darauf aufbauenden Erweiterungen und Anwendungen in der Praxis theoretisch aufzuarbei-

ten und einen wissenschaftlich begründeten Ausblick zu geben.

Nach der theoretischen Ausarbeitung, wird zusätzlich auf folgende Fragen näher eingegan-

gen:

Welche Schwierigkeiten und Eingrenzungen bestehen bei der Anwendung des Mo-

dells in der Praxis?

Gibt es Erweiterungen des Modells, die diese Schwierigkeiten erfolgreich überwin-

den können?


2

1.2 Aufbau der Arbeit

Die vorliegende Arbeit gliedert sich in fünf Kapitel.

Im ersten Kapitel wird die Problemdarstellung, sowie das Ziel der Arbeit und ihr Aufbau

beschrieben.

Im nächsten Kapitel wird auf die theoretischen Grundlagen näher eingegangen. Dementspre-

chend werden die wichtigsten Begriffe wie Kreditrisiko und Kreditrisikomodelle für das bes-

sere Verständnis der Problematik näher erläutert.

Das dritte Kapitel befasst sich mit dem klassischen Merton Modell. Am Anfang wird das

Black-Scholes Modell als Grundlage für weitere Überlegungen erklärt. Danach folgt eine

ausführliche Vorstellung des Merton Modells (1974) mit den dazugehörigen Modellannah-

men. In diesem Zusammenhang werden auch die Probleme und Eingrenzungen des Modells

vorgestellt.

Im vierten Kapitel wird ein Überblick über die wichtigsten Erweiterungen des Modells und

ihre praktischen Anwendungen gegeben. Der Fokus wird dabei unter anderem besonders auf

das KMV-Modell gerichtet.

Das fünfte Kapitel stellt weitere Entwicklungsmodelle und die wichtigsten empirischen Stu-

dien dieser Modelle vor. Ziel ist es, zu überprüfen, ob diese Modelle Erklärungen für die

Probleme und Schwierigkeiten liefern, die bei der Anwendung des klassischen Merton Mo-

dells auftreten.

Das Schlusskapitel fasst die Ergebnisse dieser Arbeit zusammen. In diesem Kapitel befinden

sich das Fazit, die Antworten auf die Forschungsfragen, sowie die eventuellen Empfehlun-

gen für die weitere Problembehandlung.


3

2 Theoretische Grundlagen

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Begriffe und sonstigen theoretischen Grundlagen

näher erläutert. Diese Erklärungen sollen eine Basis für die weitere Darstellung des Merton

Modells und der Forschungsfragen sein. Das Ziel ist es, einen ausführlichen und klaren

Überblick der Grundlagen zu geben, um das Verständnis der weiteren Behandlung der Prob-

lematik für den Leser zu erleichtern.

2.1 Systematisierung der Finanzierungsformen

Nach dem Kriterium der Rechtsstellung der Kapitalgeber und der Kapitalhaftung können

zwei Finanzierungsformen unterschieden werden: Eigen- und Fremdfinanzierung. Die Zu-

führung von Eigenkapital, welches für die Verpflichtungen der Unternehmung gegenüber

Dritten haftet, wird als Eigenfinanzierung bezeichnet. Anderseits, im Falle der Fremdfinan-

zierung, hat das Unternehmen eine Rückzahlungsverpflichtung gegenüber den Gläubigern,

und zwar zu einem im Voraus festgelegten Zeitpunkt.1 Eine idealtypische Charakterisierung

der Fremdfinanzierung erfolgt durch Zins und Tilgung (feste Erfolgsbeteiligung) ohne Kon-

troll- und Mitwirkungsrechte und einer Gläubigerstellung im Insolvenzfall. 2

Neben den Bankkrediten und Darlehen bilden auch die Anleihen bzw. Schuldverschreibun-

gen eine weitere Form der mittel- bis langfristigen Kreditfinanzierung.3 Als Anleihen bzw.

Schuldverschreibungen (auch Renten, Obligationen, Bonds) werden die Wertpapiere be-

zeichnet, die feste Ansprüche (Fixed Income) verbriefen. Das bedeutet, der Inhaber einer

Anleihe (auch Gläubiger) hat einen Anspruch auf Rückzahlung sowie auf Zinszahlung. In

diesem Fall sind die Schuldner der Staat oder Unternehmen. Man spricht deshalb auch von

Staatsanleihen bzw. Unternehmensanleihen. Das Kapital der Gläubiger steht nur befristet

zur Verfügung und wird als Fremdkapital eingeordnet, was zur Folge hat, dass der Erwerber

der Anleihe kein Stimmrecht im Unternehmen hat.4 Der Fokus dieser Arbeit wird auf die

Unternehmensanleihen gelegt, die auch Corporate Bonds genannt werden.

1Vgl. Perridon/Steiner (2007), S. 347f.

2Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 194.

3Vgl. Schiffel (2009), S. 9.

4Vgl. Spremann (2010), S. 52.


4

In der Regel besteht am Markt die sogenannte Informationsasymmetrie. In Bezug auf An-

leihen bedeutet das, dass eine Seite (meistens der Schuldner) mehr Informationen als die

Gläubiger hat, was hohe Insolvenzkosten verursachen kann. Beim Abbau dieser Asymmetrie

und Vermeidung der potenziellen Insolvenzkosten rücken besonders die Beurteilung der

Kreditwürdigkeit (Bonität) und das Ausfallrisiko in den Fokus.5

2.1.1 Charakteristika bedeutender Anleihearten

2.1.1.1 Ausfallrisikolose Staatsanleihen

Staatsanleihen sind öffentliche Anleihen, die von Staaten zur Finanzierung der öffentlichen

Haushalte begeben werden.6 Die (hoch-) entwickelten Industrieländer mit einem Rating von

AAA und ihre Staatsanleihen verfügen über die höchste Bonität und werden als ausfallrisi-

kolos betrachtet. Der Grund dafür ist, dass die Steuermittel für die Begleichung der Staats-

schulden aufkommen.7

Ein sehr liquider Handel in Staatsanleihen findet aufgrund des großen Finanzierungsbedarfs

der öffentlichen Haushalte und der hohen Emissionsvolumina statt. Aufgrund des effizienten

Handels eignen sich die Kurse von Staatsanleihen gut für die Ableitung von Zinsen. Auf

dieser Basis werden auch die Renditen ausfallrisikoloser Staatsanleihen als Referenzzinssatz

für risikolose Zinsen herangezogen.8

2.1.1.2 Ausfallrisikobehaftete Unternehmensanleihen

Unternehmensanleihen werden in der Literatur auch Corporate Bonds und Industrieobliga-

tionen genannt. Sie wurden von Unternehmen, die zum privaten Sektor gehören, emittiert

und werden dazu benutzt langfristiges Kapital für diese Unternehmen zu beschaffen. Corpo-

rate Bonds sind deutlich illiquider als Staatsanleihen und im Gegensatz zu den Staatsanlei-

hen unterliegen sie einem Ausfallrisiko.9 Das bedeutet, dass die Anleger für die Übernahme


6Grill/Perzynski (2008), S. 223.

7Vgl. Spremann/Gatenbein (2007), S.66.


9Vgl. Martellini/Priaulet/Priaulet (2003), S. 21.


5

des Ausfallrisikos eine höhere Risikoprämie bzw. eine höhere Rendite als bei einer äquiva-

lenten ausfallrisikolosen Anleihe verlangen. Dieser Renditenunterschied wird in der Litera-

tur als Credit Spread (auch Bonitätsprämie) bezeichnet.10 Im weiteren Verlauf der Arbeit

werden auch die Bedeutung und die Messung des Ausfallrisikos näher erläutert.

2.2 Grundlagen von Kreditrisikomodellen

Der Begriff Kreditrisiko wird unterschiedlich gebraucht. Das Kreditrisiko im engeren Sinne

umfasst das Ausfallrisiko, welches in der Literatur auch als Default Risk bezeichnet wird.

Default Risk beinhaltet das Risiko, dass der Schuldner eines Kredits nicht in der Lage ist,

seinen Zahlungsverpflichtungen (beispielsweise den Zinszahlungen oder der Rückzahlung

des Kreditbetrages) in vollständiger Weise nachzukommen. Das Kreditrisiko im weiteren

Sinne ist das Migrationsrisiko (bekannt auch als Credit Migration). Migrationsrisiko ist das

Risiko einer Bonitätsverschlechterung und damit auch einer Erhöhung der Ausfallwahr-

scheinlichkeit. Die beiden Varianten unterscheiden sich nach dem zeitlichen Aspekt. Das

Ausfallrisiko bezieht sich auf eine fixierte künftige Zeitperiode. Dieses Risiko wird in dieser

Periode als unveränderlich betrachtet. Das Migrationsrisiko berücksichtigt auch die Gefahr,

dass sich das Ausfallrisiko während der fixierten Zeitperiode verschlechtern kann. Dies fin-

det seinen Niederschlag in einer entsprechenden Ratingherabstufung.11

Um die geeignete Alternative in einer Risikosituation zu bestimmen, ist es von elementarer

Bedeutung, sich Informationen über die Risikopräferenz des Entscheiders zu beschaffen. In

diesem Sinne wird zwischen Risikoaversion, Risikoneutralität und Risikoaversion unter-

schieden.12

2.3 Ausfallrisiko

In der Literatur findet man eine Menge von unterschiedlichen Definitionen des Ausfallrisi-

kos. In dieser Masterarbeit wird dieser Begriff, wie schon oben erwähnt, als Kreditrisiko im

engeren Sinne behandelt, wobei das Ausfallrisiko, wie schon erwähnt, das Risiko beinhaltet,

10Vgl. Fabozzi (2007), S. 96.

11Vgl. Albrecht (2005), S. 26.

12Vgl. Perridon/Steiner (2007), S.102 ff.


6

dass der Kreditnehmer nicht in der Lage ist, seinen Zahlungsverpflichtungen (den Zinszah-

lungen oder der Rückzahlung des Kreditbetrages) nachzukommen.13

Das Ausfallrisiko kann in diesem Sinne anhand eines Basismodells näher erläutert werden.

Dabei wird ein Individualkredit betrachtet sowie die Höhe des möglichen Ausfalls am Ende

der Periode, die durch eine Verlustvariable L ≥ 0 erfasst wird. Dieses Basismodell ist ein

statisches Modell, in dessen Rahmen folgende Beziehung gilt:14

Formel 2.1 𝐿 = 𝑃𝐷 ∗ 𝐸𝐴𝐷 ∗ 𝐿𝐺𝐷

In dieser Formel bezeichnet EAD den ausfallbedrohten Betrag (auch Exposure at Default),

LGD die Verlustquote bei Eintritt eines Ausfalls (Loss Given Default) und PD die Ausfall-

wahrscheinlichkeit (Probability of Default). Somit ergibt sich der erwartete Kreditverlust (L)

aus dem Produkt der Ausfallwahrscheinlichkeit (PD), des ausfallbedrohten Betrags (EAD)

und der Verlustquote (LGD).15

2.3.1 Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default)

Die Ausfallwahrscheinlichkeit (auch Ausfallrate, Probability of Default, PD) gibt die kredit-

nehmerspezifische Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall der Forderung an. Die Höhe der

Ausfallwahrscheinlichkeit ist von verschiedenen Faktoren abhängig. Einige der erwähnten

Faktoren sind:

Bezugszeitraum

Bonität des Kreditnehmers

branchenspezifische Entwicklungen usw.16

2.3.2 Exposure at Default

Die nächste Komponente in der Messung des Kreditrisikos ist die sog. Exposure at Default

(auch EAD, ausfallbedrohter Betrag und Credit Exposure). Diese Größe gibt die Höhe des




16Vgl. Wolke (2008), S. 157.


7

noch offenen Kreditbetrags zum Zeitpunkt des Ausfalles an. Der ausfallbedrohte Betrag

hängt von

der geschätzten Ausnutzung eingeräumter Kreditlinien und

den geplanten Tilgungsmodalitäten ab.17

2.3.3 Loss Given Default

In der Literatur und Praxis wird die Rückzahlungsquote normalerweise als Recovery Rate

bezeichnet. Diese Größe gibt an, wie viel Prozent der verschuldete Kreditnehmer bei Insol-

venz noch an den Kreditgeber zahlen kann. Statt der Recovery Rate wird im Rahmen von

Basel II der sogenannte Loss Given Default (LGD) benutzt. Inhaltlich zielt der LGD auf

dasselbe ab, aber rechentechnisch wird als Komplement der Recovery Rate angewendet.

Folgendes Beispiel soll dies veranschaulichen. Es wird angenommen, dass die Recovery

Rate 30% beträgt. Nach Basel II beträgt der LGD 70%. Das bedeutet, dass 30% des offenen

Kreditbetrages im Krisenfall an den Kreditgeber zurückgezahlt werden bzw. dass 70% des

offenen Kreditbetrages im Fall von Zahlungsunfähigkeit von der Seite des Kreditnehmers

uneinbringlich ist. 18

Die Recovery Rates hängen primär von der bestehenden Collateral (Besicherung) der Kre-

dite sowie vom Rang der Bedienung des Gläubigers im Fall der Insolvenz ab. Die Besiche-

rung tritt in zwei Formen auf. Sie kann dinglicher Art (beispielsweise Hypothek oder Wert-

papiere) oder persönlicher Art (Patronatserklärung seitens der Muttergesellschaft) sein. Im

Regelfall werden Anleihen allerdings ohne Sicherheit ausgegeben und als Debentures be-

zeichnet.19

Der Rang der Anleihe bestimmt die Reihenfolge, in der die Gläubiger an der Verwertung

des Unternehmensvermögens partizipieren. Bezogen auf den Rang unterscheidet man zwi-

schen den sogenannten Senior Bonds und Subordinated Bonds. Senior Bonds liegen im Rang

vor alle anderen Forderungen. Subordinated Bonds hingegen sind nachrangige Anleihen, da

sie beim Zahlungsausfall erst dann aus dem Unternehmensvermögen bedient werden, wenn

vorrangige Anleihen voll befriedigt worden sind.20

17 Vgl. Wolke (2008), S. 158.

18 Vgl. Wolke (2008), S. 158 ff.

19 Vgl. Albrecht (2005), S. 29.

20Vgl. Albrecht (2005), S. 29, 30.


8

Die folgende Abbildung gibt einen Überblick der Rangfolge von Unternehmensanleihen im

Insolvenzfall.

Abbildung 1: Rangfolge der Anleihen im Insolvenzfall

Quelle: in Anlehnung an: Albrecht (2005), S. 30.

Die Größenordnung von Recovery Rates wird jährlich von Ratingagenturen veröffentlicht.

Die folgende Tabelle stammt von einer aktuellen Studie von Moody's und bezieht sich auf

die weltweite Datenbank von Moody's. Die Daten beziehen sich auf den Zeitraum 1982-

2014 und basieren auf historischen Börsenpreisen.


9

Issuer-weighted Volume-weighted

Position 2014 2013 1982-2014 2014 2013 1982-2014

Sr. Secured Bond 59,5% 59,8% 52,8% 76,5% 59,5% 52,4%

Sr. Unsecured Bond 43,3% 43,8% 37,4% 34,3% 29,2% 33,6%

Sr. Subordinated Bond* 46,9% 20,7% 31,1% 28,3% 26,6% 26,0%

Subordinated Bond** 38,8% 26,4% 31,4% 38,0% 33,7% 26,3%

Jr. Subordinated Bond n.a. n.a. 24,7% n.a. n.a. 17,1%

Tabelle 1: Recovery Rates von Unternehmensanleihen 1982-2014

Quelle: in Anlehnung an: Moody's Investors Service „Annual Default Study: Corporate Default and Recov-

ery Rates 1980-2014”, 21. März 2015, S. 8.

Tabelle 1 zeigt die Recovery Rate aus dem historischen Durchschnitt des Zeitraumes von

1982 bis 2014 sowie die durchschnittliche Recovery Rate von 2013 und 2014. Die Tabelle

macht deutlich, dass die langfristigen Durchschnittswerte der Recovery Rates deutlich nied-

riger sind als die Recovery Rates aus den Jahren 2013 und 2014. Das gilt für alle Recovery

Rates, ausgenommen Sr. Subordinated Bonds und Subordinated Bonds.

2.4 Klassifizierung der Kreditrisikomodelle

Kreditrisikomodelle werden herangezogen, um die Ausfallwahrscheinlichkeit zu ermitteln.

In der Literatur gibt es eine Vielzahl von unterschiedlichen Methoden und Ansätzen, die sich

klassifizieren lassen. Eine allgemeine Klassifikation lässt sich anhand der verwendeten Ein-

gangsparameter vornehmen.21 In diesem Sinne erfolgt die Einteilung der Modelle in zwei

verschiedene Gruppen, und zwar firmenwertbasierte (unternehmenswertbasierte) und inten-

sitätsbasierte Kreditrisikomodelle.22 In der Literatur findet man die gleiche Einteilung mit

anderer Terminologie. Duffie und Singleton nennen beispielsweise die firmenwertbasierten

Modelle Structural Models und die intensitätsbasierten Modelle bezeichnen sie als Reduced

21Vgl. Lipponer (2000), S. 43.

22Vgl. Rehm (2002), S. 50.


10

Models.23 Die beiden Modellkategorien unterscheiden sich dadurch, dass der Fokus bei fir-

menwertbasierten Modellen auf die Veränderung von Marktwerten des Unternehmens ge-

legt wird, während die intensitätsbasierten Modelle direkt mit den Ausfallwahrscheinlich-

keiten arbeiten, die mithilfe von historischen Ausfallhäufigkeiten geschätzt werden.24

2.4.1 Reduced Models

Bei den intensitätsbasierten Modellen wird, im Gegensatz zu den firmenbasierten Modellen,

kein Zusammenhang zwischen dem Wert einer risikobehafteten Finanzanlage, deren Aus-

fallwahrscheinlichkeit und der Entwicklung des Unternehmens hergestellt. Die Ausfallrate

wird bei diesen Modellen aus historischen Daten abgeleitet, sodass sie als exogen vorgege-

bene Variable in das Modell einfließt.25 Bei dieser Ableitung berücksichtigt man weder den

Unternehmenswert noch die Kapitalstruktur des Unternehmens. Diese Modelle werden in

der Praxis wegen der geringen Anforderungen an die Inputparameter oft benutzt. Das heißt,

das Ausfallrisiko ist nur von der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Recovery Rate abhän-

gig.26

2.4.2 Structural Models

Structural Models bzw. die firmenwertbasierten Kreditrisikomodelle richten ihre Aufmerk-

samkeit auf die Kapitalstruktur des Unternehmens bzw. den Unternehmenswert. Sie definie-

ren den Ausfall anhand der Überschuldung.27 Die Insolvenz eines Unternehmens wird daher

anhand der ökonomischen Zusammenhänge bzw. anhand der Vermögensstruktur erklärt.28

Structural Models basieren auf dem Ansatz von Merton (1974), der mithilfe der Options-

preistheorie von Black und Scholes (1973) ein grundlegendes Modell zur Bewertung von

ausfallrisikobehafteten Unternehmensanleihen entwickelt hat.29 Im folgenden Kapitel wer-

den beide, die Optionspreistheorie und das Merton Modell, ausführlich erläutert.

23Siehe dazu Duffie/Singleton (1999).

24Vgl. Huschens/Locarek-Junge (2000), S. 3.

25Vgl Ott (2001), S. 87.

26Vgl. Schiffel (2009), S. 63-68.


28Vgl. Wagner (2008), S. 89.

29 Vgl. Devic (2001), S. 140.


11

3 Das Merton Modell (1974) und seine Anwendungen in

der Praxis

In den frühen 1970er Jahren wurde das Black/Scholes Modell erstmalig veröffentlicht und

seitdem gilt es als ein Meilenstein der Finanzmathematik. Etwa gleichzeitig präsentierte

auch Robert C. Merton das gleiche Modell in einer anderen Veröffentlichung unter dem

Namen „The Theory of Rational Option Pricing” (1973). Dadurch entwickelten sie die Op-

tionspreistheorie zur Bewertung von Optionen und dadurch gelang ihnen ein entscheidender

Durchbruch bei der Bewertung von Aktienoptionen. Diese Bewertungsmethode ist später als

Black/Scholes Modell bekannt geworden und war die Basis für die Entwicklung des Merton

Modells (1974).30 Aus diesem Grund ist es wichtig, am Anfang dieses Kapitels die Grund-

lagen des Black/Scholes Modells (1973) näher zu erläutern. Black und Scholes haben darauf

hingewiesen, dass die Ansprüche der Eigenkapitalgeber eines Unternehmens als Option auf

den Wert des Unternehmens interpretiert werden können und Merton hat diese Theorie wei-

terentwickelt.31

3.1 Das Black/Scholes Modell

Wie schon oben erwähnt, wurde das Black/Scholes Modell von Fischer Black (1938-1995)

und Myron Scholes (geb. 1941) entwickelt und im Jahr 1973 in ihrer Arbeit „The Pricing of

Options and Corporate Liabilities“ veröffentlicht. Das Modell hat die Bewertung und das

Hedging von Optionen durch die Marktteilnehmer stark beeinflusst. Eine zentrale Bedeu-

tung hatte es auch für das Wachstum und den Erfolg des Financial Engineerings in den letz-

ten 30 Jahren. Die Bedeutung des Modells wird u.a. dadurch unterstrichen, dass Merton und

Scholes als Entwickler dieses Modells im Jahr 1997 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswis-

senschaften ausgezeichnet wurden. Fischer Black wurde postum geehrt, da er zu diesem

Zeitpunkt bereits verstorben war.32

30Vgl. Daume (2009), S. 56 und Hull (2009), S. 347 ff.

31Vgl. Black/Scholes (1973), S. 649 ff. („Under these conditions, it is clear that the stockholders have the

equivalent of an option on their company´s assets. In effect, the bond holders own the company´s assets,

but they have given options to the stockholders to buy the assets back.”)

32Vgl. Daume (2009), S. 56.


12

Im Mittelpunkt des Modells stehen Optionen bzw. der Wert der Optionen. Optionen können

wie folgt charakterisiert werden: Sie sind Termingeschäfte, die dem Inhaber das Wahlrecht

geben, einen bestimmten Underlying (Vermögensgegenstand) zu einem im Voraus bestimm-

ten Preis (Strike) zu kaufen (Call Option) oder zu verkaufen (Put Option). Der Verkäufer

erhält vom Käufer eine Optionsprämie für die Übernahme des Risikos, dass das Underlying

bei einem Call im Wert steigt (oder im Falle von einem Put im Wert fällt). 33 Der Käufer der

Option hat das Wahlrecht, ob die Option ausgeübt werden soll, bzw. ob es zur Ausführung

der Transaktion kommen soll. Die Aufgabe des Verkäufers ist es, transaktionsbereit zu blei-

ben. Das Optionsgeschäft wird nur dann durchgeführt, wenn der Inhaber einen positiven

Preis für sein Wahlrecht bezahlt. Die wichtigste Frage, die mithilfe des Black/Scholes Mo-

dells bzw. durch die Anwendung der BS Formel beantwortet werden kann ist: „Wie hoch ist

dieser Preis in einem perfekten Markt?“.34

Die zugrundeliegenden Annahmen für die Herleitung der Black/Scholes Differentialglei-

chung werden in Tabelle 2 vorgestellt.

Tabelle 2: Black/Scholes Modell: Annahmen

Quelle: in Anlehnung an: Hull (2009), S. 359.

33Vgl. Bohl (2008), S. 1.

34Vgl. Spremann (2007), S. 322.

Black/Scholes (1973)

1. Der Aktienkurs folgt einer Brownschen Bewegung, wobei und konstant sind.

2. Leerverkäufe von Wertpapieren sind erlaubt.

3. Es gibt weder Steuern, noch Transaktions- oder Konkurskosten.

4. Alle Wertpapiere sind ohne Einschränkung beliebig teilbar.

5. Der Handel mit Wertpapieren findet kontinuierlich statt.

6. Es gibt keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten.

7. Der risikolose Zinssatz r ist konstant und für alle Laufzeiten identisch.

8. Dividenden oder sonstige Erträge für eine Aktie werden nicht ausgeschüttet.


13

Unter diesen Annahmen wurde eine geschlossene Formel für den Wert einer Europäischen

Kaufoption sowie der Verkaufsoption für den heutigen Zeitpunkt hergeleitet, die ausschließ-

lich auf erfassbaren Parametern beruht35:

Formel 3.1 C0 = S0N(d1) – N(d2)Ke−rT

Formel 3.2 P0 = N(-d2)Ke-rT – S0N(-d1)

mit: 𝑑1 =ln(

𝑆0𝑋) − 𝑇 (𝑟−𝑞+

𝜎2

2)

𝜎√𝑇

𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇

In den Formeln bezeichnen C0 und P0 die Preise der europäischen Kaufoption bzw.

Verkaufsoption. Die Variable S0 ist der Kurs der Aktie zum heutigen Zeitpunkt. Das

bedeutet, bei einem Kauf des Underlyings muss der volle Preis S0 bezahlt werden. Der

Ausübungspreis (Strike Price, Strike) ist mit K bezeichnet. Der Strike wird erst bei der

Fälligkeit geleistet.Aus der Beziehung zwischen S0 und K ergibt sich der Preis der Option

im Falle des Kaufs des Undelyings bzw. C0 = S0 – K. Da K erst zum Fälligkeitszeitpunkt

bezahlt wird, muss der Barwert von K ermittelt werden. Dem Barwert entspricht der abge-

zinste Wert von K, bzw. Ke-rt. Die Variable r ist der risikolose Zinssatz, bezeichnet die

Aktienkursvolatilität und T ist die Zeit bis zum Ende der Ausübungsfrist. Dadurch ergibt

sich: C0 = S0 - Ke-rT. Mit N wird die kumulierte Standard-Normalverteilung bezeichnet. N(d2)

beschreibt daher die gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Option in einer risikoneutralen

Welt ausgeübt wird. Somit ist das Produkt von K und N(d2) das Produkt aus dem Ausübungs-

preis und der Wahrscheinlichkeit, dass der Ausübungspreis ausgezahlt wird. Der Ausdruck

S0N(d1)erT entspricht dem Erwartungswert einer Variable, die in der risikoneutralen Welt

gleich ST ist, aber nur wenn ST > K gilt, weil ansonsten der Wert null beträgt, da die Option

nicht ausgeübt wird.36

35Vgl. Spremann (2010), S. 285.

36Vgl. Daume (2009), S. 56, Spremann (2010), S. 11 ff und Hull (2009), S. 365.


14

3.2 Das Merton Modell (1974)

„Robert C. Merton wurde im Jahr 1944 in New York geboren.

Professor Merton lehrt an der Harvard Business School. Er ist ei-

ner der Pioniere der Continuous-Time Finance (so auch der Titel

eines seiner Bücher aus dem Jahre 1990), mit der die Grundlage

für die theoretische Untersuchung der Preisbildung für Optionen

und andere Derivate gelegt worden ist. Dieser Wissenschaftler

wurde 1997 (zusammen mit Myron Scholes) mit dem Nobelpreis

geehrt.“37

Abbildung 2: Robert Carhart Merton

Quelle: http://www.nobelprize.org

Robert C. Merton hat ein bemerkenswertes Modell entwickelt, das auf Optionen basiert und

1974 im Journal of Finance unter dem Namen „On the Pricing of Corporate Debt: The Risk

Structure of Interest Rates“ veröffentlich wird.38 Er geht auf die Erkenntnisse aus der ratio-

nalen Optionstheorie von Black/Scholes (1973), die auch von ihm mitbegründet wurde, un-

mittelbar ein und stellt eine Relation zwischen dem Marktwert des Eigenkapitals und dem

Marktwert des Fremdkapitals auf Basis des Optionspreismodells her. Demzufolge kann

das Merton Modell als eine Erweiterung des Modells von Black/Scholes (1973) betrachtet

werden.39

Das Merton Modell sowie die darauf aufbauenden Modelle gehören zu den sogenannten

Structural Models, da die Insolvenz durch die Vermögensstruktur des Unternehmens erklärt

wird.40 Insolvenz bzw. Kreditausfall wird nach dem Merton Modell dann eintreten, wenn

der Unternehmenswert eine kritische Grenze unterschreitet41 bzw. wenn das Unternehmen

weniger wert ist als die fällige Zahlung an die Fremdkapitalgeber.42

37Spremann (2010), S. 307.

38Vgl. Spremann (2010), S. 303.

39Vgl. Wagner (2008), S. 89.

40Siehe dazu Kapitel 2.4.2.

41Vgl. Wagner (2008), S. 89.

42Vgl. Spremann (2010), S. 303.

http://www.nobelprize.org/


15

Das Merton Modell ist besonders dazu geeignet, die Konfliktpotentiale zwischen Eigenka-

pitalgeber und Fremdkapitalgeber aufzuzeigen sowie die Einflussgrößen, die wertbestim-

mend für die Positionen der Eigen- und Fremdkapitalgeber sind, transparent zu machen. Das

Modell bietet dazu die Möglichkeit, Ausfallwahrscheinlichkeiten und Bonitätsrisikoprämien

direkt zu berechnen bzw. Insolvenzen vorherzusagen, welche gleichzeitig die wichtigsten

Funktionen bei der praktischen Anwendung darstellen.43 Natürlich kommt es bei der An-

wendung in der Praxis im Vergleich zu den anderen Modellen zu verschiedenen Schwierig-

keiten und Diskrepanzen, daher gibt es auch zahlreiche Versuche diese Schwierigkeiten zu

überwinden, und zwar in Form von Entwicklungsmodellen. Darauf wird in diesem und in

den folgenden Kapitel näher eingegangen bzw. es werden die Anwendungen des Modells

sowie die Schwierigkeiten bei der Anwendung und die Entwicklungsmodelle näher be-

schrieben.

3.2.1 Darstellung und Annahmen des Merton Modells

Bei der Herleitung der Bewertungsgleichung für Unternehmenskredite bewegt sich Merton

innerhalb des Black/Scholes Modells und trifft dazu einige Annahmen und Restriktionen,

die in Tabelle 3 vorgestellt werden.

43Vgl. Wagner (2008), S. 103.

44Der Unternehmenswert ist unabhängig von der Kapitalstruktur und daher hat der Verschuldungsgrad keinen

Einfluss auf den Unternehmenswert.

Merton (1974)

1. Es gibt weder Steuern, noch Transaktions- oder Konkurskosten.

2. Der Markt ist zu jedem Zeitpunkt liquide.

3. Alle Wertpapiere sind ohne Einschränkung beliebig teilbar.

4. Leerverkäufe von Wertpapieren sind erlaubt.

5. Der Handel mit Anleihen findet kontinuierlich statt.

6. Das Modigliani-Miller Theorem gilt.44

7. Der risikolose Zinssatz ist bekannt und über die Zeit konstant, daher wird eine

flache Zinsstrukturkurve angenommen.

8. Ein Kreditausfall kann nur zum Fälligkeitszeitpunkt der Anleihe auftreten.


16

Tabelle 3: Merton Modell: Annahmen

Quelle: in Anlehnung an: Merton, R. C. (1974), S. 450 und Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2010), S.

570.

Einige Annahmen und Restriktionen aus Tabelle 3 können im Rahmen der praktischen An-

wendung des Modells sehr problematisch sein. Darauf wird in den nächsten Kapitel noch

eingegangen.

Merton geht von einer vereinfachten Kapitalstruktur eines Unternehmens mit beschränkter

Haftung aus. Dieses Unternehmen hat zur Finanzierung seiner Investitionen zwei Arten von

Wertpapieren ausgegeben: einerseits Aktien, die zur Eigenfinanzierung dienen und ander-

seits eine Nullkuponanleihe mit dem Rückzahlungsbetrag (Nominale) F, welche zum Zeit-

punkt T (in Jahren) fällig ist und die Fremdfinanzierung darstellt. Der gesamte Marktwert

des Unternehmensvermögens wird mit VT bezeichnet und wird zum Fälligkeitszeitpunkt T

der Nullkuponanleihe auf die Aktionäre (ET) und Fremdkapitalgeber (DT) aufgeteilt. Die

folgenden Aussagen stellen die Auszahlungsprofile der Eigen- bzw. der Fremdkapitalgeber

zum Zeitpunkt T dar:45

Formel 3.3: 𝐸𝑇 = max [V𝑇 – F; 0]

Formel 3.4: 𝐷𝑇 = min [V𝑇 ; F] = F − max [V𝑇 – F; 0]

45Vgl. Wagner (2008), S. 90 und Reichling/Bietke/Henne (2007), S. 141 ff.

9. Keine vorrangige Behandlung von Fremdkapital.

10. Die zeitliche Wertentwicklung des Unternehmens wird durch einen stochasti-

schen Prozess beschrieben. Sie kann anhand folgender Formel dargestellt wer-

den:

𝑑𝑉 = (𝑎𝑉 — 𝐶) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑉𝑑𝑧

wobei:

bezeichnet die momentan erwartete Ertragsrate des Unternehmens, V ent-

spricht dem Unternehmenswert, C ist die gesamte Ausschüttung an die Fremdka-

pitalgeber oder Aktionäre (Zinsen oder Dividenden), bezeichnet die Volatilität

des Unternehmenswertes und dz ist der Standard Gaus-Wiener Prozess.


17

Die Auszahlungsprofile lassen sich auch wie folgt graphisch darstellen:

Abbildung 3: Graphische Darstellung der Auszahlungsprofile

Quelle: Summer (2007), S. 22.

Die obige Abbildung verdeutlicht, dass das Auszahlungsprofil der Eigenkapitalgeber zum

Zeitpunkt der Fälligkeit des Fremdkapitals bzw. zum Zeitpunkt T, dem Payoff-Diagramm

einer gekauften Europäischen Kaufoption (Long Call) auf den Unternehmenswert mit dem

Ausübungspreis in Höhe des Rückzahlungsbetrages F entspricht. Es wird unterstellt, dass

die Aktionäre bei Fremdkapitalaufnahme das Unternehmen an die Gläubiger „verkaufen“,

jedoch das Nutzungsrecht erwerben. Das bedeutet, dass die Aktionäre das Recht haben, das

Unternehmen am Verfallstag zum Ausübungspreis F von den Gläubigern „zurückzukaufen“.

Ist der Unternehmenswert am Verfallstag VT größer als der Rückzahlungsbetrag des Fremd-

kapitals F, so wird die Option ausgeübt und die Eigenkapitalgeber werden von ihrem Recht

zum „Erwerb“ des Unternehmens Gebrauch machen. Wenn das nicht der Fall ist, ist die

Option wertlos und das Unternehmensvermögen steht den Gläubigern zu.46

46Vgl. Wagner (2008), S. 91.


18

Anderseits entspricht das Auszahlungsprofil der Fremdkapitalgeber der Differenz einer risi-

kolosen Anleihe und dem Wert der Put Option.47 Die Entschädigung für das Bonitätsrisiko

erfolgt ausschließlich über die Put Prämie.48

Der Marktwert des Unternehmensvermögens (Unternehmenswert, „Total Assets“) ent-

spricht wegen des unterstellten vollkommenen Kapitalmarktes dem Marktwert der Aktien

und dem Marktwert des Fremdkapitals und kann mit folgender Formel dargestellt werden:49

Formel 3.5: V𝑇 = E𝑇 + 𝐷𝑇

Vereinfacht wird angenommen, dass die Fremdkapitalgeber zum Zeitpunkt t=0 ein Kapital

von D0 an das Unternehmen zahlen. Der Rückzahlungsbetrag, den sie zum Zeitpunkt t=T

erhalten, wird mit F bezeichnet und setzt sich aus dem Betrag D0 und der Zinsrate r, die das

Kreditrisiko decken soll, zusammen.50

Zum Fälligkeitszeitpunkt T kann das Unternehmen solvent oder insolvent sein. Im ersten

Fall ist der Unternehmenswert VT höher als F, daher ist das Unternehmen mehr wert als die

fällige Zahlung an die Fremdkapitalgeber ausmacht. Für Eigenkapitalgeber ist es vorteilhaft,

den versprochenen Rückzahlungsbetrag F an Fremdkapitalgeber zurückzuzahlen. Die

Fremdkapitalgeber erhalten dann den versprochenen Tilgungsbetrag und den Eigenkapital-

gebern steht der Residualwert (VT – F) zur Verfügung.51

Wenn andererseits der Unternehmenswert VT zum Fälligkeitszeitpunkt der Anleihe niedriger

als der Rückzahlungsbetrag F ist, ist das Unternehmen weniger wert als die fällige Zahlung

an die Fremdkapitalgeber ausmacht. In dem Fall fällt das Unternehmen an die Gläubiger, da

es zahlungsunfähig, d.h. insolvent ist. Anders gesagt, erhalten die Fremdkapitalgeber nun

mehr die Recovery Rate des Marktwerts des Unternehmens, bzw. Sie erleiden einen Verlust

in der Höhe von (F- VT). Die Eigenkapitalgeber erhalten keine Zahlung.52 Die folgende Ab-

bildung gibt einen Überblick über die zwei erläuterten Möglichkeiten:

47Vgl. Lando (2004), S. 10.

48Vgl. Wagner (2008), S. 91.

49Vgl. Wagner (2008), S. 90.

50Vgl. Wagner (2008), S. 90.

51Vgl. Wagner (2008), S. 90.

52Vgl. Wagner (2008), S. 90.


19

Abbildung 4: Solvenz und Insolvenz nach Merton Modell

Quelle: in Anlehnung an: Summer (2007), S. 46 und Wagner (2008), S. 90.

3.2.2 Die Bewertung der Eigenkapitalposition

Die Anwendung des Optionspreismodells von Black und Scholes (1973) ermöglicht die

Duplizierung der Eigen- und Fremdkapitalpositionen durch Optionen und dadurch ist auch

die Bewertung des heutigen Wertes der Eigen- und Fremdkapitaltitel ausgerichtet.

Basierend auf den im vorherigen Kapitel schon erörterten Annahmen und Prinzipien des

Modells, ist es möglich, den heutigen Marktwert der Eigenkapitalposition zu ermitteln, und

zwar durch folgende Gleichung:53

Formel 3.6 𝐸0 = 𝑉0𝑁(𝑑1) − 𝐹𝑒−𝑟𝑇𝑁(𝑑2)

Wobei V0 als der heutige Marktwert des Unternehmens gegeben ist, und V als die Volati-

lität der Vermögenswerte sowie der risikolose Zinssatz r als konstant angenommen werden.

Um E0 berechnen zu können, müssen wir mithilfe von folgenden Gleichungen d1 und d2 er-

mitteln:54

𝑑1 =𝑙𝑛

𝑉0

𝐹+ (𝑟 +

1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇

53Vgl. Hull/Nelken/White (2004), S. 5.

54Vgl. Bemmann (2007), S. 45.


20

𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎𝑉√𝑇

Mit:

E0 - - - Marktwert des Eigenkapitals

V0 - - - Marktwert des Unternehmensvermögens

N() - - - Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

σV - - - Assetvolatilität bzw. Volatilität des Marktwertes des

Unternehmensvermögens

T - - - Restlaufzeit des Fremdkapitals

r - - - risikoloser Zinssatz 55

Die Volatilität des Marktwertes des Eigenkapitals ist, im Gegensatz zur Assetvolatilität,

keine Konstante und folgt damit auch nicht einer geometrischen Brownschen Bewegung.

Für die Volatilität des Eigenkapitals gilt:56

Formel 3.7 𝜎𝐸 = 𝜎𝑉 ∙𝑉0

𝐸0∙ 𝑁(𝑑1)

Bei der Bewertung ist der Vermögenswert bzw. der Wert der Assets zum Zeitpunkt t=0 we-

der beobachtbar noch handelbar. Aus diesem Grund wird hinsichtlich der Bewertung der

umgekehrte Weg beschritten. Aus dem beobachtbaren Marktwert des Eigenkapitals, dem

Buchwert des Fremdkapitals und der Eigenkapitalvolatilität werden Assetwert, Assetvolati-

lität und Assetdrift geschätzt.57

Die Eigenkapitalvolatilität ist allerdings, wie schon erwähnt, weder eine Konstante noch di-

rekt beobachtbar. Die Eigenkapitalvolatilität kann daher im besten Fall anhand historischer

Beobachtungen der realisierten Eigenkapitalrenditen geschätzt werden. Problematisch ist,

dass die Eigenkapitalvolatilität von zwei nicht beobachtbaren Größen abhängt, und zwar

vom Vermögenswert und dessen Volatilität, da „Asset“ selber weder beobachtbar oder han-

delbar ist.58 Neben den Annahmen und Restriktionen ist das noch eine Problematik der prak-

tischen Anwendung des Modells, worauf im nächsten Kapitel näher eingegangen wird.

55Vgl. Bemmann (2007), S. 45.

56Vgl. Bemmann (2007), S. 45.

57Vgl. Bemmann (2007), S. 46.

58Vgl. Bemmann (2007), S. 46.


21

Der theoretisch abgesicherte Anwendungsbereich des Merton Modells erstreckt sich damit

auf die Insolvenzprognose nicht abgesicherter und passiver Hedgefonds und börsenorien-

tierter Unternehmen. Hier spielt es keine Rolle, ob der Marktpreis der Assets oder dessen

Volatilität theoretisch gerechtfertigt sind. Es ist nur wichtig, dass sich die Marktpreisent-

wicklung innerhalb des Prognosezeitraums mit bekannten Parametern durch die unterstellte

geometrische Brownsche Bewegung gut beschreiben lässt.59

3.2.3 Die Bewertung der Fremdkapitalposition

Das Merton Modell besagt, dass der Wert des Unternehmens jederzeit als die Summe der

Marktwerte des Eigenkapitals und Fremdkapitals ermittelt werden kann. Das Auszahlungs-

profil des Fremdkapitalgebers wurde im Unterabschnitt 3.2.1 durch DT = min [VT; F] be-

zeichnet. Auch lässt sich diese Position durch DT = F-max[VT – F;0] ausdrücken. Anhand

dieser Annahmen gilt für den aktuellen Kreditwert:60

Formel 3.8: 𝐷0 = V0 − E0

𝐷0 = V0N(−𝑑1) + 𝐹𝑒−𝑟𝑇N(𝑑2)

𝐷0 = 𝐹−𝑟𝑇 + V0N(−𝑑1) − 𝐹𝑒−𝑟𝑇N(𝑑2)

Die geförderte Rendite der Kreditgesellschaft ist neben dem aktuellen Kreditwert auch in-

teressant. Die Rendite wird mit y bezeichnet und wird definiert durch:61

Formel 3.9: 𝐷0 = 𝐹𝑒−𝑦𝑇 = 𝐹𝑒(𝑟−𝑦)𝑇

Durch die Umstellung der Formel 3.9 und durch Einsetzen des Kreditwertes gilt für die

Rendite y:62

Formel 3.10: 𝑦 = 𝑟 −1

𝑇∙ ln [𝑁(𝑑2) +

𝑉0

𝐹𝑒−𝑟𝑇𝑁(−𝑑1)]

59Vgl. Bemmann (2007), S. 45.

60Vgl. Cremers/Walzner (2009), S. 23. und Hull/Nelken/White (2004), S. 7.

61 Vgl. Reichling/Bietke/Henne (2007), S. 144.

62Vgl. Reichling/Bietke/Henne (2007), S. 144.


22

3.2.4 Ermittlung des Credit Spreads

Die Investoren fördern eine zusätzliche Rendite gegenüber der Rendite risikoloser Anleihen,

um die erwarteten Verluste aus dem Risiko einer Investition in eine ausfallrisikobehaftete

Anleihe zu kompensieren. Diese zusätzliche Rendite wird in der Literatur als Credit Spread

bezeichnet.63 Anders gesagt, ist der Credit Spread als Renditedifferenz zu einem risikofreien

Referenzzinssatz definiert bzw. als die Differenz zwischen der Rendite y und dem risikolo-

sen Zinssatz r.64 Je höher der Credit Spread, desto niedriger ist die Bonität des Unternehmens

bzw. desto höher ist die Ausfallswahrscheinlichkeit.65

Durch die Umformulierung der Formel 3.10 kommt man zur Formel für die Berechnung des

Credit Spreads:66

Formel 3.11: 𝐶𝑆 = 𝑦 − 𝑟 = −1

𝑇∙ ln [𝑁(𝑑2) +

𝑉0

𝐹𝑒−𝑟𝑇𝑁(−𝑑1)]

Merton veranschaulicht, dass der Credit Spread (Bonitätsrisikoprämie) eine Funktion

der Volatilität V („volatility of the firm´s operations” bzw. Volatilität des Unterneh-

menswertes)

der Laufzeit T

und der Kapitalstruktur des Unternehmens ist.67

Dazu hat Merton auch den Verschuldungsgrad L eingeführt:68

Formel 3.12: 𝐿 = 𝐹𝑒−𝑟𝑇

𝑉0

Der Verschuldungsgrad (Leverage), der mit L bezeichnet wurde, entspricht dem Verhältnis

des mit dem risikolosen Zinssatz abdiskontierten Rückzahlungsbetrages des Fremdkapitals

zum Marktwert des Unternehmens.69

63Vgl. Cremers/Walzner (2009), S. 25.

64Vgl. Schlecker, M. (2009), S. 5.



67Vgl. Wagner (2008), S. 94.

68 Vgl. Wagner (2008), S. 94.

69Vgl. Wagner (2008), S. 94.


23

3.2.5 Bewertung der Kreditrisikoparameter

Primärer Fokus in den Arbeiten von Black/Scholes bzw. Merton wurde auf die Entwicklung

einer präferenzfreien Vorschrift zur Bewertung von Optionen gelegt. Zur Bewertung muss

dabei einerseits eine Risikoeinschätzung angegeben werden, anderseits ist jedoch die An-

gabe einer Renditeerwartung für die Übernahme dieses Risikos nicht nötig. Diese Vorschrift

erlaubt die Verwendung der sog. risikoneutralen Bewertungstechnik. Dabei handelt es sich

keinesfalls um einen risikoneutralen Anleger, sondern es wurde durch die Vorschrift die

Diskontierung eines entsprechend modifizierten Erwartungswertes mit dem risikolosen

Zinssatz gestattet.70

Die Ausfallwahrscheinlichkeit nach Merton entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass der

Unternehmenswert VT geringer als die fällige Zahlung an die Fremdkapitalgeber F ist. Aus

heutiger Sicht ist VT de facto unbekannt, aber die Annahmen von Black/Scholes und Merton

besagen, dass der Unternehmenswert VT wegen der geometrisch Brownschen Bewegung

zum Zeitpunkt T log- normalverteilt ist.71 Entsprechend kann die risikoneutrale Ausfall-

wahrscheinlichkeit PD zum Zeitpunkt T auf Basis der Verteilungsfunktion der Standardnor-

malverteilung berechnet werden.72

Die einfache Darstellung der Ausfallwahrscheinlichkeit sieht wie folgt aus:73

Formel 3.13: 𝑃𝐷 = 𝑃𝑟𝑜𝑏[𝑉𝑇 < 𝐹] = 𝑃𝑟𝑜𝑏[𝑙𝑛𝑉𝑇 < 𝑙𝑛𝐹]

Dadurch erhält man die Formel für die Berechnung der risikoneutralen Ausfallwahr-

scheinlichkeit:74

Formel 3.14: 𝑃𝐷 = 𝑁(−𝑙𝑛𝑉0𝐹 + (𝑟−

1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇 ) = 𝑁(−𝑑2)


71Siehe dazu Kapitel 3.2.1.



74Vgl. Seidler/Jakubík (2009), S. 9.


24

Die Ausfallwahrscheinlichkeit des Unternehmens zum Zeitpunkt t = 0 hängt daher von den

beobachtbaren Größen V0, T und F sowie von der nichtbeobachtbaren Größe σV ab.75 In der

Formel beschreibt N(d2) die gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Option in einer risiko-

neutralen Welt ausgeübt wird, bzw. dass der Marktwert des Unternehmens zum Zeitpunkt T

größer als der Rückzahlungsbetrag F ist.76 Die Aussage 1- N(d2) = N(-d2) beschreibt die

risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit.

In diesem Sinne muss berücksichtigt werden, dass auch die reale („risikoaverse“) Ausfall-

wahrscheinlichkeit besteht, welche sich von der risikoneutralen unterscheidet. Der Unter-

schied besteht darin, dass bei der realen Ausfallwahrscheinlichkeit anstatt dem risikolosen

Zinssatz die erwartete wahre Rendite des Unternehmenswertes eingesetzt wurde. Daher

kann die reale Ausfallwahrscheinlichkeit mit folgender Formel ausgedrückt werden:77

Formel 3.15: 𝑃�̃� = 𝑁 (−𝑙𝑛𝑉0𝐹 + (𝜇𝑉−

1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇) = 𝑁(−𝑑2̃)

Allgemein liegt die erwartete Unternehmensrendite oberhalb des risikolosen Zinssatzes, da

Investoren in der Realität eine Rendite veranlagen, die höher ist als der bloße risikolose

Zinssatz.78

Die weiteren relevanten Größen bezüglich des Ausfallrisikos sind Recovery Rate, Expo-

sure at Default (EAD) und Lost Given Default (LGD).

Meistens kommt es bei Eintritt eines Ausfallereignisses nicht zu einem kompletten Verlust

des investierten Kapitals. Im Rahmen dieser Arbeit wird der prozentuale Anteil der Nomi-

nale, welcher im Falle eines Ausfallereignisses an die Investoren zurückfließt als „Recovery

Rate“ bezeichnet. In den Annahmen des Modells wurde davon ausgegangen, dass die Zah-

lung der Recovery immer zum Zeitpunkt des Eintritts eines Ausfallereignisses erfolgt.79

75Vgl. Bemmann (2007), S. 45.

76Siehe Kapitel 3.1.


78Vgl. Bemmann (2007), S. 44.

79 Vgl. Cremers/Walzner (2009), S. 27.


25

Die Recovery Rate ist im klassischen optionstheoretischen Ansatz implizit enthalten. Im

Falle, dass es nicht zum Eintritt eines Ausfallereignisses kommt, erhalten die Fremdkapital-

geber zum Zeitpunkt T die Nominale des Zerobonds F zurück. Wenn es dagegen zum Ausfall

kommt, dann erhalten die Investoren die Recovery Rate (RR) multipliziert mit der Nominale

des Zerobonds F. In anderen Worten bedeutet dies Folgendes: Im Falle, dass der Unterneh-

menswert zum Fälligkeitszeitpunkt T kleiner als die Nominale F ist, bezeichnet die Recovery

Rate den prozentuellen Anteil des Rückzahlungsbetrages, der dann den Fremdkapitalgeber

gehört.80 Für die erwartete Recovery Rate zum Zeitpunkt t = 0 gilt die folgende Formel:81

Formel 3.16:𝑅𝑅 =𝑉0

𝐹𝑒𝑥𝑝[𝜇𝑉𝑇]

𝑁(−𝑑1̃)

𝑁(−𝑑2 )̃̃

Es ist zu beachten, dass die Formel 3.16 für die Darstellung der reale Recovery Rate geeignet

ist. Um die risikoneutrale RR zu bestimmen, wurde V mit r ersetzt.82

Die Exposure at Default (EAD, der ausfallbedrohte Betrag) entspricht dem Rückzahlungs-

betrag an die Fremdkapitalgeber bzw. kann wie folgt ausgedrückt werden:83

Formel 3.17: 𝐸𝐴𝐷 = 𝐹

Der Loss Given Default (LGD) bezeichnet die noch offene Förderungshöhe, die im Fall

eines Ausfalls verloren geht und ist im Merton Modell gegeben durch:84

Formel 3.18: 𝐿𝐺𝐷 =𝐹−𝑉𝑇

𝐹= 1 − 𝑅𝑅




83Vgl. Wagner (2008), S. 94.

84Vgl. Wagner (2008), S. 94.


26

3.3 Probleme und Eingrenzungen des Merton Modells

Obwohl Merton mit seinem Werk die analytische Maschinerie und eine essentielle Basis für

die weiteren Entwicklungen in dem Feld der Optionspreistheorie festgelegt hat, haben zahl-

reiche empirische Studien verdeutlicht, dass das Modell viele Probleme und Eingrenzungen

bei der praktischen Anwendung aufzeigt.85 Das Merton Modell ist intuitiv nachvollziehbar

und hat eine ökonomisch fundierte Basis, aber die meisten Studien in der Literatur beweisen,

dass es das Kreditrisiko relativ schlecht abbilden kann.86 Bei der Anwendung des Modells

in der Praxis erscheint eine Reihe von Problemen, die in diesem Abschnitt näher erläutert

werden.

Die zahlreichen Eingrenzungen, die das Merton Modell aufweist, lassen sich großteils auf

die Modell-Annahmen zurückführen. Die größte Problematik, die die praktische Anwen-

dung des Modells betrifft, ist, dass diese Annahmen eine relativ schlechte Abbildung der

Realität darstellen. In der Literatur87 beziehen sich die Kritikpunkte auf die Annahme, dass

der Wert des Unternehmensvermögens einem Random-Walk Prozess folgt. Die Annahmen

besagen, dass der Unternehmenswert einer geometrisch Brownschen Bewegung folgt und

wächst, während die Fremdkapitalhöhe konstant bleibt. Das verursacht die tendenzielle Un-

terschätzung des Kreditrisikos. Das Risiko eines Ausfalls sinkt dementsprechend und somit

fällt der Credit Spread bei längeren (Rest-) Laufzeiten. Bei kurzen (Rest-) Laufzeiten geht

der Credit Spread immer gegen „null“, aufgrund der Vorhersehbarkeit des Eintritts des Aus-

fallereignisses.88

Die Bewertung des Credit Spreads mittels Structural Models ist zum Thema vieler bestehen-

der empirischer Studien geworden. In den meisten empirischen Arbeiten hat sich gezeigt,

dass diese Modelle nur bedingt geeignet sind, um die tatsächlich im Markt beobachteten

Credit Spreads zu erklären.89 Andere Arbeiten kommen allerdings zum Ergebnis, dass Struk-

turmodelle, besonders das Merton Modell, das Ausfallrisiko adäquat bepreisen, denn sie

können die im Markt beobachteten CDS-Spreads sehr gut erklären.90

85Vgl. Sundaresan (2013), S. 5.


87Siehe Hüttemann (1997), S. 82 ff und Rudolph (2001), S. 341.


89Siehe Zhang/Zhou/Zhu (2006), S. 1.



27

Die ersten empirischen Überprüfungen des Merton Modells haben 1984 Jones, Mason und

Rosenfeld durchgeführt. Sie haben dabei Anleihen von 27 Unternehmen zwischen 1975 und

1981 betrachtet. Die Anleihen wiesen eine relativ einfache Kapitalstruktur auf. Die Bewer-

tung der Anleihen haben die Autoren jeweils zum Monatsende nach Merton (1974) durch-

geführt. Sie stellten ihre berechneten Preise einer risikofreien Bewertung gegenüber, wobei

sie die Zahlungsströme der Anleihen mit dem risikofreien Zinssatz diskontierten. Die Er-

gebnisse haben gezeigt, dass das Merton Modell bei Investment-Grade-Anleihen sehr nied-

rige Credit Spreads berechnet und dass es im Falle von diesen Anleihen kaum Unterschiede

zwischen den beiden Modellen gibt. Bei spekulativen Anleihen hingegen ermittelt das Mer-

ton Modell höhere Credit Spreads, da hier niedrigere Anleihepreise berechnet werden. In

diesem Fall hat sich die risikofreie Bewertung im Vergleich zum Merton Modell als besser

geeignet für die Ermittlung der Credit Spreads gezeigt.91

In der Studie vom Eom, Helwege und Huang (2004) wurden Preise von insgesamt 182 An-

leihen aus der Fixed Income Database zwischen 1986 und 1997 benutzt. Sie haben dazu

Emittenten mit wenig komplexen Kapitalstrukturen ausgewählt. Die Studie untersuchte die

Genauigkeit der Modelle durch den Vergleich mit den tatsächlichen Credit Spreads. Die Er-

gebnisse haben verdeutlicht, dass das Merton Modell Credit Spreads berechnet, die im

Schnitt 50,42% zu niedrig liegen. Das gilt für die Investment-Grade-Anleihen. Anderseits

wurden die Credit Spreads bei spekulativen Anleihen überschätzt.92

Die Annahmen einer konstanten Unternehmensvolatilität sowie eines konstanten Zinssatzes

sind auch problematisch, da sie nicht der Realität entsprechen.93 Daneben wurde auch ange-

nommen, dass der Unternehmenswert jederzeit handelbar ist, was nicht der Realität ent-

spricht. Der Wert des Eigenkapitals in Form von Aktien ist handelbar. Der Unternehmens-

wert hingegen ist weder handelbar noch am Markt direkt beobachtbar.94

Allerdings kann auch die Beobachtbarkeit des Marktwertes des Eigenkapitals in Frage ge-

stellt werden, da viele Unternehmen nicht börsenorientiert sind. Diese Tatsache klassifiziert

diese Größe bei solchen Unternehmen als nicht beobachtbar.

91Vgl. Jones/Mason/Rosenfeld (1984), S. 619 ff und Schlecker (2009), S. 77.

92Vgl. Eom/Helwege/Huang (2004), S. 513 und Schlecker (2009), S. 77.

93Vgl. Wagner (2008), S. 102.



28

Dazu taucht noch ein problematischer Punkt auf: Die Volatilität des Unternehmenswertes ist

auch keine direkt beobachtbare Größe.95 Zur Bestimmung von beiden nicht beobachtbaren

Größen werden in der Praxis über die Aktienkurse und die Aktienvolatilität Rückschlusse

auf den Unternehmenswert bzw. die Volatilität des Unternehmenswertes gezogen.96

Problematisch bei der praktischen Anwendung des Modells ist auch das stark vereinfachte

Grundkonzept selbst. Merton geht nämlich von der Annahme aus, dass das Fremdkapital aus

einer Nullkuponanleihe mit Nominalwert F und Fälligkeit T besteht. In der Realität ist die

Kapitalstruktur eines Unternehmens viel komplexer, besonders im Falle des Fremdkapitals,

welches in unterschiedlichen Rängen und unterschiedlicher Fälligkeit existiert. Wenn es um

die Fälligkeit geht, ist sie mit noch einer Vereinfachung des Modells, die in den Annahmen

vorgestellt wird, verknüpft.97

Die Annahme besagt, dass ein Ausfall nur zum Fälligkeitszeitpunkt und keineswegs davor

auftreten kann, was auch eine schlechte Abbildung der Realität darstellt, da nicht alle Ver-

bindlichkeiten eines Unternehmens zum gleichen Zeitpunkt fällig werden. Verschiedene Er-

eignisse wie Dividendenzahlungen, Aktienrückkäufe, oder weitere Kapitalaufnahmen sind

in der Praxis entgegen den Modellannahmen vor dem Fälligkeitstermin der Verbindlichkei-

ten möglich.98 In diesem Zusammenhang werden bonitätsbeeinflussende Faktoren wie die

Möglichkeit zum Nachschuss von Eigenkapital oder die Ratingänderungen in diesem Modell

nicht berücksichtigt, obwohl sie in der Realität durchaus vorkommen.99

Ein weiterer Kritikpunkt setzt der Schwerpunkt auf den Parameter Risiko. Dieser Kritik-

punkt ist auf die Diskrepanz zwischen den klassischen Modellen für die Unternehmensbe-

wertung und Optionspreistheorie bzw. dem Merton Modell orientiert. Nämlich, das in der

Praxis vorherrschende Unternehmensbewertungsverfahren ist die Kapitalwertmethode bzw.

das DCF-Verfahren. Dieses Verfahren führt ein höheres Risiko zu einem geringeren Share-

holder Value (Marktwert des Eigenkapitals). Zur Ermittlung der Kapitalkosten wird in der

95Vgl. Wagner (2008), S. 102.

96Vgl. Wagner (2008), S. 97.

97Vgl. Sundaram/Das (2010), S. 812.

98Vgl. Knöchlein (2006), S. 15.



29

Regel auf CAPM zurückgegriffen, in welchem das systematische Risiko das bewertungsre-

levante Risiko ist. Sämtliche Unsicherheitsfaktoren sind im CAPM in der Risikokennzahl

Beta integriert. CAPM geht von risikoaversen Investoren aus.100

Im Merton Modell resultiert eine Erhöhung der Volatilität des Unternehmenswertes mit ei-

ner Erhöhung des Marktwertes des Eigenkapitals.101 Dazu kommt bei der Bewertung das

gesamte Risiko zum Tragen, wohingegen im DCF (CAPM) auf das systematische Risiko

abgestellt wird. Spezifisch für das Optionspreismodell ist auch das Konzept der risikoneut-

ralen Bewertung. Risikopräferenzen spielen in diesem Fall keine Rolle. Der Gegenwartswert

des Portfolios ist unabhängig vom Ausgangskurs und der Kursentwicklung des Wertpapiers,

die einem Zufallspfad folgt. Daneben ergibt sich der Gegenwartswert des Portfolios durch

die Abzinsung des Portfolioendvermögens mit dem risikolosen Marktzinssatz, wohingegen

bei dem DCF-Verfahren risikoadjustierte Diskontfaktoren benutzt werden.102

100 Vgl. Wagner (2008), S. 100.

101Vgl. Copeland/Weston/Shastri (2005). S. 584: “The equity holders will prefer more variance to less because

they profit from the probability that the value of the firm will exceed the face value of the debt. Therefore

their risk actually decreases as the variance of the value of the value of the firm´s assets increases.”

102Vgl. Wagner (2008), S. 100.


30

4 Bekannteste Erweiterungen des Merton Modells und

ihre praktische Anwendung

Die Probleme, die im vorherigen Kapitel vorgestellt wurden, zeigen klar, warum das Merton

Modell aus der Sicht von Praktikern wegen zahlreicher Eingrenzungen und der fehlenden

Realitätsnähe für die Anwendung als unzuverlässig betrachtet werden kann. Aus diesem

Grund gibt es eine Vielzahl von Versuchen, bestimmte Schwächen und Eingrenzungen des

Modells zu vermindern oder zu vermeiden. Diese Versuche resultieren in Erweiterungen des

Modells, die den Basisansatz von Merton übernehmen und bestimmte Komponenten ändern

oder adjustieren, um Ergebnisse, die näher zur Realität stehen, zu liefern.103 Die Hauptziele

dieser Weiterentwicklungen liegen darin, komplexe Kapitalstrukturen zu berücksichtigen,

die Konkurse vor Laufzeitende zu modellieren und die stochastische Entwicklung des risi-

kolosen Zinses zu integrieren. Alle diese Ansätze haben allerdings eine Annahme gemein-

sam, und zwar, dass das Ausfallrisiko in erster Linie von der stochastischen Entwicklung

des Wertes der Aktiva des Kreditnehmers abhängt.104

In diesem Kapitel werden die drei wichtigsten anwendungsorientierten Erweiterungsmodelle

aufgegriffen. Die ersten zwei Modelle sind in der Praxis am beliebtesten und wurden in der

Literatur oft als kommerzielle Kreditrisikomodelle bezeichnet, während das dritte Modell

eine spezielle Erweiterung des Merton Modells und eine wichtige Basis für weitere Entwick-

lungen darstellt.105

4.1 KMV Modell

Das erste (und das populärste) anwendungsorientierte Modell zur Bewertung des Kreditrisi-

kos, das auf dem Merton Modell basiert, geht auf die Beratungsfirma KMV zurück. Das

Modell wurde ursprünglich von der amerikanischen Firma, die nach den Initialen ihrer Grün-

der Kealhover, McQuown und Vasicek benannt wurde, entwickelt und vermarktet und im

Februar 2002 von Moody´s übernommen.106 Das Modell gehört zu den Firmenwert-Model-

len bzw. Asset-Value-Modellen, die auf der Grundlage des Merton Modells beruhen. Es

103Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2012), S. 171 und Albrecht (2005), S. 81.

104Vgl. Wahrenburg/Niethen (2000), S. 4.

105Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2012), S. 171 und Albrecht (2005), S. 81.

106Vgl. Martin/Reitz/Wehn (2014), S. 176.


31

wurde bisher keine detaillierte Darstellung der Vorgehensweise der Modellierung auf Port-

folioebene seitens KMV veröffentlicht. Daher wird in folgenden Unterabschnitten die Vor-

gehensweise zum größten Teil auf Einzelkreditebene analysiert. Obwohl dieses Modell auf

dem Modell von Merton basiert, es ist unzweideutig, dass das KMV Modell gewisse Unter-

schiede im Vergleich zum Merton-Modell aufweist. Die vom Merton Modell implizierte

Ausfallwahrscheinlichkeit wurde im KMV Modell durch Annahme eines Default Points un-

terhalb der Gesamtverbindlichkeiten modifiziert, da das Modell von Merton zum Teil unre-

alistische Ausfallwahrscheinlichkeiten liefert. Moody´s bietet zu diesem Zweck eine um-

fangreiche Datenbasis, die dazu dient, das KMV Modell so zu kalibrieren, dass die ermittel-

ten Ausfallwahrscheinlichkeiten mit den empirisch beobachteten übereinstimmen.107 Diese

und andere wichtige Zusammenhänge sowie die Unterschiede zwischen den beiden Model-

len werden im nächsten Abschnitt näher erläutert. Es wird auch erklärt, warum dieses Modell

besser für die praktische Anwendung geeignet ist und ob es eventuelle Eingrenzungen bzw.

Schwierigkeiten gibt.

4.1.1 Modell Grundlagen und Herleitung der Modellfaktoren

Das KMV Modell beruht, so wie das Merton Modell, auf einer stochastischen Beschreibung

der zeitlichen Weiterentwicklung des Unternehmens, der für einen unternehmerischen

Schuldner wie folgt dargestellt wird:108

Das Unternehmen verfügt über ein totales Vermögen (Vt), das sich im Zeitablauf, genau wie

im Merton Modell auf stochastische Weise verändert.109 Der wichtigste Unterschied zwi-

schen dem Merton Modell und dem KMV Modell ist, dass die Verpflichtungen beim KMV

nicht zu Marktwerten, sondern zu Buchwerten angesetzt werden.110

Es besteht noch das Problem der unbekannten Größen, und zwar des Unternehmenswertes

V und der Volatilität des Unternehmenswertes V.111 Der exzellente Beitrag von Moody´s

107Vgl. Wahrenburg/Niethen (2000), S. 4 ff.

108Vgl. Spremann (2010), S. 308.

109Vgl. Spremann (2010), S. 308.

110Vgl. Albrecht (2005), S. 82.

111Vgl. Everling (2008), S. 134. und siehe Kapitel 3.2.2.


32

KMV war die kreative Idee, die zwei Gleichungen aus der Bewertung der Eigenkapitalposi-

tion zu nutzen, um diese Werte zu ermitteln. Dieses Problem wird daher durch die Lösung

eines Systems von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten praktisch und einfach gelöst.112

Formel 4.1: 𝜎𝐸 = 𝑔(𝜎𝑉) → 𝜎𝐸 = 𝜎𝑉 ∙𝑉0

𝐸0∙ 𝑁(𝑑1)

Formel 4.2: 𝐸0 = 𝑉0𝑁(𝑑1) − 𝐹𝑒−𝑟𝑇𝑁(𝑑2)

Mit Hilfe des Ansatzes aus der Formel 4.1 ist es möglich über sukzessive Iterationen113 den

Marktwert des Unternehmens und deren Volatilität herzuleiten. Die Iterationen fangen mit

einer ersten Annahme über die Volatilität des Unternehmens an und danach werden mit Hilfe

dieser Annahme eine Reihe möglicher Unternehmenswerte ermittelt. Für diese Werte lassen

sich erneut Volatilitäten ableiten, die dann neue Unternehmenswerte ergeben, bis der Pro-

zess auf einen Wert konvergiert. Je vernünftiger die Startwerte gewählt sind, desto weniger

Iterationen werden benötigt, um den Marktwert des Unternehmens und dessen Volatilität zu

ermitteln. Hierbei ist es wichtig die Beziehung zwischen der Verschuldung eines Unterneh-

mens und der Volatilität des Unternehmenswertes zu berücksichtigen. Unternehmen mit ho-

hen Volatilitäten (z.B. Computer Software) weisen in der Regel wenige Verbindlichkeiten

auf, während Unternehmen mit einer hohen Verschuldung (z.B. Banken) niedrige Volatili-

täten haben.114

Im Mittelpunkt des KMV Modells steht die Ermittlung der Ausfallwahrscheinlichkeit eines

Unternehmens. Ihre Bestimmung erfolgt durch drei wesentliche Faktoren: den Verschul-

dungsgrad bzw. den Anteil an Fremdfinanzierung des Unternehmens, den Wert der Unter-

nehmensaktiva und deren Volatilität.115 Im Merton Modell wird davon ausgegangen, dass

112Siehe Kapitel 3.2.2.

113Iteration (lat. iterare =wiederholen) beschreibt allgemein einen Prozess mehrfachen Wiederholens gleicher

oder ähnlicher Handlungen zur Annäherung an eine Lösung oder ein bestimmtes Ziel. In der Mathematik-

bezeichnet Iteration eine Methode, sich der exakten Lösung eines Rechenproblems schrittweise anzunähern

(sukzessive Approximation). Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens.

114Vgl. Everling (2008), S. 134.

115Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 129.


33

ein Ausfall eines Unternehmens genau dann eintritt, wenn der Marktwert der Aktiva zu ir-

gendeinem Zeitpunkt unter die kritische Grenze (F) fällt.116 Der Ausgangspunkt für die Be-

rechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit ist die schon vorgestellte Formel für die reale Aus-

fallwahrscheinlichkeit:

Formel 4.3. 𝑃�̃� = 𝑁 (−𝑙𝑛𝑉0𝐹 + (𝜇𝑉−

1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇) = 𝑁(−𝑑2̃)

Wie schon im Unterabschnitt 3.2.5 erklärt wurde, tritt hier als Driftparameter das unbekannte

μV, bzw. anstatt dem risikolosen Zinssatz (der bei der Ermittlung der risikolosen Ausfall-

wahrscheinlichkeit eingesetzt wurde117) wurde die erwartete wahre Rendite des Unterneh-

menswertes eingesetzt.118

Im KMV Modell werden allerdings die Ausfallwahrscheinlichkeiten nicht direkt anhand von

Formel 4.2 ausgerechnet, sondern in Form von EDFs mittels umfangreicher historischer

Ausfalldaten statistisch geschätzt. Dazu müssen zunächst σV (z.B. anhand der Aktienkurs-

volatilitäten) und μV (anhand der Wachstumsrate der Branche des Unternehmens in der Ver-

gangenheit) geschätzt werden.119

Der nächste Schritt ist den Default Point (Ausfallpunkt, Ausfallschranke) festzulegen, da er

anstelle von N in Formel 4.2 zur Überprüfung der Ausfallbedingung zum Einsatz kommt.120

Der Grund für diesen Unterschied ist, dass beim KMV Modell die kritische Grenze die Höhe

des Fremdkapitals bezeichnen kann, auch aber kann es sich um ein anderes Niveau handeln,

um eine andere Form von Krise oder Financial Distress zu modellieren.121 Zudem kann sich

die kritische Grenze im Zeitablauf verändern. Wenn nämlich das Unternehmen auch lang-

fristige Verbindlichkeiten eingegangen ist, dann hat dieses Unternehmen zusätzlichen Spiel-

raum bei der Erfüllung finanzieller Verpflichtungen. Sobald der Unternehmenswert nicht

unter die kritische Grenze fällt, tritt im Modell kein Ausfall (Default) ein.122 Es ist hierbei

116Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 129.

117Siehe Formel 3.14.

118Siehe Kapitel 3.2.5.



121Vgl. Spremann (2010), S. 308.

122Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 129 und Spremann (2010), S. 310.


34

für das KMV Modell charakteristisch, dass ein Ausfall nicht unbedingt in dem Moment ein-

treten muss, in dem der Unternehmenswert unter den Wert der Verbindlichkeiten fällt. Viele

Unternehmen können sogar wegen der langfristigen Verbindlichkeiten noch lange nach die-

sem Moment mit der Arbeit fortfahren und weitere Aktivitäten finanzieren. Wenn ein

Default auftritt, dann spricht man vom Ausfallpunkt oder Default Point. Dieser Punkt liegt

irgendwo zwischen den kurzfristigen Verbindlichkeiten und Gesamtverbindlichkeiten bzw.

er kann gemäß folgender Formel bestimmt werden:123

Formel 4.4: 𝐷𝑃𝑇 = 𝑆ℎ𝑜𝑟𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑚 𝐷𝑒𝑏𝑡𝑇 +1

2𝐿𝑜𝑛𝑔 𝑇𝑒𝑟𝑚 𝐷𝑒𝑏𝑡

Hierbei werden alle Verbindlichkeiten des Unternehmens (nicht nur eine Nullkuponanleihe

wie in Formel 4.2) beobachtet.124 Die Größe „Short Term Debt“ (kurzfristige Verbindlich-

keiten) in der Formel entspricht der Summe derjenigen Verpflichtungen, die im betrachteten

Zeithorizont zu erfüllen sind. Dem „Long Term Debt“ (langfristige Verbindlichkeiten) wer-

den dann die restlichen Verpflichtungen zugeordnet. Die langfristigen Verbindlichkeiten

bleiben oft für einige Zeit konstant, weshalb das „T“ als Zeitargument bei ihnen nicht er-

scheint. Die kurzfristigen Verbindlichkeiten können sich hingegen im Zeitablauf sehr wohl

verändern.125 Der Fälligkeitszeitpunkt der Schulden spielt im KMV Modell keine Rolle bzw.

er muss nicht bekannt sein. Die Fremdkapitalgeber beobachten das Unternehmen periodisch

oder laufend und sobald der Ausfallpunkt eintritt oder festgelegt wird, ist das Spiel been-

det.126

Der nächste wichtige Schritt in diesem Prozess ist die Ermittlung der sog. Distance to

Default. „Die Distance to Default (DD) gibt an, um wie viele Standardabweichungen der

Marktwert eines Unternehmens fallen darf, bevor der Default Point erreicht ist und das Un-

ternehmen ausfällt.“127

123Vgl. Albrecht (2005), S. 82.


125Vgl. Albrecht (2005), S. 82.

126Vgl. Spremann (2007), S. 410.

127Everling (2008), S. 135.


35

Falls sich für ein Unternehmen z.B. eine DD von 2,3 ergibt, dann tritt ein Ausfallereignis

bei der Verringerung der Aktiva des Unternehmens um 2,3 Standardabweichungen ein.“128

Die DD wird gemäß folgender Formel berechnet:129

Formel 4.5: 𝐷𝐷 =𝑙𝑛(

𝑉0𝐷𝑃𝑇

)+(𝜇−1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇

Je größer der Wert des Zählers in der Formel ist, desto unwahrscheinlicher ist ein Ausfall

des betreffenden Unternehmens. Im Falle, dass die Firmen eine vergleichbare Distance to

Default haben, wird diesen Firmen eine vergleichbare Ausfallwahrscheinlichkeit zuge-

schrieben. Auf Basis umfangreicher historischer Ausfalldaten wird die relative Ausfallhäu-

figkeit derjenigen Unternehmen bestimmt, denen in der Vergangenheit eine ähnliche Dis-

tance to Default zugewiesen wurde und die nach dem Ablauf der Zeitspanne T tatsächlich

ausgefallen waren.130

Die Distance to Default kann auch als ein einheitliches Maß, das eine Kombination aus den

Faktoren Unternehmenswert, Verschuldung und Volatilität darstellt, beschrieben werden.

Die Distance to Default setzt die Differenz zwischen Unternehmenswert und Verschuldung

ins Verhältnis zur Volatilität des Unternehmenswertes und kann auch wie folgt dargestellt

werden:131

Formel 4.6: 𝐷𝐷 =𝑈𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒ℎ𝑚𝑒𝑛𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡−𝐷𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡 𝑃𝑜𝑖𝑛𝑡

𝑈𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒ℎ𝑚𝑒𝑛𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡∙𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡ä𝑡

In der Praxis wird das Modell im Kreditrisikomanagement von Kreditgebern und Investoren

eingesetzt. Um das Modell für diesen Einsatz geeignet zu machen, ist es nötig, die Ergeb-

nisse (d.h. die Distance to Default) in eine Ausfallwahrscheinlichkeit zu transformieren. Für

die Übersetzung der Distance to Default in eine Ausfallwahrscheinlichkeit (EDF) wurde bei

Moody´s KMV die größte Datenbank ihrer Art verwendet. Über 250 000 Unternehmensjahre

und mehr als 4700 Ausfälle liefern eine sehr gute Basis, um Ausfallwahrscheinlichkeiten für

einzelne Distance to Default abzuleiten. Um beispielsweise zu beantworten, welche 1-Jahres

128Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 130.

129Vgl.Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 152.

130Vgl.Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 152.

131Vgl. Everling (2008), S. 135.


36

EDF Unternehmen mit einer Distance to Default von 7 aufweisen, muss man sämtliche Un-

ternehmen mit einer Distance to Default von sieben beobachten, und zwar diejenigen, die

innerhalb der folgenden zwölf Monate einen Ausfall erduldet haben. Dann müssen sie mit

der Zahl sämtlicher Unternehmen mit einer DD von sieben verglichen werden. Das Resultat

beträgt etwa 0,5%, d.h. eins von 2000 Unternehmen mit einer DD von sieben erduldet in-

nerhalb von zwölf Monaten einen Ausfall.132

Der beobachtete Zusammenhang zwischen Distance to Default und Ausfallwahrscheinlich-

keit lässt sich durch eine Funktion approximieren, die Kalibrierungsfunktion genannt wird.

Mit Hilfe dieser Funktion lässt sich jede ermittelte Distance to Default in eine Ausfallwahr-

scheinlichkeit überführen. Die folgende Abbildung ist die graphische Darstellung der Kalib-

rierungsfunktion des oben vorgestellten Beispiels.133

Abbildung 5: Kalibrierungsfunktion

Quelle: Everling (2008), S. 137.

Zusammenfassend kann der ganze Prozess der Bewertung der Ausfallwahrscheinlichkeit

(EDF) mittels KMV Modell in drei Schritte unterteilt werden. Die drei Schritte sind zur

besseren Übersichtlichkeit in folgender Abbildung dargestellt:

132Vgl. Everling (2008), S. 136.

133Vgl. Everling (2008), S. 137.


37

Abbildung 6: Die Ermittlung der Ausfallwahrscheinlichkeit mittels KMV

Quelle: in Anlehnung an: Crosbie/Bohn (2003), S.10.

4.1.2 Die Zusammenhänge innerhalb des KMV Modells

Die folgende Abbildung veranschaulicht nochmals das Vorgehen des KMV Modells.

Abbildung 7: Distance to Default im KMV Modell

Quelle: Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 130.

Der Unternehmenswert kann zwischen dem Zeitpunkt der Analyse des Unternehmens und

dem Analysehorizont zahlreiche Ausprägungen annehmen. Es ist somit nötig den Wert der

1.• Ermittlung der Marktwerte des Unternehmenswertes und deren Volatilität

2.• Ermittlung der Distance to Default

3.• Transformierung der Distance to Default in Ausfallwahrscheinlichkeit (EDF)


38

Aktiva zum Zeitpunkt t = 0 zu ermitteln (1). Oben ist schon beschrieben, wie dieser Prozess

abläuft. Hierdurch wird auch die Volatilität der Aktiva, die als eine Standardabweichung

gemessen wird, ermittelt (2). Als weiterer Schritt müssen die Verteilung für die Aktiva zum

Zeitpunkt H (4), der Ausfallpunkt (5) und die Wachstumsrate der Asset bekannt sein (6).

Letztendlich, als Ergebnis des ganzen Prozesses, lässt sich aus der graphischen Darstellung

in Abbildung 7 die Ausfallwahrscheinlichkeit ablesen. Ein Ausfall liegt genau dann vor,

wenn der Wert der Aktiva zum Zeitpunkt H unter den Default Point fällt. Im Falle, dass die

Verteilungsfunktion für die Aktiva bekannt ist, kann aus der Distance to Default die Aus-

fallwahrscheinlichkeit direkt bestimmt werden. Sie ist in Abbildung 7 als graue Fläche dar-

gestellt. Diese Ausfallwahrscheinlichkeit wird als Expected Default Frequency (EDF) be-

zeichnet.134

Abbildung 7 macht die Zusammenhänge im Modell leicht nachvollziehbar. Die Erhöhung

der Verschuldung würde den Default Point nach oben verschieben und zwar auf der Weise,

dass die Anzahl der Standardabweichungen, die der Unternehmenswert abnehmen darf, da-

mit sinken würde. Das gleiche gilt für die Distance to Default – sie wird kleiner. In dem Fall,

dass der Unternehmenswert sinkt, würde die Situation gleich wie im ersten Fall aussehen. In

den letzten Jahrzenten gab es zahlreiche Analysen der Insolvenzen, die gezeigt haben, dass

Unternehmen, die in Schwierigkeiten stecken (Unternehmen mit sinkenden Unternehmens-

werten) zusätzliches Fremdkapital aufnehmen, um z.B. Liquiditätsengpässe zu überbrücken

oder um Restrukturierungsmaßnahmen zu finanzieren.135

In der Abbildung würde eine Änderung der Volatilität in einer geänderten Form der Vertei-

lung der Unternehmenswerte dargestellt werden. Im Falle, dass die Volatilität steigt (d.h. es

besteht eine steigende Ungewissheit über die mögliche Geschäftsentwicklung) wird die Ver-

teilung flacher. Die Zunahme der Volatilität bedeutet eine sinkende Zahl der Standardab-

weichungen, die der Unternehmenswert fallen darf, bevor der DP erreicht wird. Daraus wird

klar, dass die Distance to Default auch sinkt. Wenn hingegen die Gewissheit über die Ge-

schäftsentwicklung steigt, dann weist die Volatilität eine sinkende Tendenz aus. Dadurch

passen mehr Standardabweichungen in den Puffer zwischen Unternehmenswert und DP, was

auch eine zunehmende Distance to Default bedeutet.136


135Vgl. Everling (2008), S. 136.

136Vgl. Everling (2008), S. 136.


39

4.1.3 Praktische Anwendung des KMV Modells – Moody´s Analytics

Das KMV Modell wurde von Moody´s in den Moody´s Analytics137 benutzt. Es besteht zum

einen aus dem sog. Credit Monitor, der früher als EDF Modell bekannt war, und aus dem

sog. Portfolio Manager. Diese beiden Tools stellen Beispiele der praktischen Nutzung des

KMV Modells auf Portfolioebene dar. Der KMV Modellansatz ist insbesondere geeignet für

Unternehmen, die börsenorientiert sind, da für diese, über die Optionspreistheorie, aus den

beobachtbaren Eigenkapitalwerten und deren Volatilitäten auf Assetwerte und Assetvolati-

litäten geschlossen werden kann. Das Modell Credit Monitor wurde von Moody´s angebo-

ten, um die Ausfallsprognosen auch für nicht börsenorientierte Unternehmen zu liefern. Die

Ausfallprognosen basieren einerseits auf Jahresabschlussdaten, anderseits aber auf den Wer-

ten börsenorientierter Unternehmen, welche ähnliche Charakteristika im Hinblick auf In-

dustriezugehörigkeit, den Standort und die Unternehmensgröße aufweisen.138 Das Credit

Monitor liefert für jedes börsenorientierte Unternehmen einen EDF-Wert. Der Portfolio Ma-

nager anderseits ermittelt die Verlustverteilung eines Portfolios.139

Die Ausgangspunkte des KMV Modells, die auch hier benutzt werden, wurden schon in den

Kapiteln 4.1.1 und 4.1.2 dieser Arbeit ausführlich erläutert. Wie bereits erwähnt, werden im

Modell die Ausfallwahrscheinlichkeiten nicht direkt anhand der Formel für die reale Aus-

fallwahrscheinlichkeit ausgerechnet, sondern statistisch geschätzt, und zwar mittels umfang-

reicher historischer Ausfalldaten in Form von EDFs. Dazu werden zunächst die Parameter σ

(z.B. aus Aktienkursvolatilitäten) sowie μ (anhand der Wachstumsrate der Branche des Un-

ternehmens in der Vergangenheit) geschätzt. Im nächsten Schritt wurde der Default Point

festgelegt. Danach kann man die Distance to Default ermitteln. Unternehmen mit vergleich-

barer Distance to Default wird eine vergleichbare Ausfallwahrscheinlichkeit zugeschrieben.

Die relative Ausfallhäufigkeit wird mit Hilfe umfangreicher historischer Ausfalldaten für

diejenigen Unternehmen bestimmt, denen früher eine ähnliche DD zugewiesen wurde und

die nach Ablauf der Zeitspanne T ausgefallen waren. Die relative Häufigkeit, die hierbei

137Tochtergesellschaft der Moody’s Corporation, in 2007 gegründet (getrennt von Moody´s Investor Service).

Dieses Unternehmen konzentriert sich auf ratingunabhängige Geschäftsaktivitäten und bietet wirtschaftli-

ches Research im Feld der Kreditanalyse, Finanzmodellierung, strukturierte Analyse, Performance-Ma-

nagement und finanzielles Risikomanagement.


139Vgl. http://www.moodysanalytics.com und Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 151.

http://www.moodysanalytics.com/


40

ermittelt wurde, ist die EDF des betrachteten Unternehmens und sie stellt den Schätzwert für

die Ausfallwahrscheinlichkeit dar.140

Bei der Berechnung der Verlustverteilung eines Portfolios aus den zugehörigen Unterneh-

men wird davon ausgegangen, dass die standardisierten logarithmierten Renditen des j-ten

Unternehmens (Bj) eine multivariate Normalverteilung mit Korrelationsmatrix Σ und Mittel-

wertvektor 0 besitzen. Diese Renditen können wie folgt ausgedrückt werden:141

Formel 4.7: 𝐵𝑗 =ln

𝑉𝑗

𝑉𝑗,0−𝜇𝑗

𝜎𝑗.

Diese Annahme erlaubt eine Simulation der Renditen und damit der künftigen Unterneh-

menswerte für die Verlustverteilung des Portfolios. Die Korrelationen stammen hier aus ei-

nem mehrstufigen Faktormodell, das wie folgt dargestellt werden kann:

Formel 4.8: 𝐵𝑗 = 𝛽𝑗𝑌𝑗 + 휀𝑗 , 𝑗 ∈ {1, … ,𝑚}.

Dabei ist Yj ein zusammengesetzter systematischer Marktfaktor, der von K anderen Faktoren

abhängt:

Formel 4.9: 𝑌𝑗 = 𝜔𝑗,1𝜓1 +⋯+𝜔𝑗,𝐾𝜓𝐾

Mit:

Ψ1, ... ,Ψl Branchenindizes und

Ψl+1, … ,ΨK Regionalindizes.

Die Gewichte in der Formel ωj,k ≥ 0, k ∈ {1, … ,K} beschreiben die Regional- oder Branchen-

abhängigkeit. Sie erfüllen die Bedingungen:142

∑𝜔𝑗,𝑘 = 1

𝑙

𝑘=1

𝑢𝑛𝑑 ∑ 𝜔𝑗,𝑘

𝐾

𝑘=𝑙+1

= 1 .

140Vgl. Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 150 ff.




41

Die K Indizes Ψ1, ... ,ΨK werden ihrerseits wiederum mittels unkorrelierter Faktoren be-

schrieben. Dieser Ansatz lautet:

𝜓𝑘 = 𝛽𝑘,1Γ1 +⋯+ 𝛽𝑘,𝑁Γ𝑁 + 𝛿𝑘 , 𝑘 ∈ {1, … , 𝐾} ,

mit den globalen Faktoren Γ1, …. , ΓN (unbeobachtbare, unkorrelierte Faktoren mit Varianz 1

im Sinne der statistischen Faktorenanalyse) und K länder- bzw. branschenspezifische Fak-

toren δk. Wenn die eingeführten Größen jeweils ineinander eingesetzt werden, dann ergibt

sich insgesamt der Modellierungsansatz:143

Formel 4.10: 𝐵𝑗 = 𝛽𝑗 ∙ ∑ 𝜔𝑗,𝑘𝐾𝑘=1 ∙ (∑ 𝛽𝑘,𝑛

𝑁𝑛=1 ∙ Γ𝑛 + 𝛿𝑘) + 휀𝑗 , 𝑗 ∈ {1, … ,𝑚} .

Die Korrelationen 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝐵𝑖, 𝐵𝑗) werden mithilfe der eingeführten Faktoren geschätzt. An-

hand der Formel 4.8 haben wir die Varianzzerlegung:

Formel 4.11: 𝑉𝑎𝑟(𝐵𝑗) = 𝑉𝑎𝑟(𝛽𝑗 ∙ 𝑌𝑗) + 𝑉𝑎𝑟(휀𝑗),

Und daher wird die Größe 𝑅𝑗 = 𝐶𝑜𝑟𝑟(휀𝑗 , 𝑌𝑗) aus: 𝑅𝑗2 =

𝑉𝑎𝑟(𝛽𝑗∙𝑌𝑗)

𝑉𝑎𝑟(𝐵𝑗).

Die Zähler und Nenner des Bruches sind aus den geschätzten Parametern des Faktormodells

bekannt. Schließlich kann damit die gesuchte Korrelation bestimmt werden:

Formel 4.12: 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝐵𝑖, 𝐵𝑗) = 𝑅𝑖 ∙ 𝑅𝑗 ∙ 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑌𝑖 , 𝑌𝑗).

Dabei ist zu beachten, dass sich Corr(Yi,Yj), aus den Koeffizienten ωi,k, ωj,k und β(k,n) , sowie

den Varianzen Var(δk) ermitteln lässt.144

Es ist darauf zu achten, dass die Datengrundlage, aus denen z.B. die EDFs geschätzt werden,

auch repräsentativ für das zu analysierende Portfolio sein muss. Sonst könnten sich hierbei

fehlerhafte Aussagen ergeben. Der Nutzer des Modells hat die Aufgabe, für jedes Unterneh-




42

men die verwendeten Gewichte innerhalb des Faktormodells zu plausibilisieren und natür-

lich festzulegen. Als weiterer Schritt sind die Volatilitäten der Unternehmenswerte sowie

die Daten, die für die Berechnung des Default Points (z.B. Bilanzanalyse des Unterneh-

mens), notwendig sind, jeweils zu bestimmen.145

Als nächstes Beispiel nehmen wir die RiskCalc Modelle, die als Reaktion auf den wachsen-

den Bedarf an standardisierten Ratingverfahren für die Beurteilung von mittelständischen

Unternehmen entwickelt worden ist. Die RiskCalc Modelle146 gehören zu den Regressions-

modellen und sie bewerten die Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) und/oder Expected Default

Frequency (EDF) sowie das LGD und expected loss (EL), wobei das KMV Modell zur Nut-

zung kommt.147

Das KMV Modell erfordert eine große Menge von historischen Daten und daraus abgeleite-

ten statistischen Schätzungen. Gut daran ist, wie schon erwähnt, dass Moody´s als Anbieter

des Modells das entsprechende Datenmaterial zur Verfügung stellt. Im Rahmen der Ent-

wicklung der RiskCalc Modelle hat Moody´s seit 1999 mehrere Millionen Jahresabschlüsse

solventer sowie insolventer nichtbörsenorientierter Unternehmen aus 20 verschiedenen Län-

dern gesammelt. So standen für die Entwicklung des ersten deutschen RiskCalc Modells

mehr als 110 000 Jahresabschlüsse zur Verfügung, während z.B. für die Entwicklung der

französischen RiskCalc Modelle mehr als 1,2 Millionen Jahresabschlüsse verfügbar waren.

Die erwähnten Daten wurden unter anderem von approximativ 50 führenden Kreditinstituten

zur Verfügung gestellt, die an der Entwicklung von RiskCalc Modellen maßgeblich beteiligt

waren. Indes wurden zahlreiche Jahresabschlüsse und Unternehmen aus dem Gesamtdaten-

bestand ausgeschlossen, wenn sie gewisse sachliche und formale Anforderungen nicht er-

füllt haben. Einige der Anforderungen sind:

Da die Konzernbilanzpolitik das Insolvenzverhalten eines Unternehmens beeinflus-

sen könnte, sollten Unternehmen nicht konzernabhängig sein.

Das Unternehmen sollte keine reine Objekt-, Besitz- oder Projektgesellschaft sein,

weil die Strukturen der Jahresabschlüsse in solchen Unternehmen nicht mit denen

der übrigen mittelständischen Unternehmen vergleichbar sind.


146Es gibt über 30 region- und branchenspezifische Modelle, die einen großen Teil des globalen BIPs abdecken.

147Vgl. www.moodysanalytics.com


43

Der Jahresumsatz des Unternehmens sollte mindestens 500 000 Euro betragen, da

bei Unternehmen mit geringeren Umsätzen eine Trennung von Privat- und Betriebs-

vermögen häufig schwer fallen kann.

Das Unternehmen sollten nicht hoheitlich reguliert werden, da bspw. Banken und

Versicherungen stärker als andere Unternehmen verpflichtet sind, detaillierte Infor-

mationen zu ihrer wirtschaftlichen Lage aufzubereiten.148

4.2 Credit Metrics

Viele verschiedene kommerzielle Modelle zur Bewertung von Kreditrisiken haben sich in

der Praxis bisher etabliert. Im vorherigen Abschnitt wurde das bekannteste Modell auf Ein-

zeltitelebene vorgestellt. In diesem Abschnitt wird das Modell, das in der Praxis auf Portfo-

lioebene am beliebtesten ist, erläutert. Auch dieses Modell basiert auf dem Modell von Mer-

ton (1974), stellt aber eine Erweiterung dar. Es stellt die Wertänderungen nicht nur in eine

Beziehung mit dem Ausfallrisiko, sondern führt auch die Ratingveränderungen als die

zweite wichtige Einflussgröße ein. Das Kreditrisikomodell ist das sog. Credit Metrics Mo-

dell von JP Morgan. Das Ziel des Modells ist, die zukünftige Wertentwicklung eines Kredit-

portfolios abzuleiten. In der Regel beläuft sich hierbei der betrachtete Zeithorizont auf ein

Jahr (T = 1, gleich wie bei Merton). 149

CreditMetrics gehört zu den Unternehmenswertmodellen, da die korrelierten Renditen der

Aktiva für die Kreditnehmer simuliert werden, die zu einer Neubewertung der Kredite am

Risikohorizont führen. Danach erfolgt die Übersetzung der Aktivarenditen in Ratingklassen.

In diesem Prozess werden die Intervalle so gewählt, dass die Ratingmigrationswahrschein-

lichkeiten sowie die Ausfallwahrscheinlichkeiten an eine vorgegebene Migrationsmatrix150

angepasst werden. Die zugrunde liegende Annahme hierbei ist, dass alle Kreditnehmer einer

Ratingklasse homogen in Bezug auf ihre Ausfallwahrscheinlichkeit und Ratingmigrations-

wahrscheinlichkeit sind.

148Vgl. Achleitner/Everling/Niggemann (2007), S. 128.

149Vgl. Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2012), S. 174 ff und Diaz/Gemmil (2002), S.4.

150In einer Migrationsmatrix werden die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Kreditnehmer, in einer Zeitperiode

(am meisten in einem Jahr) in gleicher Rating-Klasse bleibt oder zur einer neuen Rating Klasse „migriert“

dargestellt.


44

Nach dieser Zuordnung der Kreditnehmer zu den entsprechenden Ratingklassen und der Er-

mittlung der Migrationswahrscheinlichkeite, müssen auch die Erwartungswerte und Volati-

litäten produktspezifischer Wiedergewinnungsraten ermittelt werden. Erst danach erfolgt die

Simulation der Portfolioverteilung in drei Schritten:151

1. Simulation von Renditen

In jedem Simulationslauf werden die korrelierten Renditen der Aktiva für alle Kreditnehmer

aus einer Normalverteilung gezogen. Durch die Zuordnung der einzelnen Kreditnehmer zu

Aktienindizes ergibt sich die Korrelationsstruktur. Daher kann die Unternehmenswertren-

dite wie folgt ausgedrückt werden:

Formel 4.7: 𝑅 = 𝜔1𝑅1+𝜔2𝑅2 +⋯+𝜔𝑛𝑅𝑢𝑛𝑠𝑦𝑠𝑡., 𝜔1 ≥ 0

wobei Ri Renditen von Aktienindizes bezeichnen und Runsyst. entspricht dem unsystemati-

schen Anteil des Renditerisikos. Die Gewichte (ωi) können so normalisiert werden, dass eine

Standardnormalverteilung für R ohne Einschränkung angenommen werden kann. Wenn die

Renditen zweier Kreditnehmern mindestens einem systematischen Faktor zugeordnet sind,

dann sind sie korreliert. Die Renditenkorrelation kann mit Standardmethoden der Portfolio-

theorie aus den Gewichten und der Korrelation der Aktienindizes berechnet werden.152

2. Übersetzung in Ratingklassen

Im zweiten Schritt werden den simulierten Renditen die Ratingveränderungen bzw. das Aus-

fallereignis zugeordnet. Die Standardnormalverteilung wird hierzu in Abschnitte unterteilt,

sodass die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (das Integral unter dem entsprechenden

Abschnitt der Dichtefunktion) exakt den vorgegebenen Ausfall- und Migrationswahrschein-

lichkeiten der Ratingklasse entsprechen. Die standardisierte Renditeverteilung für einen

Kreditnehmer der Ratingklasse BB würde beispielsweise wie folgt aussehen:153

151Vgl. Wahrenburg/Niethen (2000), S. 8ff.


153Wahrenburg/Niethen (2000), S. 10.


45

Abbildung 8: Renditeschranken für ein Unternehmen mit Rating BB

Quelle: Wahrenburg/Niethen (2000), S. 10.

Aus der entsprechenden Verteilung kann ausgehend vom jeweiligen Anfangsrating für jede

simulierte Rendite abgelesen werden, ob der Kreditnehmer in eine neue Ratingklasse mig-

riert oder sogar ausgefallen ist.154

3. Neubewertung des Portfolios

Die Kredite werden zum Ende der Laufzeit (meistens 1 Jahr) entsprechend der neuen Ra-

tingklasse bewertet. Im Fall von Ausfällen wird eine Wiedergewinnungsrate simuliert. Die

Bewertung erfolgt mittels ratingklassenspezifischen Forward Rates (f(t,t1,k), wobei k die k-te

Ratingklasse bezeichnet), mit denen die ausstehenden Cashflows (Ci) diskontiert werden.155

Formel 4.8: 𝑃𝑉 = ∑𝐶𝑖

(1+𝑓(𝑡,𝑡1,𝑘))𝑡𝑁𝑡=𝑡𝑖

Im Fall, dass die simulierte Rendite den Ausfall des Kreditnehmers anzeigt, wird eine zufäl-

lige Wiedergewinnungsrate aus einer betaverteilten Grundgesamtheit mit oben definierter


155Vgl. Wahrenburg/Niethen (2000), S. 10, 11.


46

Volatilität und Ertragswert gezogen. Diese Wiedergewinnungsrate gibt den neuen Kredit-

wert am Risikohorizont.156

Durch die große Anzahl von Simulationen, die auf Marktdaten basieren, werden viele ver-

schiedene zufällige Szenarien von Ausfallen bzw. Ratingveränderungen im Portfolio gene-

riert und jeweils ein neues Portfolio berechnet. Dann ergeben die unterschiedlichen Portfo-

liowerte mit den entsprechenden Häufigkeiten die Forward-Wertverteilung in CreditMetrics.

Im letzten Schritt ergibt sich das Value-at-Risk als Quantil der simulierten Verteilung.157 Die

Methodik erfordert die Nutzung ratingabhängiger Forward-Zinskurven, die durch den An-

wender eingegeben werden. Sie legt den Fokus auf die Aggregation und nicht die Bewertung

des Kreditrisikos. Die Verwendung von vorgegebenen Ausfallwahrscheinlichkeiten, die auf

langjährigen Zeitreihen der Ratingagenturen basieren, kann zu Fehlschätzungen der unter

den aktuellen ökonomischen Bedingungen vorliegenden Ausfallraten führen. Bei der Einbe-

ziehung von komplexen derivativen Instrumenten (z. B. Optionen) ist es nötig Vereinfachun-

gen vorzunehmen, um die dargestellte Verfahrensweise durchführen zu können.158

4.3 Black/Cox Modellerweiterung für Junior und Senior Anleihen

In der Praxis ist es im Falle der Insolvenz üblich, dass die Rückzahlung der Forderungen auf

Nachrangigkeit basiert ist. Aus diesem Grund haben Black/Cox (1976) auf Basis des Merton

Modells ihre eigene Modellerweiterung entwickelt. Nämlich, Black/Cox legen ihre Auf-

merksamkeit auf Senior und Junior Anleihen, wobei bei Abschluss der Verträge im Insol-

venzfall die Forderungen der Senior-Anleihen-Inhaber den Forderungen der Junior-Anlei-

hen-Inhaber übergeordnet sind. Daher können die Zahlungen an die Inhaber der Junior

Bonds erst nach der vollständigen Tilgung des Rückzahlungsbetrags an die Senior-Bond-

Inhaber gemacht werden. In diesem Sinne haben die Autoren die Anpassungen des Grund-

modells abgebildet. Ein anderer wichtiger Unterschied zum Merton Modell ist die Annahme,

dass die Insolvenz nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt auftreten kann, sondern auch zu einem

Zeitpunkt, in dem der Unternehmenswert einen bestimmten Schwellenwert F unterschreitet.





47

Zur besseren Übersichtlichkeit werden die Zahlungen (Payoffs) an die Gläubiger der Senior

und Junior Anleihe sowie die Zahlungen an die Eigenkapitalgeber in drei

unterschiedlichen Situationen zum Fälligkeitszeitpunkt T in Tabelle 4 dargestellt.159

Forderungen Fall 1 Fall 2 Fall 3

VT < FS FS ≤ VT < FS+FJ FS+FJ < VT

Senior VT FS FS

Junior 0 VT– FS FJ

Eigenkapital 0 0 VT – (FS+ FJ)

Tabelle 4: Kapitalstruktur zum Fälligkeitszeitpunkt in Bezug zu Senior und Junior Anleihen

Quelle: In Anlehnung an: Black/Cox (1976), S. 359 und Lando (2004), S. 17.

Es wird angenommen, dass Senior und Junior Anleihen Zerobonds sind und der Wert der

Rückzahlungsbeträge wird mit FS für Senior bzw. mit FJ für Junior Anleihe bezeichnet. Der

Unternehmenswert wird wie vorher mit VT bezeichnet. Unter diesen Annahmen sind drei

mögliche Situationen in Tabelle 4 dargestellt.

Im Fall 1 in der Tabelle unterschreitet der Unternehmenswert den Rückzahlungsbetrag der

Senior Anleihe FS. In dieser Situation erhalten die Senior Bondhalter die Recovery Rate des

Unternehmenswertes statt des vereinbarten FS.

In der zweiten Situation, die in der Tabelle vorgestellt wird, ist der Unternehmenswert VT

zum Fälligkeitszeitpunkt T hoch genug, um die Zahlungen an Senior Bondhalter zu machen,

er ist aber zu niedrig, um den Rückzahlungsbetrag an die Junior Bondhalter vollständig zu

tilgen. In dieser Situation erhalten die Senior Fremdkapitalgeber die vollständige vereinbarte

Rückzahlung FS, während die Junior Bondholder nun mehr das erhalten, was danach übrig

bleibt.

Im dritten Fall ist das Unternehmen zum Fälligkeitszeitpunkt in der Lage, sämtliche Ver-

bindlichkeiten zurückzuzahlen, da der Unternehmenswert zu diesem Zeitpunkt höher ist als

159 Vgl. Black/Cox (1976), S. 358ff.


48

die Summe der Rückzahlungen an Senior und Junior Fremdkapitalgeber. In diesem Fall er-

halten Senior und Junior Fremdkapitalgeber die vollständige Rückzahlung FS bzw. FJ und

das Eigenkapital beträgt VT - (FS+FJ).160

Tabelle 5 stellt die Auszahlungsprofile der Senior und Junior Bondholder sowie des Eigen-

kapitals dar. In diesem Fall werden die Auszahlungsprofile anhand der Call-Optionen aus-

gedrückt. Die Senior Anleihe wird hierbei als einzige Verbindlichkeit des Unternehmens

betrachtet, während das Eigenkapital so bewertet wird, als ob die gesamten Verbindlichkei-

ten eine Einheit wären. Daher befinden sich die beachtenswertesten Veränderungen im Rah-

men der Bewertung der Junior Anleihe.161

Forderungen Auszahlungsprofil

Senior VT – C(VT, FS)

Junior C(VT, FS) – C(VT, FS + FJ)

Eigenkapital C(VT, FS + FJ)

Tabelle 5: Auszahlungsprofile der Senior und Junior Bondholders sowie des Eigenkapitals

Quelle: In Anlehnung an: Black/Cox (1976), S. 359 und Lando (2004), S. 17.

In ihrer Publikation im Journal of Finance, wo dieses Modell zum ersten Mal vorgestellt

wurde, stellen Black/Cox auch die Verteilungsfunktion grafisch vor. Folgende Abbildung

zeigt die erwähnte Darstellung, die aus der Originalpublikation stammt.

160Vgl. Black/Cox (1976), S. 358.-359 und Bluhm/Overbeck/Wagner (2003), S. 120 und Lando (2004), S. 17.

161Vgl. Lando (2004), S. 15.


49

Abbildung 9: Black/Cox Verteilungsfunktion

Quelle: Black/Cox (1976), S. 360.

Diese grafische Darstellung ist mit bisher unbekannten Bezeichnungen markiert, wobei P

dem Wert der Senior Anleihe bzw. FS entspricht und Q den Wert der Junior Anleihe bzw. FJ

bezeichnet. Black/Cox bestätigen die Behauptung und die erwünschte Nachwirkung, dass

die Senior Anleihen aufgrund der Nachrangigkeit einen größeren Wert haben als wenn die

Anleihe als ein Teil einer undifferenzierten Anleihe betrachtet werden würde. Das bedeutet,

dass der Wert der Senior Anleihe in diesem Fall höher ist als der Wert der einzelnen Anlei-

hen mit dem Rückzahlungsbetrag (FS+FJ) mal FS/(FS+FJ). Das folgt laut Black/Cox aus der

konkaven Funktion der Senior Bonds. Die subordinierten Anleihen unterscheiden sich hin-

sichtlich ihrer Charakteristika deutlich von den generellen Anleihen. Die Junior Anleihen

stellen am Anfang eine konvexe Funktion der V dar, die sich erst bei den wachsenden Wer-

ten der V zu einer konkaven Funktion transformieren. Anderseits stellen die Senior Anleihen

immer eine konkave Funktion dar. Der erwähnte Wert V* ist ein Wendepunkt, der wie folgt

ermittelt werden kann:162

Formel 4.9: 𝑉∗ = [𝐹𝑆(𝐹𝑆 + 𝐹𝐽)]1/2𝑒𝑥𝑝[−(𝑟 − 𝛼) + 1/2𝜎2] ∙ 𝑇

162Vgl. Black/Cox (1976), S. 360.


50

Eine andere Eigenschaft der Junior Anleihen ist, dass ihr Wert eine steigende Funktion der

sein kann. Die Analyse hat gezeigt, dass die steigenden Werte der in diesem Fall nur

dann vorkommen, wenn der Unternehmenswert V unter dem V* liegt. Das bedeutet, dass

die Bondholders als eine Gruppe einige Konfliktinteressen im Bezug zu Änderungen im ge-

samten Investitionsrisiko haben. Um ihre Ansprüche zu schützen, müssen die Senior Bond-

holders auf das ausschließlichen Recht insistieren, die Investitionspolitikänderungen zu au-

torisieren, was das Geschäftsrisiko des Unternehmens steigern kann. Junior Anleihen sind

auch deswegen charakteristisch, weil sie eine steigende Funktion der Laufzeit aufweisen

können. Es ist nämlich möglich, dass die Junior Anleihen am Ende der Laufzeit wertlos sind,

während die Senior Bonds immer vollständig getilgt werden. In diesem Fall wäre es daher

vorteilhaft für die Junior Bondholders, den Fälligkeitszeitpunkt der Anleihe zu verlängern.

Obwohl die Junior Anleihen eine steigende und eine fallende Funktion der Zinsrate haben

können, weisen sie immer eine sinkende Funktion der Dividenden auf.163

163Vgl. Black/Cox (1976), S. 360-361.


51

5 Weitere Modellerweiterungen, Empirische Studien und

Problemlösungsvorschläge

In Abschnitt 3.3 wurden schon Probleme und Schwierigkeiten bei der praktischen Anwen-

dung des Merton Modells dargestellt. Es gibt eine Vielzahl von empirischen Studien, in de-

nen versucht wurde, die Zuverlässigkeit des Modells zu überprüfen. Dementsprechend wur-

den auch einige Erweiterungsmodelle entwickelt und auch deren Performance in den Studien

nachgeprüft und mit der Performance des Merton Modells verglichen. Dasselbe gilt für das

KMV Modell, Black/Cox Modell sowie das CreditMetrics Modell, die im vorherigen Kapi-

tel gründlich erläutert wurden. In diesem Kapitel liegt der Fokus auf den bedeutendsten Mo-

dellentwicklungen sowie den beachtenswertesten empirischen Studien und deren Methoden

und Ergebnisse. Das Ziel ist, anhand der verfügbaren Literatur zu überprüfen, ob es Ent-

wicklungsmodelle gibt, die besser für die praktische Anwendung geeignet sind als das klas-

sische Merton Model oder ob vielleicht das Merton Modell alle andere Entwicklungsmodelle

bei der Bewertung des Ausfallrisikos übertrifft.

5.1 Überblick der weiteren Erweiterungsmodellen

Um die im Abschnitt 3.3 erläuterten Schwierigkeiten und Eingrenzungen des Merton Mo-

dells zu überwinden, wurden viele Erweiterungen und Generalisierungen ausgearbeitet. Bei-

spielsweise haben Shimko, Tejima und van Deventer (1993) sowie Nielsen, Saa-Requejo

und Santa Clara (1993) und Longstaff und Schwartz (1995) die stochastische Entwicklung

der Zinssätze berücksichtigt. Anderseits haben Duan (1994) und Ericsson und Reneby (2001,

2002) Schätzsachverhalte berücksichtigt. Zu den Erweiterungen des Modells mit komplexe-

rer und dynamischerer Fremdkapitalstruktur gehören die Entwicklungen von Jones, Mason

und Rosenfeld (1984), Leland (1998), Tauren (1999), Colin-Dufresne und Goldstein (2001)

sowie jene von Hui, Lo und Tsang (2003).164 Weitere Modellentwicklungen sind die von

Zhou (2001), Anderson und Sundaresan (1996), Anderson, Sundaresan und Tychon (1996)

sowie das Modell von Mella-Barral und Perraudin (1997).165

164Vgl. Jarrow/van Deventer/Wang (2003), S. 40.

165Vgl. Huang/Huang (2002), S. 4,7,8.


52

In den folgenden Abscnitten werden die beachtenswertesten Modellerweiterungen im Ver-

gleich zum Merton Modell näher erläutert. Der Überblick über die Erweiterungen der struk-

turellen Modelle wird zeigen, dass sie sich meistens auf unterschiedliche Modellierungswei-

sen des risikolosen Zinssatzes sowie der Höhe der Recovery Rate, des Prozesses der Ver-

mögensentwicklung und der Charakterisierung der kritischen Schranke konzentrieren.

5.1.1 Geske (1977) (G-Modell)

Das Modell von Geske lehnt die vereinfachte Annahme des Grundmodells von Merton, dass

ein Ausfall nur zu einem bestimmten Zeitpunkt erfolgen kann, ab. In diesem Modell können

Ausfälle nun innerhalb eines Betrachtungszeitraumes zu verschiedenen Zeitpunkten auftre-

ten. Im Gegensatz zum Modell von Merton geht Geske im Rahmen des Fremdkapitals statt

von einem Zerobond von Kuponanleihen aus. In dem Sinne müssen die Kuponzahlungen

vor Laufzeitende der Verbindlichkeiten berücksichtigt werden. Die Kuponanleihen werden

im Modell als Compound Option betrachtet. Die sog. Compound Optionen sind, vereinfacht

gesagt, Optionen auf Optionen. In diesem Fall erhält der Käufer der Compound Call on Call

Option, das Recht eine weitere Call Option am ersten Ausübungstermin zu erwerben, wobei

diese Call Option einen zweiten Ausübungstermin hat.166

Nach Geske bleibt das Unternehmen bei jedem Kupontermin solvent, wenn der Kupon be-

dient wird. Die Kuponzahlungen werden von Unternehmenseigentümern durch zusätzliches

Eigenkapital geleistet. Hierbei wird von der Annahme ausgegangen, dass das genannte zu-

sätzliche Eigenkapital aus einer Kapitalerhöhung, die in der Höhe des Kupons zu deren Fäl-

ligkeitszeitpunkt ist, resultiert. Die Kreditnehmer und Unternehmenseigentümer haben die

Möglichkeit direkt vor dem Fälligkeitstermin zu entscheiden, ob sie die Kuponzahlung mit-

hilfe einer Kapitalerhöhung leisten oder ob sie das Unternehmen in Konkurs gehen lassen.

Im Falle, dass der Kupon nicht bedient wird, ist das Unternehmen insolvent, d.h. die Fremd-

kapitalgeber erhalten den Unternehmenswert. Laut die Studie von Eom/Helwege/Huang lie-

gen die Credit Spreads bei Investment Grade Unternehmensanleihen im Vergleich zum

Grundmodell von Merton näher an den tatsächlichen Markt Credit Spreads.167

166Vgl. Odermann/Cremers (2013), S. 52, Hull (2009), S. 682 und Daldrup (2006), S. 17.

167Vgl. Odermann/Cremers (2013), S. 52, Eom/Helwege/Huang (2004), S. 500 und Daldrup (2006), S. 17.


53

Diese Erweiterung sowie die anderen früheren Erweiterungen des Merton Modells (z.B. das

Black/Cox Modell) sind nicht in der Lage für realistische Parameter, die am Markt beobach-

teten Renditen zu erklären. Im Falle, dass sie die genannten Parameter erklären, machen sie

das nur zu Lasten unrealistisch hoch angenommener Insolvenzkosten.

5.1.2 Longstaff und Schwarz (1995a) (LS Modell)

In ihrem Modell gehen Longstaff und Schwartz von einem exogen-determinierten konstan-

ten Schwellenwert K aus. Dieser Wert stellt die Untergrenze des Unternehmenswertes dar.

Dabei lehnen sie an Black-Cox Modell (1976) an. Solange der Unternehmenswert (Vt) über

dem Schwellenwert (K) liegt, kann das Unternehmen seinen vertraglich festgelegten Pflich-

ten nachkommen. Im Falle, dass Vt den Schwellenwert K erreicht, muss das Unternehmen

die Tilgungszahlungen einstellen. Es wird eine Reorganisation der Schulden vorgenommen

und die Besitzer der Anleihen erhalten bei Fälligkeit nur noch das (1-ω)fache des Nominal-

wertes ihrer Anleihen. Im diesem Hybridmodell treten auch Vt und K nicht direkt auf, son-

dern es wird mit deren Quotienten gearbeitet und zwar durch:168

Formel 5.1: 𝑋(𝑡) =Vt

K.

Dieser Quotient kann auch als ein indirektes Maß des Leverage des jeweiligen Unterneh-

mens verstanden werden. Die entscheidende Verbesserung liegt darin, dass das Leverage ein

wesentlich besser zu handhabendes Maß als Wert des gesamten Unternehmens ist.169

Longstaff uns Schwartz erweitern das Merton Modell auch darin, dass sie einen stochasti-

schen kurzfristigen risikolosen Zinssatz nach Ornstein/Uhlenbeck einführen, der mit dem

Unternehmenswert korreliert.170 Der risikoneutrale Zinssatz kann mittels Formel 5.2 ermit-

telt werden, wohingegen Formel 5.3 zur Ermittlung des realen Zinssatzes benutzt wird.171

Formel 5.2: 𝑑𝑟𝑡 = 𝜅𝑡(𝜃 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑟𝑑𝑊𝑡𝑄

168Vgl. Tessin (1999), S. 89.

169Vgl. Tessin (1999), S. 89.

170Siehe Longstaff/Schwartz (1995a) und Mair (2010), S. 125.

171Vgl. Huang/Huang (2002), S. 8.


54

Formel 5.3: 𝑑𝑟𝑡 = 𝜅𝑡(𝜃 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑟𝑑𝑊𝑡

Die Parameter κt, θ und r sind Konstanten, während WQ die Standard Brownsche Bewegung

bei der Risikoneutralität bezeichnet und W ist die reale Standard Brownsche Bewegung.172

In diesem Modell wurde auch die Recovery Rate berücksichtigt, sowie die Möglichkeit des

vorfälligen Ausfalls.173

5.1.3 Zhou (2001)

Im Merton Modell folgt der Unternehmenswert einem stetigen Prozess. In der Modell Spe-

zifikation von Zhou wurde hingegen davon ausgegangen, dass plötzliche Sprünge im Unter-

nehmenswert möglich sind. Damit wird versucht, unter anderem der Problematik der zu ge-

ring ermittelten Credit Spreads des Merton Modells im kurzfristigen Bereich zu begegnen.

Die Unternehmensrendite wurde durch einen Sprung-Diffusionsprozess modelliert, und

zwar mit jeweils lognormalverteilten, unabhängigen Sprunghöhen. In diesem Modell wurde

auch davon ausgegangen, dass eine deterministische Schranke bzw. eine vordefinierte Kon-

stante (K) festgesetzt wurde und ein Ausfall wird dadurch definiert, dass der Unternehmens-

wert diese Schranke, die nicht notwendigerweise gleich dem Fremdkapital des Unterneh-

mens ist, unterschreitet. Im Falle des Eintritts des Ausfalls erfolgt die Zahlung an die Gläu-

biger zum Fälligkeitszeitpunkt der Anleihe, wobei die Höhe vom Unternehmenswert zum

Ausfallzeitpunkt abhängt.174

Es wurde gezeigt, dass ein strukturelles Modell mit Sprung- und stetiger Komponente fle-

xibler bei der Generierung der unterschiedlichen Laufzeitstrukturen der Credit Spreads ist

als andere Modelle und, dass dieses Sprung-Diffusionsmodell eine Vielzahl von empirischen

Regelmäßigkeiten im Bezug auf Ausfallwahrscheinlichkeiten, Recovery Rates und Credit

Spreads erklären kann.175

172Vgl. Huang/Huang (2002), S. 8.

173Siehe Longstaff/Schwartz (1995a) und Mair (2010), S. 125.

174Vgl. Zhou (2001), Cremers/Walzner (2009), S. 14 ; Martin/Reitz/Wehn (2014), S. 111, 114.

175Siehe Zhou (2001).


55

5.1.4 Collin-Dufresne und Goldstein (2001) (CDG Modell)

Collin-Dufresne und Goldstein bemerken, dass die Emission von Schuldtiteln zunimmt, im

Falle, dass der Wert der Assets steigt. Nach CDG sind die Unternehmen in der Lage den

Verschuldungsgrad zur Veränderungen des Unternehmenswertes anzupassen. Das macht

den stochastischen Verschuldungsgrad mittelwertrückkehrend (mean-reversed) aus. Die

Struktur des Modells ist sehr ähnlich wie die Struktur des LS Modells, ausgenommen vom

Schwellenwert (K), der mean-reverting ist und wie folgt ermittelt wird:

Formel 5.2: 𝑑 ln𝐾 = 𝜅𝑡(ln 𝑉𝑡 − ln𝐾 − 𝑣)𝑑𝑡.

Das CDG Modell integriert einen stochastischen Zinssatz und die Korrelation zwischen dem

Unternehmenswert und Zinssätzen (wie beim LS Modell). Diese Korrelation ist nach

Eom/Helwege/Huang (2004) empirisch nicht relevant, deshalb wird sie in diesem Kapitel

nicht näher erläutert.176 Dieses Modell kann auch als eine Entwicklung des LS Modells be-

trachtet werden, da das LS Modell um einen stabilen Verschuldungsgrad erweitert wird. Der

Verschuldungsgrad des Unternehmens darf nämlich nur temporär von seinem langfristigen

Durchschnitt abweichen.177

In diesem Modell untersuchen Collin-Dufresne und Goldstein eine Kapitalstruktur, die eine

Konvergenz zur Ziel-Kapitalstruktur bzw. zu einem langfristigen Mittel aufweist. Dieses

Modell ist gut geeignet um die empirischen Kreditrisikoprämien zu erklären.178

5.1.5 Leland (1994) und Leland/Toft (1996) (L und LT Modell)

Leland (1994) und Leland/Toft (1996) berücksichtigen in ihren Modellen auch die Abwick-

lungskosten bzw. steuerliche Aspekte. Das Unternehmen optimiert nämlich in den erwähn-

ten Modellen seine Kapitalstruktur unter Berücksichtigung der Insolvenzkosten und steuer-

begünstigten Fremdfinanzierung intertemporal. Das führt insgesamt zu einer optimalen Ver-

176Siehe Eom/Helwege/Huang (2004).

177Vgl. Odermann/Cremers (2013), S. 52.

178Vgl. Spremann (2007), S. 413.


56

schuldung und zu einem Trade-off zwischen den beiden Einflussgrößen. Die weiteren Kom-

ponenten, durch die diese beiden Modelle erweitert wurden und wodurch gleichzeitig die

Ergebnisse weiter verfeinert wurden, sind beispielsweise die Liquidität des Unternehmens

oder die Rechnungslegung.179 Die beiden Modelle stellen im Prinzip eine Erweiterung des

Black/Cox Modells dar, da die erwähnten Einflussgrößen in das Optimierungskalkül der

Eigner integriert wurden. Problematisch beim Modell von Leland (1994) ist hierbei, dass er

einige restriktive Annahmen trifft, wie zum Beispiel, dass das Fremdkapital mit einer un-

endlichen Laufzeit (Consolbond, ohne festen Rückzahlungstermin) angenommen wurde.

Die spätere Analyse von Leland/Toft (1996) zeigt die Modifizierung der Anwendung des

Modells von Leland auf Fremdkapital mit endlicher Laufzeit.180

Im Modell von Leland (1994) generiert das Unternehmen keinen freien Cashflow, daher ist

es auf Außenfinanzierung angewiesen, um in der Lage zu sein, die Kupons zu bedienen. Das

Unternehmen führt diese in Form von Eigenkapitalerhöhungen durch. Eine weitere Auf-

nahme von Fremdkapital wäre neben der angenommenen Eigenfinanzierung prinzipiell auch

denkbar. Leland (1994) hat lediglich gezeigt, dass eine weitere Verschuldung stets seitens

des bestehenden Fremdkapitalgebers berücksichtigt wird, auch wenn sie nachrangig erfolgt.

Es wird nämlich davon ausgegangen, dass eine Fremdfinanzierung der Kupons bei der Emis-

sion des sog. Consolbonds vertraglich ausgeschlossen wird. Die jeweilige Kapitalerhöhung

hat ein Volumen, das auf den zur Deckung der aktuellen Zinszahlungen notwendigen Zu-

schuss beschränkt wird. Alle Eigenkapitalerhöhungen finden unter vollständiger Informa-

tion statt, d.h. es ist irrelevant, ob die Kapitalerhöhung durch junge Aktionen, die an neue

Aktionäre verkauft werden oder durch einen Zuschuss der bestehenden Aktionäre stattfindet.

Dazu äquivalent tritt ein Ausfall dann ein, wenn die Eigentümer nicht mehr bereit sind, die

Fremdkapitalverpflichtungen zu decken oder sobald eine Kapitalerhöhung an Neuaktionäre

nicht mehr platziert werden kann. Um diesen Zustand zu erreichen, muss der notwendige

Zuschuss, um die Firma am Leben zu erhalten, den Wert des Eigenkapitals nach dem Zu-

schuss übersteigen. Aufgrund der Berücksichtigung der Unternehmenssteuern in diesem

Modell, muss das Eigenkapital in Höhe der Kuponzahlung vom Eigentümer nachgeschossen

werden, um das Unternehmen am Leben zu erhalten. Daher fällt das Unternehmen in dem

Moment aus, in dem der Wert des Eigenkapitals auf null fällt, da die Kuponzahlungen im

179Perridon/Steiner/Rathgeber (2012), S. 520.

180Vgl. Thabe (2007), S. 18 und Leland/Toft (1996).


57

Modell kontinuierlich abfließen. Technisch wurde die optimale Ausfallschranke im Modell

von Leland mit Hilfe der sog. Low-Contact-Bedingung oder Smooth-Pasting181 ermittelt.182

In diesem Modell wird, dank der angenommenen Verschuldung in Form einer unendlich

laufenden Anleihe, das Bewertungsproblem zeitunabhängig formuliert. Eine solche Formu-

lierung erlaubt die Erhaltung der Lösungen für die Werte des Eigen- und Fremdkapitals und

somit auch des Unternehmenswertes.183 Die Erweiterung des Modells von Leland/Toft

(1996) berücksichtigt eine endliche Laufzeit des Fremdkapitals, wobei von der Annahme

ausgegangen wurde, dass „die Verschuldung mit einer konstanten Rate revolvierend zurück-

gezahlt und wieder aufgenommen wird“.184 Insofern funktioniert es mit Hilfe der Abbildung

der durchschnittlichen (Rest-) Laufzeit des Fremdkapitals trotzdem ein zeitunabhängiges

Bewertungsproblem zu erhalten. Die explizite Unterstellung der begrenzten Laufzeit des

Fremdkapitals verschiebt den Fokus anderer Arbeiten in der Regel auf numerische Bewer-

tungsmethoden.185

5.2 Überblick der relevantesten empirischen Studien der Struktur-

modelle

Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über die weiteren Studien der strukturellen Modelle

bzw. des Merton Modells und der Modellentwicklungen. Das Merton Modell zu testen ist

sowohl aus akademischer als auch aus institutioneller Sicht von hoher Bedeutung. In der

Praxis müssen die Banken nämlich beweisen, dass ihre internen Kreditrisikomodelle zuver-

lässige Ergebnisse liefern. Es wurden zahlreiche empirische Tests der strukturellen Model-

len bzw. des Merton Modells und der Modell-Spezifikationen durchgeführt. Die Ergebnisse

der Analysen waren unterschiedlich, oft sogar widersprüchlich im Bezug auf die Zuverläs-

sigkeit der strukturellen Modelle bei der Ausfallrisikobewertung. Solche Studien wurden

unter anderem von Jones, Mason und Rosenfeld (1984); Delianedis und Geske (1998);

Jarrow und van Deventer (1998, 1999); Eom, Helwege und Huang (2000); Anderson und

Sundaresan (2000); Collin-Dufresne, Goldstein und Martin (2001); Ericsson und Reneby

181 Siehe Leland (1994), S. 1222.

182Vgl. Leland (1994) und Thabe (2007), S. 18 ff.

183Vgl. Leland (1994) und Thabe (2007), S. 20.

184Thabe (2007), S. 20.

185Vgl. Thabe (2007), S. 20.


58

(2001); Kealhofer und Kurbat (2001) sowie von Huang und Huang (2002) durchgeführt.186

Die Studien von Kealhofer und Kurbat und Eon/Helwege/Huang werden mit ihren Metho-

den und Ergebnissen im folgenden Unterkapitel ausführlich erläutert. Auch einige der oben

erwähnten Studien werden in dem nächsten Unterkapiteln kurz durchgearbeitet.

Tabelle 4 ist eine Übersicht der wichtigsten empirischen Studien und ihrer Ergebnisse und

gibt einen Überblick über den Inhalt der folgenden Abschnitten.

Autoren Getestetes Mo-

dell

Datenbasis Zentrale Ergebnisse

Jones/Mason/Rosenfeld

(1984)

Merton (1974)

27 Anleihen, US-Unter-

nehmen, 1975-1981

Modell unterschätzt Credit

Spread deutlich

Ogden (1987) Merton (1974) 57 Anleihen, keine Fi-

nanzinstitute, 1973-

1985

Modell unterschätzt Credit

Spread deutlich (Erklä-

rungsgehalt circa 60%)

Zusammenhang zwischen

Ausfallrisiko und Unterneh-

mensgröße

Guo/Wei (1997) Merton (1974),

Longstaff/Schwartz

(1995)

Eurodollar

Anleihen, 1992

Beide Modelle unterschät-

zen Credit Spread deutlich

Performance des Merton

Modells kann bei zeitvariab-

ler Volatilität deutlich ver-

bessert werden

186Vgl. Jarrow/van Deventer/Wang (2003), S. 40.


59

Lyden/Saraniti (2000) Merton (1974),

Longstaff/Schwartz

(1995)

56 Anleihen, 1991-

1999

Beide Modelle unterschät-

zen Credit Spread deutlich

Merton errechnet im Ver-

gleich zu LS höhere und ge-

nauere Credit Spreads

Abweichungen der Modelle

werde auf fehlerhaft ge-

schätzte zukünftige Volatili-

täten der Unternehmensak-

tiva zurückgeführt

Andersen/Sundaresan

(2000)

Merton (1974),

Leland (1994),

Eigenes Modell

US Investment Grade

Indices für Unterneh-

mensanleihen, 1970-

1996

Merton unterschätzt Credit

Spread deutlich, während

Leland und das eigene Mo-

dell genauer arbeiten

Nur größere Veränderungen

der Credit-Spread-Höhe

werden durch die Modelle

erklärt.

Ericsson/Reneby (2003) Eigenes Modell 141 Anleihen, 1994-

1998

Modell unterschätzt den

Credit Spread deutlich um

durchschnittlich 70%

Abweichung wird im We-

sentlichen der Existenz einer

Liquiditätsprämie zuge-

schrieben


60

Eom/Helwege/ Huang

(2004)

Merton (1974),

Geske (1977),

Longstaff/Schwartz

(1995),

Leland/Toft (1996),

Collin-Dufresne/

Goldstein (2001)

186 Anleihen 1986-

1997

Merton unterschätzt Credit

Spreads abgesehn von weni-

gen Ausnahmen

Geske ist Merton überlegen,

unterschätzt den Credit

Spread im Investment-

Grade Bereich aber eben-

falls

Leland/Toft uberschätz Cre-

dit Spread systematisch

Longstaff/Schwartz unter-

schätzt den Credit Spread re-

gelmäßig, teilweise aber

kommt es auch zur Über-

schätzung; Modell arbeitet

sehr ungenau

Collin/Dufresne/Goldstein

über- und unterschätzt den

Credit Spread und erreicht

ebenfalls nur sehr ungenaue

Ergebnisse.

Tabelle 6: Empirische Studien von Strukturmodellen nach Erscheinungsjahr

Quelle: In Anlehnung an: Sünderhauf (2006), S. 68.

5.2.1 Ausfallvorhersagekraft des Merton Modells im Vergleich zu den Ratings

und Accounting-Ratios nach Kealhofer/Kurbat

Die Nutzung des Merton Modells zur Bewertung des Ausfallrisikos wurde besonders in den

letzten 20 Jahren von Moody´s Investor Service stark kritisiert. Die Kritiker behaupteten,

dass die Kreditinformationen, die im Output des Merton Modells verfügbar sind, durch die

statistische Kombination mit Moody´s Ratings und anderen Accounting-Ratios deutlich ver-

bessert werden können. Um diese Behauptung zu bestätigen, hat Moody´s ein neues Modell

entwickelt, das das Merton Verfahren mit Moody´s Ratings und Accounting-Variablen sta-


61

tistisch kombiniert. Das Ziel war zu beweisen, dass die Modellentwicklung die Ausfalls-

prognose des Merton Verfahrens deutlich verbessert (Sobehart & Stein 2000). Einige empi-

rische Studien liefern schwerwiegende Beweise, die dieser Behauptung entgegenstehen.187

5.2.1.1 Ausfallvorhersage: EDF im Vergleich mit Moody´s Ratings

Die relevanteste der erwähnten Studien (im Sinne, dass sie in der Literatur immer wieder

vorkommt sowie dass sie die überzeugendsten Beweise liefert) ist die Studie von Stephen

Kealhofer und Matthew Kurbat aus dem Jahr 2001. Sie basieren die Recherche auf das sta-

tistische Prozedere vom Miller (1998), wobei sie zu beweisen versuchen, dass die neuen

Maße zur Ausfallprognose wie z.B. Moody´s Ratings andere relevante Prognoseinformatio-

nen beinhalten, die in anderen Maßen (z.B. EDF) nicht schon enthalten sind. Die Methode

von Miller ist im Prinzip eine sog. Intra-Kohorten-Analyse188, die auch intuitiv sowie statis-

tisch stark begründet ist. Diese Methode nach Miller fängt mit der Aufteilung der Firmen-

population (ein Jahr vor dem Eintritt des Ausfalls) in Gruppen (Kohorten) an. Die Aufteilung

erfolgt so, dass alle Firmen innerhalb einer Kohorte annähernd die gleiche Ausfallwahr-

scheinlichkeit nach dem ersten Maß haben. Damit ist es möglich zu sehen, welche Firmen

sich tatsächlich nach einem Jahr in einem Default befinden. Das zweite Maß kann, muss

aber nicht, zusätzliche Prädiktoren aufzeigen, die bei dem ersten nicht aufgetreten sind. Ob

das tatsächlich passiert, kann auf folgende Weise überprüft werden: alle Firmen innerhalb

eine Kohorte sollten nach dem ersten Maß fast die gleiche Ausfallwahrscheinlichkeit auf-

zeigen und im Falle, dass das zweite Maß zusätzliche Prognosekraft besitzt, sollte die Aus-

fallrate für die ratingbezogenen low-quality Firmen innerhalb einer Kohorte bei dem zweiten

Maß höher sein. Die Recherche wurde Intra-Kohorten-Analyse genannt, da sie innerhalb

einer Kohorte geschieht, die auf Basis des ersten Maßes formiert wurde und zur Erhaltung

der marginalen Informationen in dem zweiten Maß dient. Diese Analyse wird auch als ein

parameterfreier Test betrachtet. Wenn also die Firmen auf Basis der EDF in Gruppen aufge-

teilt werden, dann befinden sich möglicherweise Firmen mit unterschiedlichen Ratings in-

nerhalb einer Kohorte. In diesem Fall zeigt das zweite Maß, ob die Firmen tatsächlich die

187Vgl. Kealhofer/Kurbat (2001), S. 1.

188Kohorte: eine Menge von Untersuchungseinheiten, die durch einen gemeinsamen Startpunkt gekennzeichnet

sind. Es werden zwei Formen von Kohortenstudien unterschieden: Intra- und Inter-Kohortenvergleiche. Im

Intra-Kohortenvergleich wird die zeitliche Entwicklung bestimmter Merkmale einer Kohorte untersucht.

Inter-Kohortenvergleiche vergleichen dagegen Mitglieder verschiedener Kohorten miteinander. Vorausset-

zung ist allerdings, dass die Personen zum jeweiligen definierenden Merkmal zum Untersuchungszeitpunkt

den gleichen zeitlichen Abstand haben.


62

gleiche Ausfallwahrwahrscheinlichkeit bzw. Ausfallrate haben. Sollten die Ergebnisse beim

zweiten Maß etwas anderes aufzeigen, bedeutet das möglicherweise, dass andere Eigen-

schaften wie z.B. Ratingklassen die Vorhersagekraft bezüglich der Ausfallwahrscheinlich-

keit verbessern würden. Wenn die Ratings nötige Informationen, die nicht in EDFs enthalten

sind, beinhalten, dann sollten die low-quality Firmen beim zweiten Maß eine höhere Aus-

fallrate als die Firmen mit dem besseren Rating aufzeigen. Wenn eine soche Beziehung be-

steht, dann ist sie am besten anhand der tatsächlich realisierten Ausfallraten innerhalb von

Gruppen sichtbar, wobei die Unternehmen in einer Gruppe nach ihren Ratings sortiert wur-

den. Um die Vergleichbarkeit der Daten zu schaffen, wurde innerhalb der Kohorten statt mit

Scores mit Perzentilen gearbeitet.189

Zum besseren Verständnis werden die Ratingklassen von Moody´s in der folgenden Abbil-

dung dargestellt.

Tabelle 7: Ratingskala von Moody´s

Quelle: in Anlehnung an www.moodys.com

189Vgl. Kealhofer/Kurbat (2001), S. 2 ff.

http://www.moodys.com/


63

Die zweite wichtige Größe für diese Studie sind EDFs, die numerischen Ratings, die sich

von 0,02% (2 Basispunkten) bis zu 20% (200 Basispunkte) mit einem Basispunkt Precision

erstrecken, wobei in dieser Studie ein Zeithorizont von 1 Jahr angenommen wurde, obwohl

KMV EDFs einen Zeithorizont von 1 bis 5 Jahren anbieten. 190

Die Firmen, die in der Studie inkludiert sind, sind diejenigen, für die die Ratings aus dem

Jahr vor dem Default-Eintritt verfügbar waren. Die folgende Abbildung illustriert, wie die

Ergebnisse durch Kohorten kombiniert werden.191

Abbildung 10: Illustration der Kombinierung der Daten im hypothetischen Beispiel

Quelle: Kealhofer/Kurbat (2001), S. 4.

Es wurde angenommen, dass zu jeder Ratingklasse von Moody´s 10 Unternehmen zugeteilt

sind und dass die EDFs jedes Unternehmens vom niedrigsten (Group 1) bis zum höchsten

(Group 10) gegliedert sind. Im Falle, dass das zweite Maß (EDFs) zusätzliche ausfallprog-

nostizierende Informationen liefert, die in den Ratings nicht enthalten sind, wurden mehr

Defaults in Gruppen mit einer höheren Zahl erwartet (z.B. die Gruppe 10 würde mehr

Defaults als die Gruppe 1 haben). Wenn das nicht der Fall ist bzw. wenn das zweite Maß




64

keine zusätzliche Vorhersagekraft besitzt, dann wurde erwartet, dass in jeder Gruppe eine

approximativ gleiche Anzahl von Defaults besteht. Mit der Anwendung von Perzentilen ist

es möglich, die Informationen zu aggregieren und Histogramme zu gestalten. Anschließend

kann der KS192 (Kolmogorov-Smirnov) Test der Verteilung durchgeführt werden, um zu

bestimmen, ob eine statistisch signifikante Beziehung besteht. Der KS Test wirkt indem die

maximale Distanz (D) zwischen der beobachteten Verteilung der EDFs und der Gleichver-

teilung bestimmt wurde. Die Nullhypothese in diesem Fall ist, dass das zweite Maß keine

zusätzlichen Informationen zur Ausfallprognose liefert, daher sollte die Perzentile des zwei-

ten Maßes gleichverteilt sein. Die alternative Hypothese ist, dass das zweite Maß tatsächlich

zusätzliche Informationen liefert, daher wurde in dem Fall erwartet, dass die Perzentile

rechts schief statt gleichverteilt sind.193

Die Studie von Kealhofer/Kurbat basiert auf der Stichprobe der Moody´s–rated Defaults

während einer Zeitperiode von 10 Jahren. Die Unternehmen, die zur Stichprobe herangezo-

gen wurden, sind aus Nordamerika (94,25% aus den USA und 5,75% aus Kanada) und für

sie waren EDFs und Moody´s Ratings für den Zeitraum 1 Jahr vor dem Ausfalleintritt ver-

fügbar. Außerdem waren sie in diesem Zeitraum börsenorientiert. Insgesamt gab es Stich-

proben von 121 Defaults und 1579 Unternehmen. Durch die Verwendung der oben erklärten

Methode wurden Kohorten formiert, wobei die EDFs als die primäre Sortierungsvariable

benutzt wird und danach wurden die Ratings als die primäre Variable genommen. Zuerst

wurde getestet, ob marginale Informationen in Moody´s Ratings relativ zu EDFs besteht und

danach gibt es marginale Informationen in EDFs relativ zu Moody´s Ratings.194

Die folgende Abbildung stellt die Ergebnisse grafisch dar.195

192Der Kolmogorov-Smirnov-Test kann auch bei kleineren Stichproben eingesetzt werden, um zu überprü-

fen, ob eine gegebene Verteilung mit hoher Wahrscheinlichkeit von der Normalverteilung abweicht. Die Be-

rechnung basiert auf dem Vergleich mit einer hypothetischen Normalverteilungskurve.





65

Abbildung 11: Intra-Kohorten-Analyse (Vergleich zwischen Moody´s Ratings und EDF)

Quelle: in Anlehnung an: Kealhofer (2002), S. 2.

Die steigenden gestrichelten Linien in der Abbildung zeigen die erwartete Verteilung im

Falle, dass das Maß zusätzliche Vorhersagekraft liefert, während die geraden gestrichelten

Linien die Erwartungen bezüglich der Verteilung im Falle, dass das Maß keine zusätzliche

Vorhersagekraft liefert, anzeigen. Auf der Abbildung wird veranschaulicht, dass die EDFs

zusätzliche Prognosekraft bezüglich der Ausfallwahrscheinlichkeit zu den Moody´s Ratings

hinzuzählen, da das Histogramm (b.) rechts schief ist. Andererseits liefern Moody´s Ratings

keine zusätzliche Prognosekraft zu den EDFs, da Histogramm Rechtecken in a. nicht positiv

geneigt sind. Die Ergebnisse die oben vorgestellt werden, wurden auch mittels KS Tests

bestätigt, da der Test im Fall a. von der Abbildung keine statistische Signifikanz bei den

Ergebnissen gezeigt hat. Eine etwas größere Anzahl der Defaults im linken Teil der Abbil-

dung a. verdeutlicht sogar das Gegenteil der Erwartungen, und zwar dass die Firmen mit

einem besseren Rating eine höhere Anzahl der Defaults aufgewiesen haben. Laut diesen Er-

gebnissen ist es unwahrscheinlicher, dass Firmen mit schlechteren Moody´s Ratings inner-

halb einer EDF Gruppe ausfallen als Firmen mit einem high-quality Rating innerhalb der-

selbe EDF Klasse.196

Anderseits zeigt die Grafik b., dass ein sehr deutliches Muster der Default-Rates innerhalb

der Moody´s Kohorten aufgrund von EDF-Unterschieden besteht. Die Ergebnisse sind auch

196Vgl. Kealhofer (2002), S. 2.


66

mittels KS Tests bestätigt. Dieser Test zeigt eine starke statistische Signifikanz der Ergeb-

nisse. Es ist wahrscheinlicher, dass Unternehmen mit niedrigeren EDFs ausfallen als Unter-

nehmen mit höheren EDFs, unabhängig von der Moody´s Ratingklasse, in der sie sich be-

finden.197

Mithilfe dieser Studie wurde gezeigt, dass es keine Informationen bezüglich der Ausfall-

prognose in den Moody´s Ratings gibt, die nicht schon in EDFs enthalten sind. Anderseits

wurde auch bewiesen, dass EDFs substanzielle ausfallprognoserelevante Informationen lie-

fern, die die Moody´s Ratings nicht beinhalten. Ein Hinzufügen der EDFs zu den Moody´s

Ratings würde die Ratings verbessern, während die Addierung der Ratings zu den EDFs, die

Prognosefähigkeit der EDFs verschlechtern würde. Die Ergebnisse zeigen, dass die Progno-

sekraft der EDFs, die Prognosekraft der Ratings übertreffen sollte. Um diese Implikation zu

beweisen, haben Kealhofer und Kurbat einen Power-Test der EDFs versus Moodys Ratings

durchgeführt. Es wurde die gleiche Stichprobe benutzt sowie der Zeitraum von einem Jahr.

Die Ergebnisse des Tests der absoluten Ausfallprognosekraft zeigen, dass die EDFs durch-

gehend leistungsfähiger bei der Prognostizierung des Defaults sind als die Moody´s Ratings.

Die Ergebnisse dieses Tests werden in folgender Abbildung dargestellt.198

Abbildung 12: Vergleich der Ausfallprognosefähigkeit der EDFs und Moody´s Ratings


197Vgl. Kealhofer (2002), S. 2 ff.



67

Die Power-Kurven in der Grafik auf der linke Seite der oberen Abbildung zeigen das trade-

off zwischen Type I und Type II Errors für alle möglichen Werten des Maßes. Der Typ I

Error ist die Wahrscheinlichkeit der Unterlassung der Prognostizierung des Ausfalls und ist

durch den vertikalen Abstand vom ausgewählten Punkt zur Spitze der Grafik gegeben. Der

Typ II Error anderseits ist die Wahrscheinlichkeit der fehlerhaften Identifizierung einer „gu-

ten“ Firma als eine Default-Kandidatin und es ist durch den horizontalen Abstand vom Null-

punkt zum ausgewählten Punkt gegeben. Die Grafik zeigt, dass die EDF Power-Kurve sich

zur Gänze oberhalb der Moody´s Rating Power-Kurve befindet, was bedeutet, dass die EDFs

eine viel stärkere und bessere Leistung bei der Ausfallprognostizierung als die Moody´s Ra-

tings aufzeigen.199

Die Grafik auf der rechten Seite der Abbildung vergleicht die Power-Kurven der EDFs, der

Moody´s Ratings und die Kombination aus den beiden. Die vorher beschriebenen Tests ha-

ben gezeigt, dass Moody´s Ratings keine zusätzlichen Informationen liefern, die nicht schon

in EDFs enthalten sind, daher sollte die Kombinierung der beiden die ausfallbezogene Prog-

nostizierungsfähigkeit der EDFs vermindern. Die obere Kurve in der Grafik ist die Power-

Kurve der EDFs und es ist klar sichtbar, dass diese die Kombination aus EDFs und Moody´s

Ratings (die Kurve in der Mitte) übertrifft.200

5.2.1.2 Ausfallvorhersage: EDF im Vergleich mit Accounting-Ratios

Moody´s hat noch eine wichtige Variable zur Verbesserung des Merton Modells erkannt,

und zwar eine Accounting-Variable: ROA (Return on Assets). In diesem Fall wurde die

gleiche Analyse wie im vorherigen Unterkapitel durchgeführt, mit dem Unterschied, dass

EDFs dieses Mal mit ROA statt mit Moody´s Ratings verglichen werden. Die Ergebnisse

sind in der folgenden Abbildung zusammenfassend dargestellt.201


200Vgl. Kealhofer (2002), S. 3 ff.



68

Abbildung 13: Intra-Kohorten-Analyse (Vergleich zwischen ROA und EDF)


Die Ergebnisse zeigen wieder das gleiche wie im vorherigen Unterkapitel. Es gibt wieder

keine zusätzlichen Informationen in ROA, die nicht schon in EDFs enthalten sind. Die Kom-

binierung der beiden vermindert wie im vorherigen Fall die ausfallbezogene Prognostizie-

rungsfähigkeit der EDFs. Das ist auf folgender Abbildung grafisch dargestellt.202

Die EDFs übertreffen wieder beide, ROA und die Kombination der EDFs und ROA. Die

obere Power-Kurve ist die von EDFs, die mittlere stellt die Kombination dar, und die untere

Kurve zeigt die Vorhersagekraft der ROA.203




69

Abbildung 14: Vergleich der Ausfallprognosefähigkeit der EDFs und ROA


5.3 Die Studie von Eom/Helwege/Huang (2004)

Diese Studie gilt als die umfassendste empirische Untersuchung zu Strukturmodellen bisher.

Eom, Helwege und Huang vergleichen die Modelle von Merton (1974), Longstaff/Schwartz

(1995), Geske (1977), Collin-Dufresne/Goldstein (2001) und Leland/Toft (1996) hinsicht-

lich ihrer Fähigkeit, Credit Spreads von Anleihen zu schätzen. Das Merton Modell sowie

alle Erweiterungsmodelle wurden schon im vorherigen Teil dieser Arbeit deutlich erläutert.

In dieser Studie wurde der Zeitraum von 1986-1997 untersucht. Der verwendete Datensatz

besteht aus 182 Anleihen von börsenorientierten Unternehmen mit einfacher Kapitalstruktur

aus der Fixed Income Database. Hierbei werden Anleihen mit Kündigungsrechten und An-

leihen von Finanzintermediären ausgeschlossen. In der Studie wurde durch den Vergleich

von modellierten mit den tatsächlichen Credit Spreads, die zwischen 22 und 556 BP liegen,

die Genauigkeit der Modelle untersucht. Es wird unterstellt, dass im Falle der Insolvenz, den

Fremdkapitalgebern ein Verlust von 48,69% des Nennwertes entsteht.204 Im Merton Modell

werden Kupon Anleihen als ein Portfolio von Nullkuponanleihen bewertet.205

204Siehe Eom/Helwege/Huang (2004), S. 510. Hierbei folgen die Autoren Keenan/Shtogrin/Sobehart (1999),

die eine durchschnittliche Rückzahlungsquote von 51,31% bei Unternehmensanleihen in ihrer Untersu-

chung beobachten.

205Vgl.Eom/Helwege/Huang (2004)und Sünderhauf (2006), S. 70.


70

Die Schlussfolgerung der Autoren in dieser Studie ist, dass das Merton Modell den Credit

Spread um etwa 50,42% unterschätzt, da es vor allem sehr sichere Anleihen generell über-

bewertet. Lediglich bei den Anleihen mit schwachem Rating und sehr hohem Ausfallrisiko

überschätzt das Modell den Credit Spread deutlich, und zwar bis zu 700 BP. Eom/Hel-

wege/Huang vermuten, dass die vereinfachende Annahme, Kuponanleihen als ein Portfolio

von Nullkuponanaleihen aufzufassen, sich als ein Teil des Grundes für das Unterschätzen

der Ausfallprämie sicherer Anleihen identifizieren lässt. Die Unternehmenseigner haben bei

jeder Kuponzahlung die Entscheidung zwischen Anmeldung der Insolvenz oder Bedienung

des Fremdkapitals, daher besitzen sie den Wert der Compound Call-Option, der auf oben

beschriebene Weise unterschlagen wird.206

Die erwähnte Compound Option wird, wie schon erwähnt, im Rahmen des Modells von

Geske (1977) in die Bewertung der Ausfallprämie integriert. Damit kommt dieses Modell

zu deutlich besseren Ergebnissen als die getestete Variante des Merton Modells, besonders

bei Investment-Grade Anleihen wenn Insolvenzkosten berücksichtigt werden. In der Studie

von Eom/Helwege/Huang werden zwei Versionen des Geske-Modells untersucht. Einerseits

wird unterstellt, dass die Fremdkapitalgeber 100% des Werts der Unternehmensaktiva im

Falle der Insolvenz erhalten. Anderseits wird nun unterstellt, dass sie nur 51,31% des Nenn-

wertes ihres Fremdkapitals erhalten. Eigentlich zeigen die Ergebnisse, dass das Modell von

Geske bei einer Rückzahlungsquote von 51,31% deutlich höhere und genauere Ausfallprä-

mien als das Merton Modell berechnet. Die Unterschätzung des Credit Spreads ist jedoch

auch in diesem Fall beachtenswert. Unter der Annahme, dass im Falle der Insolvenz die

Fremdkapitalgeber den gesamten Wert der Aktiva erhalten, sinken die errechneten Ausfall-

prämien etwas, was eine genauere Schätzung als bei einer Rückzahlungsquote von 51,31%

darstellt. Allerdings überschätzt auch dieses Modell die Credit Spreads für spekulative An-

leihen, und zwar noch stärker als das Merton Modell bis zu 1838 BP.207

Diese Studie beschäftigt sich auch mit dem Modell von Leland/Toft, das auch im vorherigen

Teil dieser Arbeit erläutert wurde. Die Ergebnisse zeigen, dass das vorgeschlagene LT Struk-

turmodell den Credit Spread systematisch überschätzt. Dieser Effekt ist besonders bei An-

leihen mit relativ kurzer Restlaufzeit stark zu beobachten. Weiters scheint das LT Modell

206Vgl. Eom/Helwege/Huang (2004), Sünderhauf (2006), S. 70 und Schlecker (2009), S.79.

207Vgl. Eom/Helwege/Huang (2004) und Sünderhauf (2006), S. 71.


71

sehr ungenau zu arbeiten. Die Höhe der Ausfallprämie korreliert nämlich mit der Kuponhöhe

der jeweiligen Anleihe.208

Ähnliche Ergebnisse liefert die Untersuchung des Strukturmodells von Collin-

Dufresne/Goldstein (2001). Die Studie zeigt, dass auch dieses Modell den Credit Spread

unter- und überschätzt und zu ungenauen Ergebnissen führt. Es ist nicht möglich, eine we-

sentliche Verbesserung durch die Variation der Modellparameter zu erreichen.209

Trotz der Beschränkung auf 182 Anleihen, die eine sehr einfache, theoriekompatible Kapi-

talstruktur aufweisen, haben die drei Autoren dieser Studie erhebliche Unterschiede bezüg-

lich der mit den Modellen geschätzten Ausfallwahrscheinlichkeiten festgestellt. Die Ergeb-

nisse der Studie zeigen unplausibel kleine Ausfallwahrscheinlichkeiten, die mit Hilfe des

Merton Modells geschätzt wurden. Anderseits stellten sich die Ausfallwahrscheinlichkeiten,

die mit den Erweiterungsmodellen geschätzt wurden als durchschnittlich unplausibel hoch

heraus.210

In der Untersuchung weisen gerade die jüngeren Weiterentwicklungen des Merton Modells

Schwächen bei der Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten von entweder vergleichs-

weise sicheren oder stark verschuldeten respektive volatilen Unternehmen auf. Erstere wer-

den unterschätzt, wohingegen letztere bezüglich ihres Kreditrisikos teilweise massiv über-

bewertet werden. Zusammenfassend legen Eom/Helwege/Huang nahe, dass Structural Mo-

dels die Credit Spreads entweder über- oder unterschätzen. Eine plausible Erklärung der

Unterschätzung liegt im Hintergrund weiterer Spreadbestandteile, aber die Überschätzung

bereitet Probleme bei der ökonomischen Interpretation.211

5.4 Weitere wesentliche empirische Studien der Strukturmodelle

Die meisten Tests früherer Strukturmodelle haben gezeigt, dass die Ausfallprämien, die mit

diesen Modellen berechnet werden, im Vergleich zu den am Kapitalmarkt gezahlten Credit

Spreads zu niedrig ausfallen. Das kann als ein wichtiger Teil der Motivation vieler Autoren

angesehen werden, zahlreiche Erweiterungen des Merton Modells zu entwickeln. Die wich-

tigsten Erweiterungsmodelle wurden schon im vorherigen Kapitel vorgestellt. Ein Grund,



210Vgl. Eom/Helwege/Huang (2004) und Mair (2010), S. 126.

211Vgl. Schlecker (2009), S.80 und Mair (2010), S. 126.


72

warum die empirische Überprüfung dieser Modellerweiterungen wiederum erst teilweise

vorgenommen wurde, ist die Schwierigkeit homogene und ausreichend umfassende empiri-

sche Daten zu identifizieren, die einen aussagekräftigen Test zulassen, sodass sie den An-

nahmen der jeweiligen Modelle annähernd gerecht werden.212

Eine der ersten Autoren, die sich mit dem Test früherer Strukturmodelle beschäftigt haben,

sind Jones/Mason/Rosenfeld (1984). Ihre empirische Studie basiert auf Anleihen von 27

vorwiegend US-amerikanischen Unternehmen, die sich durch einen nur geringen Anteil

nicht börsenorientierten Fremdkapitals und eine relativ einfache Kapitalstruktur auszeich-

nen. Ein Strukturmodell, das weitgehend Mertons Grundmodell gleicht, wird anhand dieses

Datenpools getestet. Die Autoren testen ihr Modell nicht gegen ein seinerzeit aktuelles

Strukturmodell, sondern gegen ein naives Modell bzw. ein Modell, das keine Ausfallrisiken

berücksichtigt. Die Ergebnisse der Studie zeigen, dass bei Investment-Grade Anleihen kein

signifikanter Unterschied festzustellen ist, während bei Non-Investment-Grade Anleihen das

Strukturmodell dem naiven Modell überlegen ist. Ihr Strukturmodell berechnet allerdings

für alle Anleihen zu niedrige Credit Spreads und deutlich zu hohe Kurse. Der Grund für

diese Abweichung liegt laut Jones/Mason/Rosenfeld darin, dass an einige vereinfachende

Annahmen angehalten wurde, wie z.B. Unterstellung einer deterministischen Zinsstruktur.

Weiters finden die Autoren, dass die Abweichung zur Varianz des Eigenkapitals zum Ver-

schuldungsgrad und zur Restlaufzeit der Anleihen eine signifikante Abhängigkeit auf-

weist.213

Eine andere wesentliche empirische Studie, die das Merton Modell auf eine ähnliche Weise

testet, ist die Studie von Ogden (1987). In dieser Studie wurden allerdings ausschließlich

Wertpapierkurse von frisch emittierten Unternehmensanleihen verwendet. Das Ergebnis

verdeutlicht, dass das Merton Modell etwa 60% des Credit Spreads erklären kann, was laut

Ogden auf die Verwendung einer deterministischen Zinsstruktur zurückzuführen ist. Aus-

serdem weist die Studie darauf hin, dass zwischen der Ausfallrisikoprämie und der Unter-

nehmensgröße eine inverse Beziehung besteht.214

In ihrer empirische Studie vergleichen Guo/Wei (1997) das Merton Modell mit dem

Longstaff/Schwartz (1995) Modell. Zu diesem Zweck wurden die Modelle auf Eurodollar

212Vgl. Sünderhauf (2006), S. 67.


214Vgl. Sünderhauf (2006), S. 67,68.


73

Anleihen angewendet. Die Autoren kommen zum Ergebnis, dass beide Modelle nicht geeig-

net sind, Credit Spreads adäquat zu berechnen. Das wurde in drei von fünf Tests bewiesen.

Sie zeigen aber, dass die Performance des Merton Modells durch die Anpassung der Volati-

lität im Zeitablauf wesentlich verbessert werden kann. Ein überraschendes Ergebnis der Stu-

die ist, dass im Vergleich zum LS Modell, das Merton Modell weitaus genauere Credit

Spreads schätzt, obwohl es über deutlich weniger Parameter verfügt. Die Vermutung der

Autoren ist, dass auch die Performance des LS Modells sich verbessern lässt, wenn mehr der

acht zu schätzenden Parameter dieses Modells im Zeitablauf angepasst werden würden.

Diese Hypothese haben Guo/Wie aufgrund des hohen Rechenaufwands nicht getestet.215

Anderson/Sundaresan (2000) vergleichen die Modelle von Merton (1974) und Leland (1994)

mit einem generellen Strukturmodell, das eine Synthese des Merton Modells (1974), Ander-

son/Sundaresan- (1996), Leland- (1994) und Mella-Barral-Perraudin (1997) Modells ist. In

der Studie wurden die Modelle anhand der Credit Spreads von US-Investment-Grade Indizes

für Unternehmensanleihen getestet. Das Ergebnis der Studie zeigt, dass der geschätzte Credit

Spread, abhängig von der Modellparameterwahl, bis zu 50% des empirischen Credit Spreads

erklären kann. Die Erweiterungen des Merton Modells liefern eine genauere Beschreibung

des Credit Spreads. Was hierbei interessant ist, ist dass die von Strukturmodellen implizier-

ten Ausfallwahrscheinlichkeiten annäherungsweise den historischen von Moody´s ermittel-

ten Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ratingkategorien entsprechen.216

Die Studie von Ericsson/Reneby (2003) testet ein eigenes Strukturmodell, das im Unter-

schied zum Merton Modell erwartete Insolvenzkosten und Abweichungen von der Absolute

Priority Regel zulässt sowie eine kontinuierliche Bedienung des Fremdkapitals unterstellt.

Das Datenpool wurde durch 141 Anleihen, die keine Kündigungsrechte beinhalten und von

Unternehmen mit einfacher Kapitalstruktur emittiert wurden, dargestellt. Das Modell wurde

für den Zeitraum von 1994-1998 getestet. Die Autoren kommen zur Schlussfolgerung, dass

ihr Modell Credit Spreads unterschätzt, und zwar durchschnittlich um 70%. Die Autoren

führen die Abweichungen zwischen realem und modelltheoretisch berechneten Credit

Spread im Wesentlichen auf Liquiditätsprämien zurück. Sie gehen nämlich von der Vermu-

tung aus, dass kleinere Schwankungen in den Spreads von Veränderungen der Liquiditäts-

prämie oder von White Noise herrühren und dass nur größere Veränderungen des Credit

215Vgl. Sünderhauf (2006), S. 68,69.



74

Spreads auf eine Variation des Ausfallrisikos der Anleihe zurückzuführen sind. Entspre-

chend nehmen Ericsson/Reneby an, dass die Prognosefähigkeiten der Strukturmodelle deut-

lich verbessert werden könnten, wenn sie um die Bewertung von Liquiditätsprämien erwei-

tert werden würden.217



75

6 Fazit

Als Ziel dieser Arbeit wurde festgestellt, das Merton-Modell sowie die darauf aufbauenden

Erweiterungen und Anwendungen in der Praxis theoretisch aufzuarbeiten und eine wissen-

schaftlich begründete Aussicht zu geben. Die vorliegende Arbeit wurde so gestaltet, dass sie

eine detaillierte theoretische Ausarbeitung des Modells und seinen Erweiterungen (z.B.

KMV, Black/Cox, Geske, Leland etc.) liefert und geht zusätzlich auf folgende Fragen näher

ein:

Welche Schwierigkeiten und Eingrenzungen bestehen bei der Anwendung des Mo-

dells in der Praxis?

Gibt es Erweiterungen des Modells, die diese Schwierigkeiten erfolgreich überwin-

den können?

Um die Forschungsfragen zu beantworten, wurde im fünften Kapitel auch auf einige wich-

tigsten empirischen Studien des Merton Models und die Modellerweiterungen näher einge-

gangen.

Robert Merton hat anhand der Optionspreistheorie von Black und Scholes ein grundlegendes

Modell zur Bewertung von ausfallrisikobehafteten Unternehmensanleihen entwickelt. Ob-

wohl es in der Praxis keine einheitliche Vorgehensweise, um das Kreditrisiko zu messen und

zu bewerten gibt, kann man mit Sicherheit sagen, dass das Merton Modell (1974) eines der

wichtigsten Modelle, die zu diesem Zweck benutzt werden, darstellt. Durch das Modell

wurde nämlich eine theoretische Sicht des Kreditrisikos entwickelt, sowie der Weg zur seine

Bewertung. Das Merton Modell erlaubt eine Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit in

der risikoneutralen und der realen Welt auf Basis von Informationen des Aktienpreisprozes-

ses, sowie die Berechnung der Bonitätsrisikoprämien bzw. die Bewertung der risikobehaf-

teten Anleihen. Dadurch bietet das Modell auch die Möglichkeit Insolvenzen vorherzusagen.

Die genannten Funktionen stellen gleichzeitig die wichtigsten Funktionen bei der prakti-

schen Anwendung dar.

Dieser Ansatz war auch die Basis für die Entwicklung von Structural Models, die, wie das

Merton Modell, ihre Aufmerksamkeit auf die Kapitalstruktur des Unternehmens bzw. den

Unternehmenswert richten und die Insolvenz eines Unternehmens anhand der Vermögens-

struktur erklären.


76

Obwohl Merton mit seinem Werk die analytische Maschinerie und eine essentielle Basis für

die weiteren Entwicklungen in dem Feld der Optionspreistheorie festgelegt hat, haben zahl-

reiche empirische Studien verdeutlicht, dass das Modell viele Probleme und Eingrenzungen

bei der praktischen Anwendung aufzeigt. Die genannten Annahmen und die Probleme und

Eingrenzungen des Modells wurden in dem dritten Kapitel dieser Arbeit näher erläutert. Zu-

sammenfassend, lassen sich die Eingrenzungen, die das Merton Modell ausweist, Großteils

auf die Modell-Annahmen zurückführen. Die größte Problematik, die die praktische Anwen-

dung des Modells betrifft, ist, dass diese Annahmen eine relativ schlechte Abbildung der

Realität darstellen. Die Risikoparameter stehen besonders im Widerspruch zu den Unterneh-

mensbewertungsmodellen (z.B. dem DCF Verfahren). Die Erweiterungen des Merton Mo-

dells versuchen die oben genannten Eingrenzungen zu vermindern und der Basisansatz rea-

litätsnäher zu gestalten. Das Ziel der Modellerweiterungen ist, das Merton Modell einzurich-

ten, sodass es für die praktische Anwendung besser geeignet wird. Die zwei wichtigsten

anwendungsorientierten Erweiterungsmodelle, die in der Literatur oft als kommerzielle Kre-

ditrisikomodelle bezeichnet wurden, sind das KMV- und das Credit Metrics Modell.

Anhand der Studien die im Kapitel 5 erläutert sind, wurde bewiesen, dass das Merton Modell

die tatsächlichen Credit Spreads ungenau erklärt, bzw. die meisten Tests früherer Struktur-

modelle haben gezeigt, dass die Ausfallprämien, die mit diesen Modellen berechnet werden,

im Vergleich zu den am Kapitalmarkt gezahlten Credit Spreads zu niedrig ausfallen. Aller-

dings, zeigen viele empirische Studien eine gute Abbildung der Insolvenzprognose und Aus-

fallwahrscheinlichkeiten durch das Merton Modell.

Die Schlussfolgerung dieser Masterarbeit ist, dass das Merton Modell intuitiv nachvollzieh-

bar ist, sowie dass es eine ökonomisch fundierte Basis hat, und es bietet nützliche Anhalts-

punkte um die Parameter wie die Ausfallswahrscheinlichkeit, Credit Spread, Recovery Rate

und Distance to Default zu berechnen, sowie für die Bewertung des Fremd- und Eigenkapi-

tals. Allerdings ist es erforderlich die Modellparameter sehr präzis zu bewerten, bzw. es wird

oft argumentiert, dass die Schätzfehler bei der Bewertung der oben genannten Parameter

(Ausfallwahrscheinlichkeit, Credit Spread etc.) mithilfe vom Merton Modell oder seiner Er-

weiterungen nur zum Teil auf falsche Modellspezifikationen beruhen und im Wesentlichen

auf Ungenauigkeit bei der Schätzung der relevanten Inputparameter zurückgehen. Schließ-

lich muss betont werden, dass das KMV Modell als die bekannteste und die wichtigste an-

wendungsorientierte Erweiterung des Merton Modells heraussteht. Aus diesem Grund ist die

praktische Implementierung dieses Modells im Anhang an einem Excel-Beispiel vorgestellt.


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Anhang

85

Anhang

218

218 *Die Daten sind vom Crosbie/Bohn (2003), S. 13 aufgenommen, wobei der Marktwert des Eigenkapitals (E0) mithilfe von Aktienpreise ermittelt ist und Marktwert der

Assets, sowie Assetvolatilität sind durch das System von zwei Gleichungen mit zwei unbekannten aus dem Merton-Modell im Excel ermittelt. In die Berechnungen wurde

für „N“ die Funktion „normsdist“ benutzt.

Das KMV Modell: praktische Implementierung

Das Merton Modell resultiert in einem System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten*:

Marktwert des Eigenkapitals (Equity)

Marktwert des Unternehmensvermögens (Assets)

Volatilität des Marktwertes des Eigenkapitals (Equity volatility)

Assetvolatilität bzw. Volatilität des Marktwertes des Unternehmensvermögens

Philip Morris Companies Inc., April 2001 d1 5,069

Marktwert des Eigenkapitals (Equity) 110.688.000 d2 4,858106501

Equity volatility 32,5% N(d1) 0,9999998

Buchwert des Fremdkapitals 64.062.000 N(d2) 0,999999407

Marktwert der Assets 170.557.748 110688000,0

Assetvolatilität 21,09% 32,50%

Laufzeit 1

Risikoloser Zinssatz (1 Jahr) 6,768%

Tσdd,Tσ

T)σ2

1r()F/ln(

d V12

V

2

V0

1

V

) N(dFe-)N(dV = 2

-rT

100E

)d(NE

Vσσ 1

0

0

VE

Eσ

0E

0V

Eσ

Vσ

0E

Anhang

86

Das KMV Modell: praktische Implementierung

Ermittlung des Marktwertes der Assets und der Assetvolatilität:

Diff^2* Marktwert des Eigenkapitals Diff^2 MW der Assets

First guess der Assetvolatilität: 15,00% 110688000,00 0,0000 170557749,71 SOLVER: MIN("Diff^2"), change "MW der Assets"

Second guess der Assetvolatilität: 21,09% 32,5% 0,0000 SOLVER: Min("Diff^2*"), change "Second guess d. AV" 110688000,01 0,0001 170557748,34 SOLVER: MIN("Diff^2"), change"MW der Assets"

Third guess der Assetvolatilität: 21,09% 32,5% 0,0000 SOLVER: Min("Diff^2*"), change "Third guess d. AV"

Anhang

87

219

219 DPT bezeichnet der Teil der Verbindlichkeiten, der innerhalb von einem Jahr rückzahlbar ist.

Das KMV-Modell: praktische Implementierung

Default point: Verbindlichkeiten, die innerhalb von einem Jahr erfüllbar sind(Nicht Buchwert des Fremdkapitals, sondern nur der Teil der Verbindlichkeiten, der innerhalb von einem Jahr rückzahlbar ist!)

Default point 47.499.000Distance-to-default

0% (nicht sehr empfindlich auf Unternehmenswertsteigerung)

Probability of Default (EDF) 3,42 5,96

0,0025 (aus der Datenbank)

N(-3.42) 0,000312179

N(-3.50) 0,000232629

N(-5.96) 0,0000000013

𝐷𝐷 =𝑈𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒ℎ𝑚𝑒𝑛𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡−𝐷𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡 𝑃𝑜𝑖𝑛𝑡𝑈𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒ℎ𝑚𝑒𝑛𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡ä𝑡

𝐷𝐷 =

𝑙𝑛 (𝑉0

𝐷𝑃𝑇)+ (𝜇 −

1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇

𝑃�̃� = 𝑁 −𝑙𝑛

𝑉0

𝐷𝑃𝑇 + (𝜇

𝑉−

1

2𝜎𝑉

2)𝑇

𝜎𝑉√𝑇

ines filipović

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