Induksi Matematika

MATEMATIKA DISKRIT STMIK AMIKOM Yogyakarta

2

Induksi Matematika Digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi

secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

Suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan

Perhatikan kasus berikut:

“Beberapa orang Amerika mengusulkan agar pemerintah menghentikan pengeluaran koin 1 sen (1¢), karena selain nilainya terlalu kecil, harga-harga barang yang sama atau

lebih dari 4 ¢ dapat dibayar dengan koin 2 ¢ atau 5 ¢ (tanpa memerlukan koin 1 ¢)”

3

Secara formal dapat dikatakan:

“Untuk setiap bilangan bulat n≥4, n sen dapat diperoleh dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢”

Induksi Matematika

4

Baris Ke N Cara Mendapatkan

koin 2¢ koin 5¢

1 4¢

2 5¢

3 6¢

4 7¢

5 8¢

6 9¢

Induksi Matematika

Perhatikan tabel berikut:

5

Baris ke-k dalam tabel tersebut adalah untuk mendapatkan (k+3) ¢ dengan menggunakan koin 2 ¢ dan 5 ¢.

Untuk melanjutkan pembuatan tabel berikutnya haruslah dibuat aturan bagaimana mengisi baris ke-(k+1), dengan menggunakan pola baris ke-k.

Ada 2 kemungkinan:

1. Ada koin 5 ¢ yang digunakan untuk menyusun

atau

2. Semua koinnya adalah 2 ¢

Induksi Matematika

6

Jika ada 5 ¢ yang digunakan untuk menyusun k-koin, maka untuk menyusun (k+1) koin:

- gantilah koin 5 ¢ dengan 3 buah koin 2 ¢, sehingga

jumlah seluruhnya (k+1) koin.

atau

- gantilah 2 buah koin 2 ¢ yang nilainya 4 ¢, dengan 5 ¢, sehingga seluruhnya (k+1) koin

Induksi Matematika

7

Induksi Matematika Dari contoh tersebut:

1. Tunjukkan bahwa P(4) benardengan kata lain: 4 ¢ dapat disusun dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢

2. Tunjukkan kebenaran P(k+1) bisa didapatkan dengan diketahuinya kebenaran P(k)

dengan kata lain:

misalkan k ¢ dapat disusun dengan koin 2 ¢ dan 5 ¢, maka ditunjukkan bagaimana (k+1) ¢ didapatkan dari koin 2 ¢ dan 5 ¢

8

Disimpulkan:Misalkan P(n) adalah pernyataan yang yang didefinisikan dalam bilangan bulat n dan a adalah bilangan bulat tetap, maka:

1. P(a) benar2. Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk k ≥ a

Sehingga: P(n) benar untuk semua n ≥ a1. Langkah 1 disebut Basis2. Langkah 2 disebut Langkah Induksi

Induksi Matematika

9

Induksi Matematika

Contoh Kasus:

Buktikan bahwa:

12

121 ≥+=+++ ,n

)n(nn...

10

Jawab:1. Basis, P(1) benar

n=1, maka * ruas kiri = 1* ruas kanan =

2. Langkah Induksi, P(k) benar P(k+1) benarP(k) benar, berarti

12

111 =+ )(

Induksi Matematika

2

121

)k(kk...

+=+++

11

Induksi Matematika

Akan dibuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu bahwa:

Menurut hipotesa:

sehingga:

2

)1)1)((1()1(21

+++=+++++ kkkk...

2

121

)k(kk...

+=+++

)1()21()1(21 +++++=+++++ kk...kk...

)1(2

)1( +++= kkk

12

Induksi Matematika

)1(2

)1( +++= kkk

2

)1(2)1( +++= kkk

2

232 ++= kk

2

)2)(1( ++= kk

2

)1)1)((1( +++= kk

Terbukti benar P(k+1)Disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n ≥ 1

13

Latihan

1) Jelaskan dengan induksi matematika, bagaimana seorang penjual beras yang mempunyai takaran 5 liter dan 3 liter dapat menakar beras lebih dari n liter, dimana n ≥ 8

2) Jelaskan pula dengan induksi matematika, sebuah papan catur yang berukuran 2k x 2k, k ≥ 1. dapat diambil satu kotak dan sisanya dapat ditutupi dengan trimino-trimino.

14

Latihan

3) Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:

a).

b).

c).

d).

1,6

)12)(1(.....321 2222 ≥++=++++ n

nnnn

1,3

)2)(1()1(......)4(3)3(2)2(1 ≥++=+++++ n

nnnnn

1,1,1

1.....1

12 ≠≥

−−=++++

+

ana

aaaa

nn

1,1)1(

1...

4.3

1

3.2

1

2.1

1 ≥+

=+

++++ nn

n

nn

15

Latihan

4) Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:

a) n3 + 2n habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n≥1

b) 23n - 1 habis dibagi 7 untuk semua bilangan bulat n≥1

c) 22n - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n≥1

d) 4n - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n≥1

e) Jumlah pangkat tiga dari tiga bilangan bulat positif berurutan selalu habis dibagi 9