lembar aktivitas siswa induksi matematika · pdf filebuktikan dengan induksi matematika bahwa...
TRANSCRIPT
Matematika15.wordpress.com
1 King’s Learning Be Smart Without Limits
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa : ___________________
Kelas : ___________________
Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.4 Memahami prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam
membuktikan rumus jumlah deret persegi dan kubik
A. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dalam matematika ada beberapa bentuk pembuktian, yaitu: 1. Pembuktian langsung 2. Pembuktian tidak langsung 3. Pembuktian Induksi Matematika 1. Pembuktian Langsung Pembuktian kebenaran teorema yang berbentuk implikasi p → q, dengan asumsi p benar dan ditunjukkan q benar. Pembuktian langsung dalam matematika dapat dibuktikan secara langsung bentuk ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Contoh 1: Buktikan: sin
2 x + cos
2 x = 1.
Jawab: 2. Pembuktian Tak Langsung Bukti taklangsung adalah membuktikan kebenaran suatu implikasi p→ q melalui kontraposisi ~q → ~ p. Contoh 2:
Buktikan bahwa n
0= tidak terdefinisi.
Jawab:
3. Pembuktian induksi matematika Pembuktian secara induksi matematika, digunakan untuk pembuktian yang nilai variabelnya merupakan bilangan asli. Perhatikan penentuan formula jumlah dari n suku pertama bilangan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di bawah ini:
Penentuan formula dari bentuk di atas menggunakan prinsip induksi matematika. B. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Prinsip induksi matematika:
Contoh 3: Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
2 + 5 + 8 + …. + (3n – 1) = 1
2 n (3n+1)
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
2 King’s Learning Be Smart Without Limits
Contoh 4: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n anggota bilangan asli (5
2n + 3n – 1) habis dibagi 9.
Jawab: C. DERET KHUSUS 1. Deret Bilangan Asli
Deret: 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = 𝑖 𝑛𝑖=1
Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = 1
2 n (n+1)
Jawab:
2. Deret Kuadrat n Bilangan Asli (deret persegi)
Deret: 12 + 2
2 + 3
2 + 4
2 + …. + n
2 = 𝑖
2 𝑛
𝑖=1 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
12 + 2
2 + 3
2 + 4
2 + …. + n
2 =
n n+1 (2n+1)
6
Jawab: Contoh 5: Tentukan nilai dari: a. 1
2 + 2
2 + 3
2 + … + 20
2 = ….
Jawab:
b. 𝑖2 10𝑖=1 = …
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
3 King’s Learning Be Smart Without Limits
3. Deret Kubik n Bilangan Asli
Deret: 13 + 2
3 + 3
3 + 4
3 + …. + n
3 = 𝑖
3 𝑛
𝑖=1 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
13 + 2
3 + 3
3 + 4
3 + …. + n
3 =
n n+1
2
2
Jawab: Contoh 6: Tentukan nilai dari: a. 1
3 + 2
3 + 3
3 + … + 19
3 = ….
Jawab:
b. 𝑖3 9𝑖=1 = …
Jawab:
4. Deret Bilangan Persegi Panjang
Deret: 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n+1) = 𝑖(𝑖+ 1) 𝑛𝑖=1
Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa:
1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n+1) = n n+1 (n+2)
3
Jawab: Contoh 7: Tentukan nilai dari: a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + 8.9 = …. Jawab:
b. 𝑖(𝑖 + 1) 5𝑖=1 = …
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
4 King’s Learning Be Smart Without Limits
Latihan Soal 1. Buktikan prinsip induksi matematika masing-masing
pernyataan berikut: a. 2 + 4 + 6 + … + 2n = n
2 + n
Jawab:
b. 22 + 4
2 + 6
2 + … + (2n)
2 =
2n n+1 (2n+1)
3
Jawab:
c. 12 + 3
2 + 5
2 + … + (2n – 1)
2 =
n 2n−1 (2n+1)
3
Jawab: d. 1
3 + 3
3 + 5
3 + … + (2n – 1)
3 = n
2 (2n
2 – 1)
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
5 King’s Learning Be Smart Without Limits
e. 23 + 4
3 + 6
3 + … + (2n)
3 = 2n
2 (n+1)
2
Jawab:
f. 1
2 -
1
4 -
1
8 - … -
1
2n =
1
2n
Jawab:
2. Hitunglah: a. 2
2 + 4
2 + 6
2 + … + 100
2 = …
Jawab: b. 1
2 + 3
2 + 5
2 + … + 99
2 = …
Jawab: c. 1
3 + 3
3 + 5
3 + … + 99
3 = …
Jawab: d. 2
3 + 4
3 + 6
3 + … + 100
3 = …
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
6 King’s Learning Be Smart Without Limits
e. 10𝑝=1 (2p – 1)
3
Jawab:
f. 𝑖(𝑖 + 1) 9𝑖=5 = ….
Jawab: 3. Buktikan bahwa setiap bilangan asli n, nilai 5
2n – 1 habis dibagi
3. Jawab:
4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai (32n
– 1) habis dibagi 8.
Jawab: 5. Buktikan bentuk notasi sigma: a. Jawab:
Matematika15.wordpress.com
7 King’s Learning Be Smart Without Limits
b. Jawab: c. Jawab:
d. Jawab: 6. untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2
n > n.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
8 King’s Learning Be Smart Without Limits
7. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Jawab: