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5/24/2018 Indices de Miller Formato Inacap.ppt

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ndices de Miller

Ciencia de los materiales.

Gabriel Ahumada Aguilera

ndices de Direccin


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ndices de Miller

Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde essusceptible de deslizar unos tomos sobre otros tomos en la celdacristalina.

Para poder identificar unvocamente un sistema de planoscristalogrficos se les asigna un juego de tres nmeros que recibenel nombre de ndices de Miller. Los ndices de un sistema de planosse indican genricamente con las letras (h k l)

Los ndices de Miller son nmeros enteros, que pueden sernegativos o positivos, y son primos entre s. El signo negativo de unndice de Miller debe ser colocado sobre dicho nmero.


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Ejes y celdas unitarias

Eje X positivo se usa saliendo delpapel.

Eje Y positivo hacia la derecha y

Eje Z positivo hacia la partesuperior.

En sentidos opuestos seencuentran sus respectivas zonasy cuadrantes negativos


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Direcciones en la celda unitaria

Procedimiento para hallar los ndices De Miller de las direcciones:

Usar sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas positivas yzonas negativas).

Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola),generando el vector direccin y la cantidad de parmetros de red recorridos

Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mnima expresin Encerrar los nmeros resultantes entre corchetes , sin comas, si el resultado es

negativo en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o raya encima de dichonumero, o nmeros.

Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran inters,dichas direcciones son los denominados ndices De Miller y sonparticularmente las posiciones o lugares por donde es ms susceptible unelemento en sufrir dislocaciones y movimientos en su interior cristalino.


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Ejemplo de direccin en celdas cubicas

Determinar los ndices de Miller de las siguientes direcciones.Marque direcciones en la celda.

a) Punto de inicio, origen, punto

final (1,0,0)

b) Punto de inicio, origen, punto

final (1,1,1)

c) Punto de inicio, (,-1,0) , punto

final (0,0,1)


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Importancia en el anlisis y creacin de lasdirecciones en los ndices De Miller

Las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede serpositivo o negativo, y con ello poseer la misma lnea de accin perodiferente sentido.

Una direccin y sus mltiplos son idnticos solo que estos aun no

han sido reducidos.

Ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en unsistema cubico es ocasionado por el orden y el sentido de losvectores, ya que, es posible redefinir el sistema coordenado para

una misma combinacin de coordenadas.Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma o familia,y se denota entre parntesis especiales . Es importante resaltar queun material posee las mismas propiedades en todas y cada una de lasdiferentes direcciones de una familia.


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Direcciones de forma o Familia

Direccin Planos. (1 0 0) (0 0 1) (0 0 1) (1 0 0)(0 10) (0 0 1)6 planos

(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 0)(1 10) (1 0 1)(1 1 0) (10 1) (0 1 1) (0 1 1) (0 11) (1 0 1)

12 planos

(1 1 1) (1 1 1) (11 1) (1 11) (1 1 1) (11 1)(1 1 1) (1 11)08 planos


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Importancia de las direcciones cristalogrficas

Si son conocidas las direcciones cristalogrficas, se asegura laorientacin de un solo cristal o de un material poli cristalino.

Dicha orientacin nos ayudar a determinar en un material, porejemplo en que direccin es ms fcil deformarlo.

En la direccin a lo largo de la cual los tomos estn en mayorcontacto.

En la industria esto es de vital importancia para el uso, deformacin yconstruccin de nuevos elementos y materiales.

En general es necesario encontrar o tener en cuenta la posicin ydireccin cristalogrfica de los elementos, ya que, as podraprovecharse al mximo sus propiedades mecnicas.


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Planos en la celda unitaria

Los planos cristalinos son con mayor precisin los lugares por donde un

material facilita su deslizamiento y transformacin fsica.

En los planos existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra unadislocacin.

Los metales se deforman con mayor facilidad a lo largo de los planosen los cuales los tomos estn compactados de manera ms estrecha ocercana en la celda unitaria.

Es importante resaltar la orientacin y forma en la que puede crecer elcristal, para ello es necesario analizar las tensiones superficialesproducidas en los principales planos de una celda unitaria.

Los ndices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema cartesiano(X, Y, Z) = (h, k, l)


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Procedimiento para identificar los planos deimportancia:

Identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z enfuncin de los parmetros de red (si el plano pasa por el origen se debetrasladar el origen del sistema de coordenadas).

los ndices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos

de un plano cartesiano.

se calculan los recprocos o inversos de los puntos o intersecciones.

si el reciproco es N/, donde N es cualquier numero entero real, esto

significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a l sintocarlo.

la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre enel estudio de las direcciones de los ndices de Miller.


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Ejemplo de planos en celdas unitarias

Determine los ndices de Miller de los planosDesarrollo:

Paso 1) Identificar los puntos pordonde pasa el plano.H, k, l

Paso 2) Calcular el reciproco

Paso 3) Simplificar fracciones oeliminar fracciones

Paso 4) Determinar valor del plano

2a


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Aspectos importantes para los planos en los ndicesde Miller

Los planos positivos y negativos son idnticos. los planos y sus mltiplos no son idnticos. Esto se demuestra por

medio de la densidad planar y el factor de empaquetamiento.

Los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Serepresentan con llaves >

En los sistemas cbicos, una direccin es perpendicular a un planosi tiene los mismos ndices de Miller que dicho plano.


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ndices de Miller para celdas hexagonales

Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de ndicesde Miller-Bravais, debido a la simetra de la estructura.

Se utilizan cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 esredundante.

En esta nueva estructura se tomaran los ndices (h, k, i, l), se asignara un eje

respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), el eje a3 radica su existencia en la relacin h+ k = -i


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Ejemplo

Determine los ndices de Miller-Bravais para los planos A

Desarrollo:

Paso 1) Identificar los puntos por donde

pasa el plano.

(h k i l )

a1=a2=a3= ; c = 1


( 1)

Reciproco (1/ 1/ 1/ 1/1)

Paso 3) Simplificar fracciones


(0 0 0 1)


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Desarrollo:


pasa el plano.

(h k i l )

a1= 1 a2= a3= -1 ; c = L

Paso 2) Calcular el reciproco L unitario

distinto de a

(1 -1 1 )

Reciproco (1/ 1 1/ 1/ -1 1/1)



(1 0 11)


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Ejemplo

Determine los ndices de Miller-Bravais para los planos B

Desarrollo:


pasa el plano.

a1=a2=1 ; a3= -1/2 ; c = 1


(1 1 -2 1)

Reciproco (1/ 1 , 1/ 1, -1/ 2, 1/1)



(1 1 21)

-a3=1/2
http://blog.utp.edu.co/metalografia/files/2011/05/123-copia-2.jpg


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Direccin en la celda hexagonal.

Dados los siguientes puntos 0,0,1 cabeza y 1,0,0 cola, Calculeindice de Miller

Desarrollo:

Paso 1) Identificar puntos.

Los puntos son: 0,0,1 y 1,0,0

Paso 2) Restar cabezacola

Cabeza - Cola: 0,0,01,0,0 = -1,-1,0

Paso 3) Eliminar fracciones y reducir enteros.

No existen!

Paso 4) Indicar direccin con corchete

Valorares negativos, con sombrero

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Direccin en la celda hexagonal.

Dados los siguientes puntos 0,1,0 cabeza y 1,0,0 cola, Calculeindice de Miller

Desarrollo:

Paso 1) Identificar puntos.

Los puntos son: 0,1,0 y 1,0,0

Paso 2) Restar cabezacola

Cabeza - Cola: 0,1,01,0,0 = -1,1,0

Paso 3) Eliminar fracciones y reducir enteros.

No existen!

Paso 4) Indicar direccin con corchete

Valorares negativos, con sombrero

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Ejercicios en clases:

Determine los ndices de las siguientes direcciones y plano

Dibuje las direcciones y

Los planos Obs: plano C enel origen.


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