indices de miller

Índices de MillerÍndices de Miller

Coordenadas de un Sistema Cúbico Coordenadas de un Sistema Cúbico Centrado en el Cuerpo (I)Centrado en el Cuerpo (I)

Direcciones cristalogrDirecciones cristalográficas en el Sistemaáficas en el Sistema Cúbico CúbicoDibuja un vector Dibuja un vector que represente la que represente la dirección que dirección que pase por el origen pase por el origen (0,0,0) de los ejes (0,0,0) de los ejes xyz.xyz.

2. Determina las 2. Determina las proyecciones del proyecciones del vector en los ejes vector en los ejes xyzxyz..

3. Multiplica o 3. Multiplica o divide por el divide por el factor comúnfactor común para para obtener los tres obtener los tres valores enteros valores enteros mínimos.mínimos.

4. Encierra los 4. Encierra los tres entreros en tres entreros en parén-tesis parén-tesis cuadradoscuadrados [ ]. [ ]. ej.ej. [ [uvwuvw] ]

[120]

[110]

[111]

Direcciones cristalogrDirecciones cristalográficas en el Sistemaáficas en el Sistema Cúbico Cúbico

Procedimiento de Cabeza y ColaProcedimiento de Cabeza y Cola1.1.Encuentra las Encuentra las coordenadas de los coordenadas de los puntos en la cabeza y la puntos en la cabeza y la cola.cola.2.2.Resta los valores de las Resta los valores de las coordenadas de la cola a coordenadas de la cola a la cabeza.la cabeza.3.3.Elimina fracciones.Elimina fracciones.4.4.Encierra en [ ].Encierra en [ ].

Dirección A

Punto de la cabeza – punto de la cola

(1, 1,1/3)–(0,0,2/3)= 1, 1, -1/3

Multiplica por 3 para obtener los enteros más pequeños: 3, 3, -1 ..

A = [33Ī]

_ _ B = [403]

C = [???]

D = [???]

Dirección BPunto de la cabeza – punto de la cola(0, 1, 1/2) – (2/3,1,1)=-2/3, 0, -1/2Multiplica por 6 para obtener los enteros más pequeños: -4, 0, -3 ..

Procedimiento de Cabeza y ColaProcedimiento de Cabeza y Cola

C = [3 6 1]

D = [1 1 1]

Direcciones cristalogrDirecciones cristalográficas en el Sistemaáficas en el Sistema CúbicoCúbico

[010]

[100]

[001]

[110]

[101]

[011]

[110]

[111]

Familia de Direcciones Familia de Direcciones

Familia de direcciones

ÍndiceÍndice EjemplosEjemplos Número de direcciónes por Número de direcciónes por familia, celda cúbicafamilia, celda cúbica

<100<100>>

66

<110<110>>

1212

<111<111>>

88

[1,0,0] [0,1,0]

[0,1,1] [1,1,0]

[1,1,1] [1,1,1]

00]1[],1[000],1[0[001],[010],[100], >100 <

]11[1],111[1],11[],111[

11],1[1],1[1],1[11[111],111 >< 01]1[1],1[010],1[],101[],11[00],11[

]1[10],1[010],1[1[101],[011],[110],110 ><

Caras cristalinasCaras cristalinas

► Formas comunes relacionadas con la geometría del Formas comunes relacionadas con la geometría del cristalcristalLos minerales isométricos son cubosLos minerales isométricos son cubosLos hexagonales tienen forma de hexágonoLos hexagonales tienen forma de hexágono

► Ley de Ley de StenoStenoLos ángulos entre caras equivalentes del cristal de un mismo Los ángulos entre caras equivalentes del cristal de un mismo mineral son iguales siempre. mineral son iguales siempre. Ley de ángulos interfaciales.Ley de ángulos interfaciales.

► Ley de Ley de Haüy Haüy Los planos intersectan los ejes en múltiplos de las distancias Los planos intersectan los ejes en múltiplos de las distancias de la celda unitaria. de la celda unitaria. Ley de Racionalidad de los índices.Ley de Racionalidad de los índices.

► Ley de Ley de BravaisBravaisLas caras comunes de un cristal son paralelas a los planos de Las caras comunes de un cristal son paralelas a los planos de la red que tienen mayores densidades de nodo.la red que tienen mayores densidades de nodo.

Caras paralelas a celda unitaria, que tiene mayor densidad de nodos Cara T, densidad

intermedia – menos común y pronunciada

Q baja densidad, cara más rara

Cristal Monoclínico

Índices de WeissÍndices de Weiss

► Notación para la intercepción de las Notación para la intercepción de las caras en los ejes cristalográficoscaras en los ejes cristalográficos 1/2 representa la intercepción a1/2 representa la intercepción a 1/4 representa la intercepción b1/4 representa la intercepción b 1/2 representa la intercepción c1/2 representa la intercepción c

1 /2

1 /2

1 /4

(1 2 1 )X

Y

Z

Interceptos 1/2, 1/4, 1/2

(2,0,0)

(0,3,0)

(0,0,1) Índices de WeissÍndices de Weiss

2 3 1

Interceptos → 1

Interceptos → 1 1 Interceptos → 1 1 1

Índices de Miller para Planos Índices de Miller para Planos CristalográficosCristalográficos

1.1.Encontrar los Encontrar los interceptosinterceptos del plano con los ejes del plano con los ejes x,y,zx,y,z. . Si el plano pasa por el origen, cambiar el origen o Si el plano pasa por el origen, cambiar el origen o dibujar un plano paralelo en una celda adyacente.dibujar un plano paralelo en una celda adyacente.

2.2.Tomar el Tomar el recíprocorecíproco de los de los interceptos.interceptos.

3.3.Quitar las fracciones.Quitar las fracciones.

4.4.Encerrar en paréntesis (h,k,l).Encerrar en paréntesis (h,k,l).

∞,-1,1/2

(0 1 2)

La cara t se extiende hasta interceptar los ejes cristalográficos

Interceptos:a = 12b = 12c = 6Recíprocos:a = 1/12b = 1/12c = 1/6

Celda unitaria

Índices de Miller para cara t(112)


A = (IĪ0) B = (I22)

Origen para A

Origen para A

Origen para B

A = (2IĪ) B = (02Ī)


( 1 0 0 ) (1 1 1 )(1 1 0 )


Tetraedro inscrito en un cubocon planos que corresponden a

la familia {111}

8 planos de la familia {111} formando un octaedro regular


Los Planos Cristalográficos paralelos son Los Planos Cristalográficos paralelos son equivalentesequivalentes

Es fácil visualizar dónde esta una cara, dados los índices de Miller, o derivar éstos a partir de las caras.


Índices de Miller-Bravais para cristales Hexagonales

(h k i l)i = (h + k)

a1

a2

a3

Interceptos → 1 1 - ½

Plano → (1 12 0)

Se utiliza una notación de 4 índices

a1

a2

a3

Interceptos → 1 -1

Plano → (0 11 0)

Interceptos → 1 -1

Plano → (1 1 0 0 )


(h k i l)i = (h + k)

a1

a2

a3

Interceptos → 1 1 - ½

Plano → (1 12 0)Interceptos → 1 -2 -2

Plano → (211 0 )


Interceptos → 1 1 - ½ 1

Plano → (1 12 1)

Interceptos → 1 1 1

Plano → (1 01 1)

_ (1211)


ReferenciasReferencias

► A. Raturi, Information Technology, A. Raturi, Information Technology, University of the University of the Sciences in PhiladelphiaSciences in Philadelphia

► J. Alonso Azcárate , CristalografJ. Alonso Azcárate , Cristalografía Morfológica, ía Morfológica, Universidad de Castilla, La Mancha.Universidad de Castilla, La Mancha.

► P. Alpay, Crystal Structures & Properties, School of P. Alpay, Crystal Structures & Properties, School of Engineering, University of Connecticut.Engineering, University of Connecticut.

► Mineralogy Home Page, Crystal Faces and Miller Mineralogy Home Page, Crystal Faces and Miller Indices, Dept. of Geological Sciences, University of Indices, Dept. of Geological Sciences, University of Florida. Florida.

► Z. Khan, The Structure of Crystalline Solids, Z. Khan, The Structure of Crystalline Solids, Mechanical Engineering Department, King Fahd Mechanical Engineering Department, King Fahd University of Petroleum & Minerals.University of Petroleum & Minerals.

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