impulsos nerviosos

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Impulsos nerviosos

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  • Captulo 17

    Impulso nervioso

    1

  • Equilibrio de Donnan

    El equilibrio de Donnan se produce siempre que se tiene una membranasemipermeable que separa dos medios con iones cargados.

    La ecuacin de Nernstnos dice:

    Ve Vi = RT

    nFln

    [ ]e[ ]i

    Para los iones de inters, se traduce en:

    [Na+]e[Na+]i

    =[K+]e[K+]i

    =[Cl]i[Cl]e

    = exp

    F (Ve Vi)RT

    F es igual a 96487 C/mol y se denomina faradio, yR es la constante delos gases, que vale 8.32 J/(mol K).

    La condicin de neutralidad de la carga de las disoluciones implica:

    [Na+]e + [K+]e = [Cl

    ]e[Na+]i + [K

    +]i = [Cl]i + [A

    +]i

  • Impulso nervioso

    La capacidad por unidad de reaca de la membrana es:

    ca =0d

    La resistencia elctricaRl a lo largo del axn vale:

    Rl = L

    r2= rlL

    rl es la resistencia por unidad de longitud.

    La ecuacin que describe la evolucin del impulso nervioso es:

    ja +1

    2r rl

    2V

    x2= ca

    dV

    dt

    La solucin en el caso esttico nos da la distancia de decaimiento:

    V Vr = V0 exp{

    2rrlgm|x|}

    = V0e|x|/

    La solucin independiente dex nos da el tiempo de decaimiento :

    V Vr = V0 exp{gmcat

    }= V0e

    t/

    La velocidad de propagacin del impulso nervioso vale:

    v =

    =

    1

    ca

    gmr2

  • Problema 17.1

    La diferencia de potencial a travs de una membrana se-mipermeable es de 0.07 V a 0C. Calcula el cociente deconcentraciones a ambos lados de la membrana de un ionpermeable que posee una carga de 2e.

  • Problema 17.2

    Supongamos una membrana semipermeable que separados recipientes iguales. Los iones no permeables son ne-gativos y estn slo en una mitad, que llamaremos inte-rior, en una concentracin de 0.2 mol/l. Existen dos ionespermeables K+ y Cl en concentraciones totales de 0.14y 0.04 mol/l, respectivamente. Determina el equilibrio deDonnan a una temperatura de 10C.

  • Problema 17.3

    Dos recipientes iguales estn separados por una membra-na impermeable a determinados iones negativos, que sloestn en una de las dos mitades, con una concentracinde 0.1 mol/l. Calcula las concentraciones de los tres ionespermeables existentes, Na+, K+ y Cl, con concentracio-nes totales de 0.1, 0.05 y 0.1 mol/l, respectivamente.

  • Problema 17.4

    Una membrana semipermeable contiene un recipientemuy pequeo comparado con el exterior. Los iones nopermeables son negativos y estn en el interior con unaconcentracin de 0.1 mol/l. Existen dos iones permeablesNa+ y Cl con concentraciones en el exterior iguales de0.2 mol/l. Determina el equilibrio de Donnan a una tempe-ratura de 37C.

  • Problema 17.5

    Comprueba que la expresin (17.19) es una solucin de laecuacin (17.18).

  • Problema 17.6

    Un axn sin mielina posee un radio de 4 m, un espesorde su membrana de 6 nm, una constante dielctrica iguala 7, una resistencia por unidad de longitud rl = 6 109 /my una conductancia por unidad de rea de su membranagm = 10

    1 m2. Determina:(a) la capacidad por unidad de rea de la membrana,(b) la resistividad del interior del axn,(c) la distancia de decaimiento del potencial,(d) el tiempo de decaimiento del potencial,(e) la velocidad de propagacin del impulso nervioso a

    lo largo del axn.

  • Problema 17.7

    Un axn con mielina posee un radio de 5 m, un espesorde 2 m, una constante dielctrica igual a 7, una resisten-cia por unidad de longitud rl = 13 109 /m y una conduc-tancia por unidad de rea de su membrana gm = 0.08 1

    m2. La distancia entre nodos de Ranvier es de 2 mm.Determina:(a) la capacidad por unidad de rea de la membrana,(b) la resistividad del interior del axn,(c) la distancia de decaimiento del potencial,(d) el tiempo de decaimiento del potencial,(e) la velocidad de propagacin del impulso nervioso,(f) el nmero de nodos de Ranvier consecutivos que es

    necesario bloquear para que no se produzca trans-misin nerviosa si el potencial mximo es de 90 mVy el umbral de 20 mV.

  • 17.1 La diferencia de potencial a travs de una membrana semipermeable esde 0.07 V a 0C. Calcula el cociente de concentraciones a ambos lados de lamembrana de un ion permeable que posee una carga de 2e.

    La relacin de concentraciones viene dada por:

    [ ]e[ ]i

    = exp

    {nF

    RT(Vi Ve)

    }

    = exp

    2 9.65 104

    8.32 2730.07

    = 2.61 103.Hemos supuesto que la diferencia de potencial corresponde aVi Ve.

  • 17.2 Supongamos una membrana semipermeable que separa dos recipientesiguales. Los iones no permeables son negativos y estn slo en una mitad,que llamaremos interior, en una concentracin de 0.2 mol/l. Existen dos ionespermeables K+ y Cl en concentraciones totales de 0.14 y 0.04 mol/l, respecti-vamente. Determina el equilibrio de Donnan a una temperatura de 10C.

    La ecuacin de Nernst nos dice:

    [K]e[K]i

    =[Cl]i[Cl]e

    = exp

    {nF

    RT(Vi Ve)

    }.

    La neutralidad de la carga de las concnetraciones en ambas mitades delrecipiente implica:

    [K]i = [A]i + [Cl]i[K]e = [Cl]e

    Tambin tenemos que como las dos mitades son iguales se ha de verificar:

    [K]i + [K]e = 2 0.14 = 0.28[Cl]i + [Cl]e = 2 0.04 = 0.08

    Vamos a dejarlo todo en funcin de[K]e:

    [K]i = 0.28 [K]e[Cl]i = 0.08 [Cl]e = 0.08 [K]e

    y llegamos a:

    [K]e [K]e = (0.28 [K]e)(0.08 [K]e)

    o equivalentemente:

    0 = 0.0224 0.36[K]e.

    El resultado es[K]e = 0.062 mol/l. Las otras concentraciones son[Cl]e =0.062 mol/l, [K]i = 0.218 mol/l y [Cl]i = 0.018 mol/l. La diferencia de

  • potencial vale:

    Vi Ve =RT

    nFln

    [K]e[K]i

    =8.32 283

    1 9.65 104ln

    0.062

    0.218= 0.0307 V.

  • 17.3 Dos recipientes iguales estn separados por una membrana impermeablea determinados iones negativos, que slo estn en una de las dos mitades, conuna concentracin de 0.1 mol/l. Calcula las concentraciones de los tres ionespermeables existentes, Na+, K+ y Cl, con concentraciones totales de 0.1, 0.05y 0.1 mol/l, respectivamente.

    Las ecuaciones que corresponden a la situacin de equilibrio son la ecua-cin de Nernst:

    [K]e[K]i

    =[Na]e[Na]i

    =[Cl]i[Cl]e

    = exp

    {F

    RT(Vi Ve)

    },

    la condicin de neutralidad de la carga:

    [K]e + [Na]e = [Cl]e

    y las condiciones de conservacin del nmero total de iones:

    [Na]e + [Na]i = 0.2

    [K]e + [K]i = 0.1

    [Cl]e + [Cl]i = 0.2

    Reescribimos estas ecuaciones en funcin de[K]e:

    [K]i = 0.1 [K]e,

    [K]e [Cl]e = (0.1 [K]e)(0.2 [Cl]e)= [Cl]e = 0.2 2[K]e,

    [K]e (0.2 [Na]e) = (0.1 [K]e)[Na]e = [Na]e = 2[K]e,[K]e + 2[K]e = 0.2 2[K]e.

    Resolviendo estas ecuaciones llegamos a:

    [K]e = 0.04 mol/l

    [K]i = 0.06 mol/l

  • [Cl]e = 0.12 mol/l

    [Cl]i = 0.08 mol/l

    [Na]e = 0.08 mol/l

    [Na]i = 0.12 mol/l.

  • 17.4 Una membrana semipermeable contiene un recipiente muy pequeo com-parado con el exterior. Los iones no permeables son negativos y estn en elinterior con una concentracin de 0.1 mol/l. Existen dos iones permeables Na+

    y Cl con concentraciones en el exterior iguales de 0.2 mol/l. Determina elequilibrio de Donnan a una temperatura de 37C.

    Las distintas concentraciones estn relacionadas mediante la ecuacin deNernst:

    [Na]e[Na]i

    =[Cl]i[Cl]e

    = exp

    {F

    RT(Vi Ve)

    },

    y la condicin de neutralidad de la carga en el interior:

    [A]c + [Cl]i = [Na]i.

    Adems las concentraciones externas verifican:

    [Na]e = [Cl]e = 0.2 mol/l.

    Resolvemos este sistema de ecuaciones:

    0.22 = [Na]i([Na]i 0.1) = [Na]2i 0.1[Na]i 0.04 = 0.

    La solucin positiva de esta ecuacin de segundo grado es:

    [Na]i =0.1 +

    0.01 + 0.16

    2= 0.256 mol/l.

    La concentracin del cloro vale:

    [Cl]i =0.22

    0.256= 0.156 mol/l.

    La diferencia de potencial es igual a:

    Vi Ve =RT

    nFln

    [Na]e[Na]i

    =8.32 310

    1 9.65 104ln

    0.2

    0.256= 0.0066 V.

  • 17.5 Comprueba que la expresin (17.19) es una solucin de la ecuacin (17.18).

    Sustituimos la expresin (17.19) en la ecuacin (17.18). La derivadaprimera deV Vr es:

    (V Vr)x

    =

    x

    [V0 exp

    {

    2rrlgm|x|}]

    = V0

    2rrlgm exp{

    2rrlgm|x|}.

    La derivada segunda vale:

    2(V Vr)x2

    = V02rrlgm exp{

    2rrlgm|x|}.

    Vemos que si se verifica (17.18), entonces tenemos:

    gmV0 exp{

    2rrlgm|x|}

    +1

    2rrlV02rrlgm exp

    {

    2rrlgm|x|}

    = 0,

    de forma que (17.19) es una solucin de (17.18).

  • 17.6 Un axn sin mielina posee un radio de 4 m, un espesor de su membranade 6 nm, una constante dielctrica igual a 7, una resistencia por unidad delongitud rl = 6109 /m y una conductancia por unidad de rea de su membranagm = 10

    1 m2. Determina:

    (a) la capacidad por unidad de rea de la membrana,

    (b) la resistividad del interior del axn,

    (c) la distancia de decaimiento del potencial,

    (d) el tiempo de decaimiento del potencial,

    (e) la velocidad de propagacin del impulso nervioso a lo largo del axn.

    (a) La capacidad por unidad de rea de la membrana es:

    ca =0d

    =7

    36 109 6 109= 0.0103 F/m2.

    (b) La resistividad del interior del axn la podemos calcular a partir desu resistencia por unidad de longitud:

    Rl = rlL = L

    r2=

    = r2rl = 16 1012 6 109 = 0.302 m.

    (c) La distancia de decaimiento del potencial viene dada por:

    =1

    2rrlgm=

    12 4 106 6 109 10

    = 8.1 104 m.

    (d) El potencial decae exponencialmente con el siguiente tiempo ca-racterstico:

    =cagm

    =0.0103

    10= 0.00103 s.