Il campo mesonico di Youkawa: predizione delIl campo mesonico di Youkawa: predizione del ““mesone”mesone” (1935)(1935)

Introduciamo sorgente sorgente e interazioneinterazione di un campo

2m

txLagr ,int

la Lagrangiana di la Lagrangiana di interazione viene interazione viene

aggiunta alla aggiunta alla lagrangiana del lagrangiana del

campo liberocampo libero

L’equazione delle onde diventa L’equazione delle onde diventa

Analogia con e.m.:

sorgente di sorgente di

22

2

1mLagr

che consegue che consegue dall’ eq. di Euler dall’ eq. di Euler LagrangeLagrange

agragr LL

in analogia con e.m.in analogia con e.m. è la sorgente del campoè la sorgente del campo

Esempio semplice:Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo una sorgente puntiforme, di forza g, nell’origine,indipendente dal tempo

xg

Risolveremo il problema con il Risolveremo il problema con il metodo della trasformazione di metodo della trasformazione di Fourier.Fourier.

2m

é indipendente é indipendente dal tempodal tempo xgm

22

Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone” Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del “mesone” (cont) (cont)

kkedx xki ~

32/32

1

xxedkxki

3

2/3

~

2

1

22

332 mk

ekd

gx

xki

Trasformata di Fourier Trasformata inversa

k~

Si ricava

tenendo conto cheSostituendo Sostituendo si ottiene si ottiene:

k~

2/3

~22

2 gkmk

22 k

22

2/3~ 2

mk

gk

ottenendo infine k~

xgm

22

spazio spazio delle delle coordinatcoordinatee

spazio spazio delle delle coordinatcoordinatee

spazio spazio dei dei momentimomenti

spazio spazio dei dei momentimomenti

Valutiamo l’integrale.Valutiamo l’integrale.

coskrxk

krmk

dk

r osin

22

2

ikrikr

oee

mk

dk

ir 22

2

o

ikrikr emk

dke

mk

dk

ir 22

2

022

2

22

2

mk

dk

ir

r

eg mr

4

cos2

0

1

122

2

cos ikr

oedd

mk

dkk

Poniamo:

Questo integrale può essere Questo integrale può essere calcolato, ottenendocalcolato, ottenendo

Il campo mesonico di YoukawaIl campo mesonico di Youkawa

22

332 mk

ekd

gx

xki

matematica spicciolamatematica spicciola

cos2

0

1

122

2

cos ikr

oedd

mk

dkk

22

0

d krkr

eekr

dxeed ikrikrikrxikr sin11

cos1

1

cos1

1

krmk

dk

rkr

mk

kdk

rkr

mk

dkk

kr ooosin

2sin

2

2sin

222

2

2222

2

22

332 mk

ekd

gx

xki

dkddkdk sin23

22

2

mk

dk

ir

è un’integrale che si calcola come un integrale di contorno .

si sceglie come contorno dove Im(k)>0

residuo k=im

Yukawa : Yukawa : è un campo mesonico che ha il è un campo mesonico che ha il nucleone come sorgente.nucleone come sorgente.

Il campo Il campo è a range finito, e quindi deve avere è a range finito, e quindi deve avere una massa m una massa m ≠ 0≠ 0

Gli effetti del campo sono trasmessi da Gli effetti del campo sono trasmessi da particelle (“mesoni”) il cui campo è particelle (“mesoni”) il cui campo è ..

come si vede da come si vede da questa equazionequesta equazione

se le particelle hanno se le particelle hanno massa massa mm, il campo ha , il campo ha

un raggio d’azioneun raggio d’azione r

eg mr

4

mr /1

Yukawa interpretava il mesone come la particella che mediava il campo forte, basandosi sulla massa del ~ 100MeV (300me ~ 150MeV).

c

rmctE 2

c

rm

1

r

eg mr

4

L’interazione di Youkawa

xxxdH

23

'

''4

1 '

2133

12 xx

exxxdxdH

xxm

Un nucleone interagisce con un altro nucleone “Un nucleone interagisce con un altro nucleone “sentendo”sentendo” il suo campo mesonico il suo campo mesonico

Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da x2

'

''4

1 '

13

xx

exxdx

xxm

Utilizziamo l’espressioneUtilizziamo l’espressione ''1 xgx

L’haniltoniana di interazioneL’haniltoniana di interazione

Possiamo quindi scrivere iI Possiamo quindi scrivere iI potenzialepotenziale

Notare il ruolo della massa. Se la Notare il ruolo della massa. Se la massa =0, questo diventa il potenziale massa =0, questo diventa il potenziale elettrostaticoelettrostatico

Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili .

Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli elementi di matrice sono dati nello spazio dei momentielementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti.

223

32 mk

ekd

gx

xki

In generale la quantità che rappresenta la particella In generale la quantità che rappresenta la particella scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il propagatore: propagatore:

22

1

mk

r

erV

mr

4

1)(

Osservazione : se avessimo una Osservazione : se avessimo una sorgentesorgente dipendente dal tempodipendente dal tempo, , alal denominatore dovremmo denominatore dovremmo aggiungere : aggiungere :

il denominatore il denominatore apparirebbe come apparirebbe come unun propagatore,propagatore, se se una particella è una particella è scambiata in una scambiata in una interazione interazione

22

332 mk

ekd

gx

xki

kkkkmmkk 222222

0 ,

22

1

mk Questa è la quantità che rappresenta la Questa è la quantità che rappresenta la particella scambiata nello spazio dei particella scambiata nello spazio dei momentimomenti

soluzione soluzione indipendente dal indipendente dal tempotempo

interazione tra campo mesonico nucleare e nucleone come diffusione

r

egrV

mr

4

)( 0

il propagatore bosonicoil propagatore bosonico

interazione tra campo interazione tra campo mesonico nucleare e mesonico nucleare e particellaparticella

scattering (=diffusione) scattering (=diffusione) di una particella in di una particella in potenzialepotenziale

nello spazio dei nello spazio dei momenti il momenti il momentum momentum transfer transfer q q equivale alla equivale alla deflessione deflessione

Il potenziale Il potenziale V(r)V(r) nello spazio delle nello spazio delle coordinate ha una coordinate ha una ampiezza associata ampiezza associata f(q)f(q) per lo scattering per lo scattering della particella, della particella, nello spazio dei nello spazio dei momentimomenti

f(q)f(q) è la è la trasformata di trasformata di Fourier Fourier deldel potenziale, potenziale, esattamente come nella esattamente come nella diffrazione la diffrazione la distribuzione della luce distribuzione della luce difratta è la trasformata difratta è la trasformata di Fourier dell’ostacolodi Fourier dell’ostacolo

3)( drerVgqf rqi

carica della carica della particella particella

coupling strenght coupling strenght of the of the of the of the particle to the particle to the potentialpotential

drr

qr

qrrVqf 2sin

)(

driq

eee

iqriqrmr

20

220

mq

gg

Amplitude in Amplitude in

momentum momentum space is space is

equivalent to equivalent to the potential in the potential in

coordinate coordinate spacespace

charge charge

strenght strenght propagatorpropagator

REGOLE DI FEYNMANREGOLE DI FEYNMAN

Scrivere il fattore appropriato per ogni veritice

Mettere il propagatore di ogni linea interna di massa m e quadrimomento k , 1/(k2-m2)

Moltiplicare per le funzioni d’onda esterne: u fermione iniziale, anti-u fermione finale, 1 per bosoni scalare ed per i bosoni vettoriali

Le regole di FeynmanLe regole di Feynman

AQ

AJLagr

intUna corrente: =Una corrente: =

è la carica elettricaè la carica elettrica

Il fattore è tale per cui il termine è un Il fattore è tale per cui il termine è un quadrivettore.quadrivettore.

J Q

Q

k,

pe ,

', pe

In un campo coulombiano, (per esempio di In un campo coulombiano, (per esempio di un nucleo) un elettrone di quadrimomento p un nucleo) un elettrone di quadrimomento p emette un fotone e rincula con un emette un fotone e rincula con un quadrimomento p’quadrimomento p’

VL

eA

epu

epu

eQ

agr

xik

xip

xip

int

.

.

'.'

Interazione elettromagneticaInterazione elettromagnetica

A

intagrL

Sommario delle Lagrangiane

AJFFLagr

4

1Vector field, mass=0Vector field, mass=0

(elettromagnetismo)(elettromagnetismo)

22

2

1 mLagr

02 m

Real Scalar or Pseudoscalar fieldReal Scalar or Pseudoscalar field

Campo reale di massa m e spin=0Campo reale di massa m e spin=0

Complex scalar or Complex scalar or pseudoscalar field of mass mpseudoscalar field of mass m 2

22

222

12

11 2

1

2

1

mmLagr

2/

2/

21*

21

i

i

*2*

2

1mLagr

0*

0*2

2

m

m

fotone fotone

pione pione

anti-Kanti-K00

KK00

KK11

KK22

ESISTE IN NATURA IL MESONE DI YUKAWA?

Yukawa era convinto che il suo mesone fosse il , sulla base della massa ~240me. Esperimento di Neddermeyer e Anderson

Per spiegare anche il decadimento con il suo mesone aveva ipotizzato un decadimento e con 10-6s.

Se il fosse il mesone di Yukawa , dovrebbe essere catturato dai nucleoni

La frequenza di cattura potrà essere diversa per + e -, a causa del campo coulombiano del nucleo.

Il decadimento è in competizione con la cattura Calcoli di Tomonaga e Araki : in volo probabilità di cattura da

materiali standard (Pb,Al,aria)m trascurabile. + in quiete non vengono mai catturati, - in quiete vengono sempre catturati se lo spessore del materiale è sufficiente per ridurli in quiete.

Possibile test sperimentale: si riducono in quiete le particelle della radiazione cosmica . le particelle positive devono tutte decadere, mentre quelle negative devono essere tutte catturate

L’ esperimento di Pancini Piccioni ConversiL’ esperimento di Pancini Piccioni Conversi

Iron plates magnetized Iron plates magnetized 15.000 Gauss15.000 Gausslet let converge in the apparatus converge in the apparatus the requested particle signthe requested particle sign

i contatori A e B sono in i contatori A e B sono in coincidenza, mentre C coincidenza, mentre C sono in coincidenza sono in coincidenza ritardata. Ritardo variabile ritardata. Ritardo variabile tra 10tra 10-6-6s e 4.510s e 4.510-6-6 s s

Se un Se un decade decade nell’assorbitore la energia nell’assorbitore la energia dell’eletrone di decadimento è dell’eletrone di decadimento è comunque troppo bassa per comunque troppo bassa per superare l’assorbitore in superare l’assorbitore in piombopiomboDABCABCn rit conteggiconteggi

Quindi un Quindi un “firma” perche’ “firma” perche’ sono particelle con vita media sono particelle con vita media 10-6, che decade 10-6, che decade nell’assorbitore in elettroni che nell’assorbitore in elettroni che non giungono in Dnon giungono in D

CONCLUSIONI CONCLUSIONI

le probabilità di cattura uguali per mesoni positivi le probabilità di cattura uguali per mesoni positivi e negativi in Carbonio.e negativi in Carbonio.

in Ferro i mesoni negativi non sono tutti catturatiin Ferro i mesoni negativi non sono tutti catturati

IN CONTRASTO CON TOMONAGAIN CONTRASTO CON TOMONAGA

ee

0,

GeV

scm

cmsGeV

r

cm

2,0

10

103..106,613

1025

Cosmic rays and Cosmic rays and nuclear emulsionnuclear emulsion

Le emulsioni nucleari consistono essenzialmente in piccoli microcristalli di bromide d’argento, sospesi in gelatina specialmente sensibilizzata (emulsione). Una particella carica ionizzante lascia una immagine latente nei cristalli che attraversa. Le lastre di emulsione vengono sviluppate e le tracce appaiono come una sequenza di granini d’argento anneriti.

mass GeV mean-life smass GeV mean-life s00 0,135 8,4.10 0,135 8,4.10-17-17 - 0,140 2,6.10- 0,140 2,6.10-8-8

0,105 2,2.100,105 2,2.10-6-6

Il decadimento del Il decadimento del è un processo a è un processo a due corpi. Il due corpi. Il ha la stessa energia ha la stessa energia cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stesso ““rangerange” (600 ” (600 m) nella emulsione.m) nella emulsione.

Il decadimento del Il decadimento del è un processo a è un processo a tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno spettro di energia continuo.spettro di energia continuo.

Due parole sui raggi cosmiciDue parole sui raggi cosmici

I I sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di sono generati nell’atmosfera da collisioni nucleari di protoni cosmici. La vita media del protoni cosmici. La vita media del è abbastanza breve da è abbastanza breve da far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). Il elettroni. (La componente “soft”dei raggi cosmici). Il vive vive 2200ns, puó arrivare sulla superficie della terra. (la 2200ns, puó arrivare sulla superficie della terra. (la componente” hard”).componente” hard”).