ii - 5 flexion pure - personal...
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II - 5Flexion pure
[email protected] 15 juillet 2011
II - 5 - 2Flexion pure
Aperçu� Définition � Sécurité des pièces fléchies
– calcul du moment d ’inertie– forme rationnelle
� Poutres composées de 2 matériaux– [Frey, T. II, Chap. 5]
II - 5 - 3Flexion pure
Flexion pure� définition : flexion pure ou circulaire
– poutre soumise à M constant– T=dM/dx ⇒ T = 0 (!)
Dispositif expérimental :flexion 4 points
d’après [Frey, 2000, Vol. 2]
-+
?
II - 5 - 4Flexion pure
Application pratique ?� Voyez-vous une application pratique à ce
schéma statique ?
M
II - 5 - 5Flexion pure
Un exercice intuitif
Solution : Feuille pliée ou ondulée
⇔ augmenter Iz/y
Réaliser un « pont » entre deux tables (e≈10cm) permettant de déposer un stylo en toute sécurité
à l’aide d’une feuille de papier A4
e
[CIM béton, 2000]
II - 5 - 6
Ryrayon du cercle
Flexion pure
Hypothèse (cinématique) de Bernoulli– « Les sections planes et normales à la fibre
moyenne avant la déformation restent planes et normales à la fibre moyenne après la déformation »
(reproduction Frey, 2000, Vol. 2)
II - 5 - 7Flexion pure
Bernoulli : mise en équations
yR
y
s
ds −=
s
dsx =ε
yx R
y−=ε
Ry est le rayon du cercle
fibre moyenne
II - 5 - 8Flexion pure
Méthode inverse� supposons le matériau élastique linéaire
(⇒ σx = E εx)� postulons
� équations d’équilibre de translation en volume– satisfaites avec fi=0
� équations de compatibilité satisfaites– car τij linéaire
−
=
00
0R
Ey
yijτ
0fiijj =+∂ τ
II - 5 - 9Flexion pure
Équilibre de translation en surface� équations d’équilibre de translation en surface
∫ =A GAyydAor,
N=0 ⇒ y=0 en G !
0dATA xyy == ∫ τ 0dAT
A xzz == ∫ τ
0ydAR
EdAN
Ay
A x =−== ∫∫ σ
Par ailleurs,
(Frey, 2000, Vol. 2)
II - 5 - 10Flexion pure
Équilibre de rotation en surface (1/2)
� équations d’équilibre de rotation en surface
Iz = moment d’inertie (géométrique) autour de l’axe z (m4)
zy
A
2
yA xz I
R
EdAy
R
EydAM −=−== ∫∫ σ
II - 5 - 11Flexion pure
� calcul de la courbure de 2 manières :
� on en déduit la contrainte normale
� σx = 0 en y = 0 : définition de l’axe neutre
Calcul des contraintes
z
zx
I
yM=σ (équation de Navier) ***
EyRR
Ey
R
y x
yy
x
y
x
σσε −=⇒
−=⇒
−=
1
z
z
y
z
y
zEI
M
RI
R
EM −=⇒−=
1
Bernoulli :
Équilibre :
II - 5 - 12Flexion pure
Équilibre de rotation en surface (2/2)� équations d’équilibre de rotation en surface
� Et,
( ) 0dAzyMA xyxzx =−= ∫ ττ
yzy
Ay
A xy IRE
yzdARE
zdAM ∫∫ ==−= σ
Iyz = produit d’inertie
II - 5 - 13Flexion pure
Flexion plane� Définition : My = 0
– flexion dans le plan Oxz uniquement
� Possible ssi Iyz = 0– càd si yz sont les axes principaux d’inertie– ce qui le cas dès qu’∃ un axe de symétrie– pas possible pour les sections :
II - 5 - 14Flexion pure
� contraintes extrémales aux fibres extrémales– (équation d’équarrissage)
� méthode des contraintes admissibles (déterministe)–
� méthode des états limites
� ATTENTION : fibres comprimées ⇒ déversement !!!
Sécurité des pièces fléchies
z
xI
My infsup/=σ
−+≤= /infsup/infsup/ adm
zI
Myσσ
dimsup/ inf
F e zd
IM M
y
γ σ≤ =
II - 5 - 15Flexion pure
Conception des pièces fléchies
Iz/ysup/inf est le module de résistance en flexion
EIz est le module de rigidité en flexion
infsup/yI
M
zx =σ
zy EI
M
R−=
1
II - 5 - 16Flexion pure
Moments d’inertie géométriques� la théorie de la flexion fait apparaître des
moments d’inertie géométriques(analogie des moments d’inertie du mouvement
du solide plan mais ne pas confondre)
� Iij est un tenseur d’ordre 2 (et en a les propriétés !)
∫==A
2zyy dAyII ∫==
A
2yzz dAzII ∫=
Ayz yzdAI
II - 5 - 17Flexion pure
Moments d’inertie des figures planes� moment d’inertie par rapport aux axes x et y
(toujours > 0)� produit d’inertie
(nul si axe de symétrie)� moment d’inertie polaire
∫=A
2x dAyI ∫=
A
2y dAxI
∫=Axy xydAI
∫=A
2p dArI yxp III +=
(Frey, 1990, Vol. 1)
II - 5 - 18Flexion pure
Moment d’inertie d’un rectangle
3
bhbdyydAyI
3h
0
2
A
2basex === ∫∫
12
bhbdyydAyI
32h
2h
2
A
2centralx === ∫∫
−
(Frey, 1990, Vol. 1)
II - 5 - 19Flexion pure
Formule de Huygens/Steiner
Ix et Iy sont donc minimaux au centre
abAII
AaII
AbII
CC
C
C
yxxy
2yy
2xx
+=
+=
+=
(Frey, 1990, Vol. 1)
II - 5 - 20Flexion pure
Calcul par décomposition� décomposition en somme algébrique
( )∑ += i2ixx AbII
Ci
(Frey, 1990, Vol. 1)
II - 5 - 21Flexion pure
Axes principaux d’inertie� moments d’inertie Ix et Iy
extrémaux
� produit d’inertie Ixy nul– si un axe (au moins) de
symétrie
� détermination des axes principaux par loi de changement d’axes (cercle de Mohr) (Frey, 1990, Vol. 1)
II - 5 - 22Flexion pure
Forme rationnelle� diminuer σx ⇒ augmenter Iz /y� or, augmenter Iz ⇒ augmenter y
� profil ‘idéal’
zx I
My=σ
∫=A
2z dAyI
2
th 2
h
2
A2I
=
2
hA
y
I
thinfsup/
th =
II - 5 - 23Flexion pure
Rendement géométrique
( )thinfsup/
infsup/e y/I
y/I=η
ηe=2/3 ηe≈1/2 ηe=1/3 ηe=1/4 ηe=1/6
II - 5 - 24Flexion pure
Remarques (1/3)� limitations du profil en I
– progrès du laminage– encombrement transversal des sections– largeur efficace– résistance au cisaillement– corrosion
� facilité de mise en œuvre du profil rectangulaire– matériaux peu onéreux (bois, béton)
II - 5 - 25Flexion pure
Remarques (2/3)� position de l’axe neutre
– sections dissymétriques– σe égaux en traction/compression ⇒ section
symétrique optimale– σe différents ⇒ calcul de la section optimale
� axe fort - axe faible d’une poutre fléchie � aucun axe de symétrie : attention à la flexion
gauche (rappel)
II - 5 - 26Flexion pure
Remarques (3/3)� Bernoulli : valable
même si non homogène transversal (béton armé, bois, fibres)
� déformation transversale : effet de Poisson
(Frey, 2000, Vol. 2)
II - 5 - 27Flexion pure
Poutres composées de 2 matériaux
n
bb~ b
a =aay I
~E
M
R
1−=
aa I
~My
=σn
ab
σσ =
II - 5 - 28Flexion pure
Illustrations des poutres fléchies� revêtements routiers sous poids des essieux
[CIM béton, 2000]
II - 5 - 29Flexion pure
Effets thermiques� un gradient de température fait apparaître une
déformation de flexion
[CIM béton, 2000]
II - 5 - 30Flexion pure
Poutre en béton armé
Mz armatures principales de flexion[TGC???, 2000]
II - 5 - 31Flexion pure
Poutre à inertie variable
Éléments porteurs d’un mur rideau.Photo en phase de construction
[références manquantes]
+
Mz Inertie variable
II - 5 - 32Flexion pure
Poutre ajourée
[http://oikos.com/products/metals/smisteel/]
II - 5 - 33Flexion pure
Flexion d’un arbre mécanique
d’après [Burr, 1982]
Mz +
II - 5 - 34Flexion pure
Evolution de la conception des ponts
arcarc en encorbellement
poutreponts suspendus
ponts haubanésLa technologie dépend de la portée
[réf. manquantes]
II - 5 - 35Flexion pure
La jambe du nageur
[Fung, 1990]
II - 5 - 36Flexion pure
Flexion de la colonne vertébrale
http://www.1backpain.com/