TIPOS DE VIGAS

Las vigas se describen según el modo en que están sostenidas: por ejemplo, una viga con un soporte de pasador en un extremo y un soporte de rodillo en el otro se denomina viga simplemente apoyada o viga simple. La característica esencial de un soporte de pasador es que impide la traslación en el extremo de una viga pero no se rotación. El extremo A de la viga no puede moverse en sentido horizontal o vertical, pero el eje de la viga puede girar en el plano. En consecuencia, un soporte de pasador es capaz de desarrollar una reacción de fuerza con componentes horizontal y vertical ( HA y RA ), pero no puede desarrollar una reacción de momento.

En el extremo B de la viga, el soporte de rodillo impide la traslación en dirección vertical pero no en la horizontal; por tanto, ese apoyo puede resistir una fuerza vertical ( RB ) mas no una fuerza horizontal. Por supuesto, el eje de la viga puede girar en B y en A. Las reacciones verticales en los soportes de rodillo y en los soportes de pasador pueden actuar ya sea hacia abajo o hacia arriba y la reacción horizontal en un soporte de pasador puede actuar ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha. En las figuras, las reacciones se indican por diagonales que atraviesan las flechas para distinguirlas de las cargas.

La viga de la figura 4-2b, que esta fija en un extremo y libre en el otro, se llama viga en voladizo. En el soporte fijo ( o empotramiento ) la viga no puede trasladarse ni girar, mientras que en el extremo libre puede hacer ambas cosas. En consecuencia, en los empotramientos pueden existir fuerzas y momentos de reacción.

La figura 4-2c, es una viga con un voladizo. Esta viga esta simplemente apoyada en los puntos A y B ( es decir, tiene un soporte de pasador en A y un soporte de rodillo en B )pero además se extiende mas allá del soporte en B. El segmento BC en voladizo es similar a la viga en voladizo, excepto que el eje de la viga puede girar en el punto B.

Al dibujar diagramas de vigas, identificamos los apoyos por medio de símbolos convencionales. Estos símbolos indican la manera en que la viga está restringida y, por tanto, señalan también la naturaleza de las fuerzas y momentos reactivos; sin embargo, no representan la construcción física real.

EJEMPLO:

Una viga simple AB soporta dos cargas, una fuerza P y un par M0, que actúan como se ve en la figura. Encontrar la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la viga en secciones transversales localizadas como sigue: a) una pequeña distancia a la izquierda del centro del claro de la viga y b) una pequeña distancia a la derecha del centro del claro de la viga.

P

M0

A B

L4 L

4 L

2

RA RB

SOLUCION

Reacciones. El primer paso en el análisis de esta viga es encontrar las reacciones RA y RB en los apoyos. Al tomar momentos respecto a los extremos B y A obtenemos dos ecuaciones de equilibrio, de donde encontramos, respectivamente:

RA = 3P4

- M 0L

RB = P4 - M 0

L (a)

a) Fuerza cortante y momento flexionante a la izquierda del centro del claro... Cortamos la viga en una seccion transversal junto a la izquierda del centro del claro y dibujamos un diagramas de cuerpo libre de cualquier mitad de la viga. En este ejemplo escogemos la mitad izquierda de la viga como cuerpo libre.

P M

V

RA

Este cuerpo libre se mantiene en equilibrio debido a la carga P, la reacción RA y las dos resultantes de esfuerzo desconocidas la fuerza cortante V y el momento flexionante M ambas mostradas actuando en sus sentidos positivos. El par M0 no actúa sobre el cuerpo libre porque la viga está cortada a la izquierda de su punto de aplicación. Sumamos fuerzas en dirección vertical (positivas hacia arriba) y resulta:

Fvert = 0 RA - P - V = 0

de donde obtenemos la fuerza cortante:

V = RA - P = - P4 -

M 0L

Este resultado muestra que cuando P y M0 actúan con los sentidos mostrados en

la figura

P

M0

A B

L4 L

4 L

2

RA RB

la fuerza cortante(en la posición seleccionada) es negativa y actúa con sentido opuesto al sentido positivo.

Si tomamos momentos respecto a un eje por la seccion transversal donde se ha cortado la viga, obtenemos:

P M

V

RA

M = 0 - RA ( L2 ) P (

L4 ) M = 0

donde los momentos contrarios a las manecillas del reloj se consideran positivos. Despejamos el momento flexionante M, y obtenemos:

M = RA ( L2 ) P (

L4 ) =

PL8

- M 02

El momento flexionante M puede ser positivo o negativo, dependiendo de las magnitudes de las cargas P y M0. Si es positivo, actúa con el sentido mostrado en la figura; si es negativo, lo hace en dirección opuesta.

b) Fuerza cortante y momento flexionante a la derecha del centro del claro.

En este caso, cortamos la viga en una seccion transversal justo a la derecha del centro del claro y dibujamos de nuevo un diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la izquierda de la seccion cortada.

P M0 M

V

RA

La diferencia entre este diagrama y el anterior es que el par M0 ahora si actúa sobre el cuerpo libre. De dos ecuaciones de equilibrio, la primera para fuerzas en

dirección vertical y la segunda para momentos respecto a un eje por la seccion cortada, obtenemos

V = - P4 -

M 0L M =

PL8

M 02

Estos resultados muestran que cuando la seccion cortada es desplazada de la izquierda a la derecha del par M0, la fuerza cortante no cambia (por que las fuerzas verticales que actúan sobre el cuerpo libre no cambian) pero el momento flexionante se incrementa algebraicamente una cantidad igual a M0.

FLEXION PURA Y FLEXION NO UNIFORME...¡¡¡¡

Al analizar vigas suele requerirse distinguir entre flexión pura y flexión no uniforme. Flexión pura se refiere a la flexión de una viga bajo un momento flexionante

constante; por tanto, ocurre solo en regiones de una viga donde la fuerza cortante es cero ( porque V=dM/dx).Por el contrario , la flexión no uniforme se refiere a la flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el momento flexionante cambia al movernos a lo largo del eje de la viga.

Para ejemplicar la flexión pura, consideremos una viga simple AB cargada con dos pares M1 que tienen la misma magnitud. pero que actúan en direcciones opuestas

M1 A B M1

Estas cargas producen un momento flexionante constante M=M1, a todo lo largo de la viga, como se observa en el diagrama siguiente de momento flexionante...

M1

0

Observe que la fuerza cortante V es cero para todas las secciones transversales de la viga.

En la figura siguiente se muestra otro ejemplo de flexión pura; en ella, la viga en voladizo AB está sometida a un par horario M2 en su extremo libre.

M2 A B

M2

En esta viga no hay fuerzas cortantes y el momento de flexión M es constante en toda su longitud; pero es negativo ( M= - M2 ), como puede verse en el diagrama de momento flexionante que se muestra en la figura siguiente:

0

M

- M2

La viga simple cargada en forma simétrica en la figura siguiente

P P

A B

a a

es un ejemplo de una viga que está parcialmente en flexión pura y parcialmente en flexión no uniforme, como se ve en los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

V P

0

-P

PA

M

0

La región central de la viga esta en flexión pura porque la fuerza cortante es cero y el momento flexionante es constante. Las partes de la viga cercanas a los extremos se encuentran en flexión no uniforme porque están presentes fuerza cortantes y los momentos flexionantes varían.

ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS ( MATERIALES ELASTICO LINEALES )

En la sección anterior analizamos las deformaciones unitarias longitudinales x en una viga en flexión pura ( véase la ecuac. 5-4 y la fig. 5-7 ). Como los elementos longitudinales de una viga están sometidos a tensión o a compresión, podemos usar ahora la curva esfuerzo-deformación unitaria del material para determinar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias. Los esfuerzos actúan sobre toda la sección transversal de la viga y varían de intensidad sobre toda la sección transversal de la viga y varían de intensidad dependiendo de la forma del diagrama esfuerzo-deformación unitaria y de las dimensiones de la sección transversal. Puesto que la dirección x es longitudinal ( fig. 5-7a ), usamos el símbolo x para denotar esos esfuerzos.

La relación esfuerzo-deformación unitaria que se encuentra con más frecuencia en ingeniería es la ecuación para un material elástico lineal. Para tales materiales, sustituimos la ley de Hooke para esfuerzo axial ( = Ex ) en la ecuac. 5-4 y obtenemos

x =¿ E x=−Eyρ

=−E ky ( 5-7 )

Esta ecuación muestra que los esfuerzos normales actúan sobre la sección transversal varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutra. Esta distribución del esfuerzo se presenta en la siguiente fig.:

( a ) y

x

0 x

( b ) y

dA

C1 y ( 5-9 )

Z

C2

para el caso en que el momento flexionante M es positivo y la viga se flexiona con curvatura positiva.

Cuando la curvatura es positiva, los esfuerzo x son negativos ( de compresión ) abajo de ella. En la figura, los esfuerzos de compresión se indican por medio de flechas que señalan hacia la sección transversal y los esfuerzos de tensión. mediante flechas que se alejan de la sección transversal.

Para la ecuación 5-7 sea del valor práctico, debemos localizar el origen de coordenadas de manera que podamos determinar la distancia y; en otras palabras, debemos ubicar el eje neutro de la sección transversal. También necesitamos obtener una relación entre la curvatura y el momento flexionante, de manera que podamos sustituirla en la ec. 5-7 y obtener una ecuación que relacione los esfuerzos con el momento flexionante. Estos dos objetivos se alcanzan determinando la resultante de los esfuerzos x que actúan sobre la sección transversal.

En general, la resultante de los esfuerzos normales consiste en dos resultantes de esfuerzo:

1 ) una fuerza que actúa en la dirección x,

2 ) un par de flexión que actúa alrededor del eje z; sin embargo, la fuerza axial es cero cuando una viga está sometida a flexión pura.

Así pues, podemos escribir las siguientes ecuaciones de estática:

1 ) la fuerza resultante en la dirección x es igual a cero

2 ) el momento resultante es igual al momento flexionante M. La primera ecuación da la posición del eje neutro y la segunda, la relación momento-curvatura.

EJEMPLO:

Un alambre de acero de alta resistencia de diámetro d se dobla alrededor de un tambor cilíndrico de radio R0.

Determinar el momento flexionante M y el esfuerzo de flexión máximo máx en el alambre, considerando d = 4mm y R0 = 0.5m. (El alambre de acero tiene modulo de elasticidad = 200 GPa y limite proporcional p1 = 1 200 MPa)

SOLUCION

El primer paso en este ejemplo es determinar el radio de curvatura del alambre doblado. Luego, conociendo , podemos encontrar el momento flexionante y los esfuerzos máximos.

Radio de curvatura. El radio de curvatura del alambre doblado es la distancia desde el centro del tambor hasta el eje neutro de la seccion transversal del alambre:

= R0 d2

Momento flexionante. El momento flexionante en el alambre puede encontrarse a partir de la relación momento-curvatura:

M =EIρ = 2 EI /2 R0 d

en donde es el momento de inercia del área de la seccion transversal de alambre. Sustituimos en términos del diámetro d del alambre con lo cual,

M = d4 / 32(2R0 d) (5-22)

Este resultado se obtuvo sin considerar el signo del momento flexionante.

Esfuerzos máximos de flexión. Los esfuerzos máximos de tensión y compresión, que son numéricamente iguales, se obtienen con la formula de la flexión

máx = MS

en donde S es el modulo de seccion para una seccion transversal circular. Sustituimos M de la ecuación anterior

máx = d / 2R0 d (5-23)

Resultados numéricos. Sustituimos ahora los datos numéricos dados en las ecuaciones(5-22) y (5-23) y obtenemos los siguientes resultados:

M = d4 / 32(2R0 d) = (200 GPa)(4mm)4 / 322(0.5m)4mm =5.01Nm

máx = d / 2R0 d= (200GPa)(4mm) / 2(.05m) 4mm =797MPa

Observe que máx es menor que el limite proporcional del acero del alambre: por consiguiente, los cálculos son validos.

Nota: como el radio del tambor es grande en comparación con el diámetro del alambre, podemos despreciar d respecto a 2R0 en los denominadores de las expresiones para M y máx. Las ecuaciones (5-22) y (5-23) dan los siguientes resultados:

M = 5.03 Nm máx = 800 MPa

Estos resultados están del lado de la seguridad y difieren en menos 1% de los valores mas precisos.

DISEÑO DE VIGAS PARA ESFUERZOS DE FLEXION

El proceso de diseñar una viga requiere la consideración de muchos factores, entre ellos el tipo de estructura ( avión, automóvil, puente, edificio, etc.), los materiales por usarse, las cargas que se van a soportar, las condiciones

ambientales y los costos. Sin embargo, desde el punto de vista de la resistencia la tarea se reduce a seleccionar una forma y tamaño de viga tales que los esfuerzos reales en esta no excedan los esfuerzos permisibles del material. En el siguiente análisis, consideramos solo los esfuerzos de flexión. Después, tomaremos en cuenta los efectos de los esfuerzos cortantes y las concentraciones de esfuerzos.

Al diseñar una viga para resistir esfuerzos de flexión, por lo general comenzamos calculando el modulo de seccion requerido; por ejemplo, si la viga tiene una seccion transversal doblemente simétrica y los esfuerzos permisibles son los mismos en tensión y en compresión, podemos calcular el modulo requerido dividiendo el momento flexionante máximo entre el esfuerzo permisibles en flexión del material.

S ¿Mmaxσperm

( 5-24 )

El esfuerzo permisible se basa en las propiedades del material y el factor de seguridad deseado. Para garantizar que no se rebase este esfuerzo, debemos escoger una viga que suministre un modulo de seccion por lo menos tan grande como el obtenido con la ecuación 5-24.

Si la seccion transversal no es doblemente simétrica, o si los esfuerzos permisibles son diferentes en tensión y en compresión, hay que determinar dos módulos de seccion requeridos, uno basado en tensión y otro en compresión. Luego debemos proporcionar una viga que satisfaga ambos criterios.

Para minimizar el peso y ahorrar material, solemos escoger una viga que tenga la menor área transversal y que suministre los módulos de seccion requeridos ( y que cumpla cualquier otro requisito de diseño impuesto ).

Las vigas se construyen en una gran variedad de formas y tamaños para satisfacer una gran cantidad de propósitos; por ejemplo se fabrican grandes vigas de acero soldadas, se extruyen vigas de aluminio como tubos redondos o rectangulares, se cortan vigas de madera y se unen con pegamento para adecuarlas a requisitos especiales y se cuelan vigas de concreto reforzado en cualquier forma deseada por medio de una construcción apropiada de la cimbra.

Además, pueden adquirirse vigas de acero, aluminio, plástico y madera en las formas y tamaños estándar considerados en los catálogos de distribuciones y fabricantes. Los perfiles de fácil obtención incluyen vigas de patín ancho, vigas I, perfiles angulares, canales, vigas rectangulares y tubos.

EJEMPLO:

Una viga de madera simplemente apoyada con claro L = 12 pies, sustenta una carga uniforme q = 420 lb/pie. El esfuerzo permisible de flexión es de 1 800 lb / pulg2 , la madera pesa 35 lb/pie3 y la viga esta soportada en sentido lateral contra pandeo lateral y volteo.

q= 420 lb/pie

nnn

L = 12 pies

Diseño de una viga de madera simplemente apoyada...

SOLUCION

Como no sabemos de antemano cuanto pesara la viga, procedemos mediante ensayo y error como sigue: 1) calculamos el modulo de seccion requerido con base en la carga uniforme dada, 2) escogemos un tamaño de prueba para la viga, 3) añadimos el peso de la viga a la carga uniforme y calculamos un nuevo modulo de seccion requerido y 4) comprobamos que la viga elegida sea satisfactoria. Si no lo es, seleccionamos una viga mayor y repetimos el proceso.

1) El momento flexionante máximo en la viga ocurre en el centro del claro:

Mmax = qL2

8 = (420 lbpie )(12 pies)2(12 pulgpie )

8 = 90 720 lb-pulg

S = Mmaxperm

= ¿90720lb−pulg1800 lb / pulg 2 = 50.40 pulg3

2) De la tabla de Propiedades de la madera estructural encontrada en el libro

vemos que la viga Apéndice F más ligera con un modulo de seccion de por lo

menos 50. 40 pulg3 respecto al eje 1-1 es una viga de 3 x 12 (dimensiones

nominales). Esta viga tiene un modulo de seccion igual a 52.73pulg3 y pesa 6.8

lb/pie.

3) La carga uniforme sobre la viga es de 426.8 lb/pie y el modulo de seccion

requerido correspondiente es

S = (50.40pulg3) 426.8 lb/pie /420 lb/pie = 51.22 pulg3

4) La viga seleccionada tiene un modulo de seccion de 52.73 pulg3, que es mayor

que el modulo

Por tanto, una viga de 3 x 12pulg es satisfactoria.

ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS DE SECCION TRANSVERSAL RECTANGULAR

Cuando una viga está sometida a flexión pura, las únicas resultantes de esfuerzo son los momentos flexionantes y los únicos esfuerzos son los esfuerzos normales que actúan sobre las secciones transversales. Sin embargo, la mayoría de las vigas están sometidas a cargas que producen tanto momentos flexionantes como fuerzas cortantes( flexión no uniforme ). En estos casos, se desarrollan esfuerzos normales y cortantes en la viga. Los esfuerzos normales se calculan con la formula de la flexión, siempre que la viga este construida con un material elástico-lineal.

ESFUERZOS CORTANTES VERTICAL Y HORIZONTAL

Consideremos una viga de seccion transversal rectangular ( ancho b y peralte h ) sometida a una fuerza cortante positiva V.

y

b

n

h 0

m

z v x

Es razonable suponer que los esfuerzos cortantes que actúan sobre la seccion transversal son paralelos a la fuerza cortante; es decir, paralelos a los lados verticales de la seccion transversal. También cabe suponer que los esfuerzos cortantes están uniformemente distribuidos a través del ancho de la viga, aunque ellos pueden variar según el peralte. Con base en estas dos hipótesis, podemos determinar la intensidad del esfuerzo cortante en cualquier punto sobre la seccion transversal.

Para fines de análisis, aislamos un pequeño elemento mn de la viga, cortando entre dos secciones transversales adyacentes y entre dos planos horizontales. De

acuerdo con nuestras hipótesis, los esfuerzos cortantes que actúan sobre la cara frontal de este elemento son verticales y uniformemente distribuidos de un lado de la viga a otro. Además, del análisis de los esfuerzos cortantes , sabemos que los esfuerzos cortantes que actúan sobre un lado de un elemento van acompañados por esfuerzos cortantes de igual magnitud que actúan sobre caras perpendiculares del elemento. Así, se tienen esfuerzos cortantes horizontales entre capas horizontales de la viga y esfuerzos cortantes verticales sobre las secciones transversales. En cualquier punto de la viga, estos esfuerzos cortantes complementarios son iguales en magnitud.

La igualdad de los esfuerzos cortantes horizontales y verticales que actúan sobre un elemento conduce a una conclusión importante respecto a los esfuerzos cortantes en la parte superior e inferior de la viga, si imaginamos que el elemento mn esta localizado ya sea en la parte superior o en la inferior, vemos que los esfuerzos cortantes horizontales deben desaparecer porque no hay esfuerzos sobre las superficies exteriores de la viga. Se infiere que los esfuerzos cortantes verticales también deben desaparecer en esas posiciones; en otras palabras, =0 donde y= ± h I 2.

La existencia de esfuerzos cortantes horizontales en una viga puede demostrarse por medio de un sencillo experimento. Se colocan dos vigas rectangulares idénticas sobre apoyos simples y se cargan con una fuerza P. Si la fricción entre las vigas es pequeña, se flexionaran en forma independiente.

P

Cada viga en compresión arriba de su propio eje neutro y en tensión abajo de este; por lo tanto, la superficie inferior de la viga superior se deslizara con respecto a la superficie superior de la viga inferior.

Supongamos ahora que las dos vigas están pegadas a lo largo de la superficie de contacto, de manera que forman una viga solida única. Cuando esta viga se carga, deben desarrollarse esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de la superficie pegada para impedir el deslizamiento. Debido a la presencia de estos esfuerzos

cortantes, la viga solida es mucho más rígida y fuerte que las dos vigas separadas.

OBTENCION DE LA FORMULA DEL ESFUERZO CORTANTE

Ahora estamos listos para obtener una fórmula para los esfuerzos cortantes en una viga rectangular. Sin embargo, en vez de evaluar los esfuerzos cortantes verticales que actúan sobre una seccion transversal, es más fácil evaluar los esfuerzos cortantes horizontales que actúan entre capas de la viga. Por supuesto, los esfuerzos cortantes verticales tienen la misma magnitud que los esfuerzos cortantes horizontales.

Con este procedimiento en mente, consideremos una viga en flexión no uniforme. Tomamos dos secciones transversales adyacentes mn y m1n1, a una distancia dx entre ellas y consideramos el elemento mm1n1n . El momento flexionante y la fuerza cortante que actúan sobre la cara izquierda del elemento se denotan con M y V, respectivamente. Como el momento flexionante y la fuerza cortante pueden cambiar a lo largo del eje de la viga, las cantidades correspondientes sobre la cara derecha se denotan M dM y V dV.

Debido a la presencia de los momentos flexionantes y fuerzas cortantes, el elemento está sometido a esfuerzos normales y cortantes sobre ambas cara seccionales. Ahora bien, puesto que solo necesitamos los esfuerzos normales en la siguiente deducción.

Sobre las secciones transversales mn y m1n1, los esfuerzos normales son, respectivamente.

1= - My / y 2= - ( M dM ) y / ( a, b )

EJEMPLO:

Una viga de madera AB que sostiene dos cargas concentradas P tiene una seccion transversal rectangular de ancho b = 100 mm y peralte h = 150 mm. Las distancias de los extremos de la viga a las cargas son a = 0.5 m.

Determinar el valor permisible máximo Pmax de las cargas si el esfuerzo permisible por flexión es perm = 11 MPa (en compresión y en tensión) y el esfuerzo permisible en cortante horizontal es perm = 1.2 MPa. (Despreciar el peso de la viga)

Nota: Las vigas de madera son mucho mas débiles en cortante horizontal (cortante paralelo a las fibras longitudinales de la madera) que en cortante transversal de contra-hilo (cortante sobre las secciones transversales); en

consecuencia, generalmente se considera para el diseño el esfuerzo permisible en cortante horizontal)

P P

A B

a a

y

z 0 h

b

Viga de madera con cargas concentradas

SOLUCION:

La fuerza cortante máxima se presenta en los apoyos y el momento flexionante máximo, en toda la región entre las cargas. Sus valores son

Vmax = P Mmax = Pa

El modulo de seccion S y el área transversal A son

S= bh2

6 A = bh

Los esfuerzos máximos normal y cortante en la viga se obtienen con las formulas de la flexión y el cortante:

max = MmaxS =

6 Pa

bh2 max =

3Vmax2 A =

3 P2bh

Por tanto, los respectivos valores permisibles máximos para la carga P en flexión y cortante, son

Pflexion = permbh2

6 a Pconstante = 2 permbh

❑

3

Sustituimos los valores numéricos en estas formulas y obtenemos:

Pflexion = (11MPa ) (100mm )(150mm)2

6(.05m) = 8.25 kN

Pcortante = 2 (1.2MPa ) (100mm )(150mm)❑

3 = 12.0 kN

Así, el esfuerzo flexionante rige el diseño y la carga permisible máxima es

Pmax = 8.25 kN

Un análisis mas completo de esta viga requerida incluir el peso de la viga, lo que reducia la carga permisible.

Nota:1) En este ejemplo, los esfuerzos normales máximos y los esfuerzos cortantes máximos no se presentan en la misma posición en la viga; el esfuerzo normal es máximo en la región central de la viga en las partes superior e inferior de la seccion transversal y el esfuerzo cortante es máximo cerca de los apoyos en el eje neutro de la seccion transversal.

2) En la mayoría de las vigas, los esfuerzos de flexión(no los esfuerzos cortantes)rigen la carga permisible, como en este ejemplo.

3) Aunque la madera no es un material homogéneo y a menudo se aleja de un comportamiento elástico lineal, podemos obtener buenos resultados aproximados con las formulas de la flexión y el cortante. Esos resultados aproximados suelen ser adecuados para diseñar vigas de madera.