I dvoqas veжbi

dr Vladimir Balti�

1. Iskazni raqun

Teorijski uvod

Definicija 1.

Iskaz je bilo koja smislena kategoriqnareqenica za koju se moжe utvrditi da li jeistinita ili neistinita.

Definicija 1.

Iskaz je bilo koja smislena kategoriqnareqenica za koju se moжe utvrditi da li jeistinita ili neistinita.

Iskaze obeleжavamo malim slovima:

p, q, r, s, . . . , a, b, c, d...

Istinitosnu vrednost iskaza p oznaqavamosa v(p)

• v(p) = 1 ako je iskaz p taqan

• v(p) = 0 ako je iskaz p netaqan

Iskaze obeleжavamo malim slovima:

p, q, r, s, . . . , a, b, c, d...

Istinitosnu vrednost iskaza p oznaqavamosa v(p)

• v(p) = 1 ako je iskaz p taqan

• v(p) = 0 ako je iskaz p netaqan

(oznake ⊤ i ⊥ su stare 2 veka i nisu primereneeri raqunara, a i vizuelno se mnogo slabijerazlikuju).

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“

jeste iskaz

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“

jeste iskaz v(p) = 1.

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Kruxevac je najve�i grad u Evropi.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Kruxevac je najve�i grad u Evropi.“

jeste iskaz

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Kruxevac je najve�i grad u Evropi.“

jeste iskaz v(p) = 0.

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“

jeste iskaz

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“

jeste iskaz v(p) = 0 – Vrxaqki breg je vixi!

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180◦.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180◦.“

jeste iskaz

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180◦.“

jeste iskaz v(p) = 1 ako podrazumevamo da seradi o standardnoj, Euklidskoj geometriji!

U Rimanovoj geoemetriji je > 180◦.

U geoemetriji Lobaqevskog je < 180◦.

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Ako su p i 11p − 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7sloжen.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Ako su p i 11p − 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7sloжen.“

jeste iskaz v(p) =?.

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Ako su p i 11p − 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7sloжen.“

jeste iskaz v(p) =?

p i 11p − 7 su 6= parnosti, pa mora biti p = 2i onda je 11p − 7 = 15, xto nije prost broj.Dakle, reqenica ,,p i 11p − 7 prosti brojevi“je netaqna za sve prirodne brojeve p! Kasnije�emo videti da je implikacija a ⇒ b taqnakada je v(a) = 0, pa je ovaj iskaz uvek taqan!

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Danas je lep dan.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Danas je lep dan.“

nije iskaz

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Danas je lep dan.“

nije iskaz

Ovo jeste kategoriqna reqenica, ali Ƭenuistinitosnu vrednost ne moжemo utvrditi!

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Koska pevajmo plavo nisam kako.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Koska pevajmo plavo nisam kako.“

nije iskaz

Ovo reqenica nema nikakvog smisla, pa nemoжemo govoriti o Ƭenoj istinitosnoj vred-nosti!

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Koliko je sati?“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Koliko je sati?“

nije iskaz

Ovo nije kategoriqna reqenica, nego upitnareqenica!

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Ova reqenica nije istinita.“

Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):

,,Ova reqenica nije istinita.“

nije iskaz

Ovo jeste kategoriqna reqenica, ali ne moжe-mo utvrditi Ƭenu istinitosnu vrednost!

Paradoks berberina (izveden iz Raselovog)moжe da se formulixe kao:

Pretpostavimo da postoji selo sa samo jednimberberinom. Tako�e, pretpostavimo da su svimuxkarci u selu obrijani: neki se briju sa-mi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno dase berberin ponaxa na slede�i naqin: on bri-je sve one, i samo one Ʃude koji se ne brijusami.

Po ovom scenariju, postavƩa se slede�e pi-taƬe: Da li berberin brije samog sebe?

Paradoks berberina (izveden iz Raselovog)moжe da se formulixe kao:

Pretpostavimo da postoji selo sa samo jednimberberinom. Tako�e, pretpostavimo da su svimuxkarci u selu obrijani: neki se briju sa-mi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno dase berberin ponaxa na slede�i naqin: on bri-je sve one, i samo one Ʃude koji se ne brijusami.

Po ovom scenariju, postavƩa se slede�e pi-taƬe: Da li berberin brije samog sebe?Kada se postavi ovo pitaƬe, uoqava se da jeova situacija u stvari nemogu�a:

Po ovom scenariju, postavƩa se slede�e pi-taƬe: Da li berberin brije samog sebe?Kada se postavi ovo pitaƬe, uoqava se daje situacija predstavƩena ovim uslovima ustvari nemogu�a:

• Ako berberin ne brije sebe, mora dapoxtuje svoje pravilo, i da brije sebe.

• Ako berberin brije sebe, po svompravilu ne�e brijati sebe.

Iskazne operacije

negacija q p

,,nije p“, ,,ne p“

p q p0 11 0

konjunkcija p ∧ q

,,p i q“;p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

0 ∧ q = 0, 1 ∧ q = q, (p ∧ 0 = 0, p ∧ 1 = p).

disjunkcija p ∨ q

,,p ili q“;p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

0 ∨ q = q, 1 ∨ q = 1, (p ∨ 0 = p, p ∨ 1 = 1).

ekskluzivna disjunkcija p ∨ q

,,ili p ili q“;

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 0

0 ∨ q = q, 1 ∨ q = q q, (p ∨ 0 = p, p ∨ 1 = q p).

implikacija p ⇒ q

,,iz p sledi q“, ,,ako p onda q“,

,,p je dovoƩan uslov za q“,

,,q je potreban uslov za p“,

,,q je neophodan uslov za p“;

p q p ⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1

0 ⇒ q = 1, 1 ⇒ q = q, p ⇒ 0 = q p, p ⇒ 1 = 1.

ekvivalencija p ⇔ q

,,p je ekvivalentno sa q“,

,,ako i samo ako p onda q“ (,,akko p onda q“),

,,p je i potreban i dovoƩan uslov za q“.

p q p ⇔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1

0 ⇔ q = q q, 1 ⇔ q = q, (p ⇔ 0 = q p, p ⇔ 1 = p).

KombinovaƬem konaqnog broja

• iskaznih promenƩivih,

• simbola 0 i 1,

• zagrada,

• iskaznih operacija

dobijamo iskaznu formulu.

Iskazna formula koja je za sve vrednostiiskaznih promenƩivih taqna naziva setautologija, a ona koja je uvek netaqna jekontradikcija.

IspitivaƬe da li je neka formulatautologija (kontradikcija) ili nije moжemoraditi nekim od slede�ih naqina:

• pomo�u tablice istinitosti;

• korix�eƬem poznatih tautologija;

• suprotnom pretpostavkom (svo�eƬem naapsurd);

• diskusijom po slovu.

Prioritet operacija:

• (zagrade)

Prioritet operacija:

• (zagrade)

• q

Prioritet operacija:

• (zagrade)

• q

• ∧ , ∨

Prioritet operacija:

• (zagrade)

• q

• ∧ , ∨

• ∨ , ⇒, ⇔.

SDNF:

gledamo SVE 1 u F

1 → p, 0 → q p

SDNF:

gledamo SVE 1 u F

1 → p, 0 → q p

sve 0 ⇒ nema SDNF;

IMA DNF: m ∧ qm (to je i KNF!).

SDNF:

gledamo SVE 1 u F

1 → p, 0 → q p

sve 0 ⇒ nema SDNF;

IMA DNF: m ∧ qm (to je i KNF!).

SKNF:

gledamo SVE 0 u F

0 → p, 1 → q p.

sve 1 ⇒ nema SKNF;

IMA KNF: m ∨ q m (to je i DNF!).

Zadaci

1.57. 1. Probni I kolokvijum 2008.

Da li je ispravno zakƩuqivaƬe:

• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.

• Milan je dobio dobru ocenu.

• Bilo je texkih zadataka.

• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.

Oznaqimo iskaze:

p = ,,Milan je dobio dobru ocenu“,

q = ,,Milan je grexio“,

r = ,,bili su laki zadaci“,

s = ,,Milan je znao sve formule“.

• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.

• Milan je dobio dobru ocenu.

• Bilo je texkih zadataka.

• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.

• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).

• Milan je dobio dobru ocenu.

• Bilo je texkih zadataka.

• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.

• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).

• Milan je dobio dobru ocenu.b = p.

• Bilo je texkih zadataka.

• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.

• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).

• Milan je dobio dobru ocenu.b = p.

• Bilo je texkih zadataka.c = q r.

• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.

• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).

• Milan je dobio dobru ocenu.b = p.

• Bilo je texkih zadataka.c = q r.

• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.d = a ∧ b ∧ c ⇒ q q, tj.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q.

d = a ∧ b ∧ c ⇒ q q,

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

I naqin (pomo�u tablice istinitosti):

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 0

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 1 00 0 0 1 1 00 0 1 0 1 00 0 1 1 1 10 1 0 0 0 00 1 0 1 0 00 1 1 0 0 00 1 1 1 0 11 0 0 0 1 01 0 0 1 1 01 0 1 0 1 01 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 0 1 0 01 1 1 0 0 01 1 1 1 0 1

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 1 0 10 0 0 1 1 0 10 0 1 0 1 0 10 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 00 1 1 0 0 0 00 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 11 0 0 1 1 0 11 0 1 0 1 0 11 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 01 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 10 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 10 1 1 0 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 0 1 11 0 1 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 1 0 1 1 10 0 0 1 1 0 1 1 10 0 1 0 1 0 1 1 00 0 1 1 1 1 1 1 00 1 0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 0 0 1 00 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 01 0 1 1 1 1 1 1 01 1 0 0 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1 0

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 1 0 1 1 1 00 0 0 1 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 0 1 1 0 00 0 1 1 1 1 1 1 0 00 1 0 0 0 0 0 1 1 00 1 0 1 0 0 0 1 1 00 1 1 0 0 0 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 1 0 01 0 0 0 1 0 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 0 01 0 1 1 1 1 1 1 0 01 1 0 0 0 0 0 0 1 01 1 0 1 0 0 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1 0 0

b a c L d

p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q

0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 10 0 0 1 1 0 1 1 1 0 10 0 1 0 1 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 0 0 11 0 0 0 1 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 0 0 11 0 1 1 1 1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 1 0 11 1 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1

II naqin (diskusijom po slovu):

Metoda diskusije po slovu se sastoji da redomidemo po sluqajevima kada je neka iskaznapromenƩiva jednaka 0, odnosno 1.

Prvo se zameƬuju vrednosti promenƩive kojase najvixe puta javƩa u datoj formuli.Zatim za novodobijenu formulu primenimometodu diskusije po slovu (ili neku drugumetodu) da bi ispitali da li je onatautologija (ili kontradikcija) ili nije.Ukoliko smo u svim sluqajevima dobili 1,onda je tautologija, a ako postoji 0, onda nijetautologija.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 formula postaje:

d =(

(

p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 formula postaje:

d =(

(

p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d =(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 formula postaje:

d =(

(

p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d =(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

U d slova p, q i r se javƩaju 2 puta, a s 1 put.

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 formula postaje:

d =(

(

p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d =(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ 0

d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

Sada nastavƩamo diskusiju po slede�em slovu,npr. p.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

2◦a) p = 0 d = q

(

(

0 ⇒ (r ∧ s))

∧ 0 ∧ q r)

tj. q 0 = 1.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

2◦a) p = 0 d = q

(

(

0 ⇒ (r ∧ s))

∧ 0 ∧ q r)

tj. q 0 = 1.

2◦b) p = 1 d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ 1 ∧ q r)

d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ q r)

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

2◦a) p = 0 d = q

(

(

0 ⇒ (r ∧ s))

∧ 0 ∧ q r)

tj. q 0 = 1.

2◦b) p = 1 d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ 1 ∧ q r)

d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ q r)

,

d = q

(

(r ∧ s) ∧ q r)

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

2◦a) p = 0 d = q

(

(

0 ⇒ (r ∧ s))

∧ 0 ∧ q r)

tj. q 0 = 1.

2◦b) p = 1 d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ 1 ∧ q r)

d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ q r)

,

d = q

(

(r ∧ s) ∧ q r)

, tj. d = q

(

r ∧ s ∧ q r)

.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

2◦a) p = 0 d = q

(

(

0 ⇒ (r ∧ s))

∧ 0 ∧ q r)

tj. q 0 = 1.

2◦b) p = 1 d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ 1 ∧ q r)

d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ q r)

,

d = q

(

r ∧ s ∧ q r)

= q 0 = 1.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

II naqin (diskusijom po slovu):

1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;

2◦ q = 1 d = q

(

(

p ⇒ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

2◦a) p = 0 d = q

(

(

0 ⇒ (r ∧ s))

∧ 0 ∧ q r)

,

tj. q 0 = 1.

2◦b) p = 1 d = q

(

(

1 ⇒ (r ∧ s))

∧ 1 ∧ q r)

,

d = q

(

r ∧ s ∧ q r)

= q 0 = 1.

U svim sluqajevima je d = 1, d je tautologija⇒ ispravno je zakƩuqivaƬe.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Metoda suprotnom pretpostavkom (svo�eƬemna apsurd) se sastoji od toga da pretpostavimo

da data formula F nije uvek 1.

Ako polaze�i od te pretpostavke dobijemokontradikciju (apsurd), onda polazna pret-postavka da F nije uvek 1 nije dobra, qimesmo pokazali da je F tautologija.Ako ne dobijemo kontradikciju, nego do�emodo vrednosti iskaznih promenƩivih za koje F

je 0, time smo pokazali da F nije tautologija.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:

1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:

1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:

1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:

1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:

1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0, tj. v(a) = 0, xto jekontradikcija sa v(a) = 1

d =(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

⇒ q q

III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):

Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je

mogu�e ako je v(

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

∧ p ∧ q r)

= 1

i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v

(

p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))

= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.

Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:

1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0, xto sa v(a) = 1Ne vaжi polazna pretpostavka v(d) = 0, pavaжi v(d) = 1, tj. d je tautologija⇒ zakƩuqivaƬe je ispravno.

KRAJ QASA