![Page 1: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/1.jpg)
I dvoqas veжbi
dr Vladimir Balti�
1. Iskazni raqun
![Page 2: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/2.jpg)
Teorijski uvod
Definicija 1.
Iskaz je bilo koja smislena kategoriqnareqenica za koju se moжe utvrditi da li jeistinita ili neistinita.
![Page 3: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/3.jpg)
Definicija 1.
Iskaz je bilo koja smislena kategoriqnareqenica za koju se moжe utvrditi da li jeistinita ili neistinita.
Iskaze obeleжavamo malim slovima:
p, q, r, s, . . . , a, b, c, d...
Istinitosnu vrednost iskaza p oznaqavamosa v(p)
• v(p) = 1 ako je iskaz p taqan
• v(p) = 0 ako je iskaz p netaqan
![Page 4: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/4.jpg)
Iskaze obeleжavamo malim slovima:
p, q, r, s, . . . , a, b, c, d...
Istinitosnu vrednost iskaza p oznaqavamosa v(p)
• v(p) = 1 ako je iskaz p taqan
• v(p) = 0 ako je iskaz p netaqan
(oznake ⊤ i ⊥ su stare 2 veka i nisu primereneeri raqunara, a i vizuelno se mnogo slabijerazlikuju).
![Page 5: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/5.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“
![Page 6: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/6.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“
jeste iskaz
![Page 7: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/7.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Spomenik pobedniku se nalazi na Kalemegdanu.“
jeste iskaz v(p) = 1.
![Page 8: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/8.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Kruxevac je najve�i grad u Evropi.“
![Page 9: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/9.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Kruxevac je najve�i grad u Evropi.“
jeste iskaz
![Page 10: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/10.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Kruxevac je najve�i grad u Evropi.“
jeste iskaz v(p) = 0.
![Page 11: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/11.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“
![Page 12: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/12.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“
jeste iskaz
![Page 13: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/13.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Fruxka gora je najvixa planina u Vojvodini.“
jeste iskaz v(p) = 0 – Vrxaqki breg je vixi!
![Page 14: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/14.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180◦.“
![Page 15: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/15.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180◦.“
jeste iskaz
![Page 16: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/16.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Zbir uglova u trouglu je jednak 180◦.“
jeste iskaz v(p) = 1 ako podrazumevamo da seradi o standardnoj, Euklidskoj geometriji!
U Rimanovoj geoemetriji je > 180◦.
U geoemetriji Lobaqevskog je < 180◦.
![Page 17: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/17.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Ako su p i 11p − 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7sloжen.“
![Page 18: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/18.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Ako su p i 11p − 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7sloжen.“
jeste iskaz v(p) =?.
![Page 19: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/19.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Ako su p i 11p − 7 prosti brojevi, onda je 2p + 7sloжen.“
jeste iskaz v(p) =?
p i 11p − 7 su 6= parnosti, pa mora biti p = 2i onda je 11p − 7 = 15, xto nije prost broj.Dakle, reqenica ,,p i 11p − 7 prosti brojevi“je netaqna za sve prirodne brojeve p! Kasnije�emo videti da je implikacija a ⇒ b taqnakada je v(a) = 0, pa je ovaj iskaz uvek taqan!
![Page 20: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/20.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Danas je lep dan.“
![Page 21: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/21.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Danas je lep dan.“
nije iskaz
![Page 22: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/22.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Danas je lep dan.“
nije iskaz
Ovo jeste kategoriqna reqenica, ali Ƭenuistinitosnu vrednost ne moжemo utvrditi!
![Page 23: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/23.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Koska pevajmo plavo nisam kako.“
![Page 24: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/24.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Koska pevajmo plavo nisam kako.“
nije iskaz
Ovo reqenica nema nikakvog smisla, pa nemoжemo govoriti o Ƭenoj istinitosnoj vred-nosti!
![Page 25: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/25.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Koliko je sati?“
![Page 26: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/26.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Koliko je sati?“
nije iskaz
Ovo nije kategoriqna reqenica, nego upitnareqenica!
![Page 27: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/27.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Ova reqenica nije istinita.“
![Page 28: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/28.jpg)
Primer 1. Utvrditi koje od slede�ihreqenica su iskazi i v(p):
,,Ova reqenica nije istinita.“
nije iskaz
Ovo jeste kategoriqna reqenica, ali ne moжe-mo utvrditi Ƭenu istinitosnu vrednost!
![Page 29: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/29.jpg)
Paradoks berberina (izveden iz Raselovog)moжe da se formulixe kao:
Pretpostavimo da postoji selo sa samo jednimberberinom. Tako�e, pretpostavimo da su svimuxkarci u selu obrijani: neki se briju sa-mi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno dase berberin ponaxa na slede�i naqin: on bri-je sve one, i samo one Ʃude koji se ne brijusami.
Po ovom scenariju, postavƩa se slede�e pi-taƬe: Da li berberin brije samog sebe?
![Page 30: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/30.jpg)
Paradoks berberina (izveden iz Raselovog)moжe da se formulixe kao:
Pretpostavimo da postoji selo sa samo jednimberberinom. Tako�e, pretpostavimo da su svimuxkarci u selu obrijani: neki se briju sa-mi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno dase berberin ponaxa na slede�i naqin: on bri-je sve one, i samo one Ʃude koji se ne brijusami.
Po ovom scenariju, postavƩa se slede�e pi-taƬe: Da li berberin brije samog sebe?Kada se postavi ovo pitaƬe, uoqava se da jeova situacija u stvari nemogu�a:
![Page 31: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/31.jpg)
Po ovom scenariju, postavƩa se slede�e pi-taƬe: Da li berberin brije samog sebe?Kada se postavi ovo pitaƬe, uoqava se daje situacija predstavƩena ovim uslovima ustvari nemogu�a:
• Ako berberin ne brije sebe, mora dapoxtuje svoje pravilo, i da brije sebe.
• Ako berberin brije sebe, po svompravilu ne�e brijati sebe.
![Page 32: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/32.jpg)
Iskazne operacije
negacija q p
,,nije p“, ,,ne p“
p q p0 11 0
![Page 33: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/33.jpg)
konjunkcija p ∧ q
,,p i q“;p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
0 ∧ q = 0, 1 ∧ q = q, (p ∧ 0 = 0, p ∧ 1 = p).
![Page 34: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/34.jpg)
disjunkcija p ∨ q
,,p ili q“;p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
0 ∨ q = q, 1 ∨ q = 1, (p ∨ 0 = p, p ∨ 1 = 1).
![Page 35: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/35.jpg)
ekskluzivna disjunkcija p ∨ q
,,ili p ili q“;
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
0 ∨ q = q, 1 ∨ q = q q, (p ∨ 0 = p, p ∨ 1 = q p).
![Page 36: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/36.jpg)
implikacija p ⇒ q
,,iz p sledi q“, ,,ako p onda q“,
,,p je dovoƩan uslov za q“,
,,q je potreban uslov za p“,
,,q je neophodan uslov za p“;
p q p ⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1
0 ⇒ q = 1, 1 ⇒ q = q, p ⇒ 0 = q p, p ⇒ 1 = 1.
![Page 37: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/37.jpg)
ekvivalencija p ⇔ q
,,p je ekvivalentno sa q“,
,,ako i samo ako p onda q“ (,,akko p onda q“),
,,p je i potreban i dovoƩan uslov za q“.
p q p ⇔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1
0 ⇔ q = q q, 1 ⇔ q = q, (p ⇔ 0 = q p, p ⇔ 1 = p).
![Page 38: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/38.jpg)
KombinovaƬem konaqnog broja
• iskaznih promenƩivih,
• simbola 0 i 1,
• zagrada,
• iskaznih operacija
dobijamo iskaznu formulu.
Iskazna formula koja je za sve vrednostiiskaznih promenƩivih taqna naziva setautologija, a ona koja je uvek netaqna jekontradikcija.
![Page 39: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/39.jpg)
IspitivaƬe da li je neka formulatautologija (kontradikcija) ili nije moжemoraditi nekim od slede�ih naqina:
• pomo�u tablice istinitosti;
• korix�eƬem poznatih tautologija;
• suprotnom pretpostavkom (svo�eƬem naapsurd);
• diskusijom po slovu.
![Page 40: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/40.jpg)
Prioritet operacija:
• (zagrade)
![Page 41: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/41.jpg)
Prioritet operacija:
• (zagrade)
• q
![Page 42: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/42.jpg)
Prioritet operacija:
• (zagrade)
• q
• ∧ , ∨
![Page 43: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/43.jpg)
Prioritet operacija:
• (zagrade)
• q
• ∧ , ∨
• ∨ , ⇒, ⇔.
![Page 44: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/44.jpg)
SDNF:
gledamo SVE 1 u F
1 → p, 0 → q p
![Page 45: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/45.jpg)
SDNF:
gledamo SVE 1 u F
1 → p, 0 → q p
sve 0 ⇒ nema SDNF;
IMA DNF: m ∧ qm (to je i KNF!).
![Page 46: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/46.jpg)
SDNF:
gledamo SVE 1 u F
1 → p, 0 → q p
sve 0 ⇒ nema SDNF;
IMA DNF: m ∧ qm (to je i KNF!).
SKNF:
gledamo SVE 0 u F
0 → p, 1 → q p.
sve 1 ⇒ nema SKNF;
IMA KNF: m ∨ q m (to je i DNF!).
![Page 47: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/47.jpg)
Zadaci
1.57. 1. Probni I kolokvijum 2008.
Da li je ispravno zakƩuqivaƬe:
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.
• Milan je dobio dobru ocenu.
• Bilo je texkih zadataka.
• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.
![Page 48: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/48.jpg)
Oznaqimo iskaze:
p = ,,Milan je dobio dobru ocenu“,
q = ,,Milan je grexio“,
r = ,,bili su laki zadaci“,
s = ,,Milan je znao sve formule“.
![Page 49: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/49.jpg)
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.
• Milan je dobio dobru ocenu.
• Bilo je texkih zadataka.
• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.
![Page 50: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/50.jpg)
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).
• Milan je dobio dobru ocenu.
• Bilo je texkih zadataka.
• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.
![Page 51: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/51.jpg)
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).
• Milan je dobio dobru ocenu.b = p.
• Bilo je texkih zadataka.
• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.
![Page 52: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/52.jpg)
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).
• Milan je dobio dobru ocenu.b = p.
• Bilo je texkih zadataka.c = q r.
• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.
![Page 53: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/53.jpg)
• Ako je Milan dobio dobru ocenu, ondanije grexio ili su bili laki zadaci iznao je sve formule.a = p ⇒ q q ∨ (r ∧ s).
• Milan je dobio dobru ocenu.b = p.
• Bilo je texkih zadataka.c = q r.
• Na osnovu svega prethodnog sledi daMilan nije grexio.d = a ∧ b ∧ c ⇒ q q, tj.
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q.
![Page 54: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/54.jpg)
d = a ∧ b ∧ c ⇒ q q,
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
I naqin (pomo�u tablice istinitosti):
![Page 55: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/55.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1
![Page 56: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/56.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 0
![Page 57: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/57.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 1 00 0 0 1 1 00 0 1 0 1 00 0 1 1 1 10 1 0 0 0 00 1 0 1 0 00 1 1 0 0 00 1 1 1 0 11 0 0 0 1 01 0 0 1 1 01 0 1 0 1 01 0 1 1 1 11 1 0 0 0 01 1 0 1 0 01 1 1 0 0 01 1 1 1 0 1
![Page 58: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/58.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 1 0 10 0 0 1 1 0 10 0 1 0 1 0 10 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 00 1 1 0 0 0 00 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 11 0 0 1 1 0 11 0 1 0 1 0 11 0 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 01 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1
![Page 59: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/59.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 10 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 10 1 1 0 0 0 0 10 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 1 0 1 11 0 0 1 1 0 1 11 0 1 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1
![Page 60: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/60.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 1 0 1 1 10 0 0 1 1 0 1 1 10 0 1 0 1 0 1 1 00 0 1 1 1 1 1 1 00 1 0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 0 0 1 00 1 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 01 0 1 1 1 1 1 1 01 1 0 0 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1 0
![Page 61: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/61.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 1 0 1 1 1 00 0 0 1 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 0 1 1 0 00 0 1 1 1 1 1 1 0 00 1 0 0 0 0 0 1 1 00 1 0 1 0 0 0 1 1 00 1 1 0 0 0 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 1 0 01 0 0 0 1 0 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 0 01 0 1 1 1 1 1 1 0 01 1 0 0 0 0 0 0 1 01 1 0 1 0 0 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1 0 0
![Page 62: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/62.jpg)
b a c L d
p q r s q q r∧s q q∨(r∧s) p⇒q q∨(r∧s) q r a∧b∧c L⇒q q
0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 10 0 0 1 1 0 1 1 1 0 10 0 1 0 1 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 1 1 0 10 1 0 1 0 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 1 1 0 0 11 0 0 0 1 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 1 0 0 11 0 1 1 1 1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 1 0 11 1 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1
![Page 63: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/63.jpg)
II naqin (diskusijom po slovu):
Metoda diskusije po slovu se sastoji da redomidemo po sluqajevima kada je neka iskaznapromenƩiva jednaka 0, odnosno 1.
Prvo se zameƬuju vrednosti promenƩive kojase najvixe puta javƩa u datoj formuli.Zatim za novodobijenu formulu primenimometodu diskusije po slovu (ili neku drugumetodu) da bi ispitali da li je onatautologija (ili kontradikcija) ili nije.Ukoliko smo u svim sluqajevima dobili 1,onda je tautologija, a ako postoji 0, onda nijetautologija.
![Page 64: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/64.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.
![Page 65: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/65.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
![Page 66: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/66.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 formula postaje:
d =(
(
p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
![Page 67: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/67.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 formula postaje:
d =(
(
p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
d =(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
![Page 68: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/68.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
U formuli d slova p, q i r se javƩaju po 2puta, a s 1 put.
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 formula postaje:
d =(
(
p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
d =(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
![Page 69: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/69.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
U d slova p, q i r se javƩaju 2 puta, a s 1 put.
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 formula postaje:
d =(
(
p ⇒ 0 ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
d =(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ 0
d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
Sada nastavƩamo diskusiju po slede�em slovu,npr. p.
![Page 70: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/70.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
2◦a) p = 0 d = q
(
(
0 ⇒ (r ∧ s))
∧ 0 ∧ q r)
tj. q 0 = 1.
![Page 71: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/71.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
2◦a) p = 0 d = q
(
(
0 ⇒ (r ∧ s))
∧ 0 ∧ q r)
tj. q 0 = 1.
2◦b) p = 1 d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ 1 ∧ q r)
d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ q r)
![Page 72: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/72.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
2◦a) p = 0 d = q
(
(
0 ⇒ (r ∧ s))
∧ 0 ∧ q r)
tj. q 0 = 1.
2◦b) p = 1 d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ 1 ∧ q r)
d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ q r)
,
d = q
(
(r ∧ s) ∧ q r)
![Page 73: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/73.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
2◦a) p = 0 d = q
(
(
0 ⇒ (r ∧ s))
∧ 0 ∧ q r)
tj. q 0 = 1.
2◦b) p = 1 d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ 1 ∧ q r)
d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ q r)
,
d = q
(
(r ∧ s) ∧ q r)
, tj. d = q
(
r ∧ s ∧ q r)
.
![Page 74: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/74.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
2◦a) p = 0 d = q
(
(
0 ⇒ (r ∧ s))
∧ 0 ∧ q r)
tj. q 0 = 1.
2◦b) p = 1 d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ 1 ∧ q r)
d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ q r)
,
d = q
(
r ∧ s ∧ q r)
= q 0 = 1.
![Page 75: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/75.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
II naqin (diskusijom po slovu):
1◦ q = 0 formula je nexto ⇒ 1, xto je 1;
2◦ q = 1 d = q
(
(
p ⇒ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
2◦a) p = 0 d = q
(
(
0 ⇒ (r ∧ s))
∧ 0 ∧ q r)
,
tj. q 0 = 1.
2◦b) p = 1 d = q
(
(
1 ⇒ (r ∧ s))
∧ 1 ∧ q r)
,
d = q
(
r ∧ s ∧ q r)
= q 0 = 1.
U svim sluqajevima je d = 1, d je tautologija⇒ ispravno je zakƩuqivaƬe.
![Page 76: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/76.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Metoda suprotnom pretpostavkom (svo�eƬemna apsurd) se sastoji od toga da pretpostavimo
da data formula F nije uvek 1.
Ako polaze�i od te pretpostavke dobijemokontradikciju (apsurd), onda polazna pret-postavka da F nije uvek 1 nije dobra, qimesmo pokazali da je F tautologija.Ako ne dobijemo kontradikciju, nego do�emodo vrednosti iskaznih promenƩivih za koje F
je 0, time smo pokazali da F nije tautologija.
![Page 77: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/77.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0.
![Page 78: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/78.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.
![Page 79: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/79.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
![Page 80: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/80.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:
1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)
![Page 81: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/81.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:
1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0
![Page 82: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/82.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:
1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0
![Page 83: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/83.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:
1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0
![Page 84: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/84.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:
1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0, tj. v(a) = 0, xto jekontradikcija sa v(a) = 1
![Page 85: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/85.jpg)
d =(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
⇒ q q
III naqin (svo�eƬem na apsurd / suprotnom pretpost.):
Pretpostavimo suprotno da v(d) = 0. To je
mogu�e ako je v(
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
∧ p ∧ q r)
= 1
i v(q q) = 0.Iz I dobijamo v(a) = v
(
p ⇒ q q ∨ (r ∧ s))
= 1,p = 1 i q r = 1, a iz II q q = 0.
Kada zamenimo p = 1, r = 0, q = 1 u formulu a:
1 ⇒ q 1 ∨ (0 ∧ s)1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0, xto sa v(a) = 1Ne vaжi polazna pretpostavka v(d) = 0, pavaжi v(d) = 1, tj. d je tautologija⇒ zakƩuqivaƬe je ispravno.
![Page 86: I dvoqas veжbi dr Vladimir Baltimata.fon.rs/skladiste/dms/nastava/7/slajd-DMS-01.pdfmi, a neke brije berberin. Zvuqi razumno da se berberin ponaxa na sledei naqin: on bri-je sve one,](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042101/5e7dc14585e9eb1200590c8b/html5/thumbnails/86.jpg)
KRAJ QASA