fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ...

25
2016–2017 September 13, 2016 () September 13, 2016 1 / 25

Upload: others

Post on 16-Sep-2019

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

~�©�§

�®�ÆóÆ�2016–2017cÝ1�ÆÏ

September 13, 2016

() September 13, 2016 1 / 25

Page 2: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

ÌÌÌùùù������µµµ

���777{{{ åååÆÆÆ���óó󧧧���ÆÆÆXXX

>>>{{{µµµ62754032Email: [email protected]���úúú¿¿¿µµµåååÆÆÆ¢¢¢307

ÏÏÏ���µµµåååÆÆÆ���óó󧧧���ÆÆÆXXXïïïÄÄÄ)))

���¡¡¡UUU >>>{{{µµµ13120353937Email: [email protected]

oooggg��� >>>{{{µµµ18811757620Email: [email protected]

() September 13, 2016 2 / 25

Page 3: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

�Æë�Ö!��!��

���ÆÆÆëëë���ÖÖÖ:[1] ~~~���©©©���§§§§§§ÎÎÎRRR+++§§§ooo]]]§§§ppp���������ÑÑÑ������§§§2004"""[2] ~~~���©©©���§§§§§§���ppp<<<§§§ppp���������ÑÑÑ������§§§1984"""������µµµzzz±±±������������§§§���¦¦¦UUU������¤¤¤;������eeeuuu������ÖÖÖ���������ÀÀÀ���ÃÃÃ���§§§ØØØ���111UUU;zzzggg���������¹¹¹ÏÏÏ���ÑÑÑkkkPPP¹¹¹"""������µµµØØØ���ÃÃÃ���"""���§§§ØØØ���ÃÃÃ���´́́���;���bbbIIIXXXppp111OOO;ØØؽ½½ÏÏÏ:::¶¶¶������,,,������;������������²²²���¤¤¤111������ÜÜÜ©©©"""

() September 13, 2016 3 / 25

Page 4: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

�Á

ÏÏÏ¥¥¥���ÁÁÁµµµýýýOOO11���8FFF���mmm.ÏÏÏ"""���ÁÁÁµµµ2017/1/12 eeeÌÌÌ"""

¤¤¤111µµµ½½½µµµ������+������+²²²���������µµµ20%ÏÏÏ¥¥¥µµµ30%ÏÏÏ"""µµµ50%

ÆÆÆ���555½½½µµµ`̀̀DDD£££¤¤¤11185©©©999±±±þþþ¤¤¤µµµØØØ���LLL35%¶¶¶ØØØ999���µµµ1%− 10%

() September 13, 2016 4 / 25

Page 5: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

�§{0

���§§§{{{000µµµ

���§§§555���µµµnnn���ÌÌÌZZZÄÄÄ:::���"""ÆÆÆ©©©µµµ3§§§ÆÆÆ���µµµ68

ÌÌÌ���SSSNNNµµµ(1) ÐÐÐ���ÈÈÈ©©©{{{"""(2) ���555���§§§|||������§§§£££))){{{���(((���¤¤¤"""(3) ~~~XXXêêê���555���§§§|||������§§§���¦¦¦)))���{{{"""(4) ÄÄÄ���nnnØØØ£££���333555§§§������555§§§)))éééÐÐÐ���ÚÚÚëëëêêê���ëëëYYY������555!!!���

���555§§§òòòÐÐÐ555"""¤¤¤(5) ~~~���©©©���§§§½½½555nnnØØØ!!!­­­½½½555nnnØØØ"""

() September 13, 2016 5 / 25

Page 6: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

���©©©���§§§���...¶¶¶���©©©���§§§������ÈÈÈ©©©§§§êêêÆÆÆ©©©|||£££½½½555nnnØØØ!!!­­­½½½555nnnØØØ!!!���¼¼¼���

©©©���§§§!!!>>>���¯̄̄KKK¤¤¤¶¶¶LLLãããÄÄÄ���½½½ÆÆÆ!!!���«««¯̄̄KKK���ÄÄÄ���óóóää䶶¶ÚÚÚîîîåååÆÆÆ!!!UUUNNNåååÆÆÆ!!!ÅÅÅ���åååÆÆÆ£££XXX°°°���(((¤¤¤¶¶¶åååÆÆÆ!!!>>>fffEEEâââ!!!gggÄÄÄ������!!!ÊÊÊ���ÊÊÊUUU������"""

() September 13, 2016 6 / 25

Page 7: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�٠�ȩ{

~~~fff���VVVgggAAA«««aaa...������������§§§���ÐÐÐ���))){{{£££)))ÛÛÛ{{{¤¤¤ppp������§§§���AAA«««���ÈÈÈaaa...

() September 13, 2016 7 / 25

Page 8: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

���êêê���§§§§§§nnn������§§§���������þþþµµµêêê

x2 + 2x− 3 = 0

���©©©���§§§µµµ������þþþ���������¼¼¼êêê"""½½½ÂÂÂ1.1 rrr¹¹¹kkkgggCCCþþþ!!!������¼¼¼êêê±±±999������¼¼¼êêê���,,,���êêê���'''XXXªªª¡¡¡������©©©���§§§"""

dy

dx+ 2xy = ex

d2y

dx2+ 2

dy

dx+ 3y = 2 cos 3x

∂u

∂t=∂2u

∂x2£££999DDD������§§§¤¤¤§§§

∂2u

∂t=∂2u

∂x2£££ÅÅÅÄÄÄ���§§§¤¤¤

() September 13, 2016 8 / 25

Page 9: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

���©©©���§§§���©©©aaaµµµaaa...£££~~~���!!!   ���¤¤¤���êê꣣£������¼¼¼êêêééégggCCCþþþ���ûûû������ppp���êêꤤ¤

d2y

dx2+ 3(

dy

dx)3 + y = cosx

���555���������555

���555µµµd2y

dx2+ x

dy

dx− x2y = sinx.

£££������¼¼¼êêê±±±999¤¤¤kkkÑÑÑyyy������ûûûÑÑÑ´́́���ggg���¤¤¤dny

dxn= an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ an−2(x)

dn−2y

dxn−2+ · · ·+ a0(x)y + f(x)

������555���§§§XXXµµµ(1 + y)y′ + 2y = ex,d3y

dx3+ y2 = 0,

d2y

dx2+ sin y = 0.

() September 13, 2016 9 / 25

Page 10: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

~~~1 ������555ÔÔÔ���YYY������CCC555ÆÆƵµµ���CCC���ÝÝÝ������{{{þþþ¤¤¤���'''"""®®®

���t = t0������YYY���°°°þþþ���R0§§§���(((½½½YYY333������t���°°°þþþR(t)"""

dR

dt= −kR, k > 0, R(t0) = R0.

dt

dR= − 1

kR, t = −1

k`nR+ C

R(t) = e−kt+kC = C1e−kt, R(t) = R0e

−k(t−t0)

���PPPÏÏϵµµ���CCC������¤¤¤III���mmm. YYY������PPPÏÏϵµµ4.5× 109ccc"""12

=R

R0= e−4.5×109k, ���¦¦¦ÑÑÑk"""

() September 13, 2016 10 / 25

Page 11: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

~~~2 ïïïÄÄÄ>>>666������£££XXXããã1.1¤¤¤Cµµµ>>>NNNìì짧§Lµµµ>>>aaa§§§R>>>{{{§§§i(t)µµµ>>>666rrrÝÝÝ,Q(t)µµµt������>>>NNNìììþþþ���>>>þþþ§§§v(t)µµµ>>>NNNìììüüü444mmm���>>>   ���.

ããã1.1iR = −v − Ldi

dt,

i(t) =dQ

dt, Q(t) = Cv(t).

Ld2v

dt2+R

dv

dt+

1Cv = 0.

() September 13, 2016 11 / 25

Page 12: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

~~~3 ���þþþ���m������:::333åååF������^̂̂eee333x¶¶¶þþþ$$$ÄÄÄ""" md2x

dt2= F (t, x,

dx

dt),

x(t0) = x0, x′(t0) = x1.

() September 13, 2016 12 / 25

Page 13: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

~~~4 êêêÆÆÆ{{{

���þþþ���m������:::M§§§333­­­ååå���^̂̂eee§§§§§§333RRR���uuu///¡¡¡���²²²¡¡¡þþþ÷÷÷���±±±$$$ÄÄħ§§(((½½½{{{���$$$ÄÄÄ���§§§"""

mdv

dt= −mg sinϕ, v = `

dt

d2ϕ

dt2= −g

`sinϕ

���ϕééé������µµµd2ϕ

dt2+g

`ϕ = 0.

{{{333������ÊÊÊ555���000���¥¥¥{{{ÄÄĵµµ

d2ϕ

dt2+µ

m

dt+g

`ϕ = 0.

ÐÐЩ©©GGG���µµµ���t = 0���§§§ϕ = ϕ0,dϕ

dt= w0.

() September 13, 2016 13 / 25

Page 14: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

~~~5 åååÆÆÆ!!!ÔÔÔnnn¥¥¥222���AAA^̂̂���MMM���îîî(Hamilton)XXXÚÚÚµµµdpi

dt= −∂H

∂qidqidt

=∂H

∂pi

H = H(p1, · · · , pn; q1, · · · , qn, t)´́́®®®���¼¼¼êêꧧ§i = 1, · · · , n"""���þþþ///ªªªµµµ

dp

dt= −∂H

∂q,

dq

dt=∂H

∂p

p = (p1, · · · , pn)T , q = (q1, · · · , qn)T ,H = H(p, q, t)

pµµµ222ÂÂÂÄÄÄþþþ§§§qµµµ222ÂÂÂ���III"""

() September 13, 2016 14 / 25

Page 15: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

���HØØع¹¹t���§§§===H = H(p(t), q(t))§§§���ÅÅÅXXXÚÚÚ§§§UUUþþþÅÅÅððð"""dH

dt=∂H

∂p

dp

dt+∂H

∂q

dq

dt= 0,

H = H(p(t), q(t)) = C(constant).

���H���¹¹¹kkkp���§§§===H = H(p(t))§§§���ÈÈÈXXXÚÚÚ"""dp

dt= −∂H

∂q= 0 ⇒ p = p0,

dq

dt=∂H(p(t))

∂p= ω0

p(t) = p0, q(t) = ω0t+ q0.

ÙÙÙ¥¥¥p0, q0, ω0���~~~���þþþ"""

() September 13, 2016 15 / 25

Page 16: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

n������§§§���������///ªªªµµµ

F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0. (1.1)

½½½ÂÂÂ1.2 ¡¡¡¼¼¼êêêy = ϕ(x)´́́(1.1)333«««mmmIþþþ���)))§§§XXXJJJ§§§333«««

mmmIþþþkkk½½½Â§§§äääkkk(1.1)¥¥¥���¦¦¦������������êêꧧ§¿¿¿���ðð𤤤ááá

F (x, ϕ(x), · · · , ϕ(n)(x)) = 0, x ∈ I.

~~~ ���§§§µµµy′′ = x§§§y =16x3´́́ÙÙÙ))), y =

16x3 + c1x+ c2���´́́)))§§§

ÙÙÙ¥¥¥c1, c2���???¿¿¿~~~êêꧧ§cccööö¡¡¡���AAA)))§§§���ööö¡¡¡���ÏÏÏ)))"""

~~~ ���§§§µµµtdx

dt+ x = 0§§§x =

1t

´́́ddd���§§§333(−∞, 0), (0,∞)þþþ���)))"""

() September 13, 2016 16 / 25

Page 17: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

½½½ÂÂÂ1.3 rrrn������§§§(1.1)���¹¹¹kkk***dddÕÕÕááá���n���???¿¿¿~~~êêêc1, · · · , cn���)))xxxy = ϕ(x, c1, · · · , cn)¡¡¡���(1.1)���ÏÏÏ)))"""???ÛÛÛüüü

������)))¡¡¡���AAA)))"""ÏÏÏ)))ØØØ���ddduuu���§§§¤¤¤kkk)))���888ÜÜÜ"""£££1¤¤¤���äää������LLL���ªªª���¹¹¹���§§§���¤¤¤kkk)))´́́(((JJJ���"""£££2¤¤¤���¹¹¹¤¤¤kkk)))���LLL���ªªª´́́ÄÄÄ���333ººº

~~~µµµdy

dx= 2x(1− y2)

12

y = sin(x2 + C)´́́ÏÏÏ))), ÙÙÙ¥¥¥C���???¿¿¿~~~êê궶¶y = ±1´́́AAA)))§§§ØØØ���

¹¹¹333ÏÏÏ)))ppp"""///XXXy = ϕ(x, c1, · · · , cn)���)))¡¡¡���ÏÏÏ)))§§§XXXJJJ333���½½½������SSSééé???���

���½½½���ÐÐЩ©©^̂̂���§§§ÑÑÑUUU(((½½½���|||~~~êêêc1, · · · , cn§§§¦¦¦éééAAA���)))÷÷÷vvvddd^̂̂���"""

() September 13, 2016 17 / 25

Page 18: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

½½½ÂÂÂ1.4 XXXJJJ¼¼¼êêê���§§§

ψ(x, y) = 0 (1.2)

(((½½½���ÛÛÛ¼¼¼êêêy = y(x)´́́(1.1)���))), KKK(1.2)ÒÒÒ¡¡¡���(1.1)���ÛÛÛªªª)))"""

dy

dx= −x

y, x2 + y2 = C(C > 0).

½½½ÂÂÂ1.5 XXXJJJddd¹¹¹kkkn���???¿¿¿~~~êêêc1, · · · , cn���¼¼¼êêê���§§§

Φ(x, y, c1, · · · , cn) = 0 (1.3)

(((½½½���¼¼¼êêêxxxy = ϕ(x, c1, · · · , cn)´́́(1.1)���ÏÏÏ))), KKK(1.3)ÒÒÒ¡¡¡���(1.1)���ÛÛÛªªªÏÏÏ)))"""

() September 13, 2016 18 / 25

Page 19: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

½½½)))^̂̂���µµµ������½½½���|||AAA½½½���^̂̂���"""½½½)))¯̄̄KKKµµµ¦¦¦÷÷÷vvv,,,«««½½½)))^̂̂������)))���¯̄̄KKK"""ÐÐЩ©©^̂̂���µµµééé���§§§(1.1)§§§ÐÐЩ©©^̂̂���´́́

y(x0) = α0, y′(x0) = α1, · · · , y(n−1)(x0) = αn−1,

ÙÙÙ¥¥¥x0 ∈ I´́́gggCCCþþþ���,,,������½½½���§§§αi, i = 0, 1, · · · , n− 1´́́������

¼¼¼êêê���i������ûûû������½½½���"""ÐÐÐ���¯̄̄KKKµµµ¦¦¦���©©©���§§§÷÷÷vvvÐÐЩ©©^̂̂���)))���¯̄̄KKK£££Cauchy¯̄̄KKK¤¤¤"""£££XXXÚÚÚîîî111���½½½ÆÆƧ§§ÐÐЩ©©������!!!ÐÐЩ©©   £££!!!ÐÐЩ©©���ÝÝݤ¤¤���������§§§���ÐÐÐ���¯̄̄KKKµµµF (x, y, y′) = 0, y(x0) = y0¶¶¶AAAÛÛÛ¿¿¿Â¶¶¶)))­­­���¶¶¶ÈÈÈ©©©­­­���"""

() September 13, 2016 19 / 25

Page 20: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

>>>...^̂̂���§§§>>>���¯̄̄KKK

���������§§§F (x, y, y′, y′′) = 0µµµ

(I) )))|||���XXX(Dirichlet, 1805-1895)¯̄̄KKKµµµ

y(a) = 0, y(b) = 0.

XXX]]]ëëë���¯̄̄KKK"""(II) ±±±ÏÏÏ>>>���¯̄̄KKKµµµ

y(a) = y(b), y′(a) = y′(b).

() September 13, 2016 20 / 25

Page 21: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

���������§§§|||���������///ªªªµµµ

dy1

dx= f1(x, y1, · · · , yn),

dy2

dx= f2(x, y1, · · · , yn),

· · ·dyn

dx= fn(x, y1, · · · , yn).

(1.4)

¼¼¼êêêy1 = ϕ1(x), · · · , yn = ϕn(x)¡¡¡������§§§|||(1.4)333«««mmmIþþþ���)))§§§XXXJJJ§§§���333Iþþþ������§§§¿¿¿���rrr§§§������\\\(1.4)���¤¤¤���ððð���ªªª"""

() September 13, 2016 21 / 25

Page 22: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

rrr���§§§|||(1.4)���¹¹¹kkkn���***dddÕÕÕááá���???¿¿¿~~~êêê���)))xxx:y1 = ϕ1(x, c1 · · · , cn)

...yn = ϕn(x, c1 · · · , cn)

¡¡¡������§§§|||(1.4)���ÏÏÏ)))"""

ÐÐЩ©©^̂̂���µµµ

y1(x0) = α1, · · · , yn(x0) = αn§§

ÙÙÙ¥¥¥x0 ∈ IÚÚÚα1, · · · , αn©©©OOO´́́gggCCCþþþÚÚÚ������¼¼¼êêê���,,,������½½½���"""

() September 13, 2016 22 / 25

Page 23: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

n������§§§������555///ªªªµµµ

y(n) = f(x, y, y′, · · · , y(n−1)). (1.5)

���zzz������§§§|||§§§���

y1 = y, y2 =dy

dx, · · · , yn =

dn−1y

dxn−1.

dy1

dx= y2,

dy2

dx= y3

· · ·dyn−1

dx= yn

dyn

dx= f(x, y1, · · · , yn).

(1.6)

() September 13, 2016 23 / 25

Page 24: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

y = ϕ(x)´́́(1.5)���)))⇒y1 = ϕ(x), y2 = ϕ′(x), · · · , yn = ϕ(n−1)(x)´́́(1.6)���)))"""

y = ϕ(x)´́́(1.5)÷÷÷vvvÐÐЩ©©^̂̂���

y(x0) = α0, y′(x0) = α1, · · · , y(n−1)(x0) = αn−1

���)))⇒y1 = ϕ(x), y2 = ϕ′(x), · · · , yn = ϕ(n−1)(x)´́́(1.6)÷÷÷vvvÐÐЩ©©^̂̂���

y1(x0) = α0, y2(x0) = α1, · · · , yn(x0) = αn−1

���)))"""

������§§§XXXÛÛÛ£££ãã㺺º

() September 13, 2016 24 / 25

Page 25: fi ó 2016–2017cÝ1Ÿ ˇaerocontrol/wangjinzhi/ode2016/Lecture_1.pdfÌÌÌøøø fififiµµµ ˝˝˝777{{{ ååå˘˘˘ƒƒƒóó󧧧›››˘˘˘XXX >>>{{{µµµ62754032

1�! ~f�Vg

������|||���VVVggg

���ÄÄÄ���§§§µµµdy

dx= f(x, y)§§§bbb���f(x, y)333«««���GSSSkkk½½½ÂÂÂ"""

(i) LLLGSSSzzz���:::§§§���§§§)))­­­���������������ÇÇÇ���uuuf(x, y)333ùùù:::���¼¼¼êêê���"""(ii) éééGSSSzzz���:::§§§xxx������kkk������ãã㧧§���ÇÇÇ���uuuf(x, y)333ùùù:::���¼¼¼êêê���§§§���������xOOO\\\���������§§§///¤¤¤������|||"""(iii) )))­­­���©©©ªªª^̂̂XXX������|||���������111???"""(iv) LLL(xo, y0)���ÈÈÈ©©©­­­���"""

~~~µµµdy

dx= x2 + y2.

������µµµP9: 2£££1¤¤¤§§§2£££4¤¤¤§§§3£££2¤¤¤§§§4

() September 13, 2016 25 / 25