hydraulik i reale fluide navier-stokes gleichung turbulenz potentialströmung w. kinzelbach
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Hydraulik I
Reale FluideNavier-Stokes Gleichung
TurbulenzPotentialströmung
W. Kinzelbach
Reale Fluide 1
• Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert)• Turbulente Strömung (Trägheit dominiert)• Umschlag laminar-turbulent• Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung
ddkraftZähigkeits
raftTrägheitsk v/vvRe
2
Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300
Reale Fluide 2
• Euler Zahl
• Froude Zahl
p/2v
v2v2
DruckkraftraftTrägheitskEu
ghvv2
ghtSchwerkraf
raftTrägheitskFr
Reibungskräfte
Reibungskräfte 2)(, xxyxzxR dzdydxdzdxdyF
dy
ydxdzdz
zdxdy xy
xyxz
xz
dx
xdzdy x
x
xyzdxdydz xxxyxz
Reibungskräfte 3
)vv(abba
ab
Unter Verwendung von
v
)vvv( 2x
2
2x
2
2x
2
,
dxdydzxyz
dxdydzF xR
Navier-Stokes Gleichung 1
v)v(vv
tDt
D Druck Schwerkraft Reibung1 f f f
+A.B +R.B.0v
v1v
zgpDtD
Kontinuität
4 Gleichungen für 4 unbekannte Funktionen: vx, vy, vz, p
Navier-Stokes Gleichung 2
****2
***
*
uu
UL
zUgLp
DtD
Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T
t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = U2p* 2*2
2 1
L
Zwei Invarianten
Re = UL/ Fr2 = U2/(gL)
Hydraulische Ähnlichkeit• Zwei Strömungen sind ähnlich, wenn sie
geometrisch ähnliche (ineinander skalierbare) Randbedingungen und gleiche Reynolds- und Froudezahl aufweisen
• Basis des wasserbaulichen Versuchswesens:– Ergebnisse aus dem Labor sind übertragbar auf Natur,
wenn ReLabor = ReNatur und FrLabor = FrNatur– Da es schwierig ist, beide Kennzahlen gleich zu
machen, wird die jeweils wichtigere Ähnlichkeit eingehalten. Dies ist bei Strömungen in geschlossenen Leitungen Re und bei Freispiegelströmungen Fr.
-Theorem (Buckingham)
n Anzahl der relevanten Einflussgrössenr Anzahl der vorkommenden Grunddimensionen
(m,s,kg…)m=n-r Anzahl der unabhängigen -Terme
-Theorem (Buckingham)Konstruktion der -Terme:
Wähle r Einflussgrössen x1 … xr, die die r Grunddimensionen enthalten und bilde
Da die -Terme dimensionslos sind, müssen sich die Potenzen der Grunddimensionen zu Null wegheben.
durch Kombination mit je einer weiteren Einflussgrösse
Widerstandsbeiwert als Funktion der Reynolds-Zahl
Laminare RohrströmungFolgt aus Integration der Navier-Stokes Gleichungen (Am praktischsten: in Zylinderkordinaten). Hier Herleitung aus Impulssatz:
G g r x sin sin 2
F p p r 2 12
F r x 2
G F F sin 0Kräftegleichgewicht
sin dzdx
p pdpdx
x2 1
( )r g rdhdx
p
12
mit
Laminare RohrströmungVerbindung der Schubspannungsverteilung mit dem Newton‘schen Gesetzder Viskosität
( )r g rdhdx
p
12
dvdr
rdxdh
2g
drdv p
v r g dhdx
r Cp( )
2 2
2
v r g dhdx
r rpo( ) ( )
4
2 2
liefert
C aus Randbed.
Laminare Rohrströmung
Idhdx
vgd
p m 32
2
v v g dhdx
dmp
12 32
2max
v g dhdx
dpmax
16
2
Gesetz von Hagen-Poiseuille
4
128d
dxdhgQ p
d geht mit der 4. Potenz ein. Kleine Änderung des Durchmessersbewirkt grosse Änderung von Q
Charakterisierung von Turbulenz
Reynoldszerlegung: 'v = v +v' p= p+ p
Reynoldszahl entscheidet über Turbulenz: Re klein – laminar Re gross - turbulent
Uns reichen eigentlich Gleichungen für v und p
Bei RohrströmungUmschlag bei Re ≈ 2300
Charakterisierung von Turbulenz
2(v-v)Mittlere Schwankung =
n
Mittlere SchwankungTurbulenzintensität = v
Turbulentes Energiespektrum
Wellenzahl
Kolmogorovs Bild der Turbulenz: EnergiekaskadeGrosse Wirbel zerfallen in kleinere Wirbel bis letztlich die Energie durch viskose Reibung dissipiert wird.
Reynoldsgleichungen 1
= ( ) ( ')p p+ p' p p p
2 22 21 ( ) 1 ( ) ( ')( ') ' '
2 2v v vv und v v v v v v v vx x x
Zeitgemittelte Navier-Stokes GleichungenEinsetzen der Reynoldszerlegung in lineare Terme in p und vund anschliessende Mittelung führt zu Ersetzen der Variablen durch ihren Mittelwert. Beispiel Druckterm:
Einsetzen der Reynoldszerlegung in den nichtlinearen Term der advektiven Beschleunigung führt nicht auf einen Term der nur die mittlere Geschwindigkeit enthält: Beispiel 1D
Reynoldsgleichungen 2
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'
'v'v
Das Analogon des Terms in 3D ist' 'v v
Reynoldsgleichungen 3
)'v'v(-v1v
zgpDtD
Die gemittelte Navier-Stokes Gleichung wird damit zur Reynoldsgleichung
Diese kann nicht gelöst werden, da der Term in v‘ neue Unbekannte enthält. Turbulenzmodellierung besteht darin, den Term in v‘ durch einen Ausdruck in den Mittelwerten oder durch neue Variable auszudrücken, für die weitere Gleichungen zur Verfügung stehen. (Schliessungsproblem)
Reynoldsgleichungen 4
v)'v'v(-
Wirbel
Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen
mit Wirbelzähigkeit Wirbel = konstant
Problem: Wirbelzähigkeit ist dynamisch von Strömung abhängig und nicht konstant. Deshalb wurden eine Reihe anderer Turbulenzmodelle erfunden.
Warum hat Turbulenzterm mit Zähigkeit zu tun?(v' v')
Geschwindigkeitsprofile an Wand
Laminare Strömung zwischen zwei Platten1. Fall: Eine Platte fest, eine Platte bewegt mit Geschwindigkeit
vGeschwindigkeitsprofil linear
2. Fall: Beide Platten fest, Durchfluss Q Geschwindigkeitsprofil parabolischLaminare Rohrströmung: Geschwindigkeitsprofil Rotationsparaboloid
Wie sieht das Geschwindigkeitsprofil bei einer turbulenten Strömung zwischen 2 Platten oder in Rohr aus???
Turbulente Schubspannungen (1)
Wand
y
x
A
dIdt
' ' 0 ' ' 0A A
dI uv dA u v dA da v und u vdt
v
u
Transportrate von x-Impuls in y-Richtung:
Turbulente Schubspannungen (2)
' ' . ' '
: ' 'tot
A Au v bzw u vduGesamtschubspannung u vdt
Fluss ist gegen die Wand gerichtet: Impulskraft wird durch Wandschubspannung aufgenommenFluid grösserer u-Geschwindigkeit, das in Wandnähe kommtwird gebremst, bzw. beschleunigt dort langsameres Fluidund umgekehrt. (Analogie zu Rempeleien auf molekularer Ebene, die zu Viskosität führen! Deshalb Wirbelviskositätsansatz)
Geschwindigkeitsprofil an Wand (1)
L Prandtl‘scher Mischweg = Strecke über die ein Wirbel seine Identität verliert
2
( ) ( )' ' ' 1
( ) ( )
u y u yu L und v au aL Annahme ay y
u y u yLy y
Weitere Annahme: L proportional zu Wandabstand
0.4L y Karmankonstante
Geschwindigkeitsprofil an Wand (2)Für positive Geschwindigkeitsgradienten und wandnahe Schicht mit ungefähr konstant:
2
22 2 *
* 00
( )u yy uy
mit Definition u und Wandschubspannung
Integration liefert:
*
( ) ln( )w
u yu y C
Geschwindigkeitsprofil an Wand (3)Direkt an Wand: viskose Unterschicht (dünner als kleinste Wirbel)Dicke w . Damit folgt C: *
( ) ln( )w
u yu y
Das Wandprofil in einer turbulenten Strömung ist logarithmisch.In einer laminaren Strömung ist es linear.
Unterschied: Laminar:
Turbulent:
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ln( )
molu y u y ayy
u yy u y b y cy
a
Grenzschichtströmung
An der Wand: Haftbedingung Weit draussen: Ungestörte StrömungGrenzschichtdicke: Wandabstand bei dem u = 0.99 u∞
u∞
Grenzschichtdicke
c hängt von Art der Strömung ab: Unterschiedlich für laminare und turbulente Strömung
xx
u xx xc c mit Reu Re
laminar: lamx
x 5
Re
turbulent:5
0.37Returb
x
x
Äquivalente Wandrauheit
z.B. Glas-, Kupfer-, Kunststoffrohre: glatt k=0 Betonrohre k=0.3-3.0 mm Stahlrohre k=0.03-0.1mm
Geschwindigkeitsprofile in Rohrströmungen
Hydraulisch glatt - rauh
Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung
H z pg
vgm
2
2
HQ
z pg
vg
vdAA
1
2
2
( )
1 3
Av v dAm
A
( / )
Für Energiesatz:
Für Impulssatz:
I Q vm mit
12
Av
vdA
mA
Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung: Nebenrechnung
33
3 23 3
3 3
2
1 1 12 2
1 12 2
2
mA A
m m
m m mA A
m
v dA v dAQ g g v A
v vv vdA dAg v A v g A v
vg
1 3
Av v dAm
A
( / )mit
Korrektur für ungleichmässige Geschwindigkeitsverteilung
Venturi Rohr
d
Gemessen: p1, p2, D, d
Gesucht: Q
1 2
Lösung: Kontinuität und Bernoulli
Rohr horizontal T=20o
2 21 1 2 2
1 22 2p v p vz z
g g
1 1 2 2v A v A
Geschwindigkeitsmessung
Hydrometrischer Flügel
Tracer Methodent1
t2
L
)tL/(tv 12
Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode
• PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln
• Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung
Andere Methoden
+
-
t1 t2
Andere Methoden
• Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen.
• MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert
• Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit
Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei =0
deformationsfrei
y
x
Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss
Was ist Rotation?Parallelströmung (vx=f(y)): rotationsbehaftet 0
deformationsbehaftet
Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand
Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsbehaftet 0
Ohne Deformation
Beispiel: Festkörperwirbel
rv
Festkörperwirbel (Karussell)
sincos0 0
x
y
z
v r yv v r x
v
v r
y
x
r
00 2
20
x y ze e e
v x y zy x
Was ist Rotation?Kreisströmung rotationsfrei 0
deformationsbehaftet
Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r,Kernströmung rotationsbehaftet
r1v
Wie wird Rotation erzeugt?Drei Ursachen für Rotation:
• Reibung und damit scherendes Profil• Dichteunterschiede • Rotierendes Bezugssystem (Erde)
Wenn eine Strömung anfänglich rotationsfrei ist undkeine der drei Ursachen wirksam ist, bleibt die Strömung rotationsfrei.
z
x
leicht
schwer
Potentialströmung 1
• Strömung in der gilt:
• Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes , des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen
0v
v
Führe Nachweis durch Anwendung von
Potentialströmung 2• Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung
• Ebene Strömung in x-y-Ebene
022
2
2
2
2
2
zyx
v
02
2
2
2
yx
Ebene Potentialströmung 1
• Linien gleichen Werts heissen Potentiallinien• Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale
Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien • Stromlinien sind Linien gleichen Werts der
Stromfunktion • Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die
Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen
Ebene Potentialströmung 2
• Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
xyyx
Ebene Potentialströmung 3
• Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)
Ebene Potentialströmung 4
• Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten 1 und 2
• Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit
21
2
1
2
1
v
dyy
dyq x
Ebene Potentialströmung 5
• Undurchlässige Ränder sind Stromlinien• Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal• In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten
tangieren
Anwendungskriterien für Potentialnetze
• Inkompressibles Fluid• Zweidimensionale Strömung• Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte
wirksam)• Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein
bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite)• Geringe Zähigkeit des Fluids• Strömung ablösungsfrei
Anwendungskriterien für Potentialnetze
• Wichtigste Anwendung: Grundwasserströmung (kommt zu Ende Semester dran)• Dort gilt Darcy-Gesetz
• bzw. bei K=constant
v K h
( )v Kh
1
2
1
2
2
1
vv
ss
nn
constant2v2
gg
pzH