Tekn

K

niskt

Kursbu

basår

unt

r

V

Version1.yy

Teknisktbasår MatematikI

2

Teknisktbasår MatematikI

3

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1Implikationochekvivalens.....................................................................................................42Linjäraekvationssystem..........................................................................................................53Meromvektorer.........................................................................................................................134Absolutbelopp..............................................................................................................................175Formler............................................................................................................................................206Area‐ochvolymskala................................................................................................................22Facit.......................................................................................................................................................26

Tekniskt

Ekviva

ExempExempImplik

Exemp

ExempExemp

1Sid4nåochKultu

101.

tbasår

IMP

alenspil

pel1pel2

kationspil

pel3

pel4

pel5

ågotomarbeturläromedel

Vilkenavsskaståirua) TriangeTriange

b) 2 3c) ärettheltal.

d) Vinkelspetsig.

e) CirkelnsCirkelns

f) Robinåtonåring

LIKAImatemaoch⟹.PDubbelpieller”om⟺

Ompåståsant.Ochpilensan

3 1"" å Enkelpile”medför”⟹

Mansägepåståend

3 0Omvändn

3" äOmvändn" äOmvändnmedbörja

tatfrån:M.Ka,ISBN978‐9

symbolernautan?Motivelärliksidigelnsvinklar

19naturligtta

50°.sradieär5sdiameterr17år.Rg.

ATIONatiskargumPilarnakanilen⟺äremochendas

åendetförehompåståent.10 ⟺

ä

enärenim”.

erattdetfödetföljerav0 ⟹ningengällmedande ningengäll ningengällare.

arlsson,E.Hö1‐27‐42160‐

a⟺eller⟹veradittsvag.rärlika.

8al. äreVinkel ä

5 .är10 .Robinären

4

NOCHmentationaskrivasmeenekvivalenstom”.

epilenärsaendetefter

7 . "

mplikationsp

örstapåståvdetförsta9lerej.Denaenförstaen

. " ⟹ "lerej.Detfi

lerej.Detfi

ögsborn,Å.Lu8

⟹ar.

ettr

n

1

HEKVanvändsiblellantvåpånspil.Denu

ant,såäropilenärsa

⟺ ä

pil.Denutt

endetmedf.Omvändn

andraekvandasthare

ä innsfyrhör. " ⟹ "

innsEU‐me

undbom(201

102. Geexekansta) 3b) Vinc) d) e) Vin54

f) g) Djuh) He

VIVALlanddelogåståendenuttalas”’är

cksåpåståeant,såäroc

. "talas”impli

fördetandningengälle

tionenharnlösning örningarsom

ä edborgare

11),Matemat

empelpåetåefterpile

5 17 ⟺nkel 10

ärenre25 ⟺

nkelsumma0° ⟺0 ⟺

uretärenfiltalet ärd

Ma

LENSgiskasymbooch .ekvivalent

endeteftercksåpåståe

icerar”elle

dra,elleratterdockinte

rtvålösning3 .

. "minteärkv

sominteär

tik5000kurs

ettpåståenden.⟺00°.⟹ektangel.⟹aienpolyg

fisk.⟹delbartme

atematikI

1olerna⟺

tmed”

rpilenendetföre

r

tdetandrae.

gar

vadrater.. "

rsvenska

1C,Natur

desom

⟹gonär

d3.⟺

a

Tekniskt

Rätalin

Riktnin

Interce

Propor

2Sid5‐12läromede

tbasår

RÄTLINJ

njensekva

ngskoeffic

pt

rtionalitet

2 3;

2någotomarel,ISBN978‐

TALINJÄRAation En

ochcient Ekv

kalEttkoostö

Ettfunvar

Omdär

Kovarx

t Omp

2, 3Rik

ochvar

rbetatfrån:L‐91‐27‐42253

NJENSEKVAfunktionärenför

h avgördvationenllasriktningt positivt k-vordinatsysterre värdet b

t negativt k-nktionsvärderiabeln.

m k 0 så hrför parallel

onstanten mr linjen skär0, alltså d

m 0,dvproportione

3ktningskoe

hvisarhurrieenhetvi

.Alfredsson,3‐7

5

SEKVATIO

varstaordningdetlinjära

gskoefficien

värde ger enemet, vilketblir på den o

-värde ger eet blir mind

har kurvan ellt med x-ax

kallas konsr y-axeln. mdär linjen sk

vs.omlinjeellamotva

3; 0,fficienten

mångaenhigårframå

K.Bråtingm

VATIONSSYarsgrafäregenspolynsambandetbeskriverntochbeten linje som t innebär attoberoende v

en linje somdre ju större

en horisontexeln.

stantterm elm-värdet mokär y-axeln.engårgenoarandra.

3definiera

∆∆

heterstigeråti ‐led.

.fl.(2012),M

ONOYSTEMenrätlinjeomtmellanvadenrätalincknarlutnilutar snett u funktionsv

variabeln.

m lutar snett värdet blir

ell lutning o

ller även inttsvarar y-vä

omorigo,är

1,5ssom:

rellerfalle

Matematik500

Ma

CH2Märenlinjär,därkonst

ariablernanjensekvatingenpålinuppåt åt högvärdet blir st

neråt åt högpå den obe

och kurvan

tercept och ärdet i den p

rvariablern

3; 1

erlinjeni ‐

00kurs2c,Na

atematikI

rfunktion.tanternaoch .tion.knjen.ger i törre ju

ger, att roende

ligger

bestämmer punkten där

na och

1,5, 3

‐ledför

atur&Kultur

r

r

Tekniskt

Linjärtekvatio

Exemp

GrafiskSamma

AlgebrMetodeSubstit

tbasårtonssystem

pel1

klösninganfattning

raiskalösner tutionsme

Etm ek

ekVatainrepu

Lö

Vikoär

Exeg Att

ekvekvlös

nings‐ Deger

toden En

21

3

ttlinjärtekkvationer.Lkvationeräarjetalparalparet ,nnebärattpepresenteraunkten ,

ösekvation

51 ⟹

iritardebåonstaterarrlösningen

emplenovatlösaettekvationernavationssystsningenilinalgebraiskrdenexaktmetodkallLösutenErsättvaochlöse

Lösningeekvation

6

kvationssysLösningenäretttalparmotsvararsatisfiera

punktenasavdessaärderät

nssystemet

⟹

ådalinjernaattpunktenntillekvatio

anvisarpåkvationssysasgemensatemmedtvnjernasskäkalösningstalösningelassubstitunvariabeluariabelnidekvationenentillekvanerna,som

stembestårtillettlinjär , somenpunktiarbådaekv, liggerpaekvationettalinjerna

t 515

1

aisammakn 3; 2 liggonssysteme

åengrafisksteminnebmmalösninvåobekantaärningspunmetodernan.utionsmetourdenenadenandrae.ationensättdärefterlö

ravtvåelleärtekvationmsatisfierarkoordinatsvationeriepådebådar.Dettaärasskärning51grafiskt.

koordinatsgerpåbådaet.

lösningtillärattmanng.Tillettlakanmannkt.aärdemeto

odenochinekvationenekvationen

tsininågonöses.

Maerflerarätanssystemmrbådaekvatsystemet.Aekvationssyrätalinjerbaramöjliggspunkt.

systemochalinjeroch

lekvationsbestämmelinjärtgrafisktfin

odersomd

nnebärn.meddetta

navdeurs

atematikIalinjersmedtvåationer.Attystemetsomgtom

hdärmed

ssystemet.ernna

direkt

uttryck

sprungliga

Teknisktbasår MatematikI

7

Exempel2: Lösföljandeekvationssystemexakt. 2 3 315 1

Denandraekvationerger 5 1.

5 1sättsinidenförstaekvationen.

2 3 5 1 31⟹ 2 ⟹ 17 34 17 34⟹ 2

2insättesi 5 1somger 5 ∙ 2 1 9 Svar:Ekvationssystemetharlösningen 29Additionsmetoden Hurlöserviettekvationssystemdärviintepåettenkeltsättkan

lösautenvariabel? Viundersökerekvationssystemet

2 3 16 14 3 14 2

Jämförekvation(1)ochekvation(2).Koefficienternaframföryharsammasiffervärde,menmotsatttecken.Adderarviledvis,tary‐termernautvarandra.

2 3 164 3 14 6 0 30 5 5sättsinienavekvationernaochger 2.

Ekvationssystemetharlösningen 52.

Additionsmetodeninnebär

Multipliceradenenaellerbådaekvationernamedlämpligatalsåattkoefficienternaframfördenenavariabelnblirmotsattatal.Adderaekvationernaledvis.Vifårdåenekvationmedenvariabel.Lösekvationen.Lösningentillekvationensättsininågonavdeursprungligaekvationerna,somdärefterlöses.

3

12

32

1

Tekniskt

Exemp

201. Gr

ekfig

Avläsek202.

a)

b)

tbasårpel3

3

rafernatillkvationssysguren.

kvationssy

Ritagrafe3

koordinat) Avläslösnekvations

Lös115

Förförelimekvfra

1

ekvationerstemärrita

stemetslös

ntillisammatsystem.ningentillsystemet

2

3

1

sekvations1 3

2 1rattlösaekrstbestämmmineras.Ovationen 1amför blir

2 13 2215

3 7

5 ∙ 3 72Svar:E

rnaiettadei

sning.

1och

8

ssystemetm3 11 2kvationssymaossvilkmvivillfå1 med2ocrmotsattat1 35 22 6 65 67 3 3 77sättsini2 18 7 ⟹

Ekvationssy

203

204

medadditio

ystemetmeenavvariabortvariabchekvationtal, 6och2 ∙ 33 ∙ 1

63

ekvation(2

4 7ystemetlös

.

a) Bestämb) Vilketlösasgfiguren

c) Avläsl

. Lösekvata) b) 24

onsmetode

dadditionsablerna elbel ,börvn 2 med6.

2)

ningär

mlinjernasekvationssgrafisktmen?lösningen.tionssystem

12 3

2 1 03 6 0

Maen.

smetoden,ller somsvimultiplic3.Koeffic

3 74 7

sekvationesystemkanedhjälpav

metgrafisk

0

atematikI

måsteviskaeraienterna

r.n

kt.

Tekniskt

338

205. Lab

206. Lpabc

207. L

sabcd

208.

ab

209. Lsfvs

38

tbasår

8krkr

Lösekvatioa) 4

b) 210

Lösutvariaparentesena) 5b) 7c) 2 6Lösekvatiosubstitutiona) 3

b) 2 34c) 54 3d) 2 34

a) Ställuppsombesk

b) Bestämprespektiv

Lösningentsystemet

33 7

fårvinärvärdeharstämmer.

8kr

46k46k

onssysteme158

abelnsoms.8310

onssystemensmetod.26 5

2 3584

pettekvatiokriversituaprisetpåenveenostm

tillekvation18/5,me

?Visaattl

46krkrkr

et

ståri

enmed

onssystemationen.nbananmacka.

ns‐

nvilketösningen

r

9

2

2

2

2

2

2

2

59 kr

10.

a) Stälsom

b) Bestkaff

11. Bestämskärnibådara) 2b)

12. Bestäm5 45 4

13. Linjernoch0,5entriakoordihörn.

14. Unders2

2ochsam

15. Bestämekvatio

Fårlös16. Lösek

additio

a) 27b) 1

59 kr

3 2 0

luppettekmbeskrivertämprisetferespektivmexaktkoongspunktenättalinjern

2och3 3 0

mtalet ie4 såat4 3fårvna 25 2ngel.Bestäinaternafö

sökomlinj3 0,53 011 0gå

mmapunktmtalenaoconssysteme

6

sningenvationssystonsmetode

2511

1 1313 3

Ma

0

kvationssysrsituationepåenkoppveenbulleordinaternanmellandna.h3 20och

ekvationenttuttryckevärdet9.3, 20innesl

ämexaktrtriangeln

jernaochårgenomekt.chbsåattet

7ochtemetmeden.5118

30

63kr

atematikI

stemen.p.aföre1

t

1luterns

en

2.d

Tekniskt

82

217. 3a)

b)218. Lö

ad

a)

b)219. 53

Varevia)b)

220. Lö

ad

a)

b)

c)

221. Lö

ge1⁄

222. Lö

tbasår

8 42 8

3 25

) Vadskaandraek‐termeaddition

) Lösekvaösekvationdditionsme) 2 35) 27 35 43 6adkandumespektiveeidaddition) –term) –termösekvationdditionsme) 4 93 7) 2 812) 0,5

ösekvation

enomattsä⁄ .ösekvation3 42 6

33,75

651 dumultiplkvationenmernaska”fön?ationssystenssystemetetoden.

3113 010 0

559

multiplicerekvation2mvilleliminernaernanssystemetetoden.

432612 0

2 8 00,3 64 0

nssystemet

ätta1⁄

nssystemet1 122 3

liceradenmedförattörsvinna”vemet.tmed

0

raekvationmedomduera

tmed

00

t

och

t

10

tvid

n1u

223.

224.

225.

Lös följanAnvänd suadditionsm

a) 1,20,8

b) 1000100

JoséharltillsammapantautomlämnatenBildenvis

Bestämppantenfö

Företagetsortersbuochenex

Bumeraförhandtraditiontimmarmåla.EnfyratimtimmarUndereantalbuveckansfärdigabsnidarna150timsammanHurmåntillverka

nde ekvationubstitutionsmetoden

2,01,4

0 1027

ämnattrebans60tommatenochnbackmedsarderaskv

antenföreöretttomgltKooritillvumerangerklusivvari

ngernaskadochsedannellbumerattsnidaonexklusivbmarattsniattmåla.nveckatillumerangerslutendasbumerangeaarbetatsamarochmnlagti100tngabumeraadesunder

Ma

nssystem. smetoden el

5,47,8 330

7

backarmedmglasiMariahard14tomglakvitton.

entombacklas.verkartvåor,entraditiiant.

aförstsnidnmålas.Enrangtartrechentimmbumerangtidaochtrelverkadesesåattdetvstfannsheler.Dåhadeammanlagt

målarnatimmar.angerrdennavec

atematikI

ler

d

as.

koch

olikaonell

asnmeatttar

ettvidlteti

cka?

Tekniskt

NågraExemp

Fall1Fall2Fall3

tbasår

aspecielpel

llaekvatNärAttobeLåt1

Alg

2

2

Ekvlösn

0Ekvlösn

VilekvEkvsamEkvoän

tionssystrmanlöserekvationssegränsatanosstittapå

26

gebraisklö

26

2 6426 2 4

25

2 5

22 4

vationssystning: 24

3(orimligvationssystning.

öserutyuvationenocvationernammarättalvationssystndligtmång

11

temrettekvatisystemethantallösningåtreexemp

2

ösning

4

5

temethare24

gt)temetsakna

rdenandrchfårbeskriverinje.temethargalösninga

onssystemarenlösningar.pel.

25

en

ar

a2‐

ar.

kantrefalng,saknar

3 2Grafisk

En skärninDetta gälleolika k-vär

Ingen skärDetta gällesamma k-vvärde.

Alla punktDetta gällesamma -vvärde.

Ma

llinträffa:lösningell

22 4

klösning

ngspunkt er när linjernrden.

rningspunkter när linjernvärde och oli

ter är gemener när linjernvärde och sa

atematikI

erhar

na har

t. na har ika m-

nsamma. na har mma -

Tekniskt

226.

227.

V

228.

b

229.

v

tbasår

Ekvationssharendast

10.BeLinjerna

3o3

VadkanduekvationssMotiverad

Grafernatiekvationssärritadeif

a) Bestämb) Vilken

systemc) Omlin

skärnivärdetvärdehekvatiooändlig3

Undersökaekvationssvärdenpåsvar.

systemettenlösningstämtaletharekvatoch har3

usägaomlsystemetdittsvar.illekvationsystemetfiguren.

mtalet .lösninghamet?njen rotengspunktetpå ochhar ochonssystemgtmångalö

7antaletlösnsystemetföoch .Mo

3 4g 2och.

tionenekvationen

ösningenti33

nernai2

arekvationerarruntnsåändras.Vilketdåetharösningar?

ningartillrolikaotiveradin

12

h

n

ill3?

s‐

s

na

4

69

230. Lössvar

a)

b)

c)

d)

231. Skritills2systa)b)

232. 2

a)b)c)

233. För

ekv

Ene

234. Lös

ExaFörklitendettlösn

2 56 1

12 125

ekvationssretgrafiskt2222210 55 22,5

ivenekvatammansm3 5ge

temsomSaknarlösHaroändli

62

Förvilkavsaknarekvlösningharekvatilösningharekvatilösningi1, 0 ?

vilkavärdeationssyste

endalösninekvationss

kt,för33,1.klarageomnändringitafallgereningen.

Ma

1,5

1127

systemetot.3535315101

tionsommedekvatioerettekvasningigtmångal

värdenpåvationssystionssystemionssystem1:akvadran?enpåtaletemet

ng?systemet

33ochsedmetrisktvarkoefficientenstorändr

atematikI

chtolka

onentions‐

lösningar.

temet

metenmetennten

ahar

danförrförenten iringi

Tekniskt

Basvek

ON‐sys

ParallevektorExemp

Lösnin

3Sid13‐191‐44‐04

tbasår

MERED

ktorer blä

stem OdVbsä

ella Ter

pel1 B

v

ngfi

Dti

s

Dv

16någotoma4635‐9

ROMEnvektorkDessariktni‐riktning.ObasvektorerängdenettONbetyderdärförattbaVarjevektorblir 3ägerattveär3 och2

Tvåvektore

Bestämdetvektor 1, 1

3, 1 1,innasettta1, 1 3

Dennavektoillekvation3 1 2omharlös

25Detreellata

3, 1 1,vilketärpar

arbetatfrån:

VEKTanalltiddeingargesiOmdeväljsr,deutgöreutgördeenortonormaasvektorerrkanalltid+2 ellerktorn har2 .

er och ä

reellatalet.

, 2 3alk,sådant3 , 1 2orekvationnssystemetningen

alet 2g, 2 3, 1rallellmed

L.A.Callenbe

13

TOREelasuppikplanetavtssåattdeienbas.Omnsåkalladal,ortofrånrnaharlängdskrivassorommanurkoordina

ärparallella

ttsåattve

, 1 2 satt

ngeruppho:

göratt2 1, 2

1, 1 .

erg(2006),M

ER3komposantetvåvektoreinteärparadedessutoON‐bas,etngdenett.omensummunderförståterna 3, 2

aomochen

ktor 3

skavarapa

ov

3, 1

MatematikBre

erlängstvår, ochallellasägsomärvinkettON‐system(vinkelrä

maav ocårbasvekto.Komposa

ndastom

3, 1 1,

arallellmed

2, 4 5

eddning,Stud

Ma

ågivnarikt,dvs.i ‐rvektorparelrätaochhm.ät)ochnorm

ch .Ifiguorerna, 3, 2anternatill

∙ ,

, 2 blirpar

d 1, 1 .De

5, 5

dentlitteratur

atematikI

tningar.respektiveetvarahar

merat

rennedan2 .Manvektor

∈ .

rallellmed

tskaalltså

rAB,ISBN

Tekniskt

Ekvivaklass

Ortvek

Exemp

Lösnin

tbasår

alens‐ Tr

Ov

ktor o

Oov”s

I

pel2 Pk

ngk

Tvåvektoreiktning.Ma

Omenvektovektorsammortsvektor.Ommanisiochslutipuvektornslutpunkte

figurenins

Punkternakoordinater

ärvektkoordinater

53

ersägsvaraankanocks

Vektooriekvivalmakoordin

ittkoordinaunkten kblirns”koordi

sesävenatt

och harnaförvekt

ornsomgårärnaturli3, 3 45, 4 3

14

aekvivalensåsägaatt

orerursamm

lensklassennatersomd

atsystemrikanmanka

,naterminu

t

arkoordinatorerna

årmellanogtvis 3,4

2, 12, 1

ntaomdeädetillhörs

maekvivalensk

nharsinbödenpunktd

itarinenvalladennav

omus”startpun

aterna 3, 4, och

rigoochpu

rlikalångasammaekv

klass.örjaniorigodärvektorn

ektormedvektor

, ocnktens”koo

4 respektivh .

unktenP1o

Ma

aochharsavivalensklas

o,såhardenslutar,oc

startipun.Koordinachordinater.

ve 5, 3 .Be

ochvektorn

atematikI

ammass.

ennachkallas

kten aternaför, ,dvs.

estäm

ns

Tekniskt

ExempLösnin

Vektor

Exemp

tbasår

pel3 PabVcV

ng a)bkclä

rlängd IOLev

I

pel4 V

22

Punkternaa)Bestämkob)VektornQVarför?)OrtsvektoVilkenpunk

)b)P P harkoordinaterc)Envektorängdochri

mångatilläOmmanharLängdenavllerbeloppvektorn.

enON‐bas

Vektor

2 2 3, 22 √6

och haoordinaternQ Q ärekvornidennakt?

2 0, 0rsammalänrärsammarsombörjaiktningsom

ämpningarrangettvekenvektorkpet,skrivs|

är| |

3, 2 ärgi

6, 4 4 √3

15

arkoordinnaförvektvivalentmeekvivalens

1 2,ngdochrika.ariorigoomQ Q

rärdetviktktorskoorkallasofta|.Längde

om

ven.Beräk

6 16 √

aterna 0, 1tornQ Qedavvektosklassstart

1 ktningsomchslutarip

tigtattkundinateriOocksåförbnavenvek

mkoordina

kna 2 .

√52

1 respekti.orernaiExetariorigoo

Q Q efterpunkten(2

naberäknaN‐basblirdbeloppet.Läktorärettr

aternaför

Ma

ive 2, 0 .

empel2.Viochslutari

rsomvekto2,‐1)harsa

aenvektordettaväldiängdenavreellttalko

är , .

atematikI

ilken?enpunkt.

orernasamma

rslängd.gtenkelt.vektorn ,opplattill

Teknisktbasår MatematikI

16

301. Låtu 1, 4 ochv 2, 2 .Beräknaikoordinatforma) 3 b) 2 c) 3 d) 32

302. Vektorn 2, 5 och 1, 4 ärgivna.Beräknaa) | |b) 2 3

303. Vektorerna 0, 4 och4, 3 ärgivna.Beräkna

a) 3| |b) |2 3 |c) | | | |d) | |

304. Iettkoordinatsystemärentriangelritad.Hörnenärplaceradeipunkterna 1, 2 , 4, 0 och

1, 1 .Angekoordinaternaförvektorernaa) b) c) d)

305. Visaattpunkterna 1, 0 ,4, 2 och 6, 10 3⁄

liggerpåenrätlinjegenomattberäknakoordinaternaförvektorerna och .

306. Bestäm såattdetrepunkterna

1, 2 , 0, 4 och 3, liggerpåenrätlinje.

Tekniskt

Definit

Exemp

RäknerEkvatiochOlikhe

4 Sid.17NStudentli

tbasår

ABStion A

|

pel1 |3NEOGgtap|

regler

ioner Ed

eter |inVäfö

NågotomarbitteraturAB,

ab

OLUTAbsolutbelo

| 3| 3Noteraatt|Ettalternati

ObserveraaGeometriskgenerelltreallinjen,eftpunkten

|

Ekvationend.v.s.tvåpu

|nnebärattVidalgebraiärdetoftapöljandesam

etatfrån:K.EISBN978914

|| ∙ |

a)

b)

TBELoppetavett |0| 0| 0föraivtsättatt

att√ |ktrepresentpresenteratersomdett

påtallin

| | däunkterpåtakantolkasmåstelig

isklösningpraktisktatmband:0 å ä0 å ä

Eriksson,H.G44089997

| | || | ∙ | |

17

LOPP4ttal bete00

| 5allareellatdefiniera|

|gälleralterar| |avar| |ataavståndnjentill0.

är 0haallinjensomssomettavggamellangavekvatiottdelaupp| || |

Gavel(2013),

4cknas| |o

5| 5tal ,och||ärdärför

ltid,men√vståndetmavståndetmärdetsam

artvålösninmstårpåavvståndsom

ochonerocholiproblemet

,Diskretmate

c)d)

ochdefinier

| 0barar| | √

√ gälellanxochmellanpunkmmasomav

ngar,vståndet märmindre

.ikhetermetiolikafall

ematikochdi

| || |

| |

Ma

rasenligtn

aom 0..

llerbaranäh0påtallinkterna ocvståndetfrå

ochfrån0.Olikeän ,såd

dabsolutbmedhjälp

iskretamodel

atematikI

nedan:

är 0.jen.Merch påån

,khetendetta

eloppsåav

ller,

Teknisktbasår MatematikI

18

Exempel2a Lösekvationen| | 3 Lösning 0 3 0 3 ⟹

33

Exempel2b Lösolikheten| | 3 Lösning 0 3 0 3 ⟹

3 00 3 ⟹ 3 3

Exempel2c Lösolikheten| | 3 Lösning 0 3 0 3 ⟹

33

⟹ 3 3

Exempel2d Lösolikheten| 1| 4 Lösning 1 0 1 4 1 0 1 4 ⟹

3 11 5

⟹ 3 5

Exempel2e Lösolikheten| 1| 3Lösning 1 0 1 3 1 0 1 3 ⟹

24

⟹ 2 4

4 3 2 1 1 2 3 4

4 3 2 1 1 2 3 4

3 2 1 0 2 3 4 5

4 3 2 1 0 2 3 4

4 3 2 1 1 2 3 4

Teknisktbasår MatematikI

19

Idettaintervallblirolikheten

xVifår

3x 2 12 3x 12 1 3x

Idettaintervallblirolikheten

Vifår 1

3 2 13 3

1

23

Exempel3a Lösekvationen|5 2 | 3.Användtallinje Lösning:förattenkeltvisa Teckenväxlingskernär5 2 0d.v.s.när 2,5aktuelltintervall Svar: 1och 4Exempel3b Lösolikheten|3 2| 1. Lösning: Teckenväxlingskernär3 2 0d.v.s.när 23 Svar:1 3 1⁄

401. Beräknagenomatttabortabsolutbeloppetstecken.a) |5 7|b) |7 5|c) |4 |d) |2 8|

402. Låt 3och 7,ochvisaatt

räknereglernaa)tilld)nedanstämmera) | | | |

b) | ∙ | | | ∙ | |

c) | || |

d |x| x

403. Lösekvationena) | 2| 1b) | 4| 7c) |2 5| 2d) 2| | 1e) | 2| 1

404. Lösolikheten

a) | 1| 3b) | 4| 1c) |2 5| 2d) | 1| 2e) 1 | 1| 3

5 2 3 2 5 3 2 8

4

Idettaintervallblirekvationen5 2 3 2 2 1

Idettaintervallblirekvationen

2,5

Tekniskt

Formel

Lösaut

tbasår

FORISverFahre

Föra1. Su2. D3. Sv

l Istäl

Enfouttry

t OmvtillFa

Attlölikhelikhe

RMLErigemäterenheit

attomvandubtrahera3Divideramevaretärigletförattb

ormelärenyck.FormelvilöserutFahrenheitg

ösaenvariatstecknetotstecknet.

Vänsterled

Rvitempera.

lafrångrad32frånFahed1,8.raderCelsibeskrivade

likhet,därnovangerFidennalikraderF.

abelutureochalltann

VL

20

aturenigra

derFahrenhrenheitgraius.ettamedor

rvänstralerossenregkhetfårvie

1,8

ettuttryckinat(ävenan

321,8

aderCelsiu

nheittillgraaderna.

rdkanvigö

detärenvgelförhurtenformelf

32innebärattndravariab

2 H

s .IUS

aderCelsiu

öradetmed

variabelochtemperaturförattöver

tfådenfritbler)påand

ögerledHL

Ma

SAanvänds

usgörman

dhjälpave

hhögraledrenCkanbrföraCelsiu

ttpåenasiddrasidana

atematikI

grader

såhär:

enformel.

detärettberäknas.usgraderC

danavav

Teknisktbasår MatematikI

21

501. Lösutvariabelsomstårinomparentesefterformeln.a) 3 4 13 0 b) 5 3 14 0 c) S 2 2 d)

502. Lösutvariabelsomstårinom

parentesefterformeln.a) b) c) d) 2

503. Lösutvariabelsomstårinom

parentesefterformeln.a) 2 b) c) 1 d)

504. Lösutvariabelsomstårinom

parentesefterformeln.a) b) 2 c) F d) e) √ f)

505. LösutIursambandet . 506. Lösut urformeln . 507. LösutdepositivastorheternaD

respektiveLursambandet ∙ .

508. Manharsambandet ∙

därallaingåendestorheterärpositiva.Lösut , , resp .

509. Dåmanräknarpåentypavväxelströmkretskommermanframtillsambandet därallastorheterärpositiva.Lösut , respektive .

510. Ommanräknarmedenergisåkan

mankommaframtillsambandet

mellandepositivastorheterna,, , , och .Lösut , resp.

511. Densomsysslarmedplanböjning

avrakbalkfårförrellersenareanledningattbefattasigsambandet

.Lösutstorheterna , resp .

512. Lösuthurformeln 2 .

513. Lösut urformeln

.

514. Manhar 0och 0.Lösut urformeln .

515. Lösut , 0,urformeln2 1 2.

Tekniskt

ExempExempExemp

Längd

Areask

Volym

SammaFattnin

5Sid22‐2Kulturlä

tbasår

AREK(f

pel1 O

pel2 O

pel3

Dc

dskala

kala

mskala

A

an‐ng

25någotomaäromedel,ISB

EA–OKartorochrföremålet)Omenkarta

Omenritnin ä

Denstoracyylindern.

ä

Allmäntgäll

arbetatfrån:BN978‐91‐27

Om längd

OCHVritningarär.aharskalan

ä ä

ngärgjort

ylindernär

ä

öä

lerförlikfo

L.Alfredsson7‐42253‐7

dskalan s

22

VOLYrlikformig

n(skalfaktå

iskalan1:50

renlikform

ä ä

å

ormigaomr

n,K.Bråtingm

så är areaska

MSKAaavbildnin

orn)1:200

50,såär

migavbildn

ö å

ö å

rådenochk

m.fl.(2012),M

alan o

ALA5ngaravver

000,såär

ä

ing(enförs

å

=

∙∙

kroppar

Matematik50

och volymska

Ma

rkligheten

ä å

storing)av

∙

000kurs2c,N

kalan

atematikI

vdenlilla

Natur&

Tekniskt

Exemp

Exemp

tbasår

pel1 T

BabcLabcS

pel2 Thd

LDsd

Trianglarnaärenavb

Bestäma) längdskb) areaska) areanLösning:

a) äb) ) 32

Svar:AreanTvåvaserhhögochhardenmindre .

Lösning:Denmindreomenförmdenstörre,vä

1000216

a och äbildningav

kalanalan

1ä

∙ 9 4 72av är72arsammafrvolymen1vasensvol

evasenkanminskadmovilketger

9 1510

3 5

22023

ärlikformi.

2 8 3 2ä 2 2.formmeno1000 .Dlym,

nsesodellav3 5

00

ga.

3 2

olikastorleDenmindr

9 4

ek.Denstörevasenär

Ma

rrevasenä9,0 hög

atematikI

är15cmg.Beräkna

Tekniskt

601. AgAabc

602. Tma

B

abc

603. R

B

604. I

tmtVdt

605. P

unHo

606. V

fab

tbasår

S

1 1 ∙

AvettföremgörsenkopAngea) längdskab) areaskalc) volymsk

Trianglarnamensammaavbildning

Bestäma) längdskab) areaskalc) denmindRätblockenBeräknade.

denmindrtrianglarärmotsvarandtriangeln.VilketärfördenmindretriangelnarPåenkartauppskattarnaturreservHurmångaområdetiv

Vilkenlängfördubblinga) areanb) volymen

Svar:Denm

10

målmedhöpiamedhöjalanankalan.aharolikaaform. äav .

alanandretriangenärlikformenokändav

reavtvålikrensida80desidaiderhållandeteochdenstreor?aiskala1:4Bellaareanvattill80ha(hektarverklighete

dskalagergav

n

mindrevaseöjden4jden1 .

storlekären

elnsarea.miga.volymen,

kformiga0%avenstörremellantörre

4000navett

.r)ärn?

en

24

ensvolymä6

6

6

6

är220607. A‐form

pappe

Allarelikform1ha

841a) Den74lån

b) Vilk608. Hurm

areanlängdma) 2ggb) 3ggc) 4gg

609. Sverigharen4500ÄrdetskalaA4‐pa

610. Tillettbyxlän80Medhtygåtgparjeamede

. matetärdeersformaten

ektanglarnamiga. 0harmåtten59.

nkortasida.Vilket

gsidan?kenareahamångagångavenfigurmåttifigurgrsålångagrsålångagrsålångageärca157ntotalarea00 .tsantatten1:100000apper?Motitparjeansngden(innegårdet hurmångapgångenökaansavsamen10%län

Ma

evanligasteniEuropa.

aiA‐serienararean194

anpåetttmåttharar 2?gerstörrebromallarenbliraaa?7 långtapånSverigeka0fårplatsiveradittsmedersömmen

tyg.procentböa,ommansmmamodellngreinners

atematikI

e

när.

7är

blir

och

artaipåettvar.

n)örsyrettlmenöm?

Tekniskt

611.

tbasår

Ettkoniskdetärfylld

Hurmångdruckitdåtillhälften

ktglasrymmdtillbredd

gacentiliteråvätskanshn?

mer8 dåden.

rharmanhöjdsjunki

25

å

it

6

6

612. Etträtavbia) areb) vol

613. Triangsomp

Bestä

tblockmedildasmedseaskalanärlymskalanägeln hparallelltrap

miexaktfo

Ma

dsidornaskalan .Vir är .harlikastorpetsen

ormkvoten

atematikI

, ochsaatt

rarea.

n ⁄ .

Tekniskt

FAC

101. Sy

Sy

102. a) b)c) d)e) f) g) h)

201.

Le202. a)

b)

203.

a)

b)

204.

a)

b)

tbasår

CIT

ymbolen⟺skaymbolen⟹ska

Tex: 4 Tex:VinkelnTex: ä

Tex: 5Tex:PolygonTex: ärettTex:Djuretk

Tex:Siffersumed3.

21

edtråd:Avlässk

21

3 4

13

2 3⁄ och

1,8och

aståirutornaaståirutorna

närtrubbig.ärenfyrhörnin5nenärenfemhtnegativttal.kansimma.ummaniheltal

kärningspunkt

5 3⁄

0,4

ia),b)oche).c),d)ochf).

ng.hörning.

let ärdelbar

ten.

26

20

20

20

20

20

21

21

05. a)

LedtErsä

b) 06.

a) b) c) d)

07. a) b) c) d) LedtrådcBörjame

08. a) 43

ärenm

b) Enbc) Enm

09. 1 5⁄Kontroll:

3 ∙3

10. a) 23

ärpris

b) Enkc) Enb

11. a)

520

tråd:ätt med4 id64

8 5 7 32⁄ 1 2⁄

5 3

24322

12

4c):edattlösautx

382 46

rprisetpåenbmacka.banankostar6mackakostar1

15 1

35

55

7 ∙ 15 115

4 593 63

rprisetpåenketpåenbulle.koppkaffekostbullekostar8,5

34

Ma

denandraekv

idenförstaek

bananoch är6kr.14kr.

55

85 15

575

85

koppkaffeochtar12,50.50kr.

atematikI

vationen.

kvationen.

prisetpå

är

Teknisktbasår MatematikI

27

b) 5 2⁄1 6⁄ 212. 12

Ledtråd:Bestämvärdetpå5 4 om5 4 3 9

213. 1 2, 2⁄ , 2, 3 , 2, 1

214. Ja,allalinjergårgenompunkten 14, 25 .

215. 3, 1

Ledtråd:Sättin 7och 2.Lösekvationssystemeti och

216.

a) 417b) 42

Ledtråd:Börjamedattadderaledvis.217.

a) 3b) 194

Ledtråd:Lösekvationssystemet3 2 653 15 3

218.

a) 29b) 11

219. Texa) Ekvation1med3ochekvation2med 5.b) Ekvation1med6ochekvation2med4.

220.

a) 6725b) 51 4⁄ c) 106

221. 82 Ledtråd:Ekvationssystemet8 4 32 8 3,75ger 1 8⁄ och 1 2⁄ .

222. 11

Ledtråd:Börjamedattmultipliceraekvationernamednågongemensamnämnare.

223.

a) 4,53b) 0,0330

224. Enbackpantasför21,4krochetttomglasför

0,70kr.Ledtråd:Lösekvationssystemet

3 60 106,2014 31,20

225. Dettillverkas10traditionellabumerangeroch30exklusivabumeranger.Ledtråd:Lösekvationssystemet3 4 150

3 100226. 5227. Ekvationssystemetsaknarlösningeftersom

linjernasaknarskärningspunkt.Linjernaärparallella.

228.

a) 2 3⁄ Ledtråd:Bestämlutningenpå

b) 3, 1 c) 1och 2

Ledtråd:Ekvationssystemetharoändligtmångalösningareftersomekvationernabeskriversammalinje.

229. Om 3finnsenendalösningtillekvationssystemet.Motivering:Linjernaärinteparallella.Om 3och 7saknaslösning.Motivering:Linjernaärparallellameninteidentiska.Om 3och 7finnsoändligtmångalösningar.Motivering:Ekvationernaäridentiska.

230.

a) Saknarlösning.Grafisktolkning:Ingenskärningspunkt.

b) Lösning:21

Grafisktolkning:Enskärningspunkt.c) Lösning:

Alla , förvilka2 3Grafisktolkning:Allapunkterärgemensamma.

d) Saknarlösning.Grafisktolkning:Ingenskärningspunkt.

231.

a) Tex 2 3 1Ledtråd:2 3 5kanskrivas

2 3 5 3b) Tex4 6 10

232.

a) 0,5b) 0,5c) 1 3⁄

Ledtråd:Då 1 3⁄ hamnarskärningspunktenpå ‐axeln.

Tekniskt

233. 234.

LinLeJäm

301. a)b)c)d)

302.

a) b)

303. a) b)c) d)

304. a) b)c) d)

305.

Villin

306. 307.

6308. 309.

tbasår

333ger 433,1ger

njernaärnästaedtråd:mförderas ‐v

) 3, 12 ) 3, 8 ) 5, 10 ) 2, 7

√29 √2915

√1459

√653, 2

5, 1 2, 3

5, 1

3, 223 ⟹ ∥lketinnebärat

nje.10

och 2 22, 3

49 3⁄ 16,3o98och

anparallella.värden.

2 ,⟹ ∥

tt , och lig

ch 44269,4

2, 4 3⁄

ggerpåenrätt

28

t

40

4040

40

50

50

50

50

01.

a) 2b) 2c) 4

d) 2802. ‐

03.

a) b) c) d) e) Alla

04. a) 2b) 5c) 7⁄d) e) 22

01.

a) b) c) d)

02. a) b) c) d)

03. a) b) c) d)

04. a) b) c) d) e) f)

44 48 42 4

13216

04 5⁄ 1

1 3⁄ 2

43

2⁄ 3 2⁄1eller 3

04

13 4 3⁄ 5 4 3⁄ 2 ⁄

⁄ ⁄

2

2 2 2

√

2

4 1 4

Ma

23

1

atematikI

Tekniskt

505. 506.

507.

508.

509.

510.

511.

512.

513.

514.

515. Om

601. a)

b)

c)

602.

a)

b)c)

tbasår

2 4

√

22 2

2

1 1

√m √

1 4Ledtråd:

ä 1 16Ledtråd: 11 64Ledtråd: 1

3 4Ledtråd:Ska

9 146,8 (6

2

√ såfårman

ö å⁄

4

4

alanbrukaran

6,75)

ntvålösningar

ä

ngesmedhelta

29

.

al.

6060

6060

60

60

60

61

61

61

61

03. 16004. Förhållan

är64%aLedtråd:

05. 13hekta

06. a) Längb) Läng

07. a) 105b) 0,25

08. a) 4b) 9c) 16

09. Nej.MotiverinKartbilde

10. 21%Ledtråd:Längdsk

11. 7 Ledtråd:

12. a) Rätb

Bild

b) RätbBild

13. √2

ndetär16 25⁄ avdenstörrea80%kanskri

ar (12,8)

dskalan=√2dskalan=√2

5

ng:enavSverigeä

alan 1,1

Volymskalan

blockensarea2 2

densarea:2 ∙ ∙2 2∙

blockensvolym

densvolym:∙ ∙

2 1

Ma

ellerdenmindarean.ivas4 5⁄ .

är157cmlång

1 2

2 2 ∙ ∙ 22

m:

∙

atematikI

drearean

g.

∙ ∙

Teknisktbasår MatematikI

30

Teknisktbasår MatematikI

31