194

CHƯƠNG 1

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.TÍNH CHẤT CỦA VECTƠ

Cho 2 vectơ ®

a = (a1,a2,a3), ®

b = (b1,b2,b3)

Ta có:

ïî

ïí

ì

===

Û=®®

33

22

11

ba

ba

ba

ba

( )332211 ,, babababa ±±±=±®®

( )321 ,, kakakaak =®

( k ÎR )

22 ®®

= aa

23

22

21 aaaa ++=

®

332211. babababa ++=®®

cos ÷øö

çèæ ®®

ba, = ®®

®®

ba

ba .

0. =Û^®®®®

baba

195

II. TÍNH CHẤT CỦA ĐIỂM

Cho 2 điểm A(xA, yA, zA,), B(xB, yB, zB)

Ta có:

= (xA, yA, zA)

= (xB - xA, yB - yA, zB - zA)

OA = 222AAA zyxOA ++=

®

AB = ®

AB ( ) ( ) ( )222ABABAB zzyyxx -+-+-=

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ≠ 1) ó = k.

ó

ïïï

î

ïïï

í

ì

--

=

--

=

--

=

kkzz

z

kkyy

y

kkxx

x

BAM

BAM

BAM

1

1

1

Tọa độ trung điểm I của đoạn AB:

ïïï

î

ïïï

í

ì

+=

+=

+=

2

2

2

BAI

BAI

BAI

zzz

yyy

xxx

Chú ý: Cho điểm M(x,y,z)

1/ M Î(Oxy)ÞM(x,y,0)

M ( )ÞÎ Oyz M(0,y,z)

196

M ( ) ( )zxMOxz ,0,ÞÎ

2/ M Î Ox Þ M(x,0,0)

M Î Oy Þ M(0,y,0)

M Î Oz Þ M(0,0,z)

III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Cho 2 vectơ: ®

a = (a1,a2,a3), ®

b = (b1,b2,b3)

Tích có hướng của hai vectơ và , ký hiệu úûù

êëé ®®

ba, (hoặc ®®

Ù ba ),

là 1 vectơ có tọa độ:

[ ] =

Tính chất:

1/ Vectơ úûù

êëé ®®

ba, vuông góc với cả 2 vectơ ®

a và ®

b , tức là:

0.,., =úûù

êëé=úû

ùêëé ®®®®®®

bbaaba

2/ úûù

êëé-=úû

ùêëé ®®®®

abba ,,

3/ ÷øö

çèæ=úû

ùêëé ®®®®®®

bababa ,sin,

IV. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CÓ HƯỚNG

1/ Chứng minh 2 vectơ cùng phương:

Cho 2 vectơ ®

a = (a1,a2,a3), ®

b = (b1,b2,b3)

197

Ta có:

®

a và ®

b cùng phương Û úûù

êëé ®®

ba, = ®

0

®®

=Î$Û bkaRk .: ÷øö

çèæ ¹

®®

0b

3

3

2

2

1

1

ba

ba

ba

==Û ( b1.b2.b3 ¹ 0 )

2/ Chứng minh 3 vectơ đồng phẳng:

®

a , ®

b , ®

c đồng phằng Û ®®®

úûù

êëé cba ., = 0

3/ Tính diện tích tam giác ABC:

úú

û

ù

êê

ë

é=

®®

ACABS ,21

4/ Tính diện tích hình bình hành ABCD:

úú

û

ù

êê

ë

é=

®®

ADABS ,

5/ Tính thể tích tứ diện ABCD:

®®®

úûù

êëé= ADACABV ,

61

6/ Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:

®®®

úûù

êëé= ', AAADABV

198

V. MẶT CẦU

Phương trình mặt cầu:

( x – a )2 + ( y – b )2 + ( z – c )2 = R2

là phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0)

là phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R = dcba -++ 222

TỌA ĐỘ, VECTƠ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Vấn đề 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp:

A, B, C, thẳng hàng ó ®

AB cùng phương

®

AC úûù

êëéÛ

®®

ACAB, = ®

0

Suy ra:

A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác ó A, B, C không thẳng hàng

úûù

êëéÛ

®®

ACAB, ¹®

0

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Phương pháp:

A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện ó , , không đồng phẳng đđ

úûù

êëéÛ

®®

ACAB, .®

AD 0¹

Vấn đề 3: Tính các góc của 1 tam giác.

199

Phương pháp:

Để tính góc A của DABC, ta áp dụng công thức:

®®

®®®®

=÷øö

çèæ=

ACAB

ACABACABA ,coscos

Các góc B và C được tính tương tự

Suy ra:

Góc A vuông 0. =Û®®

ACAB

Góc A nhọn 0cos >Û A 0. >Û®®

ACAB

Góc A tù ó cosA < 0 0. <Û®®

ACAB

Chú ý rằng một tam giác có nhiều nhất 1 góc tù.

Vấn đề 4: Các yếu tố liên quan đến DABC

1/ Trọng tâm G:

( )

( )

( )ïïï

î

ïïï

í

ì

++=

++=

++=

CBAG

CBAG

cBAG

zzzz

yyyy

xxxx

313131

2/ Trực tâm H:

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện:

200

ó

3/ Chân đường cao A’ của đường cao AA’:

Tìm tọa độ điểm A’ từ điều kiện:

4/ Tâm đường tròn ngoại tiếp I:

Tìm tọa độ điểm I từ điều kiện:

ó

Chú ý:

Nếu DABC vuông tại A thì:

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp: ICIBIAAB

R ====2

Nếu DABC đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trọng tâm của DABC.

5/ Chân đường phân giác trong và ngoài:

Gọi D, D’ là chân đường phân giác trong và ngoài của góc

Ta có:

ACAB

CDBD

DCDB

==''

®®

×-=Þ DCACAB

DB ,

®®

×= CDACAB

BD ''

201

Chú ý:

Để tìm tâm của đường tròn nội tiếp:

- Vẽ đường phân giác trong của góc B cắt AD tại I: I chính là tâm đường tròn nội tiếp.

- Tìm I từ công thức:

Vấn đề 5: Xác định hình tính của tứ giác.

1/ ABCD là hình bình hành ó ó

2/ ABCD là hình chữ nhật ó

3/ ABCD là hình vuông ó

BÀI TẬP

Bài 1: Cho 3 vectơ = (1,m,2), = (0,m-2,2)

a/ Tìm m để vuông góc .

b/ Tìm m để , đồng phẳng

c/ Tìm m để =

Giải

202

a/ Ta có:

ó = 0 ó m+1+2m+2=0 ó m = -1

b/ Ta có:

= (m-4, 2m+1, -m2-m+2)

. = (m-2)(2m+1)+2(-m2-m+2) = -5m +2

Do đó:

, đồng phẳng ó . = 0 ó -5m+2 = 0 ó m =

c/ Ta có: + = (m+2, m+2, 3)

Do đó:

= ó 2 = 2 ó (m+2)2 + (m+2)2 +9 = (m-2)2 + 4

ó m2 + 12m + 9 = 0 ó m = -6 ± 3

Bài 2: Cho = (1,-2,3). Tìm tọa độ vectơ cùng phương với vectơ , biết rằng tạo với trục tọa độ Oy một góc nhọn và = .

Giải:

Gọi = (x,y,z); Oy có vectơ đơn vị = (0,1,0). Ta có:

ó

ó ó

ó

Vậy = (-1,2,-3)

203

Bài 3: Cho = (1,1,1), = (1,-1,3). Tìm tọa độ biết , ^ , = 3 và tạo với trục Oz một góc tù.

Giải:

Gọi = (x,y,z). Trục Oz có vectơ đơn vị = (0,0,1)

Ta có:

ó

(1) và (2) cho: x=-2z, y=z

Thay vào (3): 4z2+z2+z2=9 ó z2 = ó z= - = - (do z < 0)

ð x= , y = -

Vậy: = ( , )

Bài 4: Cho 3 điểm: A (-2,0,2), B (1,2,3), C(x,y-3,7).

Tìm x,y để 3 điểm A,B,C thẳng hàng Giải:

Cách 1:

= (y-13, 13-x, 2x-3y+13)

ó = ®

0 ó

ó x = y = 13

Cách 2:

A, B, C thẳng hàng ó ó x = y = 13

204

Cách 3:

A, B, C thẳng hàng ó ó

ó

Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(-4, 1, 2), B(2a, a2 -3, 2)

Tìm a để 3 điểm O,A,B là 3 đỉnh của một tam giác. Giải: Ta có: a2 -3, 2)

=> = (2a2-8, -4a-8, 4a2+2a-12)

O, A, B là 3 đỉnh của một tam giác ó ≠

®

0êêê

ë

é

¹-+

¹--¹-

Û

01224

084

082

2

2

aa

a

a

ó a≠ - 2

Bài 6: Cho 2 điểm A(1,1,2), B(-1,3,-9)

a/ Tìm điểm M trên trục Oz sao cho ∆ABM vuông tại M b/ Gọi N là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oyz).

Hỏi điểm N chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm N? c/ Gọi α, β, γ là góc tạo bởi đường thẳng AB và các trục tọa độ. Tính giá trị của P = cos2α + cos2β + cos2γ Giải: a/ M Î Oz => M(0,0,z)

ó . = 0 ó -1+3+(z-2)(z+9)= 0

ó z2 +7z -16 = 0 ó z =

b/ N = AB (Oyz) => N(0,y,z)

205

= (-1, 3-y, -9-z) Điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k ó = k ó

ó

Vậy : k = -1, N(0,2, )

c/ = (-2, 2, -11); các vtcp của Ox, Oy, Oz lẩn lượt là = (1,0,0), = (0,1,0),

= (0,0,1)

Ta có: cosα = =

Cosβ = =

Cosγ = =

ÞP = cos2α + cos2β + cos2γ = 1

Bài 7: Cho 3 điểm: A(1,1,1), B(-1,-1,0), C(3,1,-1)

a/ Tìm điểm M trên trục Oy cách đều 2 điểm B, C b/ Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều 3 điểm A, B, C. c/ Tìm điểm P trên mặt phẳng (Oxy) sao cho PA + PC nhò nhất. Giải: a/ M Î Oy => M(0,y,0) M cách đều 2 điểm B,C ó MB = MC ó MB2 = MC2

ó 1+(y+1)2 = 9+(y-1)2 +1 ó y=

Vậy M(0, , 0)

b/ N Î (Oxy) => N(x, y, 0)

N cách đều 3 điểm A, B, C ó

ó

206

ó

ó

Vậy N (2, - , 0)

c/ PÎ(Oxy) => P(x,y,0) Nhận thấy A và C nằm khác phía đối với mp (Oxy) (do zA.zC = -

1 <0) Ta có: PA +PC ≥ AC

Do đó: PA+PC nhỏ nhất

ó PA+PC = AC

ó P = AC ∩ (Oxy) ó A, P,C thẳng hàng

Ta có:

A, P, C thẳng hàng ó và cùng phương ó = k

ó

ó

Vậy P(2, 1, 0)

Bài 8: Cho 2 vectơ = (1,-3,4), = (2,-6,8)

Tìm tọa độ biết ngược hướng với và = 3

Giải:

Gọi = (x,y,z) ; = (3,-9,12)

207

Ta có:

ó

ó

ó

Vậy = (-9,27,-36)

Bài 9: Cho ABC có A(0,0,1), B(1,4,0), C(0,15,1)

a/ Tính độ dài đường cao AK của ABC.

b/ Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC.

c/ Tìm trực tâm H của ABC.

Giải:

= (1,4,-1), = (0,15,0), = (-1,11,1)

= (15,0,15) => SABC = | ]| =

Ta cũng có: SABC = AK.BC = => AK = =

b/ Gọi I(x,y,z). Ta có:

ó

ó ó

208

Vậy I(- )

c/ Gọi H(x,y,z). Ta có:

ïïî

ïïí

ì

=

=

,,

0.

0.

ph¼ngångđAHACAB

ACBH

BCAH

ó

[ ]ïïî

ïïí

ì

=

=

=

0.,

0.

0.

AHACAB

ACBH

BCAH

ïî

ïí

ì

=-+=-

=-++-Û

01

04

0111

zx

y

zyx

ïî

ïí

ì

-===

Û21

4

22

z

y

x

Vậy: H(22,4,-21)

Bài 10: Cho 4 điểm: A(1,0,1), B(-1,1,2), C(-1,1,0), D(2,-1,-2)

a) Chứng minh rằng A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AB và CD. c) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD. Giải:

a) A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện ó , , không

đồng phẳng ó [ ]. ≠ 0

Ta có:

[ ]= (-2,-4,0) => [ ]. = 2 ≠ 0

=>A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) = (3,-2,-2), . = -10

cos(AB,CD) = |cos( , )|= = =

c) VABCD = |[ ]. | =

209

Ngoài ra: VABCD = SBCD.AH = => AH =

[ ] = (-4,-6,0) => SBCD = |[ ]| = =

=>AH =

Bài 11: Cho ABC có A(1,1,1), B(5,1,-2), C(7,9,1)

a) Tính cosin của góc A.

b) Chứng minh rằng góc B nhọn.

c) Tính độ dài đường phân giác trong của góc A.

d) Tìm tọa độ chân đường cao vẽ từ A.

Giải

a) = (4,0,-3), = (6,8,0), = (2,8,3)

cosA = cos( ) = = =

b) = (-4,0,3), = (2,8,3)

=> . = 1 > 0 => góc B nhọn.

c) Gọi D(x,y,z) là giao điểm đường phân giác trong của góc A với cạnh BC.

Ta có: = = = => = -2

= (7-x,9-y,1-z), = (5-x,1-y,-2-z)

Do đó:

= -2 ó ó => D( )

210

=> AD = =

d) Gọi H(x,y,z) là chân đường cao AH. Ta có:

ïî

ïíì =

BC

0.

ngph­ cïng oBH

BCAH (I)

= (x-1, y-1, z-1), = (x-5, y-1, z+2), = (2,8,3)

Do đó:

(I)

ïïï

î

ïïï

í

ì

-=

=

=

Ûïî

ïíì

+=

-=

-=-+-+-

Û

77151

778577

387

32

81

25

0)1(3)1(8)1(2

z

y

x

zyx

zyx

Þ H( 38777

, 8577

, -15177

)

Bài 12: Định m để các phương trình sau là phương trình mặt cầu:

a) x2 + y2 + z2 – 4mx + 2my – 2(m-1)z + 5m2 + m + 5 =0 (1) b) x2 + y2 + z2 + 2(m+3)x – 6my + 4mz + 13m2 + 2m + 5 =0 (2) Giải

a) (1) là pt mặt cầu ó 4m2 + m2 + (m-1)2 - 5m2 – m - 5 > 0

ó m2 – 3m - 4 > 0

ó m<-1 v m>4

b) (2) là pt mặt cầu ó (m+3)2 + 9m2 + 4m2 – 13m2 – 2m – 5 > 0

ó m2 + 4m + 4 > 0ó (m+2)2 > 0 ó m ≠ -2

Bài 13: Cho 2 điểm A(-1,0,-3), B(1,2,-1). Viết phương trình mặt cầu (S):

211

a) Có đường kính AB. b) Có tâm I thuộc trục Oy và qua 2 điểm A,B. Giải:

a) (S) có tâm I là trung điểm AB và bán kính R = IA

I(0,1,-2), R = IA = =

=> (S): x2 + (y-1)2 + (z+2)2 = 3

b) Cách 1:

I Oy => I(0,b,0)

(S) qua 2 điểm A,B ó IA = IB ó IA2 = IB2

ó 1 + b2 + 9 = 1 + (b-2)2 + 1 ó b = -1

=> I(0,-1,0), R = IA =

=> (S): x2 + (y+1)2 + z2 = 11

Cách 2:

I Oy => I(0,b,0) => (S): x2 + y2 + z2 – 2by + d = 0

ó ó

=> (S): x2 + y2 + z2 + 2y – 10 = 0

Bài 14: Viết pt mặt cầu (S) qua 3 điểm A(1,2,4), B(1,-3,-1), C(2,2,-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy)

Giải

Gọi I là tâm của (S)

I (Oxy) => I(a,b,0)

=> (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by + d = 0

Ta có:

A (S) ó -2a – 4b + d + 21 = 0 (1)

B (S) ó -2a + 6b + d + 11 = 0 (2)

212

C (S) ó -4a – 4b + d + 17 = 0 (3)

(1), (2), (3) cho a = -2, b = 1, d = -21

=>(S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y - 21 = 0

Bài 15: Cho 3 điểm A(2,0,1), B(-1,1,3), C(1,2,0)

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz) và tiếp xúc mặt phẳng (ABC) tại A.

Giải:

I (Oyz) => I (0,b,c)

Ta có:

(S) tiếp xúc (ABC) tại A ó Û (1)

= (-2, b, c-1), = (-3,1,2), = (-1,2,-1)

Do đó:

(1)ó ó => I(0,-2,-1)

Bán kính (S): R = IA = 2

=> (S): x2 + (y+2)2 + (z+1)2 = 12

Bài 16: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1,-3,6) và cắt trục Ox tại 2 điểm M,N sao cho MN = 8.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của I trên Ox => H là trung điểm MN.

HM = HN = = 4; IH = d(I,Ox) =

Gọi R là bán kính của (S): R2 = IM2 + IH2 = 61

=> (S): (x-1)2 + (y+3)2 + (z-6)2 = 61

213

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Chứng minh 3 điểm A(1,1,1), B(-4,3,1), C(-9,5,1) thẳng hàng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Biết A(-3,-2,0), B(3,-3,1), C(5,0,2)

Tìm tọa độ đỉnh D và góc giữa 2 vectơ và

Bài 3:

a) Tìm vectơ đơn vị vuông góc với trục Ox và vuông góc với = (3,6,8)

b) Tìm cùng phương với = (2 ,-1,4) biết rằng | | = 10

Bài 4: Cho = (1,1,-2), = (1,0,m). Tìm m để góc giữa và bằng 45o

Bài 5: Cho 2 điểm A(-2,3,1), B(5,6,-2). Đường thằng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M.

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào ? Tìm tọa độ điểm M.

Bài 6: Cho 3 điểm A(1,0,2), B(-2,1,1), C(1,-3,-2). Gọi M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2; N là điểm chia đoạn BC theo tỉ số 2. Tính độ dài đoạn MN.

Bài 7: Cho 3 vectơ = (3,-2,4), = (5,1,6), = (-3,0,2). Tìm vectơ thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện: . = 4, . = 35, vuông góc .

Bài 8: Cho 2 điểm A(1,2,3), B(2,0,-1)

a) Tìm điểm M thuộc trục Ox cách đều 2 điểm A và B. b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) cách đều 2 điểm A,B và

cách gốc O một khoảng bằng

Bài 9: Cho 2 điểm A(0,1,2), B(-1,1,0)

a) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆OAB b) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆OAB

Bài 10: Cho 4 điểm A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(-2,1,-1) a) Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.

214

b) Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD c) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Bài 11: Cho 2 điểm A(2,-1,0), B(-3,1,1)

a) Tìm điểm M Î mặt phẳng (Oyz) để MA + MB nhỏ nhất. b) Tìm điểm N Î mặt phẳng (Oyz) để |NA – NB| lớn nhất.

Bài 12: Cho ∆ABC có A(4,0,1), B(2,-1,3), C(5,-1,-1)

Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.

Bài 13: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(4,-2,1) biết:

a) (S) tiếp xúc mặt pẳng (Oxz). b) (S) tiếp xúc trục Ox. c) (S) cắt trục Oy tại 2 điểm A,B với AB = 10.

Bài 14: Viết pt mặt cầu (S) qua điểm A(1,-1,4) và tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ

Bài 15: Cho tứ diện OABC có A(4,0,0), B(0,-2,0), C(0,0,2), 0 là gốc tọa độ.

a) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. b) Tìm hình chiếu của đỉnh O trên mặt phẳng (ABC).

Bài 16: Cho 3 điểm A(-2,1,-2), B(2,1,1), C(-1,0,5). Viết phương trình mặt cầu có đường tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.