hệ phương trình - phần 3

Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam

H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 1

H PHNG TRNH (Phn III)

201. 2

2 2

1 4 3 0

22 9 18 4 3 76

x x y y

x y x

202.

6 3 2 29 28 30

2 3

x y x y y

x x y

203. 2 2

2

3 3

3

x y x x y

x y x x

204.

2 3

2

2 2

1 2

1log 1 1 log 2

x y x y

yx

205.

2 2 2

2

1 3

1 3 0

x x xy y x y

y y xy x

206.

2 2

2

5 0

2 5 1 0

x y xy x y

xy y y

207.

2 2

2 2 3 2

2 2 3 0

2 3 2 6 1 0

x y x y

x xy y x y y

208.

2 2 4 22 4 3 3

227 2 2 5 1 454x

y y x x x

y x x

209.

11 10 22 12

4 4 2 237 13 8 2 . 3 3 1

x xy y y

y x y x x y

210. 2

4

16 2 3

x y x y x y

x y x

211. 2 4 2 4 2

2

2 2 1 2 3 2

3

x y xy y x y

x y x

212.

2 3 2

2 4 3 8 13

x x y

x y

213.

2 263 3

2 2

3 3 2. 3 10 3

2 4 5 3

x y x y x xy y

x x y y

214.

2 2

2 2

1 1 4

6 4 6

x x y y

x x y y

215.

3 3 2

3 3

13 2

42

2ln ln 2ln 03

x y xy y x

y x x x y

216.

2 2

3

3

1 2 1 2 2 1 2

68 15

x y xy

xx y

217.

3 3

2 2

2 2

3 10 12

62 3

x xy y

x yx x y

x y xy

218.

2

1 2

3 3 2

2 2 2 6

x yx

x y x y

x y x y

219. 3 2 3

3

2 4 3 1 2 2 3 2

2 14 3 2 1

x x x x y y

x x y

220.

3 2 22 1 1

1 1 10

x x y x y y

x y y

221.

2 2 3

22 2

2 3 4 0

1 3

x y xy y x y

xy x y xy x y

222.

3 2 2 2 2 2 2

3 2

2 2

2 3 6 12 13

x y x y y x x x y

x x y x

223.

4

2 24 4

3 4

9 7 33ln 0

64 32 8 3

x y x y

x y x yx y x

y

224.

2

2

22 2

2

01

2 1 3

yx y

x x

xx y

y



225.

2 2

2 2

1 12

2

1 1

2

x yx y

y xx y

226.

2 2

29 2 4

21 9 18

y xx y

x y

x y

y x

227. 3 2

2

2 2 3 5 1 0

3 1 3 14 14

x y x y x y

y x x

228. 30 18 1

45 2 20 2

x y

y x

229.

2

22 2 2 2 2 2

2207 1 1

2 2 4 10 14 5

y y x

x y xy x y x xy y

230. 2

2

2 5 6 7 0

5 4 5 11 12 7

x y y

x y x y

231.

2 2 2 2

4 4

1 13 3

2

1 12

2

x y x yx y

y xx y

232.

2 2

2 2

9

5

5 3

6 5

x x y x

x x y

x x

y y

233.

2 23 2 1 1 4 2 1

3 3

y y x y x y

y y x y

234.

3 3

3 3

3 5 2 6

2 3 3 8

x y xy

x y xy

235.

22 7 10 3 1 1

31 2

1

y y x y y x

y x yx

236. 2 23

1 1 2

7229. 4

x y

xyx y

x y

237.

2

4 2 3 2

1 4 2 5 2 1 5

3 ( ) 6

x y y x

x x y x y y

238. 10 10 4 48

y yx xxy

y x

x y x y

239.

2 2

2 2

2 2

2 2

3

21

2

21

x y x y

x y

y x x y

x y

240.

1 4

2

2 22

x y x y

xx

x y xy

yy

241. 22 2

2

9 9 22 1

2 4 1 0

x x y y

x y y

242.

22 23

2

4 1 32 4

40 14 1

y x x x

x x y x

243.

4 3 4 1

2 3 4 5 4 1

x y y x

y x y x y x x y

244.

2 23 3 14

14 36

x y x y xy

x y x xy y

245. 3 2

2

2 2 1 1

4 2 1 4 1 0

y y x y x

x x y x y x

246.

2

2

2 3 17 13

2 4 10 13

x x xy

y y xy

247.

22 2 1 7 2

4 1 7 3

x y x y x x y

x x y

248.

2 5

3 4

x y xy x y xy

x y xy x y xy



249.

4 4

3 3 4 4

2 1

2

243

xy x y

x y x y

250.

2

2

1 2

1 5

1 1

1 2

y xy

y

x xy

x

251.

2 2

3 3 3

1 1 1 1 1

3 4 1 0

x y x x y y

x x x y x y

252.

2 2

4 2 2 4

x xy y x y

x x y y x y

253. 3 2

2

2 8 3 3 3 2

2 1 0

x x xy x y y

x x y

254.

2 2 4 2

2 2 3

x y x y

xy xy x y

255.

3

4 2 2

2 4 3 0

2 4 2 3 1 0

x y xy

x y x xy y x y

256. 3 3

1

y x x

x y x

257. 3 3 2 2

2

3 4 4 45

2 3 4

x y y x y xy

xy x y

258.

2

2

12 2 4

1 2 5 2

x y

y y x

259. 3 2 3 2

23

1 3 2 1 3 3

3 5 2 1

x x y x xy y x y y

x y y x

260.

2 2 2 2 1 0

2 2 1

x y x y

x y y

261.

33 2

1 12 2

2 2

ln 2

y xx y

x y

x xe x y y x e

262.

2 2

5 5

3 3

3

31

7

x xy y

x y

x y

263. 2 2

2 2

2 5 3 4

3 3 1 0

x x x y y

x y x y

264.

2 3

2 2

6 2 35 0

5 5 2 5 13 0

x y y

x y xy x y

265.

3 3

3 3 3

8 6 2 6 13

5 2 6 2 1 0

y xy x y x

x x x y x y

266.

2 2

2 2 3

x y xy x y

x y

267.

12

2

2

1

2 9 64 18 20 1

2 9 8

xyx y

x xx x y

x x

268.

32 2 2 2

2 2 3

2

76 20 2 4 8 1

x x y x x y

x y x x

269.

2

2 4 3 2

2 6 5 4 3

2 5 4 4

x x y

x y y y y

270.

3 31 2 9 5

5 1 1 3

xy y xy

xy y y

271.

3 2 2 3 2

2

12 3 7 3 7 2

2 3 5 0

y x xy x x y x y

x xy x

272.

3

2

3 55 64

3 3 12 51

x y

xy y y x

273.

2

2

1 2007

12007

1

y

x

x x

y y

274. 2 23

4 1 4

42 1

x x y

xyx y

x y



275. 2 2 2

2 2

3 2 5 2 1 2 1 2 2

2 2 4 3

x x x x y y y

x y x y

276.

2 2

2 2 8

2

x y y x

x y

277.

223 3

2

3

3

77 7 0

23 35 98

3 21 7 27

x xy x y x

x xx y x y

x

278.

2

2

1 1 11 2 1 7 2

2 43 1 3 1

xyx y

y x xy

y xy x

279.

2

2

2 2 1 34 2

2 2 1 34 2

x x y xy x

y x y xy y

280.

3 4 2

3 4 2

x y xy x

y x yx y

281.

2 2

3 3

2

2 1 2 log 2 log 2

4 4 32.2 260

x x y

x y

x y

y x

282.

2 2

2 2 2 2

6 3 7

3 6 2

x y y x xy

x x y y x y

283.

2

2 2

1 1

32 1 2 1 0

x x x x y y

x x x y

284. 2

2 4 1 2

12 19

x y

x x y

285. 2 2

2 1 4

1 2 1

x y x y

x x y y y x

286.

2 2 1

2 1 4 3

x y

x y xy

287.

3 2 3 2

2

3 2 3

3 2 8

x x y y

x y y

288. 2

2 4 1 2

12 19

x y

x x y

289.

3

3

2010 2011 2012 2013 1

2010. 4024 2012

x y

x y

290.

3 2 2 2

3 2 2 2

3 1 2

3 1 2

x xy x y xy x

y yx y y xy x

291.

3 3 2

2 2

3 17 27 3 13

6 5 10 0

y xy x x x y

x y xy y x

292.

4

13 4

3 2

x y x

x y x y

293.

2 2

2 2

3 4 18 22 31 0

2 4 2 6 46 175 0

x y xy x y

x y xy x y

294.

3 2 3

1

4 12 9 6 7

xy x y

x x x y y

295.

3 3

2 2

3 2

2

7 4log log 2

2 2

4 2 1 66 11

x

y x

x y

y y x yx y

x

296. 2 2

11 1 1

4

x yx

xyx y x y

x y

297.

4 3 2

4 3 2

2 11 12 41

2 11 12 31

x x y y

y y x x

298.

22

1 2 3 7 2

6 2 7

x x x y

y x y

299. 2 2 2 2 3

5 2 2

1 4 4 1 1 8

8 4 2 0

x x y x y x y

x y x y x

300.

3 4

2 2 3

28

2 18 2

y x x

xy x y x



CC BI GII

Bi 201: iu kin 3y v 3 4x .

Khng kh pht hin ra hm s phng trnh th nht ca h. Phng trnh th nht ca

h tng ng vi: 2 1 4 3x x y y (*). Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (*) c dng:

2 20 0

3 33 3

x xf x f y x y

y x y x

Th vo phng trnh th hai ta c: 2

2 222 9 3 18 4 3 76x x x (**).

Nhn thy x = 0 v x = 4

3 u khng l nghim ca (**).

Xt hm s 2

2 222 9 3 18 4 3g x x x x trn 4

0;3

. Hm s c o hm:

3 227 16 27 4 4 27

' 36 64 36 369 3 34 3 4 3 4 3

g x x x x x x x xx x x

Vi 4

0;3

x

th ' 0g x (do 4 4

03 3

x x x

v 27

04 3x

) nn hm s g x

nghch bin trn 4

0;3

. Mt khc thy 1 76f nn (**) 21 3 2x y x .

Vy h c nghim duy nht l , 1;2x y Bi 202: iu kin 2 3 0x . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

26 2 3 2 2 29 28 30 1 3 3 1x x y y y x x y y (*).

Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (*) c dng: 2 2 23 3 3f x f y x y y x . Th vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 22 3 3 2 3 3x x x x x x

2 2

2 22

3 0 3 0 3 6

3 1 2 2 13 2 3

x x x x x y

x x x x yx x x

Vy nghim ca h l , 3;6 , 2;1x y Cch gii khc: Khi nhm c mt nghim ca phng trnh l x = 3:

2 22 3 3 6 3 2 3 0x x x x x x 6 23 2 02 3 3

xx x

x

3

23 2 0 2

2 0 (**)2 3 32 3 3

x

x xxx

x



+) Vi x = 3 th y = 6.

+) (**) tng ng vi 2 2 3 3 2x x .

Vi 3;

2x

th hm s 2 2 3 3g x x x ng bin (d thy khi x tng th

g x tng). Mt khc ta li c 2 0g nn (**) 2 1x y . Cch lm ny c th chp nhn c nhng dng nh cha thuyt phc! Bi v nghim

2x th khng phi ai cng nhm c m phi s dng n my tnh b ti.

Bi 203: iu kin 0x v 2 0x y .

Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 22 2 2 2

2 2

33 3

3

x y xx x x y x x y x x

x y x

(*).

Th vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 23 3 3 3x x x x x x . n y bi lm gn ta dng cch nh gi:

+) Nu 0 1x th 2 23 1 3 1 3x x , khng tha mn.

+) x = 1 tha mn.

+) Nu 1x th 2 3 3x x , khng tha mn nt.

Vy x = 1, thay vo (*) ta c: 1 3 8y y .

Vy h c nghim duy nht l , 1;8x y

Bi 204: iu kin 0x v 1

2 0x

1

2x

hoc 0x .

Vi iu kin trn th phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 2 22 22 2

log 1 log 4 1 4 3 2y y xy xx x

.

Lc ny h c vit li thnh: 2 3 2 3

22

1 2 2 2 (1)

3 2 (2)3 2

x y x y x y xy x y

x xyx xy

Cng v theo v ca (1) v (2) ta c:

2 3 2 2 3 2 0x y x xy xy y x xy y xy x y

2 2 20 1 0 1 0x y

x x y y x y x y x y x yx y

+) Vi x = y thay vo (2) ta c: 23

13 2 2 1 0

2

x yx x x x

x y

(tha mn)

+) Vi 2 21 0 1x y y x , thay vo (2) ta c:

23 2 1 2 2 0 1 3x x x x x x (tha mn iu kin).

Nu 1 3x th 26 2

1 2 3 2 32

y x y

.



Nu 1 3x th 26 2

2 3 2 32

y y

.

Vy nghim ca h l 6 2 6 2

, 1; 1 , 2;2 , 1 3; , 1 3;2 2

x y

Bi 205: Nu x = 0 th h tr thnh:

2

2

30

1 0

y yy

y y

.

Nu x khc 0 th phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 1

3y y

xyx

.

Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

2 2

2 2 2 2 2 4 2 2 21

1 1y y

x x x y x x y y x x yx

4 4 2 2 2 2 2 2 2 20 1 0x y x y x x y x y x y x 2 2 1 0x y x (do 0x nn 2 2 0x y ) 2 21y x x .

Th vo phng trnh th hai ca h ta c:

23

3 0 2 3 0 2 3 01 2

y x x xy x x xy y xy y yx

.

(d thy x = 1

2 th phng trnh trn tr thnh 3 = 0, v l

1

2x )

Li tip tc th vo y phng trnh th nht ta c:

2

2 23 3 31 3 .1 2 1 2 1 2

xx x x

x x x

23 3 3

1 3 01 2 1 2 1 2

xx x x

x x x

2

3 31 . 0

1 2 1 2

xx x x

x x

22 2 4 3 22

91 0 1 2 1 9 0 4 8 3 10 0

1 2x x x x x x x x x

x

23

2 11 2

2 1 4 4 5 03

1 11 2

x yx

x x x x

x yx

(tha mn)

Vy nghim ca h l , 0;0 , 2; 1 , 1;1x y Bi 206: R rng thy y = 0 khng tha mn phng trnh th hai ca h nn y phi khc 0.

Lc ny phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 5 1

2

y yx

y

.

Th x vo phng trnh th nht ca h ta c:

22 2 2

25 1 5 1 5 1. . 5 02 2 2

y y y y y yy y y

y y y

2

2 2 2 2 25 1 2 5 1 . 2 5 1 20 0y y y y y y y y (nhn hai v vi 4y)



2

4 2 2 3 5 5 1 5 13 1 02 2 2

y y y y

hoc 5 1

2y

5 1 5 5

2 2

5 1 5 5

2 2

y x

y x

hoc

5 1 5 5

2 2

1 5 5 5

2 2

y x

y x

Vy h c bn nghim l 5 5 5 1 5 5 5 1

, ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 207: Ly phng trnh th hai tr i phng trnh th nht v theo v ta c:

2 2 3 22 2 2 3 3 2 6 1 0xy y x y y x y y 2 2 3 22 2 2 3 3 2 6 1 0xy xy x y xy x y y

22 3 22 2 3 1 0 1 2 1 2 1 1 0xy xy x y y x y y y y

1

1 2 1 1 0 1 12

y y x y y y y x .

+) Vi 1y , thay vo phng trnh th nht ca h ta c: 2 3 0 3x x .

+) Vi 1

2y , thay vo phng trnh th nht ca h: 2

3 3 2 33

4 2x x x

.

+) Vi 1y x , thay vo phng trnh th nht ca h:

22 2 22 3 1 0 4 6 3 0x x x x x , v nghim do 0 .

Vy h c bn nghim l 3 2 3 1, 3; 1 , ;2 2

x y

Cch gii khc: Phn tch h a hai phng trnh trong h v dng:

2 2

2

2 2 0

2 3 1 0

x y x y

x y x y

n y ta t n ph a x y v 22b x y gii h hai n.

Dng nh cch gii ny c v c h thng hn, bi v khng d g pht hin c vic phi tr hai v ca h cho nhau. Bi 208: iu kin 2 5 2y x . Bin i phng trnh th nht:

2 2 4 2 3 6 2 42 4 3 3 8 6 3 0y y x x x y x x y x

2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 22 4 2 3 2 0 2 4 2 3 0y x y yx x x y x y x y yx x x

22 2

22 2 4 2 2 2 2

22 0 2

04 2 3 0 3 3 0

y xy x y x

x yy yx x x x y y x

R rng x = y = 0 khng tha mn phng trnh th hai ca h, loi.

Th 22y x vo phng trnh th hai ca h ta c: 2227 2 5 1 454x x x x (*).



Xt hm s 2227 2 5 1xf x x x x trn .

o hm 22

1' 227 . 1 2 5 1 .227 ln227

2 5

x xxf x x x xx x

.

2

2

2

1 2 5' 227 . 2 5 1 .227 ln227

2 5

x xx x xf x x x xx x

.

22

1' 227 1 2 5 ln227

2 5

xf x x x xx x

.

Ta c:

2 2 2

1 1 1 1ln227 ln227 0

22 5 2 51 4x x x xx

.

2 221 2 5 1 1 5 1 1 1 1 0x x x x x x x x x .

T hai iu ny suy ra ' 0f x x . Mt khc 1 454f nn phng trnh (*) c

nghim duy nht l 2 1

12 2

xx y .

Vy nghim ca h l 1

, 1;2

x y

Bi 209: Vi y = 0 th thay vo phng trnh th nht ta c x = 0. R rng cp s ny khng tha mn h, vy nn ta phi c y khc 0.

Lc ny chia hai v ca phng trnh th nht cho 11y ta c:

11

11x x y yy y

(*).

Xt hm s 11f t t t trn . o hm 10' 11 1 0f t t nn ng bin trn . Mt

khc (*) li c dng 2x x

f f y y y xy y

(suy ra x > 0).


2 2 23 32 3 27 13 8 3 1

7 13 8 2 . 3 3 1 2. 3x x x x x xx x x x x

33 2 2 2

8 12 10 1 3 1 33 3 2. 3

x x x x x x x

3

32 2

2 2 1 3 1 31 2. 1 3 2. 3

x x x x x x

Xt hm s 3 2g t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 2 0g t t nn hm s g t ng bin trn . Mt khc (*) c dng:

3

3 32 2 2

2 1 3 2 1 3 2 1 31 3 1 3 1 3g g

x x x x x x x x x

3 2 2

8 13 3 1 8 1 1 5 892 0 1 5 2 0 1

16x

x x x x x x x

.



Do x > 0 nn 1

0x , ta ch ly

1 5 89 5 89 5 89

16 4 2x y x

x

.


, ;4 2

x y

Bi 210: iu kin 4, 3x y x v 4x y .

Bnh phng hai v phng trnh th nht ca h ta thu c:

22 2 22 2 4 2 2 2 4x x y x y y x x y y x x y (do 3 2y x x ) 2 4 4 0 4 4 0 4 4 0y xy y y y x y x (do 3 0y x ) 4 4y x .


2 216 2 4 16 3 1 4 0x x x x

2

2 2

25 5 5 10 5 0

1 4 1 416 3 16 3

x x xx

x xx x

5x (tha mn)

(D thy 2 2

5 5 5 11

3 1 416 3 3

x x x

x xx x

nn biu thc trong ngoc vung lun

dng) Vi x = 5 th ta tm c y = 16.

Vy nghim ca h l , 5;16x y

Bi 211: iu kin 2x y v 2 4 2 42 1x y xy y .

Thy rng 2

2 4 2 4 2 42 1 1x y xy y xy y , nn khi ta nhn lin hp vi lng cha

cn v tri phng trnh th nht th s c dng hiu ca hai bnh phng chnh l

2

2 41 9xy y . Biu thc ny li c lin h vi 23y v tri, v vy ta th thc hin php

nhn lin hp. iu ch l khi thc hin php nhn lin hp ny th phi ch n iu kin ca biu thc lin hp khc 0. (+) Nu y = 0 th phng trnh th nht ca h tr thnh: 2 1 0 , v l! (+) Nu y khc 0 th phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 4 2 4 2 22 1 2 2 2 3 2 0x y xy y y x y

22 4

2 2

22 4 2

1 92 3 1 0

1 2 2

xy yy xy

xy y y

2 2 2 2

2 2

22 4 2

1 3 1 32 1 3 0

1 2 2

xy y xy yxy y

xy y y

2 22 2

22 4 2

1 31 3 2 0

1 2 2

xy yxy y

xy y y



2 22 2

22 4 2

1 31 3 0 (*) 2

1 2 2

xy yxy y

xy y y

(**).

mch gii c lin tc ta s x l (**) trc. Nhn thy phng trnh ny l phng trnh

ng bc nn d nhn ta t 2 1a xy v 2b y 1; 0a b . Lc ny (**) tr thnh: 2

2 2

2 22 2 4 2 1 2 1 4 2

2 2

a b a aa b a b b

b ba b b

(***).

t 1a

t tb

th phng trnh (***) tr thnh:

2

222

4 2 1 4 2 11 4 2 2 1

3 2 4 2 1 37 8 2 01 4 2 4 1

t tt t

t tt t

H ny v nghim, tc l (**) khng xy ra.

Vy 2 2 2 21

1 3 0 3 13

xy y y x yx

(d thy x khc 3).


2

22

31 1 3

3 3 1 33 3 3

3

xx x

x x x x xx x x

x

3 223 3 2

2 8 14 03 1 3 0 4 2

x x x

x x xx x x x

+) Vi x = 2 th 2 1 1y y , tha mn cc iu kin.

+) Vi 4 2x th 2 2 1 1 2y y , tha mn cc iu kin.

Vy h c cc nghim l 2 ; 1 , 4 2 ; 1 2x Cch gii khc: u tin ta cng c th t n ph a , b nh trn v a phng trnh th nht

v dng: 2 2 2 2 2 6a b a b v gii phng trnh ng cp ny cng thu c kt qu nh trn.

Bi 212: iu kin 0 , 8x y v 2 3 0x y .

p dng bt ng thc CauchySchwart:

2

2 2 213 2 4 3 8 2 3 4 8 1x y x y x y (*).

Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 2 2 23 2 3 4 1 2 3 1x x y x x y x y x x x y (**). T (*) v (**), ta c du ng thc cc bt ng thc trn phi xy ra, tc l:

2 2 3 00

84 1

2 3

x x x yx

yx y



Th li thy y l nghim ca h.

Nh vy h c nghim duy nht l , 0 ;1x y

Bi 213: iu kin 2 23 10 3 0 3 3 0x xy y x y x y .

Nhn xt thm 3 33 3 0x y x y , kt hp vi iu kin ta c 3 0

3 0

x y

x y

(*)

Lc ny phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2

3 6 6 3 6 63 2. 3 . 3 3 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y

6 63 3 3 3x y x y x y x y x y .

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 22 4 5 3x x x x (**). Ta gii nhanh (**) bng cch nhn lng lin hp:

(**) 2 2 22 4 5 4 1 2 4 5 2 1x x x x x x x x

22

2 2

2

4 5 22 2 4 5 2 4 5 4

4 5 2

x x xx x x x x x x

x x x

2 4 9 0 2 15x x x .

(+) Nu 2 15x th 2 15y , khng tha mn iu kin (*).

(+) Nu 2 15x th 2 15y , tha mn iu kin (*).

Vy nghim ca h l , 2 15;2 15x y Bi 214: iu kin 2 1y y .

H ny thc ra l mt h d, nhng vi v b ngoi li nhn c v khng d!

Tht vy nu ta t 2 1a x x v 23

1 , 04

b y y a b

th h tr thnh:

2 22 22 2

4 44

5 4 5 6 4 5 6 55 5 6

b a b aa b

a a a aa b

2 2

2 2 2 2

4 4

5 6 31

4 5 36 5 12 5 2 5 3 5

b a b a

a a

a a a a a

2 22

4 4

2 2 231 31

25 55 20 20 02 5 9 5

b a b a

aa a

b

a aa a

(tha mn)

Vi 2a b th

2

2 2 2

2

1 13

3 0 21 1 4

5 0 1 21

2

xx x

x x y y ay y

y



Vy h c bn nghim l 1 13 1 21

, ;2 2

x y

Bi 215: iu kin , 0x y v 2ln 0x y . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 2 2 21 1

3 0 3 04 4

x y x xy y x y x y x xy y x y

.

(d thy 22 2 2 21 1 5 1 13 0

4 2 2 2 4x xy y x y x y ).

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 3 32

2ln ln 2ln 03

x x x x x .

3 3 32ln 2ln 2ln 2ln 2lnx x x x x x x x x (*). Xt hm s 3 2lnf t t t t trn 0 ; .

Hm s c o hm: 22

' 3 1 0 0;f t t tt

nn hm s ng bin trn 0 ; .

Mt khc (*) c dng 33 32ln 2ln 2ln 0f x f x x x x x x x x (**). Tip tc xt hm s 3 2lng x x x x trn 0 ; .

Hm s c o hm: 22

' 3 1g x xx

.

Ta c: 3

3 23 2' 0 0 3 2 0 1 3 3 2 0 1x x

g x x x x x x xx

.

Lp bng bin thin, ta thy 1 0g x g . Phng trnh (**) li c dng 0g x nn n phi tng ng vi x = 1. T y suy ra y = 1.


Cch gii khc: Khi gii (*), c th t n ph 3 2lny x x v a v h i xng: 3

3 3

3

2ln2ln 2ln

2ln

x y yx x x y y y

y x x

(tr hai phng trnh trong h).

T y tng t ta cng xt hm v suy ra rng x y .

Bi 216: iu kin 1 2 0xy . Ta s dng bt ng thc x l phng trnh th nht:

2 2 222 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2x y x y x y (*).

(y l bt ng thc vct thng c s dng).

Ta li c 222

1 1 2 2 4 2.2 2 1 2 2 1 2x y xy xy xy (**).

T (*) v (**) ta suy ra 2 21 2 1 2 2 1 2x y xy .

Nh vy nn phng trnh th nht ca h phi tng ng vi: 00

x yx y

xy

.

Th vo phng trnh th hai ta c:



3 6 2 6 23

68 1568 15 15 2 17 0x x x x x

x x

2 4 2 217 . 17 2 0 17x x x x ( loi 2 17 3 02

x

, v l).

4 17x .

n y ta kt lun h c hai nghim l 4 4 4 4, 17 ; 17 , 17 ; 17x y Cch gii khc: C nhiu cch dng bt ng thc chng minh bt ng thc trn, v d l dng bin i tng ng phng trnh th nht (bnh phng hai v):

2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2x y x y xy

2 2 2 21 1 2 1 2 2 4x y x y xy .

Ta c:

2 2

2 2

1 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 (Cauchy Schwart)

x y xy

x y xy xy

T y ta cng suy ra x y 0 .

Bi 217: iu kin 0xy v 2 2 0x y .

Nhn thy trong tt c ba s hng phng trnh th hai ca h (khng k h s t do) th chng u c bc l 1. Nhn xt thm phng trnh th nht ca h c v phi cha mt a thc bc 1. V vy ta hon ton c th a h phng trnh trn v dng ng cp. V bi gii c gn hn, ta s nh gi nh sau:

Bin i phng trnh th hai ca h: 2 2

2 2

2 26 . 2 3 0

x y xyx x y x y

x y xy

(*).

Ta thy rng nu x < 0 th 0y . Lc ny th 2 2

2 26 . 0

x y xyx x y

x y xy

, mu thun (*).

Nh vy ta phi c 0 0x y . Th s 3 phng trnh th hai nh sau:

3 3

2 2

2 2

6 3 102

4

x y x xy yx x y

x y xy

3

3 2

2 2

2

36 1 10 1

2 14

1

x x x

y y yx x

x xy y

y y

(*) (do 0y ).

n y ta t 0x

ty

th (*) tr thnh:

3

2

2

6 1 3 10 12 1

1 4

t t tt t

t t

(**).

n y ta nhm c nghim l t = 1. Th nhng nu dng nhn lin hp thng thng th dng nh cng khng c kt qu. S dng o hm cng khng kh quan. Ta ngh n s

dng bt ng thc. Bin i (**) thnh:

3

2

2

6 11 52 1

4 1 2

tt tt

t t

(***).



Ta s phn tch mt cht s dng bt ng thc. Th cc gi tr ca x vo th ta thy rng v tri ln hn v phi. Nh vy ta s chng minh v tri ln hn hoc bng v phi. C thm cc nhn xt sau: Bc cao nht ca v tri l bc nht. V bc cao nht ca v phi cng l bc nht. V phi cha n hai du cn lm ta lin tng n vic s dng bt ng thc Cauchy,

nhng mt iu rc ri khi s dng bt ng thc Cauchy vi s hng 22 1t th s lm

tng bc ca n (thnh bc hai, c th: 2

2 2 12 12

tt

). V vy khi chng minh th ta

nn bnh phng hai v ln. V gn gng th ta s c gng quy s hng 5

2

t b hn hoc

bng mt bi no ca 22 1t vic bnh phng tr nn gn nh.

Ta c: 2

25 5 1 5. . 2 12 2 2 4

t tt

, t y suy ra: 2 2

5 92 1 . 2 1

2 4

tt t .

By gi ta s i chng minh rng: 3

2

2

6 19 1. 2 1

4 4 1

ttt

t t

(1).

Tht vy bt ng thc trn tng ng vi:

(1) 2 2 2 39 1 2 1 1 1 24 1t t t t t t t

2 2

2 2 3 281.2 1 1 25 2 2 25t t t t t t

6 5 4 3 2436 244 544 610 544 244 463 0t t t t t t

2 4 3 21 463 702 379 702 463 0t t t t t , lun ng.

Vy (1) lun ng. Suy ra 3

2

2

6 15 12 1

2 4 1

tt tt

t t

. Vy nn nu mun c (***) th

du bng ti (1) phi xy ra, tc l t = 1. Th li t = 1 tha mn (***). Vi t = 1 th x y . Thay vo phng trnh th nht ca h tm c x = y = 1. y cng chnh

l nghim duy nht ca h.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Nhn xt: Bi ton trn s dng phng php ng bc, kh rc ri v mt bin i. Li gii c th gn hn nh sau:

Ta c: 12 3 10 3 10. 8 4 2 32

x yx xy y x y x y x y

.

Suy ra 2 2 2 22 3 2 2x y x y x y . Ta s chng minh:

3 3 3 3

2 2 2 2

2 2 2 2

6 62 2 2

x y x yx y x y x x y x y

x y xy x y xy

.

chng minh iu ny ta i chng minh mt kt qu mnh hn l:

3 3

2 2 2 2 2 2 3 3

2 2

62 2 2 3

x yx y x y xy x y x y

x y xy

(2).



Chia hai v ca (2) cho 3y v t x

ty

th (2) tr thnh:

2 2

2 2 3 2 2 31 2 1 3 1 2 1 1 9 1t t t t t t t t

26 5 4 3 2 4 3 27 4 8 10 8 4 7 0 1 7 10 5 10 7 0t t t t t t t t t t t , lun ng.

* Bi ton gc ca bi h trn c bi l

3 3

2 2

2 2

3 10 12

62 3

x xy y

x yx x y

x y xy

Vi bi nh th ny th chng ta s khng p dng c bt ng thc Cauchy cho s hng

10 xy ging nh trn do khng bit x , y dng hay m. Tht vy, nu x khng m th c th

p dng, th nhng ta thy nu x m th bt phng trnh th hai nm trong h s lun ng, tc l xem nh bt phng trnh cho ta mt iu hin nhin. Lc ny, x m th y s m, v t ta s tm c v s nghim ca phng trnh th nht ca h, tc l h c v s nghim. Bi 218: iu kin 3 , 0x x v 0y .

Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h l phng trnh ng cp.

t y tx ( 0t ) th phng trnh th nht ca h tr thnh:

2 2

22 2

2 2 2 2 2 2 2 22

1 2 2 1 2 12 3 1

3 3 2 3 3 22

x x tx t t t tt t t

x t x x t x t x t tt x

24 3 2 23 4 0 2 1 0 2 0 2 2t t t t t t t t y x (x > 0) Th vo phng trnh th hai ca h ta c:

2

2 2 22 2 2 2 6 4 4 8 2 6 4 8 2 6x x x x x x x x x x

2

2 2 21 1 1 14 8 2. 4 8 . 2 6 2. 4 8 .2 4 2 4

x x x x x x x

2 2 2

2 2 21 25 1 54 8 4 10 4 8 22 4 2 2

x x x x x x x

22

22

1 54 8 2

4 6 2 02 2

1 5 4 10 3 04 8 2

2 2

x x xx x

x xx x x

H thng trn ch c duy nht mt nghim dng l 23 17 13 3 17

4 4 32

xx y

.

Vy nghim duy nht ca h l 17 3 13 3 17

, ;4 32

x y

Bi 219: iu kin 2x v 3

2y .

Nhn xt rng x = 0 lm phng trnh th nht ca h tr thnh iu v l nn suy ra x khc 0.

Vi x khc 0 th ta c th chia hai v ca phng trnh th nht cho 3x ta c:



2 3 24 3 1 1 2 1

2 2 2 3 2 2 1 4 2 3 2y y y yx x x x x x

(*).

Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s ng

bin trn . Mt khc (*) c dng 11 3 2f f yx

nn (*)

11 3 2y

x .


3 33

12 14 1 1 2 15 1 2 15 1 0x x x x x x

x

(**).

Xt hm s 32 15 1g t x x trn D 2; .

Hm s lin tc trn D v c o hm

2

3

1 1' 0 D \ 2;15

2 2 3. 15

g t xx x

nn

g t ng bin trn D. Mt khc ta c 7 0g nn (**) 7x .

Vi x = 7, thay li ta c: 1 49 143

1 3 2 3 27 64 128

y y y .

Vy nghim ca h l 143

, 7;128

x y

Bi 220: iu kin 21 , 2 1 0y x y v nhn xt thm 1 0 1x y x y .


22

3 2 2 2

2

2 1 12 1 1 0 0

2 1 1

x y yx x y x y y x x y

x y y

2 22 2

2 20 0

2 1 1 2 1 1

x y x yx x y x y x x y

x y y x y y

.

(vi 1x y v 1 0y th biu thc trong du ngoc vung lun dng).

Vi x = y, th vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 1 1 10x x (*).

t 21 0 1t x x t . Phng trnh (*) tr thnh:

2 3 22 3 10 2 3 10 0 2 2 4 5 0 2t t t t t t t t (tha mn). Vi t = 2 th x = y = 3.

Vy nghim ca h l , 3;3x y Bi 221: Bi ton ny tng t cu 3 thi tuyn sinh i hc khi A nm 2011 2012. Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 2 2 2 2 21 1 1 0xy x y xy x y x y xy xy 2 2 2 21 1 0 1 1xy x y xy x y .

(+) Nu xy = 1 th th ln phng trnh th nht ca h ta c:

2 2 3 2 2 3 2 22 3 4 0 3 6 3 0 3 2 0x y xy y xy x y x y xy y y x xy y

2 2

3 0 0y x y x y x y (d thy vi xy = 1 th y khc 0).



Th x = y tr li vo xy = 1 ta c: 21 1

11 1

y xy

y x

(+) Nu 2 2 1x y , th ln phng trnh th nht ca h ta c:

2 2 3 2 2 3 2 2 32 3 4 0 4 5 2 0x y xy y x y x y x x y xy y (*). +) Nu y = 0 th thay vo (*) ta c x = 0. Cp s ny khng l nghim ca h.

+) Nu y khc 0 th chia hai v ca (*) cho 3y ta c: 3 2 2

3 2 2

4 5 2 41 0 1 1 0 1 0 1

x x x x x x x xy x

y y y y y y y y

.

(d thy

22

2

4 1 11 1 0

2 2

x x x

y y y

).

Vi y = x, thay vo 2 2 1x y ta c 2

2 2

2 22 1

2 2

2 2

x y

x

x y

Vy h c cc nghim 2 2 2 2

, 1; 1 , 1;1 , ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 222: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

3 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 1 1 2 1 0x y x y y x y x x x y x y x x x

2 2 2 2 2 21

1 2 02

xx x y y x

x y y x

+) Nu x = 1 th thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 13

1 6 253

y y

.

+) Nu 2 2 2 2x y y x (d thy x 0) 2

2 2 2

2 2

2 11 2 1

1 1

x xy x x y

x x

.

T y cng suy ra 1 1y 1 0y .

Phng trnh th hai ca h li c vit li thnh:

23 22 3 12 7 6 6 0 2 7 1 6 1 0x x x y x x y (*). Do x 0 v 1 0y nn v tri ca (*) lun khng m, v vy nn:

(*)

212 7 1 0

11 0

xx x

yy

Th li thy chnh l nghim ca h phng trnh.

Vy h c hai nghim l 13

, 1; 1 , 1;3

x y

Bi 223: iu kin 3 3 0x y . t t = x + y th phng trnh th nht ca h tr thnh:

24 4 23 4 4 3 0 1 2 3 0 1t t t t t t t t .



(khng kh nhn thy rng 22 2 3 1 2 0t t t )

Vi t = 1 th x + y = 1 1y x . Thay vo iu kin ta c:

3 1 3 0 3 2 0 2 3x x x x x . Tng t ta cng tm c iu kin ca y l 2 3y .

Vi iu kin trn th phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 24 4 9 7

3ln 3 3ln 3 064 32 8

x y x yx yx y

4 2 4 29 7 9 7

3ln 3 3ln 364 32 8 64 32 8

x x x y y yx y (1)

Xt hm s 4 29 7

ln 364 32 8

t t tf t t trn D 2;3 . Hm s c o hm:

2 23 4 3 2 1 69 7 3 3 9 13 6' 0 D

16 16 8 3 16 3 16 3

t t tt t t t t tf t t

t t t

Nh vy vi t thuc D th hm s f t nghch bin. Mt khc phng trnh (1) c dng

f x f y x y . Kt hp vi 1x y th ta tm c 1

2x y .

Vy nghim ca h l 1 1

, ;2 2

x y

Bi 224: iu kin 0y .

H c vit li:

2

2 22

2 2

22 22

22 2

2

11 00

1

2 1 32 1 3

y x xx y x x yx y

x xx

x yxyx y

y

22

222 2 2

2

1 01 0

2 2 1 2 3 2 1 3

xxy x xx x y

yy

x xy x x x y x xy y

t x

a yy

v 21b x x th h trn li tr thnh:

2 2

0 1 3

1 32 3 2 3 0

a b b a a a

b ba b a a

(+) Nu

2 2

22

1 0

1 111

11 1 1 1

1 1

xx x

y ya xy y yb y

x x x xx x

0

1

x

y



(+) Nu 23

1 33

ax x

b

.

iu ny v l do 2 21 x x x , tc l 21 x x lun dng.

Vy h c nghim duy nht , 0;1x y Bi 225: iu kin 0x v 0y .

Nhn thy h trn c dng ng cp, th nhng nu ta gii theo kiu ng cp th s thu c mt phng trnh ng cp bc 4. Th nhng, nghim ca phng trnh ny rt l, khng th dng phng php thng thng gii n mt cch ngn gn c. Bi h phng trnh ny c cch gii ring ca n. l:

Cng v theo v hai phng trnh ta c: 2 2 3 22

3 3 2x y x xyx (1).

Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai v theo v ta c:

2 2 2 31 3 3 1x y x y yy (2).

By gi ta tip tc cng (1) vi (2) v theo v ta c:

33 2 2 3 33 3 3 3 3x x y xy y x y x y (3).

Ly (1) tr i (2) v theo v ta c: 33 2 2 33 3 1 1 1x x y xy y x y x y (4).

Kt hp (3) v (4) ta c h:

3

3

3

3 1

3 2

1 3 1

2

xx y

x yy

Vy nghim ca h l 3 33 1 3 1

, ;2 2

x y

Bi 226: iu kin 20 , 0 , 2 0x y y x v 29 0x y .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 2

2 2 2 2

2 18 18 2 189 18 9 9 2

x y x y x yxy

xy y x y x xy y x .

t 9y

a xx

v 2x

b yy

, 0a b th ta c:

2 22 2 2 189 9 2 2 2 4 2

y x x ya b x y xy ab

x y y x

(do , 0a b )

Phng trnh th nht ca h tr thnh: 2 4a b .

Nh vy ta c h 2

4 2 4 22 4 1

4 2 22 22 4 2 0

a b a ba b b

b bab ab b

(tha mn)

222 2

22 2 2 22

9 4 4 99 4 4 9

2 2 2 0 4 9 2 4 9 01

yx a y x xx y x y x xx

x y x y y x y x x x x xy by



22

24 3 2

4 94 9

9 1 9 7 2 081 72 25 2 0

y x xy x x

x x x xx x x x

1

0 9

0 1

3

xx

yy

Nh vy h cho c hai nghim l 1 1

, 0;0 , ;9 3

x y

Bi 227: iu kin 1y .


3 2 2 23 3 3 5 5 5 0x x y x x xy x x y 2 1 3 1 5 1 0x x y x x y x y

2 3 5 1 0 1 0x x x y x y (do 2

2 3 113 52 4

x x x

)

1y x . Th vo phng trnh th hai ca h ta thu c: 23 3 14 14x x x (*).

t 0t x t th (*) tr thnh:

4 2 22

2 4 3

3 3 14 14 1 2 3 9 7 0 1 1 0

3 9 7 0 (VN)

t x y

t t t t t t t t x y

t t

Vy h c hai nghim l , 1;0 , 4;3x y

Bi 228: iu kin 45

182

y

v 30 20x .

H phng trnh ny khng h kh, ch c iu hnh thc ca n lm chng ta hi s. Tht

vy, ta t 30a x v 18b y (iu kin 0 5 2a v 9 2

02

b ) th:

2 2 2

2 2 2

18 18 45 2 81

30 30 20 50

b y y b y b

a x x a x a

H ban u tr thnh: 2

2 22

1

81 2 50 2

1

81 2 1 50 2 (1)

b a

a

b

a

a

b a

(1) 2 22 2 281 2 1 50 2 81 2 1 50 4 4 50a a a a a

2

2 2 2 225 4 4 50 (*) 25 4 16 50a a a a a a

4 3 28 18 200 175 0 5 1 5 7 0a a a a a a a a 5 1 5 7a a a a .

Th li vo iu kin ca a , kt hp vi vic th li vo (*) ta ch ly cc nghim:

+) 29

1 018

xa b

y

+)

55 4

2

xa b

y

+) 19

7 618

xa b

y



Nh vy h c ba nghim l , 29;18 , 5;2 , 19; 18x y Bi 229: iu kin 0 1x v 0y .

+) Nu x = 0 th thay vo phng trnh th hai ta c: 2

2 2 22 .5 0y y y y . Th li y

chnh l nghim ca h.

+) Nu x khc 0, t 0y tx t . Lc ny phng trnh th hai ca h tr thnh:

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 10 14 5x t x tx x t x x tx t y

2 2

4 2 4 2 2 2 2 22 2 4 5 14 10 2 2 4 5 14 10x t t x t t t t t t t t

2

2 2 2 4 3 22 2 4 5 14 10 10 37 60 36 0t t t t t t t t t

2 2

2 3 0 2 3t t t t (tha mn).

li gii c ngn gn th ta s bin i phng trnh th nht thnh:

2

2

1 12207 2207 .

1 1 1 1

x xy y y y

x x

2207 2207 2207

1 1 21 1

yy

x x

hay chnh l

2207

2t . iu ny cho thy hai nghim t

trn u khng tha mn.

Vy nghim duy nht ca h l , 0;0x y

Bi 230: iu kin 2 4 5 0x y .

Vi bi ton ny ta s s dng mt n gin nhng li t c s dng, l rt th. Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2

2 2 2 2

2

5 72 6 5 7 2 6 5 7

2 6

xx y y x y x x y

x

.


2 2 4 2 3 2

2

2 2 2 2

4 5 7 12 5 7 2 1 11 23 33 215 5 11 7 5

2 6 2 6 3 3

x x x x x x xx x

x x x x

2

2

2 2

2

15 3 1 11 12 21

3

xx x x x

x

(1).

Nhn thy v tri lun khng m nn v phi cng khng m. Ta li c 211 12 21 0x x (v n l mt tam thc bc hai c h s a > 0 v 0 ), nn t suy ra 1 0x , tc 1x .

(1) 2 2 25 1 3 1 11 12 21x x x x x

2 25 1 1 1 1 11 12 21x x x x x x

22 2 22 2

11 0

25 1 1 11 12 21 (*)5 1 1 11 12 21

xx

x x x xx x x x

+) Nu x = 1 th y = 3

2

.



+) Gii (*) 4 3 296 314 556 554 146 0x x x x (**).

Xt hm s 4 3 296 314 556 554 146f x x x x x trn 1; .

Hm s c o hm: 3 2 2 2' 384 942 1122 554 2 1 192 279 277f x x x x x x x , lun dng vi mi 1;x , suy ra f x ng bin trn 1; . Mt khc ta c 1 210 0f nn phng trnh (**) v nghim.

Nh vy nghim ca h l 3

, 1;2

x y

Bi 231: Tng t Bi 225, th vic gii phng trnh ny theo kiu ng cp li kh khn hn (do h ny ng cp bc 6!). Ta p dng cch gii cng tr i s. iu kin , 0x y .

Cng v theo v hai phng trnh trong h ta c:

4 4 2 2 2 2 4 2 2 4 5 3 2 42 2

2 2 3 3 10 5 10 5 2y x x y x y x x y y x x y xyx x (1).

Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai v theo v ta c:

2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 5 2 3 41 1

3 3 2 2 10 5 10 5 1x y x y x y y y x x y x y x yy y (2).

Ly phng trnh (1) cng vi phng trnh (2) v theo v ta c:

55 4 3 2 2 3 5 55 10 5 3 3 3x x y x y x y y x y x y .

Ly phng trnh (1) tr i phng trnh (2) v theo v ta c:

55 4 3 2 2 3 55 10 5 1 1 1x x y x y x y y x y x y .

Ta c h: 5 5 53 1 3 1 3

, ;2 21

x yx y

x y

Nh vy h c duy nht mt nghim l 5 51 3 1 3

, ;2 2

x y

Bi 232: iu kin 2 20 , , 5x y x x y y .

Nhn thy v tri ca phng trnh th nht c bc 0, cn v phi li l bc nht. V nu ta thay c v phi bng mt a thc bc 0 th n s tr thnh mt phng trnh ng cp, d lm hn rt nhiu. Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

9 6

6 5 5 3 9 30 5 15

x xx y y x xy x y

y (1).

Th ln phng trnh th nht ca h ta c:

22 2

2 2 2 2 2 2

2 22 2

2 26 6 61 1 1

x x yx x y x x x y yx x x

y y y y yx x y

2 2 2 2 2 22 2

2 2

2 2 6 3. 1 1 . 3 0

x y x y x yx x x x x x x x

y y y y y y y y y y y

(2)

Nhn xt rng 0x y nn 0x

y . Mt khc ta bin i nh trn th thy rng:



2

2 2

2

9

5

x x y x

y

nn 0x . Kt hp vi (1) ta suy ra 0y .

Nh vy (2) 2 2 2

22 2

2

35

3 0 1 33

1 3

x

yx yx x x x

y y y y yx x

y y

.

Vi 5

3

x

y , thay vo (1) ta tm c

9 39 5 3

5 5

x xx y (tha mn iu kin).

Vy h c nghim , 5;3x y

Bi 233: iu kin 2 2 1 0x y .


2

22 2 2 2 2 24 4 2 1 2 1 2 2 2 1y y x y x y x xy y y x y x y

2

2

2

2 12 2 1

3 2 1

x y x yy x y x y

y x x y

2

2

2 2

00 3 0

2 2 1

3 0

9 6 2 1

2 1 9 2 1

2 6

y xy x y x

y xy y

y x

y

y y y yx

xy y

xy y

+) Trng hp 1: 0y x v 2 2 1

2

y yx

y

. Thay vo phng trnh th hai ca h:

2 2 1 12 1 3 73 3 2 0 7 41

2 2 23 21

y xy y y

y y y yy y x

Th li thy ch c , 1;1x y tha mn h.

+) Trng hp 2: 3y x v 29 2 1

2

y yx

y

. Thay vo phng trnh th hai ca h:

2 29 2 1 7 53 3 4 0

2 2 2

y y yy y y y

y

(phng trnh ny v nghim).

Nh vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 234: y l mt h phng trnh kh th v!

Ta xem h trn nh l h phng trnh bc nht hai n l 3x v 3y , cn tham s l xy .

Lc ta tm c

3

3

22 21

13 12

x xy

y xy

(*).

Nhn thy x = 0 khng tha mn h nn ta c th nhn v theo v ca hai phng trnh trn:

3 23 3 22 21 13 12 273 538 264 0x y xy xy xy xy xy



2 21 274 264 0 1 137 19033xy x y xy xy xy . +) Nu 1xy , thay vo (*) ta c: 3 3 1 1x y x y .

+) Nu 137 19033xy , thay vo (*) ta c:

3 3

3 3

2899 21 19033 2899 21 19033

1793 13 19033 1793 13 19033

x x

y y

+) Nu 137 19033xy , thay vo (*) ta c:

3 3

3 3

2899 21 19033 2899 21 19033

1793 13 19033 1793 13 19033

x x

y y

Vy nghim ca h l

3 3

3 3

, 1;1 , 2899 21 19033; 1793 13 19033 ,

2899 21 19033; 1793 13 19033

x y

Bi 235: iu kin 1x , 1y v 22 7 10 3 0y y x y . Phng trnh th hai ca h c vit li thnh:

21 1 3 1 2 1 1 2 2 3x y x x y x y x xy x y (1). Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

22 7 10 3 1 1y y x y x y

22

1 1

2 7 10 3 1 1 2 1 1 (2)

x y

y y x y x y x y

Th (1) vo (2) ta c:

22 22 7 10 3 1 1 2 2 2 3y y x y x y x xy x y 2 23 3 2 4 2 0x xy x y y (3).

Xem (3) nh l phng trnh bc hai n x v tham s y th ta c:

2 223 3 4 2 4 2 1y y y y . Nh vy phng trnh c hai nghim l 2 2x y v 1x y .

+) Nu 2 2x y , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

3 4 3

1 2 (*) 13 2 2 3

yy y

y y

2 2 3 2 6 152 3 1 4 3 4 24 21 0 0

2y y y y y y y y

.

Th li ch c hai gi tr tha mn l

0 2

6 1515 4

2

y x

y x

Th li iu kin xc nh ta ch ly nghim , 2;0x y . +) Nu 1 1 2x y x y , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:



23 11 1 1

2 2

y yy y y

y y

.

Nhn thy v tri khng m, cn v phi m (do 2 1 0y y v ( 2y ) < 0) nn phng trnh

ny v nghim.

Vy nghim ca h l , 2;0x y Bi 236: iu kin 1, 1,x y x y .

y li l mt h phng trnh c hnh thc kh chu.

Ta s t 1x a v

2

2 2

2

2 2

1

1 12

, 0;2

x ax y a b

y b y bx y a b

a b

Lc ny h tr thnh:

2 2

2 2 2 232 2

2 (1)

72 1 12 (9 2 24 )

a b

a ba b a b

a b

T (1) ta rt 2 22 4 4b a b a a , ri th vo phng trnh (2) ta c:

2 2

2372 1 4 3

29. 4 4 2 4 2 44 4

a a aa a a

a

2 2318 1 4 3 29. 8 1 2 1 4a a a a a a

33 2 3 2318 3 3 58. 1 4 9 3 3 29 1 2a a a a a a a a

3 21 2

9 27 20 4 0 2 3 1 3 2 0 23 3

a a a a a a a a a (tha).

+) Nu a = 2 th b = 0. Thay tr li bc t ta tm c 3x v 1y .

+) Nu 1

3a th

5

3b . Thay tr li bc t tm c

8

9x

v

16

9y .

+) Nu 2

3a th

4

3b . Thay tr li bc t ta tm c

5

9x

v

7

9y .

Vy h c ba nghim l 8 16 5 7

, 3; 1 , ; , ;9 9 9 9

x y

Bi 237: iu kin 1x , 2y v 2

5 2 1y x .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

4 3 2 23 6 2 0 2 3 1 0 0 2x x y x xy x x y x x x y . (+) Nu x = 0 th thay vo phng trnh th nht ta c:

4 2 4 2 4 8 2 4 2 4 2 16 4 2 4 2 4y y y y y y

2 24 2 4 2 16 16 4 16 0 0y y y y y . Th li cp s ny tha mn h cho. (+) Nu x = 2y th thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

21 4 3 4 5x x x x (iu kin 1 4x ).



1 15

1 4 1 4 2 1 4 02 2

x x x x x x

21 15

1 4 1 4 02 2

x x x x

1 4 3x x (tha mn) hoc 1 4 5x x (v l, loi).

5 2 1 4 9 1 4 2 1 4 4x x x x x x

2

0 (TM) 0

3 0 33 (TM)

2

x y

x xx y

Tm li h c hai nghim l 3

, 0;0 , 3 ;2

x y

Cch gii khc: Khi nhn c phng trnh: 4 2 4 2 4y y , ta c th dng bt ng

thc CauchySchwart nh gi nh sau:

2 24 2 4 2 1 1 4 2 4 2 4y y y y . Du ng thc xy ra khi x = 0. Bi 238: iu kin 0x v 0y .

p dng bt ng thc Cauchy (AM GM) ta c:

+) 2 2 4y yx x

xy xy xy xyy x

(1).

+) 4 4 10 10 5 58 2 4x y x y x y xy (2).

T (1) v (2) ta suy ra du bng ti cc bt ng thc trn phi xy ra, ng thi xy = 4.

Tc l

10 10

0, 0

2

4

x y

y yx x

x yy x

x y

xy

. y chnh l nghim ca h phng trnh.


Bi 239: iu kin 2 21 0x y . Vi iu kin ny th h cho tng ng vi: 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

12 3

2 3 21

2 2

x y x y x y

x y x y x y y x x y

x y y x x y

2 2

2 2 2 22 21

4 3 2

x y x y y x x yx y

2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 21

4 3 2

x x y y xy x y y x y x xy x yx y



p dng tnh cht ca dy t s bng nhau ta c:

2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 21

4 3 2

x x y y xy x y y x y x xy x yx y

2 22 2

22 2 4 2 2 4 2 2 2 2

112

4 4

x yx yx y x x y y x y x y

2

2 2 2 2 2 24 5 1 0 1x y x y x y (loi) 2 21

4x y .

Nu 2 21

4x y , thay vo h ta c:

1.

32

23

4

x y v

1.

22

23

4

y x , hay tc l:

3 6 6

2 4 6

6 3 2 6

2 4 6

yx x

xy y

Th li thy y l nghim ca h.

Vy nghim ca h l 6 6 3 2 6

, ;6 6

x y

Bi 240: iu kin 0x v 0y .

H cho tng ng vi:

2 3 22 3

2 2 (1)2 2

2 2 3 22 2 4 (2)

x y y xx yx yx y

x yx

y x x y y xx y

y x y

Ly (1) nhn vi (2) v theo v ta c:

2 2 2

2

2 3 2 4 9 48 2 8 2 12 4

x y y x x x y x xx y

x y y y x y y

(3).

(Chia hai v cho y)

t 0x

ty

th (3) tr thnh:

2 2 39 9

8 2 4 12 4 4 8 0 8 9 1t t t t t t t tt t

(tha mn).

Vi t = 1 th x = y , thay vo (2) ta c: 4 5 1 1 1x x x x y .

Th li thy y chnh l nghim ca h.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 241: iu kin 1y .

Vi bi ton ny dng nh n gi cho ta mt hng i kh gay go v cm by, l th 2 4 1 2x y y vo phng trnh th nht ca h. Th nhng sau mt hi my m th kt



qu nhn c khng c kh quan. Chng ta c th tm ra mt s nghim bng php th, th nhng li khng th tm ht c cc nghim cn li. Vi bi ton ny, nu nhn xt c rng phng trnh th nht l phng trnh bc hai n y v tham s l x th vic gii phng trnh s kh nhanh chng.

Phng trnh th nht tng ng vi: 2 2 4 222 9 125 22 9 0y x y x x .

Phng trnh ny c bit thc 2 2

2 4 2 29 125 4.22 22 9 13 117x x x x nn

phng trnh c hai nghim l 2 11

2

xy

v

22

11

xy

.

(+) Nu 2

211 2 112

xy x y

.

Th vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 13 4 1 0y y y (*).

d nhn ta s t 21 0 1t y t y t , lc ny (*) tr thnh:

2 2 3 22 1 13 4 1 0 4 2 4 15 0t t t t t t (**). Gii phng trnh trn bng my tnh b ti, ta thy ngay n ch c mt nghim m. V vy, ta

s chng minh rng 3 24 2 4 15 0f t t t t vi t khng m.

Hm s c o hm: 2' 8 4 4f t t t . Ta c: ' 0 1f t t hoc 1

2t

.

D thy trn 0; th 1 13f t f . Vy nn (**), suy ra (*) v nghim.

(+) Nu 2

24 2 1122

xy x y

.

Th vo phng trnh th nht ca h ta c:

11 4 1 0y y y 211 4 1 0 0 2 2y y y x x .

Vy nghim ca h l , 2 ;0x y Bi 242: iu kin 14 1x . H phng trnh ny s dng phng php nh gi! Vi x > 0 th t phng trnh th hai suy ra y > 0. p dng bt ng thc AM GM:

22 2 214 140 14 1 80 12 1

2

y xx x y x y x x

(1).

Tip tc s dng bt ng thc AM GM nh sau:

2 222 2 23 32 4 1 1 2 16 2 14 1 32 4

3 3

x x x xy x x x y

(2).

T (1) v (2) chng ta suy ra:

2

22 22 16 2 1 1

80 12 1 128 32 2 0 2 8 1 0 8 13 8

x xx x x x x x x

.

Thay 1

8x tr li h ta c:

2 1 134

23 3

4 2

y

yy

.



Vy nghim ca h phng trnh l 1 3

, ;8 2

x y

Bi 243: iu kin 3 4y x v 4 1x y .


4 3 41 4 3 4 8 4

4 3 4

x y y xx y y x x y

x y y x

.

Ly phng trnh ny tr i phng trnh th nht ca h v theo v ta c:

2 3 4 8 4 1y x x y (1).

Th (1) vo phng trnh th hai ca h:

2 28 4 1 5 4 1 4 4 8 4 0x y y x y x x y x xy y x y

2 2 0 2

2 4 2 02 4 0 2 4

x y y xx y x y

x y y x

(+) Nu y = 2x th thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

2 2 1y y , iu ny r rng v l.

(+) Nu y = 2x 4, thay vo phng trnh th nht ca h:

4 2 2 12 1x x (*) 4 2 2 12

1 4 2 2 12 164 2 2 12

x xx x

x x

(**).

Ly (*) cng vi (**) ta c: 273 257

2 4 2 17 16 8 2898 4

x x x y .

Cp s ny chnh l nghim ca h phng trnh.

Nh vy nghim ca h l 273 257

, ;8 4

x y

Bi 244: iu kin 0xy .

D thy h phng trnh cho l h ng cp vi x v y. Th nhng nu ta gii theo cch ng cp vi x v y th s nhn c mt phng trnh vi cc bc gii kh di dng. Vi bi ton ny, chng ta cn nhn xt thm y l h i xng. Mt bc t s gip vic nhn nhn h ng cp ny theo kiu va i xng, va ng cp nh sau:

H cho vit li:

2

2

3 4 14

12 36

x y xy xy

x y x y xy

t a x y v b xy 0b th h trn tr thnh:

2 2

2 2 2 2

2 2

3 4 . 1436 3 4 . 14 12

12 36

a b ba b b a a b

a a b

(*).

(*)

3 2

3 2 2 37 54 84 72 0 7 54 84. 72 0a a a

a a b ab bb b b

2

2

7 126 12 0 6

a a a a

b b b b

(do

22 2

2 2

7 1212 6 1 6 0

a a a a

b b b b

)



Vi 6 6a

a bb , thay vo h cha a v b trn ta tm c:

1 1 1

2 2

3 2 2 3 2 2

2 2

3 2 2 3 2 2

2 2

4

3 3 3

b xy xy

a x y yx

x

y

x

y

Vy nghim ca h l 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

, ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 245: iu kin 2 2 1 0x y x .


2 22 2 1 1 2 2 2 1 0 2 1y x y x y y y x y x (do 2 2 0y ).

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 24 2 2 3 3 0x x x x (*).

t

2 2

23

2 2 0 3 12

t xt x x t x

th phng trnh trn tr thnh:

2 2

2 23

4 0 3 8 3 0 3 3 0 3 32

t xxt t tx x t x t x x t t x

.

(+) Nu x = 3t (vi t > 0) th x dng. R rng x dng lm cho v tri ca (*) lun dng nn (*) v nghim trong trng hp ny, loi.

(+) Nu 22 2

0 1 173 2 2 3

82 2 9

xt x x x x x

x x x

.

Vi 1 17 9 17 9 17

2 18 8 16

x y x y

.


, ;8 16

x y

Bi 246: Cng hai v ca hai phng trnh trong h ta c:

2 217 10 26 2 2 1x y xy x y

2 2 2 216 9 24 1 2 2 2 0x y xy x y x x xy

2 2 4 3 0 3

4 3 1 01 0 4

x y xx y x y

x y y

Th li thy y l nghim ca h phng trnh.

Vy nghim ca h l , 3;4x y Bi 247: Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai ca h v theo v ta c:

2 2 22 2 1 4 1 2 2 0x y x y x x x x y x y x y x y

2 2

2 2 0 22 1 01 0 1

x y y xx y x y

x y y x

Nu 22y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 24 1 7 6 2 7 0x x x x x , phng trnh ny v nghim do 0 .



Nu 1y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

21 17 3 17

4 44 1 7 3 1 4 2 4 0

1 17 3 17

4 4

x y

x x x x x

x y

Vy h c hai nghim l 1 17 3 17 1 17 3 17

, ; , ;4 4 4 4

x y

Bi 248: Nu x = 0 th thay vo h tm c y = 0 v ngc li, thay y = 0 vo h ta cng tm c x = 0. Trng hp x v y u khc 0. Chia hai v ca h cho xy 0 ta c:

1 1 1 12 5 5 2

5 2 4 3 0 2 11 1 1 1

3 4 4 3

x y x yx y x y

x y x y x y

x y x yx y x y

.

Thay x = 2y 1 tr li phng trnh th nht ca h ta c:

3 23 1 2 1 5 2 5 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y

2

9 41 1 41

20 10

1 10 9 1 0 1 1

9 41 1 41

20 10

y x

y y y y x

y x

Nh vy h c tt c 4 nghim 9 41 1 41 9 41 1 41

, 0;0 , 1;1 , ; , ;20 10 20 10

x y

Bi 249: T phng trnh th hai nhn xt rng xy > 0, tc l x v y cng du. S dng bt ng thc Cauchy (AM GM) ta c:

4 4 2 21

1 2 2.2 33

xy x y xy x y xy xy (*).

Tip tc s dng bt ng thc Cauchy (AM GM) cho 5 s:

5

4 4

4 4 4 4 3 2 22 1 1. 2 . 2 . 2 . . .243 58 8

xy x yxy xy xy x y x y

(1).

Ta li c:

4 4 4 42 2 5 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3

xy x y xy xy x y xy

(2).

(s dng phng trnh th nht v bt ng thc (*)).

Nh vy t (1) v (2) ta c:

5

2 1 1 5 2 2. .

243 5 3 2438

.

Nh vy du ng thc (*), (1) v (2) u phi xy ra. Tc l:



24 4 4 4

4 4

4 44

11

31 1 3

13 3 122 3

2 33

xx y x yx y

xy xy x y

x yxyxy x y

x

Th li thy y chnh l nghim ca h.

Vy h c hai nghim l 1 1 1 1

, ; , ;3 3 3 3

x y

Bi 250: T hai phng trnh ca h, d nhn thy rng 0x , 0y v 1xy .

Lc ny h cho tng ng vi:

5 11 (1)

2

12 1 (2)

xy yy

xy xx

Ly (1) tr i (2) v theo v ta c:

11 1 1 1 1

1 12 2 2

y x xy y xxy y x xy

x y xy xy

2

2 2 22

yy x xy x y y x

y

(*) (d thy 2y ).

n y ta th vo phng trnh (2) ta c:

22 22 2 2 2 4 22 2 22 1

2 2 2 2 2 2

y y y yy y y

y y y y y y

2 2 3 24 2 2 5 4 4 8 9 12 4 0y y y y x y y y 22 8 7 2 0 2y y y y (do tam thc 28 7 2y x c bit thc 0 ).

Vi y = 2 thay vo (*) ta c x = 1 (tha mn).


Bi 251: iu kin 3 1x y .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 3 3 24 1 3 .x y x y x x (1). Xt hm s 2 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 3 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (1) c dng:

3 3 3 2 3 20 0

1 11 1 (2)

x xf x f x y x y x

x y x y x x


2 2 21 1 1 1 1 1 1x y x y y x x y y 2 2 21 1 1y x x y y (3).

Th (2) vo (3) ta c phng trnh bc 8 sau y:

2 2

3 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 0x x x x x x x x

.



Rt gn phng trnh ny ta c:

8 7 5 2 6 5 42 0 1 2 2 1 0x x x x x x x x x x

24 41 1 1 0 0x x x x x x

(tha mn) 1x (tha mn).

(d thy 24 41 1 0x x x ).

(+) Vi x = 0, thay vo (2) ta c y = 1. (+) Vi x = 1, thay vo (2) ta c y = 1.

Vy h c hai nghim l , 0;1 , 1; 1x y Bi 252: H cho tng ng vi:

2 22 2

2 2 2 24 2 2 4

x xy y x yx xy y x y

x xy y x xy y x yx x y y x y

2 22 2

2 22 2

3 44 4

3 44 4 4 4

x y x y x yx xy y x y

x y x y x y x yx y x xy y x y

t a x y v b x y th h trn tr thnh: (*)

2 2

2 2

3 4 (1)

3 4 (2)

a b a

a a b b

Nhn thy phng trnh (1) c th rt 2b theo a, th nhng th vo phng trnh (2) th cn bnh phng hai v phng trnh (2) ln.

Bnh phng h qu hai v phng trnh (2) ta c: 2

2 2 2 23 16a a b b (3).

T (1) ta rt 2

2 4

3

a ab

ri thay vo (3) ta c:

2

2 22

2 2 2 2 24 43 16. 8 4 48 43 3

a a a aa a a a a a a

2 4 2 5 3 5 30

4 4 1 3 4 4 3 03 0

aa a a a a a a a a

a a a

(+) Nu a = 0 th thay vo h (*) ta tm c b = 0. Vi a = b = 0 th 0 0x y x y x y . Th li tha mn h ban u.

(+) Nu 5 3 3 0a a a (4).

Xt hm s 5 3 3f a a a a trn . Hm s c o hm 4 2' 5 3 1 0f a a a nn hm s f a ng bin trn . Mt khc thy a = 1 l mt nghim ca (4) nn (4) 1a .

Vi a = 1, thay vo h (*) ta c:

2

2

2

1 3 41 1

3 4

bb b

b

.

+) Nu 1a b th 1

10

xx y x y

y

. Th vo h ban u thy tha mn.

+) Nu 1 1 0

1 1 1

a x y x

b x y y

. Cp s ny khng tha mn h ban u, loi.

Nh vy h c hai nghim l , 0;0 , 1;0x y



Cch gii khc: gii (*), ta c th gii theo cch ng cp: Vi 0a th tm c b = 0. Vi 0a th t .b t a , lc ny h tr thnh:

22 2 22

22 2 2 22 2 22

2

41 3 43 4 16 41 3

43 4 33 4 1 33

aa ta t a a tt

ta a t a ta ta t t tat

Gii phng trnh n t trn v tm nghim. Bi 253: iu kin 2y .


3 2 37 3 3 2 3 2x x xy x y y y x x

3 2 33 2 3 2 2 2 2x x y x y y y x y x x

3

32 2x y x y x x (1).

Xt hm s 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (1) c dng:

2 2 2 2 0f x y f x x y x y x (2). Th (2) vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 1 0 1x x (do 0x ).

Vi x = 1, thay vo (2) ta c: 2 2 2y y .

Nh vy nghim ca h l , 1;2x y

Bi 254: H c vit li thnh:

2 22 2

2 2

2 44 2

1 2 3 2 3

x x y yx y x y

xy x y x x y y

Theo nh l Vit o 2x x v 2 2y y l nghim ca phng trnh sau: 2 4 3 0 1 3t t t t .

TH1: Nu 2

2

1 51

22 3

3 1

x x x

y yy y

TH2: Nu

2

2

1 133

22 1

1 2

x x x

y yy

Vy h cho c tm nghim l 1 5 1 5 1 13

, 1; , 3; , ; 1 22 2 2

x y

Bi 255: Vi mi x v y ta lun c bt ng thc sau:

2 2 3 2

0 4 2 3 4 4x y x y xy x y x y xy xy

3 2 2

2 3 0 1 2 3 3 0 1x y x y x y x y x y x y

.



(do 2 2 23 1 3

2 3 3 1 02 2 2

x y x y x y x y )

Phng trnh th hai ca h vit li thnh: 4 2 2

2 2 1 0x y x y x y y (*).

Ta c:

4 2 2

2 1 1x y x y x y x y x y x y x y

0 vi mi 1x y .

4 2 2

2 2 1 0x y x y x y y .

Nh vy c (*) th ng thc cc bt ng thc trn xy ra, tc l

11

2 1 02

x y

y x y

x y

.

Th li thy y l nghim ca h phng trnh.

Vy h c duy nht mt nghim l 1 1

, ;2 2

x y

Bi 256: iu kin , 0x y .


33

3

x xy x x

x x

(1).

Th (1) vo phng trnh th hai ca h ta c:

3 1 3 3 2 0 3 1 3 2 0 3 2 1x x x x x x x x . Vi x = 1 th thay tr li (1) ta tm c y = 1.

Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 257: Nu y = 0, thay vo h ta tm c x = 3. Nu y 0 th h cho tng ng vi:

3 3

2 2 2 23 31 4 45 1 4 45

3 32 4 2 4

x xx y xy x y xy

y y y y

x xxy xy

y y y y

3 2 23 3 2 22 3 4 4 45 8 40 50 72 0

33 2 42 4

xy x y xyx y x y xy

xx y xyxy

y

2 22 4 4 4 9 0 4

4 32 4 3

xy x y xy xy

x yx y xy

(d thy 2 24 4 9 0x y xy )

3 73 3 734 3 8 2

4 3 4 3 73 3 73

8 2

y xx y

y yy x

H cho c ba nghim l 3 73 3 73 3 73 3 73

, 3;0 , ; , ;2 8 2 8

x y



Bi 258: H cho tng ng vi:

22 2 2

22 2 2

12 2 4 2 8 4 0 (1)

1 2 5 2 4 20 2 24 0 (2)

554,4,

22

x y x y y

y y x x y x y

y xy x

Bi ton ny nu gii theo cch thng thng th cng kh n gin, chng ta s trnh by cch gii v xem n c rt ra t u nh! Ly phng trnh (1) nhn 2 ri tr i phng trnh (2) v theo v ta c:

2

2 2 2 2 14 162 2 8 4 4 20 2 24 020

y yx y y x y x y x

(3).

Th (3) vo phng trnh (1) ta c:

22

2 4 3 214 162 8 4 0 28 364 1152 1056 020

y yy y y y y y

2 22 24 264 0 2 0 2y y y y y (tha mn iu kin). (Do

22 24 264 12 102 0y y y )

Vi 2y , thay tr li h ta tm c x = 2.

Vy nghim ca h l , 2; 2x y Cch gii khc: Bi ton ny c n ba cch gii khc! Cch m chng ta trnh by trn thc cht ch l mt trng hp c xy dng suy ra t phng php h s bt nh. Ta thy (1), (2) l cc tam thc i vi x v y nn ta ngh n vic cng hai phng trnh ny theo mt t l no thu c mt tam thc bc hai n x khc c nghim p (nghim c th biu din theo y).

2 2 2 22 8 4 4 20 2 24 0x y y x y x y ( v khc 0)

2 2 2 22 8 4 4 20 2 24 0x y y x y x y

(*).

n y ta t K

th (*) c vit li thnh:

2 2 2 22 8 4 4 20 2 24 0x y y K x y x y 2 22 4 20 1 8 2 4 24 0K x Kx K y K y K (**).

Phng trnh (**) l phng trnh bc hai vi n x v tham s l y v K c bit thc:

2 2' 10 2 4 1 8 2 4 24x K K K y K y K

hay 2 2' 2 1 1 2 2 1 2 8 2 2 2 32 4x K K y K K y K K (***). rt c x theo y d dng th ta phi c 'x l bnh phng ca mt biu thc i vi y v K

(hoc ch i vi y , hoc ch i vi K) (1). iu ny xy ra khi phng trnh 'x = 0 c mt

nghim duy nht (c th theo bin K hoc bin y). V mc ch ca chng ta l i tm K nn ta coi phng trnh 'x = 0 l phng trnh n y , tham s l K.

Lc ny phng trnh 'x = 0 c bit thc:



2 2 2' 1 2 8 2 4 1 1 2 2 32 4y K K K K K K

23 2' 4 1 2 4 13 4 12 4 1 2 4 3 2y K K K K K K K

Phng trnh 'x = 0 c mt nghim duy nht 1 3

' 0 22 4

y K K K

.

Chng ta hy th xem vi cc gi tr trn th ta s c g nh!

+) Vi 1

2K

, thay vo (*) ta c:

2 2 14 167 8 10 0

2 20

y y yy x x

.

y chnh l cch trnh by trn bi gi,

+) Vi 3

4K

, thay vo (*) ta c:

22 1315 14 0

2 2

y yx x .

Phng trnh ny c bit thc:

22 13 169 13'

4 2 4 2 2x

y y y

(hoc c th (thay vo (***)).

n y tm c 12

yx hoc 14

2

yx . Th tr li vo mt phng trnh trong h tm

nghim. (y chnh l Cch 2)

+) Vi K = 2, thay vo (*) ta c: 2 210 3 40 12 52 0x y x y .

Phng trnh ny c bit thc: 2

' 30 2x y . Mun phng trnh trn c nghim th

2

' 0 30 2 0 2x y y . Vi y = 2, thay tr li phng trnh tm c x = 2. (y

chnh l Cch 3) Chng ta cn c Cch 4, l nh gi. Cng hai v ca hai phng trnh trong h ban u vi nhau v chuyn v ta c:

2 22 12 2 1 2 1 8x x y y y (4) p dng bt ng thc CauchySchwart (Bt ng thc Bunhiacpxki) ta c:

2 2 2 22 12 2 2. 2 1. 12 2 2 1 2 12 2 6x x x x x x

2 2 2 21 2 1 1. 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2y y y y y y y y y y Cng hai bt ng thc trn v theo v v kt hp vi phng trnh (4) ta tm c nghim.

Lu : (1) bi ton trn, ta c th tm c ngay K = 1

2

bi v khi K =

1

2

th 'x tr thnh

2

10K , l mt bnh phng ca mt biu thc i ch vi K.

iu t ra y l lm sao tm c h s K trong khi thi gian lm bi l rt hn ch? Mt cng c rt hu ch c s dng tm h s K mt cch nhanh chng nht chnh l s dng chc nng SOLVE ca my tnh b ti.

Vi bi: Gii h phng trnh: 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

0 (1)

0 (2)

a x b y c xy d x e y f

a x b y c xy d x e y f

Ta t: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ;a a ka b b kb c c kc d d kd e e ke f f kf , sau

nhp vo my phng trnh n k sau ri s dng chc nng SOLVE: 2 2 24cde abf ae bd fc .

Sau khi tm c h s K, chng ta ch cn ly phng trnh (1) cng vi K ln phng trnh (2) s c mt phng trnh c bit thc p.



Bi 259: iu kin 2y .


3 2 2 3 2 22 3 3 3 0x x y xy y x xy y x y

2 2 2

3 1 0 1 3 1 0x y x y x y x y x y x y x y

2

1 3 0 1 0x y x y x y

(do 2

3 0x y ) 1y x .

Th y = x + 1 vo phng trnh th hai ca h ta c:

23 3 2 1 1x x x x (*) (iu kin 1x ).

t 1 0t x 2 2 2 21 3 2 1 2 1x t x x x x t t . Lc ny phng trnh (*) tr thnh:

3 32 2 2 2 2 2 2 33 1 1 1 1 1t t t t t t t t t t t t t

2

220 1 20

1 1 1 01 2 31 0

t x ytt t t t t

t x yt

(do 2

1 1 0t t t vi mi 0t ).

Nh vy h c hai nghim l , 1;2 , 2;3x y Bi 260: Vi h phng trnh ny th chng ta chn cch gii n gin nht, l rt th. Nu bi ton ny s dng phng php h s bt nh nh Bi 258 (cng phng trnh th hai vi K ln phng trnh th nht) th cng ch tm c K = 0 l nghim p, tc l ta ch s dng phng trnh th hai ca h. T phng trnh th hai ca h ta thy 0y . Lc ny phng trnh tng ng vi:

2

11 12 2 2 2

2

yx y x y x

y y y

(1).


4 2 4 2

22

2 2

1 1 1 4 12 1 0 1 0

4 4

y y y y yy y y

y y y

2 2 22

2 2

2 2

1 2 1 4 1 11 0 1 0

4 4

y y y y y yy y

y y

2

2 2

2

11 1 0 1 0 1

4

yy y y

y

.

Vi y = 1, thay vo (1) ta c 2x .

Nh vy nghim ca h l , 2;1x y

Bi 261: iu kin 2 2 0y x .


4 1 4 14 1 4 1 (*) ln 4 1 ln 4 1

2 2

y xx x

y xx y x y

xy xyy x

(1).

(Ly lga Npe hai v ca (*)). +) Nu x = 0 th y = 0, tha mn h.



+) Nu 0x . Nhn xt rng 4 1 1x v 4 1 1y nn ln 4 1 0x v ln 4 1 0y . Kt hp vi (1) suy ra x v y phi cng du ( 0y ).

Lc ny (1) c vit li thnh: ln 4 1 ln 4 1x y

x y

(2).

Xt hm s ln 4 1t

f tt

trn D = 0\ . Hm s c o hm:

2 2 2

4 .ln4. ln 4 1 4 . ln4 4 1 ln 4 1 4 .ln4 4 1 ln 4 1

4 1' .4 1 4 1

tt t t t t t t t

t

t t

t tf t

t t t

Ta xt t m th r rng 4 . ln4 0 4 1 ln 4 1t t tt nn ' 0f t .

Cn vi t dng th

0 4 4 1

0 ln4 ln 4 1

t t

t t

4 .ln4 4 1 ln 4 1 0 ' 0t t t t f t .

Tm li vi t D th ' 0f t , tc l hm s f t nghch bin trn ;0 v 0; . (+) Nu x v y cng m. Lc ny (2) c dng f x f y vi f t l hm nghch bin trn

;0 nn (2) x y . (+) Nu x v y cng dng. Lc ny (2) c dng f x f y vi f t l hm nghch bin trn 0; nn (2) x y . Tm li (2) 0x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

3 3

23 2 3 1 7ln 2 ln 0

2 4

x x x xe x x x x e e e x x x

(3).

Nu 33 0x x x x th

3

2

3

1 7ln ln1 0

2 4

x xe e

x

x x

VP(3) > 0, khng tha mn.

Nu 3x x cng khng tha mn.

Thy 3x x tha mn (3), tc l (3) 3 23 1x x x x x (do 0x ) 1

1

x y

x y

Nh vy h cho c hai nghim l , 0;0 , 1;1 , 1; 1x y

Bi 262: iu kin 3 3x y x y . D thy rng y l mt h phng trnh ng cp.

Nu x = 0 th h tr thnh:

2

2

3

31

7

y

y

. Hai phng trnh trong h ny r rng mu thun, loi.

Nh vy 0x . Lc ny ta c th t y t x ( 1t ) v h tr thnh:



22 22 2 2 22

5 5 5 2 5 3

23 3 3

3 5

3(1)1 33 1

31 1 31 1317 1 7 7 1

xx t tx tx t x t t

x t x x t txx t x t t

3 2

2 25 4 3 2

31 1 31 1 13 3

1 17 1 7 1 1

t t t t

t t t tt t t t t t

2

4 3 2 2 2 4 3 2 2 221 1 31 1 1 21 1 31 1t t t t t t t t t t t t t t

4 3 2 4 2 4 3 221 1 31 1 10 21 10 21 10 0t t t t t t t t t t 2

2

2

21 10 1 110 21 10 0 10 21 10 0t t t t

t t t t

1 2

5t

t (loi do

12t

t ) hoc

1 5

2t

t

(tha mn)

2 5 11 02 2

t t t

hoc 2t (tha mn).

Nu 2t th 2y x , thay vo (1) c 21 2

11 2

x yx

x y

Nu 1

2t

th

2

xy

, thay vo (1) c 2

2 14

2 1

x yx

x y

Nh vy h cho c bn nghim , 1; 2 , 2;1 , 1;2 , 2; 1x y Bi 263: Cng v theo v hai phng trnh ca h ta c:

2 2 2 22 2 5 3 1 3 4x x x x y y y y

2 2 2 21 1 4 4x x y y (1).

Xt hm s 4f t t t trn 0; .

Hm s c o hm 1

' 1 0 0;2 4

f t tt

nn f t ng bin trn 0; .

Mt khc phng trnh (1) li c dng 2 21f x f y nn:

(1) 2 2

11

1

y xx y

y x

+) Nu 1y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

22 3 11 3 3 1 1 0 2 3

2 2x x x x x x y .

+) Nu 1y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

22 3 11 3 3 1 1 0 3 4 0

4 4x x x x x x y .



Nh vy h cho c hai nghim l 3 1 3 1

, ; , ;2 2 4 4

x y

Cch gii khc: C th gii (1) bng cch thc hin php nhn lin hp:

2 22 21 1 4 4 0x y x y

2 22 2

2 2

11 1 0 1 0

1 4 4

x y x y

x y

.

Bi 264: Cng phng trnh th nht vi ba ln phng trnh th hai v theo v ta c:

2 3 2 26 2 35 3 5 5 2 5 13 0x y y x y xy x y 2 3 36 15 3 2 5 2 15 39 35 0y x y x y y y 2 23 2 5 3 2 5 2 5 5 7 0y x y x y y y

2 22 5 3 3 5 7 0y x x y y

2 2

5

21 52 5 3 0

1 52 2, ;

2 2

y

y x y

x y

Cp s 1 5

, ;2 2

x y

tha mn h ban cho.

Vi 5

2y

, thay tr li h ta tm c

1

2x .

Nh vy nghim ca h l 1 5

, ;2 2

x y

Bi 265: iu kin 3 1 2x y .

Phng trnh th hai ca h c vit li thnh:

3 3 22 6 2 1 5 .x y x y x x (1). Xt hm s 2 5f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 5 0f t t t nn hm s ng bin trn .

Mt khc (1) c dng 3 3 3 20

2 1 2 1 1

2

x

f x y f x x y x x xy


23 2 3 2

6 5 41 14 2 6. 02 2

x x x xx x x

3 2 22 0 1 2 2 0 1x x x x x x (tha mn).

Vi x = 1 th 3 2 1 1

2 2

x xy

(tha mn iu kin).



Vy nghim ca h l 1

, 1;2

x y

Bi 266: H cho c vit li thnh:

2 21 3

4 4

3

x y x y x y

x y x y

By gi ta t a x y v b x y th h trn tr thnh:

2 2

222 4 3

2

3 331 3

4 41 3 9

3 2 3 3 0. 4 27 04 4

b bba b a a aa

ab a a aa a a aa

3 3 2

1 1 1

a x y x

b x y y


Bi 267: iu kin 1y v 5

22

x .

Phng trnh th nht ca h l dng phng trnh cha hm m nh trn th ta thng ly Lga Npe hai v ri s dng hm s. Th nhng khi s dng hm s th ta li gp vn l hm s khng n iu trn tp xc nh ca n! Vy nn ta phi chn y c th s dng hm s.

t 24 18 20t x x (iu kin 1

0;2

t

) th phng trnh th hai ca h vit li thnh:

2

2 2

8 41 1 1

4 4

tt y t y

t t

.

Xt hm s 24

14

f t tt

trn 1

0;2

.

o hm

22

8 1' 1 0 0;

24

tf t t

t

(do

2 2

2

8 8 1. 1

4 24

t

t

), tc l hm s ng

bin trn 1

0;2

. Nh vy vi 1

0;2

t

th 0f f t hay chnh l:

2

22 1 1 2 3

4t y y

t

.

Tr li vi phng trnh th nht, vi iu kin 5

22

x v 3y th ta c th ly Lga Npe

hai v: ln 1ln

1 ln ln 11

yxy x x y

x y

(1).

Xt hm s ln t

f tt

trn 2; . Hm s c o hm: 21 ln

't

f tt

.

Ta c: ' 0 ln 1f t t t e . n y c th d thy



+) Hm s f t ng bin trong khong 2;e ln ln2

2

x

x (do

52;

2x

) (2).

+) Hm s f t nghch bin trong khong ;e ln 1 ln4

1 4

y

y

(do 1 4y ) (3).

T (2) v (3) suy ra (1) 2 2

1 4 3

x x

y y

(tha mn).

Nghim ca h phng trnh l , 2;3x y

Bi 268: iu kin x 2y .

Phng trnh th nht tng ng vi: 3

3 2 22 0x x x y x y (1).

t 2 0a x y th (1) tr thnh:

3 2 3 2 2 2 22 0 2 0 2 0x a

x xa a x a x xa ax xa a

+) Nu

2 22 2

2

072 0 0 0 0

2 4 0

xa ax xa a x a x x y

x y

.

Thay vo phng trnh th hai ca h thy khng tha mn.

+) Nu x = a 22 2 2 2

0 0x xx x y

x x y y x x

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 396 20 2 4 8 1x x x x (2). p dng bt ng thc Cauchy cho cc s khng m:

33 331 1 16 8 3 1

4 8 1 . 16 . 8 1. 2 . 42 2 3 2

x xx x x x x

.

2

2 21 3 1 196 20 2 4 96 24 0 96 02 2 8 8

x x x x x x x

.

Th li thy 1

8x l nghim ca (2). y cng chnh l nghim duy nht ca (*).

Vi 2 21 7 7

8 64 8x y x x y .

Vy h c hai nghim l 1 7

, ;8 8

x y

Bi 269: iu kin 3

4y .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2

22 2

2

22

2

x y yx y y

x y y

Nu 2 2x y y , thay vo h ta c:

2

2 2 4 3 22 2 6 2 5 4 3 2 4 4 2 1 4 3y y y y y y y y y y (1).



Nhm c nghim y = 1, v vic nhn lin hp vi mt hng s khng cho ta kt qu nh mong mun nn ta nh gi:

4 3 1

4 3 .1 2 12

yy y

(*)

Kt hp vi (1) suy ra:

4 3 2 4 3 22 4 4 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0y y y y y y y y y

2 22 1 1 0 1y y y . Th li thy y = 1 tha mn phng trnh (1) v iu kin. T y suy ra 2 2 2x y y .

Nu 2 2x y y , thay vo h ta c:

2

3 22 422 2 6 2 5 4 2 4 163 414 325yy y y y y yy y y (2).

Kt hp vi (*) suy ra 4 3 2 4 3 22 4 16 14 25 2 1 2 4 16 16 26 0y y y y y y y y y

2 22 22 8 1 7 18 0y y y y , v l. Suy ra (2) v nghim.

Nh vy nghim ca h l , 2;1x y Cch gii khc: Thng th sau khi nhm c nghim y = 1, ta s th s dng php nhn lin hp. Th nhng vi bi ton ny th vic nhn lin hp c v t ra di dng hn:

3 2 2 4 42 2 2 1 1 4 3 0 2 1 1 01 4 3

yy y y y y y y y y

y

24

1 2 1 01 4 3

y y y yy

n y ta ch cn tm thm nghim ca biu thc trong ngoc vung.

Xt 24

2 11 4 3

f y y y yy

trn 3;

4

o hm

2

2

8 3' 12 4 2 0 ;

41 4 3 4 3

f y y y y

y y

nn hm s ng

bin. Ta li thy y = 1 l mt nghim ca phng trnh 0f y v cng l nghim duy nht ca phng trnh. Bi 270: D thy y = 0 khng tha mn phng trnh ban u ca h nn y khc 0. Lc ny chia hai v ca phng trnh th nht cho y 3 v chia hai v ca phng trnh th hai ca h cho y ta c:

3

3 3

1 11 5 3 5 32 9 5

1 1 1110 18 0 2 12 05 3

xy x xy xx xy y yy

x xy x xxy xy y yy



2

1 1 12 2 6 0 1

2

1 5 55 3

x x xxy y y

y

xyxy xy

(d thy biu thc trong du ngoc vung lun dng)

1 12 2

1

1 2 15 2 . 5 1 1

x xyy y

xy

y y

Nh vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 271: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

3 3

2 1 2 1x y x y x x (*).

Xt hm s 3f t t t trn .

Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s ng bin trn . Mt khc (*) c dng 2 1f x y f y nn (*) 2 1 1x y x y x .

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 21 0

2 1 3 5 0 3 2 5 0 5 8

3 3

x y

x x x x x xx y

Vy h c hai nghim 5 8

, 1;0 , ;3 3

x y

Bi 272: T phng trnh th nht ca h suy ra 0x . Vi 0x th h cho tng ng vi:

3

333 2

33 2

643 55

64 12 4 123 6 4 1 3 1

123 3 51

yx

y y y y yx x x x

y y yx

(*).

Xt hm s 3 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 3 0f t t t nn f t

ng bin trn . Mt khc (*) c dng 4

1f y fx

nn (*)

41y

x .

Thay 4

1yx vo phng trnh th hai ca h (sau khi bin i) ta c:

3 2 3 2 23 3 3 1 51 3 54 0 3 6 18 0y y y y y y y y y

3y (d thy 22 6 18 3 9 0y y y )

41 4 1y x

x .


Bi 273: H cho xc nh vi mi s thc x, y. Bin i h tng ng vi:



2

2 2

2

1 20072007 1 2007 1

1 2007

yyx

x

x xx x y y

y y

(*).

Xt hm s 22007 1tf t t t trn . Hm s c o hm:

2

2 2

1' 2007 .ln2007 1 2007 .ln2007 0

1 1

t tx x xf t xx x

.

(do ln2007 0 v 2 1 0x x x x ).

T y suy ra f t ng bin trn . Mt khc phng trnh (*) li c dng f x f y nn (*) x y . Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

22

12007 2007 1 1

1

y yy y

y y

(**)

Xt hm s 22007 1yg y y y trn . Hm s c o hm:

22

' 2007 .ln2007 . 1 1 .20071

y yyg y y y

y

2

2

2

1' 2007 1 ln2007

1

y y yg y y yy

22

1' 2007 1 ln2007 0

1

yg y y yy

(do ln2007 > 1 v 2

11

1y

).

Suy ra g y ng bin trn . T ta li suy ra phng trnh (**) c nhiu nht mt nghim. Nhn thy 0 1g nn (**) 0 0y x .

Vy nghim ca h l , 0;0x y Bi 274: iu kin 1x v x y.

t a = 1x v b = 1y (iu kin a, b 0) th

2

2 2

2

2 2

1

12

, 0;2

x ax y a b

y bx y a b

a b

Phng trnh th nht ca h c vit li thnh:

1 4 1 4 1x x y , hay chnh l 2 22a b (*).

Phng trnh th hai ca h c vit li thnh:

2 2

2 2 2 232 2

4 1 12. 2 1

a ba b a b

a b

(**).

Th (*) vo (**) ta c:

2 2

234 1 4 3

2. 4 4 2 4 2 14 4

a a aa a a

a



32 231 4 3 2. 8 1 1 1 4 3 4 1 1a a a a a a a a

33 23 3 1 1 1 1 1 1 2a a a a a a .

Vi a = 2 th 2 0 0b b . Thay tr li ta c 3

1

x

y

l nghim ca h phng trnh.

Vy nghim ca h l , 3; 1x y Bi 275: H cho xc nh vi mi s thc x, y. Tr v theo v hai phng trnh trong h:

2 2 2 22 2 2 5 2 1 2 1 2 2 2 4 3x y x x x y y y x y

2 2 2 22 2 1 2 4 2 2 1 2 2x x x y y y y y

2 22 2 1 1 1 1 1x x x y y y (*)

Xt hm s 2 2 1f t t t t trn .

Hm s c o hm: 2 2

2 2

2 2' 2 1 2 2. 1. 2 2 0

1 1

t tf t t t t t t t

t t

.

(Du ng thc trn khng xy ra, tc l ' 0f t ) Suy ra f t ng bin trn . Mt khc (*) li c dng 1 1f x f y x y . Thay x = y + 1 vo phng trnh th hai ca h ta c:

22 22 1 2 4 1 3 3 6 3 0 1 2x x x x x x x y .

Vy nghim ca h l , 1; 2x y Bi 276: iu kin 0x v 0y .

p dng bt ng thc Cauchy Schwart ta c:

2

21 1 2 2x y x y x y .

22 2 2 2 21 1 2 2x y x y x y . p dng bt ng thc Cauchy:

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 .2 2 2 2. 2 8x y y x x y y x x y x y .

Kt hp vi phng trnh th nht ca h ta phi c du bng ba bt ng thc trn phi xy ra, tc l khi x = y = 1. y chnh l nghim ca h phng trnh.

H c nghim duy nht , 1;1x y Bi 277: Vi iu kin 7x th h cho bin i thnh:

23 3

3

3

2 2 7 7 7 0

7 3 143 7 7 2

7

y x y x x x

x xx y x y

x

2 23 3 3

2 2 33

2 2 7 7 2 7 7 0

3 14 7 3 7 2 7 0

y y x x x x x

x x x y y x

Lovebook Nh sch ca hc sinh

hệ phương trình - phần 3

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