tiểu luận tốt nghiệp: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ...

B GIO DC V O TO

TRNG I HC CN THKHOA S PHM

(

TIU LUN TT NGHIP TI:PHNG TRNH, BT PHNG TRNHH PHNG TRNH V H BT PHNG TRNH V T GIO VIN HNG DN: SINH VIN THC HIN:

Bi Anh Kit Hunh Trng Xun

M s sinh vin:1090068

Lp: TL0901A1 - Kha: 35

Ngnh: S phm Ton hcThng 11/2012NHN XT CA GIO VIN HNG DN Ngy .. thng .. nm ..

Gio vin hng dn MC LC

TrangPHN 1: M U 5 1. L DO CHN TI 5 2. MC TIU NGHIN CU 5 3. NHIM V NGHIN CU 6 4. PHM VI V I TNG NGHIN CU 6 5. PHNG PHP NGHIN CU 6PHN 2: NI DUNG 7CHNG 1: C S L LUN V THC TIN LIN QUAN N TINGHIN CU 1. C S L LUN 7 2. C S THC TIN 7CHNG 2: PHNG TRNH, BT PHNG TRNH, H PHNG TRNH V H BT PHNG TRNH V T

1. KIN THC C BN 8 2. PHNG TRNH V T10 2.1. Phng php bin i tng ng10 2.2. Phng php t n ph13 2.3. Phng php nhn biu thc lin hp20 2.4. Phng php lng gic ha23 2.5. Phng php hm s26 2.6. Phng php nh gi29 2.7. Phng php vect31 2.8. Phng php chia iu kin33 2.9. Phng php bt ng thc35 BI TP NGH38 3. BT PHNG TRNH V T38 3.1. Phng php bin i tng ng38 3.2. Phng php t n ph41 3.3. Phng php nhn biu thc lin hp46 3.4. Phng php lng gic ha49 3.5. Phng php hm s52 3.6. Phng php nh gi55 3.7. Phng php vector57 3.8. Phng php chia iu kin59 3.9. Phng php bt ng thc62 BI TP NGH65 4. H PHNG TRNH V T65 4.1. Phng php bin i tng ng65 4.2. Phng php t n ph67 4.3. Phng php lng gic71 4.4. Phng php hm s74 4.5. Phng php nh gi77 4.6. Phng php vect - ta 79 4.7. Phng php bt ng thc81 BI TP NGH85 5. H BT PHNG TRNH V T86 5.1. Phng php bin i tng ng86 5.2. Phng php t n ph88 5.3. Phng php nh gi91 5.4. Phng php hnh hc ta 93 BI TP NGH95PHN 3: KT LUN96 1. BI HC KINH NGHIM96 2. KT LUN CHUNG 96PHN 4: TI LIU THAM KHO97PHN 5: DANH MC CC T VIT TT98PHN 1: M U1. L DO CHN TI

Trong thi i ngy nay, thi i ca cng ngh, hi nhp v pht trin nhn loi u hng n chn tri tri thc m ht nhn l gio dc. Thc o quan trng cho nng lc sng to ca mi ngi trong nn kinh t tri thc chnh l tc t duy, kh nng bin i thng tin thnh kin thc, v t kin thc to ra gi tr. Trong xu th , sn phm o to phi l nhng con ngi nng ng, sng to, c kh nng hc thng xuyn, hc sut i nhm thch ng vi nhng thay i nhanh chng ca khoa hc, cng ngh v yu cu th trng lao ng. (Nguyn c Ca, 2008, trang 50).

Trong qu trnh ging dy v hc tp ca cc mn hc t nhin nh Ton, Vt l, Ha hc th Ton hc l mt b mn th hin s rn luyn t duy logic, sng to, tnh cn thn, chnh xc cao, y l mt mn hc gi vai tr quan trng trong sut bc hc ph thng. Tuy nhin, y li l mt mn hc kh, kh khan v i hi mi ngi phi c mt s c gng, n lc hc tp hc tp rt nhiu c th gii quyt c nhng bi tp i t n gin n phc tp, to s hng th trong hc tp v chim lnh c kho tng tri thc cho mnh. Mt trong nhng vn trng tm ca dy ton l gii ton, vic m ngi hc ln ngi dy thng xuyn phi lm. Cng ln cao, nhng bi hc khng n gin l nhng bi hc thuc lng na m i hi kh nng phn tch, lp lun, tng hp c kt qu tt hn.

Khi gii quyt cc bi ton v phng trnh, h phng trnh trong chng trnh ton bc ph thng th phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh v h bt phng trnh v t li l mt tr ngi khng nh khin cho nhiu ngi ng ngng, lng tng, trong cch gii thng mc sai lm khng ng c khi gii cc loi phng trnh ny.

Chnh v vy, ti Phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phuong trnh v t c la chn thc hin nhm gip ti cng c li kin thc cho vic dy sau ny, ng thi gip mi ngi nm vng nhng phng php gii bi tp t kt qu cao hn.

2. MC TIU NGHIN CU

- Gp phn gip ti cng c li kin thc hc, m rng o su v hon thin hiu bit sau ny c phng php ging dy phn ny c hiu qu.- Gp phn nm bt c nhng thun li, kh khn ca vic gii bi tp khi dy hc, t nh hng nng cao cht lng dy hc mn ton.

- Gp phn rn luyn mt s k nng, phng php gii phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh v h bt phng trnh v t cho mi ngi.3. NHIM V NGHIN CU

- ti a ra mt s kin thc c bn v phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh v h bt phng trnh v t.

- Thng qua ti trang b nhng phng php c bn gii bi ton phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh v h bt phng trnh v t vn dng lm bi tp.- Chn lc h thng nhng bi tp mang tnh tiu biu ph hp vi tng ni dung phng php, rt ra bi hc kinh nghim.4. PHM VI V I TNG NGHIN CU

- Phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh v h bt phng trnh v t trong chng trnh ph thng.

- Cc ti liu lin quan.

5. PHNG PHP NGHIN CU

- Nghin cu, phn tch sch gio vin, sch gio khoa THPT v cc sch tham kho v phng trnh, bt phng trnh, h phng trnh v h bt phng trnh v t.

- Trao i vi gio vin hng dn hiu r hn v kin thc lin quan n ti..PHN 2: NI DUNG

CHNG 1: C S L LUN V THC TIN LIN QUAN N TI NGHIN CU1. C S L LUNTrong qu trnh pht trin, x hi lun ra nhng yu cu mi cho s nghip o to con ngi. Chnh v vy m dy ton khng ngng c b sung v i mi p ng vi s ra i ca n v s i hi ca x hi. V vy, bn thn mi ngi phi lun tm ti, sng to, i mi phng php dy v hc p ng vi ch trng i mi ca ng v Nh nc t ra.

Trong chng trnh mn ton cc lp THPT, kin thc v phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phuong trnh v t khng nhiu song li rt quan trng. l nhng kin thc thng c trong cc k thi i hc, hc sinh gii.Khi gii ton v phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phuong trnh v t i hi mi ngi phi nm vng cc kin thc c bn v: cn thc, phng trnh, h phng trnh, bt phng trnh, h bt phuong trnh, cc php bin i i sBit vn dng linh hot, sng to cc kin thc, k nng t n gin n phc tp.

Phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phng trnh v t gip mi ngi pht trin t duy, pht huy tnh tch cc ch ng, sng to trong gii ton. ng thi gio dc t tng, thc, thi , lng say m hc ton.

2. C S THC TIN

Phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phuong trnh v t l mt trong nhng loi ton m mi ngi coi l loi ton kh, nhiu ngi khng bit cch gii nh th no? C nhng phng php gii no? Cc bi ton v phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phuong trnh v t l mt dng ton hay v kh, c nhiu trong cc thi hc sinh gii, thi i hc. Tuy nhin, cc ti liu vit v vn ny rt hn ch hoc cha c h thng thnh cc phng php nht nh nn gy nhiu kh khn trong vic hc v dy.

V vy, vic nghin cu phng trnh, bt phng trnh,h phng trnh v h bt phng trnh v t l rt thit thc, gip mi ngi nm vng ni dung v xc nh c phng php ging dy phn ny t hiu qu gp phn nng cao cht lng dy v hc trong cc nh trng ph thng.

CHNG 2: PHNG TRNH, BT PHNG TRNH, H PHNG TRNH V H BT PHNG TRNH V T

1. KIN THC C BN

1.1. Phng trnh

1.1.1. nh ngha

Cho 2 hm s v ln lt c tp xc nh: v . t . Mnh cha bin c dng (1) c gi l phng trnh mt n, c gi l n s. c gi l tp xc nh (hay l min xc nh) ca phng trnh (1).Nu sao cho ng th l mt nghim ca phng trnh (1). Tp T= ng gi l tp nghim ca phng trnh (1). Gii mt phng trnh l tm tp nghim ca n. Nu tp nghim ca phng trnh l tp rng th ta ni phng trnh v nghim.

1.1.2. Cc nh ngha v phng trnh tng ng

Gii mt phng trnh thng l bin i phng trnh i n mt phng trnh n gin hn m ta bit cch gii. Nu php bin i khng lm thay i min xc nh ca phng trnh cho c bin i tng ng. Nu lm thay i min xc nh ca phng trnh th c th tp hp nghim ca phng trnh cho cng b thay i .Mun bit r hn ta da vo cc nh l v h qu sau:

nh l 1: Cho phng trnh . Nu c cng min xc nh vi phng trnh cho th .H qu 1: C th chuyn cc hng t t v ny sang v kia ca phng trnh nhng phi i du n

H qu 2: Mi phng trnh u c th a v dng m v th hai ca n bng 0 : .

nh l 2:Cho phng trnh . Nu biu thc c ngha v khc 0 trong min xc nh ca phng trnh cho th .H qu :C th nhn hai v ca mt phng trnh vi mt s khc 0 tu

nh l 3: Nu nng hai v ca mt phng trnh ln mt lu tha bc l th ta c mt phng trnh tng ng vi phng trnh cho . 1.1.3. Phng trnh v t

Ta gi mi phng trnh c n di du cn thc l phng trnh v t. Ni cch khc, l phng trnh c dng trong l mt hm s v t ( c cha cn thc ca bin s; c th l mt bin, khi phng trnh mt n, c th xem l n bin khi phng trnh c n n). 1.2. Bt phng trnh

1.2.1. nh ngha

Cho hai hm s vi . c min xc nh l , c min xc nh l . C hai hm s c xc nh trong min .Bt phng trnh l k hiu ca hm mnh s tr ca hm s ln hn s tr ca hm s .

l min xc nh ca bt phng trnh.

Nu th l nghim ca bt phng trnh.T= l tp nghim ca bt phng trnh. Gii mt bt phng trnh l tm tp nghim ca n. Nu tp nghim ca bt phng trnh l tp rng ta ni bt phng trnh v nghim..nh ngha tng t cho ; ; . 1.2.2. Bt phng trnh tng ng

nh l 1: Cho hai hm s vi .

nh l 2: Cho ba hm s vi

c ngha trong min xc nh ca (1).nh l 3: Cho ba hm s vi

( () trong min xc nh ca (1). ( () trong min xc nh ca (2). nh l 4: Cho hai hm s vi:

1.2.3. Bt phng trnh v t

Ta bit rng bt phng trnh v t l mt bt phng trnh c cha n di du cn thc, ni khc i l bt phng trnh dng hay trong l mt hm s v t (c cha cn thc ca bin s, c th l mt bin, khi phng trnh mt n, c th xem l n bin khi phng trnh c n n ). 2. PHNG TRNH V T

2.1. Phng php bin i tng ng

2.1.1. Nng ln ly tha

A. Phng php

+ Dng1:

(

(

+ Dng 2:

(

(

+ Dng 3:

(

(

Cc cn thc bc l lm xong phi th li kh nghim ngoi lai. B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:a) (1)b) (2)c) (3)d) (4) e) (5)Bi giia) Phng trnh (1)

Vy phng trnh (1) c 1 nghim l

b) Phng trnh (2)

Vy phng trnh (2) c 1 nghim l .c) Phng trnh (3)

Th li, thay vo phng trnh (3) ta c: 2=-1(v l).

Vy khng tha mn phng trnh (3) nn khng l nghim ca phng trnh (3).

Thay vo phng trnh (3) ta c: (ng thc ng)

Vy phng trnh (3) c mt nghim .Ch : Trong mt s phng trnh gii cho gn ta c th gii cc phng trnh h qu ca chng, sau kim tra li kt qu.d) Phng trnh (4)

Vy phng trnh (4) c tp nghim l {-3;6}.e) Phng trnh (5)

Vy phng trnh (5) c mt nghim .

2.1.2. Bin i v tch

A. Phng php

S dng ng thc :+ .+ .+ .+ .B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)b) (2)

c) (3)d) (4)e) (5)Bi giia) Phng trnh (1)

EMBED Equation.3 Vy phng trnh (1) c tp nghim l .b) iu kin:

Khi :

Phng trnh (2)

Vy phng trnh (2) c tp nghim l .c) iu kin:

Khi :

Phng trnh (3)

EMBED Equation.3 Vy phng trnh (3) c mt nghim .d) iu kin:

Khi :

Phng trnh (4)

Vy phng trnh (4) c nghim l .e) Vi , khng phi l nghim.

Vi , ta chia hai v cho :

Vy phng trnh (5) c mt nghim . 2.2. Phng php t n ph

2.2.1. t n ph a v phng trnh mi

A. Phng php + Dng n ph a phng trnh v dng c mt n ph: ( Nu phng trnh c cha th ta t (). T , ta biu th qua l . ( Nu phng trnh c dng ( l hng s)

t: (). Khi . ( Nu phng trnh c dng : ; ;

t: .+ Dng n ph a phng trnh v dng c mt n ph, cc h s vn cn cha (php t n ph khng ton phn ). Phng php ny thng c s dng i vi nhng phng trnh khi la chn n ph cho mt biu thc th cc biu thc cn li khng biu din c trit qua n ph hoc nu biu din c th cng thc li qu phc tp.

B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau: a) (1)b) (2)

c) (3)d) (4)e) (5)Bi gii

a) iu kin:

t . Khi phng trnh (1) tr thnh:

Vi

Vy phng trnh (1) c nghim l: .b) iu kin:

t

Theo bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki c:

Suy ra: .

T

Khi phng trnh (2) tr thnh:

Vi

Vy nghim ca phng trnh (2) l:.c) iu kin:

t ()


Vi

(tha iu kin)Vy nghim ca phng trnh (3) l:

d) Ta c: khng l nghim ca phng trnh. Chia hai v cho ta c:Phng trnh (4)

t th phng trnh tr thnh:

Vi

Vi

Vy phng trnh (4) c tp nghim l .e) iu kin:

t


Vy phng trnh (5) c tp nghim l . 2.2.2. t n ph a v h phng trnh

A. Phng php

+ Dng n ph a phng trnh h phng trnh n gin: ( S dng k n ph chuyn phng trnh ban u thnh mt h phng trnh vi k n ph. Trong h mi th k-1 phng trnh nhn c t cc mi lin h gia cc i lng tng ng. ( c bit i vi phng trnh dng:

Ta c th t: .Khi ta thu c h phng trnh:

+ Dng mt n ph a phng trnh ban u v dng h phng trnh i vi mt n ph v n .Ta thc hin theo cc bc: ( t iu kin c ngha cho cc biu thc trong phng trnh.

( Bin i phuong trnh v dng: .

( t , ta bin i phong trnh thnh h:

Ch :

( Cc h thu c thng l cc h i xng. ( y chng ta xt hai dng ton c bn:

Dng 1: Phng trnh cha cn bc hai v ly tha bc 2. Phng trnh c dng:

Trong tha mn:

Phng php gii:

iu kin:

t th ta c h phng trnh :

EMBED Equation.3 (*)

Tr theo v hai phng trnh ca (*), ta c:

EMBED Equation.3 ( Vi (3) thay vo (1) ta c mt phung trnh bt hai theo .

( Vi (4) thay vo (1) ta c mt phung trnh bt hai theo .

Dng 2: Phng trnh cha cn bc ba v ly tha bc 3. Phng trnh c dng:

Trong tha mn:

Phng php gii:

t th ta c h phng trnh :

EMBED Equation.3 (*)

Tr theo v hai phng trnh ca (*), ta c:

EMBED Equation.3 ( Vi (3) thay vo (1) ta c mt phung trnh bt hai theo .

( Vi (4) thay vo (1) ta c mt phung trnh bt hai theo .

B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)

c) (3)d) (4)

e) (5)Bi gii

a) iu kin:

t

Khi ta c h phng trnh:

Vy nghim ca phng trnh (1) l:.

b) iu kin:

t


Vy nghim ca phng trnh (2) l: .

c) iu kin:

t


Vy nghim ca phng trnh (3) l:

d) iu kin:

Phng trnh (4)

t ;

Khi ta c h:

+ Vi (tha)

+ Vi

(tha)

Vy nghim ca phng trnh (4) l:.e) t

Khi phng trnh (5) c chuy thnh h:

Suy ra l nghim phng trnh:

Vy nghim ca phng trnh (5) l:. 2.3. Phng php nhn biu thc lin hp

A. Phng php + Nhn lng lin hp xut hin nhn t chung Mt s phng trnh v t ta c th nhm c nghim nh vy phng trnh lun a v c dng tch ta c th gii phng trnh hoc chng minh v nghim , ch iu kin ca nghim ca phng trnh ta c th nh ga v nghim + a v h tm Nu phng trnh v t c dng m : dy c th l hng s ,c th l biu thc ca . Ta c th gii nh sau :

, khi ta c h:

+ Cc cng thc thng dng:

Biu thcBiu thc lin hp

B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:a) (1)b) (2)c) (3)d) (4)e) (5)Bi gii

a) iu kin: (*)Phng trnh (1)

Ta thy: Cc mu thc u dng trn tp xc nh.

+ Nu l nghim ca phng trnh.

+ Nu ,

phng trnh khng c nghim .+ Nu ,

phng trnh khng c nghim .i chiu vi iu kin (*). Vy nghim ca phng trnh (1) l . b) iu kin:

Phng trnh (2)

Kt hp vi phng trnh ban u, ta c:

(*)

Th li ta thy 2 nghim ny u tha mn phng trnh (2).

Vy phng trnh (2) c tp nghim l: {3;-24;-88}.

c) Do nn

EMBED Equation.3 Ta thy nu th 2 v ca phng trnh bng nhau nn ta phn tch ra tha s

Ta c: Phng trnh (3)

(do nn khi t lm tha s th biu thc trong du ngoc lun dng).

Vy phng trnh (3) c tp nghim l: .d) Ta thy

Vi th khng phi l nghim.

Xt th ta c:

Vy ta c h:

Th li tha.Vy phng trnh (4) c 2 nghim :.e) iu kin:

Ta nhn thy phng trnh c nghim , ng thi vi th . Nn ta bin i nh sau:

Phng trnh (5)

( V )Vy phng trnh (5) c nghim duy nht : . 2.4. Phng php lng gic ha

A. Phng php

+Nu , hay bi ton c cha th ta t hoc .+ Nu bi ton c cha th ta t .

+ Nu , hay bi ton c cha th ta t

, .+ Nu bi ton c cha th ta t , .+ Nu c dng elip , (a,b>0) th ta t , .+ Nu bi ton cha dng t vi.+ Nu bi ton cha c th t .+ Nu bi ton cha c th t .B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)c) (3)

d) (4)

e) (5)Bi giia) t . Khi phng trnh (1) c dng:

(v )

Khi :

Vy phng trnh (1) c 1 nghim l .b) Phng trnh (2) (*)

t . Khi ta c (*) tr thnh:

()

V

Suy ra

Vy phng trnh (2) c nghim l .c) iu kin:

t: . Khi phng trnh (3) c dng:

t , , suy ra

Khi phng trnh tr thnh:

EMBED Equation.3 Suy ra

Vy phng trnh (3) c nghim l .d) iu kin:

t . Khi :

Phng trnh (4) tr thnh:

Kt hp iu kin ta c:

Vy phng trnh (4) c nghim l .e) iu kin:

t .

Khi ca phng trnh (5) c bin i v dng:

Theo bt ng thc C-si ta c:

Do , du = xy ra

Vy phng trnh (5) c nghim l . 2.5. Phng php hm s

A.Phng php

+ Chuyn phng trnh v dng.

( Xt hm s

Chng minh n iu (ng bin hoc nghch bin). ( l nghim duy nht.

( u khng phi l nghim

+ Chuyn phng trnh v dng xc nh trn D

( Xt hm s v

Chng minh ng bin, nghch bin hoc hm hng trn D

( l nghim duy nht

+ Chuyn phng trnh v dng

( Xt hm s

Chng minh n iu (ng bin hoc nghch bin). (

+ Nu phng trnh c cha tham s: . Ta thc hin cc bc sau:Bc 1: Xt hm s :

( Tm min xc nh ca hm s.

( Tnh o hm ri gii phng trnh: . ( Lp bng bin thin ca hm s.Bc 2: Kt lun :Phng trnh c nghim

.

+ Nghim ca phng trnh l honh giao im ca 2 th hm s v.+ Ngoi ra:

( nh l Largrange: Cho hm s lin tc trn , kh vi trn th tn ti sao cho .

( nh l Rolle: Nu hm s f(x) li hoc lm trn th phng trnh c khng qu 2 nghim trn D.B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)

c) (3)d) (4)

e) Tm phng trnh sau c nghim: (5)Bi gii

a) ) iu kin:

Xt hm s:

Do nu phng trnh (1) c nghim th l nghim duy nht.

Nhm nghim c .Vy phng trnh (1) c nghim duy nht l : .

b) iu kin:

Xt hm s:

Suy ra hm s ng bin trn

Xt hm s:

Suy ra hm s nghch bin trn

Do phng trnh (2): nu c nghim th l nghim duy nht.

Thy tha mn phng trnh.

Vy phng trnh (2) c nghim duy nht l : .

c) Phng trnh (3)

Nhn xt: Phng trnh ch c nghim trong

t . Phng trnh tr thnh:

Xt hm s:

Khi

Vy phng trnh (3) c nghim l : .d) iu kin:

Phng trnh (4)

Xt hm s trn

Ta c: hm s liVy phng trnh (4) nu c nghim s c khng qu hai nghim, ta c:

Vy phng trnh (4) c nghim l : .e) Xt hm s:

+ Min xc nh:

+ Ta c:

(v nghim).

Mt khc: nn hm s ng bin.

+ Gii hn:

+ Bng bin thin:

+

1

-1

Vy phng trnh (5) c nghim khi v ch khi

2.6. Phng php nh gi

A. Phng php

Bin i phng trnh cho v dng . nh gi:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)

c) (3)d) (4)e) (5)

Bi giia) iu kin:

Ta c:

Du = xy ra

Vy phng trnh (1) c nghim l : .

b) iu kin:

+ Vi th v tri: v tri lun m.

+ Vi th v phi: v phi lun dng.

Vy phng trinh (2) v nghimc) Phng trnh (3)

iu kin:

M

Du = xy ra


d) iu kin:

Ta c: VT

Du = xy ra


e) Ta thy:

+ Nu th hai v ca phng trnh bng nhau.

+ Nu th phng trnh v nghim.+ Nu th phng trnh v nghim

Vy phng trnh (3) c nghim l : . 2.7. Phng php vectA. Phng php

Trong mt phng Oxy hay trong khng gian Oxyz, ta chn to cc vect (ta cc im) thch hp ri p dng cc cng thc sau:

+

ng thc xy ra khi hai vecto cng hng.

+ ,

ng thc xy ra khi v ch khi hai vecto cng hng.

+ AB+BCAC, vi mi A, B, C nm trong mt phng.B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)

b) (2) c) (3)d) (4)e) (5)Bi giia) Trong mt phng ta , chn cc vect:

;

VT; VP=

Do phng trnh (1)

Vy l nghim ca phng trnh (1).b) Trong mt phng ta , chn cc vect:

;

Ta c:

ng thc xy ra khi v ch khi cng hng

Vy l nghim ca phng trnh (2).c) Phng trnh (3)

(*)Trong mt phng ta , chn cc im: , ,

Khi , phng trnh (*) (**)V nn tam gic , tm v T (**) suy ra

Ta bit rng: Nu tam gic u tm th mi im thuc mt phng tam gic u c .

Du = xy ra khi v ch khi

Suy ra

Vy l nghim ca phng trnh (3).d) Trong mt phng ta , chn cc vect:

;

Ta c: ;

Khi , phng trnh (4)


Vy nghim phng trnh (4) l .e) Trong mt phng ta , chn cc vect: ;

Ta c: ;

Khi :

Vi ; cng hng.

Vy nghim phng trnh (5) l . 2.8. Phng php chia iu kin

A. Phng php

+ Nu bi ton c tp xc nh l D m

+ Ta c th chia bi ton thnh n trng hp ca tp xc nh:

( Trng hp 1: , gii phng trnh thu c tp nghim

( Trng hp 2: , gii phng trnh thu c tp nghim

( Trng hp n: , gii phng trnh thu c tp nghim

+ Kt lun: tp nghim ca phng trnh l:

i vi dng bi ny ta cn chia bi ton thnh cc trng hp tr thnh nhng bi ton nh n gin.B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)b) (2)c) (3)

d) (4)

e) (5)

Bi giia) iu kin:

+ Nu th ta c:

(*) (v nghim)

+ Nu th ta c:

EMBED Equation.3 (**)

Kt hp iu kin

Vy nghim ca phng trnh (2) l: .

b) Phng trnh (1)

iu kin: Tp xc nh

+ Nu th tha mn (2) l nghim.+ Khi th; phng trnh v nghim.

+ Khi th phng trnh (2) tr thnh:

Vy nghim ca phng trnh (2) l: .c) iu kin: Tp xc nh

+ Nu th tha mn (3) l nghim.


(tha iu kin )


Chia cho ta c: (khng tha )

Vy nghim ca phng trnh (3) l: .d) iu kin:

Phng trnh (4) (tha mn iu kin)

Vy nghim ca phng trnh (4) l: .e) iu kin:

Phng trnh (5) (*)

+ Nu th (*):

+ Nu th (*):

Vy nghim ca phng trnh (5) l: . 2.9. Phng php bt ng thcA. Phng php

+ . Du = xy ra khi v ch khi .

+Bt ng thc C-si:

( i vi 2 s:

Vi 2 s khng m :

Du = xy ra khi

( i vi 3 s:

Vi 3 s khng m :

Du = xy ra khi

( Bt ng thc m rng vi n s khng m:

Du = xy ra khi

H qu:

+ Bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki:

( Vi 4 s a, b, x, y th ta c:

Du = xy ra khi .

( Vi 6 s a, b, c, x, y, z th ta lun c:

Du = xy ra khi .

+ Vi mi :

B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)c) (3)

d) (4)

e) (5) Bi giia) iu kin:

Bin i phng trnh (1), ta c:

p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki:

p dng bt ng thc C-si:

Du bng Vy phng trnh (1) c tp nghim l .b) iu kin:

p dng bt ng thc C-si cho 3 s khng m: ta c:

Khi :

Vy phng trnh (2) c nghim l .c) iu kin:

p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki cho 2 v phng trnh (3) ta c:

Suy ra:

Du = xy ra khi

Vy phng trnh (3) c nghim l .d) Phng trnh (4)

p dng bt ng thc (Du = xy ra khi v ch khi )

Ta c:

Du = xy ra khi

Vy nghim ca phng trnh (4) l cc gi tr ca sao cho .e) iu kin: Ap dung bt ng thc C-si: vi

Vi iu kin . Nn:.

Du = xy ra

Vy phng trnh (5) c nghim l .BI TP NGHBi tp 1: Gii cc phng trnh sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

k)

l)

Bi tp 2: Tm cc phng trnh sau c nghim:

a)

b)

c)

3. BT PHNG TRNH V T


A. Phng php

+ Dng 1:

(

( + Dng 2: (

( + Dng 3: (

(

(

(

B. V d minh ha: Gii cc bt phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)

c) (3)

d) (4)e) (5)Bi gii

a) Bt phng trnh (1)

Vy tp nghim ca bt phng trnh (1) l: .b) Bt phng trnh (2)

Vy tp nghim ca bt phng trnh (2) l:

c) iu kin:

Bt phng trnh (3) tng ng:

Kt hp iu kin ta c:

Vy tp nghim ca bt phng trnh (3) l: .d) iu kin:

Bt phng trnh (4)

Vy tp nghim ca bt phng trnh (4) l: .e) Nhn xt:

Kt hp vi (5) suy ra hay

Bt phng trnh (5)

(v )

Suy ra (do ) hay (tha iu kin)

Vy nghim ca bt phng trnh (5) l: . 3.2. Phng php t n ph

3.2.1. t n ph a v bt phng trnh mi

A. Phng php + Dng n ph a bt phng trnh v dng c mt n ph: ( Nu bt phng trnh c cha th ta t (). T , ta biu th qua l .

( Nu bt phng trnh c dng ( l hng s)

t: (). Khi

( Nu bt phng trnh c dng : ;;

t:

+ Dng n ph a bt phng trnh v dng c mt n ph, cc h s vn cn cha (php t n ph khng ton phn ). Phng php ny thng c s dng i vi nhng bt phng trnh khi la chn n ph cho mt biu thc th cc biu thc cn li khng biu din c trit qua n ph hoc nu biu din c t cng thc li qu phc tp.B. V d minh ha: Gii cc bt phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)c) (3)

d) (4)e) (5)

Bi giia) iu kin:

Ta c:

t: () (*)

Bt phng trnh (1) tr thnh:

Kt hp vi iu kin (*) ta c

Khi :

Vy nghim ca bt phng trnh (1) l: .b) iu kin:

t (). Bt phng trnh (2) tr thnh:

+ Vi

+ Vi

Vy nghim ca bt phng trnh (2) l: .c) iu kin:

Bt phng trnh (3)

t

Bt phng trnh tr thnh:

Vi

Vy nghim ca bt phng trnh (3) l: .d) iu kin:

Nu coi th

Ta li c:

t (*)

Bt phng trnh (4) tr thnh:

Kt hp vi (*) ta c .Khi :

(v nghim)

Vy bt phng trnh (4) v nghim.e) t vi

Khi bt phng trnh (5) c dng: (*)

Xem v tri l mt tam thc bc 2 theo , ta c:

Khi c cc nghim: nn (*) c bin i v dng:

Vy nghim ca bt phng trnh (3) l: . 3.2.2. t n ph a v h bt phng trnh

A. Phng phpS dng hai n ph cho hai biu thc trong bt phng trnh v bin i bt phng trnh thnh mt h bt phng trnh vi hai n ph hoc mt bt phng trnh tch.


a) (1)b) (2)

c) (3)

d) (4)e) Tm bt phng trnh sau c nghim: (5)

Bi gii

a) iu kin:

Bt phng trnh (1)

t . Khi bt phng trnh tr thnh:


Bt phng trnh (2)


Xt trng hp

th ta phi c


t: vi

Khi bt phng trnh (3) c dng:

Kt hp iu kin ta c: (v nghim)

Vy bt phng trnh (3) v nghim.d) iu kin:

Bt phng trnh (4)


Ta c:

Vy nghim ca bt phng trnh cho l .e) iu kin:

t vi , suy ra

Khi ta c h:

Mt khc:

Do c gi tr nh nht bng 1 khi , m (5) c nghim khi v ch khi ln hn hoc bng gi tr nh nht ca .Vy th bt phng trnh (5) c nghim. 3.3. Phng php nhn biu thc lin hp

A. Phng php + Thng d on ngim v dung lng lin hp xut hin nhn t chung.+ Cc cng thc thng dng:

Biu thcBiu thc lin hp

B. V d minh ha: Gii cc bt phng trnh sau:a) (1)

b) (2)

c) (3)

d) (4)e) (5)

Bi giia) iu kin:

Bt phng trnh (1)

Ta c:

Do bt phng trnh .Kt hp vi iu kin ta c .Vy bt phng trnh (1) c tp nghim l: .b) iu kin:

Bt phng trnh (2) tng ng:

(V )

Kt hp vi iu kin ta c .Vy bt phng trnh (2) c tp nghim l: .c) iu kin:

Bt phng trnh (3)

Kt hp vi iu kin ta c

Vy bt phng trnh (3) c tp nghim l:

d) iu kin:

Ta thy: nn ta nhn lng lin hp v tri.

+ Vi th bt phng trnh (4) tr thnh: (ng)

Suy ra l mt nghim ca bt phng trnh (4).

+ Vi nn bt phng trnh (4) tng ng:

Kt hp iu kin th ta c nghim ca bt phng trnh (4) l: .e) iu kin:

Khi ta c:Bt phng trnh (4)

Kt hp iu kin th ta c nghim ca bt phng trnh (5) l: . 3.4. Phng php lng gic ha

A. Phng php

+Nu , hay bi ton c cha th ta t hoc .

+ Nu bi ton c cha th ta t .

+ Nu , hay bi ton c cha th ta t

, .

+ Nu bi ton c cha th ta t ,

+ Nu c dng elip , (a,b>0) th ta t , .

+ Nu bi ton cha dng t vi.+ Nu bi ton cha c th t .+ Nu bi ton cha c th t .B. V d minh ha: Gii cc bt phng trnh sau:

a) (1)b) (2) (vi )c) () (3)

d) (4) e) Tm bt phng trnh sau c nghim: (5)Bi giia) iu kin:

t . Khi bt phng trnh (1) tr thnh:

Vy nghim ca bt phng trnh (1) l: .b) t: , vi

Khi bt phng trnh (2) c dng:


t

Khi bt phng trnh (3) c chuyn v dng:

Vy nghim ca bt phng trnh (3) l: hoc .d) iu kin:

t . Khi bt phng trnh (4) tr thnh: (*)

Do nn hay ,

(*)

Gi l gc m . Khi ta c:

+ (**)

Do nn (**)

+

Vy nghim ca bt phng trnh (4) l: .e) iu kin: (*)

Vi iu kin (*), t:. (**)Khi bt phng trnh c chuyn v dng:

()

Kt hp (**), ta c

Bt phng trnh (3) c nghim khi v ch khi .Vy vi th bt phuong trnh (5) c nghim. 3.5. Phng php hm s

A. Phng php

+ S dng tnh cht n iu ca hm s gii bt phng trnh l dng ton kh quen thuc .Ta c 2 hng p dng sau:

Hng 1: Thc hin theo cc bc sau:

Bc 1: Chuyn bt phng trnh v dng

Bc 2: Xt hm s . Dng lp lun khng nh hm s n iu (gi s ng bin hoc nghch bin )

Bc 3: Nhn xt ( , do bt phng trnh v nghim.

( , do bt phng trnh nghim ng.

Vy l nghim ca bt phng trnh.Hng 2: Thc hin theo cc bc :

Bc 1:Chuyn bt phng trnh v dng (2)Bc 2:Xt hm s trn cc khong xc nh ca .Dng lp lun khng nh hm s n iu ( gi s ng bin hoc nghch bin ).Bc 3: Khi (2)

+ S dng gi tr ln nht v nh nht ca hm s. Vi bt phng trnh c cha tham s: . Ta thc hin cc bc sau:

Bc 1: Xt hm s : ( Tm min xc nh ca hm s. ( Tnh o hm ri gii phng trnh: . ( Lp bng bin thin ca hm s.Bc 2: Kt lun cho cc trng hp nh sau:

( Bt phng trnh c nghim

( Bt phng trnh c nghim ng vi .Tng t cho bt phng trnh : Vi kt lun: ( Bt phng trnh c nghim . ( Bt phng trnh c nghim ng vi .B. V d minh ha: Gii cc bt phng trnh sau:a) (1)

b) (2)

c) (3)

d) Tm bt phng trnh sau c nghim: (4)

e) Tm bt phng trnh sau c nghim: (5)

Bi gii

a) iu kin:

Xt hm s:

Suy ra lun ng bin trn . Mt khc . Do :

+ Nu

+ Nu

Vy bt phng trnh (1) c tp nghim l: .b) iu kin:

Xt hm s:

Suy ra lun ng bin trn . Mt khc . Do :

Bt phng trnh (2)

Vy bt phng trnh (1) c tp nghim l: .c) iu kin:

Bt phng trnh (3)

(*)

Xt hm s: ,

Suy ra hm s ng bin trn

Khi (*) c bin i nh sau:

Vy nghim ca bt phng trnh (3) l: .d) iu kin:

Bt phng trnh (4)

Xt hm s:

+ Min xc nh:

+ o hm:

vi

(V th )

Suy ra ng bin trn

lin tc trn .

+ Bng bin thin:

1

3

Vy bt phng trnh (4) c nghim khi .e) iu kin:

Xt hm s:

+ Min xc nh:

+ o hm:

+ Bng bin thin:

0

+ 0 -

SHAPE \* MERGEFORMAT

Bt phng trnh (3) c nghim khi v ch khi .

Vy vi th bt phng trnh (5) c nghim. 3.6. Phng php nh gi

A. Phng php

+ Nu bt phng trnh c dng: . nh gi:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 + Nu bt phng trnh c dng: . nh gi:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 B. V d minh ha: Gii cc bt phng trnh sau:

a) (1)

b) (2)

c) (3)d) (4)

e) (5)

Bi gii

a) iu kin:

+ Vi th . Do tha mn bt phng trnh (1)+ Vi th bt phng trnh (1) tr thnh: (*)Ta thy:

Do bt phng trnh (*) v nghim khi

+ Vi th bt phng trnh (1) tr thnh: (**)

Ta thy:

Do bt phng trnh (**) tha mn

Vy tp nghim ca bt phng trnh (1) l: .b) Ta thy:

Do bt phng trnh (2) tng ng vi:

Vy nghim ca bt phng trnh (2) l: .c) Bt phng trnh (3) (*)

Da vo tnh cht ca gi tr tuyt i ta c: lun ng vi mi v lun sai vi mi

Do (*) lun sai

Vy bt phng trnh (3) v nghim.d) iu kin:

Ta thy:

Du = xy ra

Vy nghim ca bt phng trnh (4) l: .e) iu kin:

Ta thy:

Du = xy ra

Vy nghim ca bt phng trnh (4) l: . 3.7. Phng php vectA. Phng php

Trong mt phng Oxy hay trong khng gian Oxyz, ta chn to cc vecto (ta cc im) thch hp ri p dng cc cng thc sau:

+

ng thc xy ra khi hai vect cng phng.

+ ,

ng thc xy ra khi v ch khi hai vect cng phng.

+ AB+BCAC, vi mi A, B, C nm trong mt phng.B. V d minh ha: Gii cc phng trnh sau:

a) (1)b) (2)

c) (3)d) (4)

e) (5)Bi gii

a) iu kin: Trong mt phng , xt cc vect vi cc to nh sau :

Khi :

Suy ra bt phng trnh (1) c dng:


Vy nghim ca bt phng trnh (1) l: .b) iu kin: Trong khng gian , xt cc vect vi cc to nh sau :

Khi :

Suy ra bt phng trnh (2) c dng: (lun ng).Vy nghim ca bt phng trnh (2) l: .c) Bt phng trnh (3)

Trong mt phng , xt cc vect vi cc to nh sau :

Khi :

Suy ra bt phng trnh (3) c dng:


Vy nghim ca bt phng trnh (3) l: .d) Bt phng trnh (3)

Trong mt phng , xt cc vect vi cc to nh sau :

Khi :

Suy ra bt phng trnh (4) c dng: (lun ng)Vy bt phng trnh (4) c nghim .e) iu kin: Trong mt phng , xt cc vect vi cc to nh sau :

Khi :

Suy ra bt phng trnh (5) c dng: (lun ng).Vy nghim ca bt phng trnh (5) l: . 3.8. Phng php chia iu kin

A. Phng php

+ Nu bi ton c tp xc nh l D m

+ Ta c th chia bi ton thnh n trng hp ca tp xc nh:

( Trng hp 1: , gii bt phng trnh thu c tp nghim

( Trng hp 2: , gii bt phng trnh thu c tp nghim

( Trng hp n: , gii bt phng trnh thu c tp nghim

+ Kt lun: tp nghim ca bt phng trnh l:

i vi dng bi ny ta cn chia bi ton thnh cc trng hp tr thnh nhng bi ton nh n gin.


a) (1)

b) (2)

c) (3)

d) (4)

e) (5)

Bi gii

a) iu kin:

+ Xt (*)

Phng trnh (1)

(**)

Kt hp (*), (**) ta c tp nghim .+ Xt (1) lun ng Tp nghim .Vy tp nghim ca bt phng trnh (1) l: .b) iu kin:

+ Trng hp:

Phng trnh (2)

V nn v tri dng cn v phi m nn bt phng trnh c nghim ng.

l mt tp nghim.

+ Trng hp:

Phng trnh (2)

Ta c: (*)

V nn

Do (*) v nghim.

Vy tp nghim ca bt phng trnh (2) l: .c) Bt phng trnh (3)

+ Vi . Bt phng trnh tr thnh:

l mt tp nghim.

+ Vi . Bt phng trnh tr thnh:

(lun ng)

l mt tp nghim.Vy tp nghim ca bt phng trnh (3) l: .d) iu kin:

+ Xt . Khi ta c phng trnh (4) tng ng:

Kt hp vi iu kin ta c:

(*); (**) (loi)

l mt tp nghim.

+ Xt . Khi ta c phng trnh (4) tng ng:

Kt hp vi iu kin ta c: l mt tp nghim.

Vy tp nghim ca bt phng trnh (4) l: .e) iu kin:

+ Trng hp 1: th bt phng trnh (5) tha mn.

Suy ra l nghim ca (5).

+ Trng hp 2 th bt phng trnh (5) tng ng:

Kt hp vi iu kin ta c

Vy tp nghim ca bt phng trnh (5) l: . 3.9. Phng php bt ng thc

A. Phng php+ . Du = xy ra khi v ch khi .

+Bt ng thc C-si:

( i vi 2 s:

Vi 2 s khng m :

Du = xy ra khi

( i vi 3 s:

Vi 3 s khng m :

Du = xy ra khi


Du = xy ra khi

H qu:



Du = xy ra khi .


Du = xy ra khi .

+ Vi mi :


a) (1)

b) (2)

c) (3)d) (4)

e) (5)

Bi giia) iu kin:

p dng bt ng thc C-si ta c:

Do bt phng trnh (2) c nghim khi v ch khi:


p dng bt ng thc C-si ta c: (i)

(ii)

p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki ta c:

(iii)

Cng tng v (i), (ii), (iii) th bt phng trnh tha mn vi mi .Vy tp nghim ca bt phng trnh (2) l: .c) Bt phng trnh (2)


hay

(v ).

Du = xy ra khi v ch khi

Suy ra (do ) hay (tha iu kin).Vy nghim ca bt phng trnh (3) l: .d) iu kin:

Bin i bt phn trnh (4) v dng:


Du = xy ra khi v ch khi (tha iu kin).Vy nghim ca bt phng trnh (4) l: .e) iu kin:

p dng bt ng thc C-si ta c:

Vy bt phng trnh (5) ngim ng vi .BI TP NGH

Bi tp 1: Gii cc bt phng trnh sau:

a)

b)

c) vi

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Bi tp 2: Tm cc bt phuong trnh sau c nghim:

a)

b)

Bi tp 3: Tm bt phuong trnh sau c nghim ng vi mi :

4. H PHNG TRNH V T


A. Phng php+ t iu kin (nu c)

+ Bin i v phng trnh, h phng trnh n gin bit cch gii.

+ Kt lun (ch iu kin v s bin i tng ng hay h qu).

B. V d minh ha: Gii cc h phng trnh sau:

a)

b)

c)

d)

e)

Bi giia) iu kin:

Bnh phng 2 v h phng trnh v tr v theo v ta c:

Thay vo 1 trong 2 phng trnh, gii ra ta c .Vy nghim ca h phng trnh cho l: .b) iu kin:

Phng trnh (1) (*)Phng trnh (2) (**)T (*), (**)

Vy nghim ca h phng trnh cho l: .c) iu kin

H cho tng ng:

Vy h phng trnh cho c 4 nghim: .d) iu kin:

Ta c:

(do iu kin)

Thay vo h ta c:

Vy nghim ca h phng trnh cho l: .e) iu kin:

Thay (2) vo (1) ta c:

Vy nghim ca h phng trnh cho l: . 4.2. Phng php t n ph

A. Phng php

+ t iu kin (nu c).

+ La chn n ph, tm iu kin cho n ph.

+ Gii h nhn c, t suy ra nghim

+ Kim tra tnh hp l ca nghim ri kt lun.


a)

b)

c)

d)

e)

Bi giia) iu kin:

t ta c:

Vy nghim ca h phng trnh cho l:

b) iu kin

H cho tng ng:

t th ta c:

t ta c:

Vy h phng trnh cho c 4 nghim:

c) iu kin:

t

H

Vi th ta c h:

Vi th ta c h:

Kt hp vi iu kin th nhn 4 cp nghim trn.


d) Gii phng trnh (2):

Gii phng trnh (1): Bng phng php tham s bin thin coi l n ta phn tch c:

t . Phng trnh tr thnh:

Do khng l nghim nn: (*)

(do )

Thay ta c:

Kt hp vi iu kin th loi


e) iu kin:

H

t (). Khi ta c:

Vy h phng trnh cho c 4 nghim:. 4.3. Phng php lng gic

A. Phng php

+Nu , hay bi ton c cha th ta t hoc .

+ Nu bi ton c cha th ta t .

+ Nu , hay bi ton c cha th ta t , .

+ Nu bi ton c cha th ta t ,

+ Nu c dng elip , (a,b>0) th ta t , .

+ Nu bi ton cha dng t vi.+ Nu bi ton cha c th t .+ Nu bi ton cha c th t .


a)

b)

c)

d) Tm h sau c nghim:

e) Tm h sau c nghim:

Bi gii

a) t vi . Khi h tr thnh:

t

Khi ta c:

Vi

Vy h phng trnh cho c nghim l: .b) iu kin:

t: vi . H phng trnh tr thnh:

Vy h phng trnh cho c nghim l: .c) iu kin:


(v )

Vy h phng trnh cho c nghim l: .

d) iu kin: (*)H

EMBED Equation.3 H ban u c nghim (1) c nghim tha mn iu kin (*).

T iu kin (*), t vi

Khi (1) tr thnh: (2)

H ban u c nghim khi v ch khi (2) c nghim tha mn

Vy vi th h phng trnh cho c nghim.e) iu kin:


H ban u c nghim khi v ch khi

Vy vi th h phng trnh cho c nghim.

4.4. Phng php hm s

A. Phng php

+ S dng tnh cht n iu ca hm s :

( Bin i h phng trnh v dng

( Xt hm s v chng minh hm s n iu, th kt lun . Khi a bi ton v gii hoc bin lun phng trnh theo mt n.+ S dng gi tr ln nht v nh nht ca hm s: ( Bin i h phng trnh v dng

( Xt hm s , lp bng bin thin v tnh gi tr cc tr.

( Nu hm s c mt cc tr ti s thay i chiu bin thin khi i qua . T phng trnh ban u suy ra hoc nm v hai pha ca.

( Nu h hon v vng quanh ba n th ta a v mi phng trnh mi v dng mt n dng: . Xt hm s i din v kho st s bin thin ca hm s . Sau chng minh l nghim th kt lun . Thay vo h, gii tm c nghim.B. V d minh ha: Gii cc h phng trnh sau:

a)

b)

c)

d)

e) Tm m h phng trnh sau c nghim:

Bi gii

a) iu kin:

Tr v cho v ca hai phng trnh ta c:

Xt hm s:

Khi : . Thay vo phng trnh u ta c:

Xt hm s:

M . Do phng trnh c mt nghim duy nht .Vy h phng trnh cho c nghim l: .b) iu kin:

H

Xt hm s trn ta c:

Khi : . Thay vo phng trnh th hai ta c:

Vy h phng trnh cho c nghim l: .c) iu kin:

T (2) . Thay vo (1) ta c:

(*)Xt hm s: trn . Ta c:

nn l hm s ng bin.

M (*) c nghim duy nht .Vy h phng trnh cho c nghim l: .d) iu kin:

t thay vo phng trnh (1) trong h ta c:

Do thay vo phng trnh th hai trong h v rt gn ta c: (*).

Xt hm s: c v

,

Mt khc hm s lin tc trn nn hm s nghch bin trn on nn phng trnh (*) c nghim duy nht .Vy h phng trnh cho c nghim l: .e) iu kin:

Bin i h v dng:

EMBED Equation.3 H c nghim khi v ch khi phng trnh (*) c nghim

Xt hm s:

+ Min xc nh:

+ o hm: , hm s ng bin.

+ Gii hn:

+ Bng bin thin:

0

+

1

Vy h phng trnh c nghim khi v ch khi

4.5. Phng php nh gi

A. Phng php

+ Chn mt trong hai phng trnh ca h nh gi:

EMBED Equation.3 + S dng cc tnh cht ca hm s lng gic:

(

(

(


a)

b)

c)

d)

e)

EMBED Equation.3 Bi gii

a) iu kin:

Ly 2 phng trnh tr v theo v ta c:

(*)

Ta thy nu ; ;

Do (*) .Thay vo phng trnh u ta c:

Vy h phng trnh cho c nghim l: .b) iu kin:

Vi iu kin trn ta thy:

Du = xy ra .Vy h phng trnh cho c nghim l: .c) iu kin: Suy ra

Du = xy ra .Vy h phng trnh cho c nghim l: .d) iu kin:

T phng trnh th nht ta c:

+ Xt . Khi : .+ Xt . Khi : .Do : . Th li tha h.

Vy h phng trnh cho c nghim l: .e) iu kin:

Ta thy:

Du = xy ra (tha mn (2)).

Vy h phng trnh cho c nghim l: . 4.6. Phng php vect-ta A. Phng php

+ Phng php vect ( Chn h ta thch hp, xc nh ta cc vector

( Thc hin cc php ton trn cc vector suy ra kt lun ca bi ton

+ Phng php ta

( Bin i h phng trnh cho v dng a thc

( Xc nh cc ng cong c phng trnh tng ng ca h cho

( Da vo v tr tng i gia cc ng cong xc nh nghim cho h phng trnh.B. V d minh ha: Gii cc h phng trnh sau:

a)

b) vi

c) Tm h sau c nghim:

d) Tm h sau c nghim:

e) Tm h sau c nghim duy nht:

Bi gii

a) T phng trnh (2). Trong mt phng ta chn cc vect ;

Ta c: ;

ng thc xy ra khi v ch khi cng hng .Kt hp phng trnh (1) ta c: .Vy h phng trnh cho c nghim l: .b) Xt cc vect: ;

Ta c: (1)

Tng t: (2)

M bnh phng mi phng trnh trong h v cng li ta c:

Tc l du ng thc phi xy ra trong cc bt ng thc (1), (2) hay:

(tha iu kin)Vy h phng trnh cho c nghim l: .c) iu kin:

Bin i h v dng:

EMBED Equation.3 Gi ln lt l tp nghim ca (1), (2). Khi ta c:

+ l tp cc im trn ng trn vi: tm , bn knh .+ l tp cc im trn ng thng :.Do : h c nghim khi ct trong cung phn t th nht v th hai

Vy vi h c nghim.

d) iu kin:

Khi : h

t: , th ta c:

Gi ln lt l tp nghim ca (1), (2). Khi ta c:

+ l tp cc im trn ng thng :.+ l tp cc im trn ng trn vi: tm , bn knh .Do : h c nghim khi ct trong cung phn t th nht

Vy vi h c nghim.

e) iu kin:

Khi : h

t: , th ta c:

Gi ln lt l tp nghim ca (1), (2). Khi ta c:

+ l tp cc im trn ng thng :.+ l tp cc im trn ng trn vi: tm , bn knh .Do : h c nghim duy nht khi tip xc trong cung phn t th nht

Vy vi h c nghim. 4.7. Phng php bt ng thc

A. Phng php+ . Du = xy ra khi v ch khi .

+Bt ng thc C-si:

( i vi 2 s:

Vi 2 s khng m :

Du = xy ra khi

( i vi 3 s:

Vi 3 s khng m :

Du = xy ra khi


Du = xy ra khi

H qu:



Du = xy ra khi .


Du = xy ra khi .

+ Vi mi :


a)

b)

c)

d)

EMBED Equation.3 e)

Bi giia) T phng trnh th nht: (do )Ta c:

ng thc xy ra

Mt khc ta lun c bt ng thc:

p dng bt ng thc ny vi ta c:

ng thc xy ra .Vy nghim ca h phng trnh cho l: .b) H

Xt phng trnh (*) ta c: ; nn

Du = xy ra .Vy nghim ca h phng trnh cho l: .c) Xt (1), p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki:

Khi (1) tng ng vi:

+ Vi th h c dng:

+ Vi th h c dng:

Vy nghim ca h phng trnh cho l:

d) iu kin:

(1)

(V )

Thay vo (2) ta c: (*)

Ta thy . Du = xy ra .p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cop-xki: . Du = xy ra .Do : (*) (tha mn iu kin).Vy nghim ca h phng trnh cho l: .

e) iu kin:

H

Cng v theo v ta c: (*)

p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki:

Du = xy ra

Vy nghim ca h phng trnh cho l: .

BI TP NGHBi tp 1: Gii cc h phng trnh sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Bi tp 2: Tm h sau c nghim:

a)

b)

Bi tp 3: Tm h sau c nghim duy nht:

5. H BT PHNG TRNH V T


A. Phng php

+ Vic la chn phng php bin i tng ng gii h bt phng trnh v t thng c thc hin theo cc bc:

( t iu kin cc biu thc cha cn ca h c ngha.

( S dng nh ngha, cc tnh cht,bin i tng ng chuyn h bt phng trnh cho v dng i s bit cch gii. ( Gii h bt phng trnh tng ng thu c, kim tra tnh hp l cho nghim tm c, t tm c nghim ca h bt phng trnh cho.

+Vi h bt phng trnh v t cha tham s thng c thc hin theo cc bc:

( t iu kin cc biu thc cha cn ca h c ngha.

( S dng nh ngha, cc tnh cht,bin i tng ng chuyn h bt phng trnh cho v mt bt phng trnh mt n cha tham s.

( Gii v bin lun theo tham s bt phng trnh thu c.

( Kim tra tnh hp l cho nghim tm c, t tm c nghim ca h bt phng trnh cho.

B. V d minh ha: Gii cc h bt phng trnh sau:

a)

b)

c)

EMBED Equation.3 d)

e) Gii v bin lun h: (l tham s)Bi giia) iu kin:

Cng v theo v ta c: (tha mn)

Vy nghim ca h bt phng trnh cho l: .b) iu kin:

H

Vy nghim ca h bt phng trnh cho l: .

c) Gii (1): (1) (*)

Gii (2): (2) (**)

Kt hp (*), (**) ta c nghim ca h l: .d) iu kin:

Vi iu kin trn th ta lun c:

Tht vy:

Khi , h bt phng trnh cho tng ng:

(*)

+ Vi th (*) (lun ng).

+ Vi th VP(*)

tiểu luận tốt nghiệp: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ...

Documents