DEUXIMEEXEMPLE:

Ledispositifanti-drapantci-dessous'estcomposdesixbrastirsradialementdefaonconcentriqueparunmcanismecontenudansleboitiercentral9.Lorsquelebras3,parexemple,passe laverticale,lepneus'crase,lebrascoulissedansunerainuredeguidageduboitier9 etlaforcedeserrages'annulle.Ledis-positifdonccentret quilibrau coursde la rotationdelaroue.

Ondonne:h=140,,u=tanf(J=0,4enBetCde3sur9.

Recherchergraphiquementlaconditiondenonarc-boutemententre3et9 ettrouverlavaleurdel' donnantlapositionlimite

parrapport(0,x)delaforcedeA; ducrampon6sur3.HYPolhses:

. LepoidsdesbrasetdescramponsestngligeabledevantlaforcedeserrageIlFil=220N.

. Il existeunplandesymtrie(0, x, Y) dans le plan mdian desbraspourleseffortsetlagomtrie.

. Sousl'actiondelaforceA; lebrasremonte,bascule,etvientencontactponctuelenBetCsur9.

DISPOSITIF ANTI-DRAPANT (POUR NEIGE)

1

MTHODE DE CONSTRUCTION ET DE RECHERCHE

1Prolongerlessupportsconnus(e;;,S;;;)jusqu'leurpOintdeconcours1.Hachurerleszonesdanslesquellespeuventsetrouver~ el ag;pourl'quilibre.2Traceruneverticalepassantpar1.Si :

. Lesupportde~estgauchede1:arc-boutemenl.

. le supportdeA6/3estdroitede1:l'quilibrede3estimpos-

sible,il ya glissementde9sur3.

.Brevetdposparl'undesauteursdel'ouvrage, **Voirthormechapitre42,

101

SOLUTION:

1Isoler3l'quilibrestrict.2Recenserlesactionsmcaniquesexlrieures:

(

~

}

-118;11sinf(J 0( \ 89/3 ~

SI B9/3J = = -IIB9d!cosl' 0S S 0 01(x.y,z)

(

~

}

-IIG;IIsinf(J 0

d C9/3)= C~3= +IIG;II cosf(J 0c 0 0 1~~~c (x,y,z)

A(A6/3)=(,\ =

(+IIII.X}A 0 i A 0 (~~~ )x,y,z

3crireleprincipefondamentaldelastatique:

s{B9d +s{C9/3}+S{A6/3}={O},

4Rsoudregraphiquement:

Les~m~estenquilibresousl'actiondetroisglisseurscoplanaires":. !fI=a ::} lestroisrsultantessontconcourantesen/,. S = ::} ledynamiqueestferm,Lesconstructionssontexpliquesci-dessous,

Ontrouvequesi 1'1 t:~ 8",~

89/3'

1

~::J ~~ ~Q) t::U Q)t:: E~ Q)

-0

102

37 Principalestapesd'unproblmedestatique

37.1 Mthodegnrale

, quationsdiffrentesde. 0=o.

Dfinirl'objectif,dlimiterlesystme,poserleshypothses

Dfinirlesclassesd'quivalences,(re)tracerlegraphedesliaisons,(re)dessinerleschmacinmatique

Non

e(S)ouunsolide,recenserlesactionsextrieures:elestorseursassocisauxactionsdistance,

crirelesmeurstransmissiblesauxliaisons

Non/ Plandesymtrie?Oui

crirelestorseurssimplifiss'exerantsur(S)

Comptabiliser8 Lesinconnuesstatiques:n5 8 Lesquationssignificatives*:nCalculerl'ordred'hyperstaticit:h=n5- n

Non/ h=O? Problmeisostatique?Oui

crireleprincipefondamentalrelatifl'quilibrede(S}:Z=RMA=0

Choixd'unemthodedersolution

Analyser,interprterlesrsultats,vrifierleshypothses

NonHypothsesconfirmes?Inconnuestoutesdtermines?

~Finduproblmedestatique

37.2 Exempled'applicationUnmcanismedecommandedequatresoupapesd'unmme

cylindredemoteurexplosioncomprend(fig,1):

. 2 linguetsd'admission10,2 linguetsd'chappement2,

. 2tigesdeculbuteurs3,

. 2 culbuteursd'chappement4,

. 4 poussoirshydrauliques rotule12,permettantl'articu-lationdeslinguetsetlerattrapageautomatiquedesjeuxdedila-tationdelacommande,

1le TAPE:cernerl'objectif

Connaissantl'effortexercparlasoupape6sur511F6/sll=1045N,

calculerl'effortA2/~danslebutdevrifierlaconditiondenon-matageenA(fig,2),

. AnalyserlefonctionnementCaractriserles mobilits

L'arbrecames1estentranparlevilebrequin l'aided'une

courroiecrante,Lescamesd'admissionagissentdirectementsur

lessoupapesd'admission11parl'intermdiairedeslinguets10,

Lescamesd'chappementactionnentlessoupapes6demme

nom,parl'intermdiairedeslinguets2(fig,1et2),destiges3,desculbuteurs4, articulsautourd'unaxesolidairedela

culasse0,

Lessoupapes6 sontguidesdansdesbaguesdebronze,

Ellessontappliquescontre5 pardeuxressorts7et8,

. Poserles hypothsessimplificatrices

Lesliaisonspivotd'axe(E,.l) etrotules(decentres8, C,D)

sontparfaites(sansjeu,sansfrottement),Lecentre8delarotule

dupoussoirhydrauliqueestconsidrcommefixeparrapport

laculasse0,Lecontactentre5 et6 estavecfrottement,tel

que:tan'P=IL=0,15,

Lespoidspropresdespicessontngligsdevantl'intensit

desactionsmcaniquesauxliaisons,

Il existeunplandesymtriepourlagomtrieetlesactions

mcaniques,

2eTAPE:tracerlegraphedesliaisons

Aupralable(mthodedveloppeauchapitre5),

. dfinirlesclassesd'quivalence(groupedepicessansmouvementrelatifentreelles),

. rechercheretidentifierlesliaisonsentrecesclasses,

103

CD COMMANDE DE SOUPAPES1 2 12 3 4

12 7-8

Soupapesd'admission11

Soupapesd'chappement

6

Piston

Bielle

0 COMMANDE DE SOUPAPES D'CHAPPEMENT3 2

Effortconnu ( 32.41)

0

(

-155

)F6/4,5 1 034

0 ~~~( F, X2' Y2' Z2 )

CD GRAPHE DE LIAISON

Liaison entre2 et 1 de centreA (ou de contactA)

4,5-3: rotule

E4,5-0: pivot

F4,5-6: sphre-plan

C3-2 : rotule

82-0 : rotule

'6-0 : pivot glissant

A2-1 : sphre-plan

H1-0 : pivot

104

. ReprsenterleschmacinmatiqueLemcanismeprsenteunplandesymtiepourlagomtrie

etlesactionsmcaniques.Nousoptonspourleschmaplan

reprsentfigure4.

3eTAPE:isolerle(s)systme(s)

. Systmesoumisdeuxrsultantes3 estenquilibresousl'actiondedeuxrsultantesdirec-

tementopposes': c;etD4,5/3' portesparladroiteDe,Leurintensitresteinconnue,

. Systmesoumistroisrsultantes

Isolerleculbuteur14,5}:

. crirelestorseurstransmissiblesauxliaisonsdansle

repregalilen(E,X,y, z) lilaculasse0:

[XD0

)DID3/4.S}= 0 0

D 0 0Liaisonrotule3- 14,5}:

(LesupportdeD3/4,5estselonDe:voirl'isolementprcdent.)

[XE 0

)EIEO/4,5}= YE 0

E 0 0

(Lemcanismepossdeunplandesymtrie(E,X,y).)Liaisonsphre-plan6- 14,5}:

[- 1045sin(a +rp)0

)F{F6/4.5}= 1045cos(a+rp)0

F 0 0

. crirelestorseursassocisauxactionsdistance:Aucun(poidsngligs,pasd'actionslectromagntiques).

Liaisonpivot0- {4,5}:

4eTAPE:calculerl'ordred'hyperstaticitde14,5}

. Nombred'inconnues:ns=3:XD,XE,YE.

. Nombred'quations:n=3(problmeplan),

. h=3- 3;h=O.Problmersolvable.

Guidelmentairepourinterprterlesrsultats

Toutrsultatdoittreanalysetjug:

. L'actiondecontactest-elledirigeverslamatire?Oui.

Sinon:erreuroumodifierlanaturedelaliaison(cas1).

. LelinguetsupporteuneforceIlA; Il= 1 900 N suruncontactponctuel.Cecontactrsiste-t-i!aumatage?CalculerlapressiondematageparlaformuledeHertz(voir 47.23).

.VoirIhormechapilre42.

8) SCHMA CINMATIQUE PLAN

4-5

6

~C

~ A a ..Q.~ 2 1 ~

B

-L- xz .CD ISOLEMENTDELABIELLETTE3

- -

~~9-t- -Support de 04/3et C2/3selonDe

@ ISOLEMENTDE{4,5}Axede3

Normaleau plantangent 6/5

x

F\Z2 ev,,/'

Sens du dplacementde {4,5}/6

Cas1

Forcedirigeversl'extrieurdela matiredusystmeisol:impossible!

Possibilitde modificationpourcertainsmcanismes

?/f ~i T,I,j\'~ .- r " /1CL7J A.Y1Y''~

Remplacerle contactponctuelparuneliaisonpivot.(Reconception)

5eTAPE:crireleprincipefondamentaldelastatique

. Lesystme{4,5}estenquilibre.

. Rechercherle pointoil yale plusd'inconnues.(Lechangementdepointderductiondestorseursy estsimple).Ici:E.

. crirequelasommedestorseursd'actionsmcaniquesextrieuressur{4,5}aupointEestgaleuntorseurnul:

E{D3/4,5}+E{Eo/u}+E{F6/4,5}={a) (voir31.5).

6eTAPE:choisirunemthodedersolution

. Lesystme{4,5}estenquilibresousl'actiondetroisglisseurs.C'estunproblmesimple.

. Leshypothsessimplificatricessontnombreuses:facteurdefrottementetjeungligsenEetD.Effetsdyna-miquesngligs...

. LesfichiersCAO.- DAO. dfinissantlagomtriedespices,lanaturedesliaisons,leseffortsappliqusn'existentpas.

. Danscecas,privilgierlarapiditetlasimplicit:lamthodegraphiqueconvient.

7eTAPE:rsoudreparlamthodegraphique

. Lethormedelarsultantestatiques'crit:

D3/4,5+ E0/4,5+F6/4,5= dynamiqueferm.. Lethormedumomentstatiques'crit:, , ,

if E(D3/d + if E(Eo/d + ifE(F6/d = troisrsul-tantesconcourantesen1.

aeTAPE:isolerlelinguet2

~e linguetestsoumisl'actiondetroisrsultantesparallles.

C3/2estconnueparl'isolementprcdent.La mthodegraphiquedu dynamiqueet du funiculaire

s'applique.OntrouveIlA; Il= 1900N(voir 44.2).

geTAPE:interprterlesrsultats

Guidelmentairepourinterprterlesrsultats

. L'actiongarantit-ellelenon-glissements'ilestrecherch?Oui.Sinon: erreuroumodifierlanaturedela liaison.

Cas2 : forcehorsducnedefrollement: impossible!

. L'actionest-ellecompatibleaveclapositiondelasurfacedeliaison?Oui,sinon:erreuroumodifierlasurface.Cas3:forcehorsdelasurfaced'appui:impossible(basculement).

. Lematageest-ilvit? Oui,sinon:erreurouagrandirl'tenduedelasurfacedeliaison.Passerd'uncontactponctueluncontactlinaireousurfacique.

105

(j) RSOLUTION GRAPHIQUE DE L'QUILIBREDE {4,5}

03/4$=0

200 NL J

Support de 3/4

~-

Support de EO/4

(passe par1)

IlF6/511=1 045 NIlEO/411=1 900 N

Il3/411=1 120N

0 QUILIBRE DU LlNGUET 2

c

80/2

C3/2

A1f2A

Impossible!

A2/1

Cas2Possibilitde modification1 A- 211 ~---l8211 B 12 - 1-= ::--- ~- - - - -1

Possibilitdemodification

---

106

38 Ordonnancementdesisolements

Unesuspensionarriredemotoestreprsentesurlafigure1.

l'arrt,l'effortdelaroue1sur2est0; = 2 000Y(enN).Tous les effortssontramensdansle plande symtrie

(0,7,1').

On demandedetrouverl'ordredes isolementsafinde

dterminerlesactionsmcaniquesauxarticulationsA, B, G,

enutilisantlegraphedeliaison.

1 Reportersurlegraphedeliaison(fig.2) lenombred'in-

connuesstatiques(ns)'

2Isolerlesystmeleplusglobal(5)reliantlesolidesurlequels'exercela forceconnueauxactionsrecherches(5)={2,3} ns=2+2= 4(fig.2).Nombred'quations:n=3 (problmeplan).h=4- 3=1.Rsolutionimpossible.

3Rechercherd'autresisolements.

(52)={2}ns=4 ; (53)={3}ns=4.

Aucunisolementnepermetdersoudreluiseulunquilibre(fig.2).

4 Isoler le(s)systme(s)dedeuxglisseurs (53) = 13)

ns= 4;deuxglisseursdirectementopposs=>supportselon

AB (fig.3).EnA etB, il resteuneinconnue(lanorme).

Reportercettedonnesurlegraphe(fig.4).

5Isolerle(s)systme(s)detroisglisseurssurlequels'exercelaforceconnue.(52)={2}ns=3,n=3.Rsolutionpossible(fig.4).

Ni;={::} Troisglisseursconcourants.~ ~

R =aq Dynamiqueferm.

Ile;Il= 3400N IlC;Il=2000N.6 Isolernouveau3.B213estconnue(actionsmutuelles).

Ontrouvei = - S;;;Ili Il= 3400N.Leproblmedestatiqueestrsolu.

CD SUSPENSION ARRIRE DE MOTO3 Amortisseur 0 Cadre

1 Bras oscillant

@ GRAPHE DE LIAISON

(S)

@ ISOLEMENT DE 3

(S~) ns=2A3 8ns = 2Support de A 0/3et de 82/3

@)ISOLEMENT DE 2 10 mm f:!,1000 N

cn,~2 ~~S'J . >/8 12n =Zs 1 - -. " ,~s= a 01/21 /83/2Aprs l'isolementprcdent

107

39 Choixd'unemthodedersolution

39.3 MthodeinformatiqueEllepermetdersoudredesquilibresdesystmes:

. soumis des lorseurs quelconques,complexes,

compossdenombreuxsolides(exemple6: charpentesmtal-

liques,systmestrianguls),.hyperstatiques(exemple7 :poutresurtroisappuis),. occupantdiffrentespositionsdansl'espace(presses...).Cettemthodencessitela crationdefichiersdessins

mmorisantslesdonnesnumriquesde la gomtriedes

solides(dmarcheDAO: - CAO **).. Lorsquelesfichiersdessinsexistent,lescalculssontrapidesetprcis.* DAO. :dessinassistparordinateur. ** CAO. :conceptionassisteparordinateur.

Ilestimportantdeconnatrelescaractristiquesd'unemthode

pourfaireunchoixjudicieux.

39.1 MthodeanalytiqueEllepermetdersoudredesquilibresdesystmes:

. Soumis destorseursquelconquesdans l'espace

(exemple1 :poutreencastre).

. Soumisdesglisseursnoncoplanaires

(exemple2: arbredebotedevitesses:chapitre41).

. Soumisdesrsultantesdansleplanetdesmomentsnonnuls(exemple3:montageautomatis:chapitre40).

. Occupantplusieurspositionsdansleplanoul'espace(robots)ncessitantun paramtragedes actions.Lescalculssontparfoiscomplexesetlents,maisprcis.

39.2 MthodegraphiqueEllepermetdersoudrelesquilibresdesystmes:

. Soumisdesglisseurscoplanaires:contactsponctuels

dontlesnormalessontdansunmmeplan(voirchapitre37

commandedesoupapes).

. Soumis desactionsdecontactsconcourantesenun

mmepoint(exemple4: commandedegodet: 42.2).. Soumisdestorseursdontlesinvariantsscalairessontnuls:(S.;r:" S.~"..."O). Ils sontdoncrductibles desrsultantesauxpointsappartenantauxaxescentraux(exemple5).Cettemthodencessite:

. destracssoigns,auxinstruments,partirdeplansprcis,

. deshypothsessimplificatricesjustifiantlaprcisionmoyenne,maisrapide,delamthode.

MTHODE ANALYTIQUE (EXEMPLES)

x

B?

0 x

0

MTHODE GRAPHIQUE (EXEMPLES)

@A 11---2.... B

Tf2FPoint / 1 \de concours Axe centralde {01/2} R1/2* 0

#'1/2=0

Conseil pourla rsolution

Pour rsoudre un problme, ne pas hsiter utiliser conjointe-

menties mthodes analytiques et graphiques, en choisissant

chaque stade celle qui est la mieux adapte.

MTHODE INFORMATIQUE (EXEMPLES)

@

0 A ~~ B

I~I ~ ~

c iF;

108

40 Rsolutionanalytiquedansle planUnproblmeestconsidrcommeplansi labranche2,

parexemple,estenquilibredanslerepre81g(B,X,YJ sousl'actiond'actionsmcaniquesdontlesrsultantessontdansle plandesymtrie(P) et les momentsventuelsperpendiculaires(P).

Leprincipefondamentaldelastatiqueappliqu2s'crit:~ ~

",R=O ,B{gT212)={O} ... ~ ~ (notation31.5).

;t!B=0

La mthodedersolutionanalytiqueconsiste :

. projeterFietl1;dans~Rg:(B,X,y, z):Fi=0 .Enprojectionsur(B,x): X=0 (1).Enprojectionsur(B,y): Y=0 (2)IfB=0 .Parrapport(B,z) : NB=0 (3)

. rsoudrele systmede3 quations 3 inconnues.

EXEMPLEDECALCUL1 :

L'arrachemoyeusert dsolidariserla bague6 monte lapresse

surl'arbre7.

l'aidedel'crou4,l'utilisateurrglel'cartementdesbranches2

enfonctiondudiamtredelapice6.Lorsqu'iltournelavis1en

appuisurl'extrmitdel'arbre7, l'crouchape3 remonteet

entranelesdeuxbranches2etlabague6,

HYPOTHSES:

. Poidsdespicesngligdevantleseffortsauxliaisons.

. Contactsponctuelsparfaitsentre2-4enA,2-6enC.

. FrottementngligenA,B,C.

. Ilexistedeuxplansdesymtrie:(D,x,.h (D,z, Ji)Ondonne15;= 10000Ji. Calculerc;, B512 ' A;danslapositionA (extrmitsCetC'rapproches),

SOLUTION:

10Isolerl'arrachemoyeu(8)={1,2,3,4,5}:. Recenserlesactionsmcaniquessur(8).

. Rechercherlessymtries:leplan(D,Ji, z) estunplandesymtried'o Yc= YI;.

. crirelethormedelarsultantestatique/ (0,y) :2Yc+10000=0 ; d'oYc=- 5000N.

PROBLME PLAN: BRANCHE 2

Plandesymtrie(P)

1- (P)

Hypothses: liaisonsA, B, C rellesavec frottement(voir 12.6et 12.10)

ISOLEMENT DE L'ARRACHE MOYEU (5)

4

x

5

3

1

2

6

7 '~-1 .C

Supportde0 -1-17/1Support de C 306/2

liaison7-1 liaison6-2 liaison6.2

Sphre-plan(0,y) Sphre-plan(C,y) Sphre-plan(C',y)

0(7/1)={10 oo } c(C6/2)={:c } C'(C6/2)={:}0 0 0 C 0 0 C' 0 0

2Isolerunebranche2:

. Recenserlesactionsmcaniquessur2,(dansB,X,y,z).

. Rechercherlessymtriesetsimplifierlestorseurs:Leplan(B,X,1) estunplandesymtrie;letorseurB{B5/2)sesimplifie:ZB=0;LB= MB=0 (voirchapitre8).

(

XB 0

]{B512}= . YB 0 .B 0 0. Rechercherl'ordred'hyperstatisme:Nombred'inconnues:ns= 3(IIA4/211.XB'YB)}h=n -noNombred'quations:n= 3(problmeplan) sh=3- 3;problmeisostatiquedoncrsolvable.

. crireleprincipefondamentaldelastatique:

B{C6/2}+B{A4/2}+B{B512}={O}.

LepointBestchoisicommepointderductioncarc'est

enBqu'ilyale plusd'inconnues.

. crirelethormedelarsultantestatique:

C6/;+A;+a;=0- IlA4/2Ilcos50+XB =0

-5000 - IlA;Ilsin50+YB= 0. crirelethormedumomentstatique:

Bex C6/2+8x A4/2+= .

(

20

) (

0

) (

2

)

-11~II,coS500

) (

0

)-10~ x -500~+ 3~x -IIA4/2~I.sin50 = ~

-105-IIA4/211.sin500x2+11A;II.cos500x37=0 (3)

. ~ 105 II~

IIDe(3)ontire:IlA4/2Il= 22,251 A4/2 =4490N(1)devient:- 4494x cos50+XB= 0; XB=2890N

(2)devient:- 5000-4494xsin50+YB=0; YB= 8440N

CalculerIla;Il= yiX+d:IIB5/211=Y2888,72+8442,62;IIB5/211=8920N.

(II)

* x estlesigneduproduitvectoriel.

109

ISOLEMENTDE 2 ~50412

0;/

A

00~

B5/2?

ContactA, B, C parfaits(sansfrottementf.1=0)

Support de A4/2

~150

);x

C

C6/2 =- 5000 Y

Notations:B{C6/2}selit:torseurassociauxactionsmcaniquesde6sur2delaliaisonC,exprimaupointderductionB.

Changementdupointderductiond'untorseur

{

~

)

- C612ciC6/2}- ~

C 1'1C6/2

Relationfondamentale(voirchapitre76).

}-{

~)

B{C6/2 - ~ ~ ~B ;t!C6/2+BCx C6/2

(casgnral)

(1)

(1)

(2)

~ ~

Ici:;t!C6/2=0 (liaisonsphre-planparfaite),ilsuffitdecalculer

Bx~:- ~

(

- ~~O \ x.

' 1-50000)0 1u51:0 .~

20~0 ]-'-100~000 1 ~

L20Loo):1 Il

BCxC6/2:

- ~BCX C6/2:

Demme:

2 - IlA4/211.cos50BAxA; :137 x - IlA;Il.sin50

0 0

0BAx ,L1 ~ 0 ~

- IlA4/211.sin50x 2 + IlA4/211.cos50x 37

liaison6-2 liaison4-2 liaison5-2

Sphre-plan(C,y) Sphre-plan(A,n) Pivot(B,z)

/C6/2}={-5OO} rA;IISin50' O} rB LB}{A4/2]= -liA; Ilsin50'0 {Bs/2}=YB MB

C 0 0 A 0 0 B ZB 0

110

41Rsolutionanalytiquedansl'espaceUnproblmeestconsidrcommespatialsilesolide1,par

exemple,estenquilibredanslerepre~j(g(A,x,Y'z) sousl'actiondersultantesnoncoplanairesetdemoments

quelconques.Lethormefondamentaldelastatiqueapplique1s'crit:

A{5';1111)={O}.If R~= ~ notation31.5).""';/fA111=O

Lamthodedersolutionanalytiqueconsiste :

. ProjeterIi et;t?;;dans~Rg:(A,x,y,z):

j8 enprojectionsur(A,x): X =0 (1)

R 111= 8 enprojectionsur(A,E): y =0 (2)8 enprojectionsur(A, z): Z =0 (3)

!

8 en projectionsur (A, x): LA =0 (4)

;/fA1/;= 8 enprojectionsur(A, E): MA=0 (5)8 enprojectionsur(A,Z): NA=0 (6)

. Rsoudrelesystmede6quations6inconnues.

41.1 Calculd'unarbresecondaireUnebotedevitessesd'automobileau pointmort"estreprsenteci-dessous.Lecouplemoteurs'exercesurl'arbred'entre3. Il esttransmis l'arbreintermdiaire1 parle

pignonP3enpriseavecP1. L'arbre1entraneenpermanence

PROBLME SPATIAL

RsultantesA2/1' 82/1'C2/1' 5/1 quelconques

#B2/1

z

#A2/1

Moments#A2/1'#82/1quelconques

lespignons4,5,6enliaisonpivotavecl'arbre7.L'utilisateurpeutdplacer,l'aidedesfourchettes12ou13,lesbagues10ou11.Cesbagues,enliaisonglissireavec7 grcedescannelures,peuventtreliesenrotationauxpignons4,5,ou6parlescrabots**C3,C4,

C5ouC6selonlerapportdevitessechoisiparl'utilisateur.

BOITE DE VITESSES ***7 Arbre de sortieP3 C3 11 12 C6

3 Arbre d'entre

8

1 Arbre intermdiaire

Jeu pour dilatation*(viteles contraintesaxialesparasitessur les roulements) P1

C5 10 13-, C4

4 9

* Voirchapitre69, Contraintes thermiques. **Crabots: finesdentures. ***D'aprsdocumentSKF.

41.2 ExempledecalculLafigure1 reprsenteleschmacinmatiquedelabotede

vitessesde la pageprcdente,lorsque5 estsolidairede

l'arbredesortie7 (pourdesraisonsdeclart,lespignons6et4

nesontpasreprsents).L'tudeportesurcettesituation.

HYPOTHSES:

. Leseffortsde4et6sur1sontngligeables.

. Lespoidspropresdeslmentssontngligeables

. Les1iaisonssontsansfrottement.

. Lesengrenagessontdenturehlicodale*(fig.2).L'angled'inclinaisondeshlicesde1estf3= 20danslemmesens.

L'angledepressionestlI'= 20

. L'anglederotulage**de1/2enAet1/2enBnedpassepas

45'(fig.3) Leroulement9supportel'effortaxial.Laliaison1-2

enBestuneliaisonrotule;1-2enA estuneliaisonsphre-

cylindre(jeuaxial>0).

. Lesliaisons3-1et5-1sontdesliaisonssphre-plan.

Ondonne:letorseurassociauxactionsmcaniquesde3/1:

(

- 15650

)c{Cs/d= - 16650 (enN).

c 43000 (x,y.z)Ondemandededterminerlestorseursassocisauxactions

mcaniquesde2/1et5/1:

A{A2/1} ; B{B2/d ; D{D5/1}'SOLUTION:

Isolerl'arbreintermdiaire1 :

. Recencerlesactionsmcaniquesexercessur1 :

111

1'-'

. RechercherunerelationentrelescomposantesdeD5lExprimerX0, Yoenfonctiondelo (parexemple):

XoDansletriangleDJH:tan20= - - ;XD=- la. tan20.

lo

DansletriangleDEH:tan20= - Il~Il;Ya= -II )]11.tan2(~;lo ~ ID

DansletriangleDJH:cos20=- -=:;- ;IID'II=-- (2)IlD'II cos20

Enreportant(2)dans(1): YD= (ID leos20).tan20

(

- lo .tan20 0]

d'o:o{Ds/d= lo (tan200/eos20) 0 .lo 0

. Calculerl'ordred'hyperstatismeNombred'inconnuesstatiquesdeliaisons:ns= 6.

(YA,h lo, XB'YB,lB);h=ns- 6 (problmespatial).h= 6- 6=0; (problmeisostatiquesoluble).

. AppliquerleprincipefondamentaldelastatiqueA{A2/d+A{C3/d+A{Ds/1}+A{B2J1}= {O}.

Problmespatialetisostatique=} Mthodeanalytique.

. crirelethormedelarsultantestatique

- 1565+0- lo. tan20+XB=0 (1)- 1665+YA- lo (tan20leos20)+ YB= 0 (2)

+4300+lA +lo +IB =0 (3)

. crirelethormedumomentstatique0+156950+26ID+0=0 (4)

0-68800-110ID -200IB=0 (5)110l .tan20

0+30482,5+ D +26Io.tan200+200Ys=0(6)cos20

. Rsoudrelesystmede6quations6inconnuesDduirede(4) :

lo = 156950/26=6036,5N ;10"" - 6040N(5)devient:-68800+110x6036,5-200IB=0;1B~+2980N

(1)devient:-1565+6036,5x tan20+XB=0;XB~- 632N

Dduirede(6):

+304825+ 100x (- 6036,5)x tan20+, cos20

26x (- 6036,5)x tan20+200YB=0 ;YB""1419NDduirede(2):

tan20

-1665+Y(-6036,5)xcos20+1419=0;YA""2584N.

. Interprterlesrsultats:Le roulement9 estsoumis un effortaxial(XB*-0) et radial(YB*-0).8estsoumisuneffortradial(YA*-0).*** Voiraussitableaudesvaleursdesefforts 41.2. ** Leschargestantdtermines,voircalculduredeviedesroulementsG.D. 40.65.

'** x estlesigneduproduitvectoriel,1\esttolravecrserves.

112

ENGRENAGE HLICoDAL EN 0

H~

l,ISOLEMENT DE 1

y

YA

R2 =26

R1=36,5

RductiondesforseursenA

16 - 1565

)

...

(C \={~C3/~\; ACx C3/1:(

36,5

)

x

(

-1665

AI 3/1J lAC x C3/1f 0 4300

f-1565 156950 \A(~/1)=\

-1665 - 68800fA 4300 30482,5

f- lo. lan200

(0 L 1 lan200

AI 5/1/-\ o'cos 200t lo

- lo .lan200lan200

lo .cos200lo

26lo \-110lof110lo.lan 200 + 26lo. tan200cos200

{~ \

(

110

)

( \ 05/1 ~-105/1J=\~_ f;AOX05/1: 26 xA AIAOx 05/1 0

(

200

) (

XB

)

(8 )J --!21~\; ABx 82/1: 0 x YBAI 211AlA8x 82/1f 0 lB

fXB 0 \A(82/1)=\

YB - 200lBfA lB 200YB

41.3Types

CDEngrenagesaxesparalllesetdenturedroite

@

Engrenagesaxesparallles

etdenturehlicodale

@Engrenages

axesconcourants

etdenturedroite

@Engrenagesgauches

EFFORTS SUR LES DENTS D'ENGRENAGES *

Naturedesefforts

Menant

~/ --.!- F.F1/2 '1/2,1 1P : puissancetransmiseet: anglede pressionOJ:vitessede rotationN : frquencede rotation

1

et: anglede pression/3: angled'inclinaison

de l'hlice

y1

F1/2

et : anglede pression82: demi-angleau sommet

de2

y

F1/2

* VoircaractristiquesgomtriquesG.D.chapitre47.

et : anglede pression/3: angled'hlice

~\

113

TorseurtransmisSible

Dans(a,X, y, I):

!

FI 0

)A{A1f2}= Fr 0

A 0 0

. Forceaxiale:Fa= 0

. Forceradiale:FrFr =FI' tana

. Forcetangentielle:FtP P

FI=-=-"w.r 1T.N

30

Dans(a,X,y, I):

!

FI 0

)A {A1/2}= Fr 0

A Fa 0

. Fa:torceaxialeFa=- FI.tanp. Fr: torceradialeF - F tanar - l' cosP

. FI: forcetangentielleDans(a,X,y, I):

!

Fr 0

)A{A1/2}= Fa 0

A FI 0. FI: forcetangentielle

F -~-~1- -w"m 1T.N"m

. Fa:forceaxialeFa=- FI'tana.sin2

. Fr:forceradialeFr=- FI' tana. cos2

Dans(a,X,y,I):

!

Fa 0

)A{A1/2}= Fr 0

A FI 0. Surlaroue2:

Fa=- FI .tanpFI

Fr = - - .tanacosp

. Surlavis1:effortsrciproquesFavis= FI roue

Photographies:Lechner-Patissier.

114

42DeuxettroisglisseurscoplanairesUnglisseurestuntorseurrduit sarsultante,levecteur

momenttantnul: A{A2/1}=A{JQ}.

Onlimitegnralementl'criturecelleduglisseurA2/1'

42.1 DeuxglisseursThorme1:Lorsqu'unsystmematrielestenquilibresous

l'actiondedeuxglisseurs,lesrsultantesdecesdernierssont

directementopposes.~ ~ -> ~

Am= - B3/1; A2/1et B3/1ont:. mmesupportAB,

. dessenscontraires,

. mmeintensitIIJII= 118;11

42.2 TroisglisseursThorme2 : Lorsqu'unsystmematrielestenquilibresousl'actiondetroisglisseurs,ona:

. R =Q :sommegomtriquenulle:ledynamiqueform

parlestroisrsultantesestferm.

. ;fiA = 0 :sommedesmomentsnulleenunpointA. Lessupportsdestroisrsultantessontcoplanairesetconcourants

enunmmepointloucoplanairesetparallles,oucolinaires

(confondus).

42.3 ExempleLafigurereprsentelacommandepartielledugodetd'unepelle

hydraulique.LorsquelevrinV3estalimentpardel'huile

souspression,satigesedplace,labiellette5 pivoteautour

deMet,parl'intermdiairedelabiellette6, legodet1 pivote

autourdeH IIestsoumisdelapartdusolunefforthorizontal:

Ilfil = 5000daN.Ondemande:decalculerl'effortexercsurl'articulationNdanslebutdecalculersondiamtre. ~

HYPOTHSES:

. Lesystmeprsenteunplandesymtriepourlagomtrieetleseffortscontenudansleplandelafeuille.

. Lefrottementestnulauxarticulations.

. Lespoidspropresdessolides1,5,6sontngligsdevantleseffortsaux1iaisons.

SYSTME DE DEUX GLiSSEURS

-~

---

Solide1

SYSTME DE TROIS GLiSSEURS

Dynamique

ferm:$=0C3/1

JA2/1

1~182/1

C3/1 - / 3 supportsconcourantsen!82/1 ;t0= 0

COMMANDE DE GODET DE PELLEHYDRAULIQUE

yL

V3

0z

SOLUTION:

1 Isolerlabiellette6

. Recenserlesactionsmcaniquess'exerantsur6

Actionsdistance:nulles(poidsngligs).

~crire~ thormerelatif l'quilibre(2glisseurs)

G1/6et NS/6sontdirectementopposs:supportselonGN.

2 Isolerle godet1

. Recenserlesactionsmcaniquess'exerantsur1

. crirelethormerelatif l'quilibre(3glisseurs)-> ~ ~ ~

5 =0 :dynamiquefermif! =0 :3supportsconcourants.. Rsoudregraphiquement(voirmthodeci-dessous)

MTHODEDERSOLUTIONGRAPHIQUE:

Aprsavoirisol1etrecenslestroisglisseurs:

!.:.lrace~~supportsdesdeuxrsultantesconnues:G6/1etTS/1(lesolide6 soumis deuxglisseursa djt

isol:G6/1estselonGN).Leurintersectiondonnelepoint1.

2TracerlesupportdeH2/1passantpar1etH.

3Choisirunechelledesforces.

4Construirelasommegomtrique:-> ~ ~ ~

TSI1+ G611+ H2/1= 0 .

Construirelebipoint0:1telqueIl0,111=IlTS/111=5000daN,~par lespoints0et1lesparalllesauxsupportsdeG6/1etHw.5Mesurer1,2et2,0etdonnerunrsultatchiffr(chelle).

REMARQUE:

Lorsquelessupportsdesrsultantessontparallles,appliquer

lamthodedudynamiqueetfuniculaire(chapitre44).

* Comptetenuduplandesymtrie(G,xy) .

ISOLEMENT DE 6

115

\ NLigne d'action A

\.

'.

de N5/6 et G1/6 \,

,G\

GODET1 ISOL: BILAN

Support de H2/1inconnu

Ts/1connue

aL

SupportdeG6/1connu

GODET 1 ISOL: RSOLUTION

1rPoint de concours

d~ 3~upports(M{=O)

- 5mmEchelledes forces: f---I S 1000 N

Ts/1 a

H2/1

Dynamique ferm (5=Q)

IIG6/111=9 400daN

IIH2/111=9 000 daN

Naturedela.liaison Glisseur Bilaninconnues

1-6: liaisonpivot. Support?PasseparG

centreG,axe(G,z) G1/6. Sens?.Intensit?

5-6: liaisonpivot. Support?PasseparN

centreN,axe(N,z) N5/6. Sens?.Intensit?

Naturedelaliaison Glisseur Bilaninconnues

Sol-1:nondfinie: r; =5000x . Entirement(solidepulvrulent/1) dtermines

6-1: liaisonpivot. Support:selonGN

centreG,axe(G,z)G6/1 .Sens?.Intensit?

2-1: liaisonpivot. Support?PasseparH

centreH,axe(N,z) H2f1. Sens?. Intensit?

116

43QuatreglisseurscoplanairesLorsqu'unsolide1estenquilibresousl'actiondequatreglis-

seurscoplanairesdont:

. Lesquatressupportsdesrsultantessontconnus.

. L'intensitd'unersultanteestconnue.

OnpeutappliquerlamthodedeCulmann.

43.1 MthodedeCulmann. Regrouperlesrsultantesdeux deux,enchoisissantdes

couplesquidonnentdespointsd'intersectiondeleurssupports

dansleslimitesdelafigure.

A;+p+B;+c;=0; R;+R;=0-- ~..--~ R; R;. R1passeparlepointM,intersectiondeA;etPR2passeparlepointN,intersectiondeS;;; etC;;; .

. Lesolide1estenquilibresousl'actiondedeuxrsultantes

~etR;directementopposes*,leursupportpasseparMetN ~(droitedeCulmann).

. Construireledynamiquefermtraduisantquelasommevec-

torielleA;, P,8;, c; estnulleetsachantque:

A;+P=R; (R;portparladroitedeCulmann),B;+C;;;=71;(71;portparladroitedeCulmann).

43.2

SOLIDE 1 ISOL

0

\\

\

. P connu

. Supports deA2/1' 82/1' C2/1

connus. Dterminer

A2/1' 8211' C2I1

3'p

DYNAMIQUE: S =0

01 =P }02= Ri12 =A2I123 =8211}20= R230=C2I1

EXEMPLE DE CALCUL: MONTAGE D'USINAGE

FONCTIONNEMENT:

L'tudeportesurlaphasedeserrage.Lorsquel'huilearrivesous

pressionenX, lesdeuxtiges6 duvrins'cartent.Parl'interm-

diairedesbiellettes4, lestiges3 descendent,entranantles

brides2quiserrentlespices1enEetE'.

ONDONNE:

{

30007\. L'actionde2/3: F {F 2/3 }= FOY l'. L'actionde4/3,rductibleenJ aunglisseurdirigselonKJ(isolementde4).. Lesactionsde0/3,rductiblesdesglisseursenGetHl'quilibrestrict:

{-IIGodcosqJ 0\(

+IIHodcosqJ 0\dGo!3)=\+IIGodsinqJ O}H(Ho/3)=+IIHodsinqJ O}G 0 0 H 0 0Avec: ,LL=tanqJ=0,1auxcontactsGetH.

ONDEMANDE:DedterminerlesactionsJ;, GO;;,, H;.

*Voir421.

HYPOTHSES:

. Lesystmeprsenteunplandesymtrie(J,X,Ji) pourlagomtrieetlesrsultantes(plandelafeuille).

. Lespoidspropresdesdiffrentssolidessontngligs.

. Lesarticulationssontparfaitesetsansfrottement.

. LesbaguesenH'etG'sontparfaitementalignes.

ISOLERLESOLlOE3 :

MTHOOEOE RSOLUTION(CULMANN) :

10Choisirunechelledesforces.TracerF;;,surlatige,([1F;II =3000N)et01=F; surledynamique.

20TracerlessupportsdeG;,fi; etJ;;.30Construirel'intersectionMdessupportsF;et~etl'intersectionNdessupportsfi; etJ;;.40TracerlesupportdeR;etR;passantparMetN,R;=F;;,+G;etR;=fi;+J;; (droitedeCulmann)

50 Continuerlaconstructiondudynamique.Parlepoint1,mener

uneparallleausupportdeG;. Parlepoint0,traceruneparal-lleausupportde7!;etR2.L'intersectiondecesdeuxdroitesdonnelepoint2telque:12=~ et02=~ (R;=F;;,+G;).60Parlepoint0,tracerunedroiteparallleausupportdefi;(Dynamiqueferm:extrmitde34confondueavecO.)

--->

70Parlepoint2,tracerunedroiteparallleausupportde J4/3.

Cettedroitecoupeladroiteparallle fi; passantparoenunpoint3telque:23=y;;; et3D=fi;.

80Mesurerleslongueursde 12,23,3D,multiplierparl'chelle,donnerunrsultatchiffr.

* Comptetenuduplandesymtrie( J,x';) .

117

QUILIBRE STRICT DE 3

F2/3

F

qJGO/3

H qJ

x

J4/3

/

DYNAMIQUE

Directionde

R1etR2~orces :30 mm9 3 000N

2~\

\

3a4

Ilml =IlGo/311= 2 150 N ; 113411=IlHO/3 11=4250 N112311=IIJ4/311=4150 N ; 110111=IlF2/311=3000 N

liaisons {9'}simplifis* Bilaninconnues

2-3pivot:f \ f3000 Y\ 1q }dtermincentreF

axe(F,Z) Fb/31;\ J entirement

4-3pivot:(XJ

:).SupporlselonJK

centreJ IJ '- Y .Sens:?axe(J,Z) JI 4/3r\ J

.Intensit:?J 0

0-3sphre-"." (-IIallcosq>0\

.Supporl : sur lecne

cylindre

G(GO/3)=\Ilailsinq>OflI::>1 GcentreH'

axe(G,;) G 0 O ' Sens:t-.Intensit:?0-3sphre-

(11H11cosqJ0\.Support:surle

cylindre cneHI

118

44Dynamiqueetfuniculaire

44.1 RductiondeN glisseurscoplanairesunglisseur. Lesolide1 estchargparIroisglisseursconnus:

~ IR;;;\ ,IA;\ I~\A{A 2J1} =A\ 1; B{ 83/1/ = B\ 1;c{ C 4/1} = c\ l'

GI' .

Il l 'E' IR\{R;;;+A; +~\. Isseurresuan: E' ,=E\1= l'. ConstruirecettesommevectorielleentraantlepolygonenommdynamiquepartirdupointO.

0estl'originedeR;;;, 1estsonextrmit;61=R;;;.1estl'originedeR;, 2estsonextrmit;12=A;.2estl'originede~, 3estsonextrmit;23= R;;;.0estl'originedeR , 3estsonextrmit;63=R.

R;;;+R;~+~ =R,

d'o: 01+12+23=63.. ChoisirunpointarbitrairePappelpledudyna-

mique.TracerlesrayonspolairesPO,P1,P2,P3.

Lorsquele1errayonPOetledernierrayonP3nesontpasconfondus,ledynamiqueestditouvert.

. ConstruirelepolygonefuniculairerelatifP.partirdupointAarbitraire,construireun1errayon0parallle

POquicoupelesupportdeR;;;ena.

partirdupointa,construireun2erayonl' parallleP 1qui

coupelesupportdeA;en{3.partirdupoint{3,construireun3erayon2'parallleP2 qui

coupelesupportde~ enypartirdupointy construireun4erayon3'parallleP3.

LalignebriseAa, a{3,jJy,y8estlefuniculaire.

Lorsquele1errayonAaet lederniery8nesontpasconfondus,lefuniculaireestditouvert.OndmontrequelesupportdelarsultanteFipasseparlepoint

d'intersectiondu1errayonAaetduderniery8.

RGLE:

Larsultanted'unsystmeNglisseurscoplanairesestdtermine:

. Endirection,sensetintensitparlebipointonquijointl'ori-

gine0du1efbipointl'extrmitndunimebipointdupoly-gonedynamique.

. Parunpointdesonsupportsitu l'intersectiondu1errayonetdu(n+1)imerayondupolygonefuniculaire.

DYNAMIQUE ET FUNICULAIRE

A E BSolide 1

R

1'

1errayon du -.........funiculaire - -

Polygonedynamique

DynamiqueouvertFuniculaireouvert

Funiculaireouvert

(D'aIl Y 3')

Dynamiqueferm

(0confonduavec3)

DynamiquefermFuniculaireferm

Polygonefuniculaire

0

2

3 Ple du dynamique(arbitraire)

DIFFRENTES POSSIBILITS

Cas Rductiondusystme7 ~ ->

R'" 0 ; ;If0 =0 : systmerductible unersultante.

2

Fi =0; jfo ~0: systmerductible un couple

-7 7 -> 7

R=0 ; ;If =0: systmeenquilibre.(Voirpagesuivante.)

44.2 Conditions graphiquesd'quilibreLorsqu'unsystmematriel(5)estenquilibresousl'actionde

Nglisseursrsultantescoplanaires,leprincipefondamentalde

lastatiqueentraneque:

. larsultantestatiqueestnulle:R(si;)~ aq Dynamiqueferm;

. lemom~tiq~eenunpointestnul:ftfa( SI S) ~ 0q Funiculaireferm.

EXEMPLE:

Lacommandedesoupapeestprsente 37.2.Danscetteder-

nire,lelinguet2,articulenBparrapportaucarter0,estsou-

misuneffortA; exercparl'arbrecame1.Ceteffortpro-voquelarotationde2autourdeB,cequientraneuneactionsur

labiellette3 articuleenCparrapport2.Ceteffortesttrans-misauculbuteur4. j

Ondonne:IlC;;;Il~ 1120N; C;;;dirigselonDG.Ondemandededterminer,.et8;.HYPOTHSES:

. Lesystmeprsenteunplandesymtrie(A,X,J) pourla

gomtrieetlesrsultantes(plandelafeuille).

. Lespoidspropresdesdiffrentssolidessontngligs

devantl'intensitdesactionsmcaniquesauxliaisons.

. Lescontactssontparfaits:sansjeuetsansfrottement.

ISOLER LE LlNGUET 2 :

. Recenserlesactionsmcaniques

. crirelethormefondamentalrelatif 3glisseurs

5~ :dynamiqueferm;Ai~ : lessupportsdeC;;; etA;sontparallles;celuideBO!zl'estaussi. Rsoudregraphiquementparlamthodedudynamique

~d~funiculaire(voirci-contrel. ~s~0 :dynamiqueferm;M"~ 0:funiculaireferm.* Comptetenuduplandesymtrie( A,x,.h

119

QUILIBRE DU SOLIDE 1 ISOL

3' 3 1 2

1 1'~ ,

Funiculaireferm 1 f i(AO'etA3' confondus) -

0 3 Support de B2/1 ..

f3

p

LlNGUET 2 ISOL

SupportdeC3/2S

y., Plan tangent1/2

Support de A1/2x

Support de BO/2

f3

Dynamique(5=0)chelledesforcesL--J S 20NA

31~ 1/2 120 C~/? /1 BO/2/2

111211= IlBo/211= 780 N

112311= IlA 1/2Il = 1900 N

Mthodede construction

1 Construire01 tel que 110111=IlG;211 = 1120 N.2 ChoisirP et tracerPO et P1.

3 Construirele funiculaire en traant 0' /1 PO. 0' coupe

le supportde C;;2 en IX. partirde IX tracerl' Il P1.l' coupelesupportde 80;2 en{3.4 Fermerle funiculaireen traant{3y.5 Sur le dynamique,tracer P2 Il 2'.

Naturedesliaisons {.57}simplifis* Bilan inconnues

3-2rotule

(C311}={11OX}IC3/1}entirement

centreC c c 0 dtermin

1-2linaire .Support:normalrectiligne,centreA,

(A } !-IIA1;;II.x\

auplantangent

normale(A';)(selon(A,x))

1(2=\ 7 !.Sens:

120

45Hypothsesdelarsistancedesmatriaux

Larsistancedesmatriauxestl'tudedelarsistanceetdela

dformationdessolides(arbresdetransmission,btiments,

fuses",)danslebutdedterminerouvrifierleursdimen-

sionstransversalesafinqu'ilssupportentleschargesdansdesconditionsde scuritsatisfaisanteset au meilleurcot

(optimisationdesformes,desdimensions,desmatriaux...)

45.1 LesmatriauxL'homognit:onadmetquelesmatriauxontlesmmes

propritsmcaniquesentouslespoints.

L'isotropie:onadmetquelesmatriauxont,enunmmepoint,

lesmmespropritsmcaniquesdanstouteslesdirections.

L'isotropieestvrifiepourlesaciersnonfibrs(lesacierslami-

nsetforgsnesontpasisotropes).Ellen'estpasvrifiepour

lesmatriauxfibrs(bois,matriauxcomposites...)(fig.2).

45.2 La gomtrieLessolidesidauxsontdespoutresprsentant:

. dessectionsdroitesconstantesouvariableslentementendimensionsetforme,

. desdimensionslongitudinalesimportantesparrapportauxdimensionstransversales.

Unepoutreestengendreparunesectiondroiteetplane(S)dontlebarycentreGsedplacesurunelignecourbe(G),grandrayondecourbure,appelelignemoyenne.Lasectiondroite(5)resteperpendiculaire(G)(fig.3).

45.3 LesforcesLesforces,appliquesenunpoint,sontdespointeurs.Il n'est

paspossiblede les remplacerparun systmedeforcesvectoriellementquivalent(mmersultanteetmmemomentenunpointA)carleseffetsphysiques(sollici-

tations)sontdiffrents. -'>-'>Dansl'exemplea, lorsqueAetB glissentsurleursupport,

latractiondevientdelacompressiQll.Dansl'exempleb,larsultante2F provoqueuneflcheplus

importantequelesdeuxforcesl enDetE

CDCALCUL D'UN PONTCharges connues

Dimensionstransversales calculer

Dimensionlongitudinaleimpose

0 MATRIAUX ANISOTROPES

1

Rsistanceselon (0, :YJc

H -F Rsistancediffrente~C selon(0,x)

~F

.x

-F 0:-A

Fibresparallles (O,x)

CDEXEMPLE DE POUTRE ,/

Ligne

moyenne(C)Section droite(8)

(perpendiculaire (C))

8)SYSTMES DE FORCES NON QUIVALENTS0 TRACTION COMPRESSION~A B~ "* A~8 A~BA B

0

~.F

A 0

F Fl'he~=fr1tC1 E B: -c; F

~ Flcheen C2: fC2 -F~12F=F+F 11 fC2>fC1 1

121

Chargeconcentre

TYPES D'ACTIONS MCANIQUES EN RSISTANCE DES MATRIAUX

ChargeetmomentenunpOintChargerpartie

Modlisation

a

CAB 0_0~z ~~. .~~x

C

~yAF:!B~~0 xZ a _cg~- Br:~9~YX F F x;r;2" 2"Engrenagetrsrigideavecjeu Engrenagedformablesansjeu Engrenagetrsrigidesansjeu

~~~~~~~~ExemplestechnologiquescorrespondantsLescontactsenA etBsontponctuels

Le contactselonABestlinaireousuriacique

LecontactselonA B estindformable(enstatiquelesactionssontmodlisablesparuntorseur)

45.4Hypothsesurl'influencedesdformations

LES DFORMATIONS

. Dansledomainelastique,lesdformationssonttrsfaibles,ellesnemodifientpaslesforcesauxliaisonscalculesparlasta-

tique(cas1)(hypothsesolideindformable),

. Lessolidestrsdformables(ressorts...)modifientladirection1

f3\desefforts(cas2). \V

. Defaiblesdformationspeuventmodifierladistancedansdes

appuisetdonclesefforts(cas3).

HypothsedeNavier-Bernoulli

Lessectionsplanesetdroites(normaleslalignemoyenne)avant

dformation,restentplanesetdroitesaprsdformation(normales

lalignemoyennedforme).

HypothsedeBarrdeSaint-Venant

. Dansunesectiondroite(5) loignedelazoneo leschargessontappliques(t >d), la rpartitiondesdformationsetdes

contraintesnedpendquedeslmentsderductiondutorseurdes

forcesappliques.

. Dansunesectiondroite(5)prochedelazoneolescharges

sontappliques(t

122

46 CoupuredansunepoutreLeplan(P)contenantlasectiondroite(S)partagelapoutre1en

deuxparties(1)et(II).

LebarycentreGde(S)apourabscissexdans9lo(O,x,y,Z)

OnposeDG=x .xOnappelle(1)lapartie"gauche",ouamont,de(P) et(II) la

partie"droite",ouaval,de(P).

46.1 Torseur de cohsion

Lesactionsmcaniquesquelapartiedroiteexercesurlasection

droitefictive(S)appartenant(1)sontdesactionsextrieures

lapartie(1).Leurrpartitionestinconnuemaisnouspouvonsles

modliserparuntorseurdecohsionetcalculerseslmentsderductionenG,barycentredelasection(S).

.R=L LI,fi: rsultantedesforcess

{ }1R\ decohsionLI,!;deII! l,

GohlI/r= \-> 1;If ~ ~ ~G G. ;lfG=L(GMi x Mi): * moment

s~

rsultantdes~fi parrapport G.

REMARQUE:

. Cettedfinitionrelved'uneconvention,onpeutprendrela

conventionoppose.

. D'aprslethormedesactionsmutuelles:J Gohriii \ =- J Gohr/II \G\ J G\ J

46.2 Projectiondeslmentsde rductionde{Coh}fi?(G,x,y,z)estlereprededfinitiondessollicitations.

C'estunreprelocal,direct,lilasectiondroite(S) :

. (G,x) estselonlanormaleextrieurelapartiegauche(1)

de(S)

. (G,y) et(G,z) sontdansleplande(S)dirigsselonlesaxesdesymtriede(S)s'ilsexistent.

NOTION DE COUPURE

y Section droite(S)x Plan (P)

mo(O,x, y, z) est li la poutre1

TORSEUR DE COHSION

R

COMPOSANTES DE RET ;fIG DANS (91)y! Partiegauche(1)

x

~'~~~~,"

'~;fi,

8l(G, X,;,2) est li la section (S)

* x est le signe du produit vectoriel.

Projectionsdela rsultanteetdnmomentdutorseurdecohsiondans(Jt)-4

-;, Effortnormal:projectionde R surlanormale Momentdetorsion:projectionde;IfGsurlaN

extrieure(G,x).;fit

normale(a,X).

->Efforttranchant:projectionde R surleplandela Momentdeflexion:projectionde;IfGsurle

Tsectiondroite(G,y,l).

;fi,plan(Y,l).

123

T et;lffn'ontpas,engnral,dedirection,particuliredansleplan(G,y, z), Ilestutilededfinirleurscoordonnesdans9l(G,X,y,z),

CoordonnesdeFiet'Ii; dansfP",'

Fi=N.x+Tv'y+Tz.z';lfa=;1ft.x+;fIlav'Y+;fIlaz.?

N

TvTz

Coordonnedel'effortnormal Nsur(a,X).Coordonnedel'efforttranchantTsur(a,y).Coordonnedel'efforttranchantTsur(a,hCoordonnedumomentdetorsion;i{sur(a,x'j.CoordonnedumomentdeflexionIii sur(G,y).CoordonnedumomentdeflexionIii sur(a,z).

;1ft

;lffGy;lffGz

COORDONNES DANS ~R

Partie(1)

z

"-

~

;fitGy

"-

~EXEMPLE DE DIAGRAMME

(N.m) Section la plussollicite la flexionCescoordonnesvarientselonlapositiondelasection(5)

dfinieparl'abscissedeGdans~R.(O,X,y,z),

LareprsentationgraphiquedesfonctionsN(x),Tv(x),Tz(x),

;1ft(x),;lffGy(x),;lffGz(x)s'appellentlesdiagrammesdessollicitations.

46.3

0 1,5

SOLLICIT ATIONS SIMPLES

Unesollicitationestsimplesietseulementsi,undesquatrelments

N,J, if,;ijj n'estpasnul.

Danslecascontraire,elleestditecompose(chapitre55),

Exception:J 1=,;ijj 1=estdelaflexionsimple(J ngligeable),

Traction(oucompressionsimple):N '*0

Partie(1) y Sens de N :

Celui des (;).ds.x.

(5)

u(M).ds.x

Nx N = L (U(M)ds)(S)

~ ~

Torsionsimple:;fit'*0

Partie (1) y

Sens de ;fit :Celui du tire-bouchon

selon (0, x) tournant

dans le sens des T(M)'

Sollicitationcompose:

(exemplegnral)

jN;lft

){CohIl/d = Ty;lffGy;

G Tz;lffGz

x

3,5 5 (m)

Sollicitationsimple:

(exemple.tension4ft1=0)

j0 ;1ft

]{CohIl/d= 0 0

G 0 0

Cisaillementsimple(thorique):

Partie (1)

(5)

TetO -~ Sens de T:

x Celui des T(M).ds.y.

T = L (T(M).ds)(S)

~'.. ~

flexion simple:;fit'*0

x~At: :~~(S)(5)* Une coordonne est un nombre rel (algbrique) 72,S, ** Voir dfinition de (J'(M)et T(MI 46.7.

~ Sens de ;fItGz:;fIt~z Celuidutire-

bouchon selon

x (0,z)tournantdans le sens

des ur:;.

u(M).ds.x

;fIfGz= L (u(M).y.ds)(S)

124

46.4 Torseurdesactionsmcaniquesextrieuresettorseurdecohsion

46.41 ActionsmcaniquesgaucheLetorseurdesactionsmcaniquesextrieuresgauchede(5),appliquessur(1)s'critenG:

ffi forcesgauche/r\G{Actionsex!.gauche/r}= \-> ., fG 1/Gactionsa gauche/!

Leprincipefondamentaldelastatiqueappliqu( l ) s'crit:

G{Actionsex!. gauche/!}+G{CohrIlI}={O}.

G{Cohrl/l}={7!}=-G{Actionsex!. gauche/dG;1(G-,> ~ -> ->

d'o: R=- Ractionsgaoche/I;;1(G=-;1(G actionsgauche/I

Cetterelationpermetdecalculerleslmentsderduc-tiondutorseurdecohsionpartirdesactionsmca-niquesextrieuresgauche(connuesparlastatique).

EXEMPLE:

. Coupureraliseentre0etF: (0oSX oSfi 2):Partie(1)isole(lig. 2)

C -- f -112 t f 112 \G{ohII/I}-G\GEx-ll2f G\GExll2f

46.42 ActionsmcaniquesdroiteLorsqu'ilyamoinsdeforcesdroitedelasection(5),ilestplussimpled'isolerlapartiedroite(II).

G{Actionsex!.droite/II}+G{Cohr/II} ={O}.

-G{Cohr/Il}=+G{CohIl/d=+G{Actionsex!. droite/Il}-,> ~ ~ ~

R=+ Rfurcesex!.druite/II; ;1(G=+;1(Gactiunsex!.droite/II

. CoupureraliseentreFetE'( fi 2oSx oSf) .~

Partie(II) isole:uneseuleforce- F12:(fig.4)

1 f - 112 \\COhII/r} = \

--7 ~

fG GE' x - F12~ ~

Partie(1)isole:deuxforces- F12:F : (fig.3)

f - ~2+1~ ~ \{COhII/r}=- G\GEx(-FI2)+GFxF f

CDPOUTRE ISOLE

Ligne yt tl2moyenne

J:::x

Lesolide2estmodliscommeunepoutrerectilignecar:

. salongueurt estimportanteparrapportsahauteurh;

. salignemoyenneestrectiligne.Cen'estpasunsolideidalcarsasection(S) prsentedes

variationsbrusques(alsage,videment).

0 PARTIE GAUCHE (1)ISOLEy.+. Y 10 oSXoS!1

z

---

---

F x

---

Section (S)

0 PARTIE GAUCHE (1)ISOLEy+ x ~l IfoSx~tl

2

z

x---

(II)

G J AC,tion~- mecanlques

de (II)I (1)

8) PARTIE DROITE (II) ISOLE

YA Y13~o_n _(SI"--~ -;1(G nActions

0 1 mcaniquesde (1)/(II)(1)

I!oSx~tl

x

z

REMARQUE:

Letorseurdesactionsmcaniquesgauchede(5) (oudroite)

estmodifilorsque(5)sedplacelelongdelapoutre:

. Si unediscontinuitd'ordregomtrique(changementde

directiondela lignemoyenne)apparat(exemple:poutreen

querre).

. Si unediscontinuitlie uneforcenouvelle(ouun

moment)apparat.

RGLE:Effectuerunnombredecoupures(ne)galau

nombredediscontinuits(nd)(gomtriqueoud'action

mcanique)plusun.

ne= nd +1

EXEMPLEDECALCUL:

Unebride2,modlisecommeunepoutre(voirfig.1 4651),

estappliqueverslebas,auserrage,parunetige3 quiexerce

uneffortF;= - 3000Y(enN)(voir 43.2).Elleserredeuxpicesparl'intermdiairededeuxliaisonssphre-plantellesque:E; = f";2 = 1500y.Labride2 possdeunplandesymtrie(0,X,y)pourlagomtrieetlesforces.

10Dterminerl'expressiondesfonctionsN(x); T(x),;Ift(x);;Iff(x);lelongdelapoutre.

20Tracerlesdiagrammesreprsentatifsdecesfonctions.

SOLUTION:

10tudedesfonctions:1recoupureentre0 etF:0 ~ x ~ 24:partie(1)isole.

{ } f--->\ 1 E;;; \CohII/! = - G1\ FPice/2f = - \ > > 1G1 G1 E x EP/2d'o:R=-EP/2 ;

~=-(-11E;211.x.z)11=-1500Y (enN)

;If; =1500.x.ZSoit:Ty=-1500N et ;IffG1z=1500x(N.mm)

Si:x=0,;lffG1z=0 ; six=24,;lffG1z=1500x 24=36000N.mm.

20CoupureentreF et 0': 24~ x~ 48:partie(1)isole.

1 }1 E;;;+F; \

\ Cohu/! =- \ > -> > ---7 162 G2E x EP/2 +G2Fx F3/2d'o:R=-(E;+F;); R=+1500y(enN)

~=- [-IIE;II. x +Il~II (X-24)] Zd'o:#;2=(-1 500x+3000x 24)ZSoit:Ty=1500N; et ;IffGz=-1 500x+72000

Pour:x=24,;lffGz=36000N.mm; x=48,;lffGz=0.

125

COUPURES DANS LA POUTRE 2

1500 1recoupure

a ~x ~ 24

y

1500;10 xG2?

E 24 -- 3000;

x

2ecoupure

DIAGRAMME DE L'EFFORT TRANCHANT

Tyt(N) mTfTl1 5000 x

-1500(mm)

DIAGRAMME DU MOMENT DE FLEXION

;lffGz . (N.mm)36000L - - - --

x

a (mm)24 48

DISCONTINUITSET COUPURES

:11:1:0discontinuit

entreAetD,1coupure

AB 1discontinuitentreJI etD,2coupures

1 2 3

ABC 0 2discontinuits

:B entre.AetD,3cnupures

y Partie(1)

y 0 G1 F x?

E x24

126

46.5 IDENTIFICATION DES SOLLICITATIONSMthode

10Rsoudreleproblmedestatiqueoudynamique:

. Hypothses:solidesindformables,actionsmcaniquesmodlisespar

glisseursoutorseurs.

. Isolerlesolide1etcalculerlesactionsextrieuresinconnues.

. Appliquerleprincipefondamentaldelastatique( 31.5) oudeladyna-

mique(56.4, 579).

20Rsoudreleproblmedersistancedesmatriaux:

. Hypothses:matirehomogneetisotrope(45.1)poutrerectiligne( 45.2),actionsmcaniquesmodlisespardespointeurs( 45.3),appliquesprogressivement,variationlente(sinonfatigue).

. Raliseruneouplusieurscoupures.Isolerlapartie(1)oupartiegauche.Calculer{Coh11/1)=- (actionsextrieuresgauche!I).Raliserautantdecoupuresquedediscontinuitsplusune(46.42).

. Identifierlasollicitationenrecherchantdansletableauci-dessouslecas

correspondantau{Coh11/1)calcul.

Sollicitations- Efforts

Tractionsimple(Chapitre48)

1-A !B-A/1 ~ B/1~

Compressionsimple(Chapitre49)*

1

AIG L1BA/l B/l

1 estsoumis l'actiondedeuxrsultantesdirectementopposes.

* Attention au risque de flambage ( 565)

Contraintes

(1) (S) y

. U(M) :contraintesnormales (S)**.

. Rpartitionuniformedans(S).

. TractionulM) >O.

. CompressionUlM)< O.

** Voir dfinition 467.

Exemple

B/l estconnue.. A/l est dterminer.

~- - - -~~O~.~A/l? A B x- ~

.A/l +400.x=0A/l =- 400.x (enN).

LesactionsA111etBill sontconnues,modlisespardeuxpointeurs.

. (CohIV!)est dterminer.

~(I) (II)Y

r= x- --G~~A1J1 X

(Coh II/I) =- (- 40~ .x\ = { 400. x\G\ 0 j G\ 0 j

. N =400.x; N * 6; T=ii =m=-01 estsoumisdelatractionsimple.

Torseurdecohsion

(CohII/I)=fN\G\J

x N*O

Ty=0 ; Tz=0;tft=0

;tffGy=0; ;tffGz=0

L J Alil \(CohII/Ii - G\ J

Dformation

y

AB x

- r---

. Traction:allongement/:1(>O.

. Compression:raccourcissement/:1 O.

Soilicitalions - Efforts

Cisaillement simple (chapitre 50)

1 est soumis l'actiondedeux rsultantesdirectement

opposes perpendiculaires la lignemoyenneLM.

Torsion simple (chapitre 51)

A1/1=- 81/1

1 est soumis l'actionde

deux couples directementopposs, dirigsselonla lignemoyenneLM.

Flexion simple (chapitre 52)

C1/1

1 est soumis l'actionde

rsultantesperpendiculaires AB dans le plandesymtrie(P).

* Voir dfinition 46.7.

G

z------

A1/1

. T(M): contraintestangentielles (S)*.

. Rpartitionuniformedans (S).

y

x

x N=O

Tyi=O;Tz=O;fit=0

;fIfGy=0; ;fIfGz=0

x-~

(S)

. T(M): contraintestangentielles (S)*.

. Rpartitionproportion-nelle la distance G.

\ - j AJ1\(COhII/1/ - G\ 0 1

10\(CohII/!) =G\/itf

N=O

Ty=O;Tz=O;fit i=0

;fIfGy=0; ;fIfGz=0

127

Dfo(mation

. Parfaite:

. Relle:

(;lffGz cF 0)

~1

A

\ - fIJ(CohII/II - G\;fIf1

xN=OTyi= 0 ; Tz=0;fit=0

;fIfGy=0; ;fIfGzi= 0**

leh \ f A111 \\ 0 IIIIi =- \ - ~fG\ -A1/1'X.Z

(entreA et C)

** Ty"* a ; ;l!fGz"* a Cette sollicitation est considre comme de la flexion simple.

A'

1

1.."

1

LV J~ Rotationl'la de (S) par

(Ch '- -{0 \1

rapport(So)'a II/! 1- ~

G k;/1.d.x f l'la = e (rad/m).l'lI

(1) y

Ai/1

x IJ'(M)

. IJ'(M): contraintesnormales (S)*.

. Rpartitionproportion-nelle ladistance (G,Z).

A1/1 81/1

C1/1 Yc

Courburedes fibres.Dforme:~CC' =YcFlcheen C.

Contraintes

.Y+ (II) 1

\ _!T\(1) (S)

(CohII/! J - G\ 0 1

AI'IMl

n :vecteurunitairenormallasurfaceilS.T :vecteurunitairedansleplandeilS, selonladirectiondeTM.(TM: coordonnenormaledelacontrainteC(MJ,n**.

TM: coordonnetangentielledelacontrainteC(MJ,7**.

REMARQUE:

UnecontrainteC(M),Tiestditeprincipalelorsquesadirectionestnormaleauplandelasection(ilS).

~

Danscecas:TM= etC(MJ,n= UM ..1 Pa = 1N/m2. ..Danscequisuit,seulecettedfinitionalgbriquedescontraintesserautilise.

128

46.6 RelationentreT et;11fDansuntronondepoutrerectiligne,surlequelil n'yapasde

chargeconcentreapplique,l'efforttranchantestgal,au

signeprs, ladrivedumomentdeflexionparrapporflavariable:x.

- dlt/Gz. - dit/GYTy--- , Tz--dx dx

46.7 Vecteurcontrainte

(S) : sectionquelconque,orienteparn:normale(S)ext-rieurelamatiredelapartie(1).

il!: forcelmentaireexerceparlapartie(II) surlapartie(1),

aupointMappartenant(5) (fig.2).

ilS: lmentdesurfaceentourantlepointM.

PAR DFINITION:~

LevecteurcontrainteC(M).naupointM,relatiflasurfacelmentaireilS,orienteparsanormalen,estgallalimiteduquotientdeil! parilS lorsqueilStendverszro(fig.3).

~ lim ~ dlII

~

1

Ildlll

C(M),n=45--->0 45; C(MJ,Ti=d5; C(M),Ti1 =liS

Il C(MJ,;Il: normeduvecteurcontrainte,enpascal(Pa)*.Enrsistancedesmatriaux,onutiliselemgapascal(MPa):

1MPa= 106Pa= 1N/mm2= 10bars.

CONTRAINTENORMALE- CONTRAINTETANGENTIELLE:

. LacontraintenormaleUMestlaprojectiondeC(M),nsurlanormaleextrieuren (fig.4).

. LacontraintetangentielleTMestlaprojectiondeC(MJ,;surleplandelasurfaceilS(fig.4).

C(M),i=liM+TM C(MJ,n=liM.n +TM]

CDCORRESPONDANCE TyET MfGz

if p (N/m). 1111JA

xB

27:1~1'5 x.T'y=2700pourx =1,5. C'est la pente(ausigneprs)de latangente;!ffGz

1,5 ?C0

T'y=0 en 0 ~ Tangente

horizontalepour ;!ffGz

0 FORCES DANS UNE SECTIONSection (5)

4( "" Force- lmentairen de (II)/(I)

(II)

0 VECTEUR CONTRAINTE C(M),nn

-F F.Section oblique (Scp)

Section droite(5)

0 COMPOSANTES DU VECTEUR CONTRAINTEf

(I)

C(M);1

normale a;.nContraintes

tangentielle:T;;.T

129

47 Matage EXEMPLES DE MATAGEAvant 1 Aprs

On constatesouvent sur des organes de machines des dfor-

mations locales: crasementlatraldes clavettes,gonflement

des extrmitsd'arbres soumis des charges importantes,ova-

lisation des paliers...

47.1 Dfinition

Unsolide1estsollicitaumatageparunsolide2si la

pressionsuperficiellesur la surfacede liaison1-2

entraneunedformationpermanentedecelledernire.

PRESSION EN UN POINT MREMARQUE:

Lesdformationstantlocales,il fauttenircompte,dansles

calculs,delarpartitiondespressionsappliques(voirprincipe

deSaintVenant 45.4).

47.2 PressiondematageLapressiondematageenunpointestlequotientdelaforce

lmentairenormaleappliqueIldN;Ilparlasurfacel-mentaire:ds.CettepressiondoitresterinfrieurelapressionadmissiblePadm(valeurs 47.24).

P J~ N2/111.conditiondenonmatage' P

130

47.22 PressiondematagevariableLorsquelapressiondematagevarie,il fautconnatrelafonctionmathmatiquedonnantsavariationenfonctiondel'abscissedupoint

considr.Oncalculealorslavaleurdelapressionmaximale:Pmax

etonvrifielaconditiondenon-matage:Pmax

47. 23Pressionsentrecontactslinairesou ponctuels

Pouruneliaisonpivotourotule,parexemple,onconstatedansla

pratiqueuneaugmentationdelapressionmaximale.Enfait,lecontactsurfaciquesetransformeencontactquasilinaireouponctuelsousl'influencedesdfautsdeforme(circularit,cylin-dricit...)etdujeuexistantdansl'ajustement.Laliaisondevientuneliaisonrelle.

LesformulesdeHertzrelativescescontactss'appliquentdansledomainelastique.Pourcescalculs,ilfautdfinirlesgrandeursci-contre:

Contactcylindre-cylindreContactrel Rpartitiondep

2b

Pmax

Pmax'" 0,418 VII Fil. Er,.t

131

1 ri: lerayondecourburerelative:

1 ~ =1- +1-." '1- '2r1r2

:rayonducylindreoudelasphre1.: rayonducylindreoudelasphre2.

Signe: +pourunetangenceextrieure.Signe: - pourunetangenceintrieure.

2Lemoduled'lasticitEpourlecalcul:

1 ~=1(1-+1- )E 2 E1 E2

E1E2

:moduled'lasticitdumatriau1.:moduled'lasticitdumatriau2.

Contactsphre-sphreContactrel Rpartitiondep

2r

2r

3

\f!PIIFII.r,r",1,11 E 3 / ~ (E)2Pmax'" 0,388\/IIF Il.r;47.24 Valeursdepressionsadmissibles

Letableauci-dessousdonnelespressionslimitestolrables(ouadmissibles)entredeuxpicesimmobilesouenmouvementdansdescondi-

tionsd'utilisationdtermines.Ondoitavoir:P

132

47.3 Exemples47.31Calculd'uneclavetteUnarbre1dediamtred=30mmtourne300tr/minettrans-

metunepoulie2unepuissanceP=1,5kW.Cettepoulie2est

lieenrotation l'arbre1 parl'intermdiaired'uneclavette

parallle3 deformeB,delongueurt.

HYPOTHSES:

. L'ajustemententre1et2 netransmetaucunmomentautourde (0,l) . Celuidelaclavette3danslarainurede2estglis-

sant(pasdecontraintesliesaumontage).

. Laclavette3 estparfaitementparalllel'axe(0,z) etlarpartitiondespressionssursonflanclatralestuniforme.

. Les conditionsde fonctionnementsont mauvaises

(dmarragesfrquents,variationsd'effortenfonctionnement).

PROBLME:

10Dterminerlesdimensionstransversalesax bdelaclavette

enfonctiondudiamtredel'arbre.

20Dterminerla longueur1 delaclavetteafinqu'ellesup-portelapressiondematagesursonflanc.

LIAISON ARBRE-POULIE

5 JS9/h9

3

2

1

EFFORTS SUR LA CLAVETTE

Rsultantedes y

~s ~contact2/3T2/3v

~R

xCondition respecter

t0

47.32Calculdesarbrescannels

Cecalculs'assimile celuid'uneliaisonparclavette.L'effort

tangentielTtransmettres'exercesurlesflancsdescannelures

del'arbreetsurceuxdesrainuresdumoyeu,surunesurfaceto-

talethorique:S=n, t. h.Laconditiondenon-matages'crit:

Cm ~ PadmT ~ Padm ; $',L. RmoyS'

Cm : couplemoteurtransmettre(N.mm);Cm=T. Rmoy.s' : surfacerelled'appuiparmmdelongueurdecontact(mm2/mm).

L : longueurdecontactarbre-alsage(mm).

S'=s'. L : surfacetotalerelled'appui.

Rmoy:rayonmoyenmesurmi-hauteurd'unedent(mm).Padm:pressionadmissiblesurlesflancsdescannelures(MPa),

dpenddesconditionsd'utilisation(voirtableau 47.31).

EXEMPLE:

Arbrecannel(sriemoyenne)*d=52,D=60,Cm=1500N.m.

Glissantsanscharge.D'aprstableau 47.31:Padm=15MPa.

SOLUTION:

. Calculerlasurfacetotalerelled'appui:, L Cm ' L

1,5x106s ~ . s ~, Padm.Rmoy" 15x 28

s',L~3572mm2.

. Recherchersurl'abaqueci-contrelavaleurde5':d=52;8cannelures,sriemoyenne;s'=18mm2/mm.

. CalculerL:L ~ 3572 L ~ 198,4mm,

18L ~ 2,5d:neconvientpas(difficultdebrochage...).

. Prendreunesrieforte:16cannelures:s'=36mm2/mm,L~3572, L~ 99mmconvient.

36

47.33CalculdeschapesilLadtriorationd'unechapepeutsefairepar:

. tractionselonlasectionS1(cas1),

. cisaillementselonlasectionS2(cas2),

. matagedansl'alsageavecrpartitionsinusodale(cas3)**.

Effectuerlestroiscalculsetprendrelaconditionlaplusdfavorable.

EXEMPLE:

VrifierunechapeaumatagesachantqueIlFil = 1000N.d=12,8=10;Padm=12MPa(glissantsouscharge).SOLUTION:

4 x 1000 =10,6MPa; 10,6

134

48Tractionsimple

48.1 Hypothses. Solideidal:matriauhomogne,isotrope,poutrerecti-ligne,desectionconstante.

. lesactionsextrieuresdanslessectionsextrmessontmodlisablespardeuxrsultantesAetBappliquesauxbary-centresdecessections,dirigesselonlalignemoyenne,orien-

tesversl'extrieurdelapoutre.

- fA\B{A1/1}= B\0f

48.2 Dfinition

B{B1/1}= fB\8\0f

Unepoutreestsollicite latractionsi, letorseurassociaux

forcesdecohsiondelapartiedroite(II)surlapartiegauche(1)de la poutrepeutserduireenG, barycentredelasection

droite(5) unersultanteperpendiculaire(5),dirige

versl'extrieurdelamatire,telleque:

{

~

}

N*o;Ty=o;Tz=oN DansG(CohuJI)=-0'(6 ~ ~ ~ ) .(N>"0)GO;:1\, ,x,y,z. . .

Ift= 0 ,lffGy=0 ,lffGz=0

REMARQUE:

G(CohUJI)=-G(Actionsext.gauche/I)=~{i}=+G(Actionsext.droite/II)=G}

d'o:[

-> --> -> -> --->-+N=-A . N=B et !fG=O

48.3 ContraintesdansunesectiondroiteLescontraintesa;;dansunesectiondroite(S)sontnormales lasectionetuniformmentrpartiesdanscettedernire.LavaleurdeaMenunpointMde(5)est:

NaM=S

N >0; aM>O

aM: contraintenormaleenM(MPa)*.

N :effortnormal(N).

S :airedelasectiondroitesoumiselatraction(mm2).

* 1 MPa = 1 N/mm2.

SOLIDE IDAL

1 Ligne moyenne

ji

Rsultantesdes actionsextrieures

appliquessur la poutreAB

ISOLEMENT D'UNE PARTIE (1)

Rsultantedes forces de cohsion

de II/I

Force lmentairede cohsion II/I

- - +YA YA Mun

x

Section droite(S)

Force gauche s'exerantsur (1)

91,0(0, x:y, i) li la poutre~R,(G,X.y; z) li la section (S)

x

Nx

(II)

RPARTITION DES CONTRAINTES DANS (S)

Section (S)soumise la traction

y

-N A-0z ~-~

x

Rpartitionuniformedes contraintes

aM

x

48.4 tudedesdformations48.41EssaidetractionLamachinedetractionpermetd'appliquertrsprogressivement

etsanschocuneffortdetractionF,afind'tudierlesallonge-

mentsL1t del'prouvette:

. Porterenordonnelavaleurdel'effortunitaireR (oucontraintedetraction)enmgapascal(MPa)*.

[

0"= LSo

F :effortdetraction(enN),

50 :sectioninitialedel'prouvette(enmm2).

. Porterenabscisselavaleurdel'allongementunitaireEx:

]

/).1

Ex = fa

L1t :allongementdel'prouvette(enmm)(fig.2),

ta : longueurinitialedel'prouvette(enmm).

Lacourbeobtenue(J={(Ex)estappele:courbedetraction,

elleestpratiquementindpendantedesdimensionsderfrence

del'prouvette.Ellefaitapparatredeuxzones:

. lazoneDA: l'prouvetteaunedformationlastique.l'allongement unitaire est proportionnel l'effort

appliqu.Dsque(J estsupprim,l'prouvettereprendsa

longueurinitiale10.

Onrestedanscettezonetantque(J Re: l'prouvettea unedformation

plastiqueoupermanente.L'allongementunitairen'estplus

proportionnell'effortunitaireappliqu.Lorsque(Jestsuppri-

m,l'prouvettenereprendpassalongueurfa.

DeA C : l'prouvettes'allongeetrestecylindrique.

DeC D : l'allongementcontinuedecrotreavecuneffortF2

moinsimportant.Ilapparatuntranglement,oustriction,qui

s'accentuejusqu'laruptureenD.

Rr est la rsistance la rupturedu matriau(Mpa).

Aprsrupture,l'prouvettea pourlongueurlu. Ondfinitl'allongementen%.

A%= tu- 10x 100;pourlesaciers0%1

Palierde plasticit

Domainede dformation

lastique -Domainede dformation

permanente

...

Aire de la

. De0 A:if if:**/).ti

-~ ~

. DeC 0 :F3

136

48.42 Dformationd'unepoutredansledomainelastique

48.421DformationlongitudinaleLacontrainte(J = !! varielinairementenfonctiondel'allon-

SogementunitaireBxpourlesegmentdedroiteOA.C'estlaloide

Hooke(voirfig.1).

N 4fu= E.EX ; -= E.-

So fo

(]' : contraintenormaledetraction(MPa).

E :moduled'lasticitlongitudinaloud'Young(MPa).

Bx :allongementunitaire(sansdimension).

N :effortnormal(N).Sa :sectiondroiteinitialesoumiselatraction(mm2).U :allongementdelapoutre(mm).ta :longueurinitialedelapoutre(mm).L'allongementUs'crit:

N.fO

41!=u-;48.422 DformationtransversaleLorsqueunepoutres'allongedansladirectionlongitudinale

sousl'effetdeN,onobserveunecontractiondansladirection

transversaleperpendiculaire.Oncritque:

Ey=- V.Ex

Bx: allongementunitaireselon(0,x) (sansunit).

8y:contractionselon(0,y) (ouraccourcissement),v :coefficientdePoisson.

Selonlesmatriaux:0,1.sv .s0,5.Pourlesaciers:v =0,3.

CDDFORMATION LONGITUDINALE(J =E .E:x

E",200 000 MPa,

Nu=-Sa

Re

Domainelastiquedescurit(voir 48.5)

A

RPe

M8x=~

Domainelastiqueutilis

N1

U1 =Sa

0

0 DFORMATION TRANSVERSALEY ~ ~ Poutreaprs

~dformation-N

xN

A tat1

[

- t1- ta ;8x - ta

- h1-ho1

8y - ho

* Voir autresvaleursG.D.chapitre56.

48. 43 VALEURS DES CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES MTAUX ET PLASTIQUES'"Dnominationet symbole Remin(MPa) E(MPa) Dnominationetsymbole Rmin(MPa) E(MPa)

FontegraphitelamellaireFGl2oo 200 80000 Acrylonitrite-butadine-stryrne(ABS) 17 700

FDntegraphitesphrodalFGS600.3 370 170000 Polyamidetype6-6(PA6/6) 49 1830

Aciernonalli(E24)S235 215 210000 Polycarbonate(PC) 56 2450

Acieralli(25CD4)25CrMo4 700 210000 Polyltralluorothylne(PTFE) 11 400

Bronze:CuSn8P 390 100000 Polystyrne(PS) 35 2800

Cupro-aluminiumCuAI10NiSFe4 250 122500 Polychloruredevinyle(rigide)PVCU 35 2450

DuraluminAW-2017(AICu4MgSi) 240 72500 Phnoplaste(baklite)PF21 25 7000

AlpaxAS13 80 74500 poxyde(araldite) 28 2450

48.5 ConditiondersistancePourdesraisonsdescurit,lacontraintenormaledoitrester

infrieurelarsistancepratique l'extensionRpe(voirfig.1,pageprcdente).Laconditiondersistanceest:

INI1(wl ~ Rpe ou - ~ Rpe

S

OndfinitRpe(MPa)parlequotientsuivant:

[

ReRpe = S

Re:rsistancelastiquel'extension(MPa),

s :coefficientdescurit(sansunit).

48.6 ConditiondedfonnationPourdesraisonsfonctionnelles(problmesd'alignementd'appuis,cahiersdescharges...),ilestparfoisimportantdelimi-terl'allongement.Ildoitresterinfrieurunevaleurlimite:~trim'

1 1

INI./oLI.1 ~ LI.1 lim ou - ~ LI.1 limE.S

48.7 Gomtrienonparfaite*Silesolideprsentedesvariationsbrusquesdesection,dansunezoneprochede.cesvariations,larpartitiondescontraintesn'estplusuniforme.Il y a concentrationdecontrainte.Lacontraintemaximaleest:

lalmax=Kt.lalnom; 1

138

48.8 COEFFICIENTS DE CONCENTRATION DE CONTRAINTE Kt *Arbre de section circulaire paul

r

N ~~~

-N

"0

Q

lalmax = Kt lanoml

INIlanom1 = S s = nd24

Kt

2,6

2,2

1,8

0(J= 1,5

LJ~.+.-:~t---i--1,05'~ 102

1o1 1 1. 1 l '", ''0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 L

d

Exemple: ~ =0,125; ~ =1,05; Kt=1,4

1,4

Arbrede sectioncirculaireavecgorge

Q r

N

-NU~"0

lalmax= Kt lanoml

INIlanoml= S

s = nd24

Kt

3,0

2,6

2,2

1,8

1,4

101'0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 r

(J

Exemple: ~ =0,125; ~ = 1,05; Kt= 1,7

Plaqueplaneavecchangementdesection

i.~-~j..'..' ' ~-7CJ : - amaxN - -N~

s.. ~.s:::

lalmax= Kt lanoml

INIlanoml= S S=h. e

*D'aprsCETIM.

Kt

3,0

2,6

2,2 Hfi = 1,50

~t---'~1,05

1TtI--;1,020,15 0,20 0,25 0,30 L

h

=0,125;~ =1,05;Kt=1,4

1,8

1,4

101'0 0,05 0,10

.LExemple. h

139

Plaqueplaneavecdeuxsaignessur les bords

~r e

C

;r ... ::,.~ ':. :.:-N '6.0

kylmax = Kt 100nomi

INI100nomi=S S= h.e

Kt

3,0

2,6,..

2,2

1,8

ti =3h

!~~~_1,2

~,~ t-"-r-rr-: .. 1 ""I~'0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 L

h

Exemple: fi = 0,125; ~ =1,05; Kt= 1,8

Plaqueplane perced'untrousur l'axede symtrielongitudinal

~~~1f

laimax = Kt IGnom1

INI100lnom=S S = (H - d) e

Kt3,0

2,8

dH

2,6

2,4

2,2

2,00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Exemple: *=0,2 ; Kt=2,5

Plaqueplaneperced'untrou uneextrmit

~:r:1 1. ~I -- \:)J, ."" L-N -N"2 t2::::J "2

41

Er N):. . 10" 1max = Kt 100nomi- ININ 10"1 = - S = (t - d) e

nom S

Kt

11

0,5

9

7fj =0,35t

5

3

10 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Exemple: ~ =0,35; ~ = 1,0 ; Kt=3

dt

140

48.9 Exemples48.91 Vrificationd'untirantUnprofilIPN,sertdecheminderoulementpourunpalan.Ilest

suspendupar3tirantsde0 10mmetdelongueur400mm.

CestirantssontenacierdersistancelastiqueRe=240MPa,

demoduled'Young:E=2.105MPa.Lecoefficientdescuri-

test:s=8(appareildelevage,voirtableau 48.5).Letirantle

pluschargsupporteunechargeverticalede600N.L'allon-

gementnedoitpasdpasser0,5mm.

10Vrifierquecetirantpeutsupportercettechargedansdesconditionssatisfaisantesdescurit.

20Vrifierquel'allongementresteacceptable.

RPONSE:

Lecalculsefaitselonlamthodedfinie lapagesuivante.1estunepoutresoumisedeuxrsultantesopposesA; etif";,: (sollicitationdetraction).10Vrificationdelarsistancelatraction:

ZONE1:SOLlOEIDAL: NLacontraintenominaleest:1 (j noml=yL'effortnormalest:IINII=1If!;11=600N

. Calculerlasurfacesoumiselatractionetlacontrainte:S=11:d2=11:X 102=7854mm2

4 4 '

d'ou' .1

1= 600 =7 64 MPa

. nom 78,54 '. Calculerlarsistancepratique l'extension,Rpe:

Rpe=Re=240 Rpe=30MPa, s 8. Ecrirelaconditiondersistance:

1 noml""Rpe 7,64dODanslazone1,letirantconvient.

ZONE2 : SOLlOE REL:

. Calculerlasurfacesoumiselatraction:d3=d-1,2268p; p=1,5 (p=pas)*

11:x8,1S2d3=8,15mm;S1- - 52,3mm24

. Calculerlacontraintenominaledanslazone2 :

1noml= 600 =1147 MPa .52,3 '

Laconcentrationdecontrainteaufonddufiletest:Kt""2,5(voir48.7).. Calculer:IImax=Kt.1nam1

IImax= 2,5 x 11,47

Jl max=28,68 MPa .

. VoirG.D. 30.31.

SCHMA DE L'INSTALLATION

Tirantde suspension1

Palan lectrique

TIRANT 1 ISOL

A3/1

]Zone2Solide rel

00'=tIl

"'" d= 10Zone 1Solide idal

Changementde diamtre

d aufiletage

Sectj~n \soumise latraction

. crirelaconditiondersistance:1(TI max ~ Rpe 28,8dO.

Danslazone2,letirantconvient.

2Calculdevrification ladformation:INI.to

Allongementd'aprs48.42:1ui = - ,E.50

600x 4001ul = 5 =0,015;0,015

142

Ondmontreaussique:

[

1 O"z 1 =Pefl' JL4e

Onconstateque(J'xestledoublede(J'z'nousnecalculeronspar

lasuiteque(J'x.

2Calculerl'paisseurdutube:. Calculerlacontraintedterminante:

d 15x10o"x=PeU.- ; O"x=-

2e 2xe. CalculerRpe:

Rf1J =280 =56MPa5. crirela conditiondersistancepourunsolideparfait:(zoneloignedesextrmitsdutubeetdesesliaisons

aveclessolidesvoisins.Coefficientd'assemblagegal1).15x 10

(J'x:;sRpe;- :;S 562xe

e;;; 15x10; e;;;1,33mm2x56

Onadopte:e: 1,5mm.

. Vrifierleshypothsesdemodlisation:Uneenveloppeestconsidrecommetantmincesi lacondition:IL>20estrespecte.e

Calculer:r=IL; r=J.Q... =6,6.Conditionnonvrifie.C'estl e, ' 15uneenveoppeepalsse.'

Pouruncalculplusprcis,il fautchangerlamodlisationgo-

mtrique.Pourlesenveloppespaisses:

d'o:

2 20 j+D e Di

Peff .- :;S Rpe avec -

Delammefaon,larsultanteR desforcesdepressionest:

-> d2IIRII=Pefl.IL-4

L'paisseur:epouruneenveloppesphriquerelleest:

Pefl.d +ce ;. 4a. Rpe (voirtableau)

ENVELOPPES MINCES RELLES SOUMISES

UNE PRESSION INTRIEURE

Assemblageparsoudure

Facesdecontrle

Peff.d de;. -2 R +c (avece>20)a. peC:surpaisseurdecorrosionetd'irrgularit(13 mm)a :coefficientd'assemblagelilasolutiontechnologique

Valeursducoefficientd'assemblage:a

0,39 SDudurenDncDntrlable l'envers.

Rivetagesurunseulrang.

0,6 SDudurecDntrlablesurlesdeuxlacespendant

l'excutiDn.

Rivetagesurdeuxrangs.

0,75 SDudurecDntrlablesurlesdeuxlacesaprsexcutiDn.

0,84 RivetageavectrDispaisseursdetleetquatre

rangesderivets.

0,9 SDudurecDntrleauxraYDnsXetrecuit.

RservDir,tube,sansjDint.

ISOLEMENT D'UNE PARTIE (1)D'UNE ENVELOPPESPHRIQUE

z

Partie(1)

IR=Ld~1R: Rsultantedesforces

Cidues lapressioneffective

48.10 Les composites

Cesontdessolidesrelscarlesmatriauxquilescomposent

nesontni homognes,ni isotropes(leurrsistanceet leur

dformationvarientselonladirectiondesefforts)(voirfig.2).

Ilssontconstitusdedeuxlments*(voirfig.1).

. Lerenfort(gnralementdesfibres)quisupportentl'essentieldesefforts.

. Lamatricequiassurelelienentrelesfibres.

Lesmatriauxcompositesunidirectionnelssontcaractrisspar

desfibresdisposesparalllementlesunesparrapportaux

autres.La rsistance la tractionestmaximumlorsquela

directiondeseffortsestseloncellesdesfibres.Danscecas,en

supposantquel'adhsionfibre-matriceestbonne,l'allongement

unitairedechaquecomposantestidentique.Lachargeapplique

estpartageentrelesfibresetlamatrice.Lacontrainteerc

(enMPa)surlacompositeest:

uc=u,.V,+um(1-V,)

Uf :contraintedanslesfibres(Mpa).Vf :tauxdevolumeenfibres(en%).(J'm:contraintedanslamatrice(MPa).Lemoduled'YoungEc(Mpa)estdonnparlarelation:

Ec=E,.V,+Em(1- V,)

Ef :moduled'Youngdesfibres(Mpa).

Vf :tauxdevolumeenfibres(en%).

Em :moduled'Youngdelamatrice(MPa).

REMARQUE:

Si lachargeestappliqueobliquementparrapportauxfibres,

larsistancechuterapidement.

143

CD COMPOSITE UNIDIRECTIONNEL FIBRES LONGUESN

Fibres

(ex. : Verre)

Matrice

(ex. : poxy)

Rsultantedes

effortsappliqus

Exempl~$d~.~tlxXilevlurneenfibres: V,

Verre- poxy 60 %

Verre - Polyamide6 - 6 30 %

0 ORIENTATION CHARGE - FIBRENi *fJ Rr A (MPa)

1500

1000

500

'P

Orientationdes filtres 30 60 90

* Voir GD. chapitre 58 pour complments d'information.

CARACTERISTIQUES COMPARES DES ACIERS, ALLIAGES ET COMPOSITES

Rf E A T V, Rf E A T V,Nature (MPa) (MPa) (%) limite (%) Nature (MPa) (MPa) (%) lirnite (%)

rC) (OC)

Acier35CrMo4 1000 200000 11 600 - AluminiumAU4G 400 72000 610 200 -

Polyamide6-6 49 2000 80 - SiC-Aluminium 700 105000 0,65 400 35

Verre-Polyamide160 10000 1,5 120 30 Bore"Utane(TA6.V)1000 250000 0,4 650 40

Verre-poxy 2000 53000 3,5 160 60 Crborie.Carbone50-180 20000 3,3 2500 30

Kevlar-poxy 1600 75000 2 160 60Al20a.Verre 220 150000 0,2 550 30(Pyrex)

Avec:Rf:rsistanceminlarupture-E:moduled'Young'A: allongementen%. T:tempraturelimite.

144

49 Compressionsimple

49.1 HypothsesLesolideestidal:matriauhomogne,isotrope,poutrerec-tiligneetdesectionconstante,deformevoisineducarr(b~ 1,5a).Lessectionscirculairesconviennentparfaitement.LalongueurLdoittrecompriseentre3et8foisladimensiontransversalelaplusfaiblepourviterlerisquedeflambage.

Lesactionsextrieuresdanslessectionsextrmessont

modlisablespardeuxrsultantesAet8,appliquesauxbary-centresdecessections,dirigesselonlalignemoyenne,vers

l'intrieurdelapoutre.

49.2 DfinitionUnepoutreestsollicitelacompressionsi,letorseurassoci

auxforcesdecohsiondelapartiedroite(II) surlapartiegauche(1)delapoutrepeutserduireenG,barycentredela

sectiondroite(S),unersultanteperpendiculaire (S)

dirigeversl'intrieurdelamatire,telleque:

{

-}

Ni=O;Ty=O;Tz=ON Dans

G(COhII/I}~ii m(G,X;y,-Z):(N

49.5 ConditiondersistancePourdesraisonsdescurit,lacontraintenormaledoitrester

infrieurelarsistancepratiquelacompressionRpc.

OndfinitRpcparlerapportsuivant:

[

Rpc = Recs

Rec: rsistancelastiquelacompression(MPa).s :coefficientdescurit(sansunit).

Laconditiondersistanceest:

lai,,; Rpc l!1 ,,; RpcS

. Lesaciersdouxetmi-dursontlammersistancelastiqueReentractionetencompression.*

. Lebtonetlafonteontdesrsistanceslastiquestrsdiff-rentesentractionetencompression,ainsiquetouslesmat-

riauxnonhomognesetnonisotropes.

. Si lepoidsdelapoutreverticalen'estpasngligeable(cblesd'ascenseursdegrandsimmeubles,pilesdeponts,che-

minesd'usine...),laconditiondersistanceest:

[

INI IPI-+- ,,; RpcS S

P: poidstotaldelapoutre(N).

49.6 SolidesrelsCesontdessolidesquis'cartentdesconditionsidales.

SECTIONSBRUSQUEMENTVARIABLES:

Lasectionestdeformeprocheducarrouducercle,commeen

traction,dansleszonesdechangementdesection,larpartition

descontraintesn'estplusuniforme.Cetteconcentrationde

contrainteestpeudangereuseencompression;elleest,

engnral,nglige.

SECTIONSTRSPLATES:

Danslecasd'unepoutreplate(parexmpleb=10a),si

3b

146

49.8 Mthodesdecalculsentraction-compression

Ilexistedeuxmthodesdecalculsentractionoucompression.

. Lecalculdevrification:leseffortssontconnus,l'organeest

dtermin(dimensions,matriauxconnus)etonvrifies'ilconvient.

Sicelan'estpaslecas,oncalculedenouvellesdimensions,et/ouon

changedematriau.

CALCULDEVRIFICATION(voir exemple 48.91) :

. Lecalculdedtermination:leseffortssontconnus(par.exemple),lematriauestdterminetoncalculelesdimensions.

Danslesdeuxcas,onpeutfairesoituncalculdersistance(contraintesdterminantes),soituncalculde dformation(dformationsdterminantes)soitlesdeuxtypesdecalcul.

L'effortappliqusurl'organeisol:INI.Lematriau(doncReouRec).Lecoefficientdescurit(doncRpeouRpc),Lesdimensionstransversales(doncS)etlongitudinales(ta)

1Typedecalcul?

Fairelebilandesdonnes:

[

.Onconnat:.

.

Calculdersistance:calculerlaMI = INIS

Calculdedformation:calculer1 L1t 1 = INI.taE.S

Conditiondersistancerespecte

laMI~Rpc

Conditiondedformationrespecte

Illt 1~ lllim

Choisirdenouvellesdimensionset/ouunnouveaumatriau.Recommencerlecalculdevrification.

CALCULDEDTERMINATION(voir exemple 48.92) :

IMI ,s;Rpc

Onconnat: Onconnat:

. lesdimensions

Onconnat:

.L'effort1NI

. Lematriau.L'effortINI. Lesdimensions transversales

. Lematriau(HpeouRpc) transversales

Calcul de dformation:1'11,s;1'11lim ;1NI. 1 ,s;1'11limE.50

Onconnat: Onconnat: Onconnat:

. L'effort1N1 . L'effort1NI . Lesdimensions

. Lematriau. Lesdimensions transversales(moduleE) transversales . Lalongueur. Lalongueur . lalongueur . le matriau(E)et1'1tlim etl'1tlim et1'1tlim

Oncalcule; Oncalcule; Oncalcule: Oncalcule: Oncalcule;,[

. Re(ouRec) .la forcemaxque . Lesdimensions . Lemodule . laforcemaxquetransversales puisHpe(ouHpc! peutsupporterl'organetransversales d'YoungE peutsupporterl'organe

lM INI.toE?; 1NI.!o,s;Rpe lM I.NI -,s;l'1tlim tJ.tlim.E.5S E.5

. '.. lM Rpe ?; ---.. ,s; Hp. 5.1'1tlim INmaxl,s;S S

, S?;INmaxl ,s;Hp.. S S?; INI. to toHp. Onchoisitlematriau Onchoisitlematriau

O'Odoubeth E.1'1tlim

50 Cisaillementsimple

50.1 HypothsesLesolideestidal:matriauhomogne,isotrope,poutrerec-tilignedesectionconstante,avecplan(n)desymtrievertical.

LesactionsextrieuressontmodlisablesenAetB,situs

dans(n),pardeuxrsultantesverticalesfietB, directementopposes,situesdansleplandecisaillement(P)perpendicu-

lairelalignemoyenne.

{

\ 1s\{A1/d= A 1; {B1/d=s\l

50.2 DfinitionUnepoutreestsolliciteaucisaillementsiletorseurassociaux

forcesdecohsiondelapartiedroite(II)surlapartiegauche(1)dela poutrepeutse rduireenG,barycentredela sectiondroite(S),unersultantesituedansleplan(S),telleque:

{f}

Dans N= 0; Ty0/=0; Tz0/=0G(CohulI)= ~ Cil(G

_x Y--z)'GO' "" , ,

#1=0, #fGY=0 ,#fGz=0

REMARQUES:

~ICOhll/')=,(Actionsex'gauche/ri=~@1f=A=+G(Actionsext.droite/II)=G{~}#G=0. Danslaralit,A s'exerce]unedistanceM, trspetite,duplan(P)danslequelsesitueB etunfaiblemomentdeflexion,

selon (G,z) , apparat(majorerlecoefficientdescurit).Algbriquement:# f Gz =-II Ail.Il x.

50.3 ContraintesdansunesectiondroiteLescontraintestangentielles~ sontsensiblementuniform-mentrpartiesdansunesectiondroite.Ondfinitunecontrainte

moyenneTmoygaleTMsupposeuniformmentrpartie:

Tmoy =Ls

Tmoy:contraintetangentiellemoyenne(MPa)*.

T :efforttangentiel(outranchant)(N).S :sectiondroitesoumiseaucisaillement(mm2).

* 1 MPa=1 N/mm2

147

SOLIDE IDAL

Ligne

moyenne

ISOLEMENT D'UNE PARTIE GAUCHE (1)

Rsultantedes forces de cohsion(II)/(I)

Section de la coupure(8) .v+-/Ty

A

--z

x

(II)

x A

Rsultantedes forces " gauche"/(I)

CAS RELLlx

0

Rsultantedes

forces extJ(I) APartie (1) Partie(II)

CONTRAINTES DANS UNE SECTION

1ITM';I1=IITM)= =IIT;;;;II=CteSection soumiseau cisaillement

---

x

x

ContraintetangentielleenM3

148

50.4 tude desdformations

50.41EssaidecisaillementL'essaidecisaillementfaitapparatre,commepourlatraction,

deuxzones:

- LazoneOAJedformationlastiqueoudomainelastique(lachargeF estproportionnelleauglissementtransversalAydessectionsdroites5/50);

- LazoneABCdedformationpermanente,oudomaine

plastique.

50.42 Dformationd'unepoutredansledomainelastique

Ondfinitleglissementrelatifr parlerapport:

[

Ayr = Ax

Ay: glissementtransversalentredeuxsections(5)et(50)(mm).

A x: distanceentredeuxsections(5)et(50)(mm).

LaloideHooketablitlaproportionnalitentrelescontraintes

tangentiellesetleglissementrelatif:

Tmoy= G.r

!mot contraintetangentiellemoyenne(MPa)**.G :moduled'lasticittransversal(deCoulomb)(MPa).

r :glissementrelatif(sansunit).

Onpeutcrireaussi :

L = G. AyS Ax

T :forcetangentielle(N).

5 :airedelasectionsoumiseaucisaillement(mm2).

G :moduled'lasticittransversal(deCoulomb)(MPa).

Ay: glissementtransversalentre(5)et(50)(mm).

Ax: distanceentre(5)et(50)(mm).

G,aummetitrequeE,estuneconstantecaractristiquedu

matriau,dtermineparessais.

COURBE CARACTRISTIQUE DE L'ESSAI

Support mobile

prouvette1 IIFIIA(N)Fmax

B

:C1111111111111

IAy----

(mm)

Ax

~

0

Dformation

permanente

DFORMATION D'UNE POUTRE

(S) : Section droiteavantdformation

(S') : Section droiteaprsdformation

A

,

~

Partie (I)

TAx

Glissementtransversalde SISo

Efforttangentielappliqusur (I)

1 Avec: Ax trs faible; fffGz ngligeable1

, Liretau. " 1MPa=1N/mm2

Matriau Plexiglass Verre Alpax Laiton Fontes Bronzes Aciers Acier

Duralumin ressort.

ValeurdeG11000 28000 32000 34000 40000 48000 80000 .84000

eQ(MPa)\

50.5 ConditiondersistancePourdesraisonsdescuritetd'incertitudesurleshypo-

thses(lecisaillementpurn'existepas),lacontraintetangentielledoitresterinfrieurelarsistancepratiqueaucisaillement(ou

auglissement).

Ondfinitlarsistancepratiqueauglissementparlequo-tientdelarsistancelastiqueparlecoefficientdescurits

(voirvaleursau48.5).

Reg

Rpg = S

Rpg:rsistancepratiqueauglissement(MPa).

Reg:rsistancelastiqueauglissement(Mpa).s :coefficientdescurit(sansunit).

Laconditiondersistances'crit:

1TIITmovl~ Rpg ou - ~ Rpg

S

50.6 Exemplesdecalculs

50.61 Dterminationdudiamtred'uncloucannelCTR 1

Unetle1estfixeausupport2paruncloucannel3.Laforce

F exercesurlatleestde4000N,dansunplanparalllesesfaces.Larsistancepratiqueauglissementducloucannel

estRpg=50MPa.

Calculerlediamtreducloucannel.

1 Modliserleseffortsetrechercherlasollicitation:

L'isolementducloumontrequ'ilestsoumis2forcesopposes

perpendiculaireslalignemoyenne.C'estducisaillement.

2Calculerla contrainte,crirela conditiondersistance:

ITI. . ITIl'fI=- , l'fI ~ Rpg, - ~ Rpg

(n~2) (n~2)3Calculerlediamtreminimalduclou:

d2 ;3 =.ilIln Rpg d;3 ~:~~g

d'o:d;3 4x 4000d ;310,09mm;prendred=12mm.nx50

149

ASSEMBLAGE PAR CLOU CANNEL

2 31

IIFII=4 OOON

ISOLEMENT DU CLOU CANNEL

Rsultantedes actionsde contactde 1/3

IIA1/311=IIFII /

Section circulairecisaille0 AB

Rsultantedes actions de contactde 2/3

ou efforttranchanten B

RELATION ENTRE LA RESISTANCE LASTIQUE

A LA TRACTION (Re)ET LA RESISTANCE LAS-

TIQUE AU CISAILLEMENT OU GLISSEMENT (Reg)

Matriaux Relation

Reg:::f(Rii)

Acierdoux(Re";270MPa)Rlig=0,5ReAlliagesd'aluminium

Aciersmi-dursReg=0,7Re

(320,,;Re";500MPa)

Aciersdurs(Re 600MPa) Reg=0,8ReFontes

RelationgnraleReg=1(Re)

ko ReReg=-. Re ko=-

1+ko RecRec:rsistancelastique lacompression

150

50.62 Vrificationd'unegoupilleLaliaisonenchapede2/3estraliseparunegoupille1 de

d=8mmdersistancepr~iqueaucisaillementRpg=24MPa,LachargeappliqueestIlFil=2000N,Vrifiersilediamtredelagoupilleconvient.

. Isolerla goupille1 : elleestsoumiseundoublecisaillement(fig,2)(deuxsectionscisailles),

. crirelaconditiondersistance:=>

211Fil

~ ,II Fil '1IITMII,,;;Rpg ,-,,;; Rpg, d~

2(nd2) V n.Rpg2sectionscisailies: 4

8~ /\ /2 x 2000;8~ 7,28;laconditiondersistanceestnx 24 vrifie,

50.63 Dterminationd'uneliaisoncolle

Dterminerlalongueurminimaleducylindredecollage!Itre1et2,sachantquesondiamtreest20mm,quelaforce F appli-

queest20000Netquelalimitelaruptureaucisaillementde

lacolleestRrg=15MPa*,. Rechercherlasollicitation:lefilmdecolleestsoumisdesforcesopposesquitendentfaireglisserlessectionscylindriqueslesunesparrapportauxautres,C'estducisaille-ment.

. CalculerlacontraintetangentiellellT;;yll.-> ->

1lT;;yl 1 JlflL Ilrll avecIlTII=11FilSn. d.t lim

. crirelaconditiondersistance:

IIT;;yll,,;; Rig

->

IlTli,,;; RIgd'o:

n.d. tllm

Lalongueurminimaledel'assemblagecollest:

tlimliTIl

n. d. Rig

Applicationnumrique:

tJ . >- 20000{mm~nx 20x 15

REMARQUE:

{min~ 21,2mm

. lasollicitationdecisaillementviennents'ajouterlarsistanceaupelage**quisollicitelesbordsdujointdecolleetlarsis-tanceauxagentschimiques.Ilyadonclieudesurdimensionnerlargementlersultatci-dessus(ex,:lemultiplierpar2),* 1 MPa=1 N/mm2. ** VoirG.D,chapitre29

CD LIAISON EN CHAPE 2/33 2

:tr F.-FEGou~ille1

CD DOUBLE CISAillEMENT DE 1Rsultantesdesactionsdecontactde2/1

-821

8

O2C

11

A3~1

c3~0

Rsultantesdes actionsde contactde 3/1

LIAISON DE 1 ET 2 PAR COLLAGE1

-F

2

F

J

'mifl?

ISOLEMENT DE l'ARBRE 1

Rsultantedes forces

lmentrairesde cohsion

't:JT3/1

E

"~H

APPLIGATION1 :

Dterminationd'uneliaisoncollesoumiseuncouple.

Lasolutioncolleoffreunealternativeintressantepourraliser

uneliaisonencastremententreunpignondentetsonarbre:

rductionducotdefabricationetdemontage,

Aprspolymrisation,la rsinetransmetle coupletoutenassurantladmontabilit

Toutefois,latempraturedefonctionnementdoitresterinfrieure150C,

DONNES:

Figureci-contre.CoupletransmettreCt= 8N.m,

PROBLME:

valuerlafaisabilitdecettesolution.

RSOLUTION:

. Oncalculelacontrainted'utilisationparlarelation:"W= "FT.f1.f2.'3.'4.f5

Chaquetermeserelveci-contre;onobtient:

Rsine638 : TFT= 2240MPa(effectuerdeuxcalculs).

Matriau: f1= 0,9(acieralli).

Jeu : f2= 1(016 H8/f8~jeumoyen= 0,043mm).

Rugosit: f3= 1(Ra= 1,6!Lm),

Temprature:f4= 0,8(t= 70C).

(L 12

)Forme: fs= 0,9 D= 16=0,75etD=16mm.OntrouveTW= 14,225,9MPa.

. CoupletransmissiblesansCOups:Co=Tw.s.f avec5=7T.D.L(surfacecolle).

CommeTW=14,225,9MPa,D=16mm,L=12mm;Co= 68,5125N.m,

NOTA:

Deschargesdynamiques,frquentes,conduisentminorerces

valeursenlesramenant,parexprience,33%environpourun

coupleet12%pourunarrachement.

Onendduitlecoupledynamiquetransmissible:

Cdynmin= 22,8N.m (scurits = 2i8 = 2,85).

NOTA:

Larsinesupporteuneffortd'arrachementN:

N= TW.7T.D.L.0,12= 14,2x 7Tx 16x 12x 0,12= 1028N.

* ConventiondepartenariatLOCTITE-DUCATIONNATIONALEsigneen1992.

** D'aprsfichetechniqueLOCTITE.

151

EMMANCHEMENT COLL

Tempraturede servicets = 70 C

L = 12,

Couple / /

R:~,Pignon 42 Cr Mo 4

016 H8/f8Coll Loctite*638

Arrachement~------..

Arbre C 35

Rsistanceaucisaillement'TfT **

Rsine polymrise 1 603 638

2240'TFT(MPa) 2032

FACTEURSCORRECTIFSAVEC LOCTITE* 638

Matriaux '1 Jeu(mm) '2Acier J . ]....0,08] 1Acieralli 0,9

10,080,15] 0,9Acierinox 0,5

Fontes 0,9 ]0,150,2] 0,8

AlliagesCu,Alu 0,5 10,20,25] 0,6

Revtementszingus, 0,45]0,250,3] 0,5cadmiss

Rugo