guide du calcul en mécanique 01
DESCRIPTION
Guide du calcul mécaniqueGuide du calcul mécaniqueTRANSCRIPT
-
~II;
&1il!
1\A{A 2/1 }=A A2/1 ;fiA2/1 /
SPhre-pianTl 1
fO 0\denormale(A,y)1
}v,=,:
0z Ty 0
\YA0fdansleplan(A,X,y)
..2 A x A 0 0 9t 1 Rz
Degrdelibert: Nbred'inc.stal.02
Pivotglissante=2 "........... ns=1 ...........
d'axe(A,x)
V A::Il Invariantscalaire*nul:J =O.
dansleplan letorseurserduitunglisseurenA'.
(A,X,y)Tl 1
" 0\Ty 0
} =v,;p . Y,1Linairerectiligne A 0 09tdenormale(A,y) 1 Rzdansleplan
A
(A,X,y) 2 x 02Nombred'inconnuesslatiquesns=1.
-
9.5
29
liaison Schmatisation
CAS DE LIAISONS NE PERMETTANT AUCUN EFFORT
Translation A{Am}Reprsentationdutorseur
A {A 211}=) A;' ;l/A2/~}
Appuiplan
denormale(A,z)perpendiculaire
ailplan(A,X,y)
1 yt-rD, Z~
~x4Jt;;Linairerectiligne
selon (A,y)dllsleplan
(A,x,y)
Sphre-plan
depormale(A,z)perpendiculaire
ailplan (A,X,y) 1 ~A,:2 1 0z
9.6 ExempleConsidronslemontagedefraisageenphasedeserrage,rgl
pourunesriedepices,
HYPOTHSES:
Pasdefrottementde9aveclesautrespices,
Effortduressort5 nglig,
. Liaison6-9enA :pivotenA (9,3)
j XA 0 \ " , -A(A6/9)= ,YA 0 j
seredultaugllsseurA6/9A\ 0 0 fR-
. Liaison11-9enB: appui-plan( 9,2)
B(B 11/9)= (~B ~ j\ rductibleunglisseurB11/9B\ 0 LA fR-CeglisseurpasseparunpointB'dduireultrieurementparl'isolementde11,
j 0 0 \B,(81119) = ,YB 0 jB'\ 0 0 fR-
. Liaison9-PenN: linairerectiligne(9.4)
N(NP/9)= (~A ~ j\ serduitauglisseurNP/9N\ 0 0 fR-
Rotation
Tx
Rz
Ty
Yf 0z
~Degrdelibert:
e=3Nbred'ine.stal.
ns=0
Laliaisonnepeuttransmellreaucuneffortselonceplan:onpeutdoncconsidrerqu'ellen'existepas(solides1et2indpendants),
MONTAGE DE FRAISAGE ( 5.31)EN PHASE D'ABLOCAGE
Commande"" YI ~:x(6)1-
MODLISATION DES A.M. SUR (9)
YAAS/9 B11I9= YB.Y N P/9= YN.Y
A XA B'
N
-
30
Cinmatiquedesliaisonsparfaitesdansl'espace
10
Encinmatique,uneliaisonestparfaitesilessurfacesdeliaisonsontgomtriquementparfaites,indformablesetlesajustementssansjeu.
. Lescomposantesdelavitesseangulaire[11/2 rsultantedutorseurcinmatique,sontnullessurlesaxes(A,x) et(A,y)
autourdesquelslarotationde1parrapport2estimpossible(fig.2)
. LescomposantesdelavitesselinaireVAE1/2momentdutorseurcinmatique,sontnullessurl'axe(A,z) selonlequel
latranslationde1/2estimpossible(fig.2).
DMARCHE:
OnidentifielescomposantesnullesdutorseurcinmatiqueA{8m}danslereprelocal(A,x, y, z) enrespectantlesdeuxtapessuivantes:
. LescomposantesnullesdeDl/2 sedduisentdesimpossi-bilitsderotationde112selonlestroisaxes.
. LescomposantesnullesdeVAE1/2sedduisentdesimpossi-bilitsdetranslationde1/2selonlestroisaxes.
CDChoisirlereprelocal91(A,x, y, z)
. A: centregomtriquedelaliaison*.
. (A,X), (A,y) dansleplann.
. (A,z) normalauplann.
Celledmarcheestcommunetouteslesliaisonsci-dessous.
Liaison Schmatisation Rotation
Encastrement
oufixe
$R..fA,X,y,z)quelconque** *2 1x A y
~YrLIZ~i
~~z2A ~x y
Rx
Ry
Rz
Rx
RyPivot
Decentre:A
D'axe:(A,z)Rz
Glissire
Decentre:*A
D'axe:(A,x)
Rx
Ry
Rz
* Cas le plus gnral. " A estsouventsitudanslepland'encastrement.
@ Identifierlaliaison
Liaison 1 - 2 :z
1 2
@ Identifierlescomposantesnulles
. (A,x) impossible:
. (A,y) impossible:
. (A,z) possible:
. (A,x) possible:
. (A,y) possible:
. (A,z) impossible:
@ crireletOrseurcinmatique
Rotation
selon:
Translationselon:
Rx=O::::} Cx=ORy=O ::::}Cy=ORz=1 ::::}Cz*O
Tx= 1 ::::}Vx * 0
Ty=1 ::::}Vy* 0Tz= 0 ::::}Vz = 0
~ ~
1
0 vx
)A{~1/2}= A{D1/2 VAE1/2}= YA Vy
A Cz 0 (x,n)
A{t'ill
D t fO~ ~Al~
0
0
ne=O***
(
0 \A ~Z ~ 1ER
0
0
ne=1
0 (
0 Vx\0 0AO 0 1,.;
Translation ReprsentationdeA{t'i1t
0\l
,
0 9t 0
0
0Tx
Ty
Tz
0
0
Tx
Ty
Tz0
0
0Ty
Tz
ne=1
*** nG' nombred'inconnuescinmatiques.
-
31
Liaison Schmatisation Rotation A{1t1/2} Translation
Rx 1[(Ox vx'Hlicodale 1
Ry 0
Al ]CentreAAxe(A,x) Rz
0A
x Tx=k . Rx y (;)x=;Lvx**
RxPivotglissant
Ii 1 A YRy 1
0CentreA
Axe(A,x) Rz0
Sphriquedoigt Rx 0 l' 0'0
CentreARy 1 0
Al::
0Axedoigt(A,z)
o]Rainuredans Rz 1x y(A,x,z) ne..2
Rx 0 [0 Vx'APPui-pIanRy 0
0
Vy]CentreA
)WzNormale(A, z) Rz1 0
yx 2
ne=3
Rx 1
.C'0'Rotuleou
Ry 1 Wy:]sphrique Rz 1 . A WzCentreA x y
ne=3
Linairerectiligne Rx1
lm, ",)CentreA Ry O . 0 VyNormale(A,z) A Rz 1 . A Wz 0Arte(A,x) x y
ne=4
Sphre-cylindre Rx1
[Wx
':'1(Linaireannulaire) Ry 1
l Wy1 CentreA
x A y Rz1 A Wz 0
Axe(A,x)ne=4
Rx 1 fWx vx'Sphre-planRy 1
tWy Vy]1(Ponctuelle)
Rz 1 il Wz 0! Normale(A,z)z A x
ne=5
.ne = nombred'inconnuescinmatiques.** = 8. 2p1Tavec8 = + 1 (filet droite),E = - 1 (filet gauche);p = pasgomtrique.
-
32
Il Cinmatiquedesliaisonsparfaitesdansleplan
Lorsqu'uneliaisonaunegomtrieprsentantunplandesymtrie,
lestorseursci~matiques(chapitre10)sesimplifient.
REMARQUES:
. Laliaisonencastrementadestorseurscinmatiquesnulsdans
touslesplans.
. Laliaisonhlicodalen'admetpasdeplandesymtrie.
. Lespossibilitsdemouvementdoiventconserverlecaractredelaliaison;parexemple,pourlalLaisonappui-plan(11.7),onne
peutpasconsidrerdevitesseVz ouderotations())xet())y'
Il.1
DMARCHE:
Aprsavoirdterminleplandesymtrie:
. Examinerlapossibilitderotationautourdel'axeperpendi-
culaireauplan.Sicetterotationestpossible,placerlaprojection
())correspondantedutauxderotation:a; ;sinoncettepro-jectionvautO.
. Examinerlespossibilitsdetranslationlelongdes~esduplan.Dansl'affirmative,crirelesprojectionsdeVAE1/2;
sinon,placerlesvaleursnulles.
. Lesautresprojectionssontnullessur(91)=(A, X,-p,2) .
LIAISON ENCASTREMENT
Plandesymtrie(A,ij)l Plandesymtrie(A,y,Z) Plandesymtrie(A,x,Z)
~Z2
) )
y; IRzlO
f"\\0 0
J
~0 1 Ty
) 0 !R
0 ITx IRxl 0
ne=0*
Il.2
"10 0JA \ 0 !R
1"1
.1:1
01Tx
0 ITyIRyl0
0 1Tz0 1Tz 0
ne=0 ne=0
Plandesymtrie(A,x';)
LIAISON PIVOT
Plandesymtrie(A,y,Z) Plandesymtrie(A,x,Z)
yi
Q1/2
1 0'21
x
(U1/2)(Chap.10)f0 0\1 0 0
f1111 0 1 Ty
ALoz 0 !R
01 TxlRxl 0
(--,A Q1/2 VAE1/2J Rz11ne=1,
* nc=nombred'inconnuescinmatiques;nc+ns=3 dansleplan;ns(chapitre9).
~Z A
0; ~r0\1 0 0
A\O of!R~OITZ
r 0\0 0f)0 !R
0
1
Ty1 Ry100 Tz
0 1Tx
nc=O nc=O
-
Il.3
1 z
x 2
(111/2)(Chap.10)
A(.Q1/; VAE1/2)
Il.4
2
(111/2)(Chap.10)
) .Q1/2 VAE1/2)
Il.5
2
(111/2) (Chap.10)- '= IRzio
) .Q1/2 VAE1/2)
LIAISON GLISSIRE
PlandeSY~~i~(A,~1):~~J~"Plandesy';tr";;'(A.Y,}f
33
piandesymtri;(.ii,x;;r.-
~VAE1/2 ~ ~'~:A~'~~
{: : \
1
~0 1 TyJRy1 0Jo 0 ffi,~OITzRzlO
{ 0/ Vx\
J: :1ffi,01Ty
1 1TxIRxl 0
{O Vx\0 0
1Jo 0 ffi,
ne= ne=0LIAISON HLICODALE
Auun
Danstouslesplansdesymtrieventuelled'unmcanisme,laliaisonhlicodalesecomportecommeunencastrement.
(Voirencastrement 11.1etliaisonhlicodalechapitre10.)
1 1Tx
01 Tz
LIAISON PIVOT GLISSANT
Plan desymtrie(AJ,y) "~I""pct~d~~ymtril'A,y,trr"pi~nd~Yh1i;i(..fJJ)
- VAE1/2A 1xA~ :,VA,"" ~ 1
.Q1/2 0:~1 1 J
{: :x\
1
~0 1 TyJo 0 ffi,
0-; 0;
{ Wx 0 \
\
0 0
A 0 .0L
11TxlRxl1
{O Vx\
.\: : J"
0ITyIRyl0
01Tz
ne=1
11Tx
01Tz
-
34
11.6
2
z
LIAISON SPHRIQUE DOIGT
Plandesymtrie(A,x,YJ 1 Plandesymtrie(A;y,z)
:l 0~ ~ YJ ~1/2~x z~
0-;
11.7
z
fWx 0 \0 0
/Jo 0 ffi,
LIAISON APPUI-PLAN
Plandesymtrie(A,"ij)I Plande~~V~!f.ie(A,y'zj
0-;
y VAE1/2
; VAE1/2
11.8
y
z 2
(1J1I2) (Chap.10 )1[21/2 VAE1/2 LI'Ale
f 0 0
\
0 Vy
A 0 O'ffi,
z
~
nc=1
LIAISON ROTULE OU SPHRIQUE
Plandesymtrie(A.x,y) 1 Plandesymtri
~~,40z[./1/20
x
Rll1
f: : \
J Wz 0 /ffi,01Ty
01TxlRxl1
nc=1
Wx 0 \0 0
AIO O/fit
nc=1
[./1/20
0-;
Plandesymtrie(A,x,1)
0 1Tl
[./1/2
~0 xA ~ 0;zf0 0\
Wy 0
0 0 Jfit ~0 1 TlA
01Tx
OlTylRyl1
nc=1
Plandesymtrie(A,4'z)
0; z
VAE1/2 -;
A
11TylRyl00 vx\0 0
/AIO 0 fit
1 1Tx
01Tz 0 1Tz
nc=1
Plandesymtrie(A,:K,l)
[21/20
\~x
Tz 0;1
f 0 0 \
\Wy 0/A 0 0 ffi,0 1Tx
OlTylRyl1 0 1Ty
0 1Tl
nc= 1
f 0 0 \ 0 1TxlRxl1
fo,,hap10 1 1 1 l 0 'i DIT,1[2 Rz 0 A 0 0
AI 1/2VAE1/2) fit,Ji .nc=0
/0 vx\ 1lTxlRxl0
10",1 (;hap.10)bllf21'IT,, RAI [21/2 VAE1/2) ziA Wz 0 ffi,'Jinc='3
-
Il.9
z
LIAISON LINAIRE RECTILIGNE
Plandesymtrie(A,x,y) 1 Plandesymfrie.(A,y,z)
~' i .;0 A -- -yVAE1/2 1 Q 1/2 VAE1/2
1
02 x
35
Plandesymtrie(fA,X,z)
~z
0y :. Ax-
VAE1/2
Il.10
z
:-$z
*=x~ ~ 0il,"0 Q 1/2 0 Y . 1 1
f 0 ve\\Wy 0
f\0 0 ~~OITIA
LIAISON SPHRE-CYLINDRE OU LINAIRE ANNULAIRE
Plandesymtrie(A,X,y) Plandesymtrie(A,y,z)
y
0 Q1/2 0;
Il.11
y
f Wx 0 \
): :tne=1
LIAISON SPHRE-PLAN OU PONCTUELLE
Plandesymtrie(A,x,y) 1 Plandesymtrie(A,y,Z) .
0; '\. fv~:AE1/2
;
0 vXl0 0
A' 0 0 f~ 0 1 Tl
1 1 Tx
ne=1
(A,X,z)
01TylRyl1
1 1 Tx
A
0 Q1/2 0 Q1/2
01 Tl
PIClQdesymtrie(A,X,z)
0y
:---B~"",Z0!2;;-~;
11Tx
01Tl
(191/2) (Chap.10)
1 0 v,\ r T, R, 1r 1 w, 0t 0 Vyf 1 Ty l 0 Vy) 11TylRyl0,- RI 1 A WI 0 A 0 O} 0 1TlAI Q1/2 VAE1/2)nc=3 1 ne=2
1 0 v,\ r T, R, 1r r 0 \ j r ! 0 v,1la:'(:haPI0) IR,I, ):; J TT, \: V'I TT, R, 1 \ ID, 0 JAI Q1/2 VAE1/2J A 0 0 Tl A 0 0
ne=3 1 l1e=2 1 ne=2
-
36
12Actionsdesliaisonsrelles
Uneliaisonrelleentre1et2estcaractrisepar:
. dessurfacesdontla gomtrieentredansunecertaine
tolrance(G.D.17),
. dessurfacesdformablesenfonctiondel'efforttransmis
(voirchapitres4555etchapitre35),
. descontactsavecfrottements(chapitre32),
. desjeuxfonctionnelspermettantl'assemblageetlefonc-tionnementdel'ensemble.
HYPOTHSES:
. Lagomtrietolrancedela liaisonpermetlammefonctiondeservicequela1iaisonparfaite,aufrottementprt
(parfoisrecherch).
. Lapressiondecontactenunpointnedpassepasunelimiteadmissiblepourlematriau,appelpressiondeHertz.
. Chacunedesliaisonstudiesdanscechapitrersulte
d'uneanalyseglobaledemcanisme;ellepeuttreralise
partirdeliaisonslmentaires(parexemple:uneliaisonpivot
peuttreconstruite l'aidededeuxroulemntsdontl'un,
arrtaxialement,secomporteenrotuleetl'autrelibreaxiale-
ment,secomporteenliaisonsphre-cylindre).
. Laliaisonesteffective(parexemple:unappuiponctuelestbilatralsouspeinededisparitiondelaliaison).
OMARCHE:
12.1 Liaisonencastrement
Cetteliaisonnepossdeaucundegrde libertet parconsquenta:
. sixdegrsdeliaisondansl'espace(chapitre7),
. troisdegrsdeliaisondansleplan( 9.1).EnunpointA'particulierd'unplandesymtrie,letorseurserduitunersultanteA; (9.1).
* J invariantscalaire(chapitre74)
EXEMPLES DE LIAISONS ENCASTREMENT
Par goujon(G.D.chapitre33)
Bloqu fondde filet
x
Par obstacle
Par soudage(G.D.chapitre27)
Cordon desoudure
z0
Goupillecannele
(G.D.x chapitre35)
ENCASTREMENT (MODLISATION SPATIALE)
}8Reprsentablepar
une rsultanteet un moment
Action mcaniquetransmissible
(Chapitre7)
q
1
{XA ~A
}'Ii (A2f1)'" . \YA MA.,.,. A ZA NA (;'y,z)
ENCASTREMENT (MODLISATION PLANE)
A"\
1
A? A
xAction mcanique
transmissible
( 9.1)
n un pointA
~{XA 0 \
particulier, i: /A2/1) = YA 0peutse modliserpar.,., \ A\ 0 NA J (;'y,z)une rsultante
IdentifierAnalyserlesmouvementsAjouterles
la liaisonf- quiapparatraientavecla composantes
liaisonparfaite(7.9) s'yopposant
-
12.2 LiaisonpivotrelleUnfrottementnonngligeableaffecteleseulmouvementrelatif
possible:larotationautourde(A}).Letorseurdeseffortstransmissibless'crit:
1 XA LA\{A2!1}H~ =\YA MAI avecNA oF 0A (x,y,z) lA NAA
12.21 Frottementradial seul*
INAI =INA11~1l1. V X2A +y2A. r
NA(N.mm); /11=tan'P(facteurdefrottement); r (mm)XAetYAennewtons(N).
REMARQUE:
Danslecasd'unesymtrieparrapport (A,x, :n , letorseur
serduitunersultante.A; passantparlepointdecontactthoriqueA'ettangenteaucerclederayonr sin'P(voir 33.2).
12.22Frottementaxialseul*Avecunehypothsedepressiondecontactuniforme:
2 R3-r3 R+rINAI=INA21=-.1l2.llAI.- =J1.2.llAI.-
3 R2-r2 2
NA(N.mm); /12=tan'P2(facteurdefrottement); lA (N);Retrenmillimtres(mm).
. Pressiondecontactsurl'paulement:p= lIAI - IZAI
n( R2- r2) 2nr(R- r)
12.23Frottementaxialetradial
NA=NA1+NA2 (algbriquement)
REMARQUES:
. Casd'unesurfaceconique(embrayages,limiteurs).Avecunehypothsedepressiondecontactuniforme:1 3
: INAI=~.~.llAI.R -r3 "'Il. Il AI. RH3 sine R2-r2 sine 2
NA(N.mm); /1: facteurdefrottement;lA (N); R,r (mm)8:demi-angleausommetducne.
. Poure=90,onretrouvel'expressionducoupledefrotte-mentsurunpaulement(12.22).
. Lesvaleursapprochesconcernentlescouronnesdefaiblelargeuroulescnesdefaiblelongueur.
* Voir chapitre 33.
37
COUPLE DE FROTTEMENT RADIAL
A2/1
Ajustementavecjeu
FROTTEMENT RADIAL ET SYMTRIE SELON (A, X,y)
r y0 [21/2
r .sinq;
Il 1=tanq; NA =IIA2/111.r . sinq;
FROTTEMENT AXIAL
00 =2R
7!Yx
0 d=2rSurfacede
contactentre(2)et(1)
FROTTEMENT SUR CNE D'APPUI
2
NA,;
-
38
12.3 LiaisonglissirerelleSelonlesactionsmcaniquesextrieuresquiluisontappliques
uneglissirepeutoccuperquatrepositionsdansleplandecesforces:
- contactsenA1et81:
- contactsenA2et82:
- contactsselonuneligneA281:
- contactsselonuneligneA182:
MTHODE:
1 Ngligertousfrottementsetdterminerlesensdesactions
mcaniquesl'aided'quationsdemomentsjudicieuses.
2 Endduirelespointsdecontactsdelaliaisonetfaireinter-
veniralorslefrottement(chap.32).
EXEMPLE:
Lepoussoir2 ci-contrereoituneactionmotrice/1/2'Il agitenJ surungaletmobilesansfrottementautourdesonaxe,li
unpoussoir4.CedernierreoituneffortrcepteurK514denormeinconnue.Lefacteurdefrottemententrelespoussoirs
2,4 etlebti0valantJ.L,dterminerlesactionsmcaniques
exercespar0sur2et4.
SOLUTION:
. Isoler2et4etplacerlesactionsmcaniquessansfrottement
selonlesvaleurspositivesdesaxes:
xA, XB sur2 et y c' Y0 sur4 .
. !/f(Fextd= 0=>XA>0=>contactenA1.!/ffJ (Fext/2)=0=>XB>0=>contacten81'
!/fy (Fext/4)=0=>y0< 0=>contacten2.
!/f8 (Fext/4)=O=>Yc>O=>contactenC1.
. Comptetenudelatendanceaudplacementprovoquepar
r;;; (quilibrestrictchap.32),placerlesnormalesauxcontactsdterminsetajouterlescomposantestangentiellescorrespon-dantes.
. Ladterminationexactesepoursuit partirdesactions
mcaniquescorrectesA;, ew;,c0/4et0; .
POSITIONS POSSIBLES D'UNE GLISSIRE
~~~1~~1
~~~~~
MONTAGE (/112" motrice)
/1/2
SANS FROTTEMENTS
/1/2
XB
AVEC FROTTEMENTS
i'f
'1/2
2
YLx
4
KS/4 ?
XA
tYc . YD021
J2/3
.--~
J2/3
-
12.4 LiaisonhlicodalerelleEnprsencedefrottements,lecoefficientdeproportionnalitk,telqueLA=k.xA(chapitre7),prenduneformediffrenteselonlesensdelachargeaxialeetletypedesurfacedeliaison
1Casolavisestsoumiseuneffortaxialetunmomentdemmesens
Lavisprogressedanslesensdelachargeaxiale.
LA =- XA'r.tan(0:-
-
40
12.5 LiaisonpivotglissantrelleUnfrottementnonngligeableengendreunefforts'opposantau
glissementselonl'axeetunmoments'opposant larotation
autourdecemmeaxe.Ilsdpendenttousdeuxdel'effortradial
Fr transmisparcetteliaison.
Letorseurdeseffortstransmissibless'crit:
IxA LA\A{A2/1}= YAMAA\ZA NAI
. EffortradialFr= yA.Y+l A.1.
. Facteurdefrottementf.1entre1 et2.
. RayonR oudiamtreDdu pivotglissant.
Alors:IlFrll= VY~+Z~=Fr (nombrearithmtique).
XA=+J1.Fr
Siv.:;.x0~->
SiVAE1/2=O
LA=+J1.Fr.R
siD;.x< 0
LA=-J1.FrR
siD;.x> 0
LA'" J1.FrR~ ->
SiQ1/2= 0
EXEMPLE:
Dansuneliaisonpivotglissantd'axe(A,x"j,leseffortsexercs
par2sur1ontpourvaleurs:
(A2/d={250~ -12~\ (forcesenN,\-1000 - 3001 momentsenN.mm).Rayondupivot:R=40mm.Facteurdefrottement:f.1=0,15.
Dterminerletorseur{Am}enAdanslescas:
a)vx=0,(aucunetendance)Wx>0;
b)Vx>0, Wx=0,(aucunetendance);
c)vx>Oetwx>O; d)vx>Oetwx
-
12.6 Liaisonappui-planrelleLetorseurdeseffortstransmissibles,tablichapitre7setrouve
modifiselonle mouvementexistantouquiapparatraitenl'absencedefroltements.
12.61 RsultantetransmissibleToutetentativedeglissementdansleplandecontactengendre
unersistancepassivequis'opposeceltetentative.
Choisirlereprelocaldefaoncequel'undesesaxes
indiquela normaleauplandecontactetundeuxime
axe,ladirectiondelatendanceauglissement.
12.62 MomenttransmissibleToutetentativederotationautourdel'axeperpendiculaireauplan
decontact,ajouteunmomentdersistanceaupivotement
proportionnell'effortnormal:NA=17. lA'
1],exprimen mtres,estle coefficientde rsistanceau
pivotement.
12.63 Exempled'applicationSoitdterminerl'actiondusupportsurlasemelled'unmoteur
lectrique.
Enrgimetabli,il fournitet reoitdesactionsmcaniquessursonarbre.
. Donnesethypothses:
Lapressionambianteagittoutautourdesdiversorganes;seseffetss'annulentdonc.
Le poidss'exprimesimplementau centrede gravitG.
Onconnatl'actionmcaniqueenB.
Onestimequelesvisouboulonsdefixationnedoiventexercer
quedesforcesdirigesselonz.
. SOLUTION:Leprincipefondamentaldelastatique( 31.5)permetd'crire:
Ilconvientdevrifier:
. Effortdeserrageminimal:
IxAI~ .ua.lIAI soitN ~ L-P-R.ua. 28conditiondeserrage:
INAI~ Tf.lzAI soitN~ b.F -P-R->->-> 1]
* P, R,Nsont lesnormesde P, R, N.
41
RSULTANTE TRANSMISSIBLE
Z=Z1
Tendanceaumouvement
de1/2
A2/1 =YA.Y; +ZA'Z avec YA,,;;tan a,ZAa ,,;;Ip (angle de frottement)
MOMENT TRANSMISSIBLE SUPPLMENTAIRE
Z 1
~il 1/2
;f{A2/1=NA.z avec1NA 1
-
42
12.7 LiaisonsphriquerelleLefrottementaffectelemouvementderotation.
Placerle reprelocalavecl'undesesaxesorientselon
l'axede rotationconcern( A, xparexemple).Touterotationautourdecetaxeengendreunmomentpropor-
tionnell'effortXAdirigseloncetaxeetaucoefficientdersis-tanceaupivotement(chapitre33).
[ !LA!==7).IXAI12.8 LiaisonlinairerectilignerelleSi lasurfacedecontactserduisait uneligne,lapression
p = FIS deviendraitinfinie.Lesmatriauxse dformentet
lecontactapparatselonunezonerectangulairedefaiblelargeur.
Cettepressionnedoitpasdpasserunelimiteadmissibledite
pressiondeHertz(47.23).
12.81 ForcetransmissibleOrienterlereprelocalavecunaxeselonlavitessedeglissement
oul'axelongitudinaldelazonedecontact.Onobtientlesrsultatsci-contrerespectantlesloisdufrottement(chapitre32).
12.82 Momenttransmissible. Lapetitesurfacedecontactcontrarielarotationautourde
(A, z). Celasetraduitparunmomentdersistanceau
roulementNAquis'ajoutel'ventuellecomposanteLA-
D'aprslechapitre35,onpeutnoter:
1 NA==:t i5. YA
NA:momentdersistanceauroulement(N.mm).8 :coefficientdersistanceauroulement(mm):signeselonrepre.
YA: effortnormalauplan.
. La petitesurfacedecontactcontrarieparfrottementtoutetentativedepivotementautourde(A,.Ji).IlenrsulteunmomentdersistanceaupivotementMAquis'ajouteauxautrescomposantes.D'aprslechapitre33,onpeutnoter:
MA ==:t 7) . YA
MA:momentdersistanceaupivotement(N.mm).
1] :coefficientdersistanceaupivotement(mm):signeselonrepre.
YA: effortnormalauplan(N).
. Voirexercice 35.3.
SPHRIQUE (OU ROTULE) RELLE
Z
ZA'Z
XA.X LA,X
2
AxedeIJvotement
LINAIRE RECTILIGNE RELLE- iY
x
z
FORCE TRANSMISSIBLE
Tendanceauglissementde1/2
r A2/1
}(A2/1) =\'#A2/1 (X.Y,z)A (XA2/1
)avec A2/1 YA2/1
ZA2/1
XA =IITII. cos e=IIA2/111.sina. cose
YA=IINII =IIA2/111.cos a
ZA =IITII.sin e =IIA2/111.sin a. sine
e =constante;a ~qJ: angledefrottement
MOMENT TRANSMISSIBLE
{
A2/1
}(A2/1 ) = '#A2/1
avec
- LA (Chap.7)'#A2/11 MA = 7) . YA
NA =8 . YA
-
12.9 Liaisonsphre-cylindre*relleSi lasurfacedecontactserduisaituneligne,lapressionp =FISdeviendraitinfinie.Lesmatriauxsedformentetlecontactapparatselonunebandecirculairedefaiblelargeur.
12.91ForcestransmissiblesDanslecasd'unfrottementnonngligeable,toutetentativede
glissementselonl'axe(A,x) engendreunersistancepassive
(voirchapitre32):
. dirigeselonl'axe(A,x) delaliaison;
. orientedanslesenscontraireduglissement(oudesa
tentative).
EXEMPLES:
Segmentdepistondanssoncylindre;joint lvresurarbreentranslation.
12.92MomentstransmissiblesLapetitesurfaceannulairedecontactcontrarielestroismou-vementsderotationpossibles.Il enrsultetroismomentsrsistants.
REMARQUES:
. Larotationautourdel'axedelaliaison(A,x) surlerepre
localchoisiici)peutavoiruneamplitudequelconque.
LemomentLA' xdpenddel'effortnormalN:1LAI ~ N. r. tanop
tantquen; =1LAI = N. r. tan'P
quandn1/2if'
. Cetteliaisonnepeuttolrerquedefaiblesoscillationsautour
desaxes(A,y) et(A,7).
LesmomentsMAetNAdoiventresterngligeables;
sinon,il convientdemodliserla liaisonrelleselon
1uneliaisonpivotglissant.
. La lignedetreuilschmatiseci-contrefaitl'objetd'une
modlisation 55.14.
Leroulementsupportantleschargesaxialesetradialespeuttre
modlisparuneliaisonrotule;celuiquinesupportequ'une
chargeradiale(nonarrtaxialementseramodlisselonune
liaisonsphre-cylindre).Cen'estvalablequesilejeuderotulage
dechaqueroulementestcompatibleaveclesdformationssous
chargeetlesdfautsd'alignementdespaliers..Oulinaireannulaire.
43
LIAISON ANNULAIRE RELLE
2 ~x
1
Surfacede contact
z
y
FORCE TRANSMISSIBLE
2 -x Tendanceaumouvementde 1/2
A2I1ZA~
~ 1//-~ zN
1 \ J A2/1\ - - - -\A 2/1J = \
-J
avec A2/1 = XA .x + YA .Y + ZA .Z;fiA2/1
Relations: YA.y+ZA.Z=N
1 XA 1 =IlNII.tanaa ~ (jJ (angle de frottement)
MOMENT TRANSMISSIBLE
2
J A2/1
}(A 2/1)= \;fiA2/1ANA'Z
=~!)--+-
r Z
avec
- LA;fiA2/1 1 MA = 0
NA = 0
LIGNE DE TREUIL
4 1
Charges:
+~
mm
~Radiales seules
+Sphre-cylindre
-
44
12.10 Liaisonsphre-plan*relleSilecontacts'effectuaitrellementselonunpoint,lemoindreefforttransmisengendreraitunepressioninfinie(p=FIS)incompatibleaveclarsistancedesmatriaux.Enfait,ellenedoitpasdpasserunevaleurlimitedite"pressiondeHertzetlecontactadoncunepetitetendue.
12.101 Forcetransmissible
Danslecasd'unfrottementnonngligeable,toutetentativedeglissement,selonunedirection,engendreunersistancepassive(voirchapitre32):
. dirigedansleplantangent(A, x,:V) auxsurfacesencontact;
. s'opposantauglissementou latentativedeglissement
dansleplan(A,x,:v).Il estjudicieuxd'orienterlereprelocaldefaon ce
qu'undeuximeaxedsignelatendanceaumouvement
(exemple:A,y).
12.102 Momentstransmissibles
. Lapetitesurfacedecontactcontrarielesrotationsautourdesdeuxaxesdeson.plan.Toutetentativederotationautourde
l'undecesaxessetraduitparunmomentdersistanceauroulement(chapitre35).
Lemomentdersistanceauroulements'opposetoutetenta-tivederoulement.Ilestgalauproduitdel'effortnormalpar.lecoefficient8dersistanceauroulement(exprimenmtres).
. Lapetitesurfacedecontactcontrarie,parfrottement,toutetentativedepivotementautourdel'axenormal.Il enrsulteun
momentdersistanceaupivotementproportionnell'effortnormal(chapitre33).
Lemomentdersistanceaupivotements'opposetoutetenta-
tivedepivotement.Il estgalauproduitdel'effortnormalpar
lecoefficientTfdersistanceaupivotement(exprimenmtres).
EXEMPLE:
Laboule1roulesansglissersur2deAversB.
Onremarqueque:
YA=- ZA'tana aveca
-
45
13ActionsmcaniquesdistanceCesontdesactionsmcaniquesquiagissentdirectementsurlecorpsquel'onisole,sansaucuncontactmatriel.
POIDS D'UN CORPS (PESANTEUR)
$
z: verticale ascendante
g: acclrationde la pesanteur
SurchaquelmentdematiredemassemientourantlepointAi,
lapesanteurcreuneforcePi appelepoidslmentairetelleque: ~ -'> ~
Pi = mi . 9 = -mi. 9 .ZPourl'ensembleducorps,lepoidssereprsenteparletorseur-poids
quis'exprimesimplementaucentredegravitG(voirchapitre14).
{ } {;\ -'> -'> -'>
6 Tp =6 /avecP=M.g=-M.g.z
IlPIl= p :poidsducorps,ennewtons(N).M :masseducorps(kg).
ICgIl=9 :acclrationdelapesanteur(mis2).Saufindicationcontraire,choisir:
-ugll=Oz 10m/s2pourunsolide.(Calculsimprcis causedesfrottementsincertains.)
- 0z 9,81 mIs2 pourunlIuide.(Frottemenfsfrsfaibles.)
titreindicatif,g", 9,73mis2 auxples,9,78mis2 l'quateur,9,81mis2 Paris.
EXEMPLES DE CALCUL:
. Solidehomognede massevolumiquep v= 7,2kg/dm3,devolumeV=10dm3:p=pv' V.g",7,2x 10x 10=720N.
- ProfilIPN100demasseliniquePt =8,32kg/m(52.523),delongueurL=8m:P=Pt.L.g=8,32x 8x 10=666N.
titred'exemples,onpeutciter:
- l'attractionterrestre(pesanteur),
- lesactionsmagntiquesetlectromagntiques.
ACTIONS LECTROMAGNTIQUES
Moteurlectriqlle
0
Au cours du fonctionnement,lestatorexercesur lerotordes actionsmcaniques(A i,T,) ; elles serduisent un "torseurcouple" :
(C1/d=(0 C1/dox- - - - -REMARQUE: 1:fi =0 et C1/2=1:;ffOx(A i, fi)
lectro-aimant
$1
y~
0z
N1 N2
e=O
LaforceF exercerpour dcollerl'armatureA desnoyauxN1 et N21orsquee =0 peuttremodlise
par le glisseur(OZ F) ou letorseur { ~}0 0 (X,y.z)
avecIlFil =--L SB22J.lo
F(N)$=S1+ S2(m2)8 enteslas110=4n.10-7
-
46
14BarycentreCentredegravit
14.1 BarycentreLebarycentreden pointsA1'A2'... A;, ... An' affects
respectivementdescoefficientsa1' a2, ... a; ... an' est
unpointGtelque:---7 ---7 ---> ->
a1.0A1 +a2.0A2+. .+a;.OA;+...an.OAn
= (a1 + a2..+ a; +...+an) DGREMARQUES:
. Sousformesymbolique,oncrit:
1:n;=1(a;. OA] = (1:a;). DG
. 0 reprsenteun pointarbitraire,communauxpointeurs~et DG.
. Onpeutexploitercetterelationgraphiquementoualgbri-
quement,surunrepre.
. Pourunensemble(E)continudepoints,larelations'crit
svmboliquement:
f' OP. da = (
/"da) . DG
, (El '
14.2 Centre de gravitLebarycentreden pointsaffectsdecoefficientsproportionnels
auxmassesassociescespoints,sedsignepar"uncentrede
gravitdesn points.
REMARQUES:
. Pourunestructure(5) continue,constituedepointsPaux-quelsonassociedesmasseslmentairesdm,lecentredegravitGsedduitd'unpoint0connu,partirdelarelation:
r OP.dm=M.DG)(S)
o M=r dm)(S)
. Pourunestructure(5)discrte(constituedeblocsspa-rs),onconsidrelesmassesmiassociesauxdiverspoints
A i etl'ondterminelecentredegravitdel'ensemble.partirdelarelation:
[ };(mi' 01;) =M. DG o M =};miLespointsA; correspondentauxcentresdegravitdechaqueblocdelastructure.
BARYCENTRE DE TROIS POINTS
Donnes
A2 t"- --(-2) 1
11111
y
- - - - Ad1)11
.- 1 A- - - 1 - T 3 (-1)
ai 1 1 1 1 x
Relation
(1).0 A1+(-2) . 0A2+(-1). 0A3=(1- 2- 1). 0GSoit:
0A1- 20A2- 0A3=-20 G
Construction
---7 ---7. Porter(Da) =OA1; (ab) =- 2 OA2;(bc)=-%
. Connaissant (Oc) =- 2iiiJ,on dduit G
x
b
Calcul
Onrelveles coordonnesdes points:
1.W - 2.(-:) - m = - 2.(~:)D'o
4 + 6 - 5 - - 2 5 mmX G= -,- 2
4-10-1_ + 35mmY _,G=- 2
-
14.3
47
Barrerectilignesectionconstante
CENTRE DE GRAVIT G DES SOLIDES HOMOGNES USUELS
plaqueenparaHlogrammed'paisseUrcllnslantePlaquetriangulaired'paisseurconstante
B
AG =2/3. AIC~ 1 BG=2/3.BJ
G : pointdeconcoursdesmdianes
Plaquehomogned'paisseurconstante
G : point de concours des diaJonales
JAB= bDC = a
.c AI = IB
D ft'/ J/ -
-
48
14.4 Dterminationducentredegravit
14.41ConsidrationsgnralesSi lesolide(5) peutsepartagerenn solidesnots(Si),gomtriquementsimples,demassesmietdecentredegravitAiconnus,lecentredegravitGde(5)sedterminepartirdelarelation:
1 2:7=1(m;. ii.4;)=(2:7=1m;L DG
EXEMPLE:
m1.~ +m2.02-m3.OF(m1+m2-m3). Cf;
REMARQUES:
. Onpeututi1iserdescoefficientsproportionnelsauxpoids:
1:7=1(p;. ~)=(1:7=1p;) . DG 1
. Pourunsolidehomogne,lescoefficientssontproportion-nelsauxvolumes:
1:7=1(v;. ~)=(1:7=1v;) . DG
. Sideplus,l'paisseurestconstante,onpeututiliserlessurfaces:
1:7=1(5;. ~)=(1:7=15;) . DG
. Sideplus,lasectionestconstante,onpeututiliserdescoef-ficientsproportionnelsauxlongueurs:
1:7=1(ti .O;)=(1:7=1ti) . DG
Larechercheducentredegravitsetrouvefacilitedansdenombreuxcas:
Quandunsolide(S) homogneprsente:
. unplandesymtrie,ou
. unaxedesymtrie,ou
. uncentredesymtrie,
alors,soncentredegravitGsesitue,respectivement:
. dansleplandesymtrie,ou
. surl'axedesymtrie,ou
. surlecentredesymtrie.
MTHODE GNRALE (AUCUNE SYMTRIE)
Centrede gravitde (51)Centrede gravit
de (52)Centrede gravit
de (53)~
OF /1 v Trou
m1' OA1 +m2' OA2-m3' OA3 = (m1+m2-m3)' OG
P1 . OA1+P2 . OA; - P3 . OA3= (P1 + P2 - P3) .00V1 .OA1+ V2 .OA2 - V3 .OA3 = (V1 + V2 - V3) .00
52
ENSEMBLE D'PAISSEUR CONSTANTE
Centrede gravitde (51)
Centrede gravitde (52)
Centrede gravit
de (53)
~0' /1 v Trou
81 .OA 1 + 82 .OA 2 - 83 .OA 3 = (81 + 82 - 83) .OGG se situedans le plande symtrie
52
ENSEMBLE DE SECTION CONSTANTE
Section constante
t~.OA1+t2 . OA~ =(t1 + t2). QGG se situe dans le plan de symtrie
SYMTRIES DIVERSES EXAMINER
Plans de symtrie
-
14.42 CalculdirectL'ensembledel'exempleci-contreestconstitupar:
. unsocleparallpipdique120x 120x 50demassem1=20kgavantperage;
. uncubede50dect,demassem2=10kg;
. untrouaretir7,85kgausocle.
Partantdelarelationvectorielle,onexprimechaquebi-point
parsescoordonnesdanslerepre(0,x, J, z)quel'onchoi-sit.Onobtient(prsentationpratique):
20x(~~)+10x (~~)-7,85X(~~)=22'15(J~)*
Onobtient:
X =20X60+10X95-7,85X60=758mmG 22,15 '
Y =20x60+10X25-7,85X80=371mmG 22,15 '
Z =20x25+10x75-7,85x25 =476mmG 22,15 '
14.43 MthodegraphiqueVoirci-contre.
14.44 MthodeinformatiqueDeslogicielsspcifiquesdterminentdirectementlapositiondes
centresdegravit:2Dpourlessolideshomognesd'pais-
seurconstanteet3Dpourlesautres.
* Prsentationpratique(725) **Voirbi-points(71.1)
Exemple
0l{)
videment(-7,83 kg)
Relationvectorielle
49
0yy
0'
x
m1.~+m2.~- m3.0fG=(m1+m2- m3).DGSoit:20.~ +10.~-7,85. 0fG=22,15.DG
Trac(mthodegraphiqUe)
. Choixd'unechelle:2.~+1.~-0,78.0fG=2,21.DG. Onportesuccessivement:
~ ~
(01)**=2.031 ; (12)=1.032. (23)=-0,8.033C> C> C>
(01') =2.031' ; (1'2')=1.032' ; (2'3')=-0,8.033'
. Ontracelasommevectoriellesurchaqueprojection:
(01)+(12)+(23)= (03)=2,21.(0g)(01')+(1'2')+(2'3')=(0'3')=2,21.(Og')
. Endivisant(Qg) et (Og') par2,21,ondtermineg etg',
projectionsdeG.
2'
y
x
2
, 50 mmEchelle: ----
Rsultats
XG = Og .x = 76 mmyG = Og .y = 37 mmZG = Og .Z = 48 mm
14.45 PROGRAMMATION DU CALCULCommentaires CommandesenBASIC
NombreNdecentresdegravit. 10INPUTN
Dimensionsdestableaux. 20DlMX(N),YIN),Z(N),C(N)
Entredescoordonnesde 30FOR/=1TONchaquecentredegravit 40INPUTX(I)l'aided'uneboucleetcoeffi- 50INPUTY(1)cientCassoci. 60INPUTZ (1)
70INPUTC (1)
Calculdupremiermembrede 80NX=NX+C(I) *X(I)larelationdubarycentre 90NY=NY+C (1)* y (1)(NX,NY,NZ)etdelasomme 100NZ=NZ+C(I)*Z (1)Cdescoefficients. 110C=C+C(1)
Findelan;.m.boucle. 120NEXT/
CalculdescoordonnesdeG. 130X=NX/C;y=NY/C;Z=NZ/C
Sortiedesrsultats. 140PRINT..Coordonnes:"X="; X; "Y =";Y; "Z="; Z
-
15.1 Poutresectionconstante 1 \ 1~ ~o\ [ 0 II-
II\A2/1J= \A2/1 J=\(5/16)FLestorseurssedduisentdesexpressionsdonnesdanslesformu- A A A 0laires(chapitre53). 0
MTHODE: 8(83/1)=8(83/1#83/1)=[\(11/16)IIFII
1 Flche H Efforts 11 Torseurtransmissible 1 8 015.2 POUTRES SECTION PLANE OU VARIABLE, EN FLEXION PLANE
Oh1 ,01 ~O /A!fj 1- =L B-h-x ~ :- xJ ,or" .c: A B 2h/3 AZ/1 Arcdecerclel fict;""efM y , L.. y l 1z/~"'L ""'.,,,,".'.,"'" , , F - zJ ~- b . , flec~e fM - Z~, "
~-7- ~x AFE--~JXAf8SIIFII=F=E.b.h3.fM~fM= 6F.;3 IIFII=F=n.E.b.h3.fM=-fM=6F.I'3
61'3 E.b.h3 61'3 n.E.b.h3
50
15Solidesdformables
Ilssontdfinisau 1.2.
Onlesutilise,engnral,dansleurdomainelastique:lacontrain-
tenedpassepasalorsla limited'lasticitetleseffortsrestent
sensiblementproportionnelsauxdformations
EXEMPLE:
Chargeconcentreaumilieud'unepoutreenappuisimpleenA,encastreenB.
Lestorseursauxappuiss'crivent:
0\~f
- (3/~6)IIFIIt}
..' F hx
//nBI~
flchefM
x
~"
{
0. O.
}
- - [0. 0.\- - f 0. 0.}
IfAO/1') = -F 0. .. )AO/1J~(Ao/1 IfAO/1)=\--F 0. ","f )Ao/1) =)AO/1Ifj\O/1)=,, \-F o.. ..A0-El' A0-F.I' A0.-F.I'RESSORTS DE FLEXION ENROULS15.3
y
Aprs une rotationrelativede"8rad des fixationsautourde (A, z) , le momentIf devient:
~ 0= If.!' 1 If= E.b.h3 .f!..E.la{3 12
. momentquadratiqueselona j3;autresnotations 15.4t =longueurdveloppe;/a{3
-
15.4
51
Barresdetorsion
RESSORTS DE TORSION ET TORSION-COMPRESSION (G.D. 46)
Coniques,envolute
y Y
~/ A B_Lf / ;tfDe traction
z
0d
Positionquand!f =0
Position quand 71;:0
00
Un moment71appliqusur l'axede la barrede torsion engendreune rotationrelativeex(rad)desextrmits
Cylindriques
De compression sectioncirculaire
sectionrectangulaire
1z@y F=O-_.~F! 1; @z F= 0A......- --t-y
F=O
......-Fil Flchef;
~'I.AF AtF00 b
..c: AtF000d
F Gb3h2
K=Gd4/(4n02) IK= V2n02(b2+h2)
aVec
~ -::-. JO-!fl= (A1I1 !fA1/1) = \
0 oJ
"
A A 0 0ex
!f = G .-;;- .la
fF 0,\I A~ ), I A- ff7\ 0 0\ 1/1 = \ 1/1/'fA1/1J= \.JA A 0 0Aavec F =f. G .d4/(8. n. 03)
NOTATIONS:
G :moduled'lasticittransversal(deCoulomb),enMPa.
a :dformationangulaire,enrad.
t : longueurduressort,enmm.
la :momentquadratiquepolairedelasection,enmm4.
15. 5 CourroiesplatesL'entranementn'estpossiblequ'partird'unetensiondeposeTa.
Enfonctionnement,lebrintendusupporteuneffortdetractionTetlebrinmou,unautreeffortdetractiont telsque:
T+t=2To T=t.e/L.a IL:facteurd'adhrence(1':arcd'enroulement
exprimenrad
Il enrsulteuncouplemoteurCmetrsistantCr:
Cm=(T-t).r C,=(T-t).R
) A1/1j ~(A1/~
1 :flche,enmm.
d :diamtredufil,enmm.
D :diamtred'enroulement,enmm.
n :nombredespiresutiles
COURROIES PLATES
= 2 Ta = 2 Ta
lE --. Brint mou
= 2 Ta = 2 Ta
Arrt Marche
-
52
16Actiond'unfluidestatique
Lesparticulesd'unfluidesecomportentcommeunemultitude
depetitessphresentrantencontactaveclaparoi.
L'actiond'uneparticuledefluideimmobile,suruneparoiest
toujoursmodlisablepardespointeurs(M,A f) perpendicu-
lairescetteparoi.
Forcelrnenta,ireduelapression~ -> -+
t'1f=p.t'1S=p.t'1S. n
p .pressionaupointconsidr,(PaouN/m2).
7 . normaleunitaireverslamatire.
16.1 FluidelibresurparoiverticalehauteLapousseeffectived'unfluidedontlasurfaceest lamme
pressionquel'extrieurdelaparoi(pressionambiantePamb)est
modlisablepar.
. unerpartitiontriangulairedesefforts;
. untorseur:{effortseffectifssurparoi}= '\I\, ,;o-;. ~
-+ 2 ~ 1 0 (X,y,l)avec F=pv. g. t. h 12. Y
---> 2 ~01=~. h . x3
1s'appellecentredepousse.
EXEMPLE:
Dterminerlapousseexercepardel'eausurlaparoiverticaled'unecuvecielouvert
Largeurdelaparoit =6m;hauteurd'eauh=9m.
Larsultante(J, 'F) estdfiniepar.
I= XI. XavecX/=2. x 9 = 6m.3
Oncalculeensuite11111;pv=103kg1m3; g=9,81ml S2
t= 6meth=9m:]IFII= 2,38 x 106N=2,38MN.
L'actiondel'eauestdoncmodlisableparletorseur.
12,38~106 ~\,\ 0 olcty,zJ
Particule vitessenulle
Force de pressionperpendiculaire la paroi
_dS= t.dx(m2}
y
-C::
IPambl(Pressionambiante)
x
y IPambl
-C::-+ h2 -F= p.g.t. -.y
2
Ceritrede poussex
-
16.2 FluidesouspressionsurparoiverticalehauteLapousseeffectived'unfluide,soumissursasurfacelibreunepressionsuprieurecellequiagitsurl'extrieurdel'enceinte,exercesurlaparoiverticaledecetteenceinte,desactionsmcaniquesmodlisablespar:
. unerpartitiontrapzodale;
. untorseur{F}1avec:
F=t. h.(Pamb+p.g.h/2)y;t=3Pamb+2p.g.h .h.x6pamb+3p.g.h
APPLICATION:
Soitdterminerlapousseexerceparl'eausuruneparoide
cuveclose.
Surlasurfacedel'eau,ungazcomprimexerceunepression
Pamb=5bar.
Calculerlapoussedel'eausurlaparoietdfinirlapositiondu
centredepousse1.
SOLUTION:
Il suffitd'effectuerl'applicationnumriqueavec:
t=6m;h=9m;Pamb=5x 105Pa;p=103kg/m3;g=9,81m/s2
Ilvient:
F=F.y=29,4X106N=29,4MN; OI=I.x=4,62m;
Soitletorseuren1:
f 0 7 0\,{Feau/paroi}= 2,94x 10 Of,\ 0 0
16.3 Fluidesurparoiverticaledefaiblehauteur
Pouruneparoiverticaleinfrieure 5 m,onnecommetpas
d'erreurimportante 5%pourl'eauoul'huile)enadmettantquelefluideexercedeseffortsmodlisablespar:
. une,rpartitionuniforme;
{-> ->\ [F=Pamb .S.y. untorseurFOI o --> ->/ 01=h / 2 .xS reprsentelasurfacemouilleeth,sahauteur.
53
PAROI VERTICALE HAUTE
..c: ..c:
0>0>Q..Q..C'I C')+ +-" -"E E'" '"
QQC') cD
..c:
Patm
Pamb0
~ y
x
h dF=Pe .dS .ydX4
sJ/
largeur/'-x
Centrede pousse
PAROI VERTICALE DE FAIBLE HAUTEUR
y
02
Pamb0 Centrede pousse
h2
h1
Pamb0
\ ----"------+-y
- x1
h dF=Pamb' dS.t--dxU
Rpartitionuniforme
=pressionx uniforme
-
54
16.4 PoussesurunesurfacequelconqueLaforceF,engendredansunedirectiondonneparunepression
p agissantsurunesurface,estgaleauproduitdecettepression
parlavaleurdelasurfaceprojetesurunplanperpendiculairecettedirection.
F=p. S avecp(MPa)S(mm2)F(N)
EXEMPLE1:Poussesurunetigedevrin
. Donnes:0 d= 50mm;p = 5bars= 0,5N/mm2.
. Calculs:Forceaxialesurlepistonlilatige:F= p.5.Avecp=0,5N/mm2,5 =n X 252mm2,oncalcule:
F=982N.
Letorseurassocicettepousses'crit:
1
+982 0
),(Ffluide/lige)= 0 0
,0 0 (x,;,l)
EXEMPLE2:Poussesurunpistonoblique
. Donnes:Formesdupistonetvaleursdessurfacesprojetes
surlesplansperpendiculairesauxaxes(0,x) et(0,/).
. Problme:Calculerlarsultantedeseffortsexercsparle
gazsurlepistonsachantquelapressioneffectivevaut:
p=6,1MPa.
. Solution:Laforceexerceparlegazsurlepistonvaut:
Selon(0,x) :
XF=p,Sx avecp=6,1N/mm2
5x=4,86X 102mm2.DoncXF=2965N(soitXF=2,97kN).
selon(0,z) :
h=p.5z avecp=6,1N/mm2
5z=503mm2.DoncZF=3068N(soitZF=3,O7kN).
POUSSE SUR UNE TIGE DE VRIN
Fond Piston
y + x -+ ~ 0z
Axe de symtrie
Surface relle Surface projete
a:NlS)Il
l:JlS)
-d2-F=JT:-px-4 x
1 .. 1 .. .1- 2-
F=JT:R px
POUSSE SUR UN PISTON
Axe du cylindre
Cylindre(transparent)
Gaz (pressionp)
SurfaceS
Piston
Surface projeteSx =486 mm2
Surface projeteSz =503 mm2
-
17Actiondelapressionambiante
Lapressionambiante,Pamb,engendredeseffortssurtoutes
lessurfacesdecorpsqu'ellebaigne.
Onpeutlesreprsenterpardesforcesuniformmentrparties,
perpendiculairescessurfaces.Deuxcasseprsentent:
l'pl'essionmtiial1te
agittoutautourducorps
le torseurreprsentantl'effortrsultantestnul: il
n'estpasindispensablederecensercesforces.
EXEMPLE:
. Solidesencontactpardessurfacesrugueuses:l'airpasseentrelesdeuxsolides(6.4).. Solidesreposantsurunfluide(64.5).
la pressionambianten'agit
pastoutautourducorps
le torseurreprsentantl'ef-
fortrsultantn'estpasnul:
il fauttenircomptedecette
pressionambiante.EXEMPLE:
. Solidesencontactpardessurfacesmiroirentrelesquellesonachasstoute
traced'air(cales-talon).
. Clapets,pistonsetautres
dispositifshydrauliques.
EXEMPLE1 :cales-talon
Aprsavoirchassl'aird'entrelesdeuxsurfacesmiroirsencontact,lapressionatmosphriquen'agitplusquesurlafaceextrieure.Poursparerlesdeuxpicespararrachement,ilfautexerceruneffortF:
F>Fp
EXEMPLE2: tube dentifrice
Phase1 :enrduisantlevolumepardformationdel'embout,
laptedentifricenepeutquesortir.
Phase2 :enrelachantl'embout,celui-cireprendsaformeini-
tiale,augmentantlevolumeinterne,cequicreunedpression.
Lapressionatmosphriquequiengendresurlepistonuneforce
F'dplacealorscelui-civerslehautdutubetandisquelapte,
tropvisqueuse,secomportecommeunbouchon
REMARQUE:
Lorsd'unisolementdecorps(chapitre20),il estprudent
derflchirauxeffetsde lapressionambiantedsquel'on
recenselesactionsdecontact.Lesrsultatsduchapitre16
s'appliquentintgralement.
55
CORPS ENTOUR PAR LA PRESSION AMBIANTE
F1 =Pamb'81 . F'1X=Pamb'8'1 . cos a =F1
)
F3=Pamb.83' F'1y=Pamb'~'1.sina:=F3 =>(0)
F2=Pamb.82' F'2 =Pamb.8'2 =F2
CALES - TALONCale-talon40x 10 x 5
LY - Ma,b,.~.... ' ... -
fR (.
a
,
c
..~.tion",d
..
U
...
marbre)
.".. 'F"""'" .-,g--,. Surface8
"""1 ' dC'Z"'~
~ ~ ~ Fp (action de Pamb)F1 + F2 = 0
Il Fpll =Pamb' 8
SiPamb=Patm=0,1N/mm2 et 8=4cm2:IIFpll=4ON
NB : Poids ngligeable:P"" 10x 7,2x 0,4x 0,1x 0,05=0,144N
TUBE DE PTE DENTIFRICE
Emboutdformable
Pamb=Patm=1,013X105Pa"" 0,1 N/mm2
F' =0,1 x TrX 202"" 125N
Pte
Piston anti-recul
-
56
18Actiond'unfluideenmouvement
18.1 FluideparfaitCecasconcernelesliquidesnonvisqueuxetlesgaz.
Lefrottementdesmolculesentreellesetsurlesparoispeuttre
nglig:identiqueunfluidestatique.
Un lIuideparfait,en mouvementcontreuneparoi,
exercedesactionsmcaniqueslmentairesmodli-
sablespardespointeursperpendiculairescetteparoi.
18.2 FluidevisqueuxChaqueparticuleexercesurlaparoiuneactiontangentiellepro-portionnelle laviscosit,lavaleurdelasurfacedecontact,lavitesse(voir65.2)etcomparablecelledeauxfrottementsentresolides.
Cefrottements'accompagnedoncd'uneperted'nergie(voirchapitre67- pertesdecharges).
REMARQUE:
Lefacteurdefrottemententreparticulesdefluidesetaveclesparois,esttoujoursnettementinfrieurceluidessolidesentreeux.
UnlIuidevisqueux,enmouvementcontreuneparoi,
exerce contre celle-ci des actions mcaniques
lmentairesmodlisablespar des pointeursnon
perpendiculairescetteparoi.
18.3TraneC'estlarsultanteR del'effortexercparlefluidesurlecorps,enmouvementsrelatifs:
R=O,5.Cx.p.S.V2
R :trane(N); Cx:facteurdetrane;p :massevolumiquedufluide(kg/m3):S :matrecoupleducorps(m2); V :vitesserelative(mis).
EXEMPLE:
Unvhicule(Cx=0,3; S =2,4m2)sedplaantdansl'air
(p=1,22kg/m3)90kmlhsubit:
(90)
2
R=0,5x 0,3x 1,22x 2,4x 3,6 =274N
FLUIDE PARFAIT EN MOUVEMENT
~~ Vitesse des
~ particules~
=f / :;:';o:~:~:~ressionperpendiculaire la paroi
Vapeurd'eau:vitessedesparticules
dsordonne
Effortsperpendiculairesaux paroiset la surface libredu liquide(eau)
FLUIDE VISQUEUX EN MOUVEMENT
t:.N
Vitesse des
particules1 Liquide 1
t:.T - - -M=t:.T + t:.N
M n'est plus perpendi-culaire la paroi
v '\-t:.T
-;t:.N
TRANE RMatre-coupleS (m2)
~((@~V (m/s)
~~
~~
V (m/s)
FacteurdetraneCx- - -V~
lT
', FiV~
(l7.FiV~
O7.'...'"Fiv~
~
,."".".".....R ~
~..".R
~ ." --- 1 ~ '.,.,'. ~ --......--- ~ \ ~ ~ ". ~
1,5 0,35 0,81,4 1,05
-
19Notionsdethoriedesmcanismes
19.1 Dfinitions. McanismeC'estunassemblaged'lmentscapablesdetransformerl'ner-giemcanique(exemples:systmesbielle-manivelle,vis-crou,rducteur,etc.).Unmcanismepossdeaumoinsuneentreol'onappliquel'actionmotrice,et,aumoins,unesortierceptrice.
. loi entre-sortie
Ils'agitd'unerelationentrelesvariables(ouparamtres)d'entreetdesortie.
. GraphefonctionnelougraphedestructureIlreprsenteschmatiquementlemcanisme.
Chaquesous-ensembledesolidessansmouvementrelatif"apparatsousunseulrepre(voirchapitre20).Letraitcontinuquilesrelie,reprsenteuneliaison.
Legraphedestructurepermetdedistinguerlesboucles
delachanecinmatique(5.33).
. MobilitsutilesEllesjustifientlemcanisme.Parexemple,dansuneautomo-
bile,latranslationdupistonentranelarotationdelaroueaprs
embrayage;ledplacementdulevierdevitesseengendreceluid'unbaladeursitudanslabotedevitesse;larotationduvolant
permetd'orienterlesroues,etc.
Posonsmulenombredesmobilitsutiles.
. MobilitsinternesEllesn'interviennentpasdanslefonctionnementdumcanisme.Parexemple,l'axedupistonlereliantlabiellepeuttournersurlui-mme,toutcommeunebarrededirectionarticuleentredeuxrotulesoulepommeaudesleviersdevitessessursonlevier,...Posonsmilenombredemobilitsinternes.
. Isostatismeethyperstatisme
Lorsqu'onpeutdterminerlesactionsmcaniques l'aidedesseulesquationsdelastatique,onditquelesystmeestisostatique;sinononledithyperstatique.
57
MODLISATION D'UN RDUCTEUR
Carter0
Xo
Arbre d'entre Paramtred'entre: e1Paramtrede sortie: e2
L.
t . . e2 R101enree"sortle- =- -e1 R2
Arbre de sortie
CROQUIS D'UN SYSTME DE DIRECTION
Barred'accouplement Volant
Essieuavant
Barrede direction
Botierde direction
-
58
19.2 ModlesnormalissdesliaisonsPourchaqueliaisonmodlise(chapitres412):
. onconsidrelesmouvementspossibles(torseurcinmatique):
nc: nombred'inconnuescinmatiques
e : nombrede degrsde libert
Pouruneliaison
nc= e
. onconsidrelesactionsmcaniquestransmissibles(torseur
deseffortstransmissibles):
ns: nombred'inconnuesstatiques
de liaisons
Pouruneliaison
nc+ ns=6
REMARQUES:
. Lamodlisationsupposequelesjeux,frottements,masseset
dformationsrestentngligeables.
. Leseffortsdynamiquesdoiventpouvoirtrengligs
. Uneliaisonrellepeutrecevoirplusieursmodlisations.19.3 Degrd'hyperstatismePourunmcanismecomprenantaveclebtinsous-ensembles,
l'isolementdechacun,exceptle bti,conduit 6 (n -1)
quations.
L'ensembledesmobilitsprocuremurelationsindpendanteset
mi relationsnonsignificatives(dugenre0=0).
. Pourunmcanismeisostatique:6(n-1)- mu-mi=L ns
. Pourunmcanismehyperstatique:6(n-1)-mu-mi=Lns-hhreprsenteledegrd'hyperstatisme:
h =mu+mi+L'ns-6(n -1)
19.4 tudecinmatiquePourchaquebouclefermeindpendantedugraphedestructure,
onpeutcrireunerelationcinmatiquetelleVAEi/j~ .Celprocure6relationsalgbriques,dansl'espace.
Comptetenudesmobilitsm,onpeutcrire:
. pourunmcanismeisostatique:ne- 6~ m
. pourunmcanismehyperstatique:nc- 6~ m- hh = m - nc + 6 (boucleparboucle)
19.5 NombrecydomatiqueyIl indiquelenombredebouclesfermesindpendantesdans
l'liaisons: 1 y= t-n+1 1
MODLISATIONS SELON LES HYPOTHSES
RouleauxembarreursSNR
MODLISATION GLOBALE
~kXT
fXA 0 \(A1/2)=\YA MA fZA NAm;=O mu=1
1 h =1+0 +5- 6 x (2- 1)=0 1
~L12: liaisonpivotne=e =1(rotationI(A,x)ns=5
f(J)x 0 \(62/1 )= \ ~ ~ f
MODLISATION 1
L1
~~Les deux roulementscontrarientla libredformationde l'arbre(1).L1 : pivot (ns=5) L2: pivotglissant(ns=4)
1 h =1+(5+4)- 6 x (2- 1)=41Dans deux plans perpendiculairesse coupantselonA1 A2' il fautvrifier:. le paralllisme des axes de roulements,. leuralignement(coaxialit).
MODLISATION 2
L'1
~~Les deux roulementstolrentla libredformationde l'arbre(1).On obtienth =O.
-
19.6-19.61
EXEMPLE D'APPLICATION
PLAN D'ENSEMBLE D'UNE SCIE SAUTEUSE
B-B
~
19.62 SCHMA CINMATIQUE MINIMAL (SCHMA W 1)
(1)={1,2,9,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26}(3)={3,4,5,11,12} (7) (6)(6)={6}(7)={7,8,10,13,14}
D'olegraphedestructure:
y =t- n+ 1 =5- 4 +1=2
19.63 ANALYSE 1DESLIAISONS
(Schman 1)
A1-3:pivotglissant(ns=4)
81-7:pivotglissant(ns=4)
C3-6:pivotglissant(ns=4)
D3-7: appui-plan(ns=3)
E6-7: appui-plan(ns=3)
mu=1 (positionde7 seloncellede1)
mi =1 (translationde6/3)
h=1+1+(4+4 +4 +3+3+1)- 6 (4-1) =2
(3) (1)
eT
Bill ~19.64ANALYSE2DESLIAISONS
(Schman 2)
A1-3:pivotglissant(ns=4)
81-7:pivotglissant(ns=4)
C3-6: sphre-cylindre(ns=2)
D3-7:linairerectiligne(ns=2)
E6-7: appui-plan(ns=3)
mu=1 (positionde7 seloncellede1)
mi =2 (translationetpivotementde6/3)
h=1+2+(4+4+2+2+3) - 6 (4-1) =0
59
SCHMA W 2
A
~Il rsultede l'analyse2Vrifions l'isostatismesur
chaqueboucleferme:
A
Pour A1-3 : ne=281-7 : ne=2C3-6 : ne=4E6-7 : ne=3D3-7 : supprime
Mobilits:m=5.
(unerotationetunetranslationde1 etde6 ; unetranslation
de7)h=5- (2+2+4+3)+6=0
Pour A1-3 : ne=281-7 : ne=2D3-7 : ne=4
Mobilits:m=2.
(unerotationetunetranslation
de7)h=2-(2+2+4)+6=OMODLISATION ISOSTATIQUE
-
60
19.7Naturedu Anglederoulement rotulage
. unerangedebillescontactradial
",;tDli!1itiondurotulage
ex,max'"10'
~r=:
Lerotulaged'unroulementestla capacitd'oscillationd'une
bagueparrapport l'autreautourd'unaxeperpendiculaire l'axederotation(A, x) duroulement,sanstransmettrede
moment l'arlJ,re.Si lX>lX,max'unmoment;/(zapparat.Onditaussidversementd'unroulement.
Naturedllralliement
. doublerangedebilles
~. rouleauxcylindriques
~B-*Voir dfinition de ce ferme 19.1.
Anglederotlltage
ex,max'"00
lX, max'" 2'6'
MODLISATION DE MONTAGES TYPES DE ROULEMENTS
Montagederoulements
Exempledemontage
Deuxroulements une rangede billes contactradial
Hypothses
. Contactaxialsurleroulementdedroite.
. Anglederotulagedechaqueroulementinfrieurl'anglederotulagemaximaladmissible.
Exempledemontage
Un roulementdeux rangesde billesetun roulement rouleauxcylindriques
--
(2) (1)
Hypothses
. Leroulementdoublerangedebillesdegaucheraliselepositionnementaxialdel'arbre2parrapportaucarter1.(Rotulagenul.)
. Leroulementrouleauxcylindriquesdedroiteneraliseaucunpositionnementaxialde2/1.
. Sonanglederotulageestinfrieurl'anglemaxderotulage:ex,max~ 2' 6'.
**(1)ef(2)sontdeuxclassesd'quivalence.
Modlisationproposeenfonctiondeshypothses
Graphedesliaisons
A1-2
~81-2: liaisonrotule(effortsde la droitevers la gauche
" 1seulement).A1-2: liaisonsphre-cylindre.
Schmaclnmatiqlle
Les liaisons en parallleA1-2et 81-2ralisentuneliaisonpivot 1-2isostatique*.
Graphedesliaisons
A1-2
~81-2
A1-2: liaisonpivot.81-2: liaisonsphre-cylindre.
Schmacinmatique
A 1 y (2) x~
Les liaisons en parallleA1-2et 81-2ralisentuneliaisonpivot 1-2hyperstatique*.
-
Natureduroulement
Anglederotulage
. deuxrangesdebilles(ourouleaux)rotule 1 billes
/iF}. Buterotulesurrouleaux
lXrmax
~1,5 3
rouleaux
lXrmax~ 12,5
~ 1 ~ ~:;x3
. Butebilles(ouaiguilles)=~. Roulementrouleauxcylindriques
~B=:, D'aprssn.
lXrmax~ 0
lXrmax
~ 2' 6'
Montagede roulements
Exempledemontage*
Une bute rotuleet un roulement deux rangesde rouleaux rotule
(2)
(1)
Hypothses
. Labuterotuleassureuncentragedel'arbre2parrapportaupalier1etunpositionnementaxialde2/1.. Leroulementrotuleassureuncentragede2/1etn'assurepasdepositionnementaxial.. L'anglederotulageestinfrieur1,5.
Exempledemontage*
Deux roulements rouleauxet une bute simple effet
rouleauxcylindriques
~ + I-A 8 C
(1)
Hypothses
. Lesroulementsrouleauxcylindriquesassurentuncentragede1/2.Celuidedroite,enC,n'assurepasdepositionnementaxial.
. L'anglederotulagedesdeuxroulementsestinfrieur2'(valeurmaximaledurotulage): roulementsrapprochs,bienaligns.
. Labuterouleauxassurelepositionnementaxialdeladroiteverslagauche.L'anglederotulageestnul.
61
Modlisationproposeenfonctiondeshypothses's
Graphedesliaisons
A1-2
f'~81-2
A1-2: liaison rotule (effortsde 1/2 de hauten basseulement)81-2 : liaisonsphre-cylindre.
Schmacinmatique
x
GraphedesHaisons
A1-2
~C1-2
A1-2 : liaisonrotule(effortsde 2/1 vers la droite
seulement)
81-2: appui-plan(effortsde 2/1 vers la gauche)
C1-2: sphre-cylindre
Schmaci.nmatiqlle
(2) y
La liaison 1-2 est hyper-
statiqued'o ncessit derglages et de tolrancesserres de concentricit des
roulements et de perpendi-cularitarbre-bute rouleaux'.
-
62
20 Isolementd'unsystme
L'isolementd'unsystmeconsiste:
. considrerunepartied'unmcanismeoud'unobjet,
. recensertouteslesactionsmcaniquesquiluisontappliques.
REMARQUES:
. L'isolementd'unsystmeestuneoprationindispensableen
mcanique;il intervientenstatique,rsistancedesmatriaux,
mcaniquesdesfluides,thermodynamique...
. Legraphedesliaisonsapporteuneaideprcieuse.
EXEMPLE1;
Soit isolerl'ensemble(6) du montage 5.3.
HYPOTHSES:
. tudeplanedans(A, x,p).
. L'oprateurexerceuneffortF normalaulevier,d'intensit100Netlelevieraffleurelabute.
. Poidsngligeableetpressionambiantetoutautour.
. FrottementdefacteurJ1entre(6)et(1)seuls.
ANALYSE;
Legraphedestructuremontrequelapice(6)estenliaisonavec
(9)et(1),outrel'oprateur.Onobtientlesrsultatsci-contre.
EXEMPLE2:
Isolerl'ensemble(E)=((6),(9),(11)}dumontagemodlisau
5.3.
HYPOTHSES:
. tudespatialedans(A,X,p,z).
. Autreshypothsesci-dessus+actionduressortngligeable.
ANALYSE:
Lesrsultatsci-contremontrentquecettemodlisationconduit
7inconnues,doncunedetroppourpouvoirrsoudreisosta-
tiquement(voirchapitre19).
REMARQUES;
. Si lejeudanslepivotA6-9restetropfaible:onnepeutla
fois,observeruncontactlinaireentre(6)et(1)etundouble
appuiponctuelaveclapice.
Commecedernierestncessaireaufonctionnement,onpeut
supposer(etadmettre)uncontactponctuel/H
. Si lejeudanslepivotA6-9estsuffisant:onconserve7
inconnuesmaisl'isolementde(6)seuln'enprsenteplusque5
dansl'espace:ensemblersolvable.
ISOLEMENT DE (6)
0' Kop-6 ~
perateur -,- - "cf - A6-9
ty - '1-6 Ensemble (6)W (cylindre)
K02
Oprateur/(6){ :}K(
XA 0\A6-9 YA 0
A 0 olu;:;:z)
(
X, 0\'1-6 Y, 0
A 0 0 1U',y,z)
F T", i --L1-avec F=-100 Y (en N)(0 inconnue)
( 9.2)(2 inconnues)
avec X, =- J1.Y, l'quilibre strict(1 inconnue)
Total: 3 inconnues, dans leplan
ISOLEMENT DE (E) =((6),(9),(11))
0-- ----\SI~- --
Oprateur~---~-- ~810-11'1-6= '1-E / -< ,Np-E =Np-9
85-9 ngligeable
K
Oprateur/(6)(F 0 )- -
avec F=-100y(en N)(0 inconnue)
{
X, LI
}'1-E Y, 0
100
1 Xa 0 \810-E \Ya 0 1a Za 0
{
0 0 \Np-E YN1 0
1en N1 0 0
avec X, = - J1.Y,(2 inconnues)
(3 inconnues)
1 0 0 \Np-E \YN2 0 1en N2 0 0
(2 inconnues)
Total; 7 inconnues
-
21Mouvementd'unsolide
21.1 Positiond'unsolidedansunrepreElleestcompltementdterminepar:
. La positiond'unpointA, origined'unreprelocal
(A,X;,1;,!;)liausolide(5).Ilsuffitalorsd'exprimerlepointeurOAparsescoordonnescartsiennes,fonctionsdutempst :
~
(
x(tJ
)
~ ~ ~ ->
OA Y(t) soit OA = x(t).xo + Y(t).yo+ l(t).lO
l(t)
. Lapositiondureprelocalparrapportaureprederfrence
(O,~,~, l;) l'aidedestroisangles,galementfonctions
dutemps(voirchap.3.2).
. Danslecasd'unmouvementplansurplan(chap.28),il
suffitdetroisparamtres.
REMARQUE:
Toutetudedemouvementncessitelechoixd'unreprederfrence- ourfrentiel- carlanotiondemouvementestrelative.
Lepassagerassisdansl'avionpendantledcollageestimmobile
parrapportaureprelocallil'avionetenmouvementparrapportausol.
21.2 Trajectoired'unpointIl s'agitdel'ensembledespositionssuccessivesdupointlors
desonmouvementdanslereprederfrence.
~1.3 AbscissecurviligneEquationhoraireEnchoisissantunepositionparticulireAodupointAsursatrajectoireetendonnantuneorientationcettetrajectoire,ondfinitl'abscissecurvilignedupointAunautreinstantt:
l'abscissecurvilignes dupointA estla valeuralg-
briqueAoA del'arcdecour~arcouruparA.
Elledpenddutemps.s =AoA = 'U) .
REMARQUE:
S= t(t) s'appelle"quationhoraireou"quationdumouvementdeAsursatrajectoire.
63
POSITION D'UN SOLIDE DANS L'ESPACE
Pointeurposition
~ a~Xo
20
a3
0
Yo
6 paramtresdans l'espace:x(t), Y(t), 2(t), 1/J(t),8(t), 'P(t).
POSITION D'UN SOLIDE DANS LE PLAN
Pointeurposition
Yo
0
3 paramtresdans le plan:x(t),Y(t),8(t)tels que:
Xo
DA=x(t).x +;Y(t)'.V(xo, X5);:;I1(t)
TRAJECTOIRE-ABSCISSE CURVILIGNE
Trajectoireoriente.,.
Xo
20
,,-/
Yo
1 s",,)A =1(t) 1
-
64
21.4 EXEMPLES DE TRAJECTOIRES PARTICULIRESEillptiqueRectiligne
MobileMC;' y)
QJ
x
0
EXEMPLE:extrmitdel'artecoupanted'unoutilcharioter,parrapportaubancdutour,associ(O.x,y,)
Parabolique
y Trajectoirede M/~ /1 \
ci -- \1 M(x,y)
1 \\
0
x
EXEMPLE:projectilelancdanslechampdepesanteurRemarque:y2=2pxop(constante)
picyclode
0
cos t-cos (n+1)t]t-sin(n+1)t]
(Cerclede rayona roulantsansglisserdans un cercle de rayonna)
EXEMPLE:trajectoired'unedentd'engre-nagepicyclodal contactextrieur
~.~, ,~~,-
Circulaire
Trajectoirede M
\;"1
Bielle
Ttede bielle
M(;' y)el X
02\ ,Centre,
EXEMPLE:axedettedebielleparrap-portaucarter(repreO,x,y}).Remarque:x2+y2=R2
Hyperbolique
~ y
TrajectoiredeM
)(2 y2---=1a2 b2a, b (constantes)
EXEMPLE:lieudupointd'intersecliond'uncnedervolutionavecunplanparalllesonaxe.
Hypocyclode
y
x
x==a[(r-1) cost .+cos(n-1)tly::: a[(n-1)sint,...sln(n-'l)t](Cerclede rayona roulantsansglisser sur un cercle de rayonna)
EXEMPLE:trajectoired'unedentd'engre-nagepicyclodal contactintrieur
Plante
EXEMPLE:planteautourdusoleilRemarque:x21a2+y2/b2=1
Cyclodale
y
. deMC;'y)Trajecto~
\~ /1 -
1 X
0
IM=Olx:: a (t """sint)
y =a(1-cos t)a (constante)
EXEMPLE:pointsur uncylindrequi roulesans glisser sur un plandetrace 0,-;
Dveloppantedecercle
y
11
/'TrajectoiredeMA\ / x
x = a(cos t +tsint)y a(sin t - t cos t)(DroitelM roulant sansglissersur un cercle (C
EXEMPLE:profild'unedentd'engrenage
-
21.5 Vitessed'unpomt
21.51 VitessemoyenneVrnoySi, l'instant11(5),lemobileAestenA1 l'abscisse51,si,
l'instant12,il passeenA2l'abscisse52,alors,entre11et12,
savitessemoyennesecalculepar:
[
S2-S,VmDY=~t2-t,
Vmoy=vitessemoyenne(mIsoum. 5-').52- 51=variationdel'abscissecurviligne(m).
12- 11 =variationdutemps(5).
21.52 Vitessealgbrique(ouinstantane)vuninstant1quelconque:5= :4';;A=f (1).
uninstantvoisin1+M, lemobileAoccuperaunenouvelle
abscissecurviligne:s+5=f(t+/).
Vitessemoyennesurcetintervalledetemps:s+s-s s
Vmoy = =-I+M-I M
LorsqueM-70, S-70 et VmoY-7s(t)=dsdl
v =S'III v =dsdt
5'(1)=d5/d/: drivede5(t)parrapportt.>
21.53VecteurvitesseVA /9Wl'instantl,lemobileestenA,dfiniparDA.
l'instant1+M, ilvientenA'dfiniparM .Onpose:V;;o =limc.t-->o M
(t+M)-1
CommeM =lM - DA=Li (DA),ilvient:-1
vx=dx(t)/dtVAlf/O=limc.t-->o(f:..DA)=(...!!...OJi) vy=dY(t)/ dt
M dt fROVz=dY(I)/dt
. Lorsque 1~ 0,A'serapprochedeA etM serapprochedeladirectionduvecteurunitaire1 tangentenAlatrajec-toire.Ennotantds=M etdlM =M :
(dO) ......liS ~o='!'~
(d ..",..>,) (d-) ds->. VAN~O=dlDA~o=iSDAfilO . (jf='l'.v.Levecteurvitesseesttoujourstangentlatrajectoireetdanslesensdemouvement.
65
VITESSES MOYENNE ET ALGBRIQUE
(~J(o)=(O,~,~.~)
Yo
Zo Trajectoirede A
dans (~J(0)
Xo
O/~ "Ao
Originedel'a~ssecurviligne$=AoA
Exemple: $ = 5 t2 - 8 ($en mtre,t en seconde).On peut calculer s'(t) = 10 1.
Entret =2 et t =3 s : Vmoy=3~=? =25rn/s.
VECTEUR VITESSE (enun point,dans un repre(flo))
TrajectoiredeA dans
(0, xo'~'~) =(fKo)
Xo
Zo
Yo
TangenteenA latrajectoire
-(d -) AA'VA!9UI=iT DA =IimM -->M =v.;-(9to)
t(s) 0 1 2 3 4 5
s(m) -8 -3 12 37 72 117
$ (mis) 0 10 20 30 40 50
-
66
21.54 Dterminationalgbriquede la vitesse
Latrajectoired'unpointMtantconnue,ilsuffitd'indiquersonabs-
cissecurvilignepourpouvoircalculersapositiontoutinstant.
EXEMPLE1:
Ondonnes=7cos(1011:t)+120.
OnendduitS'II)=v = 7011:sin(1011:t).
EXEMPLE2:
Si s(I)=20t3-8 t2+10,avecsen(m)etten(s).
Alors:
v=s'(t)=60t2-16 t ets(O)=10m,v(o)=a mis;
S(1)=20- 8+10=22m; v(1)=60-16 =44mis,etc.
21.55 Dterminationvectoriellede la vitesse
Lapositiond'unpointMestconnuedsl'instantquel'onsait
exprimersonvecteurpositionDMdanslerepred'origineO.
EXEMPLE(lig.1):
DM=07J+0'H+HI+lM
DM(e.cos8) (R) ( 0 ) (1)*e.sin8 +0 +- e.sin8 + 0DM(e.cos80+R+1)Si 8=(. t o(estuneconstante,8dpenddet.
DMestbienunefonctionvectorielledutempst.Levecteurvitesses'endduitpardrivationparrapportt:
r (- e.( .sin (t)M/~jLO 0APPLICATION:
e=7 ; ( =300trlmin=1011:radis; R=20 ; t=100.
~OM(7cos(1011:t)+120) ~ (-70 11:sin(10Jrt))0 =}VMUJ(O 021.56 Dterminationgraphiquedelavitesse
Chaquefoisquel'ondisposed'unereprsentationgraphiquede
s: f (1),onpeutoprerunedrivationgraphiquedontlaprci-
siondpendradelaqualitdutrac(fig.2).
. TracerlatangenteenunpointAetreleverL1S,M
. Porterlavaleurdev =L1S1L1tl'instantconsidr.
* Prsentation"pratique"( 72.5)
CD SCHMA D'UNE TRANSFORMATIONDE MOUVEMENT PAR EXCENTRIQUE
Constantes
00'=eO'H=RlM = t
x~
M
OM .x=s =7 cos (10 TCt)+120 (angleen rad)
0 DTERMINATION GRAPHIQUEs (t)
(mm)127
M =+0,05s
120
t (s)
L1s= - 6,5 mm
113 --"'"
t (s)
v (t)(mm/s) "
1
Environ
-130
-220
t(s) JI 0,01 0,02 0,03 0,04 ...
s(mm) 127 126,7 125,7 124 122 ...
v (mm/s) 0 -68 -129 -178 -209 ...
-
21.6 Acclrationd'unpoint
21.61AcclrationmoyenneSi lepointAsesitueenA1l'instantt1(s)etqu'ilpossdeune
vitesseinstantanev 1(m/s);s'ilpassel'instantt2enA2la
vitessev2,sonacclrationtangentiellemoyenneentret1 ett2,
noteatmoy(m/s2oum.S-2),vaut:
[
V2 - V1al moy = t 2 - t 1
21.62 Acclrationtangentielleinstantanel'instanttquelconque,l'acclrationtangentielleinstantane,
noteatcorrespondla1imitedurapportL1v lorsqueM~O.MOnlenotealors:
2al =dv; commev =ds: al=li= 5"(1)
dt dt dl2
EXEMPLE:
. Ondonne5=-10t3+2t+1(len(s)etsen(m)).
. Oncalculev=5'=ds/dt=-30t2+2etat=s"=- 60t.
RSULTATSPARTIELS:
21.63 Vecteuracclration~SilepointmobileAaunevitesseo l'instanttetsicettevitessedevientVA'/'R'O l'instantt+M, onpeutdirequelavitessevectorielleavarideL1Q;=VA'i'R'0- o pendantletempsM Onpose:
~=limtd--;oil~ =(d~o) =(d20!)ill dl ,RO dl,Jlo
21.64 Composantesintrinsquesdel'acclration
Puisquea,z;o=(~t ~ L etque~ = v.T,alors: .J,O
aA/'Jl'O=(JLv ).T+v.(JL~) =dV'T+v.(d'T) .lidl dl HlO dl ds ,ROdlEngomtrieanalytique,onmontreque (d7) = Nds ,il 0 R
ACCLRATIONMOYENNE
67
TrajectoiredeA
~ dans(8to)Zo
0 A1
Ao
Originedes abscisses curvilignes
V1 "1Xo
Yo..
Si s =Ao A1 = 5t2 - 8 (t en (s) et sen (m))v=10t
Si A se situeenA1 t =1 : V1=10 misSi A se situeenA2 t =2 : V2=20 misSon acclrationmoyenneentret1et t2
20 - 10 1 2vaut 8tmoY=2-=-1 = 10 m s
VECTEUR ACCLRATION
Zo
0
Xo
CA =rayonde courbure
--->
N reprsentelevecteurunitaire"normaleaupoint,toujoursdirigversle centredecourbure,et R reprsentela valeurdu rayondecourbure.
Onpeutdoncnoterque,quellequesoitlanaturedesmouvements:
aAi'JlO=at+ a; o:at =a/.T =dv .T : acclration tangentielle;
dt
a; =an.N=(v2/ R). N: acclrationnormale.
I(S) 0 1 2 3 4
sIm) 1 -7 -75 -263 - 631
v (m/s) 2 -28 -118 - 268 -478
a/(m/s2) 0 -60 -120 -180 -240
-
68
21.65 Dterminationalgbriquedel'acclrationSeulel'acclrationtangentiellepeutsecalculerpartirdel'abs-
cissecurviligne.L'acclrationnormaledpenddurayondecour-
buredelatrajectoirequel'oncalculedanslescasparticuliersde
latranslation,delarotationetdumouvementhlicodal.
Soit,pourlesexemplesdu 21.54.
v'=- 70n-sin(10n-t)~ a1=v'=- 700n-2cos10(n-t);
v=60t2_161 ~al=v'=1201-16 m/s2.
21.66 Dterminationvectorielledel'acclrationLapositiond'unpointMestconnuedansunrepre(0,J, y,z)dsl'instantquel'onsaitexprimersonvecteurpositionDMenfonctiondutemps1.Il suffitensuitedesavoircalculerdesdrives:
EXEMPLE:DM(x,y)avecx=31-1 ety=l2+31-1.
(distancesen(m)ettempslen(s)).---'>
() (X'
),
(X"
)DM x ~ V. oH'. (1)~ a ~H (1)Y MI(O,x,y,z)y'(1) MI(O,x,y,z)y"(1)CALCULS:
x=3t-1 ~y=12+31-1
x(I)=3, ~
y(1)=21+3
X"(I)=O
Y"(I)=2
21.67 Dterminationgraphiquedel'acclrationEllereposesurlemmeprincipequecelledelavitesseexpose
au 21.56.Elleselimitel'acclrationtangentielle.
21.7 Hodographed'unmouvementPourunmouvementdonn,onporte partird'unpointfixe
choisiarbitrairement,levecteurvitesse.L'extrmitP dupoin-
teurainsidfini,dcritunecourbeappelehodographe.
REMARQUE:
Surl'hodographe,lavitessedupointPcorrespondexactement
l'acclrationdupointA associ.
DTERMINATION GRAPHIQUE DE L'ACCLRATIONTANGENTIELLE
s (t)(mm)127
(Angleen radians)
-220
-.......
0,1 t (s)
-5,5-6,9
HODOGRAPHEExemple$demouvements Naturedel'hodographe
Mouvementrectiligneuniforme Unpoinl
Mouvementrectilignevari Unedroite
Mouvementcirculaireuniforme Uncercle
MouvementcirculaireSpiraleuniformementvari
113 11 1 1 1 l' , l'---.-- -"'"1 :0-
0 0,05 0,1 t (s)
v (t)(mm/s)1 J1
-
22Translationd'unsolide
22.1 Dfinition
Unsolideestentranslationdansunreprelorsque~ ~
deuxbipointsdistinctsAB etBe decesolide,gardentdesdirectionsconstantesaucoursdumouvement.
22.2 DiffrentsmodesdetranslationSelonlatrajectoiredespointsdusolide,latranslationest:
. rectiligneuniforme(chapitre23)ouvarie(chapitre24);
. circulaireuniformeouvarie(chapitre25);
. quelconque.
22.3 VitesseangulairesetlinairesLorsqu'unsolide(5)estentranslationdansunrepre(Hl0):
. Lavitesseangulairedetouslespointsde(5)estnulle:
flS/UlO=0 (rad/soutr/min).. Lavitesselinairedetouslespointsde(5)estgale:
VA ES/;JlO= VBES/~o'
Onditquele" champdesvitesses"estuniforme.
REMARQUE:
Lechampdesvitessessetrouvecompltementdfiniparun
torseurcinmatique:
(~SMoj= IflsMo VAShR;\=10 VAEShR;\'A
Larelationentremomentsd'untorseur(76)s'applique:
VAEShJl;= VBESMo+ABx0= VBEShRo'
69
TRANSLATION RECTILIGNE
Yo Funiculaire
0Xo
TRANSLATION CIRCULAIRE
Trajectoiresde C A ~l~, ~'-, '
Yor
Nacelle
OIAo Xo.Co 1
(~, AB) =90 (constant)
Les trajectoiresAo BoGoet
TRANSLATION QUELCONQUE
0 B
Vc'
Xo
-
70
23 Translationrectiligneuniforme23.1 Dfinition
Unsolideestentranslationrectiligneuniformesi:. toussespointsdcriventdesdroitesparallles;. toussespointsontunevitesseconstante.
23.2 ExempleDplacementuniformed'unetigedevrin/corps,
Autreexemple 24,5,
23.3 quationsdumouvement
[. OM.x=S(I)=vo(t-to)+SosU):abscissecurviligne(m)dupointMl'instantI(s),Vo :vitesse(enmis),dupointMl'instantlo(s),
So :abscisse(enm),dupointMl'instant10(s),
[. v(l)=s'(W Vo - M =Vov(I)- d tDrivedesU)parrapportautemps:S'(5)=ds/dl,
. a(1)=v'(I)=0 (ladrived'uneconstante=0)AcclrationtangentielledupointM: v '(01=dv/dl,
23.4 Caractristiquesvectorielles. Lesolide(5)enmouvementformant,pardeuxdesespoints,
unangleconstantaveclerepreUR0):
Levecteurvitesseangulaire~ =0. X reprsentantlevecteurunitairedelatrajectoire:
~ -->-->
ON =s.x+a.y (voirexemple)~ -->
VNi'!iO=VO.x ovo=s'
~ ,-;. V2 --> (aNi'Jl 0 =V .T +- N 21.64),R
PourunetrajectoirerectiligneR--+ 00 ; doncv2/R --+0,Commeparailleursv'=O: a;;;:;0=D,. Letorseurcinmatiqueestdelaforme:{ } f~o \ f
}
. ,i}S/fi(Q=\ ~ f=\ --> ouv=s(t)(constante)VNi'!iO v.X ,!iDComme~ = VN/U/O:le champdesvitessesestuniforme.
EXEMPLE
y
N=-YVr=x
;8l;;\ X;;1 ..001
Trajectoiresdespointsdelatige/corps
,,/M,,~
~ a /" ",,/Y\ ;;\/// ",,\ S(t)./ '0
APPLICATION:
1 La tigeparcourant130mmen 1 s d'unmouvementrectiligne
uniforme,calculerladistanceparcourueen1,5sl'aidedesquationsdumouvement.
2 ExprimervectoriellementlavitessedupointNdelalvredujoint
d'tanchitpendantcedplacement.
SOLUTION:
1 Lemouvementapourquation:
sU)=va (t- la)+sa
Posons:pour1=0(=la),s(O)=0mm(a),
pour1=1, s(1)=130mm(b),
Pour(a),l'quations'crit:0=sa,
Pour(b),elledevient: 130=va x (1)+0,
Doncv 0 = 130mm/s(vrifi),
Lorsque1=1,5s,onremplacedemme:
s(1,W130x (1,5-0)+0=195mm
2Touslespointsontunemmevitessechaqueinstant:
~ = V;;o = 1307 (mm/s)Onpeutremarquerque,pouruntorseur:
VM/,R = VN/'!iO+ MN x QSi'I10 = VNi'RO (76,1)
-
71
24 Translationrectiligneunifonnmentvarie24.1 Dfinition
Unsolideestentranslationrectiligneuniformmentvariesi :
. toussespointsdcriventdesdroitesparallles;
. toussespointsontuneacclrationconstante.
24.2 ExempleDplacementd'unporte-outildetourvertical:phases1et3dcritesparlesdiagrammesci-contre(voir24.5).
24.3 quationsdumouvementEllesexprimentlesrelationsentre:
. l'abscissecurviligneS(1)(exprimeenmtres);
. lavitessealgbriquev(t)(exprimeenmis);
. l'acclrationtangentielleat (exprimeenm/s2).Elless'crivent:
SU)=0,5at (1- tO)2+v 0 (t- to)+50'
5'=V(t)=at (1- to)+vo, to: instantinitial(s).
5"=a(t)=at. Vo:vitessel'instantto.
at : constante.
24.4 Caractristiquesvectorielles. Unbipointquelconquedusolide(5)entranslationdanslerepre,formeunangleconstantdecerepre:
1 la vitesseangulaire~ =0. X reprsentantlevecteurunitairedelatrajectoire:(voirfig24.5) DM=srI)'x- h.Y,
VMjc;,=v(t).X, .
aw;=at.xREMARQUE:Pourtoutmouvementrectiligne,l'acclrationesttangente
latrajectoire.. Letorseurcinmatiqueestdelaforme:
{OSI'RO})[2SURO\)~ \->o ->\ VMESU/10f\ VMESI'ROfVMESI,RO=V(I).x
VNESf;R>O=VMESI'R>O+NMX~= ~o*le champdesvitessesestuniforme.
* Relationentremomentsd'untorseur741
DIAGRAMMES DU MOUVEMENT
Loidesacclrationstangentielles
at(m/s2)a1
a1>00 1 Acclratiort
ta t (s)
a2Phase 1 Phase3
v (m/s)V1 ------
t (s)Va
L'acclrationtangentielleestunedrivedelavitessealgbrique
Lavitessealgbriqueestuneprimitivede l'acclrationtangentielle
s(m)
Sa
t (s)
Phase1
ta
L,avitessealgbriqueestunedrivedel'abscissecurviligne
1 curviligneestuneprimitivedelavitessealgbrique
-
72
24.5 tudedetranslationsrectilignesLecroquismontrelemouvementducoulantd'untourvertical
verslemagasindesoutils..Phase1Partantdurepos,lecoulantatteintlavitessede0,06misen2sselonunmouvementuniformmentacclr.
. Phase2Lecoulantpoursuitsonmouvement,defaonuniforme.
. Phase3Lemouvementducoulantdevientuniformmentretardjusqu'
l'arrt,surunedistancede0,2m.Sur l'ensembledestrois
phases,lecoulantparcourt1,4m.
crirelesquationsdumouvementpourchaquephaseettracer
lesdiagrammescorrespondants.
SOLUTION:.Phase1 (mouvementrectiligneuniformmentacclr):a=a1etv=a1(t- la)+Va.Posons:10=0(originedestemps).Lorsque1=0, V =0 ; lorsque1=2,v =0,06mis.
Donc:0,06=a1. 2 =?a1=0,03mN.
8,=0,03m/s2; v=0,031; s=0,01512.
Casparticulier:quand1=2s,S(2)=0,06m.
. Phase2(mouvementrectiligneuniforme): a2 (constante).
s=va(t- la)+sa s'critici: s=0,06(t- 2)+0,06.
Casparticulier:lorsques =1,2m, le mouvementchange.Soit12cetinstant,onpeutcrire:
sI t2)=0,06(t2- 2)+0,06=1,2 =? 12=21S
82=0 ; V =0,06mis; s=0,06(/- 2)+0,06.
. Phase3 (mouvementrectiligneuniformmentdclr):
a=a3
-
25 Translationcirculaire
25.1 Translationcirculaireuniforme25.11Dfinition
C'estunetranslation(chapitre22)aucoursdelaquelle
unpointquelconqueliausolidedcritunetrajectoirecirculaireavecunevitessedenormeconstante.
25.12Proprits. Pourtoutetranslation;;;;:;0 =.. PourunpointparticulierM: 0)0=e' =~~(constante)LoisdumouvementdeM:
( ).
1
t0 =originedestempse =0)0' t- t0 +e 0 ou
e 0=originedesangles,
8'=d8/df=OJo(constante),
8"=d28jdt2=0) 0=0(acclrationangulairenulle).. Touslespointsontmmevitessechaqueinstant.25.2 Translationcirculaireuniformmentvarie25.21DfinitionC'estunetranslation(chapitre22)aucoursdelaquelleun
pointquelconqueli ausolide, dcritunetrajectoirecircu-
laireavecuneacclrationconstante.
25.22 Proprits. Pourtoutetranslation;;;;;0=(lavitesseangulairedusolideestnulle).
. PourunpointparticulierM:8 =1/2.OJo (t- fO)2+OJo(1- fo)+80; (OJo=8"0)'8' =d8/df=OJo(t- fo)+OJo (ou8'=OJ),
8"=d28/df2=OJ'o(constante).
. Touslespointsontmmevitessechaqueinstant.REMARQUES:
Il convientdebiendistinguer:
. Lavitesseangulairedusolide(nulle)etcelleOJod'unpoint
telqueMtournantautourdeMo.
. L'acclrationangulairedu solide(nulle)et celledu> -> 2 -->
pointM: aM/9O=0)'0,r.H OJ.r.N.
. Lavitesseangulaire;;;;:;o= etlavitesselinaireV;;o.
73
TRANSLATION CIRCULAIRE UNIFORME
Sa
M
\\
\Mo
r;jsta.nte);Mo(constante)
et v=8'.r=OJo.ret aN=8'2.r=OJo2. r
TRANSLATION CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE
M
\~ r-->\\ aM/mo,/'/ N \,/\~,/
8 //
I~~~IMo
-
74
25.3 tudesdetranslationscirculairesLecroquisci-contreschmatisepartiellementunbrasmanipu-
lateurdefonderie.Lemouvement,d'amplitude225sedroule
entroisphases:
. Phase1 rotationuniformmentacclresur15(~ rad),. Phase2rotationuniforme1rad/s,
. Phase3 rotationuniformmentdclrsur30,
crirelesquationsdumouvement,tracerlesdiagrammeset
prciserlavitessedeGainsiquesonacclrationdanslaconfi-
gurationci-contresachantqueDA=1,7m.
SOLUTION:
L'tudeseramnecelled'unpointdontonconnatlatrajec-
toire,Aparexemple.
. Phase 1 (mouvementuniformmentacclr)8'; (constante):Lorsque1=0:10=0,Wo=0,80=o(conditionsinitiales).
Lorsque1=11:8(11)=0,5811~=n:/12;8(t1)=8l' 11=1.Donc 81=1/11etn:/12=0,511,d'o 11'"0,524s et81=1,91rad/s2.
8=0,95412;8'=1,911;8"=1,91pourIE[O;0,524],-
. Phase2(mouvementuniforme)82(constante):8=wo(l-lo)+80s'critici: 8=1(1-0,524)+n:/12,
Lorsque8=2250- 30=195=180+W =13n:/12,1=12,Donc13n:/12=12- 0,524+n:/12=>12'"3,67s.
8=1-0,524u/12; 8'=1;8"=opour1E [0,524;3,67],
. Phase3(mouvementuniformmentdclr)83(constante):8=0,5Wo(1-10)2+wo(t- 10)+80et8'=Wo(1- 10)+Wo s'crivent:
8=0,583(1-3,67)2+1(1-3,67)+13n:/12,
et8'=83(1-3,67)+1.
Lorsque1=14:8'=0soit83=-1/(1-3,67),8=225=5n:/4rad.
Donc5n:/4=-0,5(1-0,367)+(1-0,367)+13n:/12=>/",4,71s,
8 =0,477(1-0,367)2+1-0,367+13n:/128'=0,955(1- 0,367)+18"=-0,955rad/s2pourlE [3,67;4,71].
Danslaconfigurationdelafigure'8 =30,situedanslaphase2,Onpeutcalculer1(n:/6)=1s, lavitesselinaire:
I!VG,S/HOIl=I!VA,SM0Il=1,7x 1=1,7mis
etl'acclration: 3N=8'(2=1,7m/s2.
MANIPULATEUR DE FONDERIE
Trajectoiredu - -- -,pointG y ~
//
~11
Pice
Sortie
de coule \Soc l rde refroidissement
g" =w' (rad/s2)
1,91
1 '-0,95 - 0,52 _1 ~67
4,71-,,---'>
t (s)
g' =w (rad/s)
3,67 4,71
t (s)
0,52
go(rad)
5n:1 (225)4
13n:1 (195)12
n:12
o
t (s)
0,52 3,67 4,71
-
26Rotationd'unsolideautourd'unaxefixe
26.1 Dfinition
Unsolide(S)estenrotationautourd'unaxede(So)lorsquedeuxpointsdistinctsde(S)concidentenper-
manenceavecdeuxpointsdel'axede(So).
26.2 Diffrentsmodes. Rotationuniforme(27.1).. Rotationuniformmentvarie(27.2).. Rotationquelconqueouselonuneloidistinctedesdeuxmodesprcdents.
26.3 Caractrisationdumouvement. Touslespointsdcriventdestrajectoirescirculairescoaxialesavecl'axederotation.
. Touslespointstournentdummeangleaummeinstant;
onditalorsque:
Dansunmouvementderotation,touslespointslis
unsolideontmmevitesseangulaire.
. Lavitesseangulaired'unsolide(5)enrotationparrap-
port unautresolide(Sa)auquelonassocieunrepre
(~( 0,~,~, ~) peuttrereprsenteparunvecteurQSlffiO=(.~ de:
- direction:celledel'axe(O,~);-sens:celuidfiniparlargle"dutire-bouchon(oudestroisdoigts);- valeuralgbrique:OJsurl'axederotation.
26.4 RelationentrevitesseslinairesetangulairesOnsaitque~S"'R0= v. T=ds .T (21.53)
!. . dtPourunmouvementcirculaire:s=R.B.
Doncds/dt=RdB/dt=ROJ;d'o:
II~oll=I(I.R
avec((rad/s),R(m),Il~oll (mis
75
Uilo)=(O,~, y;, 20)
SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE
Xo
Solide (S)en rotation
dans UR.o)
Xo
Trajectoirede BE(S)
dans (ffio)
TrajectoiredeAE(S)dans (~R.o)
(Sa)
Points de (S)fixes sur
l'axe (0, z;)
0 0102
Z;0
/'"
'"
Yo
VITESSES LINAIRE ET ANGULAIRE
Xo
Qsmw= OJ.20
( = ~ =8'dt
Vitesse
angulaire
-
76
26.5 Relationvectorielle~
entreVAES/fiO etDS/fROLadfinitiondeDShj~indique26.3setrouvevrifieparlarelationvectorielle:
VAESM~=Aix ~*
]~re : ~ ~ o1E axederotationVAES/,RO=;/fA (/,as/~(o)
NOTA:/if;(l,DS/UI0)selitmomentenAdupointeur(1,15).
26.6 TorseurcinmatiqueIldfinitcompltementlemouvementcirculairedusolideuninstantdonn.
. Touslespointsontmmevitesseangulaire:DS/fJ(0=w.z' estlasommedecetorseur;
. Lespoints1situssurl'axeontunevitesselinairenulle:Ils'criten1:
lIJJOZ } ~ ~(1?SMoJ= ~ ~ car VIES/HO=OlE (A,z) 0. Lavitesselinairedetouslespointsde(5)s'endduit:
~ESMo=~eS/ffio+MxDs/ffiO=MxDs/ffiO
(76.1).
26.7 ChampdesvitessesD'aprslarelation 26.4,puisquewa mmevaleurpourtous
lespointslisausolide,lavitesselinaireIlVAeS/~OIlvarielinairementavecladistanceR l'axederotation(fig.2).
26.8 Exemples. Unsolide(5)estenrotationautourdeABlavitessede300tr/min.CalculerlavitesselinairedeMsitu50mmdel'axeAB.
IlVM,S/fROIl=300x 26;x 50=1571mm/s=1,571mis.. Unsolide(5)estenrotationautourdel'axeCd).L'undesespointsNsitu100mmde(,1)aunevitessev = 3mis.
CalculercelledePsitu70mmde(,1),
vN= w,(N et vp= W.lp:
donc Vp= VN' IN/lp = 2,1m/s.
, x :signeduproduitvectoriel(/\ esttolravecrserves:voir 70.6).
CD TORSEURCINMATIQUE -tZoAxe de rotation >
(ou axe centralde {VShiW}) Ir.~ShJ\O
Plateautournant(S).QS/,J(a
Socle (Sa)
0 EXEMPLE
.QS/,J\O
Champ des vitessesselon lN
. L'axederotationABde(5)estdfinidans(9lo)parA (20,20,30),B(-10, 50,70).(5)tourne100tr/minautourdeAB.
Etablirletorseurcinmatiquede(5)/(~Ro)'
(- 30
)
- 3
)OnpeutcrireAB=OB- GA= 30 =10 3
40 4
DoncIIABII=\110(-3)2+(32)+42=10\134
~
(
- 3/\134
)D'o~= II~:Il = ~~~w=100tr/min=10,47rad/s.
P'
t . J ~ J [10,47Z;)arconsequen. \ if S/,R0 = ~0 le (AB)avecZ;dterminci-dessus.
-
27Mouvementsderotationparticuliers
27.1 MouvementderotationuniformeEnunpoint1del'axederotation(axecentral)Z, letorseur
cinmatiques'crit:
[~
JfD;;o\ ~ ~
1JS/~o =1\ faVeCQS/~O=OJO'z (constante)
27.2 MouvementderotationuniformmentvariEnunpoint/del'axederotation(axecentral)Z, letorseurcin-
matiques'crit:
[>
] f~o } >1JSlfRO =/\ avecQSlfRO=w.z(variable)
27.3 ExempledecalculUnebrochedetouratteintlavitessede800tr/minen0,4s,d'un
mouvementuniformmentacclr,L'usinages'effectueensui-
te vitesseconstantependant10s,Enfinl'arrtseproduit,
en0,3s,d'unmouvementuniformmentdclr,
Onsouhaite:
. tracerlesdiagrammesdecemouvement;
. crireleslois desmouvementsdechaquephase;
. connatrelesinstantsentrelesquels90%aumoinsdelavitesseestatteinte,
77
EXEMPLE DE CALCUL
y (l,X;y,z) =(ffi)y
A
x z
,lrephase~2e phase800tr/min=83,8 radis
o mmt'1
f
OA 1OA
~
t'2 10,71
t (s)8 (rad)
~~==============----
81t - .-4"
r 1 1 1t(s)
,.' jj:;~~~i:il
:- - - - - - - - - - - - - - _I~~iiliii~;,::;,jjjj.~
LoisdumouvementI(s), m(rad/s),fI"(rad/s2)(Anglebalayetacclrationangulairesedduisentdemo)
Vitesseangulaire(rad/s) mo(ou8'0)constante
Anglebalay(rad) 8=mo(1-10)+80
Acclrat,ionangulaire(rad/s2) 8"(oudwoud280uw ')=0dt dl2
LoisdumouvementI(s), m(rad/s),fI"(rad/s2)(Vitesseangulaireetanglebalaysedduisentdefi "0)
Acclrationangulaire8"0(00dw ou ouw '0)constante(rad/s2) dt dt2
Vitesseangulaire(rad/s) 8'=8'0(1-10)+8'0(oum)
Anglebalay(rad) 8=19'o{t- 10)2+ 8'0(I- t 0)+e 02
1rephase: 1E (0 ; 0,4)
fi" (=m'=dm/dl) =83,8/ 0,4 =209rad/s2m (=e' =de/dl) =209(1- 0)+0 =2091
w (90%)=83,8x 0,9 =75,4radisDonc75,4 =2091'1=>1'1=0,36s
e(t) =112.209(1-0)2+0(1-0)+0 =104,7f2e (0,4)=16,76 rad =2,67 tr
2ephase: lE (0,4; 10,4)
m1(=fi; constante)=83,8radis
m' (=e") =0
fI(l)=83,8(1- 0,4)+16,76
fI(10,4)=83,8x 10+16,76=855rad =136tr
3ephase: lE (10,4; 10,7)
fI"(=dm/dl=m') =- 83,8/0,3=- 279rad/s2fI'iI) (=m) =- 279(1-10,4) +83,8fi'(90%)=75,4radis(voirci-dessus)Donc 75,4 =- 279(1'2-10,4) +83,8D'o1'2=10,7S
fi (1) =-1/2 (279)(1-10,4)2+83,8(1-10,4) +855
fi (10,7)=-139,612 x 0,32+83,8x 0,3+855fi (10,7)=279rad =136tr
-
78
28Mouvementplansurplan
28.1 Dfinition
Deuxsolides(50)et(51)sontenmouvementplansur
planlorsqu'unplanreloufictifdel'unresteconstam-
mentencontactavecunplanreloufictifdel'autre.
CONSQUENCES:
. L'tudeseconduitdanstoutplanparallleceluidumou-vement.
. Onassocieunreprederfrencel'undessolides(repre
(9\'0)li(50)parexemple)etl'ontudielemouvementde(51)parrapport(9~0)'
28.2 Champdesvecteursvitesses. Touslespointsd'unmmesolideontmmevitesseangu-laireDS1/S~'
. uninstantdonn,lesvitesseslinairesVAES1/S0etVBES1/S0dedeuxpointsAetBde(51)sontgnralementdiffrentesendirection,sensetintensit,Toutefois,(51)semble
tournerautourd'unpointfixe1situl'intersectiondesperpen-
diculairesenchaquepointauxvecteursvitesseslinaires,
1estlecentreinstantanderotation(C.I.R.)
. l'instantconsidr- correspondantuneimagephoto-graphiquedel'objet(51)enmouvementplan- onpeututiliserlesrelationsdumouvementcirculaire(26,5) :
[DS1/S~ =w.lu' VMES1/S;=Mix DS1/S0 ]. Lechampdesvitessesestreprsentableparuntorseurcin-matiqueexprimenMquelconqueouauC,I,R,1:
[1J )=!~
]=
(
DS1/S0
],S1/S0 ' -
M VMES1/S0 1 0
. Lesrelationsentremomentsd'untorseur(74)permettentderetrouvertouscesrsultatsfondamentaux,
PISTON- BIELLE- MANIVELLE
Manivelle
Ay
0 DS1fSo 0z
50 (Repre)
~-1Bti) -
0 x
1(centreinstantande rotation)
0 DS1fSo
VBES1fSo
DS1fSO
-
28.3 Mouvementsplansurplanparticuliers
28.31 Solideenrotationparrapportunaxefixe(Voirgalementchapitre26,)
.Un plandusolide(S),perpendiculairel'axederotation(0,z)
resteconstammentdansunplanfixeparallle(0,X,y)=(fR,),
. Enprojectionsur(0,x,y,z),touslespointsdcriventdestrajectoirescirculairesdecentre0,
. Aupoint0,letorseurcinmatiques'crit:
f 7 -7}. 7 -7
0{z9.s/9t}= \.Q S/fR 0 ou .Qsm!.= (J).Z
EXEMPLE:
(S)tourneautourde(0,z) danslesensindiquci-contre,
300tr/min,Alors,m=- 300.2,,/60=- 31,4rad/s,. Lavitessedetouslespointss'endduit;parexemple:
~ =;il(O,~) =Mx ~ * ( 761)etparconsquent:Il ~11=lml.AO,
Pourlesautrespointsde(S), 1ml estlemme;seuleladis-tanceAOvarie.
Dansunmouvementderotation,lavitesselinairedes
pointsestproportionnelle leurdistance l'axede
rotation.Ilsontmmevitesseangulaire.
28.32 SolideentranslationquelconquedansunplanL'ensemble(S),ci-contre,gardeunedirectionconstantedansle
repre:il~nc entranslation(chapitre22)etsavitesseangulaireQs/9t estnulle,
EnA, letorseurcinmatiques'crit:
Jo;1}={~det V;:;1=~,
Dansunmouvementdetranslation,touslespointsontla mmevitesselinaireet unevitesseangulairenulle.
* x ,signeduproduitvectoriel(Aesttolravecrserves;voir 70.6)
79
RPARTITION DES VITESSES POUR UN SOLIDEEN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE
z
RPARTITION DES VITESSES POUR UN SOLIDEEN TRANSLATION DANS UN PLAN
~ ~ "'\
\
_-1..-- LI--, 1-- ;')~ -~J=l~~
"r- r',
J ,>2J -:.~l "'\ / i 1 ~~f Y :_--J
V ~ntre derotationde(S)estrejet
l'infini
-
80
28.4 quiprojectivitdesvitessesdespointsd'unsolide. Lesvitessesd'unpointd'unsolidesedduisentdesontorseurcinmatique(28,2):
(1Js/fJd= S(nS/fR VSES/9~)et
VAES/~= VBESM+ABx nS/9l
. EnmultipliantscalairementchaquetermeparAB :
VAES/fJ~ .AB = VSES/f~. AB ,
Il~II .cosaA= IIVBES/fJ~11.COSaBSi AetBsontdeuxpointsdistinctsd'unsolide,lapro-
jection(algbrique)delavitessedeAsurAB estgale~
laprojection(algbrique)delavitessedeBsurAB.
EXEMPLE:
Enactionnantlagachette2duscateurlectroniqueci-contre,
onmetlavis1enrotationparrapportlapoigne0,
Celaentranelatranslationdel'crou3qui,parl'intermdiairede
labiellette4,actionnelarotationdelalamemobile5autourde
l'axeC,fixedans0,
Leschmacinmatiqueestreprsentl'instantolepointD
approchedupointE
ConnaissantlavitesseVAE3/0 cetinstant,ondterminegraphiquementV0E 5/0:
. VAE3/0(connu)= VAE4/0(liaisonpivotenA),
. LaprojectiondeVAE4/0surAB estgalelaprojectionde
VSE4/0surAB: AHA= BHs,(Attentionauxsensetl'angledroit.)
. VSE4/0= VSE5/0(liaisonpivotenB),
. VSE5/0estperpendiculair