guide du calcul en mécanique 03

. EXEMPLE4:Soitunemachinetrononnerlesprofils.

DterminerleseffortsenC,1etJ pendantlaphased'acclration

maximaledel'ensemble(5)={1,2,9}.

Onconnat:

. lamassedel'ensemblem=7kg,

. leseffortsdansleplan(G,X,z),

. lesfrottementsen1etJ d'anglecp=8,5,

. l'acclrationa;: =4x (mis2).

Modliserlesactionsmcaniquessur(5)

. distance:poids1- mg~\

. Decontact:G\0 1Leseffortsdslapressionatmosphriquesecompensent,

fXI 0\ fXJ 0\ fXc 0\en1 0 0 . enJ 0 0 . enC 0 0/\ZI of' j\zJ of' c\zc of

. Unetuderapide(sanscalculs)danslecasdeliaisonspar-

faites(ll= lj= 0)permetdedterminerlesensdesnormalesen

1etJ; onendduitlapositiondecespointssurlesgnratrices.

D'autrepart,ladirectiondel'effortmoteurenCpermetd'crire

larelationle=- Xc.tan7,5.Avecfrottement,onajoutelesrelations:

XI=- II' tancp, Xj =lj' tancp(chapitre32).

Appliquerle principefondamental

- II .tan cp+ lj .tan q>+Xc = m .a-m.gtZl +lj -Xe.tan7,5=0

L~(F8xi)=o:G/x+GJxJ+GCXC=O

~ec

(

: 16

)

~

(

- h tanf{J

)

~

(

136

)GI 0; 1 0 ; GJ 0

- 58 ZI - 58

-;>

(

-IJ' tancp

)

~

(

76

)

->

(

-Xc

)JO' GC O. C 0

ZJ ' -130' -Xc. tan7,5

Onobtient:

- 7,3311-148,2511-120Xc=0

(1)

(2)

(II)

Rsoudrelesquations:

Enremplaantmpar7,apar4etcppar8,5,cesystmedetrois

quationspermetdecalculerII, lj, Xc.

Lesrsultatssontportssurlecroquisci-contre.

201

CROQUIS D'ENSEMBLE

16

151413

ENSEMBLE (8)= {1,2, 9 }

Nota:

202

. EXEMPLE5:

Unmonte-chargedemassemi=1500kgavecsonchargement

estsoulevparuncbledediamtred=10mm.Cecbleaune

limitelastiqueRe= 1200MPa*etunemassevolumique

Pv=7,2kg/dm3.Pourlapositionbassedumonte-charge,lecble

aunelongueurdrouledeL=30m(massenonngligeable).

Dterminer:

1 Le coefficientdescuritdu cblelorsqu'ilsoutientle

monte-chargel'arrt.

2 partirdequelleacclrationdumonte-charge,lecble

risque-t-ildeserompre?

SOLUTION:

. Lacontraintemaximaledanslecblesesitue sapartie

suprieurelorsqu'ilestcompltementdroul.2

Masseducbledroul:m2=p v.lliL. L4

Pv=7,2kgldm3\d=0,1dm /m2=16,96kg.L=300dm

Avec:

. Massetotalesoutenue=mr= m1+m2""1517kg.

. Calculerlecoefficientdescuritl'arrt:

Il s'agitd'uncalculdersistancedesmatriauxpouruncble

soumislatractionsimple:

E "" Re=>s=Re.S= Re.S5 S Fmax(m1+mi)g

Re=1200MPa \Avec:5=n:x 52mm2 ~ coefficientdescurits""6,2

m1+m2=1517kg

rg=10m/s2. Calculerl'acclrationentranantle dpassementde la

limitelastiqueducble:

Il fautisoler{cbledroul+monte-charge)(voirci-contre),

L proj;z(F;i)=(m1+mi)aSoit:T- (m1+m2)g=(m1+m2)a =>T=(m1+m2)(a+g)

Ilfautque: I< Re soit Tmax=Re.55

Donc: (m1+m2)(atg)=Re.S=>amax=~-gm1+m2

. Applicationnumrique:Re=1 200N/mm2;m1+m2=1517 kg\amax=52,1mis2S=n:x25mm2;g=10m/s2 famax""5.g

* 1 MPa = 1 N/mm 2.

CBLE DE TRACTION

E0C')Il-J

1 T

2cCI!"'0cQ)urJ)CI!Q)rnu:eQ)>

m2.g

Cble

0d::::'10mm

1 T

1-m2.g

, ~~g

I~

NOTA:La pressionatmosphriqueagissanttoutautourdusystme,larsultantedeseffortsqu'elleengendreestnulle.

57Solidesenrotationautourd'unaxefixe

Touslesp~e l'ensembletournant(S)ontmmevitesseangulaireQ Sjrkgdansunrepregalilen(9lg).Si:

. z reprsentelevecteurunitairedel'axederotation,

. (=e' (oude/dt)reprsenteladriveparrapportautempsdel'anglee balayparchaquepointde(S)dans(9lg),

alors:;;;;;;g= (. z(chapitres26et27).57.1 Choix durepreOnlimitel'tudelarelationd'unsolideautourd'unaxefixe.

Lechoixdecetaxedoitpermettredevrifierleprincipefonda-mentaldeladynamiqueavecuneprcisionsatisfaisante(voir56.2).

REMARQUES:

. Lemouvementderotationestplan(chapitre28).

. Onnotegnralement(0,X;), (0,'y;)lesaxesduplanet(0,7;)l'axederotationperpendiculaireceplan.

203

SOLIDE EN ROTATION

Axe de rotation

Xs

---+---

Xg

Yg

evZg

t-Xg

evQSMg = OJSfCjlg'Z

57.2MOMENTS D'INERTIE J D'UN SOLIDE PAR RAPPORT UN AXE PASSANT

PAR SON CENTRE DE GRAVIT

DfinitionL (L1m)=m(kg)

J6Z9(ouPD2*)

Cylindrepleinhomogne

massem(kg)

Cylindrecreux(couronne)homogne

massem(kg)

Tigerectilignesectionngligeable

homogne,massem(kg)

0~Axe Zg

J 6zg = L{L1m.r2)

t t tkg.m2 kg m2

JGzg =1 m.R22 JGZg=l m{R2+f2)2 JGzg= ~ m.R25

2 2JGZg=mt =mt'

12 3

* Ancienneappellation.

Sphrepleinehomogne

massem(kg)

Axe Zg Axe Zg

~.~

_G -f'l"

l'

G Zg~

204

57.3 ThormedeHuygensIlpermetd'exprimerlemomentd'inertied'unsolidehomogne

parrapport unaxe(A, I;) connaissantceluiparrapport

(G,I;) quiluiestparallle.

[ JAzg(S)=JOzg(S)+m.d2JAzg:momentd'inertiede(5)parrapport(A,I;) parallle

~ 2(G,lg)(kg.m).

JGzg:momentd'inertiede(5)parrapport(G,I;) passantparsoncentredegravit(kg.m2).

m :massede(5) (kg).

d :distanceentrelesaxes(G,I;) et(A,I;) (m).

57.4 Calculsdesmomentsd'inertie

57.41 Centresdegravitsurl'axederotationLesinertiesdechaquesolidelmentaireayantsoncentrede

gravitsurl'axederotations'ajoutentdirectement.

EXEMPLE:

Leplateau(P)estconstitudedeuxcylindrescreux:

. 51,d'inertieJAzg(51)= 1,08x 10-3kg.m2.

. S2 (dfini ci-contre) de massevolumique Pv = 7,2 kg/dm3.- 1 2 2

JAzg(52)-2m2.(R +r) (57.2).

m2=Pv.7T(R2- r2).e=7,2x 7TX(0,62- 0,22)x 0,2"'"1,45kg.

JAzg(52)=0,5x 1,45(0,062+0,022)= 2,9 X 10-3 kg.m2.

. (P)=(51,52)adoncuneinertie:JAzg(P1)"",4x10-3kg.m2.

57.42Centredegravitextrieur l'axederotationAppliquerlethormedeHuygens.

EXEMPLE:

Connaissantlescaractristiquesdumaneton(5) :

JA zg(5)= JGzg(5)+ m.d2= 3 x 10-6+ 0,08x 0,052"'"2 X 10-4.

Pour({P),(5n :

JAzg=4x10-3t2 x10-4=4,2X10-3kg.m2.

PLATEAU MANIVELLE

Plateau (P) Maneton(8)

Inertie JGzg

=3 x 10-6kg .m2Masse m =0,08 kg

Zg

1L Axe derotation

NOTA:

. Pour calculer l'inertie d'un solide par rapport un axe, ilfaut dcomposerce solide en volumesgomtriquement

simples,d'inertieconnueoufacilementcalculable.

JAzg{(P),(S)}=JAzg(S1)+JAzg(S2) +JAzg(S).

. La recherchedu centrede gravitde l'ensembleest gn-

ralementinutile.

. Porterl'attentionsurlesunitsutilises(chapitre72).

57.5 Momentcintique

57.51Momentcintiquelmentaire

SoitPi un pointdu solide,auquelon associeunemasse

lmentairemi'

. Laquantitdemouvementdecepointsenote:P;=mi'V; (unit:kg.mis).

. Lemomentcintiquedecepointparrapport(.1):~ 2

#.1(Pi'P;) = H;P;.mi,vPi= mi.ri') carv; = ),(;.

57.52 Momentcintiquedusolide~ ~

IlsenoteLI1(5/91g)=!;!f11(P;,P;).

Enprojectionsurl'axe(.1),onobtientunerelationalgbrique:--- - ~ 2 2LI1(5/~J(g)=!;!f.1(Pi'Pi)=!(mi' ri .w)=w.!(mi.ri )

L,j(SJ;J(g)=J,j(S). w

LIl(5/fJ1g):momentcintiqueparrapport.1,de(5)(kg.m2/s).

JI1(5) :momentd'inertiede5parrapport.1(kg.m2).

w :vitesseangulairede5autourde.1(radis).

57.6 Torseurcintiqued'unsolideparrapportunaxeL1

Re=m.VGJ;Rg: rsultante cintique

m :massedusolide.~

VG/Y(g :vitesseducentredegravitGde(5)dans(01g)'

!0'SNg),j =(R; L,j(sh/gd~

LI1(5/fRg):momentcintiqueparrapport(.1)de(5)1(0lg).

Lorsquelesolidetourneautourde(.1)sansglisserlelongde

cetaxe,onobtient:

1tbS/~Kgl,j=(0 L,j(ShJlg).) =(0 J,j.w.x)

NOTA:

Nepasconfondrele torseurcintique(quiassociemasses

etvitesse)avecletorseurcinmatique.

205

MOMENT CINTIQUE

(,1)~Axe de rotation

Momentcintiqueen(..:1)dePi

L,j (P;) =rff,j (Pi' p;)

Hi

Point

(particulelmentaire)

Quantitdemouvment

de Pi

MOMENT CINTIQUE D'UN SOLIDE

(,1)

Yg

{]S;'Rg= w.Zg

TORSEUR CINTIQUE D'UN SOLIDE (S) EN ROTATIONAUTOUR D'UN AXE (,1)FIXE

(..:1)

L,j(S)'z =J,j. w

Rc=OO~1

(La rsultantecintiqueest nulle)

206

57.7 Thormedumomentcintique.ThormedeKoenigIlexplicitelarelationentremomentsd'untorseur(76.1).Pour

letorseurcintique,oncrit:

((QShJg)G= (R; LG(S/8;))et (0'Shllg)A= (R; LA(S/8lg))'

~ ~ ~ ~*

LA(S/,Ilg)=LG(SNlg)+AGx Re

Le momentcintiqued'unsolide(5), enunpointA

quelconque,estgalaumomentcintiquedecesolide

ensoncentredegravitaugmentdumomentenAde

sarsultantecintique.

REMARQUE:

PQurunsolideenrQ!~tionaut~unelxefixe,larsultante

cintiqueestnulle(Re=M.VGhJlg= 0).

(5)enrotationautourde(G,Z;) (fixe)passantparG:~~

LA(s/tRg) =LG(S/tilg)'ifA (quelquesoitA),

LG(Sltilg) .Z; =JGz' CJJ.

57.8 Moment dynamiquedlun solide. ChaquepointPi dusolide(5),associunemassel-mentairemi, aunequantitd'acclrationnotemi' aPiMg.

Onappellemomentdynamiquedusolide(5) parrap-

port unaxe(G,Z;) lasommedesmomentsparrap-port cetaxe,desquantitsd'acclration.

;lfdG(S/;ilg) =1:1i;;; (Pi' m.apiJ8:g)

. Thormedumomentdynamique.Lemomentdynamiquesedduitdumomentcintique:

d~

;lfdG(s/,R.g)=diLG(Shilg)

. Pourunsolideenrotationautourde(G,z) :

d;lfdG(Sl8lg)= di (JGz'CJJ) = JGz'CJJ' = JGz(}"

;ffdenkg.m2/s2

JGzenkg.m2.11)'et (J'en radis 2.

, x : signe du produit vectoriel (1\ est tolr, avec rserves. Voir 70.6).

THORME DE KOENIG

LA(smlg} = LG(ShJlg}

MOMENT DYNAMIQUE

Solide S

Xg

/;f!dG(S/;Rg}

S~lide(S)enrottio;;70lg~

. LG(S/;Jlg} =JGZg' e'=JGz' 11)

. ;f!dG(S/;Jl9}= JGZg' eu = JGz .11)'

57.9Torseurdynamique

Pourunsolideenrotationautourd'unaxefixepassa