guide du calcul en mécanique 03

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Guide Du Calcul en Mécanique part3Guide Du Calcul en Mécanique part3

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  • . EXEMPLE4:Soitunemachinetrononnerlesprofils.

    DterminerleseffortsenC,1etJ pendantlaphased'acclration

    maximaledel'ensemble(5)={1,2,9}.

    Onconnat:

    . lamassedel'ensemblem=7kg,

    . leseffortsdansleplan(G,X,z),

    . lesfrottementsen1etJ d'anglecp=8,5,

    . l'acclrationa;: =4x (mis2).

    Modliserlesactionsmcaniquessur(5)

    . distance:poids1- mg~\

    . Decontact:G\0 1Leseffortsdslapressionatmosphriquesecompensent,

    fXI 0\ fXJ 0\ fXc 0\en1 0 0 . enJ 0 0 . enC 0 0/\ZI of' j\zJ of' c\zc of

    . Unetuderapide(sanscalculs)danslecasdeliaisonspar-

    faites(ll= lj= 0)permetdedterminerlesensdesnormalesen

    1etJ; onendduitlapositiondecespointssurlesgnratrices.

    D'autrepart,ladirectiondel'effortmoteurenCpermetd'crire

    larelationle=- Xc.tan7,5.Avecfrottement,onajoutelesrelations:

    XI=- II' tancp, Xj =lj' tancp(chapitre32).

    Appliquerle principefondamental

    - II .tan cp+ lj .tan q>+Xc = m .a-m.gtZl +lj -Xe.tan7,5=0

    L~(F8xi)=o:G/x+GJxJ+GCXC=O

    ~ec

    (

    : 16

    )

    ~

    (

    - h tanf{J

    )

    ~

    (

    136

    )GI 0; 1 0 ; GJ 0

    - 58 ZI - 58

    -;>

    (

    -IJ' tancp

    )

    ~

    (

    76

    )

    ->

    (

    -Xc

    )JO' GC O. C 0

    ZJ ' -130' -Xc. tan7,5

    Onobtient:

    - 7,3311-148,2511-120Xc=0

    (1)

    (2)

    (II)

    Rsoudrelesquations:

    Enremplaantmpar7,apar4etcppar8,5,cesystmedetrois

    quationspermetdecalculerII, lj, Xc.

    Lesrsultatssontportssurlecroquisci-contre.

    201

    CROQUIS D'ENSEMBLE

    16

    151413

    ENSEMBLE (8)= {1,2, 9 }

    Nota:

  • 202

    . EXEMPLE5:

    Unmonte-chargedemassemi=1500kgavecsonchargement

    estsoulevparuncbledediamtred=10mm.Cecbleaune

    limitelastiqueRe= 1200MPa*etunemassevolumique

    Pv=7,2kg/dm3.Pourlapositionbassedumonte-charge,lecble

    aunelongueurdrouledeL=30m(massenonngligeable).

    Dterminer:

    1 Le coefficientdescuritdu cblelorsqu'ilsoutientle

    monte-chargel'arrt.

    2 partirdequelleacclrationdumonte-charge,lecble

    risque-t-ildeserompre?

    SOLUTION:

    . Lacontraintemaximaledanslecblesesitue sapartie

    suprieurelorsqu'ilestcompltementdroul.2

    Masseducbledroul:m2=p v.lliL. L4

    Pv=7,2kgldm3\d=0,1dm /m2=16,96kg.L=300dm

    Avec:

    . Massetotalesoutenue=mr= m1+m2""1517kg.

    . Calculerlecoefficientdescuritl'arrt:

    Il s'agitd'uncalculdersistancedesmatriauxpouruncble

    soumislatractionsimple:

    E "" Re=>s=Re.S= Re.S5 S Fmax(m1+mi)g

    Re=1200MPa \Avec:5=n:x 52mm2 ~ coefficientdescurits""6,2

    m1+m2=1517kg

    rg=10m/s2. Calculerl'acclrationentranantle dpassementde la

    limitelastiqueducble:

    Il fautisoler{cbledroul+monte-charge)(voirci-contre),

    L proj;z(F;i)=(m1+mi)aSoit:T- (m1+m2)g=(m1+m2)a =>T=(m1+m2)(a+g)

    Ilfautque: I< Re soit Tmax=Re.55

    Donc: (m1+m2)(atg)=Re.S=>amax=~-gm1+m2

    . Applicationnumrique:Re=1 200N/mm2;m1+m2=1517 kg\amax=52,1mis2S=n:x25mm2;g=10m/s2 famax""5.g

    * 1 MPa = 1 N/mm 2.

    CBLE DE TRACTION

    E0C')Il-J

    1 T

    2cCI!"'0cQ)urJ)CI!Q)rnu:eQ)>

    m2.g

    Cble

    0d::::'10mm

    1 T

    1-m2.g

    , ~~g

    I~

    NOTA:La pressionatmosphriqueagissanttoutautourdusystme,larsultantedeseffortsqu'elleengendreestnulle.

  • 57Solidesenrotationautourd'unaxefixe

    Touslesp~e l'ensembletournant(S)ontmmevitesseangulaireQ Sjrkgdansunrepregalilen(9lg).Si:

    . z reprsentelevecteurunitairedel'axederotation,

    . (=e' (oude/dt)reprsenteladriveparrapportautempsdel'anglee balayparchaquepointde(S)dans(9lg),

    alors:;;;;;;g= (. z(chapitres26et27).57.1 Choix durepreOnlimitel'tudelarelationd'unsolideautourd'unaxefixe.

    Lechoixdecetaxedoitpermettredevrifierleprincipefonda-mentaldeladynamiqueavecuneprcisionsatisfaisante(voir56.2).

    REMARQUES:

    . Lemouvementderotationestplan(chapitre28).

    . Onnotegnralement(0,X;), (0,'y;)lesaxesduplanet(0,7;)l'axederotationperpendiculaireceplan.

    203

    SOLIDE EN ROTATION

    Axe de rotation

    Xs

    ---+---

    Xg

    Yg

    evZg

    t-Xg

    evQSMg = OJSfCjlg'Z

    57.2MOMENTS D'INERTIE J D'UN SOLIDE PAR RAPPORT UN AXE PASSANT

    PAR SON CENTRE DE GRAVIT

    DfinitionL (L1m)=m(kg)

    J6Z9(ouPD2*)

    Cylindrepleinhomogne

    massem(kg)

    Cylindrecreux(couronne)homogne

    massem(kg)

    Tigerectilignesectionngligeable

    homogne,massem(kg)

    0~Axe Zg

    J 6zg = L{L1m.r2)

    t t tkg.m2 kg m2

    JGzg =1 m.R22 JGZg=l m{R2+f2)2 JGzg= ~ m.R25

    2 2JGZg=mt =mt'

    12 3

    * Ancienneappellation.

    Sphrepleinehomogne

    massem(kg)

    Axe Zg Axe Zg

    ~.~

    _G -f'l"

    l'

    G Zg~

  • 204

    57.3 ThormedeHuygensIlpermetd'exprimerlemomentd'inertied'unsolidehomogne

    parrapport unaxe(A, I;) connaissantceluiparrapport

    (G,I;) quiluiestparallle.

    [ JAzg(S)=JOzg(S)+m.d2JAzg:momentd'inertiede(5)parrapport(A,I;) parallle

    ~ 2(G,lg)(kg.m).

    JGzg:momentd'inertiede(5)parrapport(G,I;) passantparsoncentredegravit(kg.m2).

    m :massede(5) (kg).

    d :distanceentrelesaxes(G,I;) et(A,I;) (m).

    57.4 Calculsdesmomentsd'inertie

    57.41 Centresdegravitsurl'axederotationLesinertiesdechaquesolidelmentaireayantsoncentrede

    gravitsurl'axederotations'ajoutentdirectement.

    EXEMPLE:

    Leplateau(P)estconstitudedeuxcylindrescreux:

    . 51,d'inertieJAzg(51)= 1,08x 10-3kg.m2.

    . S2 (dfini ci-contre) de massevolumique Pv = 7,2 kg/dm3.- 1 2 2

    JAzg(52)-2m2.(R +r) (57.2).

    m2=Pv.7T(R2- r2).e=7,2x 7TX(0,62- 0,22)x 0,2"'"1,45kg.

    JAzg(52)=0,5x 1,45(0,062+0,022)= 2,9 X 10-3 kg.m2.

    . (P)=(51,52)adoncuneinertie:JAzg(P1)"",4x10-3kg.m2.

    57.42Centredegravitextrieur l'axederotationAppliquerlethormedeHuygens.

    EXEMPLE:

    Connaissantlescaractristiquesdumaneton(5) :

    JA zg(5)= JGzg(5)+ m.d2= 3 x 10-6+ 0,08x 0,052"'"2 X 10-4.

    Pour({P),(5n :

    JAzg=4x10-3t2 x10-4=4,2X10-3kg.m2.

    PLATEAU MANIVELLE

    Plateau (P) Maneton(8)

    Inertie JGzg

    =3 x 10-6kg .m2Masse m =0,08 kg

    Zg

    1L Axe derotation

    NOTA:

    . Pour calculer l'inertie d'un solide par rapport un axe, ilfaut dcomposerce solide en volumesgomtriquement

    simples,d'inertieconnueoufacilementcalculable.

    JAzg{(P),(S)}=JAzg(S1)+JAzg(S2) +JAzg(S).

    . La recherchedu centrede gravitde l'ensembleest gn-

    ralementinutile.

    . Porterl'attentionsurlesunitsutilises(chapitre72).

  • 57.5 Momentcintique

    57.51Momentcintiquelmentaire

    SoitPi un pointdu solide,auquelon associeunemasse

    lmentairemi'

    . Laquantitdemouvementdecepointsenote:P;=mi'V; (unit:kg.mis).

    . Lemomentcintiquedecepointparrapport(.1):~ 2

    #.1(Pi'P;) = H;P;.mi,vPi= mi.ri') carv; = ),(;.

    57.52 Momentcintiquedusolide~ ~

    IlsenoteLI1(5/91g)=!;!f11(P;,P;).

    Enprojectionsurl'axe(.1),onobtientunerelationalgbrique:--- - ~ 2 2LI1(5/~J(g)=!;!f.1(Pi'Pi)=!(mi' ri .w)=w.!(mi.ri )

    L,j(SJ;J(g)=J,j(S). w

    LIl(5/fJ1g):momentcintiqueparrapport.1,de(5)(kg.m2/s).

    JI1(5) :momentd'inertiede5parrapport.1(kg.m2).

    w :vitesseangulairede5autourde.1(radis).

    57.6 Torseurcintiqued'unsolideparrapportunaxeL1

    Re=m.VGJ;Rg: rsultante cintique

    m :massedusolide.~

    VG/Y(g :vitesseducentredegravitGde(5)dans(01g)'

    !0'SNg),j =(R; L,j(sh/gd~

    LI1(5/fRg):momentcintiqueparrapport(.1)de(5)1(0lg).

    Lorsquelesolidetourneautourde(.1)sansglisserlelongde

    cetaxe,onobtient:

    1tbS/~Kgl,j=(0 L,j(ShJlg).) =(0 J,j.w.x)

    NOTA:

    Nepasconfondrele torseurcintique(quiassociemasses

    etvitesse)avecletorseurcinmatique.

    205

    MOMENT CINTIQUE

    (,1)~Axe de rotation

    Momentcintiqueen(..:1)dePi

    L,j (P;) =rff,j (Pi' p;)

    Hi

    Point

    (particulelmentaire)

    Quantitdemouvment

    de Pi

    MOMENT CINTIQUE D'UN SOLIDE

    (,1)

    Yg

    {]S;'Rg= w.Zg

    TORSEUR CINTIQUE D'UN SOLIDE (S) EN ROTATIONAUTOUR D'UN AXE (,1)FIXE

    (..:1)

    L,j(S)'z =J,j. w

    Rc=OO~1

    (La rsultantecintiqueest nulle)

  • 206

    57.7 Thormedumomentcintique.ThormedeKoenigIlexplicitelarelationentremomentsd'untorseur(76.1).Pour

    letorseurcintique,oncrit:

    ((QShJg)G= (R; LG(S/8;))et (0'Shllg)A= (R; LA(S/8lg))'

    ~ ~ ~ ~*

    LA(S/,Ilg)=LG(SNlg)+AGx Re

    Le momentcintiqued'unsolide(5), enunpointA

    quelconque,estgalaumomentcintiquedecesolide

    ensoncentredegravitaugmentdumomentenAde

    sarsultantecintique.

    REMARQUE:

    PQurunsolideenrQ!~tionaut~unelxefixe,larsultante

    cintiqueestnulle(Re=M.VGhJlg= 0).

    (5)enrotationautourde(G,Z;) (fixe)passantparG:~~

    LA(s/tRg) =LG(S/tilg)'ifA (quelquesoitA),

    LG(Sltilg) .Z; =JGz' CJJ.

    57.8 Moment dynamiquedlun solide. ChaquepointPi dusolide(5),associunemassel-mentairemi, aunequantitd'acclrationnotemi' aPiMg.

    Onappellemomentdynamiquedusolide(5) parrap-

    port unaxe(G,Z;) lasommedesmomentsparrap-port cetaxe,desquantitsd'acclration.

    ;lfdG(S/;ilg) =1:1i;;; (Pi' m.apiJ8:g)

    . Thormedumomentdynamique.Lemomentdynamiquesedduitdumomentcintique:

    d~

    ;lfdG(s/,R.g)=diLG(Shilg)

    . Pourunsolideenrotationautourde(G,z) :

    d;lfdG(Sl8lg)= di (JGz'CJJ) = JGz'CJJ' = JGz(}"

    ;ffdenkg.m2/s2

    JGzenkg.m2.11)'et (J'en radis 2.

    , x : signe du produit vectoriel (1\ est tolr, avec rserves. Voir 70.6).

    THORME DE KOENIG

    LA(smlg} = LG(ShJlg}

    MOMENT DYNAMIQUE

    Solide S

    Xg

    /;f!dG(S/;Rg}

    S~lide(S)enrottio;;70lg~

    . LG(S/;Jlg} =JGZg' e'=JGz' 11)

    . ;f!dG(S/;Jl9}= JGZg' eu = JGz .11)'

  • 57.9Torseurdynamique

    Pourunsolideenrotationautourd'unaxefixepassa

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