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GUÍA DIDÁCTICA 1

Propiedades básicas de los números reales

Prof. María Teresa Esteves P.

Barquisimeto Mayo de 2011

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Elaborado por: María T. Esteves. Página 2

GUÍA DIDÁCTICA 1

Propiedades básicas de los números reales

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD CCEENNTTRROOCCCCIIDDEENNTTAALL

LLIISSAANNDDRROO AALLVVAARRAADDOO SSIISSTTEEMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN AA DDIISSTTAANNCCIIAA DDEECCAANNAATTOO DDEE CCIIEENNCCIIAASS YY TTEECCNNOOLLOOGGÍÍAA

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS

Datos de Identificación

Elaborado por: Prof. María Teresa Esteves P.

Correo-electrónico: [email protected].

Teléfonos de contacto: 0416-8117594, 0251-2591667.

Fecha Elaboración: 29 de mayo de 2011.

Fecha de Última Actualización: 29 de mayo de 2011.


Tabla de contenidos

Introducción……………………………………………….……………………………… 4

Objetivo general de aprendizaje……………………….………………………………. 5

Objetivos específicos de aprendizaje…….…………….…………………………….. 5

Contenidos………………………………………………………………………….……. 6

Fuentes de información…………………………………………………………….…… 6

Evaluación de los aprendizajes……………………….……………………………….. 7

Orientaciones para el estudio de este curso en línea…….…………………………. 7

Desarrollo de los contenidos……………………………………………………….….. 9

1.Conjunto de los números reales…………………………………………………….. 9

1.1. Conjunto de números naturales…………………………………..…..……… 9 1.2. Conjunto de números enteros………………………………….……..…….. 10 1.3. Conjunto de números racionales…………………………………...………. 11 1.4. Conjunto de números irracionales………………………………………….. 11 1.5. Conjunto de los números reales………………………………………….... 13

2. Axiomática de los números reales……………………………………..………..... 15

2.1. Axiomas de campo…………………….………………………………….... 15 2.2. Axiomas de orden…………………………….……………………………. 16 2.3. Ejercicios resueltos…………….……………………………………….….. 17

3. Inecuaciones……………………………………….………………………………. 19

3.1. Intervalos de la recta real………………….……………………………… 19

3.2. Resolución de inecuaciones……………………………………………… 21

4. Autoevaluación……………………………………………………………………. 23

5. Referencias……………………………………………………………………….. 24


Introducción

Estimado(a) alumno(a):

Los profesores de matemática I le damos la más cordial bienvenida al primer módulo de nuestro curso en línea, la presente guía didáctica está diseñada para acompañarle y orientarle sobre los primeros contenidos que usted desarrollará en la primera semana de clase. Recuerda que el proceso de aprendizaje lo lograrás sólo si inviertes el tiempo suficiente para estudiar.

En este primer módulo recordaremos los conjuntos de números naturales,

enteros, racionales e irracionales, estudiaremos los axiomas de campo de los números reales y usaremos los axiomas de orden para resolver problemas de desigualdades, además tendremos un primer acercamiento al programa Geogebra, el cual utilizaremos para representar gráficamente algunos números reales.

Es importante que realices las actividades que te planteamos en la guía,

recuerda que en todos tus cursos de matemática de la universidad trabajarás con los números reales. Así que manos a la obra, presta atención a las indicaciones que te daremos y te aseguramos que cumplirás con todas las expectativas del curso.

RECUERDA: “Debes ser un eterno estudiante, mientras más aprendas,

más ganarás y más confianza tendrás en ti mismo”. Brian Tracy.


Objetivo general de aprendizaje

Al finalizar el primer módulo usted será capaz de reconocer e identificar los números reales y utilizar sus propiedades para resolver problemas de desigualdades.

Todos sus esfuerzos intelectuales estarán orientados a resolver

desigualdades y representar las soluciones obtenidas en la recta real.

Objetivos específicos de aprendizaje

A continuación te presentamos los objetivos específicos de aprendizaje, estos te indicarán lo que esperamos que comprendas, domines y realices al finalizar el primer módulo. Al finalizar esta guía didáctica serás capaz de:

Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales.

Describir el conjunto de los números reales utilizando la axiomática.

Describir el orden natural del conjunto de los números reales.

Demostrar teoremas empleando la axiomática de los números reales.

Resolver problemas de desigualdades aplicando la axiomática de los números reales.

Representar gráficamente la solución en la recta real.


Contenidos

1. Conjunto de números reales. 1.1. Conjunto de los números naturales 1.2. Conjunto de los números enteros. 1.3. Conjunto de números racionales. 1.4. Conjunto de los números irracionales. 1.5. Conjunto de los números reales.

2. Axiomática de los números reales. 2.1. Axiomas de campo. 2.2. Axiomas de orden. 2.3. Ejercicios resueltos.

3. Inecuaciones. 3.1. Intervalos de la recta real. 3.2. Ejercicios resueltos de inecuaciones.

Fuentes de información El libro texto que utilizaremos durante la primera unidad es:

Purcell E, Varberg D y Rigdon S. (2007). Cálculo. Novena edición. México. Pearson Educación. Para el desarrollo de esta guía didáctica debes consultar la sección

0.1 y 0.2 del libro texto, además puedes conseguir información adicional en el siguiente texto y en los siguientes sitios web recomendados:

Sáenz, J. (1995) Calculo diferencial para ciencias e ingeniería. Venezuela. Hipotenusa. Axiomas de los números reales: http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales Fracción generatriz:

http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales


http://es.scribd.com/doc/7218762/FRACCION-GENERATRIZ

Evaluación de los aprendizajes

Al finalizar esta guía didáctica, te propondremos

realizar dos evaluaciones de carácter formativo que te permitirán determinar, si los conocimientos y habilidades que alcanzaste son sólidos o si debes reforzarlos un poco más, para ello tendrás dos oportunidades:

1. Te dejaremos una tarea en la plataforma del tipo subir un archivo Word en donde deberás resolver un conjunto de inecuaciones. (Esta evaluación es formativa, es decir, no afectará tu calificación final del curso).

2. Deberás utilizar el programa Geogebra para ubicar algunos números irracionales en la recta real, luego subirás la imagen obtenida al foro que crearemos para esta tarea en particular.

Orientaciones para el estudio de este curso en línea:

A continuación te dejaremos una serie de orientaciones que te ayudarán

durante el desarrollo de los contenidos.

Asiste a las tutorías: Recuerda que estaremos trabajando en una modalidad semipresencial, es decir, realizaremos algunas actividades en el salón de clases y realizaremos otras utilizando la plataforma.

http://es.scribd.com/doc/7218762/FRACCION-GENERATRIZ


Administra tu tiempo: Es importante que crees un horario de

trabajo, ya que esto te permitirá cumplir con los objetivos de aprendizaje de manera oportuna.

Revisa con regularidad la plataforma: En el bloque de novedades te dejaremos regularmente información que te será de gran utilidad durante el desarrollo del curso. Te recomendamos un mínimo de tres visitas semanales a la página del curso.

Imprime la guía didáctica: Esto te permitirá acceder a la

información en caso de que tus posibilidades de conexión sean escasas y tendrás siempre a la mano las instrucciones que te permitirán desarrollar cada unidad.

Realiza las actividades a tiempo: Recuerda que las actividades

de cada modulo tienen una fecha tope y luego de la misma será imposible que subas el material que desarrollaste a la plataforma.

Se honesto: recuerda que las actividades de evaluación te

indicarán si estas logrando o no los objetivos del curso. Pide auxilio: Si tienes dudas referentes a un material o referentes

a una actividad que debes entregar, no dudes por un instante en aclararlas en los foros, aquí encontrarás la ayuda de tus compañeros y de tu tutor.

Descansa: Recuerda tomar pequeños descansos luego de realizar una actividad, esto te ayudará a reducir el estrés y te ayudará a recuperar las energías.


Desarrollo de los contenidos

1. Conjunto de los números reales. Antes de comenzar con el contenido de esta unidad vamos a recordar

algunos conjuntos de números que hemos utilizado anteriormente, te recordamos que esta guía es un complemento al libro texto, por este motivo te invitamos a leer cuidadosamente la sección 0.1 del libro texto y luego complementes tu aprendizaje con las actividades que te sugerimos a lo largo de la guía, en esta primera parte estudiaremos el conjunto de los números naturales, el conjunto de números enteros, el conjunto de números racionales, el conjunto de números irracionales y por último el conjunto de números reales,

1.1. Conjunto de números naturales:

La historia de la matemática nos indica que la aparición de este conjunto de números se remonta a miles de años atrás, en algún momento el hombre primitivo se dio cuenta que podía contar, para ello se ayudaba con pequeñas piedras, o le hacía pequeñas marcas a huesos, la palabra Cálculo se deriva de la palabra latina calculus que significa piedra pequeña para contar.

Una de las razones por la cual se inventaron los números fue para entender los patrones que encontramos en la naturaleza. Cada civilización antigua tenía sus propios símbolos numerales, para los egipcios por ejemplo era muy importante cuándo ocurriría una inundación del río Nilo y para calcular en qué momento del año ocurriría, se basaban en los ciclos lunares.


Los números tal como los conocemos hoy en día se conocen como el sistema numeral Indo-Arábigo, tuvo su origen en la india y se expandió por el mundo musulmán, posteriormente, a través de Al- Andaluz se introdujo en Europa. En el año 980 el papa Silvestre II promueve la difusión de este sistema por toda Europa. El sistema indo-arábigo es un sistema decimal posicional, porque el valor de un número depende tanto del símbolo que se use para representarlo como de la posición que este símbolo ocupe en la representación de dicho número. Las cantidades se representan utilizando diez cifras diferentes: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). El conjunto de los números naturales lo denotaremos por

1.2. Conjunto de números enteros: Este conjunto lo obtenemos si al conjunto de números naturales le añadimos el cero y los números negativos, lo representaremos por la letra

ℤ esta representación viene de la palabra alemana Zahlen que significa números.

Los números enteros nos son de gran utilidad si vamos a medir altitudes, por ejemplo para decir que un buzo está a 15 metros por debajo del nivel del mar decimos que está a -15 metros, de igual manera podemos utilizar a los números enteros para medir temperatura, por ejemplo para decir que hace una temperatura de 5 grados bajo cero decimos que estamos a -5 grados.

Posteriormente el hombre se dio cuenta que los enteros no eran suficientes para expresar todo lo que podía medir en la naturaleza, es así como nace el siguiente conjunto de números.

1.3. Conjunto de números racionales: Los números racionales son todos aquellos números que pueden escribirse de la

forma donde m y n son enteros y . A este conjunto lo denotaremos con la

letra ℚ. Los números racionales tienen una expresión decimal que puede clasificarse en los siguientes tipos:

Representación decimal exacta: la parte decimal tiene un número finito

de cifras. Por ejemplo:


Representación decimal periódica pura: toda la parte decimal se repite

indefinidamente. Por ejemplo:

Representación decimal periódica mixta: no toda la parte decimal se

repite. Por ejemplo:

A continuación te invitamos a leer el material sobre fracción generatriz que te indicamos al principio de la guía didáctica en las fuentes de información, y a leer detenidamente el ejemplo 1 de la sección 0.1 del libro texto.

Actividad de control

Luego de leer el material sobre fracción generatriz que te hemos propuesto anteriormente, te pedimos que calcules las fracciones generatrices de las siguientes expresiones decimales:

a. 0.222222222… b. 0.564564564… c. 0.04444444…

1.4 Conjunto de números irracionales: Hasta ahora hemos visto tres conjuntos de números, podemos preguntarnos, ¿serán los números racionales suficientes para representar cualquier cantidad en la naturaleza? La respuesta es no, los pitagóricos en el siglo V a.c. se dieron cuenta que no podían encontrar una fracción que representara la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud igual a uno.


Si recordamos el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo la podemos calcular mediante la siguiente fórmula:

Si b=c=1 entonces los pitagóricos encontraron que este número no podía ser expresado como una fracción de dos enteros. Además de raíz de dos existen

otros números racionales, por ejemplo , entre otros. Luego de haber repasado brevemente los diferentes conjuntos que estudiamos a lo largo de nuestra educación básica vamos a introducir el conjunto números con el que trabajaremos a lo largo del semestre


1.5 Conjunto de los números reales: Es el conjunto resultante de la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales, a continuación te presentamos un esquema que te permitirá comprender de manera adecuada dicho conjunto.

Para representar a los números reales haremos uso de la recta real, tomamos una recta horizontal y fijamos un punto que llamaremos origen y lo denotaremos por 0, existe una relación biunívoca entre los números reales y la recta real, es decir, para cada punto en la recta existe un único número real que lo representa y viceversa.


A continuación te invitamos a ver un video tutorial del programa Geogebra que te dejamos en la plataforma, con este video aprenderás a representar números reales en la recta real.


Luego de ver el video tutorial de geogebra te invitamos a utilizar el programa para ubicar los siguientes puntos en la recta real:

¾

-8

-0.3333… Hasta los momentos solo hemos estudiado el conjunto de números reales, ahora nos hace falta estudiar el conjunto de propiedades que nos permitirán operar con dicho conjunto de números. A continuación te invitamos a leer en el libro texto en la sección 0.1 el tema referente a un poco de lógica, este contenido te ayudará a comprender la siguiente sección.


2. Axiomática de los números reales

El sistema de los números reales es un conjunto de números y dos operaciones internas, adición (+) y multiplicación )( y una relación de orden denotada por “<”

y leída “es menor que”. Que satisfacen los siguientes axiomas:

2.1 Axiomas de campo: A1. Axioma conmutativo para la adición:

Para todo a y b en ℝ a+b=b+a.

A2. Axioma asociativo para la adición:

Para a, b y c en ℝ, (a+b)+c=a+(b+c).

A3. Elemento neutro para la adición:

Existe 0 en ℝ tal que para todo a en ℝ se cumple que a+0=a.

A4. Elemento inverso para la adición:

Para a en ℝ existe –a en ℝ tal que a+(-a)=0

M1. Axioma conmutativo para la multiplicación:

Para todo a y b en ℝ

M2. Axioma asociativo de la multiplicación:

Para a, b y c en ℝ (a·b)·c=a·(b·c)

M3.Elemento neutro para la multiplicación

Existe 1 en ℝ, 1≠0 tal que, para a en ℝ a.1=a

M4. Elemento inverso para la multiplicación

Para a en ℝ, a≠0, existe 1a en ℝ tal que

11 aa


D. Axioma distributivo de la multiplicación con respecto a la adición.

Para todo a, b y c en ℝ,

cabacba )(

2.2. Axiomas de orden:

O1. Axioma de tricotomía de la relación menor que

Para todo a y b en ℝ, una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: a<b, a=b, a>b.

O2. Axioma de transitividad de la relación menor que

Si a<b y b<c entonces a<c.

O3. Axioma aditivo de la relación menor que

Si a<b, entonces para todo c en ℝ, a+c<b+c.

O4. Axioma multiplicativo de la relación menor que

Si a<b y 0<c entonces cbca

A continuación te presentaremos algunas definiciones que nos ayudaran a operar en el sistema de los números reales. Definición de diferencia de dos números reales: Para todo a y b en R, la diferencia de a y b se expresa por a-b= a + (-b). Definición de división de números reales: Para todo a y b en R, con 0b , la

división de a por b se expresa por: 1bab

a.

Definición de la relación menor que en los números reales: Diremos que a<b si y sólo si la diferencia de b con a, (b-a), es positiva, es decir 0<b-a. Ahora te presentaremos unos ejercicios resueltos donde pondremos en uso la axiomática de los números reales.

2.3. Ejercicios resueltos:


1. Se llama media aritmética de dos números a y b al número 2

ba probar

que la media aritmética está entre los números, esto es, probar que

bba

aba2

Demostración: Sean a y b dos números reales, supongamos además que a<b, luego por el axioma aditivo de la relación menor que se tiene lo siguiente.

bbbaba (Sumando b y por axioma O3)

bba 2 (Sumando b+b)

bba

2 (Multiplicando por ½ en ambos lados de la desigualdad y O4) (1)

Por otro lado tenemos que

baaaba (Sumando a y por axioma O3)

baa2 (Sumando a+a)

2

baa (Multiplicando por ½ en ambos lados de la desigualdad y por O4) (2)

De (1) y (2) y por el axioma de transitividad de la relación menor que se sigue

que bba

aba2

.


2. Probar la siguiente proposición: dbcadcba

Demostración:

Sean a, b, c y d números reales tales que a<b y c<d, por la definición de la relación menor que se sigue:

abba 0 (1) y cddc 0 (2)

Usando las expresiones (1) y (2) tenemos

)()(0)(0)(0 cdabcdab (Si RbaRba )( )

)()(0 cadb (Axiomas A1 y A2)

dbca (Usando la definición de relación menor que)

Así hemos probado lo que queríamos demostrar.

3. Probar que 2 es un número irracional.

Demostración:

Esta demostración la realizaremos utilizando el método de reducción al absurdo.

Comenzaremos negando la hipótesis, es decir, vamos a suponer que 2 es un número racional.

Si 2 es racional entonces se puede escribir de la forma q

p donde p y q son

números enteros, supongamos además que tanto p como q son números primos. (Recordemos que un número primo es divisible solo por el mismo y por uno).

2

2

22q

p

q

p (Elevando al cuadrado en ambos miembros de la ecuación)

222 pq (Multiplicando ambos miembros por )

2p Es un número par (Por definición de un número par)

p Es un número par (Por Teorema)

p Es divisible por dos, lo cual genera una contradicción con la hipótesis de

que p era un número primo.

Así hemos probado que raíz de dos es un número irracional.



Luego de haber desarrollado los contenidos referentes a los números reales y la axiomática de los números reales te invitamos a que realices los ejercicios de la sección 0.1 del libro texto, recuerda que si tienes problemas al momento de realizar un ejercicio tienes un foro que puedes utilizar para aclarar tus dudas en el cual los tutores de la asignatura siempre estaremos dispuestos a responder tus inquietudes.

3. Inecuaciones Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que hacen que la desigualdad sea verdadera, por lo general la solución de una inecuación viene expresada como un intervalo o la unión de dos o mas intervalos, a continuación te presentaremos la terminología y la notación que usaremos a lo largo del semestre para representar dichas soluciones.

3.1 Intervalos de la recta real: Sean a y b dos números reales, llamaremos:

a. Intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto: [a, b]= { bxaRx / }.

Y su representación gráfica está dada por:

b. Intervalo abierto de extremos a y b al conjunto (a,b)= { bxaRx / }, y

su representación gráfica está dada por:


c. Intervalo semiabierto por la izquierda de extremos a y b al conjunto (a, b]= { bxaRx / }. Podemos representar estos intervalos

semiabiertos por

d. Intervalo semiabierto por la derecha de extremos a y b al conjunto [a,b)= { bxaRx / }.

e. Intervalo infinito abierto por la izquierda (a, + )= { xaRx / }.

f. Intervalo infinito cerrado por la izquierda [a,+ )= { xaRx / }. La

representación de estos intervalos está dada por:

g. Intervalo infinito abierto por la derecha (- , a)= { axRx / }.

h. Intervalo infinito cerrado por la derecha (- , a]= { axRx / }. Por último la representación gráfica de estos intervalos estará dada por:


3.2. Resolución de inecuaciones. Para encontrar el conjunto solución de una desigualdad haremos uso de la axiomática de los números reales que vimos en la sección anterior.

1. Resolver la desigualdad 3x-5<4x-6 Solución: Para resolver esta inecuación debemos llevar todas las variables a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado, para lograr este objetivo podemos sumar un mismo número a ambos lados de la desigualdad, podemos multiplicar por un mismo número positivo a ambos lados de la desigualdad o podemos multiplicar en ambos lados por un número negativo teniendo cuidado de invertir el sentido del signo de la desigualdad

5645536453 xxxx (Sumando 5 en ambos miembros y Axioma O3)

1403 xx (Axioma A4)

143 xx (Axioma A3) 14443 xxxx (Sumando -4x en ambos miembros y Axioma O3)

10x (Axioma A4)

1x (Axioma A3)

1x (Multiplicando por -1 en ambos miembros cambia el sentido de la

desigualdad)

Observe que el conjunto solución son todos los números reales mayores que 1, en notación de intervalos esto es equivalente a escribir: (1, + ).

2. Resolver la siguiente desigualdad: Solución: El primer paso para resolver esta desigualdad es factorizar el polinomio, en este caso debemos buscar dos números que multiplicados nos den -6 y sumados nos den -5, los números correctos son x=-6 y x=1. Luego el polinomio lo podemos reescribir de la siguiente manera.


Obteniendo así un producto de dos binomios, para conseguir una solución para la desigualdad anterior, trabajaremos con el método de los casos, recordemos que el producto de dos números es positivo si ambos números son positivos (mayores que cero) o negativos (menores que cero). Caso 1: Consideremos que ambos binomios son mayores que cero, es decir,

y , de aquí se sigue que y (sumando -6 y 1 respectivamente en cada desigualdad), observe que se debe cumplir simultáneamente ambas proposiciones, luego, el conjunto de números que satisfacen ambas desigualdades son todos los números reales mayores que 1, es decir, el intervalo . Caso 2: Consideremos que ambos binomios son menores que cero, es decir,

y , análogamente se sigue que y que ), nuevamente se debe cumplir simultáneamente ambas proposiciones, el conjunto de números que satisfacen ambas desigualdades son todos los números reales menores que -6, es decir, el intervalo .

Luego de haber comprendido los pasos que debe seguir para resolver una inecuación, te invitamos a revisar en tu libro texto las páginas 8, 9 10 y 11 de la sección 0.2 correspondiente a resolución de desigualdades y a resolver los primeros 34 ejercicios de la sección 0.2


4. Autoevaluación Tal como lo indicamos al comienzo de esta guía didáctica deberás realizar dos evaluaciones de carácter formativo, en la plataforma te dejaremos los enlaces correspondientes a cada tarea, recuerda que esto significa que no tendrán peso en tu calificación final, pero cada asignación tiene una fecha tope para entregarla. Adicionalmente te presentamos estos ejercicios para que verifiques que tan sólidos son tus conocimientos o si por el contrario tienes áreas que debes reforzar.

Esta actividad la puedes realizar en tu cuaderno y luego comprobar si obtuviste las respuestas correctas. ¡Ánimo, ya casi culminamos la unidad!

1. Resuelva las siguientes desigualdades, exprese la solución en forma de intervalo, recuerde que debe justificar cada paso:

1.1 0)2)(3( xx .

1.2. 0352 2 xx

1.3. x

x

x

x 2

3

1

2. Pruebe la siguiente proposición usando la axiomática de los números

reales, recuerde que debe justificas cada paso.

bdacdcba 00

Respuestas de la autoevaluación: 2.1. (-2,3) 2.2. ),2/1()3,(

2.3. ),0()1,3(


Referencias

Purcell E, Varberg D y Rigdon S. (2007). Cálculo. Novena

edición. México. Pearson Educación.

Sáenz, J. (1995) Calculo diferencial para ciencias e ingeniería. Venezuela. Hipotenusa.

guía didáctica 1 · pdf filepurcell e, varberg d y rigdon s ... (1995) calculo...

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