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Grupos

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

Sumario

1 Grupos 3

1.1 Subgrupo normal e o grupo quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Subgrupo gerado por um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Um princıpio de contagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 A equacao de Classes e aplicacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Normalizador de um elemento a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Centro de um grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 |G| = 22.7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.2 Grupo de ordem pq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.3 Grupo de ordem 2p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.4 Grupo de ordem 5.2.3 = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 Produto direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.1 Estudo do grupo de ordem 72.112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.2 Recıproca do teorema de Lagrange para Grupos abelianos . . . . . 42

1.6 Congruencia mod(H,T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

Capıtulo 1

Grupos

1.1 Subgrupo normal e o grupo quociente.

m Definicao 1 (Indice de H em G). Definimos o ındice de H em G como a cardi-

nalidade(informalmente a quantidade de classes laterais de H em G, sera o numero de

elementos do conjunto B que usaremos no corolario que se segue a essa definicao) das

classes laterais de H em G e denotamos por iG(H) = (G : H).

$ Corolario 1. Como temos a congruencia modulo H uma relacao de equivalencia em

G, podemos escrever o conjunto G como uniao das classes disjuntas, seja B o conjunto

com representantes das classes disjuntas, segue (se G finito)

G =∪a∈B

Ha ⇒ |G| =∑a∈B

|Ha| =

como |Ha| = H nao depende de a pois a classe lateral tem sempre a mesma cardinalidade

de H, segue

=∑a∈B

|H| = |H|∑a∈B

1 = |H|iG(H)

m Definicao 2 (Subgrupo normal). Um subgrupo N de G e um subgrupo normal de

G ⇔ gNg−1 ⊂ N ∀ g ∈ G, ou de forma equivalente

yhy−1 ∈ N ; ∀h ∈ N ∀ y ∈ G.

3

CAPITULO 1. GRUPOS 4

Usamos a notacao N ▹ G para dizer que N e subgrupo normal de G.

$ Corolario 2. Sejam (G, .) e um grupo abeliano e H um subgrupo, entao H e normal

pois temos

ah = ha

para todo elemento h ∈ H .

$ Corolario 3. Se H = {e} e normal em (G, .) pois a.e = e.a, aH = Ha.

b Propriedade 1. Seja G um grupo com H < G, sao equivalentes

1. H e normal.

2. gHg−1 = H ∀g ∈ G .

3. Hg = gH ∀g ∈ G .

ê Demonstracao.

� 1) ⇒ 2). Pela definicao de grupo normal temos a relacao gHg−1 ⊂ H, falta mostrar

que H ⊂ gHg−1. Seja h ∈ H arbitrario entao podemos escrever h = g(g−1hg)g−1 e

o elemento g−1hg ∈ H, pois H sendo normal para todo y vale que yhy−1 ∈ H, no

caso tomamos y = g−1 de onde segue a propriedade.

� 2) ⇒ 3). Seja a ∈ Hg vamos mostrar que a ∈ gH. a = hg, como vale gHg−1 = H

entao existe h1 ∈ H tal que gh1g−1 = h portanto gh1 = hg = a logo a ∈ gH. Da

mesma forma dado b ∈ gH entao b ∈ Hg, b = gh, de gHg−1 = H existe h1 ∈ H

tal que ghg−1 = h1 multiplicando por g a direita segue gh = h1g = b logo b ∈ Hg,

valem entao as duas inclusoes Hg ⊂ gH e gH ⊂ Hg o que implica Hg = gH.

� 3) ⇒ 1). Temos que mostrar que gHg−1 ⊂ H. Seja y ∈ H arbitrario entao gyg−1

como Hg = gH existe h ∈ H tal que gy = hg, daı gyg−1 = hgg−1 = h portanto

gyg−1 de onde segue gHg−1 ⊂ H.

b Propriedade 2. Seja H < G. Se x ∈ H entao xH = H = Hx.


ê Demonstracao. Vale que xH,Hx ⊂ H, falta mostrar que H ⊂ Hx, xH. Dado

y ∈ H, podemos escrever da forma y = (yx−1)x = x(x−1y), pois o inverso de x pertence

a H por ser subgrupo.

b Propriedade 3. Se H < G tal que (G : H) = 2 entao H ▹G.

ê Demonstracao. queremos Hg = gH ∀g ∈ G. Se g ∈ H entao Hg = H = gH. Se

g /∈ H entao Hg e gH nao se resumem a H, temos entao as particoes

G = H ∪ gH

G = H ∪Hg

sendo uniao disjunta, entao Hg = gH.

Z Exemplo 1. Se G e abeliano entao todo subgrupo H de G e normal, pois se a ∈ G

e h ∈ H vale ah = ha.

$ Corolario 4. G e um subgrupo normal de G pois para quaisquer a ∈ G temos

aGa−1 ⊂ G.

1.1.1 Subgrupo gerado por um conjunto

m Definicao 3 (Subgrupo gerado por um conjunto). Se S = ∅, S ⊂ G, o conjunto

{n∏

k=1

ak.

m∏k=1

b−1k | n,m ∈ N, ak, bk ∈ S} :=< S >

e chamado de subgrupo gerado por S . Se S = {a1, · · · , an} podemos denotar < S >

como

< a1, · · · , an >=< S > .

b Propriedade 4. < S >< G.

ê Demonstracao. Seja x, y ∈< S > entao x =n∏

k=1

ak.m∏k=1

b−1k , y =

t∏k=1

ck.l∏

k=1

d−1k .

� O produto e fechado

xy =n∏

k=1

ak.

m∏k=1

b−1k

t∏k=1

ck.

m∏k=1

d−1k =

n+t∏k=1

ak.

m+l∏k=1

b−1k ∈< S >

onde ak = ck para k > n e bk = dk para k > l.


� O inverso pertence ao conjunto pois

x−1 =m∏k=1

bm+1−k

n∏k=1

a−1m+1−k ∈ S.

b Propriedade 5. Seja S ⊂ G. Se A < G, S ⊂ A entao < S >⊂ A. < S > e o menor

subgrupo de G contendo S.

ê Demonstracao. Como S ⊂ A e A < G entao qualquer produto de elementos de

S ou de inversos pertence a A pelo fato dele ser subgrupo.

b Propriedade 6. Seja B a famılia de ındices k de todos subgrupos Ak que contem S

entao

< S >=∩k∈B

Ak.

ê Demonstracao. Vale que S ⊂ Ak daı < S >⊂ Ak , para qualquer k pois

Ak < G, entao < S >⊂∩k∈B

Ak, da mesma maneira < S > e subgrupo que contem S, logo

< S >= Ak para algum k, disso segue que∩k∈B

Ak ⊂< S >, das duas inclusoes segue a

igualdade

< S >=∩k∈B

Ak.

m Definicao 4 (Comutadores). Definimos o grupo dos comutadores de G como

G′ =< {xyx−1y−1 | x, y ∈ G} > .

G′ tambem pode ser simbolizado por G1 ou [G,G].

$ Corolario 5. G e abeliano ⇔ G′ = {e}. Pois se G e abeliano xyx−1y−1 = e e se

xyx−1y−1 = e entao xy = yx.

b Propriedade 7. G′ ▹G.

ê Demonstracao.

Escrevemos

g−1(xyx−1y−1)g = g−1(x)g︸︷︷︸a

g−1(y)g︸︷︷︸b

g−1(x−1)g︸︷︷︸a−1

g−1(y−1)g︸︷︷︸b−1

= aba−1b−1 ∈ G′.


b Propriedade 8. Seja f : G1 → G2 homeomorfismo de grupos entao

f(G′1) ⊂ [f(G1)]

′.

ê Demonstracao.

Seja t ∈ f(G′1) vamos mostrar que t ∈ [f(G1)]

′.

Um elemento de f(G′1) e da forma

t = f(xyx−1y−1) = f(x)f(y)f(x)−1f(y)−1

que realmente pertence a f(G1)′.

b Propriedade 9. G/N e abeliano ⇔ G′ ⊂ N . O subgrupo dos comutadores e o menor

subgrupo normal tal que o grupo quociente e abeliano.

ê Demonstracao.

b Propriedade 10 (Grupo Quociente). Se N um subgrupo normal de G. O conjunto

quociente G/N = {Na|a ∈ G} e um grupo com a operacao Na.Nb = Nab. E temos

|G/N | = iG(N) se G e finito |G/N | = |G||N |

.

ê Demonstracao. Primeiro mostraremos que a operacao independe dos represen-

tantes das classes, isto e, se Na = Nc e Nb = Nd entao NaNb = Nab = NcNd = Ncd.

De Na = Nc temos n2a = n3c logo n2ac−1 = n3, ac

−1 = n−12 n3 = n1 da mesma maneira

de Nb = Nd temos bd−1 = n2. Usaremos essas identidades a seguir.

Agora para mostrar que Nab = Ncd podemos usar que ab.(cd)−1 = n ∈ N , pois

Nab = Ncd e equivalente a Nab.(cd)−1 = N se ab.(cd)−1 = n ∈ N e dado um n1 qualquer

em N podemos tomar n1n−1 ∈ N tal que n1n

−1ab.(cd)−1 = n1n−1n = n1. Vamos mostrar

entao que ab.(cd)−1 = n ∈ N .

ab(cd)−1 = abd−1c−1 = an2c−1 =

usando agora que N e normal temos an2 = n3a para algum n3 ∈ N logo

= n3ac−1 = n3n1 ∈ N

concluımos assim que ab(cd)−1 ∈ N de onde segue Nab = Ncd.

Vamos demonstrar agora as propriedades de grupos


� Associatividade (Na.Nb)Nc = Na.(Nb.Nc)

(Na.Nb)Nc = (Nab)Nc = Nabc = NaNbc = Na(NbNc)

onde usamos associatividade de G.

� Existencia do elemento neutro O elemento neutro e Ne que simbolizaremos por N ,

vale NaNe = Na.e = Na.

� Existencia de inverso O inverso de um elemento Na e Na−1,pois temos

Na.Na−1 = Naa−1 = Ne = N.

Mostramos assim que realmente o conjunto e um grupo.

b Propriedade 11. Sejam N,H < G e H ▹G, entao H ∩N ▹N .

ê Demonstracao. Temos que mostrar que

n(H ∩N)n−1 ⊂ H ∩N ∀n ∈ N.

Seja a ∈ H ∩ N , temos que a ∈ N e como n ∈ N vale nan−1 ∈ N e como vale a ∈ H e

todo elemento de n ∈ N implica n ∈ G, por H ser normal em G temos nan−1 ∈ H,como

vale nan−1 ∈ H e nan−1 ∈ N vale nan−1 ∈ H ∩N de onde segue n(H ∩N)n−1 ⊂ H ∩N

de onde (H ∩N) e normal em N .

b Propriedade 12. Sejam (G, .) um grupo e N um subgrupo normal de G, a funcao

projecao π : G em G/N definida por π(a) = Na e um homormofismo sobrejetor com

nucleo ker(π) = N.

ê Demonstracao. Primeiro temos que provar que vale π(a.b) = π(a)π(b). A pro-

priedade vale pois

π(a.b) = N(a.b) = Na.Nb = π(a).π(b).

E tambem sobrejetor pois dado Na ∈ G/N temos a ∈ G tal que π(a) = Na. (falta o

nucleo)


b Propriedade 13. G/G′ e abeliano.

ê Demonstracao. Sejam g1, g2 ∈ G/G′, g1 = g1G′, g2 = g2G

′, vale que

g1g2 = g2g1 ⇔ g1g2 ∈ g2g1G′

o que se verifica pois g1g2 = g2g1(g−11 g−1

2 g1g2) , (g−11 g−1

2 g1g2) e da forma (xyx−1y−1) com

x = g−11 e y = g−1

2 .

b Propriedade 14. Se H ▹ G e G/H e abeliano entao G′ ⊂ H, isto e, G′ e o menor

subgrupo A normal de G tal que G/A e abeliano.

ê Demonstracao.

g1g2 = g2g1 ⇔ g1g2 ∈ g2g1H

existindo h tal que

g1g2 = g2g1h ⇔ g−12 g1g2 = g1h ⇔ g−1

1 g−12 g1g2︸︷︷︸∈G′

= h

a parte destacada gera G′, os geradores do conjunto pertencem a H entao G′ ⊂ H.

b Propriedade 15 (Propriedade normal do nucleo). Seja φ de G em G′ um homomor-

fismo de grupos entao N = ker(φ) e um subgrupo normal de G. Ja mostramos que o

nucleo de um homomorfismo e subgrupo de G, vamos mostrar agora que e normal. Sejam

a ∈ G e n ∈ N temos

φ(ana−1) = φ(a)φ(n)φ(a−1) = φ(a)φ(a)−1 = eG′ .

Logo ana−1 ∈ N , aNa−1 ⊂ N logo N e normal em G.

b Propriedade 16. Seja H = {(1, b), b ∈ R} entao H e um subgrupo normal em G.

ê Demonstracao. Primeiro vamos mostrar que H e um subgrupo de G. Temos

que H possui o elemento neutro (1, 0), pois basta fazer b = 0 em (1, b). Sendo (1, b) ∈ R

seu inverso e (1, b)−1 = (1−1,−b.1−1) = (1,−b) logo como (1, b)−1 e do tipo (1, c) para c

real, temos o inverso de cada elemento pertence ao conjunto.

Seja agora (1, b) ∈ H e (1, c) ∈ H temos que (1, b)(1, c) = (1, c + b) como c + b e real

temos que o produto e fechado no subgrupo. Assim sao satisfeitas todas propriedades de

um subgrupo logo H e um subgrupo de G.


Vamos mostrar agora que o subgrupo e normal. Sejam (1, b) ∈ H e (a, c) ∈ G elementos

arbitrarios, vamos mostrar que (a, c).(1, b).(a, c)−1 ∈ H. Temos que (a, c).(1, b) = (a, a.b+

c) e (a, c)−1 = (a−1,−c.a−1), aplicando a operacao (a, a.b + c)(a−1,−c.a−1) = (1,−c +

a.b+ c) = (1, a.b) ∈ H logo o subgrupo e normal.

b Propriedade 17. G/H e isomorfo ao grupo multiplicativo R∗ = R− {0}.

ê Demonstracao. Seja a aplicacao f de G/H em R∗ definida como f(H(a, b)) =

a. Vamos mostrar que tal aplicacao e uma funcao, isto e, se H(a, b) = H(c, d) entao

f(H(a, b)) = f(H(c, d)). Se H(a, b) = H(c, d) entao existem elementos (1, x), (1, y) ∈ H

tal que (1, x)(a, b) = (a, b + x) = (1, y)(c, d) = (c, d + y) logo a = c. Como a = c em

H(a, b) = H(c, d) segue que f(H(a, b)) = f(H(c, d)) = f(a) assim a funcao esta bem

definida.

Mostraremos agora que tal funcao e um homomorfismo.

f(H(a, b)H(c, d)) = f(H(a, b)(c, d)) = f(H(ac, ad+ b)) = ac = f(H(a, b))f(H(c, d)).

Olhando para o nucleo veremos que a funcao e injetiva

ker(f) = {B ∈ G/H| f(B) = 1}

temos que B = H(a, b) se f(B) = 1 entao a = 1, logo o unico elemento no nucleo e

H(1, b) = H pois (1, b) ∈ H.

A funcao e sobrejetora tambem pois, dado b = 0 ∈ R temos que existe x ∈ G/H da

forma H(b, c) tal que fH(b, c) = b.

1.2 Um princıpio de contagem.

m Definicao 5. Sejam H e K subgrupos de G definimos o subconjunto de G

HK = {h.k|h ∈ H, k ∈ K}

Z Exemplo 2. H e K podem ser subgrupos de um grupo G e ainda assim HK nao

ser subgrupo de G.

Por exemplo tomamos G = Z, H =< 2 >, K =< 3 >, HK contem 2 e 3, porem nao

contem 2 + 3 = 5.


$ Corolario 6. H ⊂ HK e K ⊂ HK, o primeiro pois e ∈ k logo temos h.e ∈ HK para

h ∈ H o segundo pois tem-se e ∈ K logo ek ∈ HK pois k ∈ K. Se K = H segue que

H ⊂ HH.

$ Corolario 7. H ∪K ⊂ HK ⊂< H ∪K > .

⋆ Teorema 1 (Um princıpio de contagem). Sejam H e K subgrupos finitos de um

grupo (G, .) entao

|HK| = |H||K||H ∩K|

.

ê Demonstracao. Considere a funcao f : H × K → HK com f(h, k) = hk, f

e sobrejetora por definicao, temos tambem que |H × K| = |H||K|. Vamos mostrar que

|f−1(x)| = |H ∩ K| ∀x ∈ HK, isso em especial implica que H × K possui |H ∩ K|

subconjuntos disjuntos em bijecao com HK, logo |H||K| = |HK||H ∩K| ⇒ |H||K||H ∩K|

=

|HK|.Vamos demonstrar que f−1(hk) = {(ha−1, ak), a ∈ H ∩K}︸︷︷︸

B

.

� B ⊂ f−1(hk) . Vale que f(ha−1, ak) = ha−1ak = hk portanto B ⊂ f−1(hk).

� f−1(hk) ⊂ B. Sejam h1, k1 ∈ H,K tais que (h1, k1) ∈ f−1(hk), entao

f(h1, k1) = h1k1 = hk ⇒ h−11 h = k1k

−1

tomamos a = h−11 h︸︷︷︸∈H

= k1k−1︸︷︷︸

K

∈ H ∩K. De h1k1 = hk segue que

h1 = hkk−11 = h(k1k

−1)−1 = ha−1

k1 = h−11 hk = ak

portanto (h1, k1) = (ha−1, ak).

� Por fim o conjunto {(ha−1, ak), a ∈ H ∩K} tem |H ∩K| pois esta em bijecao com

H ∩K.

b Propriedade 18. Sejam H e K dois subgrupos de um grupo finito G, tais que

|H| >√G e |K| >

√G entao |H ∩K| > 1.


ê Demonstracao. Da identidade

|HK| = |H| |K||H ∩K|

se fosse |H ∩K| = 1 terıamos

|G| ≥ |HK| = |H||K| >√

|G|√G = |G|

|G| ≥ |HK| > |G|

o que e absurdo, logo deve valer |H ∩K| > 1.

b Propriedade 19. Sejam H e K subgrupos do grupo (G, .). HK e um subgrupo de

G ⇔ HK = KH.

ê Demonstracao.

⇒). Suponha HK subgrupo de G entao x ∈ HK implica x−1 ∈ HK, x−1 = h.k

e x = (x−1)−1 = k−1.h−1 ∈ KH logo x ∈ HK ⇒ x ∈ KH e segue HK ⊂ KH.

Agora vamos mostrar que KH ⊂ HK, seja kh ∈ KH segue kh = (h−1k−1)−1 mas

(h−1k−1)−1 ∈ HK pois como HK e subgrupo ha inverso de h−1k−1 que e (h−1k−1)−1.

⇐).

Supondo HK = KH vamos provar que HK e subgrupo de G.

� O produto e fechado. Sejam x = h1k1 e y = h2k2, entao xy = h1k1h2k2, como

HK = KH vale k1h2 = h3k3 e daı

xy = (h1h3)(k3k2) ∈ HK.

� x−1 = (h1k1)−1 = k−1

1 h−11 ∈ KH ⊂ HK logo x ∈ HK implica x−1 ∈ KH.

$ Corolario 8. SeH eK sao subgrupos de um grupo abeliano entaoHK e um subgrupo

de G.

b Propriedade 20. Sejam H,K < G. Se H ▹G entao HK < G.

ê Demonstracao.

Vamos mostrar que HK = KH.


� HK ⊂ KH. Seja a = hk, temos a = k (k−1hk)︸︷︷︸h1

= kh1, h1 ∈ H pois H▹G, portanto

a ∈ KH.

� KH ⊂ HK.. Seja b = kh, temos b = (khk−1)︸︷︷︸h1

k = h1K ∈ HK pois H ▹G.

Valem as duas inclusoes, portanto HK = KH e HK < G.

b Propriedade 21. Sejam H,K ▹G entao HK ▹G.

ê Demonstracao. Sabemos que HK < G, basta mostrar que e normal. Devemos

mostrar que ghkg−1 ∈ HK

ghkg−1 = (ghg−1)︸︷︷︸∈H

(gkg−1)︸︷︷︸∈K

pois H,K ▹G.

1.3 A equacao de Classes e aplicacoes.

m Definicao 6 (Conjugacao). Sejam (G, .) um grupo e a, b ∈ G. Dizemos que b e

conjugado de a quando existe x ∈ G tal que b = x−1ax e escrevemos b ∼ a.

b Propriedade 22. A conjugacao e uma relacao de equivalencia.

ê Demonstracao. Primeiro temos que que a conjugacao e reflexiva, isto e, a ∼ a ,

a = x−1ax para algum x, tome x = e o elemento neutro, logo tem-se e−1xe = x.

Agora temos que mostrar que ela e simetrica, a ∼ b ⇒ b ∼ a, partindo da propriedade

valida a = x−1bx devemos mostrar que b = y−1ay. a = x−1bx multiplicando por x a

esquerda segue xa = bx agora x−1 a direita xax−1 = b = (x−1)−1ax−1 tomando y = x−1 ,

y−1ay = b.

Transitividade, a ∼ b e b ∼ c entao a ∼ c. Das hipoteses segue a = x−1bx, b = y−1cy,

substituindo b em a tem-se a = x−1y−1cyx = (yx)−1cyx de onde segue a ∼ c.

m Definicao 7. A classe de conjugacao por a e definida como

C(a) = {b ∈ G|b ∼ a} = {b = x−1ax|x ∈ G}.


$ Corolario 9. Em qualquer grupo (G, .) vale C(e) = {e} pois C(e) = {b = x−1ex = e.}

$ Corolario 10. Se (G, .) e abeliano entao vale C(a) = {a} pois C(a) = {b = x−1ax =

x−1xa = a.}

$ Corolario 11. Se G e finito ele possui um numero finito de classes disjuntas, seja por

exemplo n o numero dessas classes, por serem finitas elas podem ser enumeradas ck logo

tem-se

G =n∪

k=1

ck

que implica

|G| =n∑

k=1

|ck|

onde ck e a k-esima classe de conjugacao.

1.3.1 Normalizador de um elemento a

m Definicao 8 (Normalizador de um elemento a.). Seja a ∈ G, o normalizador de a e

o conjunto

N(a) = {x ∈ G| ax = xa}.

E o conjunto dos elementos de G que comutam com a.

Z Exemplo 3. Em s3 temos N(τ) = {I, }

$ Corolario 12.

N(e) = G

pois

N(e) = {x ∈ G|ex = xe = x} = G.

Todo elemento de G comuta com o elemento neutro.

$ Corolario 13. Se G e um grupo abeliano entao para qualquer a ∈ G temos N(a) = G,

pois qualquer elemento comuta com a por ser grupo abeliano.


$ Corolario 14. Seja G um grupo nao abeliano, entao existem a e b tais que ab = ba

logo b /∈ N(a) isso implica N(a) = G.

$ Corolario 15.

< a >⊂ N(a).

Todo elemento de < a > e da forma ak para algum k ∈ Z e tem-se aka = ak+1 = a.ak

logo esse ak arbitrario em < a > pertence ao conjunto N(a) o que implica a inclusao

< a >⊂ N(a).

b Propriedade 23. Seja G um grupo e a ∈ G, entao N(a) e subgrupo de G para todo

a.

ê Demonstracao.

� Temos que e ∈ N(a), pois e comuta com a.

� Seja x ∈ N(a) vamos mostrar que x−1 ∈ N(a).

xa = ax, xax−1 = a. ax−1 = x−1a ⇒ x−1 ∈ N(a)

onde multiplicamos primeiro por x−1 a direita, depois por x−1 a esquerda.

� Sejam x e y ∈ N(a), vamos mostrar que yx ∈ N(a). Por hipotese temos xa = ax

e ya = ay multiplicando a primeira identidade por y a direita temos yxa = yax

usando que ya = ay segue yxa = ayx logo yx ∈ N(a).

⋆ Teorema 2. Sejam ca = |C(a)|, G um grupo finito entao para cada a ∈ G vale

ca =|G|

|N(a)|.

$ Corolario 16 (Equacao de classe.). Se G finito entao

|G| =∑ |G|

|N(a)|.


1.3.2 Centro de um grupo

m Definicao 9 (Centro de um grupo.). Seja G um grupo. O centro de G e o conjunto

Z(G) = {x ∈ G|xa = ax.∀a ∈ G.}

Conjunto dos elementos x que comutam com todos elementos do grupo G.

b Propriedade 24. Z(G) e subgrupo de G.

ê Demonstracao.

� e ∈ Z(G), pois para todo elemento a de G vale a ∗ e = a = e ∗ a.

� Suponha x ∈ Z(G) vamos mostrar que x−1 ∈ G, pra um elemento arbitrario a ∈ G

vale xa = ax, multiplicando por x−1 a direita segue xax−1 = a, multiplicando por

x−1 a esquerda segue ax−1 = x−1a, daı x−1 ∈ Z(G).

� Dados x, y ∈ Z(G), para o mesmo elemento arbitrario temos xa = ax e ya = ay

entao multiplicando por y a esquerda a primeira igualdade tem-se yxa = (ya)x =

ayx logo yx ∈ Z(G).

$ Corolario 17. Vale que Z(G) ▹ G, isto e Z(G) e subgrupo normal de G, pois para

todo x ∈ Z(G), g ∈ G vale xg = gx ⇒ gxg−1 = x ∈ Z(G) logo gZ(G)g ⊂ Z(G) entao

Z(G) e normal. Qualquer subgrupo do centro tambem e normal.

b Propriedade 25. G e abeliano ⇔ Z(G) = G.

ê Demonstracao. ⇒. Se G e abeliano entao para todos x, a ∈ G tem-se xa = ax

entao todo elemento de G pertence a Z(G). ⇐. Se G = Z(G) entao ∀a, x ∈ G tem

ax = xa entao G e abeliano.

Z Exemplo 4. O centro de (Z,+) e Z, pois o grupo e abeliano e Z ′ o grupo dos

comutadores e {e}.

b Propriedade 26. a ∈ Z(G) ⇔ N(a) = G.

ê Demonstracao. ⇒. Se a ∈ Z(G) entao a comuta com todos elementos do grupo

G, isto e, para todo x ∈ G tem-se ax = xa entao G = N(a).

⇐. Se N(a) = G entao a comuta com todos elementos de G entao a ∈ Z(G).


b Propriedade 27. Se G/Z(G) e cıclico entao Z(G) = G.

$ Corolario 18. O ındice de Z(G) em G nunca e um numero primo. Pois se fosse

G/Z(G) seria cıclico daı G = Z(G) o que implicaria |G/Z(G)| = 1 o que e absurdo.

ê Demonstracao. Seja h ∈ G/Z(G) gerador, g1, g2 ∈ G

g1 = hn1, g2 = h

n2 ⇒ g1 = hn11 x1︸︷︷︸

∈Z(G)

, g1 = hn22 x2︸︷︷︸

∈Z(G)

g1g2 = hn11 x1h

n2x2 = hn1hn2x1x2 = hn2hn1x2x1 = hn2x2hn1x1 = g2g1.

1.4 Teorema de Sylow

m Definicao 10 (Representacao de um grupo). Dado G, uma representacao de G e um

homomorfismo f : G → B.

m Definicao 11 (Representacao por permutacao). Uma representacao do tipo f : G →

P (C), para algum C com |C| = n e chamada representacao de G por permutacoes de grau

n. Nesse caso dizemos que G opera sobre C. Estamos denotanto P (C) como o conjunto

dar bijecoes de C em C, geralmente vamos usar em P (C) a composicao de funcoes.

Para termos uma representacao por permutacao f : G → P (C) entao e necessario que

1. fg : C → C seja bijecao.

2. f seja homomorfismo, isto e, fgt = fg ◦ ft.

Z Exemplo 5 (Conjugacao I). Seja f : G → P (G) com fg(x) = gxg−1 . fg : G → G

e automorfismo, logo e bijecao. Falta mostrar que f e homomorfismo

(ft ◦ fg)(x) = ft(gxg−1) = f(tgxg−1t−1) = f(tgx(tg)−1) = ftg(x).

Z Exemplo 6 (Translacao I). f : G → P (G) com fg(x) = gx e homomorfismo e

fg : G → G e bijecao , como mostramos no Teorema de Cayley. Entao f definida dessa

maneira e uma representacao de G em P (G).


b Propriedade 28 (Conjugacao II). Seja G um grupo e C = {H | H < G} a funcao

f : G → P (C) com fg(H) = gHg−1 e uma representacao de G em C.

ê Demonstracao.

� Dado g fixo fg e injetora pois fg(H) = fg(T ) implica gHg−1 = gTg−1, daı ∀ h ∈ H

existe t ∈ T tal que ghg−1 = gtg−1 logo h = t, portanto H = T o que implica a

funcao ser injetora.

� fg e sobrejetora. Dado H ∈ C deve existir H ′ < G tal que fg(H′) = H, to-

mamos H ′ = g−1Hg, que e subgrupo de G pois e ∈ H ′, o produto e fechado

g−1agg−1bg = g−1abg e o inverso de um elemento g−1ag e g−1a−1g que tambem

pertence ao conjunto.

� Por fim fg e homomorfismo pois

fgt(H) = gtH(gt)−1 = gtHt−1g−1

da mesma maneira

fg(ft(H)) = g(tHt−1)g−1 = gtHt−1g−1.

z Observacao 1. Na propriedade anterior se todo subgrupo de G for normal a repre-

sentacao e trivial fg(H) = gHg−1 = H.

$ Corolario 19 (Conjugacao III). Se o conjunto C na propriedade anterior for trocado

por C ′ = {A | A < G, |A| = m} entao f : G → P (C ′) continua sendo uma representacao,

pois a funcao fg e bijetora, a imagem tambem tem m elementos, as outras demonstracoes

seguem inalteradas.

b Propriedade 29 (Translacao II). Sejam G grupo C = {aH | a ∈ G, H < G} ,

f : G → P (C) com fg(aH) = gaH, e uma representacao de G em P (C).

ê Demonstracao.

� fg e injetora. fg(aH) = fg(bH) implica gaH = gbH ⇒ aH = bH.

� fg e sobrejetora. Dado cH ∈ C existe g−1cH ∈ C tal que fg(g−1cH) = cH.


� Por fim f e homomorfismo.

fgt(aH) = gtaH

fg(ft(aH)) = g(taH) = gtaH.

$ Corolario 20 (Translacao II). Sejam K < G grupo C = {aH | a ∈ G, H < G} ,

f : K → P (C) com fk(aH) = kaH, e uma representacao de K em P (C).

b Propriedade 30. Sejam H ▹G e a funcao f : G → P (H) com fg(h) = ghg−1 entao

f e uma representacao de G no grupo das permutacoes de H.

ê Demonstracao.

� Vamos mostrar que fg : H → H e bijecao. Ela e injetora pois ghg−1 = gtg−1 segue

por lei do corte que h = t, alem disso ela e sobrejetiva, pois dado t ∈ H queremos

achar h ∈ H tal que ghg−1 = t, daı h = g−1tg e h dessa forma realmente pertence

a H pois H e subgrupo normal de G.

� Falta mostrar que f e homomorfismo

(ft ◦ fg)(x) = ft(gxg−1) = f(tgxg−1t−1) = f(tgx(tg)−1) = ftg(x).

m Definicao 12 (Relacao de equivalencia sobre representacao). Sejam f : G → P (C)

uma representacao de G, x, y ∈ G definimos

x ∼ y, ⇔ ∃ g ∈ G | fg(x) = y.

b Propriedade 31. A relacao definida acima e realmente de equivalencia.

ê Demonstracao.

� A relacao e reflexiva, x ∼ x, pois como f e homomorfismo ela leva elemento neutro

de G em elemento neutro de P (C) que e a funcao identidade, logo fe(x) = x.

� A relacao e simetrica. Se x ∼ y entao y ∼ x. Pela primeira condicao existe g tal

que fg = h bijecao e h(x) = y, logo fg−1 = h−1 pois homomorfismo leva inverso em

inverso, daı fg−1(y) = h−1(y) = x.


� Transitividade. Se x ∼ y e y ∼ z entao x ∼ z. Existem g, t tais que fg(x) =

y, ft(y) = z, logo por termos homomorfismo

ftg(x) = (ft ◦ fg)(x) = ft(y) = z

de onde segue o resultado.

m Definicao 13 (Orbita). Seja x ∈ C, a orbita de x e o conjunto

O(x) = {y ∈ C | y ∼ x} = {fg(x) | g ∈ G}.

m Definicao 14 (Estabilizador de x). O estabilizador de x, denotado por E(x) e o

conjunto dos elementos de G que deixam o elemento x fixo,

E(x) = {g ∈ G | fg(x) = x}.

b Propriedade 32. E(x) < G.

ê Demonstracao.

� E(x) nao e vazio pois e ∈ E(x), fe(x) = x.

� Sejam g1, g2 ∈ E(x) entao

fg1g2(x) = fg1 ◦ fg2(x) = fg1(x) = x

logo g1g2 ∈ E(x).

� Seja g ∈ E(x) entao g−1 ∈ E(x) pois fg = h com h(x) = x, fg−1 = h−1 e vale

h−1(x) = x.

m Definicao 15 (Representacao transitiva). Uma representacao e transitiva quando

existe apenas uma orbita, isto e, O(x) = C.

b Propriedade 33. h : O(x) → {g ∈ G | gE(x)} com h(fg(x)) = gE(x) e uma bijecao.

ê Demonstracao.

� h e funcao, pois, sejam g1, g2 ∈ G com fg1(x) = fg2(x) daı fg−12 g1

(x) = x portanto

g−12 g1 ∈ E(x) logo g1 ∈ g2E(x) que implica g1E(x) = g2E(x).


� h e sobrejetora pois gE(x) e imagem de fg(x).

� h e injetora. Se h(fg1(x)) = h(fg2(x)), isto e, g1E(x) = g2E(x) entao g−11 g2 ∈ E(x)

logo fg−11 g2(x)

= x = fg−11

◦ fg2(x)

fg2(x) = fg1 ◦ fg−11

◦ fg2(x)︸︷︷︸x

= fg1(x) .

$ Corolario 21. Se G e finito entao |O(x)| = (G : E(x)) e O(x) divide |G|.

m Definicao 16 (Classe de conjugacao de x). Seja f : G → P (G) com fg(x) = gxg−1.

A orbita O(x) = {fg(x) | g ∈ G} = {gxg−1 | g ∈ G} se chama classe de conjugacao de x,

sendo denotada por Cl(x). Os elementos de Cl se chamam de conjugados de x.

$ Corolario 22. Cl(x) = {x} ⇔ gxg−1 = x ∀g ∈ G ⇔ x ∈ Z(G). A classe de x possui

um unico elemento x ⇔ x pertence a Z(G), centro de G. Observe que Cl(x) tem sempre

o elemento x sendo fe(x) = x, logo para ser um conjunto unitario o conjunto deve ter

apenas o elemento x.

m Definicao 17 (Centralizador de x.). O centralizador de x em G e o conjunto

Z(x) = {g ∈ G | gxg−1 = x}

e o estabilizador da conjugacao.

$ Corolario 23. |Cl(x)| = (G : Z(x)).

$ Corolario 24 (Equacao de classes de conjugacao). Seja B um conjunto de represen-

tantes da classe de conjugacao em grupo finito, entao

|G| =∑x∈B

|Cl(x)| =∑

x/∈Z(G)

|Cl(x)|+∑

x∈Z(G)

1︷︸︸︷|Cl(x)| =

∑x/∈Z(G)

|Cl(x)|+∑

x∈Z(G)

1 = Z(G)+∑

x/∈Z(G)

|Cl(x)|.

m Definicao 18 (P-Grupo). G e dito ser um p-grupo ⇔ |G| = pn para algum n ∈ N.

b Propriedade 34 (Centro de P -grupos). Se G e um P -grupo entao Z(G) = e, isto e,

Z(G) tem mais de um elemento.


ê Demonstracao. Temos |G| = |Z(G)| +∑

x∈Z(G)

|Cl(x)| para x /∈ Z(G) temos

|Cl(x)| > 1, sabemos que |Cl(x)| divide |G| = pn, |Cl(x)| e multiplo de p e daı∑

x∈Z(G)

|Cl(x)|

e divisıvel por p logo |Z(G)| tambem deve ser, portanto Z(G) tem pelo menos p elementos,

ja que possui o elemento neutro.

$ Corolario 25 (Grupos de ordem p2.). Se G e m grupo de ordem p2 onde p e primo

entao G e abeliano.

Vale que |Z(G)| = p ou |Z(G)| = p2 se fosse |Z(G)| = p entao |G/Z(G)| = p o que e

absurdo pois o centro de um grupo nunca pode ter ındice no grupo igual a um numero

primo, logo |Z(G)| = p2 e o grupo e abeliano.

Z Exemplo 7. Os grupos de ordem 1, 2, 3, 4 e 5 sao abelianos, pois sao da forma p

ou p2 onde p e primo, o grupo com 1 elemento, o elemento neutro e trivialmente abeliano.

m Definicao 19 (Classe de conjugacao de um subgrupo .). Sejam C = {A | A < G} e

f : G → P (C) com fg(H) = gHg−1 a orbita

O(H) = {fg(H) | g ∈ G} = {gHg−1 | g ∈ G}

sera chamada de classe de conjugacao de H e os seus elementos de subgrupos conjugados

de H.

$ Corolario 26.

O(H) = {H} ⇔ gHg−1 = H ∀ g ∈ G ⇔ H ▹G.

m Definicao 20 (Normalizador de um subgrupo). O estabilizador E(H) = {g ∈

G | fg(H) = H} = {g ∈ G | gHg−1 = H} se chama o normalizador de H em G,

sendo denotado por NG(H).

$ Corolario 27. N(H) = G ⇔ gHg−1 = H ∀ g ∈ G ⇔ H ▹G.

b Propriedade 35. N(H) < G.

ê Demonstracao.


� e ∈ N(H) pois eHe−1 = H.

� Se g1, g2 ∈ N(H) entao g1g2 ∈ N(H) pois g1Hg−11 = H e g2Hg−1

2 = H, daı

g1g2H(g1g2)−1 = g1 (g2Hg−1

2 )︸︷︷︸H

g−11 = g1Hg−1

1 = H

� Se g ∈ N(H) entao g−1 ∈ N(H) pois

gHg−1 = H ⇒ gH = Hg ⇒ H = g−1Hg.

$ Corolario 28. H ▹N(H), pois ∀g ∈ N(H) vale gHg−1 = H

b Propriedade 36. Se H ▹ B entao B ⊂ N(H). N(H) e o maior subgrupo de G em

que H e normal.

ê Demonstracao. Se H ▹B entao ∀g ∈ B vale gHg−1 ⊂ H logo g ∈ N(H).

$ Corolario 29. Como O(x) = (G : E(x)) aplicado no caso que estamos considerando

implica

|{gHg−1 | g ∈ G}| = (G : N(H)).

m Definicao 21 (K-Classe de conjugacao de um subgrupo). Sejam K < G, C =

{H | H < G} a funcao f : K → P (C) com fk(H) = kHk−1. A orbita

O(H) = {fk(H) | k ∈ K} = {kHk−1 | k ∈ K}

chama-se K-classe de conjugacao de H. Os elementos de tal orbita sao chamados k

conjugados de H. O estabilizador e dado por

E(H) = {k ∈ K | kHk−1 = H} = K ∩N(H).

$ Corolario 30. |{kHk−1 | k ∈ K}| = (K : K ∩N(H))).

⋆ Teorema 3 (Teorema de Cauchy para grupos abelianos). Seja (G, .) um grupo abe-

liano finito. Se p e um natural primo que divide a ordem de G, entao existe a ∈ G, a = e,

tal que ap = e.


ê Demonstracao. Faremos a demonstracao por inducao sobre |G|. Se |G| = 2 deve

existir x ∈ G de ordem 2, apenas o elemento neutro possui ordem 1, logo o outro elemento

deve ter ordem 2. Suponha |G| > 2 e por hipotese de inducao que o resultado vale para

todos os grupos abelianos de ordem menor que |G|, vamos mostrar que vale para G. Se

|G| = p o grupo e cıclico e todo gerador possui ordem p. Se p = |G| entao existe H < G

tal que 1 < |H| < |G|, pois tomando y = e ∈ G, se < y >= G tomamos < y >= H.

Se < y >= G entao yp = e e H =< yp > serve pois |H| = O(yp) < |G|. Se p divide H

entao por hipotese de inducao existe x ∈ H de ordem p. Se p nao divide H entao por

|G| = |H||G/H|, p divide |G/H| < |G| , logo por hipotese da inducao existe z ∈ G/H de

ordem p. Considere o homomorfismo trivial f : G → G/H com f(g) = g, existe z ∈ G

tal que f(z) = z. Seja r a ordem de z, temos zr = e, logo f(zr) = e = f(z)r = zr, logo r

e multiplo da ordem de z, p, sendo da forma kp para algum k ∈ N , daı zk e um elemento

em G de ordem p.

m Definicao 22 (P-Sylow subgrupo). Sejam G um grupo finito e p um natural primo.

Um subgrupo de G e chamado de um p-Sylow sse |H| = pm onde pm| |G| mas pm+1 nao

divide |G|.

z Observacao 2. Denotaremos sempre com np o numero de p-Sylows.

⋆ Teorema 4 (Teorema de Sylow-Parte 1). Sejam p primo e G um grupo de ordem

pm.b com mdc(p, b) = 1 entao para cada n, 0 ≤ n ≤ m existe um subgrupo H de G de

ordem pn.

ê Demonstracao. Faremos a demonstracao por inducao sobre |G|. Se |G| = 2 o

resultado vale pois temos subgrupo de ordem 2 e 1. Suponha |G| > 2, por hipotese de

inducao o teorema vale para todos os grupos de ordem menor que |G|, com isso vamos

mostrar que vale para G.

Seja n ∈ N tal que pn divide |G|.

� Caso I. Se existe T < G propriamente com pn dividindo |T |, por hipotese de inducao,existe H < T com |H| = pn, daı H < G, G possui subgrupo de ordem pn.

� Caso II. Se nao existe T < G propriamente com pn dividindo |T | consideramos a

equacao das classes de conjugacao

|G| = |Z(G)|+∑

x/∈Z(G)

(G : Z(x))


para x /∈ Z(G), Z(x) ⊂ G propriamente, pois existe g ∈ G que nao comuta com

x logo g /∈ Z(x), como Z(x) e subgrupo de G (por ser estabilizador) entao pn nao

divide |Z(x)| , de |G| = |Z(x)| (G : Z(x)) segue que p divide (G : Z(x)). Como Z(G)

e um grupo abeliano, pelo lema de Cauchy, existe y ∈ Z(G) de ordem p e < y > ▹G,

podemos considerar o grupo quociente G/ < y >, temos |G/ < y > | < G e pn−1

divide |G/ < y > | logo por hipotese de inducaoG/ < y > possui um subconjuntoK ′

de ordem pn−1, tomamos o homomorfismo trivial f : G → G/ < y > eK = f−1(K ′),

K e subgrupo de G e

|K| = |ker(f)| |K ′| = | < y > | |K ′| = pn.

$ Corolario 31. Sejam G um grupo finito, p um natural primo tal que pm| |G| e pm+1

nao divide |G| entao G tem um subgrupo de ordem pm, G tem um p-Sylow subgrupo.

$ Corolario 32 (Teorema de Cauchy). Seja G um grupo finito. Se p e natural primo e

divide a ordem de G entao G tem um elemento de ordem p.

b Propriedade 37 (Caracterizacao de p-grupo finito). G e um p-grupo⇔ cada elemento

de G tem sua ordem igual a uma potencia de p.

ê Demonstracao.

⇒ .)

Se |G| = pn entao a ordem de x ∈ G divide pn por teorema de Lagrange, logo sua

ordem e potencia de p.

⇐).

Vamos provar a contrapositiva. Se G nao e um p-grupo, existe um numero q = p

primo tal que divide |G|, daı pelo teorema de Cauchy existe um elemento x ∈ G de ordem

q.

m Definicao 23 (p-grupo infinito). Um grupo infinito G e dito ser um p-grupo se todos

seus elementos tem ordem igual a uma potencia de p.

m Definicao 24 (Relacao dupla de H e K em G.). Sejam H e K subgrupos de um

grupo G , x e y ∈ G. Dizemos que x ∼ y sse existem h, k ∈ H,K respectivamente tais

que y = hxk.


b Propriedade 38. ∼ e uma relacao de equivalencia em G.

m Definicao 25 (Classe dupla de H e K em G.). Para cada x ∈ G a classe de

equivalencia de x na relacao∼ e chamada de classe dupla deH eK em G e e o subconjunto

de G

HxK := {hxk | h, k ∈ H,K.}

b Propriedade 39. Se H e K sao subgrupos finitos de G entao

|HxK| = |H||K||H ∩ (xKx−1)|

.

b Propriedade 40.

H ⊂ N(H) e H ▹ N(H).

b Propriedade 41. Sejam G finito, p primo, S um p-Sylow de G e P um p-subgrupo

qualquer de G entao P ∩N(S) = P ∩ S.

ê Demonstracao. Suponha que P ∩ S ⊂ P ∩ N(S) propriamente (sabemos que

S ⊂ N(S)). Seja x ∈ P ∩N(S). Seja x ∈ P ∩N(S) e nao pertencente a S. x tem ordem

igual a uma potencia de p, pois x ∈ P que e p-grupo. Como x ∈ N(S) temos que < x >

e subgrupo de N(S).

Como S e subgrupo normal de N(S) entao < x > S e um subgrupo de N(S) e um

subgrupo de N(S) e portanto de G. Por princıpio de contagem sabemos que

| < x > S| = |S|| < x > ||S∩ < x > |

onde | S︸︷︷︸p−Sylow

| e | < x︸︷︷︸x∈p−grupo

> | sao potencias de p e |S∩ < x > | < | < x > |, pois

x /∈ S. < x > S e um P -subgrupo de G de ordem maior que |S|, o que e absurdo pois S

e um p-Sylow de G, entao devemos ter P ∩N(S) = P ∩ S.

⋆ Teorema 5 (Teorema de Sylow, Parte 2). Seja (G, .) um grupo finito. Seja p um

natural primo tal que pm| |G| e pm+1 nao divide |G|.

1. Se P e p-grupo entao existe S sylow tal que P ⊂ S.

2. Quaisquer dois p-Sylow sao conjugados.


3. O numero np de p−Sylow subgrupos de G e

np =|G|

|N(S)|= (G : N(S))

onde S e qualquer p-Sylow subgrupo de G.

ê Demonstracao.

1. Sejam S um p-Sylow , C = {gSg−1 | g ∈ G} o conjunto dos conjugados de S, P

um p grupo, f : P → P (C) com fa(gSg−1) = a(gsg−1)a−1, f e uma representacao.

Vamos mostrar que um p subgrupo qualquer de G esta contido num conjugado de

S em G.

Sejam (Ok)n1 classes de conjugacao (orbitas da representacao). Seja Sk representante

de Ok , vale quen∑

k=1

|Ok| = |C| = (G : NG(s)︸︷︷︸E(S)

)

como S ⊂ NG(S) implica (G : NG(S)) nao e divisıvel por p, pois

b = (G : S) = (G : NG(S))(NG(S) : S)

|C| = pm.b, mdc(p, b) = 1.

|Ok| e o numero de elementos da orbita Ok

|Ok| = (P : Np(Sk)) = (P : P ∩NG(Sk)︸︷︷︸P∩Sk

) = (P : P ∩ Sk)

essa ultima assume valor 1 ou potencia de p, sabemos tambem que |P | = |P∩Sk|(P :

P ∩ Sk), comon∑

k=1

|Ok| =n∑

k=1

(P : P ∩ Sk) = |C|

e p | |C| segue que existe k tal que (P : P ∩ Sk) = 1, isso implica com a observacao

anterior que |P | = |P ∩ Sk| que implica P = P ∩ Sk, P ⊂ Sk.

2. S Sylow e p grupo, logo S ⊂ Sk como S e Sk tem o mesmo numero de elementos,

segue que Sk = S.


3. Por (2) segue que np e igual ao numero de conjugados de S que e igual a

|C| = (G : NG(S)).

$ Corolario 33. S um p Sylow de G e normal em G ⇔ S e o unico p-Sylow de G.

⋆ Teorema 6 (Teorema de Sylow -Parte 3). O numero np de p-Sylow satisfaz np ≡

1 mod p e np | b onde |G| = pm.b.

ê Demonstracao.

Vale que

|C| = np =n∑

k=1

(S : S ∩ Sk) =

suponha S = S1 entao

= 1 +n∑

k=1

(S : S ∩ Sk)︸︷︷︸potencia de p

mod p = 1.

Temos tambem que np = (G : N(S)) divide (G : S) = b.

$ Corolario 34. Suponha np = 1, entao existe um unico p-sylow e S ▹ G, pois ele e

conjugado dele mesmo.

Z Exemplo 8. Seja G um grupo de ordem 28, entao G possui um subgrupo normal de

ordem 7 . Temos que 28 = 7.4 . Pelo teorema de Sylow temos um 7-Sylow e pelo terceiro

teorema deve valer que n7 ≡ 1 mod 7 e n7|4, portanto n7 ∈ {1, 2, 4} e daı o unico que

satisfaz as duas condicoes e n7 = 1, portanto temos apenas um 7-Sylow . Quando temos

apenas um p-Sylow, ele e normal, entao o 7-Sylow e normal .

Z Exemplo 9. Seja G um grupo de ordem 380 = 22.5.19. Pelo teorema de Sylow

temos n5 ≡ 1 mod 5 e n5|22.19, logo as possibilidades sao {1, 19, 2, 4, 76} pela primeira

condicao temos apenas as possibilidades em {1, 76}. Da mesma maneira n19 ≡ 1 mod 19

e n19|22.5 e temos as possibilidades {1, 2, 4, 10, 20}, com a primeira condicao reduzimos

a {1, 20}. Sejam H um subgrupo de ordem 5 e K um subgrupo de ordem 19. Vamos

mostrar que n5 = n19 = 1.


Primeiro, vale que n5 ou n19 vale 1, pois caso contrario terıamos 76.4 = 304 elementos

de ordem 5 e 20.18 = 360 elementos de ordem 19. Absurdo pois |G| = 380, daı H ou K

e normal em G. Vale que HK < G e por contagem

|HK| = |H| |K||H ∩K︸︷︷︸

={e}

|= 5.19

HK possui somente um subgrupo de ordem 5 que e H e um grupo de ordem 19 que e K.

H ▹HK e daı HK ⊂ N(H) logo

n5 = (G : N(H)) ≤ (G : HK) = 22

e daı n5 = 1. Da mesma maneira K e normal em HK e de maneira equivalente temos

HK ⊂ N(K) logo

n19 = (G : N(H)) ≤ (G : HK) = 22

daı n19 = 1 pois nao pode ser igual a 20.

Z Exemplo 10. Seja (G, .) um grupo com 42 elementos. Mostre que G tem um

subgrupo com 6 elementos.

Primeiro fatoramos a ordem do grupo 42 = 2.3.7, por isso temos 2-Sylow,3-Sylow e 7-

Sylow subgrupos com n2 ∈ {1, 3, 7, 3.7} e n2 ≡ 1 mod 2, n3 ∈ {1, 2, 7, 2.7} e n3 ≡ 1 mod 3

com isso descartamos as possibilidades de 2 e 2.7 ≡ 14 ≡ 2 mod 3 porem temos ainda

n3 ∈ {1, 7} e finalmente analisando n7, temos n7 ∈ {1, 2, 3, 2.3} e n7 ≡ 1 mod 7 implica

n7 = 1.

Se n3 = 7, seja P um dos 3−Sylow temos pelo teorema de Sylow que 7 =2.3.7

|N(P )|,

N(P ) = 6 e N(P ) e subgrupo de G, pois P e subgrupo de G, neste caso temos um

subgrupo com 6 elementos.

Se n3 = 1 temos |N(P ) = 42|, o 3−Sylow e normal, tomamos um 2-Sylow H, logo HP

sera subgrupo de G, como |H ∩ P | e subgrupo de H e de P temos ainda |H ∩ P | | | |H|

e |H ∩ P | | | |P | assim |H ∩ P | | mdc(3, 2) = 1, disto concluımos que |H ∩ P | = 1 logo

H ∩ P = {e} e pelo princıpio de contagem

|HP | = |H||P ||H ∩ P |

= |H||P | = 2.3 = 6


, neste caso tambem temos um subgrupo de ordem 6. Assim seja n3 = 7 ou n3 = 1 temos

subgrupo de ordem 6 no grupo G.

Z Exemplo 11. Seja G um grupo com 56 elementos. Mostre que G tem um subgrupo

normal com 8 elementos ou um subgrupo normal com 7 elementos.

Fatorando 56 temos 56 = 8.7 = 23.7, logo G possui 7−Sylow e 2-sylow, com n2 ∈ {1, 7} e

n7 ∈ {1, 8}. Suponha que n7 = 8 e n2 = 7, cada 7−Sylow e cıclico, com 7 elementos tem

φ(7) = 6 geradores, entao qualquer elemento dele diferente do elemento neutro e gerador.

Tendo oito 7−Sylows temos 8.6 = 48 elementos, nao podemos ter n2 = 7 pois terıamos

mais 7.7 = 49 a soma de elementos iria superar 56, entao um dos grupos deve ser normal.

Z Exemplo 12. Mostre que se |G| = 112132 entao G e abeliano.

Seja G um grupo com |G| = 132.112. Temos 13-Sylow e 11-Sylow. n11 ∈ {1, 13, 132}

concluımos que n11 = 1 pois nenhum outro satisfaz n11 ≡ 1 mod 11, da mesma maneira

temos que n13 ∈ {1, 11, 112} como 11 ≡ −2 mod 13 logo 132 ≡ 4 mod 13 concluımos

que n13 = 1 . Disso temos que ambos 13-Sylow e 11-Sylow sao normais. Sejam entao

H o 11-Sylow e K o 11-Sylow. H ∩ K e subgrupo de H e de K logo |H ∩ K| | | |H| e

|H ∩ K| | | |K| assim |H ∩ K| | mdc(132, 112) = 1, disto concluımos que |H ∩ K| = 1

implicando H ∩K = {e} e pelo princıpio de contagem

|HK| = |H||K||H ∩K|

= |H||K| = 132.112.

Disto podemos concluir que HK = G.

Temos tambem que H e K sao abelianos por terem ordem p2 (com p primo); e ainda

mais, seja y ∈ G entao y = ab com a ∈ H e b ∈ K. Considere

ab.a−1b−1 =

a︸︷︷︸∈H

. (b.a−1b−1)︸︷︷︸∈H Pois e normal em G

∈ H

(aba−1)︸︷︷︸∈K Pois e normal em G

. b−1︸︷︷︸∈K

∈ K

Logo aba−1b−1 ∈ H ∩ K = {e}, aba−1b−1 = e, implica ab = ba. Sejam entao y = ab e


x = a′.b′, y, x ∈ G, temos

yx =(0) aba′b′ =(1) aa

′bb′ =(2) a′ab′b =(3) a

′b′ab = xy

onde de (0) para (1) e de (2) para (3) usamos comutatividade dos elementos de K e H e

de (1) para (2) usamos comutatividade em K e H, logo o grupo e abeliano.

b Propriedade 42. Seja G um grupo finito com apenas duas classes de conjugacao

entao |G| = 2.

ê Demonstracao. Usaremos que |G| =∑

|C(x)| e |C(x)| = |G||N(x)|

, como C(e) =

{e} e uma classe todo outro x = e pertence a classe C(x) logo

|G| = 1 + |C(x)| ⇒ |G| − 1 = |C(x)|

de |C(x)| = |G||N(x)|

segue que |G| − 1 divide |G|, como sao numero primos entre si temos

|G| − 1 = 1, |G| = 2.

Z Exemplo 13. Todo grupo abeliano de ordem 10 tem elemento de ordem 10.

Seja G um grupo abeliano de ordem 10, temos que ele possui S5 e S2 pois 2, 5|10 e

22, 52 nao dividem 10. Os S5 e S2 sao grupos ciclıcos com 4 e 1 gerador respectivamente,

entao se intersectam apenas no elemento neutro e. Sejam entao a ∈ S5 e b ∈ S2 temos por

propriedade de grupos abelianos que (a.b)2.5 = (a5)2.(b2)5 = e, como o(a) = 5, o(b) = 2 e

mdc(2, 5) = 1 segue o(a.b) = 2.5 = 10. Conseguimos assim um elemento de ordem 10 em

G.

b Propriedade 43. Sejam G um grupo finito, S um p-sylow de G e H < G | N(S) ⊂ H

entao

1. N(H) = H e N(N(S)) = N(S), temos uma idempotencia do normalizador aplicado

a um p-Sylow

2. (G : H) ≡ 1 mod p

ê Demonstracao.


1. Seja x ∈ N(H). Como S ⊂ N(S) ⊂ H, S e p-Sylow de H. Como x ∈ N(H),

xSx−1 e um p-Sylow de H daı S e xSx−1 sao conjugados em H, existe h ∈ H tal

que S = hxSx−1h−1 = hxS(hx)−1 daı hx ∈ N(S) ⊂ H entao h−1hx = x ∈ H. Vale

que N(N(S)) = N(S) pois tomamos N(S) = H.

2. (G : N(S)) = (G : H)(H : N(S)), S sendo p-Sylow de G entao (G : N(S)) ≡ 1

mod p. Vale que N(S) = N(S) ∩H = NK(S), S e p-Sylow de H entao

(H : N(S)) = (H : NK(S)) ≡ 1 mod p

disso segue que (G : H) ≡ 1 mod p.

b Propriedade 44. Sejam p primo, G nao abeliano com |G| = p3 entao |Z(G)| = p e

G/Z(G) w Zp × Zp.

Alem disso G′ = Z(G).

ê Demonstracao. Como G e p-grupo entao seu centro e nao trivial, |Z(G)| ∈{p, p2, p3}. Se G/Z(G) e cıclico entao G e abeliano, entao nao podemos ter |Z(G)| valendop2 ou p3, logo |Z(G)| = p. Portanto |G/Z(G)| = p2, os unicos grupos de ordem p2 a menos

de isomorfismo sao Zp2 e zp × zp como G/Z(G) e nao cıclico entao devemos ter G/Z(G)

isomorfo a zp × zp.

Como G/Z(G) e abeliano, entao G′ ⊂ Z(G), G′ e nao trivial (pois G nao e abeliano)

e subgrupo de G entao segue G′ = Z(G).

Usamos o resultado G/N e abelianos ⇒ G′ ⊂ N.

b Propriedade 45. Sejam p primo , |G| = pm.b, H ▹G e S p-Sylow de G entao H ∩ S

e p-sylow de H.

Vale tambem que SH/H e um p-Sylow de G/H.

ê Demonstracao. Temos que H ∩ S < H e S, pela segunda tem-se |H ∩ S| = ps

onde s ≤ m, disso segue tambem que |H| = pt.b1 onde t ≥ s e mdc(b1, pt) = 1 pois a

ordem do subgrupo tem que dividir a ordem do grupo. Como H ▹ G entao SH < G e

temos por contagem

|SH| = |S||H||H ∩ S|

=pm.pt.b1

ps


como SH < G entao |SH| divide pm.b = |G|

pm.b.ps

pm.pt.b1=

b.ps

pt.b1

daı pt divide ps o que implica s ≥ t, juntando com a condicao t ≥ s tem-se t = s, logo

H ∩ S e p-Sylow de H.

Vale que SH/H < G/H pois SH < G, usando os fatos obtidos acima temos

|SH/H| = pm−s e |G/H| = pm−s.b

logo SH/H e p-Sylow de G/H.

1.4.1 |G| = 22.7.13

Z Exemplo 14. Se G e um grupo de ordem 22.7.13 entao G possui um subgrupo

normal de ordem 13.

n13 ∈ {1, 2, 7, 22, 7.2, 7.22} logo por n13 ≡ 1 mod 13 segue n13 ∈ {1, 14}. Da mesma

forma n7 ∈ {1, 13, 2, 22, 2213} logo n7 = 1. Tomamos H um 7-Sylow e K um 13-Sylow.

Daı HK < G, K ▹ HK por teorema de Sylow aplicado a HK e daı HK ⊂ N(K),

portanto

n13 = (G : N(K)) ≤ (G : HK) = 4

daı n13 nao pode ser 14, logo K e normal em G, possuindo 13 elementos.

1.4.2 Grupo de ordem pq.

b Propriedade 46. Se |G| = pq com p e q primos, entao o grupo possui um subgrupo

normal nao trivial.

ê Demonstracao. Se p = q entao a ordem do grupo e p2, o grupo e abeliano e

portanto todos subgrupos sao normais. Se q > p entao temos um unico q-Sylow, que

portanto e normal.

b Propriedade 47. Sejam p < q dois numeros primos e G um grupo de ordem pq.

G e abeliano ⇔ ele possui apenas um p-Sylow.


ê Demonstracao.

⇒).

Se G e abeliano entao ele possui apenas um p-Sylow pois o conjugado de um p-Sylow

e ele mesmo.

⇐).

Suponha que G possua apenas um p-Sylow H, seja K um q-Sylow, nq ≡ 1 mod q e

nq ∈ {1, p}, nao podemos ter nq = p pois p < q, daı p ≡ 1 mod q, logo o q-Sylow e unico,

sendo portanto normal.

Disso temos que ambos p-Sylow e q-Sylow sao normais. Sejam entao H o p-Sylow e

K o q-Sylow. H ∩K e subgrupo de H e de K logo |H ∩K| | | |H| e |H ∩K| | | |K| assim|H ∩ K| | mdc(p, q) = 1, disto concluımos que |H ∩ K| = 1 implicando H ∩ K = {e} e

pelo princıpio de contagem

|HK| = |H||K||H ∩K|

= |H||K| = pq.


Temos tambem que H e K sao abelianos por terem ordem p . Seja y ∈ G entao y = ab

com a ∈ H e b ∈ K. Considere

ab.a−1b−1 =

a︸︷︷︸∈H


∈ H


. b−1︸︷︷︸∈K

∈ K



yx =(0) aba′b′ =(1) aa

′bb′ =(2) a′ab′b =(3) a

′b′ab = xy



b Propriedade 48. Sejam G1, G2 grupos cıclicos de ordem m e n respectivamente, se

m e n sao coprimos entao G1 ×G2 e cıclico sendo isomorfo a Zmn.

ê Demonstracao. Sejam < a >= G1, < b >= G2, consideramos o homeomorfismo

f : Z → G1 × G2 com f(k) = (ak, bk) o kernel de tal homomorfismo e mnZ e a funcao

e sobrejetiva pelo teorema Chines do resto, entao pelo teorema dos isomorfismo Zmn e

G1 ×G2 sao isomorfos.


b Propriedade 49. Seja G um grupo de ordem pq, onde p, q sao primos p < q e p nao

divide q − 1 entao G e cıclico, G e isomorfo a Zpq.

ê Demonstracao. Ja sabemos que o q-Sylow e unico, vamos mostrar que o p-Sylow

tambem e unico. Temos np ∈ {1, q}, porem nao podemos ter np = q pois daı p|(q − 1)

o que contraria a hipotese , portanto o grupo possui apenas um p-Sylow e o grupo e

abeliano, pelo que ja demonstramos.

Definimos f : G = HK → H ×K com f(h.k) = (h, k), tal funcao e um isomorfismo,

logo G e isomorfo a H × K e pelo resultado anterior tal grupo e isomorfo a Zmn que e

cıclico.

Z Exemplo 15. Grupos de ordem 33 = 3.11, 35 = 5.7 e 65 = 5.13 sao cıclicos pois

3 |10, 5 |6 e 5 |12, onde usamos o resultado anterior.

Z Exemplo 16. Se |G| = 2.7.13 entao G possui subgrupo normal de ordem 13.

n7 ∈ {1, 13, 2, 22, 22.13, 2.13} com n7 ≡ 1 mod 7 segue n7 = 1, de maneira similar

n13 ∈ {1, 7, 2, 22, 2.7, 22.7}, n13 ≡ 1 mod 13, implica n3 ∈ {1, 14}. Seja H um 13-Sylow e

K o 7-Sylow, vale que HK < G, pois K ▹G. Temos

|HK| = |H||K||H ∩K|

= 13.7

H e normal emHK por aplicacao do teorema de Sylow a este subgrupo, logoHK ⊂ N(H)

e daı

n13 = (G : N(H)) ≤ (G : HK) =22.7.13

13.7= 4

portanto n13 nao pode ser 14, logo vale 1 e H ▹G. Temos um subgrupo de ordem 13.

1.4.3 Grupo de ordem 2p.

Z Exemplo 17. Seja p um primo, entao todo grupo G de ordem 2p tem um subgrupo

normal.

Se p = 2 o grupo e de ordem 22 que e abeliano. Se p > 2 entao G possui p-Sylow, vale

np ∈ {1, 2} como p > 2 nao pode ser np = 2, logo np = 1 e o p-Sylow e normal.


1.4.4 Grupo de ordem 5.2.3 = 30

Z Exemplo 18. Seja G um grupo de ordem 2.3.5, G possui 3-Sylow e 5-Sylow,

vale n3 ∈ {1, 2, 5, 2.5} com n3 ≡ 1 mod 3 tem-se n3 ∈ {1, 10}. De maneira similar

n5 ∈ {1, 2, 3, 6} com n5 ≡ 1 mod 5 temos n5 ∈ {1, 6}. Supondo que n5 = 6 e n3 = 10, tais

Sylows sao disjuntos ( a menos do neutro), logo terıamos pelo menos 6.4 + 1.2 = 44 > 30

elementos, o que e absurdo, portanto vale n5 = 1 ou n3 = 1.

Suponha que o 3-Sylow H seja normal, tomamos K um 5-Sylow, vale que HK < G,

|HK| = |H| |K| = 3.5, K < HK, seja n′5 o numero de 5-Sylow em HK, temos n′

5 ∈ {1, 3}

logo n′5 = 1, K ▹HK logo HK ⊂ N(K) e temos

n5 = (G : N(K)) ≤ (G : HK) = 2

nao pode ser n5 = 6 logo n5 = 1.

Se n5 = 1, H ⊂ HK, n′3 ∈ {1, 5} logo n′

3 = 1, H ▹HK, HK ⊂ N(H)

n3 = (G : N(K)) ≤ (G : HK) = 2

nao pode ser n3 = 10 logo n3 = 1.

O 3-Sylow e o 5-Sylow sao normais, disso segue que HK e normal em G e tem ordem

15.

1.5 Produto direto

1.5.1 Estudo do grupo de ordem 72.112.

Z Exemplo 19. Classifique os grupos de ordem 72.112.

SejaG um grupo com |G| = 72.112. Temos 7-Sylow e 11-Sylow. n11 ∈ {1, 7, 72} concluımos

que n11 = 1 pois nenhum outro satisfaz n11 ≡ 1 mod 11, da mesma maneira temos que

n7 ∈ {1, 11, 112} como 11 ≡ 4 mod 7 logo 112 ≡ 42 = 16 ≡ 2 mod concluımos que n11 = 1

. Disso temos que ambos 7-Sylow e 11-Sylow sao normais. Sejam entao H o 7-Sylow e K

o 11-Sylow. H ∩K e subgrupo de H e de K logo |H ∩K| | | |H| e |H ∩K| | | |K| assim


|H ∩K| | mdc(72, 112) = 1, disto concluımos que |H ∩ k| = 1 implicando H ∩K = {e} e

pelo princıpio de contagem

|HK| = |H||K||H ∩K|

= |H||K| = 72.112.


Temos tambem que H e K sao abelianos por terem ordem p2 (com p primo); e ainda

mais, seja y ∈ G entao y = ab com a ∈ H e b ∈ K. Considere

ab.a−1b−1 =

a︸︷︷︸∈H


∈ H


. b−1︸︷︷︸∈K

∈ K



yx =(0) aba′b′ =(1) aa

′bb′ =(2) a′ab′b =(3) a

′b′ab = xy



Como o grupo e abeliano, podemos usar o teorema dos grupos abelianos de ordem pn.

As particoes de 2 sao 1 + 1, 2 logo P (2) = 2. Os grupos abelianos nao-isomorfos com

72 elementos sao Z7 × Z7 e Z72 e com 112 sao Z11 × Z11 e z112 . Ha entao P (2).P (2) = 4

grupos abelianos nao-isomorfos com 72.112 elementos, a saber

Z7 × Z7 × Z112 , Z7 × Z7 × Z11 × Z11

Z72 × Z11 × Z11, Z72 × z112 .

Z Exemplo 20. Sejam p e q primos ımpares, tais que p < q < 2p. G um grupo de

ordem p2q, classifique esse grupo.

Primeiro vamos mostrar que os p e q-Sylows sao normais. Temos que np ∈ {1, q} e

nq ∈ {1, p2}, nao podemos ter nq = p pois q > p. Nao podemos ter np = q pois terıamos


q ≡ 1 mod p assim p|(q − 1) mas p nao pode dividir q − 1, pois como q e ımpar q − 1 e

par e o primeiro par multiplo de p e maior que q. Logo temos que np = 1 e o p-Sylow e

normal.

Da mesma maneira nao podemos ter nq = p2, pois nesse caso terıamos q ≡ 1 p2, q|(p2−1),

q|(p−1)(p+1), como q e primo, temos que q|(p−1) ou q|(p+1), a primeira possibilidade

nao ocorre pois q > p logo q > p − 1 a segunda nao ocorre pois q ≥ p + 1, e nao pode

ocorrer q = p + 1 pois p + 1 e par (por p ser ımpar) e q − 1 e ımpar. Logo o q-Sylow e

normal em G. Usamos entao o mesmo argumento do exemplo anterior e os grupos serao

isomorfos a

Zp × Zp × Zq, Zp2 × Zq.

Z Exemplo 21. Sejam p e q primos q > p , q = 3, . G um grupo de ordem p2qn.

Entao G possui um subgrupo normal de ordem qn.

Vale que nq ∈ {1, p, p2, nao pode valer nq = p pois q > p. Nao podemos ter tambem

nq = p2, pois nesse caso terıamos q ≡ 1 p2, q|(p2 − 1), q|(p − 1)(p + 1), como q e primo,

temos que q|(p − 1) ou q|(p + 1), a primeira possibilidade nao ocorre pois q > p logo

q > p − 1 a segunda nao ocorre pois q ≥ p + 1, e nao pode ocorrer q = p + 1 pois se

p = 2 vale p+1 = q = 3 o que nao pode acontecer por hipotese, agora, se p e ımpar entao

q = p+1 e par o que nao pode acontecer pois temos apenas um primo par 2 e q > p > 2.

Portanto o q-Sylow e normal e possui qn elementos.

Z Exemplo 22. Sejam p e q primos ımpares, tais que p < q < 2p. G um grupo de

ordem pnq se (p, q) = (2, 3) entao G possui um subgrupo H normal de ordem pn.

Temos que np ∈ {1, q} e nq ∈ {1, p2, p3, · · · , pn}, nao podemos ter nq = p pois q > p

e daı p ≡ 1 mod q. Nao podemos ter np = q pois terıamos q ≡ 1 mod p assim p|(q − 1)

mas p nao pode dividir q − 1, pois como q e ımpar q − 1 e par e o primeiro par multiplo

de p e maior que q de 2p > q. Logo temos que np = 1 e o p-Sylow e normal, possuindo pn

elementos.

Z Exemplo 23. Se G possui ordem 2n.3 entao ele possui subgrupo normal de de

ordem 2n ou 2n−1.


Se n = 1 temos um subgrupo de ordem 21−1 = 1, que e o o grupo formado por {e},

sendo normal em G. Suponha entao n ≥ 2.

G possui um subgrupo de ordem 2n e tal subgrupo e grande, pois (G : H) = 3,

3! < 22.3 = 12 ≤ 2n.3. O nucleo do homomorfismo

T : G → P ({aH | a ∈ G}) := P (C)

e um subgrupo normal de G e esta contido em H. Vamos mostrar que | ker(T )| vale 2n

ou 2n−1.

Vale que |P (C)| = |C|! < |G|, como |f(G)|︸︷︷︸|G/(Ker(f))|

≤ |P (C)| entao |G/ ker(f)| < |G| e

daı nao vale ker(f) = {e}. Como Ker(T ) ⊂ H entao a ordem do nucleo esta contida no

conjunto {2, 22, 23, · · · , 2n}. Porem G/ ker(T ) e isomorfo a

T (G) < P ({aH | a ∈ G})

que tem ordem 6 , logo |G/ ker(T )| assume valor 1, 2, 3 ou 6 e portanto | ker(T )| pode

ser

{2n.3, 2n−1.3, 2n, 2n−1}

tomando a intersecao com as outras possibilidades temos que | ker(T )| vale 2n ou 2n−1.

Z Exemplo 24. Se G possui ordem 3n.22 entao ele possui subgrupo normal de de

ordem 3n ou 3n−1.

Se n = 1 temos um subgrupo de ordem 31−1 = 1, que e o o grupo formado por {e},

sendo normal em G. Suponha entao n ≥ 2.

G possui um subgrupo de ordem 2n e tal subgrupo e grande, pois (G : H) = 4,

4! < 22.33 = 36 ≤ 3n.22. O nucleo do homomorfismo

T : G → P ({aH | a ∈ G}) := P (C)

e um subgrupo normal de G e esta contido em H. Vamos mostrar que | ker(T )| vale 3n

ou 3n−1.


Vale que |P (C)| = |C|! < |G|, como |f(G)|︸︷︷︸|G/(Ker(f))|

≤ |P (C)| entao |G/ ker(f)| < |G| e

daı nao vale ker(f) = {e}. Como ker(T ) ⊂ H entao a ordem do nucleo esta contida no

conjunto {3, 32, 33, · · · , 3n}. Porem G/ ker(T ) e isomorfo a

T (G) < P ({aH | a ∈ G})

que tem ordem 24 = 23.3 , logo |G/ ker(T )| assume valor 1, 2, 3, · · · tomando a intersecao

com as outras possibilidades temos que | ker(T )| vale 3n ou 3n−1.

Z Exemplo 25. Mostre que existe um unico grupo com 255 elementos.

Seja G um grupo tal que 255 = 5.17.3 = |G|, entao existem 5, 3 e 17-Sylows subgrupos

, pois 5, 3, 17||G| e 52, 32, 172 nao dividem a ordem de G. Sejam n3, n5, n17 a quantidade

de 3, 5, 17 Sylows respectivamente, entao n3 ∈ {1, 5, 17, 5.17} de onde descartamos a

possibilidade de ser n3 = 5 ou 17, pois sao ambos congruentes 2 mod 3 e nao podemos

descartar ainda 5.17 pois e congruente 2.2 = 4 ≡ 1 mod 3. Logo n3 ∈ {1, 5.17}.

n5 ∈ {1, 3, 17, 3.17}, temos que 17 ≡ 2 mod 5 logo descartamos a possibilidade de ser

n5 = 1 ou 17, nao podemos ainda descartar a possibilidade de ser n5 = 3.17 pois temos

3.17 ≡ 3.2 = 6 ≡ 1 mod 5. Assim n5 ∈ {1, 3.17}.

n17 ∈ {1, 3, 5, 5.3}, podemos ter apenas n17 = 1 logo o 7-Sylow e normal. Vamos

denotar Sk para um k-Sylow.

Como S17 e normal em G, tomamos um 5-Sylow S5 de onde segue que S17S5 e subgrupo

de G. De mdc(5, 17) = 1 e S5 ∩ S17 ser subgrupo de S5 e S17 segue que S5 ∩ S17 = {e} e

pelo princıpio de contagem S17S5 = 17.5. Como 5 nao divide 17−1 = 16 tem-se que S17S5

e abeliano. Como S5 < S5S17, aplicamos o teorema de Sylow ao grupo S5S17 que e de

ordem 17.5, ele possui 5-Sylow, pois 5|17.5 e 52 nao divide 17.5, seja entao n′5 a quantidade

desses 5-Sylows, devemos ter n′5 ∈ {1, 17} de onde temos n′

5 = 1 assim concluımos que o

5-Sylow de S5S17 e S5 e S5 e normal em S5S17 .

N(S5) e o maior subgrupo de G tal que S5 e normal logo S5S17 ⊂ N(S5) e

n5 =|G|

|N(S5)|≤ |G|

|S5S17|=

5.3.17

5.17= 3


disto tiramos que n5 = 1 e o 5-Sylow e normal.

Procedemos da mesma maneira com um 3-Sylow para mostrar que n3 = 1 e o 3-Sylow

e normal. Tem-se que S5 e normal em G logo sendo S3 um 3-Sylow segue S3.S5 e subgrupo

de G. De mdc(5, 3) = 1 segue S3 ∩ S5 = {e} e do princıpio de contagem |S3.S5| = 3.5; 3

nao divide 5− 1 = 4 logo S3.S5 e abeliano. Temos ainda que S3 < S3.S5.

Aplicando o teorema de Sylow ao grupo S3.S5 de ordem 3.5, segue que ele possui

3-Sylow, pois 3|3.5 e 32 nao divide 3.5 , seja entao n′3 a quantidade de 3-Sylows em G,

tem-se n′3 ∈ {1, 5} de onde segue n′

3 = 1 assim o unico 3-Sylow de S3.S5 e S3 e ele e

normal em S3.S5 .

N(S3) e o maior subgrupo de G tal que S3 e normal, assim S3.S5 ⊂ N(S3) e

n3 =|G|

|N(S3)|≤ |G|

S3.S5

=5.3.17

3.5= 17

desta ultima relacao concluımos que n3 = 1, pois nao pode ser 5.17. Logo o 3-Sylow e

normal.

Tem-se entao 3 subgrupos normais, S3, S5, S17, ambos ciclıcos, pois possuem ordem

prima e qualquer elemento dentro deles diferente do neutro gera os grupos, assim a inter-

seccao desses grupos se da apenas no elemento neutro.

Pode-se mostrar ainda que

S3S5 ∩ S17 = {e}, S17S5 ∩ S3 = {e}, S3S17 ∩ S5 = {e}

pois S17, S3, S5 sao cıclicos com 16, 2, 4 geradores, se houvesse em S3S5, S17S5, S3S17 (sem-

pre respectivamente) elemento a = e em comum poderıamos tomar < a > que teria

ordem 17, 3, 5 e seria subgrupo de S3S5, S17S5, S3S17, o que seria absurdo pois a ordem do

subgrupo divide a ordem do grupo e 17, 3, 5 nao divide 3.5, 17.5, 3.17. Logo a intersecao e

sempre e.

Disto segue que

|S3S5S17| = |S3||S5||S17| = 3.5.17

de onde G = S3S5S17,S3, S5, S17 satisfazem propriedade do teorema do produto direto

interno assim


G = S3S5S17∼= S3 × S5 × S17

∼= Z3 × Z5 × Z7

1.5.2 Recıproca do teorema de Lagrange para Grupos abelianos

b Propriedade 50. Qualquer grupo abeliano G e isomorfo produto direto de seus

p-Sylows.

ê Demonstracao.

Seja G com |G| =n∏

k=1

pakk , produto de primos distintos e ak ∈ N . Seja Pk o pk-Sylow,

Pk e unico pois o grupo e abeliano e daı o conjugado de Pk e ele mesmo, sendo tambem

normal.

Pk ⊂n∏

k=1

Pk onde esse ultimo e subgrupo pois cada Pk ▹ G, alem disso tais p-Sylows

tem e como unico elemento em comum pois suas ordem tem valores primos entre si.

Por aplicacao sucessiva da propriedade |HK| = |H||K||H ∩K|

tem-se |n∏

k=1

Pk| =n∏

k=1

pakk , logo

n∏k=1

Pk = G.

Com isso temos um isomorfismo natural com o produto direto P1 × · · · ×Pn dado por

f : G = P1P2 · · ·Pn → P1 × · · · × Pn

com f(a1 · · · an) = (a1, · · · , an) onde ak ∈ Pk.

b Propriedade 51. Se G e um grupo abeliano finito de ordem n, entao para cada d|n,

G possui subgrupo de ordem d.

ê Demonstracao. Seja G = P1×Pn, vale |G| =n∏

k=1

pakk onde Pk e o pk-Sylow de G.

Se d divide |G| entao d =n∏

k=1

pbkk onde 0 ≤ bk ≤ ak. Como Pk e um Pk-grupo de ordem

pakk ele contem um subgrupo normal Nk de ordem pbkk por teorema de Cauchy . Seja entao

N =n∏

k=1

Nk como Nk ▹ G, N e subgrupo de G e os fatores nao possuem elemento em

comum fora a identidade {e} pois estao contidos em p-Sylows disjuntos, daın∏

k=1

pbkk = |N | = d

G possui subgrupo de ordem d.


1.6 Congruencia mod(H,T )

grupos-normal-syllow (2).pdf

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gh ent

abeliano ent

subgrupo normal deg

grupo quociente

grupo abeliano

subgrupo gerado

estudo do grupo

grupo de ordem pq