gi…i tÍch phÙc - wordpress.com€¦ · chương i: sŁ phøc và m°t phflng phøc chương...
TRANSCRIPT
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
GIẢI TÍCH PHỨC
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt GIẢI TÍCH PHỨC
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Thời lượng và mục tiêu môn học
Thời lượng:
45 tiết = 30 tiết lý thuyết + 15 tiết bài tập
Mục tiêu:1 Nắm vững các kiến thức trọng yếu về giải tích phức.2 Vận dụng thành thạo cách tính tích phân của hàm biến
phức.3 Ứng dụng các phép biến đổi để giải các phương trình vi
phân.
E-mail:[email protected]@gmail.com
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt GIẢI TÍCH PHỨC
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Kiến thức cần thiết
Đại cương về số phức (Toán Đại Số A1).Giải tích thực.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt GIẢI TÍCH PHỨC
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Tài liệu tham khảo
1 Complex Analysis - Terence Tao.2 Methods of Theoretical Physics (Chapter 4) - Philip M.
Morse, Herman Feshbach.3 Phương Pháp Toán Cho Vật Lý (tập II) - Lê Văn Trực,
Nguyễn Văn Thỏa, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
Liên hệ:
Trương Xuân NhựtBộ môn Vật lý Lý thuyết
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt GIẢI TÍCH PHỨC
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Nội dung chính
1 Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức3 tiết lý thuyết (1 buổi).
2 Chương II: Hàm Biến Phức3 tiết lý thuyết (1 buổi).
3 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản3 tiết lý thuyết (1 buổi)+3 tiết bài tập (1 buổi).
4 Chương IV: Tích Phân Phức6 tiết lý thuyết (2 buổi)+3 tiết bài tập (1 buổi).
5 Chương V: Thuyết Thặng Số6 tiết lý thuyết (2 buổi)+3 tiết bài tập (1 buổi).
6 Chương VI: Các Phép Biến Đổi Tích Phân9 tiết lý thuyết (3 buổi)+6 tiết bài tập (2 buổi).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt GIẢI TÍCH PHỨC
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Số phức và các dạng biểu diễn số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
I.1. Số phức
Tập số nguyên dương (số tự nhiên) N : 0, 1, 2, 3, ...20 + x = 12⇒ x = −8. Tập N được mở rộng thành tập sốnguyên Z, bao gồm các số nguyên âm:...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...4x = 6⇒ x = 3
2 . Tập Z được mở rộng thành tập số hữu tỉQ, bao gồm các số không nguyên có thể được biểu diễndưới dạng một tỉ số giữa hai số nguyên.x2 = 2⇒ x =
√2. Tập Q được mở rộng thành tập số thực
R, bao gồm các số vô tỉ (nghĩa là các số không nguyên vàkhông thể được biểu diễn dưới dạng một tỉ số giữa hai sốnguyên.)x2 = −1⇒ x = i. Tập R được mở rộng thành tập số phứcC.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
I.1. Số phức
Tập số nguyên dương (số tự nhiên) N : 0, 1, 2, 3, ...20 + x = 12⇒ x = −8. Tập N được mở rộng thành tập sốnguyên Z, bao gồm các số nguyên âm:...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...4x = 6⇒ x = 3
2 . Tập Z được mở rộng thành tập số hữu tỉQ, bao gồm các số không nguyên có thể được biểu diễndưới dạng một tỉ số giữa hai số nguyên.x2 = 2⇒ x =
√2. Tập Q được mở rộng thành tập số thực
R, bao gồm các số vô tỉ (nghĩa là các số không nguyên vàkhông thể được biểu diễn dưới dạng một tỉ số giữa hai sốnguyên.)x2 = −1⇒ x = i. Tập R được mở rộng thành tập số phứcC.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
I.1. Số phức
Tập số nguyên dương (số tự nhiên) N : 0, 1, 2, 3, ...20 + x = 12⇒ x = −8. Tập N được mở rộng thành tập sốnguyên Z, bao gồm các số nguyên âm:...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...4x = 6⇒ x = 3
2 . Tập Z được mở rộng thành tập số hữu tỉQ, bao gồm các số không nguyên có thể được biểu diễndưới dạng một tỉ số giữa hai số nguyên.x2 = 2⇒ x =
√2. Tập Q được mở rộng thành tập số thực
R, bao gồm các số vô tỉ (nghĩa là các số không nguyên vàkhông thể được biểu diễn dưới dạng một tỉ số giữa hai sốnguyên.)x2 = −1⇒ x = i. Tập R được mở rộng thành tập số phứcC.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
I.1. Số phức
Tập số nguyên dương (số tự nhiên) N : 0, 1, 2, 3, ...20 + x = 12⇒ x = −8. Tập N được mở rộng thành tập sốnguyên Z, bao gồm các số nguyên âm:...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...4x = 6⇒ x = 3
2 . Tập Z được mở rộng thành tập số hữu tỉQ, bao gồm các số không nguyên có thể được biểu diễndưới dạng một tỉ số giữa hai số nguyên.x2 = 2⇒ x =
√2. Tập Q được mở rộng thành tập số thực
R, bao gồm các số vô tỉ (nghĩa là các số không nguyên vàkhông thể được biểu diễn dưới dạng một tỉ số giữa hai sốnguyên.)x2 = −1⇒ x = i. Tập R được mở rộng thành tập số phứcC.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
I.1. Số phức
Tập số nguyên dương (số tự nhiên) N : 0, 1, 2, 3, ...20 + x = 12⇒ x = −8. Tập N được mở rộng thành tập sốnguyên Z, bao gồm các số nguyên âm:...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...4x = 6⇒ x = 3
2 . Tập Z được mở rộng thành tập số hữu tỉQ, bao gồm các số không nguyên có thể được biểu diễndưới dạng một tỉ số giữa hai số nguyên.x2 = 2⇒ x =
√2. Tập Q được mở rộng thành tập số thực
R, bao gồm các số vô tỉ (nghĩa là các số không nguyên vàkhông thể được biểu diễn dưới dạng một tỉ số giữa hai sốnguyên.)x2 = −1⇒ x = i. Tập R được mở rộng thành tập số phứcC.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Dạng Decartes của số phức
Trong hệ tọa độ Decartes, mỗi số phức z có thể được viết dướidạng z = a+ ib, trong đó:
1 a được gọi là phần thực (real part) của số phức z. Ký hiệu:a = Re(z).
2 b được gọi là phần ảo (imaginary part) của số phức z. Kýhiệu: b = Im(z).
3 i được gọi là đơn vị ảo. Tính chất: i2 = −1.Dạng z = a+ ib được gọi là dạng Decartes của số phức. Trongdạng này, độ lớn (môđun [modulus], giá trị tuyệt đối) của sốphức z được định nghĩa là:
|z| =√a2 + b2
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Dạng mũ của số phức
Trong hệ tọa độ cực, số phức có dạng mũ:
z = reiθ,
với:r = |z| ∈ R+: modulus của z.θ = arg (z) ∈ R: argument (pha [phase]) của z.
Trong tài liệu của Terence Tao, dạng mũ được gọi là "polarform" (dạng trong tọa độ cực).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Mối liên hệ này được xác định bởi công thức Euler:
eiθ = cos θ + i sin θ. (1)
Cho trước số phức ở dạng mũ, ta tìm được số phức ở dạngDecartes:
z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, (2)
so sánh biểu thức này với z = a+ ib, ta có:
a = r cos θ, (3)
b = r sin θ. (4)
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Ngược lại, nếu cho trước số phức ở dạng Decartes, ta tìm đượcsố phức ở dạng mũ. Từ (3) và (4) ta có:
r = |z| =√a2 + b2, (5)
vàtan θ =
b
a. (6)
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.Từ (5), ta có:
r = |z| =√
12 + 12 =√
2.
Từ (6), ta có:
tan θ =11
= 1⇒ θ =π
4+ 2kπ.
Vậyz = reiθ =
√2ei(
π4
+2kπ).
Lưu ý quan trọng: Có vô số khả năng chọn argument θ cho mộtsố phức. Người ta quy ước chọn θ ∈ (−π,+π] làm argumentchuẩn, ký hiệu là Arg(z).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.Từ (5), ta có:
r = |z| =√
12 + 12 =√
2.
Từ (6), ta có:
tan θ =11
= 1⇒ θ =π
4+ 2kπ.
Vậyz = reiθ =
√2ei(
π4
+2kπ).
Lưu ý quan trọng: Có vô số khả năng chọn argument θ cho mộtsố phức. Người ta quy ước chọn θ ∈ (−π,+π] làm argumentchuẩn, ký hiệu là Arg(z).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.Từ (5), ta có:
r = |z| =√
12 + 12 =√
2.
Từ (6), ta có:
tan θ =11
= 1⇒ θ =π
4+ 2kπ.
Vậyz = reiθ =
√2ei(
π4
+2kπ).
Lưu ý quan trọng: Có vô số khả năng chọn argument θ cho mộtsố phức. Người ta quy ước chọn θ ∈ (−π,+π] làm argumentchuẩn, ký hiệu là Arg(z).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ
Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.Từ (5), ta có:
r = |z| =√
12 + 12 =√
2.
Từ (6), ta có:
tan θ =11
= 1⇒ θ =π
4+ 2kπ.
Vậyz = reiθ =
√2ei(
π4
+2kπ).
Lưu ý quan trọng: Có vô số khả năng chọn argument θ cho mộtsố phức. Người ta quy ước chọn θ ∈ (−π,+π] làm argumentchuẩn, ký hiệu là Arg(z).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Mặt phẳng phức (mặt phẳng Argand)
Mặt phẳng phức (những tên gọi khác: mặt phẳng Argand, mặtphẳng z) là mặt phẳng được xác định bởi hai trục tọa độDecartes vuông góc với nhau:
Trục x là trục thực, biểu diễn phần thực của số phức z.Trục y là trục ảo, biểu diễn phần ảo của số phức z.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Một ví dụ về cách sử dụng mặt phẳng phức
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Các phép toán đại số trên C
Phép cộng/trừ, nhân, chia trên C tuân theo các luật đại sốthông thường với lưu ý i2 = −1.
Phép cộng/trừ:
(a+ bi)± (c+ di) = (a± c) + (b± d)i. (7)
Phép nhân:
(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i. (8)
Phép chia:
(a+ bi)/(c+ di) =ac+ bd
c2 + d2+bc− adc2 + d2
i. (9)
Chú ý: phép chia cho 0 không xác định (vì không đượcđịnh nghĩa).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Các phép toán đại số trên C
Đối với các phép nhân/chia, sẽ tiện lợi hơn nếu viết số phứcdưới dạng mũ:
Phép nhân:(reiθ)(seiα) = rsei(θ+α). (10)
Phép chia:(reiθ)/(seiα) = (r/s)ei(θ−α). (11)
Chú ý: dạng mũ rất tiện lợi trong đa số các tính toán có liênquan đến số phức.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Lũy thừa và căn số
Ví dụ: Tính (1 + i)20.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Lũy thừa và căn số
Ví dụ: Tính (1 + i)20.Ta viết z = 1 + i dưới dạng mũ:
z = reiθ =√
2ei(π4
+2kπ).
Khi đó:
(1 + i)20 = (√
2eiπ4
+ik2π)20 = 210eiπ = −1024.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Lũy thừa và căn số
Ví dụ: Tính (1 + i)1/2
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Lũy thừa và căn số
Ví dụ: Tính (1 + i)1/2
(1 + i)1/2 = (√
2ei(π4
+2kπ))1/2
= 21/4ei(π8
+kπ)
= 21/4eπi/8 hoặc 21/4e9πi/8.
Tổng quát: Căn bậc n của một số phức khác 0 có đúng n giá trị.Thật vậy, xét z = reiφ:
n√z = n√rei
φ+k2πn ; k = 0, 1, 2, ..., n− 1.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Lũy thừa và căn số
Ví dụ: Tính (1 + i)1/2
(1 + i)1/2 = (√
2ei(π4
+2kπ))1/2
= 21/4ei(π8
+kπ)
= 21/4eπi/8 hoặc 21/4e9πi/8.
Tổng quát: Căn bậc n của một số phức khác 0 có đúng n giá trị.Thật vậy, xét z = reiφ:
n√z = n√rei
φ+k2πn ; k = 0, 1, 2, ..., n− 1.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Các phép toán trên modulus
|zw| = |z||w|.|z/w| = |z|/|w|.|zn| = |z|n.Bất đẳng thức tam giác:
|z + w| ≤ |z|+ |w|.
Tổng quát:
||z| − |w|| ≤ |z ± w| ≤ |z|+ |w|.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Liên hiệp phức
Liên hiệp phức của số phức z = x+ iy là một số phức đượcký hiệu là z̄ hoặc z∗ và được định nghĩa:
z̄ = x− iy
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Liên hiệp phức
Dưới dạng mũ:
reiϕ = re−iϕ. (12)(z + weiϕ)(w − ize−iϕ) = (z̄ + w̄e−iϕ)(w̄ + iz̄eiϕ). (13)
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Một số hệ thức quan trọng
Gọi z và w là các số phức. Ta có các hệ thức:
zz̄ = |z|2 (14)
ezew = ez+w (15)
Bài tập: hãy chứng minh hai hệ thức trên bằng cách viết sốphức dưới dạng mũ.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Tập con trong mặt phẳng phức
Vùng lân cận: cho z0 là một điểm trong C, tập V gồm cácphần tử:
z : |z − z0| < ε,
trong đó ε ∈ R+, được gọi là vùng lân cận điểm z0. Ví dụ:{z : |z − 2| < 1}, {z : z + i| < 2}, {z : |z| < 8} lần lượt là lâncận của các điểm 2,−i, 0.Phần trong (interior) - Cho S là một tập con trong C.Điểm z0 được gọi là thuộc "phần trong" của S khi và chỉ khi:
∀ε > 0, {z : |z − z0| < ε} ⊂ S.Tập mở - Tập đóng - Nếu mọi điểm trong tập S đều thuộcphần trong của S, khi đó S được gọi là tập mở. Ngược lại,S là tập đóng.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Tập con trong mặt phẳng phức
Đường cong - Một đường (hay đường cong) trong mặtphẳng phức là một ánh xạ:
γ : [a, b]→ C.
(từ đoạn [a, b] của đường thẳng thực vào C.)Đường cong γ gọi là liên tục nếu x và y liên tục.Tập liên thông - Tập con S của C được gọi là liên thôngtheo nghĩa nếu hai điểm bất kỳ trong S đều nối được vớinhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trongS.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức
Tập con trong mặt phẳng phức
Ví dụ về các tập con trong C:{z : |z| < 1}: hình tròn mở đơn vị.{z : |z| ≤ 1}: hình tròn đóng đơn vị.
{z : Im(z) > 0}: nửa mặt phẳng trên.
{z : Re(z) < 0}: nửa mặt phẳng trái.{z : 0 ≤ Re(z) ≤ 1, 0 ≤ Im(z) ≤ 1}: hình vuông đơn vị.
Qui ước: tập rỗng ∅ và C là các tập mở.
�
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương II: Hàm Biến Phức
Khái niệm hàm biến phứcĐiều kiện Cauchy - RiemannKhái niệm hàm giải tích
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.1. Khái niệm hàm biến phức
Định nghĩa 1. Cho D và G là các tập con trong C. Một hàmbiến phức f xác định trên tập D là một qui luật cho tươngứng mỗi phần tử z ∈ D với một số phức xác định w ∈ G. Taviết:
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z ≡ (x, y) ∈ D,
trong đó u(x, y) = Ref(z) và v(x, y) = Imf(z).Định nghĩa 2. Một hàm f : D → G được gọi là đơn trị một -một hay đơn diệp nếu các ảnh của những điểm khác nhaucủa D là khác nhau. Nói cách khác, f(z) là đơn diệp nếu:
∀z1, z2 ∈ D, z1 6= z2 =⇒ f(z1) 6= f(z2).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.1. Khái niệm hàm biến phức
Tính liên tục của hàm biến phứcĐịnh nghĩa 3. Cho hàm f(z) xác định trên D, và điểmz0 ∈ D. Ta nói hàm f(z) có giới hạn là L khi z tiến tới z0nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0,∀z ∈ D : |z − z0| < δ =⇒ |f(z)− L| < ε.
Khi đó ta viết:limz→z0
f(z) = L.
Định nghĩa 4. Cho hàm f(z) xác định trên D, và điểmz0 ∈ D. Ta nói hàm f(z) liên tục tại điểm z0 nếu:
limz→z0
f(z) = f(z0).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.1. Khái niệm hàm biến phức
Định lýNếu f và g xác định trên tập D, liên tục tại z0 ∈ D thì cáchàm f ± g, f.g, fg (g(z) 6= 0) cũng liên tục tại z0.Nếu hàm f liên tục tại z0 và g liên tục tại w = f(z0) thì hàmhợp g.f (xác định bởi (g.f)(z) = g[f(z)]) cũng liên tục tại z0.Nếu f liên tục tại z0 thì |f | cũng liên tục tại z0 (chú ý rằng|f |(z) = |f(z)|).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann I
Định nghĩa - đạo hàm. Cho f(z) xác định trên D, vàz0 ∈ D. Đạo hàm phức f
′hoặc df/dz được định nghĩa như
sau:dfdz
(z0) = limz→z0
f(z)− f(z0)z − z0
.
Nếu giới hạn trên tồn tại, ta nói hàm f(z) khả vi tại z0.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann II
Điều kiện Cauchy - Riemann:Nếu u(x, y) và v(x, y) là các hàm thực đơn trị có các
đạo hàm riêng cấp liên tục thì điều kiện cần và đủ để hàmf(z) = u+ iv có đạo hàm là:
∂u
∂x=∂v
∂yvà
∂u
∂y= −∂v
∂x.
Khi đó: f′(z) = ∂f
∂x = ∂u∂x + i ∂v∂x .
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann III
Chứng minh:
Ta có:∆f∆z
=∂f∂x .∆x+ ∂f
∂y .∆y
∆x+ i∆y
=∂f
∂x.∆x.
1 + ∂f/∂yi∂f/∂x i
∆y∆x
∆x(1 + i∆y∆x)
=∂f
∂x.1 + ∂f/∂y
i∂f/∂x i∆y∆x
1 + i∆y∆x
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann IV
Điều kiện cần:
∂f
∂y= i
∂f
∂x⇔ ∂u
∂y+ i
∂v
∂y= i(
∂u
∂x+ i
∂v
∂x)
=⇒
{∂u∂x = ∂v
∂y∂u∂y = − ∂v
∂x
Điều kiện đủ:Khi có điều kiện cần, ta suy ra:
∆f∆z
=∂f
∂xVõ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann V
=⇒ lim∆z→0
∆f∂z
=∂f
∂x
=⇒ f′(z) =
∂f
∂x.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.3. Khái niệm hàm giải tích
Các định nghĩa về hàm giải tích:Nếu hàm f(z) có đạo hàm tại mọi điểm trong miền D thì tanói f(z) giải tích trong D.Nếu hàm f(z) giải tích trên toàn mặt phẳng phức được gọilà hàm nguyên.Ta nói hàm f(z) giải tích tại điểm z0 nếu có thể tìm đượcmột miền lân cận quanh z0 theo đó hàm f(z) có đạo hàmtại mọi điểm trong vùng lân cận đó.Các điểm tại đó hàm f(z) không giải tích được gọi là cácđiểm dị thường của hàm f(z).
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.3. Khái niệm hàm giải tích
Ví dụ:
Cho hàm w = f(z) = a+ ib,
khi đó u+ iv = a+ ib
⇒ u = u(x, y) = a; v = v(x, y) = b.
⇒
{∂u∂x = 0 = ∂v
∂y ∀(x, y)∂u∂y = 0 = − ∂v
∂x ∀(x, y)
⇒ điều kiện Cauchy - Riemann thỏa với mọi z ⇒ f là hàmnguyên.Chứng minh: f(z) = z là hàm nguyên!
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.3. Khái niệm hàm giải tích
Tính chất:
Tổng, tích, thương (nếu mẫu số khác 0) của hai hàm giảitích là hàm giải tích.
Hàm giải tích theo hàm giải tích là hàm giải tích.
Hàm giải tích f(z) được diễn đạt hoàn toàn theo một biến z.
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.3. Khái niệm hàm giải tích I
Chứng minh tính chất 3:
Ta có: w = u+ vi = u(x, y) + iv(x, y),ta viết: x = z+z̄
2 ; y = z−z̄2i .
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
II.3. Khái niệm hàm giải tích II
Hàm w được biểu diễn thông qua 2 biến mới z và z′.
∂w
∂z̄=
∂w
∂x.∂x
∂z̄+∂w
∂y.∂y
∂z̄
=12.∂w
∂x+
12.∂w
∂yi
=12
(∂u
∂x+ i
∂v
∂x) +
12
(∂u
∂y+ i
∂v
∂y)i
=12.∂u
∂x+
12.i∂v
∂x+
12.i∂u
∂y− 1
2.∂v
∂y
= 0. (theo điều kiện Cauchy - Riemann)
⇒ hàm w được biểu diễn thông qua một biến z duy nhất.Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản
Đa thứcHàm mũHàm lượng giácHàm hyperbolHàm lượng giác ngượcHàm lũy thừa
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương IV: Tích Phân Phức
Các khái niệm cơ bảnCác định lý CauchyCông thức tính tích phân Cauchy
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương IV: Tích Phân Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
IV.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa tích phân và cách tínhCác tính chất của tích phânNguyên hàm và công thức Newton - Leibnitz
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương IV: Tích Phân Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
IV.2. Các định lý Cauchy
Định lý Cauchy cho miền đơn liênĐịnh lý Cauchy cho miền đa liên
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương IV: Tích Phân Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
IV.3. Công thức tích phân Cauchy
Công thức tính tích phân CauchyTích phân loại Cauchy
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương IV: Tích Phân Phức
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương V: Thuyết Thặng Số
Phân loại điểm dị thường cô lậpThặng sốỨng dụng tính tích phân thực
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương V: Thuyết Thặng Số
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
V.1. Phân loại điểm dị thường cô lập
Định nghĩaPhân loại điểm dị thường
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương V: Thuyết Thặng Số
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
V.2. Thặng số
Định nghĩaCông thức tínhCác định lý cơ bản về thặng số
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương V: Thuyết Thặng Số
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
V.3. Ứng dụng tính tích phân thực
Các bổ đề về hàm liên tục và bổ đề JordanCác dạng tích phân
Dạng I: I =∫ 2π
0f(sin θ, cos θ)dθ
Dạng II: I =∫ +∞−∞ f(x)dx
Dạng III: I =∫ +∞−∞ f(x)eimxdx (m > 0)
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương V: Thuyết Thặng Số
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Phép biến đổi FourrierPhép biến đổi Laplace
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
VI.1. Phép biến đổi Fourrier
Khái niệm hàm điều hòaKhai triển FourrierTích phân FourrierTính chấtỨng dụng
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức
Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số
Chương VI: Các phép biến đổi tích phân
VI.2. Phép biến đổi Laplace
Từ Fourrier sang LaplaceẢnh Laplace của các hàm thông dụngTính chấtỨng dụng
Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương VI: Các phép biến đổi tích phân