Chương 1

Hàm một biến số

Bổ túc hàm số

Giới hạn hàm số

Hàm số liên tục

Vô cùng bé, vô cùng lớn

Bổ túc hàm số

1. Định nghĩa hàm số

Cho ∅ ≠ 𝑋, 𝑌 ⊂ 𝑅. Quy tắc 𝑓 làm tương ứng mỗi số 𝑥 ∈ 𝑋 với một và chỉ một số 𝑦 ∈ 𝑌 được gọi là một hàm số.

Ta gọi: • 𝑦 là giá trị của 𝑓 tại 𝑥 và viết 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; • 𝑋 là miền xác định của 𝑓, ký hiệu 𝐷𝑓;

• 𝑓(𝑋) là tập các giá trị của 𝑓 𝑥 khi 𝑥 thay đổi trong 𝐷𝑓, miền giá trị của 𝑓, ký hiệu 𝑅𝑓;

• 𝑥 là biến độc lập; 𝑦 là biến phụ thuộc.

Bổ túc hàm số 2. Một số tính chất • Hàm 𝑓 được gọi là hàm 1 − 1 nếu 𝑥1 ≠ 𝑥2

thì 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2). Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥3, 𝑔 𝑥 = 𝑥2

• Hàm 𝑓 được gọi là hàm chẵn nếu 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) với mọi 𝑥 thuộc miền xác định của 𝑓. (Đồ thị hàm chẵn?)

Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 là hàm chẵn

• Hàm 𝑓 được gọi là hàm lẻ nếu 𝑓 −𝑥 =− 𝑓(𝑥) với mọi 𝑥 thuộc miền xác định của 𝑓. (Đồ thị hàm lẻ?) Ví dụ 𝑓 𝑥 = 𝑥3 là hàm lẻ.

Bổ túc hàm số 3. Hàm hợp • Giả sử có hai hàm số 𝑓, 𝑔 sao cho 𝑅𝑓 ⊂ 𝐷𝑔.

Khi đó hàm 𝑕 xác định như sau

𝑕 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 ,

được gọi là hàm hợp của 𝑔 và 𝑓. • Ký hiệu: 𝑕 = 𝑔 ∘ 𝑓.

𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))

Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1, 𝑔 𝑥 = sin 𝑥. Xác định 𝑔 ∘ 𝑓 và 𝑓 ∘ 𝑔. So sánh hai kết quả tìm được.

Bổ túc hàm số 4. Hàm ngược • Cho hàm 𝑓 là hàm 1 − 1. Khi ấy, với mỗi 𝑦

trong 𝑅𝑓 có một và chỉ một 𝑥 trong 𝐷𝑓 sao

cho 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Quy tắc làm tương ứng 𝑦 với 𝑥 như thế được gọi là hàm số ngược của 𝑓 và được ký hiệu là 𝑓−1. Vậy

𝑓−1 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

• Đổi ký hiệu, ta thu được 𝑓−1 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑓(𝑦)

• Hãy tìm hiểu liên hệ giữa đồ thị của hàm 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) và đồ thị của hàm 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

Bổ túc hàm số 5. Hàm lượng giác ngược

• Xét hàm 𝑦 = sin 𝑥 trên −𝜋

2;𝜋

2, có miền

giá trị là ,−1; 1-, và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arcsin 𝑥.

• Xét hàm 𝑦 = cos 𝑥 trên 0; 𝜋 , có miền giá trị là ,−1; 1-, và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arccos 𝑥.

Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = sin 𝑥 trên −𝜋

2;𝜋

2 và đồ thị của hàm

𝑦 = arcsin 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦

Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = cos 𝑥 trên 0; 𝜋 và đồ thị của hàm 𝑦 = arccos 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦

Bổ túc hàm số 5. Hàm lượng giác ngược

• Xét hàm 𝑦 = cot 𝑥 trên (0; 𝜋), có miền giá trị là 𝑅, và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arccot 𝑥.

• Xét hàm 𝑦 = tan 𝑥 trên −𝜋

2;𝜋

2, có miền

giá trị là (−∞;∞), và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arctan 𝑥.

Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = tan𝑥 trên −𝜋

2;𝜋

2và đồ thị của hàm

𝑦 = arctan 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦

Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = cot 𝑥 trên 0; 𝜋 và đồ thị của hàm 𝑦 = arccot 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦

Bổ túc hàm số 6. Các phép toán trên hàm số

Cho hàm số 𝑓 có miền xác định là 𝐷𝑓, hàm 𝑔

có miền xác định là 𝐷𝑔. Ta định nghĩa các hàm

𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔,𝑓

𝑔 như sau:

• 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

• 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

• 𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

• 𝑓

𝑔𝑥 =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝑔 𝑥 ≠ 0

Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa

Số 𝐿 được gọi là giới hạn của hàm 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu 𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị gần 𝐿 một cách tùy ý, miễn là 𝑥 đủ gần 𝑎. Khi ấy ta viết

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

Ngôn ngữ 𝜖 − 𝛿: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ ∀𝝐 > 𝟎, ∃𝜹 > 𝟎, 𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹 ⇒ 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝝐

Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1, 𝑎 = 1.

Ngôn ngữ dãy 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ ∀ 𝒙𝒏 ⊂ 𝑫𝒇\*𝒂+, 𝒙𝒏 → 𝒂 ⇒ 𝒇(𝒙𝒏) → 𝑳

Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa

Ví dụ: Chứng tỏ giới hạn không tồn tại giới

hạn của 𝑓 𝑥 = sin1

𝑥 khi 𝑥 → 0.

Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi dự đoán giới hạn

lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥

Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi dự đoán giới hạn lim𝑥→0

sin 𝑥

Giới hạn hàm số 2. Quy tắc tính giới hạn

Giả sử tồn tại hai giới hạn lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 , lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

và 𝑐 là một hằng số. Khi ấy ta có

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑐. 𝑓 𝑥 = 𝑐. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

1.

2.

3.

4.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥), với điều kiện lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0 5.

Giới hạn hàm số 2. Quy tắc tính giới hạn

Ví dụ: Cho lim𝑥→1

𝑓 𝑥 = 2, lim𝑥→1

𝑔(𝑥) = 3

Tính các giới hạn

lim𝑥→1

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

lim𝑥→1

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥

lim𝑥→1

−2. 𝑓 𝑥

lim𝑥→1

2𝑓 𝑥 − 3𝑔(𝑥)

1.

2.

3.

4.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 5.

Giới hạn hàm số 3. Giới hạn vô cùng

Trong định nghĩa giới hạn, nếu 𝑎 là +∞ hoặc −∞ thì ta có giới hạn của 𝑓(𝑥) tại vô cùng. Khi ấy ta viết

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 𝐿

Trong định nghĩa giới hạn, nếu 𝐿 là +∞ hoặc −∞ thì ta có giới hạn của 𝑓(𝑥) tại 𝑎 bằng vô cùng. Khi ấy ta viết

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = −∞, lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = +∞

Ví dụ: lim𝑥→−∞

1

𝑥2= 0, lim

𝑥→+∞𝑒−𝑥 = 0

Ví dụ: lim𝑥→0

1

𝑥2= +∞, lim

𝑥→+∞𝑒𝑥 = +∞

Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía

Định nghĩa: Số 𝐿 được gọi là giới hạn bên trái của hàm 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu 𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị gần 𝐿 một cách tùy ý, miễn là 𝑥 đủ gần về phía bên trái của 𝑎. Khi ấy ta viết

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿

Số 𝐿 được gọi là giới hạn bên phải của hàm 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu 𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị gần 𝐿 một cách tùy ý, miễn là 𝑥 đủ gần về phía bên trái của 𝑎. Khi ấy ta viết

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿

Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía

Định lý:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝐿

lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = 𝐿

Ví dụ: Tìm 𝑎, 𝑏 để hàm số sau có giới hạn tại 0:

𝑓 𝑥 = 𝑎.2 sin 𝑥

𝑥, 𝑥 > 0

𝑥 + 𝑎2 + 𝑏2 + 1, 𝑥 ≤ 0

Giới hạn hàm số 5. Tính chất bánh kẹp thịt

Định lý: Giả sử 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ 𝑕(𝑥) trong một khoảng chứa 𝑎, có thể không đúng tại 𝑎, và lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎𝑕(𝑥) = 𝐿. Thế thì

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿

Ví dụ: Chứng tỏ lim𝑥→0

𝑥2 sin1

𝑥= 0.

Ví dụ: Chứng tỏ lim𝑥→0

sin 𝑥 = 0

Và lim𝑥→𝑎

sin 𝑥 = sin 𝑎

Giới hạn hàm số

7. Hai giới hạn quan trọng

2. lim𝑥→±∞

1 +1

𝑥

𝑥= 𝑒.

Ví dụ: Tính lim𝑥→0

tan 𝑥

𝑥 và

lim𝑥→0

sin 2𝑥

3𝑥

1. lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥= 1.

6. Giới hạn của hàm hợp

Định lý: Cho hai hàm 𝑓 và 𝑔 có 𝑅𝑓 ⊂ 𝐷𝑔.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑏

lim𝑦→𝑏

𝑔(𝑦) = 𝑐⟹ lim

𝑥→𝑎𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑐

Ví dụ: Tính lim𝑥→1

sin(𝑥2 − 3𝑥 + 2)

Hàm số liên tục

Định nghĩa: Hàm 𝑓 được gọi là liên tục tại 𝑎 nếu

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Ví dụ: Hàm sin 𝑥 liên tục tại mọi 𝑎 ∈ 𝑅.

Ví dụ: Người ta chứng minh được rằng lim𝑥→𝛼

𝑎𝑥 = 𝑎𝛼, 𝛼 ∈ 𝑅

Vậy hàm 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 liên tục tại mọi 𝛼 ∈ 𝑅.

1. Liên tục tại một số

Hàm số liên tục 2. Liên tục một phía, liên tục trên khoảng

Định nghĩa: Hàm 𝑓 được gọi là liên tục phải tại 𝑎 nếu

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Hàm 𝑓 được gọi là liên tục trái tại 𝑎 nếu lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Định lý: Hàm 𝑓 liên tục tại 𝑎 khi và chỉ khi 𝑓 liên tục trái và 𝑓 liên tục phải tại 𝑎.

Định nghĩa: Hàm 𝑓 liên tục trên (𝑎; 𝑏) nếu …

Định nghĩa: Hàm 𝑓 liên tục trên ,𝑎; 𝑏- nếu …

Hàm số liên tục 2. Tính chất

Định lý: Cho hàm 𝑓 và hàm 𝑔 liên tục tại 𝑎. Khi ấy, các hàm 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔 liên tục tại

𝑎. Hơn nữa, nếu 𝑔 𝑎 ≠ 0 thì 𝑓

𝑔 liên tục tại 𝑎.

Định lý: Nếu hàm 𝑓 liên tục tại 𝑎 hàm 𝑔 liên tục tại 𝑓(𝑎) thì 𝑔 ∘ 𝑓 liên tục tại 𝑎. Định lý: Giả sử hàm 𝑓 liên tục trên ,𝑎; 𝑏- và 𝑚 là một số nằm giữa 𝑓(𝑎) và 𝑓(𝑏) thì tồn tại 𝑐 trong (𝑎; 𝑏) sao cho 𝑓 𝑐 = 𝑚. Định lý: Giả sử hàm 𝑓 liên tục trên ,𝑎; 𝑏-. Khi ấy 𝑓 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ,𝑎; 𝑏-.

Hàm số liên tục 3. Tính liên tục của các hàm cơ bản

Định lý: Các hàm lũy thừa, hàm lượng giác, lượng giác ngược, hàm mũ và hàm logarit liên tục tại những số mà chúng xác định.

Định nghĩa: Hàm sơ cấp là hàm được tạo nên từ các hàm cơ bản bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, và phép hợp nối hàm số

Định lý: Các hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà chúng xác định.

Hàm số liên tục 4. Một số giới hạn thường gặp

lim𝑥→0

𝑒𝑥 − 1

𝑥= 1

lim𝑥→0

(1 + 𝑥)1𝑥 = 𝑒

lim𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

𝑥= 1

lim𝑥→0

(1 + 𝑥)𝛼−1

𝑥= 𝛼

Vô cùng bé 1. Khái niệm hàm tương đương

Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là tương đương với hàm 𝑔(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 1

Khi ấy ta ký hiệu 𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 𝑘𝑕𝑖 𝑥 → 𝑎.

Ví dụ: Khi 𝑥 → 0 thì sin 𝑥 ~𝑥, 𝑒𝑥 − 1~𝑥,… Khi 𝑥 → ∞ thì 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 1~𝑥3

Sinh viên cho ví dụ, bằng cách sử dụng các giới hạn thường gặp!

Vô cùng bé 2. Tính chất hàm tương đương

Xét 𝑥 → 𝑎.

𝑓(𝑥)~𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔(𝑥)~𝑓(𝑥)

𝑓1(𝑥)~𝑔1(𝑥)𝑓2(𝑥)~𝑔2(𝑥)

⟹

𝑓1 𝑥 . 𝑓2 𝑥 ~𝑔1 𝑥 . 𝑔2(𝑥)𝑓1(𝑥)

𝑓2(𝑥)~𝑔1(𝑥)

𝑔2(𝑥)

𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥)𝑛

~ 𝑔(𝑥)𝑛

Định lý: Giả sử khi 𝑥 → 𝑎, 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) và 𝑔(𝑥) có giới hạn là 𝐿. Khi ấy, lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿.

Vô cùng bé (VCB) 2. Khái niệm vô cùng bé

Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là vô cùng bé khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 0

Ví dụ: Khi 𝑥 → 0 thì 𝑥2, sin 𝑥, tan 𝑥, ln(1 + 𝑥) là các vô cùng bé.

Khi 𝑥 → +∞ thì 1

𝑥2, 𝑒−𝑥,

𝑥

𝑥2+1 là các VCB.

Chú ý: Hàm 𝑓(𝑥) là VCB khi 𝑥 → 𝑎 nhưng 𝑓(𝑥) không là VCB khi 𝑥 → 𝑏. Ví dụ?

Vô cùng bé (VCB) 3. So sánh hai vô cùng bé

Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai VCB khi 𝑥 tiến về 𝑎. Giả sử tồn tại giới hạn (có thể vô hạn)

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝐾

• 𝐾 = 0: 𝑓(𝑥) là VCB cấp cao so với 𝑔(𝑥). Ký

hiệu 𝑓 𝑥 = 0 𝑔 𝑥 ;

• 𝐾 = ∞: 𝑔 𝑥 = 0 𝑓 𝑥

• 𝐾 ∈ 𝑅\ 0 : 𝑓(𝑥) cùng cấp với 𝑔(𝑥)

Ví dụ:

Vô cùng bé (VCB) 4. Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

• Nếu 𝑔 𝑥 = 0(𝑓(𝑥)) thì 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ~𝑓 𝑥 , 𝑥 → 𝑎.

Ví dụ:

• Nếu 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) cùng cấp nhưng không tương đương và 𝑓 𝑥 ~𝑓1 𝑥 , 𝑔(𝑥)~𝑔1(𝑥) thì

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ~𝑓1 𝑥 − 𝑔1 𝑥 , 𝑥 → 𝑎.

Bổ đề: Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai VCB khi 𝑥 tiến về 𝑎.

Vô cùng bé (VCB) 4. Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑓1(𝑥)

𝑔 𝑥 + 𝑔1(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑓1(𝑥)

𝑔1(𝑥)

Ví dụ: Tính

Định lý: Giả sử 𝒇 𝒙 = 𝟎(𝒇𝟏(𝒙)) và 𝒈 𝒙 =𝟎(𝒈𝟏(𝒙)) khi 𝑥 tiến về 𝑎. Khi ấy, ta có

lim𝑥→0

𝑥 + 3sin2𝑥

5𝑥 + tan3𝑥

lim𝑥→0

ln (1 + tan 𝑥)

𝑥 + sin3𝑥