hàm s, gii han và hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/ngọc/hàm...
TRANSCRIPT
![Page 1: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/1.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
Trần Bảo Ngọc
Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 2: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/2.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Nội dung
1 Khái niệm, phân loại hàm số
2 Giới hạn hàm số
3 Hàm số liên tục
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 3: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/3.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 4: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/4.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 5: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/5.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 6: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/6.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 7: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/7.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 8: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/8.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm sô
Các hàm số sơ cấp cơ bản (ở bậc THPT)
Hàm lũy thừa
Ví dụ: x5, x−2 :=1
x2, x
23 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ: 5x , 2−x :=1
2x, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giácVí dụ: sin x , cos x , tan x , cot x .
Khái niệm hàm số sơ cấp (tổng quát)
Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được bằng cách lấy tổng,hiệu, tích, thương, hợp của các hàm sơ cấp cơ bản.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 9: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/9.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 10: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/10.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 11: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/11.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 12: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/12.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 13: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/13.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 14: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/14.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 15: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/15.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒
{−1 ≤ x ≤ 1, −π
2≤ y ≤ π
2x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒{−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ πx = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒
{x ∈ R, −π
2< y <
π
2x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒{
x ∈ R, 0 < y < πx = cot y
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 16: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/16.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 17: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/17.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 18: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/18.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 19: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/19.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 20: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/20.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3
b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 21: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/21.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 22: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/22.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.1.
a) Tính arcsin(1
2), arccos(−
√3
2), arctan(
√3)
b) Tìm tập xác định của hàm số y = arcsin logx
10
a) arcsin(1
2) =
π
6, arccos(−
√3
2) =
5π
6, arctan(
√3) =
π
3b) Điều kiện xác định của hàm số:
−1 ≤ logx
10≤ 1 (x > 0)⇐⇒ log
1
10≤ log
x
10≤ log 10 (x > 0)
⇐⇒ 1
10≤ x
10≤ 10 (x > 0)
⇐⇒1 ≤ x ≤ 100
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; 100].
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 23: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/23.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.2.
Cho hàm số y = arcsin1
x. Tập xác định của hàm số là
A. [−1; 1] B. [−1; 0]
C. [0; 1] D. (−∞;−1] ∪ [1;+∞)
Điều kiện xác định của hàm số:
− 1 ≤ 1
x≤ 1
⇐⇒1 + x
x≥ 0 và
1− x
x≤ 0
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ (0;+∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1;+∞)
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞).
Chọn đáp án D.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 24: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/24.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.2.
Cho hàm số y = arcsin1
x. Tập xác định của hàm số là
A. [−1; 1] B. [−1; 0]
C. [0; 1] D. (−∞;−1] ∪ [1;+∞)
Điều kiện xác định của hàm số:
− 1 ≤ 1
x≤ 1
⇐⇒1 + x
x≥ 0 và
1− x
x≤ 0
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ (0;+∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1;+∞)
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞).
Chọn đáp án D.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 25: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/25.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.2.
Cho hàm số y = arcsin1
x. Tập xác định của hàm số là
A. [−1; 1] B. [−1; 0]
C. [0; 1] D. (−∞;−1] ∪ [1;+∞)
Điều kiện xác định của hàm số:
− 1 ≤ 1
x≤ 1
⇐⇒1 + x
x≥ 0 và
1− x
x≤ 0
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ (0;+∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1;+∞)
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞).
Chọn đáp án D.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 26: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/26.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.2.
Cho hàm số y = arcsin1
x. Tập xác định của hàm số là
A. [−1; 1] B. [−1; 0]
C. [0; 1] D. (−∞;−1] ∪ [1;+∞)
Điều kiện xác định của hàm số:
− 1 ≤ 1
x≤ 1
⇐⇒1 + x
x≥ 0 và
1− x
x≤ 0
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ (0;+∞) và x ∈ (−∞; 0) ∪ [1;+∞)
⇐⇒x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞).
Chọn đáp án D.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 27: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/27.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 28: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/28.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 29: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/29.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 30: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/30.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2
C. Vì limx→+∞
arctan x =π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 31: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/31.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 32: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/32.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 33: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/33.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
1. Khái niệm và phân loại hàm số
Ví dụ 1.3. Chọn phát biểu đúng
A. limx→0
arcsin x = 1 B. limx→0
arctan1
x2= +∞
C. limx→∞
arctan x =π
2D. Nếu arcsin x = arccos y thì x2 + y2 = 1.
A. limx→0
arcsin x = arcsin 0 = 0
B. limx→0
arctan1
x2=π
2C. Vì lim
x→+∞arctan x =
π
2và lim
x→−∞arctan x = −π
2, nên suy ra
limx→∞
arctan x không tồn tại.
D. Đặt α = arcsin x = arccos y suy ra x = sinα và y = cosα.
Ta có x2 + y2 = sin2 α+ cos2 α = 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 34: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/34.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Nội dung
1 Khái niệm, phân loại hàm số
2 Giới hạn hàm số
3 Hàm số liên tục
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 35: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/35.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2. Giới hạn của hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ta xét 2 quá trình: x → a, x →∞. Ứng với 2 quá trình đó, cácgiới hạn được xét ở dạng:
limx→a
f (x), limx→∞
f (x).
Các dạng vô định thường gặp
0
0,∞∞
, ∞−∞, 0.∞, ∞0, 0∞, 00 và 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 36: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/36.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2. Giới hạn của hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ta xét 2 quá trình: x → a, x →∞. Ứng với 2 quá trình đó, cácgiới hạn được xét ở dạng:
limx→a
f (x), limx→∞
f (x).
Các dạng vô định thường gặp
0
0,∞∞
, ∞−∞, 0.∞, ∞0, 0∞, 00 và 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 37: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/37.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2. Giới hạn của hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ta xét 2 quá trình: x → a, x →∞. Ứng với 2 quá trình đó, cácgiới hạn được xét ở dạng:
limx→a
f (x), limx→∞
f (x).
Các dạng vô định thường gặp
0
0,∞∞
, ∞−∞, 0.∞, ∞0, 0∞, 00 và 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 38: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/38.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2. Giới hạn của hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh:
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ta xét 2 quá trình: x → a, x →∞. Ứng với 2 quá trình đó, cácgiới hạn được xét ở dạng:
limx→a
f (x), limx→∞
f (x).
Các dạng vô định thường gặp
0
0,∞∞
, ∞−∞, 0.∞, ∞0, 0∞, 00 và 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 39: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/39.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner đểđặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp cócăn thức, ta thực hiện trục căn thức.
Ví dụ 2.1.
Tính giới hạn L1 = limx→1
x2 − 1
x3 − 2x2 + 3x − 2.
Ta có L1 = limx→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 − x + 2)
= limx→1
x + 1
x2 − x + 2=
1 + 1
12 − 1 + 2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 40: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/40.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner đểđặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp cócăn thức, ta thực hiện trục căn thức.
Ví dụ 2.1.
Tính giới hạn L1 = limx→1
x2 − 1
x3 − 2x2 + 3x − 2.
Ta có L1 = limx→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 − x + 2)
= limx→1
x + 1
x2 − x + 2=
1 + 1
12 − 1 + 2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 41: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/41.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner đểđặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp cócăn thức, ta thực hiện trục căn thức.
Ví dụ 2.1.
Tính giới hạn L1 = limx→1
x2 − 1
x3 − 2x2 + 3x − 2.
Ta có L1 = limx→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 − x + 2)
= limx→1
x + 1
x2 − x + 2=
1 + 1
12 − 1 + 2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 42: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/42.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phép chia Horner đểđặt nhân tử chung rồi khử (rút gọn) lượng vô định. Trường hợp cócăn thức, ta thực hiện trục căn thức.
Ví dụ 2.1.
Tính giới hạn L1 = limx→1
x2 − 1
x3 − 2x2 + 3x − 2.
Ta có L1 = limx→1
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 − x + 2)
= limx→1
x + 1
x2 − x + 2=
1 + 1
12 − 1 + 2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 43: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/43.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Ví dụ 2.2.
Tính giới hạn L2 = limx→1
x −√2− x
x3 − 1.
L2 = limx→1
(x −√2− x)(x +
√2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
x2 − (2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x2 + x + 1)(x +√2− x)
= limx→1
x + 2
(x2 + x + 1)(x +√2− x)
=1 + 2
(12 + 1 + 1)(1 +√2− 1)
=1
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 44: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/44.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Ví dụ 2.2.
Tính giới hạn L2 = limx→1
x −√2− x
x3 − 1.
L2 = limx→1
(x −√2− x)(x +
√2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
x2 − (2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x2 + x + 1)(x +√2− x)
= limx→1
x + 2
(x2 + x + 1)(x +√2− x)
=1 + 2
(12 + 1 + 1)(1 +√2− 1)
=1
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 45: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/45.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.1. Dạng vô định0
0
Ví dụ 2.2.
Tính giới hạn L2 = limx→1
x −√2− x
x3 − 1.
L2 = limx→1
(x −√2− x)(x +
√2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
x2 − (2− x)
(x3 − 1)(x +√2− x)
= limx→1
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x2 + x + 1)(x +√2− x)
= limx→1
x + 2
(x2 + x + 1)(x +√2− x)
=1 + 2
(12 + 1 + 1)(1 +√2− 1)
=1
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 46: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/46.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản1
0= ±∞.
Bài tập 2.3.
Tính giới hạn L3 = limx→2
x2 − 5x + 6
x3 − 6x2 + 12x − 8.
Ta có L3 = limx→2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)3
= limx→2
x − 3
(x − 2)2= −∞
vì limx→2
x − 3
(x − 2)2có dạng cơ bản
1
0và
x − 3
(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 47: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/47.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản1
0= ±∞.
Bài tập 2.3.
Tính giới hạn L3 = limx→2
x2 − 5x + 6
x3 − 6x2 + 12x − 8.
Ta có L3 = limx→2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)3
= limx→2
x − 3
(x − 2)2= −∞
vì limx→2
x − 3
(x − 2)2có dạng cơ bản
1
0và
x − 3
(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 48: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/48.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản1
0= ±∞.
Bài tập 2.3.
Tính giới hạn L3 = limx→2
x2 − 5x + 6
x3 − 6x2 + 12x − 8.
Ta có L3 = limx→2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)3
= limx→2
x − 3
(x − 2)2= −∞
vì limx→2
x − 3
(x − 2)2có dạng cơ bản
1
0và
x − 3
(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 49: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/49.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản1
0= ±∞.
Bài tập 2.3.
Tính giới hạn L3 = limx→2
x2 − 5x + 6
x3 − 6x2 + 12x − 8.
Ta có L3 = limx→2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)3
= limx→2
x − 3
(x − 2)2= −∞
vì limx→2
x − 3
(x − 2)2có dạng cơ bản
1
0và
x − 3
(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 50: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/50.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Phương pháp
Sử dụng giới hạn cơ bản1
0= ±∞.
Bài tập 2.3.
Tính giới hạn L3 = limx→2
x2 − 5x + 6
x3 − 6x2 + 12x − 8.
Ta có L3 = limx→2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)3
= limx→2
x − 3
(x − 2)2= −∞
vì limx→2
x − 3
(x − 2)2có dạng cơ bản
1
0và
x − 3
(x − 2)2< 0 khi x tiến tới 2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 51: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/51.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 52: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/52.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 53: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/53.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 54: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/54.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 55: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/55.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 56: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/56.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.2. Giới hạn1
0và Giới hạn một bên (trái, phải)
Chú ý: Các trường hợp không xác định được biểu thức lấygiới hạn âm/dương, ta khẳng định giới hạn không tồn tại.
Ví dụ 2.3
Tính giới hạn L4 = limx→1
x2 + 2x − 3
1− x2.
limx→(−1)−
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)−(x − 1)(x + 3)
(1− x)(1 + x)
= limx→(−1)−
−(x + 3)
x + 1= +∞ (1)
limx→(−1)+
x2 + 2x − 3
1− x2= lim
x→(−1)+−(x + 3)
x + 1= −∞ (2)
Từ (1) và (2) suy ra giới hạn L4 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 57: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/57.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Phương pháp
Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản
limx→∞
1
xk= 0 với k > 0.
Ví dụ 2.4.
Tính giới hạn L5 = limx→+∞
x +√x2 + 2
2x + 3.
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L5 = limx→+∞
1 +
√1 +
2
x2
2 +3
x
= limx→+∞
1 +√1
2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 58: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/58.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Phương pháp
Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản
limx→∞
1
xk= 0 với k > 0.
Ví dụ 2.4.
Tính giới hạn L5 = limx→+∞
x +√x2 + 2
2x + 3.
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L5 = limx→+∞
1 +
√1 +
2
x2
2 +3
x
= limx→+∞
1 +√1
2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 59: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/59.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Phương pháp
Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản
limx→∞
1
xk= 0 với k > 0.
Ví dụ 2.4.
Tính giới hạn L5 = limx→+∞
x +√x2 + 2
2x + 3.
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L5 = limx→+∞
1 +
√1 +
2
x2
2 +3
x
= limx→+∞
1 +√1
2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 60: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/60.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Phương pháp
Chia tử và mẫu cho xbậc cao nhất ở mẫu rồi sử dụng giới hạn cơ bản
limx→∞
1
xk= 0 với k > 0.
Ví dụ 2.4.
Tính giới hạn L5 = limx→+∞
x +√x2 + 2
2x + 3.
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L5 = limx→+∞
1 +
√1 +
2
x2
2 +3
x
= limx→+∞
1 +√1
2= 1.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 61: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/61.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Ví dụ 2.5. Tính giới hạn
a) L6 = limx→−∞
x2 +√x2 + 2
2x + 3b) L7 = lim
x→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được
L6 = limx→−∞
x −√
1 +2
x2
2 +3
x
(=−∞− 1
2
)= −∞.
b) Chia tử và mẫu cho x2 (x2 > 0) ta được
L7 = limx→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
= limx→+∞
2
x+
3
x2
1 +
√1 +
2
x2
=0
1 +√1= 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 62: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/62.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Ví dụ 2.5. Tính giới hạn
a) L6 = limx→−∞
x2 +√x2 + 2
2x + 3b) L7 = lim
x→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được
L6 = limx→−∞
x −√
1 +2
x2
2 +3
x
(=−∞− 1
2
)= −∞.
b) Chia tử và mẫu cho x2 (x2 > 0) ta được
L7 = limx→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
= limx→+∞
2
x+
3
x2
1 +
√1 +
2
x2
=0
1 +√1= 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 63: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/63.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Ví dụ 2.5. Tính giới hạn
a) L6 = limx→−∞
x2 +√x2 + 2
2x + 3b) L7 = lim
x→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được
L6 = limx→−∞
x −√
1 +2
x2
2 +3
x
(=−∞− 1
2
)= −∞.
b) Chia tử và mẫu cho x2 (x2 > 0) ta được
L7 = limx→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
= limx→+∞
2
x+
3
x2
1 +
√1 +
2
x2
=0
1 +√1= 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 64: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/64.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Ví dụ 2.5. Tính giới hạn
a) L6 = limx→−∞
x2 +√x2 + 2
2x + 3b) L7 = lim
x→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
a) Chia tử và mẫu cho x (x < 0) ta được
L6 = limx→−∞
x −√
1 +2
x2
2 +3
x
(=−∞− 1
2
)= −∞.
b) Chia tử và mẫu cho x2 (x2 > 0) ta được
L7 = limx→+∞
2x + 3
x2 +√x2 + 2
= limx→+∞
2
x+
3
x2
1 +
√1 +
2
x2
=0
1 +√1= 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 65: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/65.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 66: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/66.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 67: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/67.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 68: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/68.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 69: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/69.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 70: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/70.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.3. Dạng vô định∞∞
Từ các ví dụ trước ta dễ dàng rút ra kết luận:
Chú ý: suy ra nhanh kết quả của giới hạn dạng vô định∞∞
a) bậc tử = bậc mẫu: kết quả = tổng hệ số bậc cao nhất ở tửtổng hệ số bậc cao nhất ở mẫu
,
b) bậc tử < bậc mẫu: kết quả = 0,
c) bậc tử > bậc mẫu: kết quả = ±∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 71: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/71.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Phương pháp
Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng0
0,1
0,∞∞
.
Ví dụ 2.6.
Tính giới hạn L8 = limx→2
(1
x2 − x − 2− 1
3x − 6
).
L8 = limx→2
[1
(x + 1)(x − 2)− 1
3(x − 2)
]= lim
x→2
3− (x + 1)
3(x + 1)(x − 2)
= limx→2
2− x
3(x + 1)(x − 2)= lim
x→2
−13(x + 1)
= −1
9.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 72: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/72.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Phương pháp
Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng0
0,1
0,∞∞
.
Ví dụ 2.6.
Tính giới hạn L8 = limx→2
(1
x2 − x − 2− 1
3x − 6
).
L8 = limx→2
[1
(x + 1)(x − 2)− 1
3(x − 2)
]= lim
x→2
3− (x + 1)
3(x + 1)(x − 2)
= limx→2
2− x
3(x + 1)(x − 2)= lim
x→2
−13(x + 1)
= −1
9.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 73: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/73.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Phương pháp
Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng0
0,1
0,∞∞
.
Ví dụ 2.6.
Tính giới hạn L8 = limx→2
(1
x2 − x − 2− 1
3x − 6
).
L8 = limx→2
[1
(x + 1)(x − 2)− 1
3(x − 2)
]= lim
x→2
3− (x + 1)
3(x + 1)(x − 2)
= limx→2
2− x
3(x + 1)(x − 2)= lim
x→2
−13(x + 1)
= −1
9.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 74: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/74.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Phương pháp
Quy đồng đưa giới hạn đã cho về một trong các dạng0
0,1
0,∞∞
.
Ví dụ 2.6.
Tính giới hạn L8 = limx→2
(1
x2 − x − 2− 1
3x − 6
).
L8 = limx→2
[1
(x + 1)(x − 2)− 1
3(x − 2)
]= lim
x→2
3− (x + 1)
3(x + 1)(x − 2)
= limx→2
2− x
3(x + 1)(x − 2)= lim
x→2
−13(x + 1)
= −1
9.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 75: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/75.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = limx→0
(1
x− 1
x2 − x
).
Ta có
L9 = limx→0
(x − 1)− 1
x(x − 1)= lim
x→0
x − 2
x(x − 1)
(1
0
).
Mặt khác
limx→0−
x − 2
x(x − 1)= −∞,
limx→0+
x − 2
x(x − 1)= +∞,
nên giới hạn L9 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 76: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/76.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = limx→0
(1
x− 1
x2 − x
).
Ta có
L9 = limx→0
(x − 1)− 1
x(x − 1)= lim
x→0
x − 2
x(x − 1)
(1
0
).
Mặt khác
limx→0−
x − 2
x(x − 1)= −∞,
limx→0+
x − 2
x(x − 1)= +∞,
nên giới hạn L9 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 77: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/77.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = limx→0
(1
x− 1
x2 − x
).
Ta có
L9 = limx→0
(x − 1)− 1
x(x − 1)= lim
x→0
x − 2
x(x − 1)
(1
0
).
Mặt khác
limx→0−
x − 2
x(x − 1)= −∞,
limx→0+
x − 2
x(x − 1)= +∞,
nên giới hạn L9 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 78: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/78.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = limx→0
(1
x− 1
x2 − x
).
Ta có
L9 = limx→0
(x − 1)− 1
x(x − 1)= lim
x→0
x − 2
x(x − 1)
(1
0
).
Mặt khác
limx→0−
x − 2
x(x − 1)= −∞,
limx→0+
x − 2
x(x − 1)= +∞,
nên giới hạn L9 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 79: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/79.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Ví dụ 2.7.
Tính giới hạn L9 = limx→0
(1
x− 1
x2 − x
).
Ta có
L9 = limx→0
(x − 1)− 1
x(x − 1)= lim
x→0
x − 2
x(x − 1)
(1
0
).
Mặt khác
limx→0−
x − 2
x(x − 1)= −∞,
limx→0+
x − 2
x(x − 1)= +∞,
nên giới hạn L9 không tồn tại.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 80: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/80.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞
Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x
).
L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x)(
√x2 + 3x + x)
(√x2 + 3x + x)
= limx→+∞
3x
(√x2 + 3x + x)
(∞∞
)Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L10 = limx→+∞
3√1 + 3
x + 1=
3√1 + 1
=3
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 81: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/81.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x
).
L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x)(
√x2 + 3x + x)
(√x2 + 3x + x)
= limx→+∞
3x
(√x2 + 3x + x)
(∞∞
)Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L10 = limx→+∞
3√1 + 3
x + 1=
3√1 + 1
=3
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 82: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/82.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x
).
L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x)(
√x2 + 3x + x)
(√x2 + 3x + x)
= limx→+∞
3x
(√x2 + 3x + x)
(∞∞
)Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L10 = limx→+∞
3√1 + 3
x + 1=
3√1 + 1
=3
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 83: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/83.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x
).
L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x)(
√x2 + 3x + x)
(√x2 + 3x + x)
= limx→+∞
3x
(√x2 + 3x + x)
(∞∞
)
Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L10 = limx→+∞
3√1 + 3
x + 1=
3√1 + 1
=3
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 84: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/84.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.4. Dạng vô định ∞−∞Nếu đúng dạng ∞−∞ và xuất hiện căn thức, ta sẽ trục cănthức.
Ví dụ 2.9.
Tính giới hạn L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x
).
L10 = limx→+∞
(√x2 + 3x − x)(
√x2 + 3x + x)
(√x2 + 3x + x)
= limx→+∞
3x
(√x2 + 3x + x)
(∞∞
)Chia tử và mẫu cho x (x > 0) ta được
L10 = limx→+∞
3√1 + 3
x + 1=
3√1 + 1
=3
2.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 85: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/85.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 86: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/86.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 87: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/87.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 88: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/88.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 89: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/89.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 90: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/90.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 91: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/91.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản (dạng 00 và 1∞)
Định lý 1
1 limx→0
sin x
x= 1.
2 limx→0
ln (1 + x)
x= 1.
3 limx→0
ex − 1
x= 1.
Ví dụ 2.10. Tính giới hạn
a) limx→0
tan ax
xb) lim
x→0
1− cos ax
x2.
a) limx→0
tan ax
x= lim
x→0
sin ax
ax.
a
cos ax= a.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 92: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/92.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 93: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/93.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 94: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/94.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 95: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/95.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 96: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/96.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 97: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/97.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
b) limx→0
1− cos ax
x2= lim
x→0
2 sin2(ax2
)x2
= limx→0
[sin(ax2
)(ax2
) ]2.a2
2=
a2
2.
Ví dụ 2.11. Tính giới hạn
a) limx→0
ln(cos x)
x2b) lim
x→0+
3x − 1
xc) lim
x→1
x − 1
lg x.
a) limx→0
ln(cos x)
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.cos x − 1
x2= −1
2.
b) limx→0+
3x − 1
x= lim
x→0+
ex ln 3 − 1
x ln 3. ln 3 = ln 3.
c) limx→1
x − 1
lg x= lim
x→1
x − 1
ln xln 10 = lim
x→1
1[ln(1+(x−1))
x−1
] ln 10 = ln 10.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 98: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/98.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 99: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/99.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 100: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/100.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 101: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/101.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 102: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/102.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 103: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/103.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.5. Các giới hạn cơ bản
Định lý 2
lim [u(x)]v(x)(
có dạng 1∞)= e lim[u(x)−1].v(x).
Ví dụ 2.12. Tính các giới hạn
a) limx→0
(1 + x)1x b) lim
x→∞
(1− 1
x
)x
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n
a) limx→0
(1 + x)1x = e
limx→0
(1+x−1). 1x = e.
b) limx→∞
(1− 1
x
)x
= elim
x→∞(1− 1
x−1)x
= e−1 =1
e.
c) limn→+∞
(n + 1
n − 1
)1−2n= e
limx→0
( n+1n−1−1).(1−2n)
= elimx→0
2(1−2n)n−1 =
1
e4.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 104: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/104.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 105: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/105.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 106: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/106.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 107: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/107.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 108: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/108.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 109: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/109.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 110: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/110.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 111: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/111.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếulimα(x) = 0 trong quá trình đó.
Chú ý 1: x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các VCBxét trong quá trình x → 0.
Chú ý 2: ,1
xα(α > 0), qx (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L ⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là 1 VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là 1 VCB.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 112: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/112.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 113: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/113.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 114: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/114.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 115: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/115.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 116: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/116.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 117: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/117.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 118: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/118.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 119: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/119.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu limα(x)
β(x)= 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu limα(x)
β(x)= k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCBtương đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sin u ∼ arcsin u ∼ tan u ∼ arctan u ∼ u.
1− cos u ∼u2
2.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 120: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/120.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định0
0và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
limα(x)
β(x)= lim
α(x)
β(x).
Ví dụ 2.13. Tính giới hạn
a) limx→0
ln cos x
x2
(0
0
)b) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
(0
0
)c) lim
x→0+
3√x − 1
x
a) limx→0
ln cos x
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
x2= lim
x→0
cos x − 1
x2
= limx→0
(− x2
2
)x2
= −1
2vì cos x − 1 ∼ −x2
2khi x → 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 121: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/121.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định0
0và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
limα(x)
β(x)= lim
α(x)
β(x).
Ví dụ 2.13. Tính giới hạn
a) limx→0
ln cos x
x2
(0
0
)b) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
(0
0
)c) lim
x→0+
3√x − 1
x
a) limx→0
ln cos x
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
x2= lim
x→0
cos x − 1
x2
= limx→0
(− x2
2
)x2
= −1
2vì cos x − 1 ∼ −x2
2khi x → 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 122: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/122.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định0
0và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
limα(x)
β(x)= lim
α(x)
β(x).
Ví dụ 2.13. Tính giới hạn
a) limx→0
ln cos x
x2
(0
0
)b) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
(0
0
)c) lim
x→0+
3√x − 1
x
a) limx→0
ln cos x
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
x2= lim
x→0
cos x − 1
x2
= limx→0
(− x2
2
)x2
= −1
2vì cos x − 1 ∼ −x2
2khi x → 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 123: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/123.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định0
0và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
limα(x)
β(x)= lim
α(x)
β(x).
Ví dụ 2.13. Tính giới hạn
a) limx→0
ln cos x
x2
(0
0
)b) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
(0
0
)c) lim
x→0+
3√x − 1
x
a) limx→0
ln cos x
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
x2= lim
x→0
cos x − 1
x2
= limx→0
(− x2
2
)x2
= −1
2vì cos x − 1 ∼ −x2
2khi x → 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 124: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/124.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
e) Dạng vô định0
0và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
limα(x)
β(x)= lim
α(x)
β(x).
Ví dụ 2.13. Tính giới hạn
a) limx→0
ln cos x
x2
(0
0
)b) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
(0
0
)c) lim
x→0+
3√x − 1
x
a) limx→0
ln cos x
x2= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
x2= lim
x→0
cos x − 1
x2
= limx→0
(− x2
2
)x2
= −1
2vì cos x − 1 ∼ −x2
2khi x → 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 125: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/125.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 126: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/126.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 127: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/127.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 128: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/128.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 129: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/129.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 130: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/130.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 131: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/131.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
b) limx→a
sin x − sin a
x − a= lim
x→a
2 cos(x+a2
)sin(x−a2
)x − a
= limx→a
2 cos(x+a2
).(x−a2
)x − a
vì sin
(x − a
2
)∼ x − a
2khi x → a.
= limx→a
cos
(x + a
2
)= cos a.
c) limx→0+
3√x − 1
x= lim
x→0+
e√x ln 3 − 1
x
= limx→0+
√x ln 3
xvì e√x ln 3 − 1 ∼
√x ln 3 khi x → 0
= limx→0+
ln 3√x= +∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 132: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/132.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 133: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/133.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 134: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/134.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 135: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/135.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 136: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/136.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 137: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/137.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 138: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/138.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 139: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/139.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
2.6. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
Ví dụ 2.14. Tính giới hạn
a) limx→0
(cos 2x)1x2 b) lim
x→0(1− cos x). cot2 x c) lim
x→0+x
34+ln x
a) limx→0
(cos 2x)1x2 = e
limx→0
(cos 2x−1). 1x2 = e
limx→0− (2x)2
2. 1x2 = e−2 =
1
e2.
Chú ý: ta sử dụng 1− cos 2x ∼ (2x)2
2 khi x → 0.
b) limx→0
(1− cos x). cot2 x = limx→0
(1− cos x)
tan2 x= lim
x→0
(x2
2
)x2
=1
2.
Chú ý: ta sử dụng tan x ∼ x khi x → 0.
c) limx→0+
x3
4+ln x = elim
x→0+
34+ln x
. ln x= e
limx→0+
3 ln x4+ln x
= elim
x→0+
34
ln x+1 = e3.
Chú ý: ta sử dụng công thức ab = eb ln a cho giới hạn lim[u(x)]v(x)
nếu nó không có dạng 1∞.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 140: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/140.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Nội dung
1 Khái niệm, phân loại hàm số
2 Giới hạn hàm số
3 Hàm số liên tục
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 141: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/141.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a
Nếu limx→a−
f (x) = limx→a+
f (x) = L thì limx→a
f (x) tồn tại và bằng L.
Ví dụ 3.1. Cho hàm số
f (x) =
sin(x2
)x
với x < 0
√x2 + 1− 1
x2với x > 0
. Tính limx→0
f (x).
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin(x2
)x
=1
2lim
x→0−
sin(x2
)(x2
) =1
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
√x2 + 1− 1
x2= lim
x→0+
√x2 + 1
2 − 12
x2(√
x2 + 1 + 1)
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 142: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/142.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a
Nếu limx→a−
f (x) = limx→a+
f (x) = L thì limx→a
f (x) tồn tại và bằng L.
Ví dụ 3.1. Cho hàm số
f (x) =
sin(x2
)x
với x < 0
√x2 + 1− 1
x2với x > 0
. Tính limx→0
f (x).
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin(x2
)x
=1
2lim
x→0−
sin(x2
)(x2
) =1
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
√x2 + 1− 1
x2= lim
x→0+
√x2 + 1
2 − 12
x2(√
x2 + 1 + 1)
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 143: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/143.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a
Nếu limx→a−
f (x) = limx→a+
f (x) = L thì limx→a
f (x) tồn tại và bằng L.
Ví dụ 3.1. Cho hàm số
f (x) =
sin(x2
)x
với x < 0
√x2 + 1− 1
x2với x > 0
. Tính limx→0
f (x).
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin(x2
)x
=1
2lim
x→0−
sin(x2
)(x2
) =1
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
√x2 + 1− 1
x2= lim
x→0+
√x2 + 1
2 − 12
x2(√
x2 + 1 + 1)
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 144: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/144.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a
Nếu limx→a−
f (x) = limx→a+
f (x) = L thì limx→a
f (x) tồn tại và bằng L.
Ví dụ 3.1. Cho hàm số
f (x) =
sin(x2
)x
với x < 0
√x2 + 1− 1
x2với x > 0
. Tính limx→0
f (x).
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin(x2
)x
=1
2lim
x→0−
sin(x2
)(x2
) =1
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
√x2 + 1− 1
x2= lim
x→0+
√x2 + 1
2 − 12
x2(√
x2 + 1 + 1)
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 145: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/145.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
a) Chú ý: Hàm số có công thức khác nhau với x < a và x > a
Nếu limx→a−
f (x) = limx→a+
f (x) = L thì limx→a
f (x) tồn tại và bằng L.
Ví dụ 3.1. Cho hàm số
f (x) =
sin(x2
)x
với x < 0
√x2 + 1− 1
x2với x > 0
. Tính limx→0
f (x).
limx→0−
f (x) = limx→0−
sin(x2
)x
=1
2lim
x→0−
sin(x2
)(x2
) =1
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
√x2 + 1− 1
x2= lim
x→0+
√x2 + 1
2 − 12
x2(√
x2 + 1 + 1)
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 146: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/146.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
= limx→0+
1√x2 + 1 + 1
=1
2.
Suy ra limx→0
f (x) = limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x) =1
2.
b) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu
i) f (a) xác định vàii) lim
x→af (x) tồn tại
iii) limx→a
f (x) = f (a).
Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số
f (x) =
√sin2 x + 1− cos x
sin2 xvới −π
2 < x < 0
arccos x với x ≥ 0
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 147: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/147.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
= limx→0+
1√x2 + 1 + 1
=1
2.
Suy ra limx→0
f (x) = limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x) =1
2.
b) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu
i) f (a) xác định vàii) lim
x→af (x) tồn tại
iii) limx→a
f (x) = f (a).
Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số
f (x) =
√sin2 x + 1− cos x
sin2 xvới −π
2 < x < 0
arccos x với x ≥ 0
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 148: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/148.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
= limx→0+
1√x2 + 1 + 1
=1
2.
Suy ra limx→0
f (x) = limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x) =1
2.
b) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu
i) f (a) xác định vàii) lim
x→af (x) tồn tại
iii) limx→a
f (x) = f (a).
Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số
f (x) =
√sin2 x + 1− cos x
sin2 xvới −π
2 < x < 0
arccos x với x ≥ 0
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 149: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/149.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
= limx→0+
1√x2 + 1 + 1
=1
2.
Suy ra limx→0
f (x) = limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x) =1
2.
b) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu
i) f (a) xác định vàii) lim
x→af (x) tồn tại
iii) limx→a
f (x) = f (a).
Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số
f (x) =
√sin2 x + 1− cos x
sin2 xvới −π
2 < x < 0
arccos x với x ≥ 0
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 150: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/150.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
= limx→0+
1√x2 + 1 + 1
=1
2.
Suy ra limx→0
f (x) = limx→0−
f (x) = limx→0+
f (x) =1
2.
b) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu
i) f (a) xác định vàii) lim
x→af (x) tồn tại
iii) limx→a
f (x) = f (a).
Ví dụ 3.2. Xét tính liên tục của hàm số
f (x) =
√sin2 x + 1− cos x
sin2 xvới −π
2 < x < 0
arccos x với x ≥ 0
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 151: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/151.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 152: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/152.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 153: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/153.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 154: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/154.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 155: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/155.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 156: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/156.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 157: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/157.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 158: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/158.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
3. Hàm số liên tục
Ta có f (0) = arccos 0 =π
2.
limx→0+
f (x) = limx→0+
arccos x = arccos 0 =π
2.
limx→0−
f (x) = limx→0−
√sin2 x + 1− cos x
sin2 x
= limx→0−
√sin2 x + 1
2− cos2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2 sin2 x
sin2 x(√
sin2 x + 1 + cos x)
= limx→0−
2√sin2 x + 1 + cos x
= 1
Suy ra limx→0
f (x) không tồn tại. Vậy hàm số đã cho gián đoạn
tại x = 0.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục
![Page 159: Hàm s, Gii han và Hàm sô liên tuc - fs.hcmuaf.edu.vnfs.hcmuaf.edu.vn/data/file/Ngọc/Hàm số, giới hạn và hàm... · Kh¡ini»m,ph¥nlo⁄ih€msŁGiîih⁄nh€msŁH€msŁli¶ntöc](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062401/5a78853d7f8b9a1f128c38d6/html5/thumbnails/159.jpg)
Khái niệm, phân loại hàm số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục
Mô-đun: Hàm số, Giới hạn và Hàm số liên tục.
Hết.
Trần Bảo Ngọc Hàm số, Giới hạn và Hàm sô liên tục