vi tÍch phÂn a1 chƯƠng 1. hÀm sỐ mỘt biẾn
TRANSCRIPT
VI TÍCH PHÂN A1
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN
CBGD. Lê Hoài Nhân 1
1Bộ môn Toán học
Khoa Khoa học tự nhiên
Ngày 15 tháng 5 năm 2015
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 1 / 81
Chương 1. Hàm số một biến
1 Giới hạn hàm sốGiới hạn hữu hạnCác qui tắc tính giới hạnGiới hạn vô cựcGiới hạn tại vô cựcCác dạng vô định
Giới hạn của hàm số sơ cấpVô cùng bé
2 Hàm số liên tụcĐịnh nghĩaĐiểm gián đoạnỨng dụng
3 Lời giải các Ví dụ
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 2 / 81
Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1.1Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng (a, b) \ {x0} vớix0 ∈ (a, b). Ta nói L = lim
x→x0
f(x)
nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0sao cho
|f(x) − L| < ε.
với 0 < |x − x0| < δ
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 3 / 81
Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1.1Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng (a, b) \ {x0} vớix0 ∈ (a, b). Ta nói L = lim
x→x0
f(x)
nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0sao cho
|f(x) − L| < ε.
với 0 < |x − x0| < δ
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 3 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim
x→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim
x→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim
x→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→a
f(x) = limx→a
g(x), với các giới
hạn trên đều tồn tại.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim
x→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→a
f(x) = limx→a
g(x), với các giới
hạn trên đều tồn tại.
Ví dụ 1.1
Xét hàm số g(x) =
{
x nếu x 6= 2
1 nếu x = 2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim
x→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→a
f(x) = limx→a
g(x), với các giới
hạn trên đều tồn tại.
Ví dụ 1.1
Xét hàm số g(x) =
{
x nếu x 6= 2
1 nếu x = 2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1Sự tồn tại của lim
x→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→a
f(x) = limx→a
g(x), với các giới
hạn trên đều tồn tại.
Ví dụ 1.1
Xét hàm số g(x) =
{
x nếu x 6= 2
1 nếu x = 2.
Ta có limx→2
g(x) = limx→2
x = 2 trong khi đó
g(2) = 1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)Một đa thức biến số x là hàm số có dạng
P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
trong đó an, an−1, . . . , a2, a1, a0 là các hằng số và an 6= 0.
Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu làdeg(P ) = n.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 5 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)Một đa thức biến số x là hàm số có dạng
P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
trong đó an, an−1, . . . , a2, a1, a0 là các hằng số và an 6= 0.
Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu làdeg(P ) = n.
Định lý 1.1 (Giới hạn của hàm đa thức)Nếu P (x) là một đa thức và a là số thực tùy ý thì
limx→a
P (x) = P (a).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 5 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Ví dụ 1.2Tính các giới hạn
1 limx→−2
(2x + 3)(3x − 1)
2 limx→1
x2 − 1
x + 1
3 limx→−1
x2 − 1
x + 1
4 limt→−5
t2 + 3t − 10
t + 5
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Ví dụ 1.2Tính các giới hạn
1 limx→−2
(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2
(6x2 + 7x − 3) = 7.
2 limx→1
x2 − 1
x + 1
3 limx→−1
x2 − 1
x + 1
4 limt→−5
t2 + 3t − 10
t + 5
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Ví dụ 1.2Tính các giới hạn
1 limx→−2
(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2
(6x2 + 7x − 3) = 7.
2 limx→1
x2 − 1
x + 1= lim
x→1
(x + 1)(x − 1)
x + 1= lim
x→1(x − 1) = 0.
3 limx→−1
x2 − 1
x + 1
4 limt→−5
t2 + 3t − 10
t + 5
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Ví dụ 1.2Tính các giới hạn
1 limx→−2
(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2
(6x2 + 7x − 3) = 7.
2 limx→1
x2 − 1
x + 1= lim
x→1
(x + 1)(x − 1)
x + 1= lim
x→1(x − 1) = 0.
3 limx→−1
x2 − 1
x + 1= lim
x→−1
(x + 1)(x − 1)
x + 1= lim
x→−1(x − 1) = −2.
4 limt→−5
t2 + 3t − 10
t + 5
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81
Giới hạn của hàm số đa thức
Ví dụ 1.2Tính các giới hạn
1 limx→−2
(2x + 3)(3x − 1) = limx→−2
(6x2 + 7x − 3) = 7.
2 limx→1
x2 − 1
x + 1= lim
x→1
(x + 1)(x − 1)
x + 1= lim
x→1(x − 1) = 0.
3 limx→−1
x2 − 1
x + 1= lim
x→−1
(x + 1)(x − 1)
x + 1= lim
x→−1(x − 1) = −2.
4 limt→−5
t2 + 3t − 10
t + 5= lim
t→−5
(t + 5)(t − 2)
t + 5= lim
t→−5(t − 2) = −7.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)
Tỷ sốP (x)
Q(x)của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 81
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)
Tỷ sốP (x)
Q(x)của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.
Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)
Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) 6= 0 thì
limx→a
P (x)
Q(x)=
P (a)
Q(a).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 81
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)
Tỷ sốP (x)
Q(x)của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.
Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)
Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) 6= 0 thì
limx→a
P (x)
Q(x)=
P (a)
Q(a).
Câu hỏi 1.1
Để tính giới hạn của hàm số hữu tỷ limx→a
P (x)
Q(x)ta cần thực hiện các
bước nào?
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 81
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3
Tính các giới hạn sau:
1 limx→3
x + 3
x + 6Bài giải
2 limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4Bài giải
3 limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + xBài giải
4 limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
. Bài giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 8 / 81
Next
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Bài tập 1.1
Trong vi tích phân, giới hạn limh→0
f(x + h) − f(x)
hthường xuyên được sử
dụng. Hãy tính giới hạn trên cho các hàm số sau:
1 f(x) = x2
2 f(x) = x3
3 f(x) =1
x
4 f(x) =1
x2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 9 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Định lý 1.3 (Các phép toán trên giới hạn)Nếu limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M và k là một hằng số, m, n làcác số nguyên thì1. Phép cộng lim
x→a[f(x) + g(x)] = L + M
2. Phép trừ limx→a
[f(x) − g(x)] = L − M
3. Phép nhân limx→a
f(x)g(x) = LM
4. Phép chia limx→a
f(x)g(x) = L
M nếu M 6= 0
5. Lũy thừa limx→a
[f(x)]m/n = Lm/n với L > 0 nếu n chẵn
và L 6= 0 nếu n lẻ6. Thứ tự Nếu f(x) ≤ g(x) thì L ≤ M
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 10 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.4Giả sử rằng lim
x→4f(x) = 2 và lim
x→4g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:
1 limx→4
[g(x) + 3]
2 limx→4
xg(x)
3 limx→4
[g(x)]2
4 limx→4
g(x)
f(x) − 1
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.4Giả sử rằng lim
x→4f(x) = 2 và lim
x→4g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:
1 limx→4
[g(x) + 3]= limx→4
g(x) + limx→4
3 = −3 + 3 = 0.
2 limx→4
xg(x)
3 limx→4
[g(x)]2
4 limx→4
g(x)
f(x) − 1
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.4Giả sử rằng lim
x→4f(x) = 2 và lim
x→4g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:
1 limx→4
[g(x) + 3]= limx→4
g(x) + limx→4
3 = −3 + 3 = 0.
2 limx→4
xg(x) =(
limx→4
x)
.(
limx→4
g(x))
= 4.(−3) = −12.
3 limx→4
[g(x)]2
4 limx→4
g(x)
f(x) − 1
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.4Giả sử rằng lim
x→4f(x) = 2 và lim
x→4g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:
1 limx→4
[g(x) + 3]= limx→4
g(x) + limx→4
3 = −3 + 3 = 0.
2 limx→4
xg(x) =(
limx→4
x)
.(
limx→4
g(x))
= 4.(−3) = −12.
3 limx→4
[g(x)]2=(
limx→4
g(x))2
= (−3)2 = 9.
4 limx→4
g(x)
f(x) − 1
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.4Giả sử rằng lim
x→4f(x) = 2 và lim
x→4g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:
1 limx→4
[g(x) + 3]= limx→4
g(x) + limx→4
3 = −3 + 3 = 0.
2 limx→4
xg(x) =(
limx→4
x)
.(
limx→4
g(x))
= 4.(−3) = −12.
3 limx→4
[g(x)]2=(
limx→4
g(x))2
= (−3)2 = 9.
4 limx→4
g(x)
f(x) − 1=
limx→4
g(x)
limx→4
f(x) − limx→4
1=
−3
2 − 1= −3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.5
1 Cho limx→2
f(x) − 5
x − 2= 3, tìm lim
x→2f(x).
2 Cho limx→0
f(x)
x2= −2, tìm lim
x→0f(x) và lim
x→0
f(x)
x.
Bài Giải
Ví dụ 1.6
Tính các giới hạn sau
1 limt→0
√t2 + 9 − 3
t22 lim
u→−2
√u4 + 2u + 6
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 12 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Câu hỏi 1.2Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức lim
x→a
√
P (x) với P (x) là một
đa thức ta cần thực hiện những bước nào?
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 13 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Câu hỏi 1.2Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức lim
x→a
√
P (x) với P (x) là một
đa thức ta cần thực hiện những bước nào?
Câu hỏi 1.3
Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng limx→a
√
P (x) − A
Q(x)với
P (x), Q(x) là các đa thức với√
P (a) = A và Q(a) = 0 ta cần thựchiện những bước nào?
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 13 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Bài tập 1.2Tính các giới hạn sau:
1 limx→−4
√x2 + 9 − 5
x + 4
2 limu→2
√4u + 1 − 3
u − 2
3 limt→0
(
1
t√
1 + t− 1
t
)
4 limx→2
√6 − x − 2√3 − x − 1
Bài tập 1.3
Biết rằng limx→1
f(x) − 8
x − 1= 10. Hãy tìm lim
x→1f(x).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 14 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Định lý 1.4 (Định lý kẹp giữa - The Squeeze theorem)Giả sử bất đẳng thức f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) thỏa mãn với mọi x thuộcmột khoảng chứa a (có thể không thỏa tại x = a). Khi đó
limx→a
f(x) = limx→a
h(x) = L =⇒ limx→a
g(x) = L.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 15 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Ví dụ 1.7
1 Giả sử 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2 với mọi x 6= 0. Tính limx→0
u(x).
2 Tính giới hạn limx→0
x2 sin1
x.
Bài Giải
Ví dụ 1.8
1 (*) Chứng minh rằng: nếu limx→a
f(x) = L thì limx→a
|f(x)| = |L|.Hệ quả Nếu lim
x→a|f(x)| = 0 thì lim
x→af(x) = 0.
2 Tính giới hạn limx→0
x sin1
x2.
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 16 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Bài tập 1.41 Biết rằng
√5 − 2x2 ≤ f(x) ≤
√5 − x2 với mọi x ∈ [−1, 1]. Tính
limx→0
f(x).
2 Biết rằng 2 − x2 ≤ g(x) ≤ 2 cos x với mọi x. Tính limx→0
g(x).
Bài tập 1.5Cho hàm số
f(x) =
{
x2 sin1
xnếu x < 0
√x nếu x > 0
.
Tính các giới hạn một phía limx→0−
f(x) và limx→0+
f(x). Từ đó suy ra
limx→0
f(x).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 17 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Định lý 1.5 (Giới hạn của hàm hợp)Nếu lim
x→x0
u(x) = u0 và limu→u0
f(u) = L thì limx→x0
f(u(x)) = L.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 18 / 81
Các qui tắc tính giới hạn
Định lý 1.5 (Giới hạn của hàm hợp)Nếu lim
x→x0
u(x) = u0 và limu→u0
f(u) = L thì limx→x0
f(u(x)) = L.
Ví dụ 1.9
Vì limx→
√π
2
x2 =π
4và lim
u→π
4
sin u =
√2
2nên lim
x→√
π
2
sin x2 =
√2
2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 18 / 81
Giới hạn vô cực
Định nghĩa 1.4Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng (a, b) \ {x0} vớix0 ∈ (a, b). Ta nóilim
x→x0
f(x) = +∞ nếu với mỗi
A > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) > A
với 0 < |x − x0| < δ
Ta nói limx→x0
f(x) = −∞ nếu
limx→x0
{−f(x)} = +∞
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 19 / 81
Giới hạn tại vô cực
Định nghĩa 1.5Cho hàm số f(x) xác định tạimọi x > a. Ta nóiL = lim
x→+∞f(x) nếu với mỗi
ε > 0, tồn tại A > 0 sao cho
|f(x) − L| < ε,∀x > A.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 20 / 81
Giới hạn tại vô cực
Chú ý 1.2 (Giới hạn của hàm hữu tỷ)Cho Pm(x) = amxm + . . . + a0 và Qn(x) = bnxn + . . . + b0 là các đa
thức có bậc tương ứng là m và n. Khi đó, giới hạn limx→±∞
Pm(x)
Qn(x)
1 bằng 0 (zero) nếu m < n.
2 bằngam
bnnếu m = n.
Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra, ta nói đồ thị hàm sốPm(x)
Qn(x)có
đường tiệm cận ngang là trục hoành; trường hợp còn thì có tiệm
cận ngang là đường thẳng y =am
bn.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 21 / 81
Giới hạn tại vô cực
Chú ý 1.3 (Giới hạn của hàm đa thức)Cho P (x) = xn + an−1x
n−1 + . . . + a0 là đa thức bậc n > 0 có hệ số củaxn bằng 1. Khi đó, giới hạn lim
x→±∞Pn(x)
1 bằng +∞ nếu n là số chẵn.
2 bằng ±∞ tương ứng nếu n là số lẻ.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 22 / 81
Giới hạn tại vô cực
Chú ý 1.4 (Giới hạn của hàm hữu tỷ)Cho Pm(x) = amxm + . . . + a0 và Qn(x) = bnxn + . . . + b0 là các đathức có bậc tương ứng là m và n với m > n > 0. Ta luôn có,
Pm(x)
Qn(x)= qm−n(x) +
rs(x)
Qn(x)
trong đó qm−n và rs là các đa thức có bậc tương ứng là m − n vàs < n. Khi đó,
limx→±∞
Pm(x)
Qn(x)= lim
x→±∞qm−n(x)
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 23 / 81
Các dạng vô định
Loại Ví dụ0
0limx→0
sin x
x∞∞ lim
x→0
ln 1x
cot(x2)
0.∞ limx→0+
x ln1
x
∞−∞ limx→π
2−
(
tan x − 1
π − 2x
)
00 limx→0+
xx
∞0 limx→π
2−
(tan x)cos 2x
1∞ limx→∞
(
1 +1
x
)x
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 24 / 81
Giới hạn của hàm số lượng giác
limx→0
sin x
x= 1.
Nếu limx→x0
u(x) = 0 thì
limx→x0
sinu(x)
u(x)= 1
Ví dụ 1.10
1 limx→0
sin x2
x2.
2 limx→0
sin x2
x.
3 limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x + 1.
4 limx→1
sin(1 −√x)
x − 1.
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 25 / 81
Giới hạn của hàm số lượng giác
Ví dụ 1.11
1 limx→0
x + x cos x
sinx cos x
2 limx→0
tan x − sin x
x3
3 limx→0
tan 3x
sin 8xBài Giải
Bài tập 1.6
1 limθ→0
sin√
2θ√2θ
2 limx→0
tan 2x
x
3 limx→0
x csc 2x
cos 5x4 lim
x→06x2(cot x)(csc 2x)
5 limx→0
x2 + x + sin x
2x
6 limθ→0
1 − cos θ
sin 2θ
7 limx→−2
x2 − 4
arctan(x + 2)Đs: −4.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 26 / 81
Giới hạn của hàm số lượng giác
Bài tập 1.7Tính các giới hạn sau:
1 limx→0
sin(1 − cos x)
x
2 limx→0+
sin x
sin√
x
3 limx→0
sin(sin x)
x
4 limx→0
sin(x + x2)
x
5 limx→2
sin(x2 − 4)
x − 2
6 limx→9
sin(√
x − 3)
x − 9
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 27 / 81
Giới hạn của hàm số lũy thừa
limx→0
(1 + x)α − 1
x= α. lim
x→0
n
√1 + x − 1
x=
1
n.
Nếu limx→x0
u(x) = 0 thì
limx→x0
(1 + u(x))α − 1
u(x)= α. lim
x→x0
n
√
1 + u(x) − 1
u(x)=
1
n.
Ví dụ 1.12
1 limx→0
3√
1 + x2 − 1
x2 + x3
2 limx→0
√1 + x sin x − 1
x2
3 limx→0
5√
1 + x −√
1 − 2x
xBài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 28 / 81
Giới hạn của hàm số mũ
limx→0
ax − 1
x= ln a. lim
x→0
ex − 1
x= 1
Nếu limx→x0
u(x) = 0 thì
limx→x0
au(x) − 1
u(x)= ln a. lim
x→x0
eu(x) − 1
u(x)= 1.
Ví dụ 1.13
1 limx→0
ex − e2x
x2 lim
x→0
ex2 − cos x
x2
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 29 / 81
Giới hạn của hàm số logarith
limx→0
ln(1 + x)
x= 1
Nếu limx→x0
u(x) = 0 thì
limx→x0
ln(1 + u(x))
u(x)= 1
Ví dụ 1.14
1 limx→0
ln(1 − 4x)
x
2 limx→0
ln(1 + sin x)
x
3 limx→0
ln cos x
ln(1 + x2)Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 30 / 81
Dạng vô định 1∞
Nếu limx→x0
u(x) = 1 và limx→x0
v(x) = ∞ thì
limx→x0
u(x)v(x) = elim
x→x0[u(x)−1].v(x)
Ví dụ 1.15
Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau
1 limx→0
(
1 + tan x
1 + sin x
)1
sin x
2 limx→∞
(
2x + 3
2x + 1
)x+1
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 31 / 81
Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn
Định nghĩa 1.6Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé khi x → x0 nếu lim
x→x0
α(x) = 0
Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếulim
x→x0
|α(x)| = +∞
Định lý 1.6Nghịch đảo của một vô cùng lớn là một vô cùng bé và nghịch đảo củamột vô cùng bé khác 0 là một vô cùng lớn.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 32 / 81
Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn
Ví dụ 1.16sinx là vô cùng bé khi x → 0 vì lim
x→0sin x = 0
ln cos x là vô cùng bé khi x → 0 vì limx→0
ln cos x = 0
arctan(x + 2) là vô cùng bé khi x → −2 vì limx→−2
arctan(x + 2) = 0
1
x2là vô cùng lớn khi x → 0 vì lim
x→0
1
x2= ∞
sinx là vô cùng bé khi x → 0 nên1
sin xlà vô cùng lớn khi x → 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 33 / 81
Vô cùng bé
Định lý 1.7Tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn là một vô cùng bé.
Ví dụ 1.17
limx→∞
sinx
x
limx→0
x. sin1
xBài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 34 / 81
Vô cùng bé
Định nghĩa 1.7 (So sánh các vô cùng bé)Cho α(x) và β(x) là hai vô cùng bé khi x → x0. Khi đó,
Nếu limx→x0
α(x)
β(x)= 0 thì α(x) = o(β(x))
Nếu limx→x0
α(x)
β(x)= ∞ thì β(x) = o(α(x))
Nếu limx→x0
α(x)
β(x)= A (hữu hạn khác 0) thì β(x) = O(α(x))
Nếu limx→x0
α(x)
β(x)= 1 thì ta nói α(x) và β(x) là hai vô cùng bé tương
đương. Ký hiệu: α(x) ∼ β(x).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 35 / 81
Vô cùng bé
Định lý 1.8 (Các vô cùng bé tương đương thường gặp)sinx ∼ x khi x → 0
ln(1 + x) ∼ x khi x → 0
ex − 1 ∼ x khi x → 0
n
√1 + x − 1 ∼ 1
nx khi x → 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 36 / 81
Vô cùng bé
Định lý 1.9 (Nguyên lý thay vô cùng bé tương đương)Cho α(x), α(x), β(x) và β(x) là các vô cùng bé khi x → x0 trong đóα(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x). Khi đó,
limx→x0
α(x)
β(x)= lim
x→x0
α(x)
β(x)
Ví dụ 1.18
1 limx→0
√1 + 2x − 1
tan 3xĐs:
1
3
2 limx→0
ex sin x − 1
ln cos xĐs: -2
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 37 / 81
Vô cùng bé
Định lý 1.10 (Nguyên lý ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao)Cho
r(x) = α(x) + β(x) + . . . + γ(x)
trong đó α(x), β(x), . . . , γ(x) là các vô cùng bé khi x → x0. Giả sử α(x)là vô cùng bé có bậc thấp nhất so với β(x), . . . , γ(x). Khi đó, r(x) cũnglà một vô cùng bé trong quá trình x → x0 và
r(x) ∼ α(x)
Ví dụ 1.19
1 limx→0
sin x + 3x2 + 2 tan5 x
3x + x3 + 6x42 lim
x→0
sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2)
x + x2 + arcsin2 x
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 38 / 81
Nhắc lại về giới hạn
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 39 / 81
Nhắc lại về giới hạn
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) chỉ phụ thuộc vào f(x) với những x khá
gần x0 (và khác x0).
Sự tồn tại của limx→x0
f(x) và f(x0) độc lập với nhau.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 39 / 81
Hàm số liên tục
Định nghĩa 2.1 (Hàm số liên tục tại điểm trong)1 Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu lim
x→x0
f(x) = f(x0).
2 Nếu limx→x0
f(x) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f(x0) thì ta
nói f gián đoạn tại x0.3 Ta nói hàm số f liên tục phải tại x0 nếu lim
x→x0+f(x) = f(x0).
4 Ta nói hàm số f liên tục trái tại x0 nếu limx→x0−
f(x) = f(x0).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 40 / 81
Hàm số liên tục
Định nghĩa 2.1 (Hàm số liên tục tại điểm trong)1 Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu lim
x→x0
f(x) = f(x0).
2 Nếu limx→x0
f(x) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f(x0) thì ta
nói f gián đoạn tại x0.3 Ta nói hàm số f liên tục phải tại x0 nếu lim
x→x0+f(x) = f(x0).
4 Ta nói hàm số f liên tục trái tại x0 nếu limx→x0−
f(x) = f(x0).
Định lý 2.1 (Điều kiện liên tục)Hàm số f liên tục lại x0 nếu và chỉ nếu f(x) liên tục trái và liên tục phảitại x0
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 40 / 81
Hàm số liên tục
Một hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau đây:1. f(x0) tồn tại (x0 thuộc D(f))2. lim
x→x0
f(x) tồn tại (f có giới hạn tại x0)
3. limx→x0
f(x) = f(x0) (giới hạn bằng giá trị của hàm số)
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 41 / 81
Hàm số liên tục
Một hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau đây:1. f(x0) tồn tại (x0 thuộc D(f))2. lim
x→x0
f(x) tồn tại (f có giới hạn tại x0)
3. limx→x0
f(x) = f(x0) (giới hạn bằng giá trị của hàm số)
Hàm số f gián đoạn tại x0 nếu một trong ba điều sau đây xảy ra:
f(x) không xác định tại x0.
limx→x0
f(x) không tồn tại.
f(x) xác định tại x0 và limx→x0
f(x) tồn tại nhưng limx→x0
f(x) 6= f(x0).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 41 / 81
Hàm số liên tục
Ví dụ 2.1
Xét sự liên tục của hàm số tại điểm x0
1 f(x) =
√1 + sinx − 1
xnếu x 6= 0
1
2nếu x = 0
tại x0 = 0.
2 g(x) =
{
x2 nếu x ≤ 2
x nếu x > 2tại x0 = 2.
3 h(x) =
1
xnếu x < 0
sin x
xnếu x > 0
1 nếu x = 0
tại x0 = 0. Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 42 / 81
Hàm số liên tục
Định lý 2.2Các hàm số sau đây liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó(nếu là điểm biên thì chỉ liên tục một phía)
1 Hàm số đa thức.2 Hàm số hữu tỷ.3 Hàm số lũy thừa y = xα với α là hằng số.4 Hàm số mũ ax và hàm số logarith loga x với a là hằng số dương,
khác 1.5 Các hàm số lượng giác và hàm số lượng giác ngược.6 Hàm số giá trị tuyệt đối |x|.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 43 / 81
Hàm số liên tục
Ví dụ 2.2
Xét sự liên tục của hàm số trên R
1 f(x) =
{
x2 nếu x ≤ 2
x nếu x > 2.
2 g(x) =
{ sin x
xnếu x 6= 0
1 nếu x = 0.
Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 44 / 81
Hàm số liên tục
Ví dụ 2.3
Tìm m để hàm số sau liên tục trên R
1 f(x) =
{
x sin1
xkhi x 6= 0
m khi x = 0.
2 g(x) =
{
cos x khi x ≤ 0m(x − 1) khi x > 0
. Bài Giải
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 45 / 81
Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 2.2Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 1 nếucả lim
x→x0+f(x) và lim
x→x0−f(x) tồn tại.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 46 / 81
Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 2.2Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 1 nếucả lim
x→x0+f(x) và lim
x→x0−f(x) tồn tại.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 46 / 81
Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 2.3Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 2 nếux0 không phải điểm gián đoạn loại 1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 47 / 81
Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 2.3Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 2 nếux0 không phải điểm gián đoạn loại 1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 47 / 81
Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 2.4 (Điểm gián đoạn loại bỏ được)Ta nói điểm gián đoạn loại 1 x0 của hàm số f là điểm gián đoạn bỏđược nếu lim
x→x0
f(x) tồn tại.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 48 / 81
Phân loại điểm gián đoạn
Định nghĩa 2.4 (Điểm gián đoạn loại bỏ được)Ta nói điểm gián đoạn loại 1 x0 của hàm số f là điểm gián đoạn bỏđược nếu lim
x→x0
f(x) tồn tại.
Ví dụ 2.4Hãy xác định điểm gián đoạn bỏ được của hàm số có đồ thị bên dưới
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 48 / 81
Mở rộng liên tục
Cho hàm số f(x) thỏa f(c) có thể không xác định nhưng limx→c
f(x) = L
hữu hạn.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 49 / 81
Mở rộng liên tục
Cho hàm số f(x) thỏa f(c) có thể không xác định nhưng limx→c
f(x) = L
hữu hạn. Khi đó, hàm số
F (x) =
{
f(x) nếu x thuộc miền xác định của f(x)
L nếu x = c
được gọi là mở rộng liên tục của hàm số f(x) đến x = c.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 49 / 81
Mở rộng liên tục
Cho hàm số f(x) thỏa f(c) có thể không xác định nhưng limx→c
f(x) = L
hữu hạn. Khi đó, hàm số
F (x) =
{
f(x) nếu x thuộc miền xác định của f(x)
L nếu x = c
được gọi là mở rộng liên tục của hàm số f(x) đến x = c.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 49 / 81
Mở rộng liên tục
Ví dụ 2.5
Tìm mở rộng liên tục của hàm số f(x) =x2 + x − 6
x2 − 4đến x = 2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 50 / 81
Chứng minh phương trình có nghiệm
Định lý 2.3 (Sự tồn tại nghiệm của phương trình)Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 51 / 81
Chứng minh phương trình có nghiệm
Định lý 2.3 (Sự tồn tại nghiệm của phương trình)Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b).
Ví dụ 2.61 Chứng minh phương trình x.2x = 1 có nghiệm trên khoảng (0, 1).
2 Chứng minh phương trình x3 − 15x + 1 = 0 có đúng ba nghiệmtrên khoảng (−4, 4).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 51 / 81
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 1
limx→3
x + 3
x + 6
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 52 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 1
limx→3
x + 3
x + 6
1 Phân tích. Hàm số hữu tỷx + 3
x + 6xác định tại x = 3 nên ta có
thể áp dụng định lý 1.2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 52 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 1
limx→3
x + 3
x + 6
1 Phân tích. Hàm số hữu tỷx + 3
x + 6xác định tại x = 3 nên ta có
thể áp dụng định lý 1.2.
2 Giải. limx→3
x + 3
x + 6=
3 + 3
3 + 6=
6
9=
2
3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 52 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
1 Phân tích.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
t2 + 3t − 10
t2 − 4không xác định tại t = 2 nên ta không có
thể áp dụng định lý 1.2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
t2 + 3t − 10
t2 − 4không xác định tại t = 2 nên ta không có
thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2. Ta có thể rút gọn nhântử chung này.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
t2 + 3t − 10
t2 − 4không xác định tại t = 2 nên ta không có
thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2. Ta có thể rút gọn nhântử chung này.
2 Giải.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
t2 + 3t − 10
t2 − 4không xác định tại t = 2 nên ta không có
thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2. Ta có thể rút gọn nhântử chung này.
2 Giải.Vì
t2 + 3t − 10
t2 − 4=
(t − 2)(t + 5)
(t − 2)(t + 2)=
t + 5
t + 2, ∀t 6= ±2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 2
limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
t2 + 3t − 10
t2 − 4không xác định tại t = 2 nên ta không có
thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2. Ta có thể rút gọn nhântử chung này.
2 Giải.Vì
t2 + 3t − 10
t2 − 4=
(t − 2)(t + 5)
(t − 2)(t + 2)=
t + 5
t + 2, ∀t 6= ±2
nên limt→2
t2 + 3t − 10
t2 − 4= lim
t→2
t + 5
t + 2=
2 + 5
2 + 2=
7
4
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 53 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
1 Phân tích.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + xkhông xác định tại x = 1 nên ta không
có thể áp dụng định lý 1.2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + xkhông xác định tại x = 1 nên ta không
có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 1)2. Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + xkhông xác định tại x = 1 nên ta không
có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 1)2. Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
2 Giải.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + xkhông xác định tại x = 1 nên ta không
có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 1)2. Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
2 Giải.Vì
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x=
(x − 1)2(x + 1)2
(x − 1)2x=
(x + 1)2
x,∀x 6= 1 và x 6= 0
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 3
limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x
1 Phân tích.Hàm số hữu tỷ
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + xkhông xác định tại x = 1 nên ta không
có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 1)2. Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
2 Giải.Vì
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x=
(x − 1)2(x + 1)2
(x − 1)2x=
(x + 1)2
x,∀x 6= 1 và x 6= 0
nên limx→1
(x2 − 1)2
x3 − 2x2 + x= lim
x→1
(x + 1)2
x=
(1 + 1)2
1= 4
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 54 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
1 Phân tích.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
1 Phân tích.Hàm số
1
x − 2− 4
x2 − 4là tổng của hai hàm hữu tỷ. Sau khi thực hiện
phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
1 Phân tích.Hàm số
1
x − 2− 4
x2 − 4là tổng của hai hàm hữu tỷ. Sau khi thực hiện
phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 2). Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
1 Phân tích.Hàm số
1
x − 2− 4
x2 − 4là tổng của hai hàm hữu tỷ. Sau khi thực hiện
phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 2). Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
2 Giải.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
1 Phân tích.Hàm số
1
x − 2− 4
x2 − 4là tổng của hai hàm hữu tỷ. Sau khi thực hiện
phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 2). Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
2 Giải.Vì
1
x − 2− 4
x2 − 4=
x − 2
x2 − 4=
1
x + 2,∀x 6= ±2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Ví dụ 1.3 câu 4
limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
1 Phân tích.Hàm số
1
x − 2− 4
x2 − 4là tổng của hai hàm hữu tỷ. Sau khi thực hiện
phép toán trừ ta thu được hàm số hữu tỷ không xác định tại x = 2 nênta không có thể áp dụng định lý 1.2.Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử (x − 2). Ta có thể rút gọnnhân tử chung này.
2 Giải.Vì
1
x − 2− 4
x2 − 4=
x − 2
x2 − 4=
1
x + 2,∀x 6= ±2
nên limx→2
(
1
x − 2− 4
x2 − 4
)
= limx→2
1
x + 2=
1
2 + 2=
1
4
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 55 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim
x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một
phía limx→4+
f(x) và limx→4−
f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim
x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một
phía limx→4+
f(x) và limx→4−
f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.
2 Giải.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim
x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một
phía limx→4+
f(x) và limx→4−
f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.
2 Giải.lim
x→4+f(x) = lim
x→4+
√x − 4 =
√
limx→4+
(x − 4) = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim
x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một
phía limx→4+
f(x) và limx→4−
f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.
2 Giải.lim
x→4+f(x) = lim
x→4+
√x − 4 =
√
limx→4+
(x − 4) = 0.
limx→4−
f(x) = limx→4−
(8 − 2x) = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim
x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một
phía limx→4+
f(x) và limx→4−
f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.
2 Giải.lim
x→4+f(x) = lim
x→4+
√x − 4 =
√
limx→4+
(x − 4) = 0.
limx→4−
f(x) = limx→4−
(8 − 2x) = 0.
Do limx→4+
f(x) = limx→4−
f(x) = 0 nên limx→4
f(x) = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Giới hạn một phía
Ví dụ ??
Cho hàm số f(x) =
{ √x − 4 nếu x > 4
8 − 2x nếu x < 4. Tính lim
x→4f(x).
1 Phân tích. Hàm số f(x) có hai biểu thức khác nhau về hai phía củax = 4. Do đó, để tính giới hạn lim
x→4f(x) ta cần tính các giới hạn một
phía limx→4+
f(x) và limx→4−
f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??.
2 Giải.lim
x→4+f(x) = lim
x→4+
√x − 4 =
√
limx→4+
(x − 4) = 0.
limx→4−
f(x) = limx→4−
(8 − 2x) = 0.
Do limx→4+
f(x) = limx→4−
f(x) = 0 nên limx→4
f(x) = 0.
Vậy limx→4
f(x) = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 56 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.5
Đặt g(x) =f(x) − 5
x − 2. Theo đề bài, ta có lim
x→2g(x) = 3.
Với cách đặt trên ta có f(x) = g(x).(x − 2) + 5. Do đó,
limx→2
f(x) = limx→2
g(x). limx→2
(x − 2) + limx→2
3 = 3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 57 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.5
Đặt g(x) =f(x) − 5
x − 2. Theo đề bài, ta có lim
x→2g(x) = 3.
Với cách đặt trên ta có f(x) = g(x).(x − 2) + 5. Do đó,
limx→2
f(x) = limx→2
g(x). limx→2
(x − 2) + limx→2
3 = 3.
Đặt g(x) =f(x)
x2. Theo đề bài, ta có lim
x→0g(x) = −2.
Với cách đặt trên ta có f(x) = x2.g(x) vàf(x)
x= xg(x). Do đó,
limx→0
f(x) = limx→0
x2. limx→0
g(x) = 0
và
limx→0
f(x)
x= lim
x→0x. lim
x→0g(x) = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 57 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.6
limt→0
√t2 + 9 − 3
t2= lim
t→0
t2
t2(√
t2 + 9 + 3)= lim
t→0
1√t2 + 9 + 3
=1
6
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 58 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.6
limt→0
√t2 + 9 − 3
t2= lim
t→0
t2
t2(√
t2 + 9 + 3)= lim
t→0
1√t2 + 9 + 3
=1
6
limu→−2
√u4 + 2u + 6 =
√
limu→−2
(u4 + 2u + 6) =√
18
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 58 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.7
Theo đề bài 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2, ∀x 6= 0. Mặt khác
limx→0
(3 − x2) = limx→0
(3 + x2) = 3
nên
limx→0
u(x) = 3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 59 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.7
Theo đề bài 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2, ∀x 6= 0. Mặt khác
limx→0
(3 − x2) = limx→0
(3 + x2) = 3
nên
limx→0
u(x) = 3.
Ta có −1 ≤ sin1
x≤ 1, ∀x 6= 0. Nhân các vế của bất đẳng thức trên với
x2 > 0, ta được x2 ≤ x2 sin1
x≤ x2. Vì lim
x→0(−x2) = lim
x→0x2 = 0 nên
limx→0
x2 sin1
x= 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 59 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.8
Ta có∣
∣
∣
∣
sin1
x2
∣
∣
∣
∣
≤ 1, ∀x 6= 0 nên
0 ≤∣
∣
∣
∣
x sin1
x2
∣
∣
∣
∣
= |x| .∣
∣
∣
∣
sin1
x2
∣
∣
∣
∣
≤ |x| .
Vì limx→0
0 = limx→0
|x| = 0 nên
limx→0
∣
∣
∣
∣
x sin1
x2
∣
∣
∣
∣
= 0.
Suy ra
limx→0
x sin1
x2= 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 60 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 1
limx→0
sin x2
x2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 61 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 1
limx→0
sin x2
x2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 61 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 1
Vì limx→0
x2 = 0 nên limx→0
sin x2
x2= 1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 61 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 2
limx→0
sin x2
x
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 61 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 2
limx→0
sin x2
x= lim
x→0
sin x2
x2.x2
x
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 61 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 2
Vì limx→0
x2 = 0 nên limx→0
sin x2
x= lim
x→0
sin x2
x2.x2
x= 1.0 = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 61 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 3
limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x + 1
= limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x2 − x − 2. limx→−1
x2 − x − 2
x + 1= 1. lim
x→−1(x − 2) = −3
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 62 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 3
limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x + 1
= limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x2 − x − 2. limx→−1
x2 − x − 2
x + 1= 1. lim
x→−1(x − 2) = −3
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 62 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 3
limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x + 1
= limx→−1
sin(x2 − x − 2)
x2 − x − 2. limx→−1
x2 − x − 2
x + 1= 1. lim
x→−1(x − 2) = −3
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 62 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 4
limx→1
sin(1 −√x)
x − 1
= limx→1
sin(1 −√x)
1 −√x
. limx→1
1 −√x
x − 1
= 1. limx→1
−1
1 +√
x= −1
2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 62 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 4
limx→1
sin(1 −√x)
x − 1
= limx→1
sin(1 −√x)
1 −√x
. limx→1
1 −√x
x − 1
= 1. limx→1
−1
1 +√
x= −1
2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 62 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.10 Câu 4
limx→1
sin(1 −√x)
x − 1
= limx→1
sin(1 −√x)
1 −√x
. limx→1
1 −√x
x − 1
= 1. limx→1
−1
1 +√
x= −1
2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 62 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.11 Câu 1
limx→0
x + x cos x
sin x cos x= lim
x→0
x(1 + cos x)
sin x cos x= lim
x→0
x
sin x.1 + cos x
cos x= 1.2 = 2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 63 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.11 Câu 2
limx→0
tan x − sin x
x3= lim
x→0
sinx(
1cos x − 1
)
x3= lim
x→0
sin x
x
1 − cos x
x2
1
cos x=
1
2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 63 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.11 Câu 3
limx→0
tan 3x
sin 8x= lim
x→0
sin 3x
sin 8x. cos 3x= lim
x→0
sin 3x
3x.
8x
sin 8x.
3
8 cos 3x=
3
8.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 63 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.12 Câu 1
limx→0
3√
1 + x2 − 1
x2 + x3= lim
x→0
3√
1 + x2 − 1
x2.
1
1 + x=
1
3.1 =
1
3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 64 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.12 Câu 2
limx→0
√1 + x sin x − 1
x2= lim
x→0
√1 + x sinx − 1
x sin x.sin x
x=
1
2.1 =
1
2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 64 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.12 Câu 3
limx→0
5√
1 + x −√
1 − 2x
x= lim
x→0
5√
1 + x−1 + 1 −√
1 − 2x
x
= limx→0
5√
1 + x − 1
x+ lim
x→0
1 −√
1 − 2x
x
Ta có, limx→0
1 −√
1 − 2x
x= 2 lim
x→0
√1 − 2x − 1
−2x= 2.
1
2= 1.
Vậy limx→0
5√
1 + x −√
1 − 2x
x=
1
5+ 1 =
6
5.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 64 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.13 Câu 1
limx→0
e2x − ex
x= lim
x→0(−ex)
ex − 1
x= −1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 65 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.13 Câu 2
limx→0
ex2 − cos x
x2= lim
x→0
ex2−1 + 1 − cos x
x2
= limx→0
ex2 − 1
x2+ lim
x→0
1 − cos x
x2
= 1 +1
2=
3
2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 65 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.14 Câu 1
limx→0
ln(1 − 4x)
x= −4 lim
x→0
ln(1 + (−4x))
−4x= −4
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 66 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.14 Câu 2
limx→0
ln(1 + sin x)
x= lim
x→0
ln(1 + sin x)
sin x. limx→0
sin x
x= 1
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 66 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.14 Câu 3
limx→0
ln(cos x)
ln(1 + x2)= lim
x→0
ln(1 + (cos x − 1))
cos x − 1.
x2
ln(1 + x2).cos x − 1
x2
= 1.1.
(
−1
2
)
= −1
2
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 66 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.15 Câu 1
Vì L = limx→0
(
1 + tan x
1 + sin x
)1
sin x
có dạng vô định 1∞ nên
L = elimx→0
( 1+tan x
1+sin x−1). 1
sin x .
Ta có, limx→0
(
1 + tan x
1 + sin x
)
.1
sin x= lim
x→0
tan x − sin x
(1 + sinx) sin x=
limx→0
1cos x − 1
(1 + sin x)= 0.
Vậy limx→0
(
1 + tan x
1 + sin x
)1
sin x
= e0 = 1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 67 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.15 Câu 2
Vì K = limx→∞
(
2x + 3
2x + 1
)x+1
có dạng vô định 1∞ nên
K = elim
x→∞( 2x+3
2x+1−1).(x+1)
= elim
x→∞
2(x+1)2x+1 = e1 = e.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 68 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.17 Câu 1
Tính giới hạn limx→∞
1
x. sin x
limx→∞
1
x= 0 nên
1
xlà vô cùng bé khi x → ∞.
|sin x| ≤ 1,∀x ∈ R nên sin x là một đại lượng bị chặn.
Do đó,1
x. sin x là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn.
Suy ra1
x. sin x là vô cùng bé khi x → ∞ hay
limx→∞
1
x. sin x = 0
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 69 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.17 Câu 2
Tính giới hạn limx→0
x sin1
x
limx→0
x = 0 nên x là vô cùng bé khi x → 0.∣
∣
∣
∣
sin1
x
∣
∣
∣
∣
≤ 1,∀x 6= 0 nên sin1
xlà một đại lượng bị chặn.
Do đó, x sin1
xlà tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn.
Suy ra x sin1
xlà vô cùng bé khi x → 0 hay
limx→0
x sin1
x= 0
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 70 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.18 Câu 1
Tính giới hạn limx→0
√1 + 2x − 1
tan 3x.
Khi x → 0 thì 2x → 0 do đó√
1 + 2x − 1 ∼ 1
2.(2x) = x.
Khi x → 0 thì 3x → 0 và limx→0
cos 3x = 1 nên
tan 3x =sin 3x
cos 3x∼ 3x
1= 3x.
Theo nguyên lý thay vô cùng bé tương đương ta được
limx→0
√1 + 2x − 1
tan 3x= lim
x→0
x
3x=
1
3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 71 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.18 Câu 2
Tính giới hạn limx→0
ex sinx − 1
ln cos x.
Khi x → 0 ta có, x sin x → 0. Hơn nữa x sin x ∼ x.x = x2. Suy ra
ex sinx − 1 ∼ x sin x ∼ x2.
Khi x → 0 ta có cos x − 1 → 0 và cos x − 1 ∼ −x2
2. Suy ra,
ln cos x = ln [1 + (cos x − 1)] ∼ cos x − 1 ∼ −x2
2.
Theo nguyên lý thay vô cùng bé tương đương ta được
limx→0
ex sinx − 1
ln cos x= lim
x→0
x2
−x2
2
= −2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 72 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.19 Câu 1
Tính giới hạn limx→0
sin x + 3x2 + 2 tan5 x
3x + x3 + 6x4.
Khi x → 0 ta có sin x và 3x lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấpnhất (duy nhất) của tử thức và mẫu thức.
Do đó, Bằng cách áp dụng nguyên lý bỏ qua các vô cùng bé bậc caota được
limx→0
sin x + 3x2 + 2 tan5 x
3x + x3 + 6x4= lim
x→0
x
3x=
1
3.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 73 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 1.19 Câu 2
Tính giới hạn limx→0
sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2)
x + x2 + arcsin2 x.
Khi x → 0 ta có sin 5x và x lần lượt là các vô cùng bé có bậc thấpnhất (duy nhất) của tử thức và mẫu thức.
Bằng cách áp dụng nguyên lý bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có
limx→0
sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2)
x + x2 + arcsin2 x= lim
x→0
sin 5x
x= lim
x→0
5x
x= 5
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 74 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.1 Câu 1
Xét sự liên tục của hàm số f(x) =
√1 + sinx − 1
xnếu x 6= 0
1
2nếu x = 0
tại
x0 = 0.
Ta có, f(x) = f(x)|x=0 =1
2.
limx→0
f(x) = limx→0
√1 + sinx − 1
x= lim
x→0
√1 + sin x − 1
sin x.sin x
x=
1
2.
Suy ra, limx→0
f(x) = f(0) =1
2. Do đó, f(x) liên tục tại x = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 75 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.1 Câu 2
Xét sự liên tục của hàm số g(x) =
{
x2 nếu x ≤ 2
x nếu x > 2tại x0 = 2.
Ta có,
limx→2−
g(x) = limx→2−
x2 = 4
limx→2+
g(x) = limx→2+
x = 2
=⇒ limx→2−
g(x) 6= limx→2+
g(x).
Do đó limx→2
g(x) không tồn tại.
Suy ra, hàm số g(x) gián đoạn tại x = 2.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 76 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.1 Câu 3
Xét sự liên tục của hàm số h(x) =
1
xnếu x < 0
sinx
xnếu x > 0
1 nếu x = 0
tại x0 = 0.
Ta có, limx→0−
h(x) = limx→0−
1
x= −∞.
Suy ra, limx→0
h(x) không hữu hạn.
Vậy hàm số h(x) gián đoạn tại x = 0.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 77 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.2 Câu 1
Xét sự liên tục của hàm số f(x) =
{
x2 nếu x ≤ 2
x nếu x > 2trên R .
Với x < 2 ta có f(x) = x2 là hàm số sơ cấp. Do đó, f(x) liên tụctrên khoảng (−∞, 2).Với x > 2 ta có f(x) = x là hàm số sơ cấp. Do đó, f(x) liên tục trênkhoảng (2,+∞).Tại x = 2 ta có,
limx→2−
f(x) = limx→2−
x2 = 4
limx→2+
f(x) = limx→2+
x = 2
=⇒ limx→2−
f(x) 6= limx→2+
f(x).
Do đó limx→2
f(x) không tồn tại.
Suy ra, hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.Vậy f(x) không là hàm số liên tục trên toàn trục số.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 78 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.2 Câu 2
Xét sự liên tục của hàm số g(x) =
{ sin x
xnếu x 6= 0
1 nếu x = 0trên R .
Với x 6= 0, ta có f(x) =sin x
xlà hàm số sơ cấp. Suy ra g(x) liên tục
trên mỗi khoảng (−∞, 0) và (0,+∞).
Tại x = 0, ta có limx→0
f(x) = limx→0
sin x
x= 1 = f(0). Suy ra, f(x) liên
tục tại x = 0.
Vậy f(x) là hàm số liên tục trên R.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 79 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.3 Câu 1
Tìm m để hàm số f(x) =
{
x sin1
xkhi x 6= 0
m khi x = 0. liên tục trên R.
Với x 6= 0 ta có f(x) = x sin1
xlà hàm số sơ cấp. Do đó, f(x) liên
tục trên từng khoảng (−∞, 0) và (0,+∞).Theo đề bài, hàm số f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục tại x = 0hay
limx→0
f(x) = f(0) ⇐⇒ limx→0
x sin1
x= m (1)
Ta có, x sin1
xlà tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn
khi x → 0. Do đó, nó là một vô cùng bé khi x → 0, tức là
limx→0
f(x) = 0.
Từ (1) ta có giá trị cần tìm là m = [email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 80 / 81
Đề bài
Lời giải của ví dụ 2.3 Câu 2
Tìm m để hàm số g(x) =
{
cos x khi x ≤ 0m(x − 1) khi x > 0
liên tục trên R.
Với x < 0 ta có g(x) = cos x là hàm số sơ cấp. Do đó, nó liên tụctrên khoảng (−∞, 0).
Với x > 0 ta có g(x) = m(x − 1) là đa thức bậc nhất nên nó liên tụctrên khoảng (0,+∞).
Theo đề bài, g(x) liên tục trên R. Suy ra g(x) liên tục tại x = 0 hay
limx to0−
g(x) = limx→0+
g(x) = g(0) ⇐⇒ 1 = −m ⇐⇒ m = −1.
Vậy giá trị cần tìm là m = −1.
[email protected] (CNS) CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 81 / 81
Đề bài