gestion inventarios con demanda independiente

Administración de Empresas y Organización de la Producción ESCUELA INGENIERIAS INDUSTRIALES-Universidad de Valladolid-OECIM Curso 2011/2012 Rafael Solís Martínez

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TEMA 5

GESTION INVENTARIOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE

0)INTRODUCCION 1)VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL INVENTARIO 2)NATURALEZA DE LOS INVENTARIOS 3)MODELOS DE CANTIDAD FIJA DE PEDIDO 3-1)Modelo cantidad económica pedido simple 3-2)Modelo cantidad económica de pedido con suministro gradual 3-3)Modelo cantidad económica de pedido con descuentos 3-4)Modelo cantidad económica de pedido con posibilidad de ruptura 3-4-1)Demanda insatisfecha diferida 3-4-2)Demanda insatisfecha perdida 4)MODELO DE PERIODO ECONOMICO DE PEDIDO 5)CANTIDAD DE PEDIDO PARA ARTICULOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE Y ALEATORIA


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0)INTRODUCCION El objetivo de este capitulo es analizar los distintos conceptos asociados a la gestión de inventarios. Para ello, se comienza con una descripción de las principales razones que justifican la presencia de inventarios en las organizaciones, así como los problemas que puede ocasionar un excesivo nivel de inventario. A continuación se realiza una clasificación de los inventarios en función de la naturaleza de la demanda y del conocimiento o no del tiempo de suministro, distinguiéndose entre inventarios con demanda dependiente e independiente. El resto del capitulo se dedica a analizar los distintos modelos de cálculo de la cantidad de pedido para casos de demanda independiente; los modelos con demanda dependiente se dejan para otro capitulo. Para finalizar el capitulo, se describe el modelo de cantidad económica de pedido en condiciones de incertidumbre, es decir, cuando la demanda o el tiempo de suministro no son conocidos con certeza, sino que son considerados como variables aleatorias. En este caso aparecen los conceptos de nivel de servicio, riesgo de ruptura, y stock de seguridad. Las existencias suponen en torno al 20 % del total del activo de la empresas nacionales. Esta cifra es todavía mas significativa si tenemos en cuenta que en el promedio se incluyen empresas del sector servicios, las cuales apenas tienen inventarios reflejados en sus balances. Por tanto, las existencias constituyen un activo circulante critico para la mayor parte de las empresas que debe ser cuidadosamente planificado y controlado por las repercusiones que puede tener para la rentabilidad, liquidez y fiscalidad de la empresa. La importancia de las decisiones relativas al inventario se deriva de la obligación de coordinar las necesidades de producción, marketing y finazas en lo que se refiere a la cantidad óptima de inventario. La dificultad de las mismas reside en que de forma habitual dichas necesidades son totalmente contrapuestas, lo que obliga a adoptar una solución de equilibrio. Inventario es un conjunto de artículos acumulados o almacenados en espera de una posterior utilización, es decir, de una posterior demanda.


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La principal función del mismo es adecuar un flujo de producción y un flujo de demanda de diferente frecuencia temporal. Según su naturaleza podemos distinguir entre inventario de productos terminados ,de materias primas, de productos en curso de fabricación o semiterminados, de material de envasado y embalaje. De acuerdo con su categoría funcional podemos distinguir entre: a)Inventario de ciclo: En la mayoría de la ocasiones no tiene sentido producir o comprar artículos a medida que van siendo demandados, sino que lo habitual es lanzar ordenes de pedido de un tamaño superior a las necesidades del momento, dando así lugar a un inventario que es consumido a lo largo del tiempo. Este inventario recibe el nombre de inventario de ciclo, ya que se presenta periódicamente, dando lugar a un comportamiento cíclico b)Stock de seguridad: Constituidos como protección frente a la incertidumbre de la demanda y del plazo de entrega del pedido, con ellos se trata de evitar la inexistencia de inventarios en un momento dado y la consiguiente parada del proceso productivo o insatisfacción de la demanda del cliente. c)Inventarios estacionales: Su objeto es hacer frente a un aumento esperado de las ventas; por ejemplo, en un supermercado se observan incremento de la demanda de helados en verano o de turrones en Navidades d)Inventarios en transito: Se denomina así a los artículos que están circulando entre las diferentes fases de producción y de distribución, como, por ejemplo, entre el almacén de productos terminados y un almacén regional de distribución, o entre distintas fases del montaje. Evidentemente, en la mayoría de las ocasiones un mismo artículo presentará situaciones de inventario que corresponden a varias de estas categorías funcionales, puesto que un inventario de ciclo , también puede serlo estacional y además de seguridad…etc


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1)VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL INVENTARIO Entre las diferentes razones que justifican la presencia de inventarios en las organizaciones podemos señalar las siguientes: A)Reducción de los tiempos de entrega. Los inventarios de productos terminados permiten prestar un mejor servicio al cliente , al reducir el tiempo que este debe esperar para recibir su pedido. Habitualmente el mejor servicio al cliente requiere adoptar medidas como grandes niveles de stock o numerosos almacenes que acerquen nuestra oferta de productos a los mercados. B)Incremento de la flexibilidad. La presencia de inventarios de productos en curso de fabricación evita que se detenga el proceso productivo ante la avería de una máquina y permite adaptarse de forma rápida a las oscilaciones de la demanda C)Reducción de los costes de pedido. Cada vez que realizamos un pedido a nuestros proveedores, incurrimos en una serie de costes relativos a la emisión de la orden de compra, su expedición, contabilización y recepción del pedido en almacén. Del mismo modo al emitir una orden de fabricación se incurre en una serie de costes derivados de modificar la maquinaria para producir el nuevo lote. Por ello, cuanto mayor sea la cantidad que pedimos cada vez, es decir mayor sea nuestro inventario, menor numero de pedidos realizaremos al año, lo que reducirá este tipo de costes. D)Reducción de los costes de ruptura de stocks: Si el cliente realiza un pedido y no podemos entregar por no tener productos almacenados, incurrimos en una serie de costes que van desde la pérdida de imagen a la posible pérdida del cliente. Del mismo modo, si se nos agota el inventario de materias primas o de productos en curso, habrá que detener el proceso productivo lo que además del coste de inactividad, puede terminar acarreando la pérdida de ventas y la insatisfacción del cliente.


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E)Reducción de los costes de adquisición y producción. El coste de adquisición de las materias primas puede reducirse si realizamos pedidos en grandes lotes, dado que los proveedores suelen conceder descuentos por volumen de compras (rappels). De forma similar la producción en grandes lotes puede reducir de modo notable el coste unitario de producción, al reducirse el tiempo empleado en realizar modificaciones de las máquinas para adaptarlas a la producción de los lotes de diferentes productos. F)Mejora de calidad. La producción de lotes de mayor tamaño reduce los defectos que suelen producirse al inicio de la producción de cada lote, debido a los ajustes necesarios en las máquinas y al proceso de adaptación de los trabajadores al nuevo producto. Sin embargo, contar con un elevado nivel de inventarios también lleva asociados una serie de inconvenientes entre los que podemos señalar los siguientes: A)Incremento del coste de almacenamiento. Mayores niveles de inventario implica incurrir en mayores costes de alquiler de almacenamiento, seguridad, calefacción, manejo de materiales, seguros, personal de mantenimiento,…etc B)Incremento del coste financiero. Los inventarios suponen una inmovilización de unos recursos financieros que la empresa podría utilizar en inversiones alternativas obteniendo una rentabilidad adicional. Por tanto, un gran inventario supone un coste financiero implícito o de oportunidad que debe ser tenido en cuenta. C)Posible obsolescencia de lo almacenado. Mantener grandes inventarios de productos terminados puede provocar que, ante un repentino cambio de la demanda, la empresa deba deshacerse de los productos almacenados que ya no satisfacen los nuevos requerimientos del mercado, y por tanto, quedan obsoletos. D)Ocultación de problemas. Los inventarios suelen ocultar los problemas reales del proceso productivo(averías, mala calidad de materias primas, etc)


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dado que, al no detenerse la producción, el problema se resuelve parcialmente sin pararse a analizar la verdadera causa del mismo, para evitar que el problema vuelva a repetirse actuando sobre ella. E)Riesgos derivados de situaciones imprevistas. Incendios, robos, etc 2)NATURALEZA DE LOS INVENTARIOS Las dos cuestiones básicas a las que debe responder la gestión de inventarios son:

-¿Cuanto pedir de cada material y/o producto?

-¿Cuando realizar dicho pedido? Para responder a estas cuestiones se deben tener en cuenta una serie de factores entre los que podemos señalar: -La Naturaleza de la Demanda -El tiempo de suministro -Costes asociados al inventario A) LA NATURALEZA DE LA DEMANDA En primer lugar habrá que tener en cuenta si la demanda puede ser conocida con certeza o si debe considerarse como una variable aleatoria, sujeta a una determinada distribución de probabilidad. En realidad , la demanda solo puede considerarse como cierta en empresas que trabajen exclusivamente bajo pedido .Sin embargo, veremos cómo en algunas ocasiones se supone que la demanda es conocida con objeto de simplificar el proceso de decisión.


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En segundo lugar, habrá que diferenciar entre artículos de demanda independiente, cuya demanda no depende del resto de artículos que forman parte del inventario de la empresa y artículos de demanda dependiente, en los cuales dicha dependencia si existe. Así por ejemplo, si una empresa se dedica a la fabricación de bicicletas, resulta evidente que la demanda de ruedas dependerá de la demanda de bicicletas y la demanda de radios dependerá de la demanda de ruedas. En este tema nos centraremos en las decisiones relativas a artículos con demanda independiente, dejando las decisiones de demanda dependiente para otro capitulo. B) TIEMPO DE SUMINISTRO Se define como el tiempo que transcurre desde que se realiza el pedido a proveedores o desde que se emite la orden de fabricación, hasta que se recibe le pedido. Dicho tiempo puede también ser conocido con certeza o ser considerado como aleatorio C) COSTE DE INVENTARIOS Como ya hemos indicado , la existencia de inventarios en la empresa implica una serie de costes entre los que podemos señalar: Costes de adquisición, costes de almacenamiento, costes de ruptura y costes de emisión. C-1) Coste de adquisición. (Ca) Se refiere al coste en que se incurre al adquirir los artículos a nuestro proveedor o el coste de fabricar dichos artículos en el caso de que la fabricación de los mismos se realice en el interior de la empresa.

D = Demanda anual del artículo P = Precio unitario

Ca = DP


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C-2)Coste de Emisión o renovación (Ce) Se trata del conjunto de costes necesarios para realizar cada pedido a nuestro proveedor o para emitir la correspondiente orden de fabricación. El coste total de emisión sería igual al coste unitario de emitir un pedido por el numero de pedidos realizados.

E= Coste de emisión de cada pedido Q= Cantidad de pedido (Número de unidades de cada pedido)

Ce= E D / Q

C-3)Coste de posesión o almacenamiento(Cp). Incluye en primer lugar el coste de almacenamiento físico o el coste en que se incurre por mantener los artículos en el almacén: Costes de alquiler, mantenimiento, seguros,…etc También incluye el coste de almacenamiento financiero: Coste de los recursos financieros inmovilizados en el inventario. Denominaremos:

A= Coste anual de almacenamiento de cada artículo i= Rentabilidad media empresa o tipo de interés del mercado.

Suponemos que la cantidad almacenada por término medio en el almacén o stock medio es Q/2.

Tendremos que Cp = A Q/2 + i P Q/2 = (A + iP) Q/2

C-4)Costes de ruptura(Cr) Se refiere a los costes en que la empresa incurre cuando no dispone de artículos suficientes para satisfacer su demanda: Costes de inactividad, pérdida de ventas, pérdida de imagen,…etc. Más adelante estableceremos la expresión matemática que nos permitirá su cálculo. De acuerdo con lo anterior, podemos distinguir dos tipos de costes: Los que aumentan al incrementar la cantidad de pedido (Q), como el coste de almacenamiento, y los que diminuyen al aumentar la cantidad de pedido, como el coste de emisión y ruptura. Si representamos gráficamente estos costes (figura 1) observamos como existe una cantidad Q´ que minimiza los costes totales asociados al


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inventario. A esta cantidad la denominaremos cantidad económica de pedido (EOP=CEP) Coste anual Coste total (Ca, Cp)

(Ce, Cr) Q´ En los siguientes apartados trataremos de dar respuesta a las cuestiones de cuánto y cuando pedir en el caso de artículos con demanda independiente y conocida con certeza, distinguiendo entre modelos de cantidad fija de pedido y modelos de periodo fijo 3)MODELOS DE CANTIDAD FIJA DE PEDIDO Esta serie de modelos considera que la cantidad de pedido (Q) debe ser siempre la misma en los diferentes pedidos, alterándose, sin embargo, el momento en que se realiza cada pedido.


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Punto de Pedido (Pp) Es la cantidad que hay en el almacén en el momento en que se realiza el pedido. Esta cantidad debe ser suficiente para servir la demanda esperada desde el momento de realizar el pedido hasta la recepción del mismo por parte del proveedor o hasta la culminación de su fabricación.(En caso de que la fabricación se realice en el interior de la empresa) Tiempo de suministro (Ts) Es el tiempo que transcurre entre la emisión del pedido y su recepción. Tiempo o periodo de reaprovisionamiento (Tr) Tiempo que transcurre entre dos periodos consecutivos Stock Pp Ts tiempo Tr No existe un modelo válido para cualquier circunstancia, sino que se hace necesario adaptarles a las circunstancias particulares de cada caso concreto. 3-1)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO SIMPLE Parte de una situación como la representada en al figura anterior (Figura 2), en la que se considera que tanto la demanda como los tiempos de suministro y los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de los artículos es uniforme, agotándose


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el inventario justo en el momento en que se recibe el siguiente pedido, no existiendo, por tanto, stock de seguridad. En la realidad estas características no suelen ser habitual. Sin embargo este modelo es bastante utilizado debido a su sencillez y el escaso error que se comete en ocasiones con estos supuestos restrictivos. En esta situación el coste total de inventarios sería:

Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2 Para calcular la cantidad Q que minimiza el coste total de inventario o cantidad económica de pedido, bastará con derivar la expresión anterior con respecto a la cantidad Q e igualar a cero:

dCt/dQ = - E D/Q2 + (A + Pi)/2 = 0

(A + Pi)/2 = ED/Q2

Por tanto, la expresión final para calcular la cantidad económica de pedido en este primer modelo sería:

Modelo 1

Q´= 2ED/(A + P i)


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EJEMPLO 1 La empresa HG S.A. adquiere materias primas a un coste unitario de 0,25 Euros/Kg a un proveedor cercano. Necesita anualmente 140.000 Kg de dicha materia prima. Por cada pedido realizado, la empresa estima en concepto de gastos administrativos, transporte y descarga un coste de 100 euros, y el tiempo promedio en recibir el pedido desde que se efectúa es de 15 días. Asimismo, con los datos de la contabilidad se calcula que cada Kg almacenado supone un coste anual de 0,02 Euros. Sabiendo que el coste de capital en la citada empresa es del 12 %, se desea conocer 1) el volumen económico de pedido 2) cada cuanto tiempo se debe realizar un pedido 3) cuál es su punto de pedido Solución: a)Para calcular el volumen o cantidad económica de pedido nos limitamos a aplicar la fórmula deducida anteriormente, con lo que tenemos que: Q´= 2ED/(A + Pi) = 2 x 100x 140000/(0,02 + 0,25 x 0,12) = 23.664,32 Kg 2)Para calcular cada cuánto tiempo se debe realizar un pedido nos interesa conocer en primer lugar, el numero de pedidos que la empresa debe realizar al año, para lo cuál:

n = D/Q = 140.000 /23.664,32 = 5,91 ~ 6

La empresa realizará 6 pedidos al año (Redondeando). Ajustando también la cantidad de optima de pedido 140.000 / 6 =23.333,33 kg


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Si suponemos que el año tiene 300 días laborables, podremos calcular el tiempo entre dos pedidos consecutivos, o tiempo de reaprovisionamiento, sin mas que dividir en numero de días laborables ( z) por el numero de pedidos ( n) Tr = z/n = 300/6 = 50 días Por tanto, se realizará un pedido de 23.333,33 Kg cada 50 dias laborabes 3) Finalmente para calcular el punto de pedido bastará con multiplicar el consumo diario del inventario por el número de días que el proveedor tarda en suministrarnos el pedido. Para calcular el consumo diario dividiremos la demanda anual entre el número de días laborables anuales. Pp = cTs = (D/z)Ts = (140.000/300)15 = 7.000 Kg Por lo que procederemos a emitir un pedido cada vez que la cantidad de artículos existentes en nuestro almacén sea igual a 7.000 Kg

3-2)MODELO DE CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON SUMINISTRO GRADUAL

Este modelo se utiliza para determinar la cantidad y el momento de pedido cuando el articulo se fabrica en el interior de la empresa, o bien cuando el proveedor nos sirve el producto de forma gradual. Se parte de una situación como la representada en la figura 3, en la que se considera que tanto la demanda como los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de artículos es uniforme (d) e inferior al ritmo de suministro de los mismos (p, también uniforme), agotándose el inventario justo en el momento en que


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comienza a recibirse el siguiente pedido, no existiendo por tanto stock de seguridad Nivel de Stock Q S

t1 t2

tiempo TR Observamos que existe un periodo de tiempo (t1) durante el cual se producen consumo y producción simultáneamente, siendo el ritmo de producción (p) superior al ritmo de consumo o demanda (d), con lo qué el nivel de inventario aumenta hasta alcanzar el nivel S. En el almacén nunca llega a estar la cantidad total de pedido (Q) ya que al ser el consumo gradual, a la vez que van llegando artículos se van consumiendo, por lo que el inventario crece a una tasa de (p-d).A partir de este momento finaliza la producción del lote solicitado (Q) y durante el periodo t2 el inventario se reduce al ritmo constante (d).El inventario se agota justo en el momento programado para comenzar la recepción del siguiente lote de pedido, de forma que no se produzca ruptura de stock.


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El coste total de inventario( Suponiendo que A1=A + Pi) A= Coste anual de almacenamiento de cada artículo i= Rentabilidad media de la empresa S/2 = Cantidad almacenada por término medio en el almacén P= Coste unitario.

CT=DP + ED/Q + A1 S/2

Además sabemos que la cantidad máxima de inventario S es el resultado de producir a un ritmo p y consumir a un ritmo d durante un periodo t1. Por otra parte, si durante ese periodo t1 no existiera mas que producción p, obtendríamos la cantidad de pedido Q, por tanto:

S=(p-d)t1

Q=pt1

S = (p-d)Q/p

Por lo que el coste total de inventario será:

CT = DP + ED/Q + A1 (p-d)Q / 2p

Para calcular la cantidad económica de pedido bastará con derivar dicha función con respecto a Q e igualar a cero

dCT/dQ = -ED/Q2 + A1(p-d)/2p = 0 ; Q2 = 2pED/A1(p-d) Por tanto, la expresión final para calcular la cantidad económica de pedido en este segundo modelo sería:


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Modelo 2 Q = 2pED/A1(p-d) Veamos el siguiente ejemplo EJEMPLO 2 La sección de montaje de una empresa electrónica consume diariamente 40 unidades de un determinado circuito (Z-212), que se fabrica en las propias instalaciones de la empresa a razón de 100 unidades diarias durante el tiempo necesario para satisfacer el pedido que realice la sección de montaje. Las unidades de dicho pedido se suministran a medida que van siendo producidas, de forma que durante el tiempo t1 , la fabricación y el consumo son simultáneos. Cada vez que hace falta un pedido es necesario emitir la orden, parar y poner apunto las máquinas en que se fabrican los circuitos,…etc, transcurriendo un tiempo ts de 7 días desde el momento de emisión hasta la recepción de las primeras unidades. Los costes de emisión derivados de lo anterior ascienden a 500 euros por lote. En cuanto a los costes de posesión se han estimado en 0,5 euros por unidad y mes. Sabiendo que se emplea un modelo de cantidad fija de pedido sin posibilidades de ruptura de stocks, que el periodo de gestión será de 10 meses (durante los que se consumirán 9.720 unidades del circuito) y que se suponen condiciones de certeza, se desea conocer: a) El lote económico, Q´ b) El tiempo empleado en su fabricación , t1 y en su consumo , TR c) El punto de pedido para un tiempo de suministro de 7 días


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d) El punto de pedido si el tiempo de suministro fuera de 30 y 50 días Solución: a) Para calcular el volumen o cantidad económica de pedido nos limitaremos a aplicar la fórmula deducida anteriormente, teniendo en cuenta que todas las variables deben estar referidas al año, por lo que previamente transformamos el coste de almacenamiento mensual en anual, por lo que tenemos que: 2pED/A1(p-d) = 2 x 100 x 500 x 9.720 = 1.800 ud Q´= 0,5 x 10(100- 40) Por tanto, cada pedido que se realice será de 1.800 unidades b) Para calcular el tiempo empleado en la fabricación de cada lote económico, bastará con dividir dicho lote entre la producción diaria, es decir

t1 = Q/p = 1.800/100 = 18 días El periodo de reaprovisionamiento (TR) podemos obtenerlo dividiendo el lote económico entre la demanda diaria

TR= Q/d = 1.800/40 = 45 dias

La empresa fabricará el lote de 1.800 unidades durante los primeros 18 días, y durante estos 18 días y los restantes 27 se irá consumiendo gradualmente la cantidad almacenada hasta agotar el inventario, comenzando la producción del siguiente lote justo en ese momento.


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c) Para calcular el punto de pedido, para un tiempo de suministro de 7 días, es conveniente representarlo gráficamente: Stock S

Pp

tiempo Ts=7 t1=18 t2 = 27 TR = 45 El punto de pedido será aquella cantidad que la empresa consume al ritmo d en 7 días, por lo que:

Pp = d Ts = (40 ud/dia) x 7 dias = 280 ud. Habría que realizar el pedido cuando el almacén se encontrase en fase decreciente y quedasen 280 unidades. d)El punto de pedido si el tiempo de suministro fuese 30 y 50 días


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Para Ts= 30 días stock S Pp

tiempo x Ts= 30 t1=18 t2 = 27

tR = 45 En este caso, el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que se produce a un ritmo (p – d) durante un tiempo x, que puede calcularse por diferencia entre TR y Ts

Pp = ( p – d) (TR – Ts) = 60 (45-30) = 900 ud

Habría, por tanto que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada fuese 900 ud y el almacén se encintrase en fase creciente.


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Para Ts = 50 dias Stock S S Pp tiempo

x Ts=50 t1=18 t2=27 TR=45 En este caso el tiempo de suministro supera al tiempo de reaprovisionamiento, por lo que el pedido se debe de anticipar a un ciclo de inventario, de forma que el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que la empresa consumiría al ritmo d durante un tiempo x, que puede calcularse como la diferencia entre Ts y TR .

Pp = d (Ts – TR ) = 40 (50 - 45) = 200 ud Habría por tanto, que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada fuese de 200 unidades y el almacén se encontrase en fase decreciente 3-3)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON DESCUENTOS


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Suele ser habitual que el proveedor ofrezca descuentos por volumen de compras, dado que el coste de la producción y transporte de grandes lotes es menor. Este modelo parte de las formulas deducidas para el modelo 1 y para el modelo 2 en función de que el suministro sea instantáneo (Modelo 1) o gradual (Modelo 2). Sin embargo las fórmulas anteriores pueden no conducir a una solución óptima dado que, al existir distintos precios, la función de costes deja de ser continua y se convierte en una función por tramos, lo que hace que las propiedades de la derivada dejen de ser validas en los puntos de discontinuidad de dicha función .Ver Figura 4 Coste Anual CT1

CT2

CT3

Q1 Q2 Cantidad Para solucionar este problema el procedimiento a seguir es el siguiente: 1º) Calcular la cantidad económica de pedido (Q´) para el precio más favorable, es decir para el precio inferior. 2º) Comprobar que la cantidad calculada es factible según condiciones de precio establecidas es decir, si para esta cantidad el precio sería el que hemos utilizado en el cálculo. Si dicha cantidad es factible, esa sería la cantidad óptima de pedido y el problema estará resuelto. En caso contrario ir al paso 3.


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3º) Repetir el cálculo de la cantidad económica de pedido para el siguiente nivel de precios. 4º) Comprobar que la cantidad calculada en 3 es factible según las condiciones de precio establecidas. 5º)Si dicha cantidad es factible, calcular el coste total de inventario asociado a esa cantidad y compararlo con el coste de pedir las cantidades que marcan cada uno de los puntos de discontinuidad (tramos) de la función d coste. La cantidad económica de pedido (Q´) será aquella que presente el mínimo coste. 6º)Si dicha cantidad no es factible, volver al paso 3 EJEMPLO 3 Un proveedor ofrece a los H.G. (Problema del Ejemplo 1) distintos descuentos en la materia prima en función del volumen de cantidades pedidas. Así, los nuevos precios serán: -Pedidos superiores a 30.000 Kgs: Precio 0,20 euros -Pedidos entre 20.000 y 30.000 Kgs: Precio 0,23 euros -Pedidos inferiores a 20.000 Kgs : Precio 0,25 euros Calcular la cantidad económica de pedido teniendo en cuenta los descuentos. Solución: Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, comenzamos calculando la cantidad económica de pedido para el menor precio: Q´p =0,20 = 2ED/(A + Pi) = 2 x 100 x 140.000/(0,02 + 0,2 x 0,12)

Q´p=0,20=25.226 Kg


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Dicha cantidad no es factible con las condiciones establecidas por el proveedor para el precio utilizado, dado que tan solo nos vende a 0,2 euros si pedimos más de 30.000 unidades. Por tanto, dicha solución no es valida y tendremos que probar con el precio inmediatamente superior. Q´p=0,23 = 2ED/(A + Pi) = 2 x 100 x 140.000/(0,02 + 0,23 x 0,12)

Q´p=0,23=24.253 Kg

Esta cantidad sí cumple con las condiciones establecidas por el proveedor para ofrecernos un precio de 0,23 euros, por lo que sí puede ser una solución válida. Sin embargo, antes de afirmar que dicha solución es la que optimiza el coste, será necesario comparar el coste de esta opción con el coste de pedir la mínima cantidad necesaria para pasar al precio inmediatamente inferior es decir:

Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2

CTQ´=24.253 = 140.000 x 0,23 +100 x 140.000/24.253 + 0,05 x 24.253/2= 33.386 euros CTQ´=30.001 = 140.000 x 0,20 +100 x 140.000/30.001 + 0,04 x 30.001/2= 29.066 euros Por tanto, la cantidad económica de pedido será en este caso de 30.001 Kg a un precio unitario de 0,20 euros la unidad, lo que supondrá para la empresa un coste total de inventario de 29.066 euros 3-4)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON POSIBILIDAD DE RUPTURA Se parte de una situación como la representada en la figura 5, en la que se considera, al igual que en el modelo 1, que tanto la demanda como los tiempos de suministros y los costes unitarios son conocidos con certeza, y que el consumo de artículos es uniforme. Sin embargo, en este caso se admite posibilidad de ruptura de stock.


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Nivel Stock

S Q*

Pp T2

Tiempo Q-S T1

TR Como ya vimos anteriormente, se denomina coste de ruptura, al coste en el que se incurre cuando no se puede atender a la demanda debido a que, cuando esta se presenta, no hay existencias en el almacén. Se distinguen dos casos de demanda insatisfecha: a)Demanda insatisfecha diferida: Que se produce cuando los pedidos de los clientes llegados en el momento en que no hay existencias son retrasados, para ser atendidos en el primer momento en que haya existencias en el almacén; el coste asociado a esta demanda es lo que denominaremos coste de ruptura.


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La cuantificación económica de este coste es muy compleja, ya que algunos de los conceptos de coste implicados son muy difíciles de medir. Así, el coste asociado al mal servicio a los clientes no es cuantificable fácilmente, tampoco es fácil de medir el coste de pérdida de imagen, ni el correspondiente al trabajo administrativo extra originado por una orden retrasada. b)Demanda insatisfecha perdida : Que se produce cuando se pierden definitivamente los pedidos de clientes llegados en un momento en el que no hay existencias. Una vez analizados los dos casos anteriores, suponemos que no existe demanda insatisfecha perdida, sino que toda la demanda insatisfecha es diferida, es decir, se satisface en cuanto haya existencias en almacén, tal y como se refleja en la figura 5. Cuando se recibe el lote Q* al comienzo del periodo se satisface la demanda insatisfecha del periodo anterior (Q – S), por lo que al principio del periodo la cantidad almacenada no será Q, sino S. Por ello, habrá que determinar, además del valor del lote económico de pedido (Q*), el valor de ruptura óptima. Que vendrá dado por la diferencia entre el lote óptimo (Q*) y la cantidad almacenada óptima (S*). Denominando : Z = Periodo de gestión o número de días laborables al año. T1= Periodo de tiempo durante el cuál la demanda es satisfecha con los productos almacenados sin retraso. T2= Tiempo durante el cual se produce ruptura de stock Es decir, existe una demanda insatisfecha diferida hasta la llegada del próximo pedido. Podríamos expresar los costes asociados al inventario de la siguiente forma: CA= DP CE= E D/Q CP=(a1 S/2)(T1 z/TR) CR=(cR(Q-S)/2)T2 z/TR))


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Expresaremos todos los costes en función de Q y S. Eliminamos la variable T1 y T2

Recurrimos a la teoría de semejanza de triángulos. S/Q = T1/TR T1= (S/Q) TR

(Q/Q-S) = TR/T2 T2=((Q-S)/Q))TR

Sustituyendo y sumando tendremos: CT = DP + ED/Q + a 1S2z/2Q + cR(Q-S)2z/2Q Derivando respecto a Q y S e igualando a cero, se obtienen las expresiones correspondientes a este modelo Q*= 2ED (a1 + cR) Q*= 2ED (a1+cR) A1 cR z a1 cR

S* = Q* cR/(cR + a1) Q* = Lote económico (Unidades) E = Coste de emisión (Euros /pedido) D = Demanda total en el periodo de gestión (unidades /año) D/z = Demanda por día (Unidades /día) a1 = Coste de posesión por unidad y día (Euros /unidad y día) =A1 /z cR = Coste de ruptura por unidad y día (Euros /unidad y día) A1 = A + Pi =Cote total de inventario por unidad y anual. Periodo de gestión = tiempo total de cálculo = Por ejemplo 1 año.


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Veamos el siguiente ejemplo: EJEMPLO 4 Una empresa tiene una demanda constante y conocida de un producto que fabrica y comercializa a 350 unidades/ día. El citado articulo requiere de un componente (Una unidad de componente por cada articulo) que le es suministrado por una entidad auxiliar en la siguientes condiciones: -El precio por unidad de componente es de 200 euros -El coste de emisión de un pedido es de 6000 euros /lote -El coste anual de posesión por unidad es del 10 % del coste de adquisición Si la empresa sufre una ruptura de stock, deberá reponer la demanda insatisfecha de forma urgente en el momento que reciba el lote correspondiente al siguiente periodo, lo cuál ocasionará unos costes de 0,5 euros /unidad y día de retraso. Sabiendo que el modelo utilizado en la gestión de stock es el modelo de cantidad fija de pedido, que se admite la posibilidad de ruptura de stock y que el periodo de gestión es de 360 días. Calcular: a)La demanda insatisfecha óptima, ajustando el lote de pedido óptimo al número de pedidos a realizar. b)El intervalo de tiempo durante el cual la demanda se satisface sin retraso, es decir no hay ruptura de stock. c)El periodo de tiempo en el que existe ruptura de stock. d)El punto de pedido para un tiempo de suministro igual a 8 días e)El punto de pedido para un tiempo de suministro igual a 27 días.


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SOLUCION a)Calculamos el coste de posesión anual por unidad (A) como el 10 % del coste de adquisición es decir: 0,1 x 200 euros, lo qué supone un coste de 20 euros /unidad y año; y la demanda anual (D) multiplicando la demanda diaria por el periodo de gestión, es decir 350 x 360 = 126.000 unidades /año. Y aplicando las expresiones del modelo 4 tendremos que:

Q* = 2ED (a 1 + cR) z cR a 1

Q*= 2 x 126000 x 6000 (20/360 + 0,5) 360 0,5 x 20/360 Q*= 9165,15 ud A partir del lote económico (Q*) podemos calcular el número de

pedidos anuales, dividiendo la demanda anual (D) entre el lote económico, es decir :


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D/Q* = 126000 ud/9165 ud = 13,74 = 14 pedidos al año Y ajustando el lote económico a ese número de pedidos, tendríamos

que:

Q* = 126000/14 = 9000 ud Una vez ajustado el lote económico podríamos calcular la demanda

insatisfecha óptima aplicando la expresión correspondiente. S*= 9000 x 0,5/(0,5 +20/360) = 8.100 Q* - S* = 9000 – 9000 (180/(180 + 20)) = 900 ud S*= Q*-900 = 8100 ud

b)El intervalo de tiempo durante el que no existe rotura de stock es T1 y para su cálculo habrá que calcular previamente el tiempo de reaprovisionamiento (TR), que podemos calcular dividiendo el periodo de gestión entre el número de pedidos al año, es decir: TR = 360 / 14 = 25,71 = 26 días Y empleando la teoría de semejanza de triángulos: Q/TR = S/T1 T1= (TR/Q)S = (26/9000) 8100 = 23 dias c)El periodo de tiempo durante el que existe rotura de stock (T2) lo calcularemos como diferencia entre TR y T1 : T2 = TR – T1 = 26-23 = 3 días d)Para calcular el punto de pedido realizamos la representación grafica


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Stock Q* Ts= 8 días S

Pp T2=3dias X Q-S Tiempo T1=23 dias TR =26 dias El punto de pedido será aquella cantidad que la empresa consume durante el periodo de tiempo x Es decir: Pp = dx = d(Ts – T2) = 350 ud/dia (8 – 3)dias = 1750 unidades Por tanto, tenemos que realizar un pedido cuando en el almacén queden 1.750 unidades. e)Si el tiempo de suministro es de 27 días, la nueva situación sería la que refleja la figura siguiente:


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stock T2= 3 dias Q* S x

tiempo

Ts=27 dias

Q-S T1=23 dias Pp TR=26 dias Hay que tener en cuenta que en este caso el punto de pedido se sitúa en la zona en que no existe ninguna cantidad almacenada, es decir existe demanda insatisfecha. En este caso el punto de pedido sería: Pp = dx = d(T2 + TR – Ts ) = = 350 ud/dia(3 + 26 - 27) = 700 unidades Por tanto, deberemos realizar un pedido cuando la demanda insatisfecha alcance las 700 unidades, es decir, cuando hayamos recibido pedidos por esa cantidad sin que hayamos podido servirlos por falta de stock.


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4)MODELO DE PERIODO ECONOMICO DE PEDIDO Es un sistema en el cual los pedidos se emiten regularmente, correspondiendo la periodicidad de las emisiones a los distintos momentos en que se realiza el recuento físico o inventario sobre las existencias de las principales materias primas. Las hipótesis de partida de este modelo son similares a las del modelo de cantidad económica de pedido: La demanda, el tiempo de suministro y el coste son conocidos con certeza, no se utiliza stock de seguridad, el suministro es instantáneo y no se admite la posibilidad de ruptura de stock. Fijada de antemano una cantidad de cobertura o reposición, S, se controlan los inventarios en las fechas preestablecidas para emitir un pedido de tal magnitud que, llegado a almacén, el nivel de stock coincida con S. La cantidad de pedido se calcula restando al nivel máximo del inventario (S) el nivel de inventario existente y añadiendo la cantidad necesaria para satisfacer la demanda durante el tiempo de suministro. Pedir=S-a +b S b a T Este sistema de periodo fijo es habitual en inventarios donde resulta recomendable realizar recuentos físicos periódicos de los artículos almacenados, como es el caso de los comercios minoristas o las grandes


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superficies. Si revisamos los artículos con demasiada frecuencia , los costes anuales de emisión serán excesivos, mientras que si los revisamos con poca frecuencia, las cantidades de pedido harán que los costes se disparen. La expresión del coste total de inventarios en función del tiempo entre periodos o tiempo de reaprovisionamiento será:

CT = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2

Donde D/Q = Número de pedidos en un periodo = 1/T Donde D/Q = 1/T ; Q = DT ;

CT = DP + E/T + A1 DT/2

Por lo que para calcular el periodo (T) que minimiza el coste total de inventario o periodo económico de pedido bastará con derivar la expresión anterior ,con respecto a T e igualar a cero. dCT/dT = - E/T2 + A1D/2 = 0 A1D/2 = E/T2 T2 = 2E/A1D Por tanto, la expresión para calcular el periodo económico de pedido en este modelo será: T* = 2E/A1D Veamos el siguiente ejemplo referido a la gestión de inventarios de una empresa detallista de venta de muebles.


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EJEMPLO 5 PROMADEREX SA, realiza una revisión quincenal de sus almacenes de madera de importación. El producto de mayor demanda (10.000 unidades al año) son las sillas de madera tropical, que tienen un coste de almacenamiento anual equivalente a un 10 % de su coste de adquisición, que se eleva a 120 euros / unidad. El nivel máximo de inventario (S) se calcula en 1.500 unidades y el tiempo de suministro de cada periodo se estima en 10 días. Sabiendo que el coste de emisión de cada pedido se estima en 75 euros, se pide: a)¿Es la revisión quincenal la más adecuada para este artículo? b)¿Cuál será la cantidad de pedido, si tras la primera revisión el nivel de inventario es de 800 unidades? SOLUCION: a)Para responder a esta pregunta calculamos el periodo óptimo o económico de pedido aplicando la expresión deducida con anterioridad, con lo que tendríamos que: T* = 2 x 75/10000 x 12 = 0,035 años = 12,9 días =13 días Por lo que la periodicidad de revisión óptima para este artículo no será 15 días sino 13 días. b)La cantidad de pedido se calcula restando al nivel máximo del inventario (S) el nivel de inventario existente y añadiendo la cantidad necesaria para satisfacer la demanda durante el tiempo de suministro. En este caso:


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Q* = 1.500 - 800 + (10000/360) 10 = 977,77 ~ 978 ud 5)CANTIDAD DE PEDIDO PARA ARTICULOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE Y ALEATORIA Cuando la demanda o el tiempo de suministro no son deterministicos , es decir, no son conocidos con certeza, sino que se consideran variables aleatorias, nos encontramos ante un problema de gestión de almacenes en condiciones de riesgo. En este caso, se recurre a valores representativos de dichas variables aleatorias, como su media , su mediana o su moda. Nosotros vamos a recurrir a la media aritmética, lo que provocará una determinada probabilidad de error, que puede originar un nivel de servicio inferior al esperado. En estos problemas se denomina: NIVEL DE SERVICIO: Porcentaje de veces que la demanda es satisfecha en el momento en que se produce, es decir el cociente entre el número de ciclos sin ruptura de stock y el número total de ciclos de inventario. RIESGO DE RUPTURA: El complementario al nivel de servicio, es decir el cociente entre el número de ciclos con ruptura y el número total de ciclos, de forma que se tiene que cumplir que:

Nivel de servicio

Riesgo de ruptura


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Nivel de servicio (%) + Riesgo de ruptura (%) = 100 Para aumentar el nivel de servicio (o reducir el riesgo de ruptura) recurrimos al stock de seguridad, que actuará como amortiguador cuando los valores reales de la demanda y tiempo de suministro sean superiores a sus valores representativos (media aritmética). El nivel deseado de stock de seguridad lo calculamos como diferencia entre el valor de la demanda que se está dispuesto a satisfacer durante el tiempo de suministro menos el valor del consumo medio durante dicho periodo. Resumiendo, el procedimiento que emplearemos para resolver este tipo de problemas será el siguiente: 1)Elegir un valor representativo de las variables aleatorias a considerar (Demanda y/0 Tiempo de suministro) 2)Resolver el problema utilizando dichos valores representativos cómo si estuviéramos en condiciones de certeza. 3)Calcular el riesgo de ruptura o nivel de servicio que se consigue con dichos valores. 4)Si el riesgo de ruptura fuese superior al deseado, se calculará un stock de seguridad suficiente para alcanzar el nivel de servicio deseado EJEMPLO 6 Supongamos que la empresa PROMADEREX SA, tras un análisis histórico de los tiempos de suministro de su proveedor de sillas de madera tropical, estima que no se puede considerar dicho tiempo como constante, sino que lo más correcto es considerarlo como una variable aleatoria que responde a una ley normal de media 10 días y desviación típica de 2 días. El resto de datos son los indicados en el ejemplo anterior. Es decir: Demanda anual : 100.000 unidades Coste de almacenamiento: 12 euros/unidad y año


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Coste de emisión: 75 euros En este caso, la empresa opta por emplear un modelo de cantidad fija de pedido sin posibilidades de ruptura con suministro instantáneo y desea conocer: a)Lote económico b)Riesgo de ruptura si no se mantiene stock de seguridad c)El punto de pedido y el stock de seguridad si se desea un nivel de servicio del 90 % SOLUCION a)Aplicando la expresión del modelo 1,tendremos: Q* = 2 x 75 x 10.000/12 = 353,55 = 354 ud b)Si no se mantiene stock de seguridad y dado que la variable aleatoria de tiempo de suministro sigue una distribución normal, tendríamos que el riesgo de ruptura es la probabilidad de que el tiempo de suministro real sea superior al tiempo de suministro esperado que viene determinado por la media aritmética, es decir:

RR =P (Tsr > o igual Tse ) = P (Tsr > o igual que 10) = 50 %

Dado que la distribución normal es una distribución simétrica por definición y, por tanto, deja a ambos lados de la media la misma probabilidad. c)Si deseamos que el nivel de servicio sea del 90 % tendríamos que: NS = P (Tsr menor o igual Tse ) = 0,9


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Tipificando la variable aleatoria para poder emplear las tablas de la distribución normal (El valor de 1,28 es el que deja a la izquierda un 90 % de probabilidad según las tablas de la normal) tendríamos que: P(z menor o igual (T´s – 10)/2) = 0,9 (T´-10)/2 = 1,28 T´= 10 + 2x1,28 = 12,56 días Llegados a este punto podemos calcular el stock de seguridad necesario para alcanzar dicho nivel de servicio: SS=T´s d –T*s d = (12,56 x 10.000/365) – (10 x 10.000/365) = 70,13 = 70 ud Por tanto , para lograr un nivel de servicio del 90 % será necesario contar con un stock de seguridad de 70 unidades.

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