geometri transformasi affine translate

7/23/2019 Geometri Transformasi Affine Translate

1/11

3.1 Dalam transformasi sederhana bayangan setiap garis adalah garis, garis yang

berbeda memiliki bayangan yang berbeda, dan sebuah korespondensi 1-1

dengan demikian didirikan di antara garis-garis pada bidang. Garis yang

berpotongan masuk ke perpotongan garis, dan garis sejajar ke garis sejajar.

Sifay yang menjadi titik puncak sebuah jajargenjang diawetkan.

ami telah, tentu saja, juga membuktikan fakta tambahan tentang garis !ertikal

dan non!ertical sehubungan dengan transformasi sederhana T .

"rah garis. #ni adalah hal yang biasa dalam geometri analitik untuk

mengarahkan garis !ertikal ke atas, yaitu, untuk membuat arah ke atas yang

positif. arena tidak ada prosedur tetap mengenai garis non!ertical, mari kita

setuju bahwa arah positif mereka ke arah kanan. Sebuah arah susunan pasangan

titikP

1 keP

2 pada garis. ami sekarang membuktikan$

3.% &ika dua pasang titik pada garis yang sama atau pada garis paralel searah,

begitu juga pasangan bayangan mereka di bawah transformasi sederhana, dan

jika mereka berbeda dalam arah, begitu juga pasangan bayangan.

'iarkanP

1 , P

2 and P

3 , P

4 menjadi pasangan domain. "ndaikan,

pertama, bahwa masing-masing pasangan adalah pada garis !ertikal. emudian

masing-masing pasangan bayangan juga pada garis !ertikal. Dalam hal ini arah

susunan pasangan titik P1 , P2 diberikan oleh tanda y2y1 bahwa dari

susunan pasangan,P

3 , P

4 oleh tanday

4y

3 , dan juga untuk pasangan

bayangan. Dengan demikian, jikay

2y

1>0

, arahy

1y

2 adalah positif atau

ke atas. (ntuk memeriksa hal ini, kita catat bahwaP

2 diatasP

1 karena

y2>y1 . Denoting positif, atau ke atas. (ntuk memeriksa ini kami mencatat


2/11

bahwaP

2 atasP

1 , sejaky

2>y

1 . )ang menunjukkan poin bayangan dan

koordinat mereka dengan bilangan prima, kita memperoleh, menggunakan *1+

dan fakta bahwax

1=x

2=x

3=x

4

.

y

c( 2'y1

')+d (y2y

1)

c (y 4'y

3

' )+d (y4y3)=

y2y

1

y4y3

y2

'y1

'

y4

'y3

'=

&ika arah P1 , P2 and P3 , P4 are sama, rasio di sisi kanan adalah positif.

aka rasio di sisi kiri adalah positif, dan karenanyaP

1 , P

2'

,andP

3'

,

P4

',, memiliki arah yang sama. "lasan yang sama membuang kasus di mana

P1 ,

P2 and

P3 ,

P4 memiliki indra yang berlawanan.

isalkan sekarang bahwa pasangan asli berada di garis non!ertical atau pada

dua garis paralel tersebut. aka sama berlaku, masing-masing, dari pasangan

bayangan. asaP

1 , P

2 diberikan oleh tandax

2x

1 , bahwa dariP

3 ,

P4 oleh tanda

x4x

3 , dan juga untuk pasangan bayangan. &adi jika

x2x

1>0

, rasaP

1 , P

2 positif. (ntuk memeriksa ini kami mencatat bahwa

P2 , adalah hak

P1 , sejak

x2>x

1 . enggunakan *1+ kita mendapatkan

x2'x1

'

x4

'x3

'=

x2x1x

4x

3

/enalaran seperti di atas kita lagi membuktikan 3.%


3/11

&arak. 0idak menjadi kesamaan, 0 tidak kalikan semua jarak dengan jumlah

yang sama, tetapi perubahan mereka dalam beberapa cara kurang seragam.

(ntuk menentukan apa ini, biarkanP

1 , P

2 menjadi dua poin, dengan

bayanganP

1 , P

2'

. Dengan rumus jarak dan persamaan *1+,

**+

P

(1P2)2=(x

1x

2)2+(y

1y

2)2,

*2+

P

(1' P 2 ')

2

=(x1 'x2 ')

2

+(y1 'y2 ')

2

x

(x1x

2)2+[c (1x2)+d (y1y2)]

2

&ikaP

1, P

2 berada pada garis !ertikal, thenP

1 , P

2'

berada di baris ini

*karena setiap garis !ertikal itu bayangan sendiri+, dan empat absis adalah sama.leh karena itu *+, *2+ memberikan

P

(1P2)2=(y

1y

2)2

P

P

(1

P2)

2

,(1' P 2 ')

2=d2(y

1y

2)2=d2 .

P1'P '2=|d|. P1P2

Dengan demikian, semua jarak di garis !ertikal yang dikalikan dengan

konstanta yang sama 4 d 4.


4/11

&ikaP

1, P

2 are pada garis non!ertical lereng m, maka

y1y

2

x1x2 . /ersamaan

*+, *2+ sekarang memberikan

P

(1P2)2=(x1x2 )

2 (1+m2 ) ,

P

(1' P 2 ')2=(x1x2 )

2 [1+ (c+dm2 ) ] ,

PP

(1P2)2=

1+ (c+dm2 )(1+m2 )

,

(1' P2 ')2

P1

' P2

'=

1+(c+dm2 )

(1

+m

2

)

P1P

2

&adi semua jarak pada garis lereng m dikalikan dengan konstanta yang nilainya

tergantung hanya pada m.

leh karena itu kami telah membuktikan teorema$

3.3 0ransformasi sederhana mengalikan semua jarak pada baris yang sama atau

pada garis sejajar dengan jumlah yang sama, yaitu dengan konstanta positif

yang sama.

isalnya pada garis !ertikal yang konstan adalah 4 d 4, seperti yang kita lihat di

atas5 pada garis hori6ontal itu adalah 1+c2

, karena m 7 85 dan pada garis

miring 9 : itu adalah

1

2 [1+ ( c+d )2

] .


5/11

asio jarak. 'eberapa in!ariants dapat dicatat sebagai hasil dari diskusi

sebelumnya. /ertama, jelas dari 3,3 bahwa rasio dua jarak pada baris yang sama

atau pada garis sejajar yang diawetkan. Secara khusus, kemudian, kesamaan dua

jarak tersebut adalah melestarikan. ;al ini sesuai dengan fakta dijelaskan

sebelumnya bahwa simpul dari genjang masuk ke simpul dari genjang.

/ada menerapkan 3.% kita melihat bahwa itu juga benar bahwa rasio dua jarak

diarahkan pada baris yang sama atau pada garis paralel in!arian. Secara khusus,

rasio dua jarak diarahkan pada baris yang sama atau pada garis sejajar adalah

in!arian. Secara khusus, rasio pembagian *11,


6/11

|P1P||P P2|

=|P1 ' P '||P ' P2 '|

,

atau

|P1PP P2|=|P1 ' P 'P ' P

2'|

Dengan demikian nilai absolut dari rdanr adalah sama. 0anda-tanda r dan r

>juga sama dalam pandangan 3.%. leh karena r=r ' .

&ika, misalnya, / adalah titik tengah P1P2 , dalam hal ini r 7 1, maka r'=1

dan /> adalah titik tengahP1 ' P2 ' .

3,9 transformasi sederhana melestarikan rasio dua jarak diarahkan, dan juga dari

dua jarak diarahkan, pada baris yang sama atau garis paralel. Secara khusus,

mereka mengirim jarak yang sama ke dalam jarak yang sama dan rasio

pembagian melestarikan, sehingga mengirimkan titik-titik tengah ke titik

tengah.

?atihan

1. =ari rasio di mana P membagiP1P2 jika *a+

P2 adalah tengah-tengah

antara

P1

and /5 *b+

P1

adalah tengah-tengah antaraP

dan

P2

5 *c+P

adalah1

3 dari jalan dariP

1ke P

2 .

%. "pa yang bisa dikatakan tentang tanda dan nilai absolut dari rasio r di mana /

membagiP1P2 if *a+ (P1P P2 ) ; *b+ (P1P2P ) ; *c+ (P P1P2 ) ?


7/11

3. &ika / surut tanpa batas jauh dariP

1 ,P

2 apa yang terjadi pada r di @A. %

*b+B di @A. % *c+B

9. =ari rasio di mana P(1,1) membagi pasangan titik P1(0,3) , P2(4,5) .

. Subjek poin A(0,6 ) , B (3,0 ) , C(3,6 ) , D(0,0) to the transformation

x'=x , y '=2x+4y and !erify 3.%, 3.3, 3.9.

2. ;al ini ditunjukkan dalam geometri analitik, dan mudah di!erifikasi, bahwa

rumus untuk r rasio di mana titik P (x , y ) membagi pasangan titikP

1, P

2

adalahr=

(xx1 )(x2x ) jika poin pada garis non!ertical, dan

r=(yy1 )(y2y ) jika

mereka berada di garis nonhori6ontal. 0ampilkan r yang in!arian untuk

transformasi sederhana.

C. enggunakan rumus @A. 2, menunjukkan bahwa ada / titik unik yang

membagi pasangan titik,P

1, P

2 dalam rasio r ditentukan, tidak 8,1, atau -1,

dengan menunjukkan bahwa koordinat (x , y ) dari / adalah

x=(x1+rx2 )(1+r ) ,

y=(y1+ry2 )(1+r )

&uga pastikan titik dengan koordinat (x , y ) seperti yang diberikan oleh

formula ini adalah collinear dengan poin (x1, y1) and (x2, y2)

. 'uktikan masing-masing berikut untuk transformasi sederhana di mana

x'=ax+b y , y '=y , where a 0 ;


8/11

*a+ 3.15 *b+ 3.%5 *c+ 3.3.

E. 'uktikan bahwa x'=x , y '=2x+4y meninggalkan 2x+3y=0 pointwise

tetap. Generalisasi ini dengan menunjukkan bahwa setiap transformasi

sederhana meninggalkan pointwise garis tertentu tetap.

18. 'agaimana poin FbergerakF di bawah sederhana transformasi khusus

x'=x , y '=ky , , di mana k>0? *transformasi ini disebut satu-dimensi

ketegangan dengan analogi dengan perilaku penampang benda elastis ketika

yang terakhir dikenakan pasukan tertentu. Secara umum, strain satu dimensi

didefinisikan sebagai berikut. ari g menjadi setiap baris, dan k setiap

konstanta positif. Setiap titik dari g masuk ke dalam dirinya, dan setiap / titik

lain dari pesawat masuk ke titik / >pada sisi yang sama dari g / seperti garis //>

tegak lurus terhadap g, dan / >7 k /, dimana adalah persimpangan g dan

garis // >.+

11. 'uktikan bahwa 0 transformasi sederhana yang diberikan oleh *1+

mempertahankan jarak hanya satu arah ketika c 7 8, dan hanya dalam dua arah

saat c H 8. ?ebih umum, menunjukkan jarak yang dikalikan dengan konstanta

yang sama di paling banyak dua arah. *Seperti dalam 3, menganggap bahwa 0

tidak kesamaan.+

9. Sebuah transformasi afinitas kunci *lanjutan+. (ntuk referensi yang mudah

kita menyatakan kembali persamaan sederhana transformasi 0$

*1+ { x'=x

y'=cx+dy

d 0,


9/11

*%+ { x=x '

y=(cx '+y ')

d

;ubungan keantaraan. #n!ariance dari rasio pembagianr=P1P

P P2 memiliki

konsekuensi penting. etika / adalah antaraP

1 andP

2 ,P P

2 andP

1P

memiliki tanda yang sama, sehingga r>0 (ntuk tidak ada posisi lain dari

P apakah ini benar. leh karena itu, jikaT(P1 , P2)=P1 ' , P2 ' setiap titik

antaraP

1, P

2 ikut menjadi titik antaraP

1' , P

2'

. &adi 0 mempertahankan

hubungan keantaraan.

Sebaliknya, setiap titik P antaraP

1' , P

2 adalah bayangan dari titik antara

P1

, P2 . (ntuk membiarkan T(P)=P . emudian T

1(P ')=P .

/emeriksaan *%+, yang merupakan eksplisit dari T1

, menunjukkan bahwa

T1

adalah transformasi sederhana dari jenis yang sama seperti 0. leh

karena itu T1

mempertahankan hubungan antara-juga , sehingga P adalah

antaraP

1, P

2 . ita sekarang dapat menyimpulkan bahwa T memetakan

segmen lengkapP1P2 ke segmen lengkap

P1 ' P2 ' . enggunakan hasil ini,

siswa harus tahu bahwa sinarP

1

' , P2

'adalah bayangan sinar

P1

, P2 .

Sekarang berikut bahwa bayangan sudut adalah sudut, bayangan segitiga adalah

segitiga *simpul pergi ke simpul, sisi ke sisi, interior dalam interior+, dan lebih

umum, bahwa poligon-n sisi selalu masuk ke poligon-n sisi. &uga, menggunakan

3.% dan 3.9 kita melihat bahwa dua segmen yang berada di baris yang sama atau

pada garis sejajar, dan yang setuju panjang dan arah, harus pergi ke dua segmen


10/11

yang dimiliki sifat-sifat yang sama. Dengan kata lain, bayangan sepasang !ektor

sama adalah sepasang !ektor yang sama.

9.1 0ransformasi sederhana mengawetkan hubungan keantaraan, dan karenanya

sifat menjadi segmen, sinar, sudut, setengah bidang, poligon n-sisi, atau

sepasang !ektor yang sama.

Daerah. ;al ini ditunjukkan dalam geometri analitik bahwa daerah " segitiga

dengan simpulP

1, P

2, P

3 diberikan oleh rumus

A=1

2|x1 y1 1x

2 y

2 1

x3

y3 1|

dan " positif atau negatif tergantung dengan urutan simpulP

1, P

2, P

3 apakah

berlawanan atau searah jarum jam. &ikaT(P1 , P2 , P3 )=P1 ' , P2' , P3 ' >maka untuk

daerah, A ' , segitiga P1 ' P2 ' P3 ' kita dapatkan

A'=

1

2|x

'

1 y'

1 1

x'

2 y'

2 1

x'

3 y

'

3 1|.

enggunakan *1+ kita mendapatkan

A'=

1

2|x

'

1 y'

1 1

x'

2 y

'

2 1

x'

3 y

'

3 1

|."kibatnya *lihat ?ampiran, %,+

geometri transformasi affine translate

Documents